Sınıf Öğretmenliği 6

İÇİNDEKİLER
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
Tekrar Zamanı
Teğet ve Normal Doğruların Eğimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 52
Teğet Doğrusunun Eğim Açısı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Teğet ve Normal Denklemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular.. . . . . . . . . . . . . . . 4
Grafikte Teğet – I.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Grafikte Teğet – II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Fonksiyona Üzerinde Olmayan Noktadan Teğet Atma.. . 7
En Yakın Nokta / Teğetler Arası Açı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Uygulama Zamanı – 1......................................... 9
Uygulama Zamanı – 2....................................... 11
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 13
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 54
MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ
En Büyük - En Küçük Değeri Bulma.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Kenar - Çevre - Alan Geçişleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
İç İçe Şekiller.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Cisim İçinde Cisimler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2. Derece Fonksiyon ve Denklem İfadeleri.. . . . . . . . . . . . 62
Görüntü Kümesi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Fonksiyon Grafiği İçine Çizilen Şekiller.. . . . . . . . . . . . . . . . 64
En Yakın Noktalar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 15
Trigonometrik İfadeler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Artan – Azalan ve Sabit Fonksiyonlar.. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ekonomik Uygulama.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Artan – Azalanlığın Türevle İlişkisi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
En Kısa Zaman / En İyi Görüntü.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Daima Artan ve Azalan Fonksiyon.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Uygulama Zamanı – 6....................................... 69
Fonksiyon Üzerinden Artan – Azalanlık. . . . . . . . . . . . . . . . 22
Grafik Yardımıyla Artan – Azalan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
f(x) in Grafiğinden f'(x) i Yorumlama.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
f'(x) in Grafiğinden f(x) i Yorumlama.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 71
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 73
Tahmini Grafik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Uygulama Zamanı – 3....................................... 27
GRAFİKLER
Tekrar Zamanı
Asimtot Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 29
Düşey Asimptot.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 31
Yatay Asimtot.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Yerel Ekstremum Kavramı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Yerel Ekstremumun Varlığı – I.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Yerel Ekstremumun Varlığı – II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Eğik veya Eğri Asimtot.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Simetri Ekseni ve Merkezi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Grafik Çizimi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
f'(x) in Grafiğiyle Ekstremum.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Polinom Fonksiyonların Grafiği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Eğrilik Yönü: 2. Türevin Geometrik Anlamı.. . . . . . . . . . . . 39
Polinom Fonksiyonunun Denklemini Yazma.. . . . . . . . . . . 84
Dönüm (Büküm) Noktası.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Rasyonel Fonksiyonların Grafiği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Dönüm Noktasının Varlığı / Simetri Merkezi.. . . . . . . . . . . 41
Köklerin Sayısı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
f(x) in Eğrilik Yönü ile f"(x) i Yorumlama.. . . . . . . . . . . . . . . 42
Uygulama Zamanı – 7....................................... 87
f''(x) Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönü.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tekrar Zamanı
f'(x) in Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönünü Yorumlama.. . . . 44
Grafikte Ardışık Türev.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Türevin Türevleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 89
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 91
2. Türev ile Ekstremum.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Uygulama Zamanı – 4....................................... 48
KONU TESTLERİ............................................... 95
Uygulama Zamanı – 5....................................... 50
SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ.......................... 131
Teğet ve Normal Doğruların Eğimi
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
Bir fonksiyonun herhangi "bir noktasındaki türevi"
fonksiyona o noktadan çizilen teğetin eğimidir.
Teğet değme noktasından teğet doğrusuna çizilen
dik doğruya normal doğrusu denir.
y = f(x)
f(a)
o
ÇÖZÜM f(x) in A(3, 10) noktasından çizilen teğetinin
eğimi mT olsun,
f(x) = x2 + 1 ⇒ f'(x) = 2x tir.
P
Normal
ÖRNEK
a
(Normalin Eğimi)
2x
f(x) = e eğrisine üzerindeki x = 0 apsisli noktasından
çizilen normalin eğimini bulunuz.
vv Teğetin eğimi: mT = f'(a)
vv Normalin eğimi: mT · mN = –1
1442443
f(x) = x2 + 1 fonksiyonunun üzerindeki A(3, 10) noktasından çizilen teğetin eğimini bulunuz.
mT = f'(3) = 2 · 3 = 6 bulunur.
Teğet
P, teğet değme noktası ise
(Teğetin Eğimi)
ÇÖZÜM
Dik doğruların eğimleri çarpımı –1 dir.
Türev fonksiyonu teğet denklemi değildir,
teğetin eğimini veren fonksiyondur.
f(x) = e2x ⇒ f'(x) = 2e2x dir.
mT = f'(0) = 2e2·0 = 2 e0 = 2 · 1 = 2
1
mT · mN = 2 · mN = –1 ⇒ mN = - bulunur.
2
4. y = x2 · ex fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki
teğetinin ve normalinin eğimi kaçtır?
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = x2 – 5x + 2 parabolü üzerindeki (2, –4) noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?
π
noktasın12
dan çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?
5. f(x) = sin2 x + 5x – 2 fonksiyonunun x =
2. f: R → R, f(x) = x3 – 11x + 4 eğrisine x = –1 apsisli
noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?
6. x = sin t ve y = cos 2t olmak üzere y = f(x) eğrisine
π
t = noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi
6
kaçtır?
3. f(x) = ax3 – 3x2 – 2 fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğetin eğimi 12 olduğuna göre a kaçtır?
7. y = f(x) eğrisine (2, 5) noktasından çizilen teğet (–2, 4)
noktasından geçtiğine göre f'(2) kaçtır?
1) mT = –1, mN = 1
2) mT = –8, mN =
1
8
3) 2
4) mT = 3e, mN =
-1
3e
5) mT =
11
2
, mN = 2
11
6) mT = –2, mN =
1
2
7)
1
4
1
Teğet Doğrusunun Eğim Açısı
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
3
a eğim açısı yani doğrunun x ekseni ile yaptığı pozitif
yönlü açı olmak üzüre,
vv f(x) in A(xo, yo) noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi mT ise, mT = tan a = f'(xo) dır.
vv f(x) in A(xo, yo) noktasındaki teğeti x eksenine
paralel (y eksenine dik) ise mT = f'(xo) = 0 dır.
ÖRNEK
(ox Eksenine Paralel Teğet)
f(x) = x – 6x + 3 parabolünün hangi noktasındaki teğeti
x eksenine paraleldir?
f(x) in A(xo, yo) noktasındaki teğeti x ekseni-
ne paralel olsun,
mT = 0 ise f'(x) = 0 olmalıdır,
f'(x) = 3mx2 – 12x – 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
- b - (–12)
x1 + x2 =
=
= 1 & m = 4 bulunur.
a
3m
(Eğim Açısı)
f: R → R f(x) = x3 – x2 – 7x fonksiyonunun x = 2 apsisli
noktasındaki teğetinin eğim açısını bulunuz.
ÇÖZÜM
f'(x) = 0 olmalıdır,
f'(x) = 3x – 2x – 7 ise mT = f'(2) olduğundan,
123
xo = 3 için f(3) = yo = 32 – 6 · 3 + 3 = –6
ÇÖZÜM
2
f(x) = x2 – 6x + 3 ⇒ f'(x) = 2x – 6
mT = 0 ise f'(xo) = 2xo – 6 = 0 ⇒ xo = 3
f(x) = mx – 6x2 – 5x + 2 eğrisinin x eksenine paralel
teğetlerinin bu eğriye değdiği noktaların apsisleri toplamı
1 olduğuna göre m yi bulunuz.
ÖRNEK
2
ÇÖZÜM
(x Eksenine Paralel Teğet Noktaları)
ÖRNEK
Konu Özeti
A(3, –6)
bulunur.
Aşağıda verilen ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = x2 – mx + 5 parabolünün x eksenine paralel
teğetinin bu parabole değdiği noktanın apsisi 3 ise m
kaçtır?
2. f(x) = –x2 + 4x + a eğrisinin x eksenine paralel teğeti
y = 9 doğrusu olduğuna göre a kaçtır?
4x3
- 12x2 + 5 eğrisinin x eksenine paralel
3
teğetlerinin bu eğriye değdiği noktaların apsisleri
3. f (x) = x4 -
mT = f'(2) = 12 – 4 – 7 = 1 dir. Teğetin eğim açısı a ise
tan a = mT ⇒ tan a = 1 ⇒ a = 45° bulunur.
4. f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 fonksiyonunun x = –2 apsisli
noktasındaki teğetinin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı
açı kaç derecedir?
5. f(x) = x2 + x eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısı a ise sin a · cos a çarpımı kaça eşittir?
6. f(x) = x4 + 2x2 + mx + n fonksiyonunun grafiği x = –1
apsisli noktasında x eksenine teğet olduğuna göre
m + n toplamı kaçtır?
nelerdir?
2
1) 6
2) 5
3) –2, 0, 3
4) 45°
5)
3
10
6) 13
Teğet ve Normal Denklemleri
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
f(x) = x2 + x eğrisinin x = 1 apsisli noktasından çizilen,
y = f(x) fonksiyonuna P(a, f(a)) noktasından çizilen
teğetin eğimi mT ve normalin eğimi mN olduğuna göre
vv Teğet Denklemi: y – f(a) = mT(x – a) dır.
(mT = f'(a) dır.)
Teğet ve normal doğruların denklemleri
yazılırken, bir noktası ve eğimi belli doğru
denklemlerinden faydalanılır.
14243
denklemlerini bulalım.
Öncelikle noktanın ordinatını bulalım. x = 1
ÇÖZÜM
ise f(1) = 1 + 1 = 2 dir. O halde teğet nokta P(1, 2) olur.
(mT · mN = –1 dir.)
A(xo , yo)
b) Normal doğrusunun
2
vv Normalin Denklemi: y – f(a) = mN(x – a) dır.
Eğim = m
a) Teğet doğrusunun
y – yo = m(x – xo)
⇒ olduğunu hatırlayınız.
Eğimleri bulalım,
f'(x) = 2x + 1 ⇒ mT = f'(1) = 2 · 1 + 1 ⇒ mT = 3 tür.
1
mN · mT = –1 ⇒ mN · 3 = –1 ⇒ mN = - tür.
3
y = x2 + x
Teğet, mT = 3
P(1, 2)
1
Normal, mN = – ––
3
a) Teğetin denklemi, y – 2 = 3(x – 1) dir.
1
b) Normalin denklemi, y – 2 = - (x - 1) dir.
3
4. y = t2 + 1
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = x2 – 3x + 3 eğrisine (2, 1) noktasından çizilen
teğet doğrusunun denklemi nedir?
ve
x = 2t
parametrik denklemi ile verilen y = f(x) eğrisine t = 1
den çizilen,
a) Teğetin denklemi nedir?
b) Normalin denklemi nedir?
2. y = x3 + 3x 2 – 5x – 1 eğrisine x = 1 apsisli noktasından
çizilen normalin denklemi nedir?
5. y = x2 + mx + n parabolü x = 3 apsisli noktada y = –x
doğrusuna teğet olduğuna göre m + n kaçtır?
3. x2 + y3 – 2y – xy – 3 = 0 eğrisinin (1, 2) noktasındaki,
a) Teğetinin denklemi nedir?
6. f(x) = sin x + cos x fonksiyonunun x = 0 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu, normal doğrusu ve x
ekseni arasında kalan üçgenin alanı kaç br2 dir?
b) Normalinin denklemi nedir?
1) y = x – 1
2) 4y + x + 7 = 0
3) a) y = 2
b) x = 1
4) a) y = x
b) y = –x + 4
5) 2
6)1
3
Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÇÖZÜM
Konu Özeti
y = f(x) eğrisinden y = mx + n doğrusuna çizilen,
vv Paralel teğetin eğriye değme noktası T(a, f(a)),
eğimi ise mT1 olsun,
mT1 = f'(a) = m (paralel doğruların eğimleri eşittir)
vv Dik teğetin eğriye değme noktası P(b, f(b)), eğimi ise mT2 olsun,
Dik teğet
1
mT2= – ––
2
y = x2
Palelel Teğet, mT1 = 2
y = 2x – 5
T(a, a2)
P (b, b2)
a) mT1 = 2 dir.
f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x
mT2 = f'(b) ise f'(b) · m = –1 (dik doğruların eğimleri
x = a için, mT1 = 2a = 2 ⇒ a = 1 dir.
çarpımı –1 dir)
O halde, T(1, 1) bulunur.
b) mT2 · 2 = –1 ⇒ mT2 = -
ÖRNEK
f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x ⇒
2
f(x) = x eğrisinin y = 2x – 5 doğrusuna,
a) Paralel olan teğetinin
b) Dik olan teğetinin
eğriye değme noktalarını bulunuz.
x = b için, mT2 = 2b = -
1
dir.
2
1
1
⇒ b = - tür.
2
4
1 1
O halde, P c - ,
m bulunur.
4 16
4. f(x) = x3 eğrisinin y – 3x + 1 = 0 doğrusuna paralel olan
teğetlerinin değme noktaları nelerdir?
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = x2 – 2x + 3 parabolünün hangi noktasındaki
teğeti y = 2x – 5 doğrusuna paraleldir?
1
2. y = - x2 + 2x parabolünün y = 3x + 6 doğrusuna
2
paralel teğetinin denklemi nedir?
5. f(x) = x2 – 2ax + 1
g(x) = –x2 + 4x + b
eğrilerinin x = 1 noktasındaki teğetleri birbirine paralel
olduğuna göre a kaçtır?
3. f(x) = x2 + 4x eğrisinin hangi noktasındaki teğeti
x – 1 = 0 doğrusuna diktir?
4
1) (2, 3)
2) 6x – 2y + 1 = 0
6. f(x) = x2 + 2x – 3 fonksiyonunun 2y – x + 5 = 0 doğrusuna dik olan teğetinin denklemi nedir?
3) (–2, –4)
4) (1, 1) ve (–1, –1)
5) a = 0
6) y = –2x – 7
Grafikte Teğet – I
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
y
y

y = f(x)
6
teğet
yo
A
o
2
d
x
Sola yatık eğimler negatiftir.
ÇÖZÜM
Aşağıda verilen ifadelerde istenilenleri bulunuz.
f'(2) = md
y
6
mT = tan a = f'(xo) dır.
A
o
md = tan β = – tan a
6
md = - = - 2
3
f(x)
α
2
3.
β
3
d
y
x
O halde f'(2) = –2 bulunur.
f(x)
d
y
2
f(x)
o
x
6
–1
x
2
x eksenine paralel d doğrusu x = 2 apsisli noktada f(x)
fonksiyonuna teğettir. Buna göre f'(2) kaçtır?
Şekildeki d doğrusu T(6, 2) noktasında y = f(x) fonksiyonuna teğettir. Buna göre f'(6) kaçtır?
Ç-1
2.
T
o
d
y
4. y = x2 + 1
f(x)
d
–1
3
x
xo
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsisi xo olan A noktasından çizilen teğetinin eğimi, bu fonksiyonun xo apsisli
noktasındaki türevi olduğunu hatırlayınız.Yani,
1.
f(x)
A(xo, yo)
o
α
Şekildeki d doğrusu f(x)
fonksiyonuna x = 2 apsisli
A noktasında teğettir.
Buna göre f'(2) yi bulunuz.
y
d
T
A
2
o
o
4
x
x
B
Şekildeki d doğrusu x = 4 apsisli noktada f(x) e teğettir.
Buna göre f'(4) kaçtır?
1) 0
2
2) 2
Şekildeki y = x2 + 1 parabolü d doğrusuna apsisi 2 olan
T noktasında teğettir. Buna göre A ve B noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?
3)
1
2
4) –2
5
Grafikte Teğet – II
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
Grafik üzerindeki noktanın denklemi sağlamasına
göre ve türev - teğet eğimi ilişkileriyle gerekli değerler
tespit edilip istenilen bulunur. Örneklerle açıklayalım,
y = g(x)
5
↓
3
45°
ÇÖZÜM
A
2
1
3
t
Şekildeki d doğrusu y = g(x)
d
fonksiyonunun grafiğine A nokta%
sında teğet ve m (ABC) = 45° dir.
A
o
Şekildeki t doğrusu y = f(x)
fonksiyonuna A noktasında teğettir.
h(x) = f2(x) fonksiyonu için
verilenlere göre h(x) in 1 noktasınx
daki teğetinin eğimini bulunuz.
y = f(x)
o
ÖRNEK
y
y
x
c
f(x) = x · g(x) olduğuna göre f'(3) ün
değerini bulunuz.
Grafiği okuyarak değer tespiti yapalım,
ÇÖZÜM
Grafiği okuyarak değer tespiti yapalım,
f(1) = 2 (Nokta denklemi sağlar)
f'(1) = mT =
2-0
= - 1 (İki nokta ile eğim)
1-3
g(3) = 5 (Nokta denklemi sağlar)
g'(3) = md = tan 45°= 1 (Teğetin eğimi o noktadaki türevdir)
h(x) = f2(x) ⇒ h'(x) = 2f(x)f'(x)
f(x) = x · g(x) ⇒ f'(x) = 1 · g(x) + x · g'(x)
x = 3 için ⇒ f'(3) = g (3) + 3 · g' (3) = 5 + 3 · 1 = 8 bulunur.
:
;
x = 1 için ⇒ h'(1) = 2 · f (1) · f' (1) = 2 · 2 ·(- 1) = - 4
9 :
-1
2
bulunur.
5
1
Aşağıdaki ifadelerden istenilenleri bulunuz.
1.
y
–1
d
A
2
o
x = 1 deki teğetin eğimi, h'(1) dir.
3.
f(x)
45
x
2
y
2
x
o
4.
y
A(2, 1)
y = 3x + 6
f(x)
o
o
f(x) fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğeti
y = 3x + 6 doğrusudur. h(x) = x2 + f2(x) olduğuna göre
h'(1) kaçtır?
1) -
6
1
6
d
f(x)
x
1
d
f(x)
Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonuna y ekseni üzerindeki ordinatı 2 olan noktada teğettir.
f (x)
olduğuna göre g'(0) kaçtır?
g (x) = 2
x +4
Şekildeki f(x) fonksiyonu A noktasında d doğrusuna tef (x)
ğettir. h (x) =
olduğuna göre h'(2) kaçtır?
x
2.
y
2) 56
1
2
x
Şekildeki f(x) fonksiyonunun A(2, 1) noktasındaki teğeti
x eksenine paraleldir. h(x) = x · f(x) + x2 olduğuna göre
h(x) in x = 2 apsisli noktadaki teğetinin denklemi nedir?
3)
1
4
4) y = 5x – 4
Fonksiyona Üzerinde Olmayan Noktadan Teğet Atma
ÖRNEK
Konu Özeti
A(xo , yo) noktasından y = f(x) fonksiyonuna çizilen
teğet P(a, b) noktasında eğriye değiyorsa,
b - yo
= f' (a) eşitliğinden faydalanılır.
mT =
a-x
>o :
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
iki nokta
ile eğim
(Dışardan Atılan Teğet Çifti)
f(x) = x2 parabolüne A(1, 0) noktasından çizilen teğetlerin eğimlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
türev
ile eğim
f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x
y = x2
ÖRNEK
(Dışardan Atılan Teğet)
C(a, a2)
f(x) = ex eğrisine orjinden çizilen teğetin denklemini
bulunuz.
ÇÖZÜM
y
f(x) = ex ⇒ f'(x) = ex ise
mT = f'(a) = ea
y = ex
A(a, ea)
o(0, 0)
x
mT =
ea - 0
ea
= ea &
= ea &
a
0
a
> 6
iki nokta ile eğim
türev ile eğim
ea = ea · a & a = 1 dir.
O halde, mT = f'(1) = e1 = e ve O(0, 0) noktasından geçen doğru, y – 0 = e(x – 0) ⇒ y = ex doğrusu bulunur.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
B
mT =
mT = f'(a) = 2a
A(1, 0)
a2 - 0
= 2a & a2 = 2a2 - 2a & 0 = a2 - 2a
a-1
6
>
iki nokta
ile eğim
türev
ile eğim
⇒ 0 = a(a – 2) ⇒ a = 0 veya a = 2 dir.
O halde, mT1 = mAB = f'(0) = 2 · 0 = 0 ve
mT2 = mAC = f'(2) = 2 · 2 = 4 tür.
3. f(x) = e2x eğrisinin hangi noktasından çizilen teğeti
(1, 0) noktasından geçer?
1. y = x2 + 1 parabolüne orjinden çizilen teğetlerin değme
noktaları nedir?
Ç-2
2. y = x3 + 1 eğrisine A(2, 1) noktasından çizilen teğetlerin eğimleri nedir?
1) (1, 2), (–1, 2)
2) 27 ve 0
4. f(x) = ln x fonksiyonuna orjinden çizilen teğetin denklemi nedir?
3
3) c , e3 m
2
4) y =
x
e
7
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
Konu Özeti

y = f(x)
(Paralel Teğet Çizme)
d
P
Konu Özeti
y = f(x) eğrisinin d doğrusuna en yakın noktası d doğrusuna paralel olarak çizilen teğetin değme noktasıdır.
teğet
vv Paralel doğruların eğimlerinin eşitliğinden faydalanılır.
mT = md
ÖRNEK
(En Yakın Nokta)
(Teğetler Arası Açı)
y = f(x) ve y = g(x) kesişen iki eğri olmak üzere,
m1 ve m2 kesişim noktasından çizilen teğetlerin eğimleri iken,
m1 - m2
tan a =
ifadesindeki α ise teğetler arasın1 + m1 · m2
daki açılardan birisidir.
Kesişim noktası ortak çözüm (f(x) = g(x)) ile
bulunur.
ÖRNEK
f(x) = x2 + 1 eğrisinin y = 2x – 3 doğrusuna en yakın
noktasını bulunuz.
ÇÖZÜM
f(x) = x2 + 1
En Yakın Nokta / Teğetler Arası Açı
1
eğrilerinin keşiştiği noktadan bu
x
eğrilere çizilen teğetler arasındaki açının tanjantını
bulunuz.
f(x) = x2 ve g(x) =
Öncelikle ortak çözüm yapılarak eğrilerin
kesim noktası tespit edilir.
1
I. adım: x2 =
⇒ x3 = 1 ⇒ x = 1
x
ÇÖZÜM
t
d
f(x) in d doğrusuna en yakın noktası
P(a, a2 + 1) noktasından çizilen "t"
teğeti, "d" doğrusuna paraleldir.
P
f(x) = x2 + 1 ⇒ f'(x) = 2x ise mT = f'(a) = 2a
y = 2x – 3 ⇒ md = 2 dir.
123
y = 2x – 3
mt = md
O halde, 2a = 2 ⇒ a = 1 ve P(1, 12 + 1) ⇒ P(1, 2) dir.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = x2 + 2x + 7 parabolünün y = 4x + 1 doğrusuna en
yakın noktasının koordinatlarını bulunuz.
O halde kesim noktası P(1, 1) dir.
II. adım: f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x ise m1 = f'(1) = 2
1
1
g(x) =
⇒ g'(x) = - 2 ise m2 = g'(1) = –1
x
x
III. adım: Teğetler arası açı (eğriler arası açı) a olsun,
m1 - m2
2 - (- 1)
tan α =
=
= - 3 bulunur.
1 + m1 · m2 1 + 2 · (- 1)
3. f(x) = x2 – 3x + 1 fonksiyonunun x = 1 ve x = –2 apsisli
noktalarındaki teğetleri arasındaki dar açının tanjantı
nedir?
Ç-3
2. y = x2 – 2x + 6 eğrisinin y = 2x doğrusuna en yakın
noktasının ordinatı kaçtır?
8
1) (1, 10)
2) 6
4. f(x) = x2 – 6x + 8 fonksiyonuna x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler arasındaki dar açının kotanjantı kaçtır?
3)
3
4
4)
3
4
Yerel Ekstremum Kavramı
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
y
5
f(x) fonksiyonunun artandan azalana geçtiği sürekli
noktalar yerel maksimum, azalandan artana geçtiği
sürekli noktalar yerel minimum noktalardır.
Bilimsel tanım: f: A → R, c ∈ (a, b) ⊂ A olmak üzere
vv ∀x ∈ (a, b) için f(c) ≥ f(x) ise f(x) in (c, f(c)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.
vv ∀x ∈ (a, b) için f(c) ≤ f(x) ise f(x) in (c, f(c)) noktasında bir yerel minimumu vardır.
Mutlak ekstremumlar: f(x) fonksiyonunun yerel
maksimumlarından değeri en büyük olanına mutlak
maksimum, yerel minimumlarından değeri en küçük
olanına mutlak minimum denir.
3
–1
–4
–3
–2
y = f(x)
1
–2
4
2
x
–3
f: [–4, 4) → R de tanımlı f(x) fonksiyonunun grafiğine
göre yerel ekstremum noktalarını ve değerlerini tespit
ederek mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
Noktalar
Yerel Minimum:
Yerel Maksimum:
Değerler Mutlak
(–4, 0), (–1, –3) 0 ve –3
(–3, 3), (2, 5)
3 ve 5
–3
5
Dikkat edilirse (–4, 0) noktasında azalanlıktan artanlığa
geçilmemesine rağmen yerel minimum olarak alındı.
Çünkü bu nokta tanımlı olan sınır noktasıdır. Ancak
(4, –2) noktası tanımlı olmadığı için yerel minimum
olarak ALINAMAZ!
Fonksiyon sınır noktalarında tanımlı ise bu
noktalar da yerel ekstremum olarak
değerlendirilir.
2. y = f(x) fonksiyonunun,
4
2
–4
1
–2
–3
a) Yerel minimum noktalarını bulunuz.
3
–1
1
–1
b) Yerel minimum değerlerini bulunuz.
y = f(x)
2
3
4
5
c) Mutlak minimum değerini bulunuz.
6
–2
3. y = f(x) fonksiyonunun,
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
a) Yerel maksimum noktalarını bulunuz.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
b) Yerel maksimum değerlerini bulunuz.
c) Mutlak maksimum değerini bulunuz.
1. f(x) in artanlığını – azalanlığını ve f'(x) in işaretlerini
aşağıdaki tablonun aralıklarında belirtiniz.
x
–4 –3
–2 –1
0
1
2
3
4
5
f(x)
6
4. y = f(x) artandan azalana, azalandan artana geçmediği
halde yerel ekstremum olan nokta hangisidir?
5. Yerel ekstremum olduğu halde türevi sıfır olmayan
noktalar hangileridir?
f'(x)
6. Yerel ekstremum olmadığı halde türevi sıfır olan nokta
hangisidir?
x
f(x)
f'(x)
–4 –3

–
–2

+
–1

+
0

–
1

–
2

+
3

+
4

+
5

–
6

–
2) a) (–3, –2), (1, –1), (6, 0)
3) a) (–1, 3), (4, 4)
b) (3, 4)
c) 4
b) –2, –1, 0
4) (6, 0)
c) –2
5) (1, –1), (4, 4), (6, 0)
6) (3,1)
35
Yerel Ekstremumun Varlığı – I
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
f(x) fonksiyonu x = c de sürekli iken, (c, f(c)) noktası
YEREL EKSTREMUM ise,
yatay teğet noktası
x
f
–∞
f'(x)
f(x)
–
c
f(x) = x2 – 6x ⇒ f'(x) = 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3
+∞ x = 3 de f'(x) negatiften pozitife
geçerken f(x) azalandan artana
+
geçtiği için bu noktada f(x) yerel


f(x)
minimuma sahiptir.
Yerel minimum
O halde, x = 3 için f(3) = 32 – 6 · 3 = –9 ise (3, –9) yerel
minimum noktasıdır. –9 ise yerel minimum değeridir.
y
Kırık nokta
Yatay teğet noktası
c
ÇÖZÜM
–∞ 3
–
f'(x)
(ii) f'(x), x = c de işaret değiştirir.
y
f(x) = x – 6x fonksiyonunun yerel ekstremumlarını
belirleyiniz.
x
kırık nokta
678
64748
(i) f'(c) = 0 veya f'(c) yoktur.
vv
(Yerel Ekstremum Bulma)
2
x
c
x
+∞
+
f'(x)
f(x)


(c, f(c))
YEREL MİNİMUMDUR
f
–∞
+
ÖRNEK
x
(Yerel Ekstremum Belli İken)
1 3
x - x2 - 3x + k fonksiyonunun yerel minimum
3
değeri 1 olduğuna göre k yı bulunuz.
f(x) =
c
+∞
–


(c, f(c))
YEREL MAKSİMUMDUR
Sonuç: Sürekli olunan bir noktanın yerel ekstremum
olması için o noktada türev yoktur ya da sıfırdır şartı
ile birlikte o noktada türev işaret değiştirmelidir.
1. Aşağıdaki fonksiyonların yerel ekstremum noktalarını bulunuz.
a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 4
ÇÖZÜM
f ( x) =
1 3
x - x2 - 3x + k ise f'(x) = x2 – 2x – 3
3
f'(x) = 0 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇒
x = –1 veya x = 3 tür.
x
x = 3 de f'(x) negatiften pozitife
3 +∞
geçerken f(x) azalandan artana
+
geçtiği için bu noktada f(x)



yerel minimuma sahiptir.
Yerel Yerel
maks. min.
–∞ –1
+
–
f'(x)
f(x)
O halde, x = 3 için f(3) = 1 ise,
1
f (3) = 33 - 32 - 3 · 3 + k = 1 ⇒ k = 10 bulunur.
3
1 3
x - 2x2 + 3x + k
3
fonksiyonunun yerel minimum değeri 1 olduğuna göre
k kaçtır?
2. f: R → R tanımlı ve türevli bir f (x) =
b) f(x) = x3 – 12x + 5
c) f(x) =
x2
x-1
d) f (x) =
x
ln x
3. f(x) = x2 – 3kx + 4 fonksiyonunun minumum noktasının
ordinatı –5 olduğuna göre k nın pozitif değeri kaçtır?
1) a) (–1, 9) yerel max, (3, –23) yerel min
36
c) (0, 0) yerel maks.,
b) (–2, 21) yerel max, (2, –11) yerel min
(2, 4) yerel min.
d) (e, e) yerel min,
2) 1
3) 2
Yerel Ekstremumun Varlığı – II
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
y = f(x) fonksiyonunun x = a apsisli noktasındaki yerel
ekstremum değeri b ise f'(a) = 0 ve f(a) = b eşitlikleriyle elde edilen denklem sistemi çözülür.
Daima artan ya da daima azalan fonksiyonlarda yerel
ekstremum bulunmaz.
Bir fonksiyonunun kırık noktalarında türevi
yoktur; ancak sürekli ise yerel ekstremum olabilir.
DİKKAT EDİNİZ!
(Kırık Noktada)
ÖRNEK
(Yerel Ekstremum Belli İken)
x3
+ mx2 + nx + 10 fonksiyonunun
3
x = 3 apsisli noktasındaki yerel minimum değeri 1 olduf: R → R, f(x) =
ğuna göre m ve n değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
f(x) in x = 3 de yerel minimumu olduğu için
f'(3) = 0 ve f(x) in x = 3 de yerel minimum değeri 1 olduğu için f(3) = 1 dir.
f'(x) = x2 + 2mx + n ⇒ f'(3) = 9 + 6m + n = 0 ................(i)
x3
f(x) =
+ mx2 + nx + 10 ⇒ f(3) = 9 + 9m + 3n + 10 = 1.(ii)
3
(i) ve (ii) ortak çözülürse m = –1 ve n = –3 bulunur.
f(x) = 3 – x fonksiyonunun varsa yerel ekstremumunu
belirleyiniz.
ÖRNEK
(3. Derece Fonksiyon)
x3 x2
+
+ kx + 1 fonksiyonunun yerel ektremumla3
2
rının olmaması için k nın aralığı ne olur?
f ( x) =
f(x) fonksiyonunun grafiğini çizerek değer-
ÇÖZÜM
lendirelim.
y
3
–3
3
x
x = 0 de f(x) in türevi yoktur. (kırık
nokta) Ancak x = 0 da f(x) sürekli ve
artıştan azalışa geçtiği için (0, 3)
noktası yerel maksimum noktadır.
Fonksiyonun maksimum değeri 3
tür.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
ÇÖZÜM
f ( x) =
x3 x2
+
+ kx + 1 ise f'(x) = x2 + x + k
3
2
Yerel ekstremumların olmaması için f'(x) = 0 ın reel kökü
olmamalıdır ya da reel kök varsa çift katlı olmalıdır.
1
x2 + x + k = 0 için ∆ ≤ 0 ise 12 – 4 · 1 · k ≤ 0 ⇒ ≤ k dır.
4
1
O halde k ∈ [ , 0) dır.
4
4. f(x) = x2 + 2ax + b fonksiyonunun yerel minimum noktası (2, 3) olduğuna göre b kaçtır?
1. f(x) = x2 + ax + b fonksiyonunun yerel minimum noktası (3, –6) olduğuna göre a + b kaçtır?
2. f(x) = x3 + 3x2 + kx + 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre
k nın hangi aralıktaki değerleri için fonksiyonun yerel
ekstremumu yoktur?
3. f(x) = x3 + (2 – m)x2 + 3x + 5 fonksiyonunun ekstremum noktası olmadığına göre m kaç farklı tam sayı
değeri alır?
1) –3
2) k ≥ 3
3) 7
5. f: R → R, f(x) = x3 + mx2 – nx + 4 fonksiyonunun
x = –1 apsisli noktada yerel maksimum değeri 9 olduğuna göre m – n farkı kaçtır?
6. f: R → R, f(x) = x3 + mx2 + nx + 4 fonksiyonu x = –1
apsisli noktadaki yerel maksimum değeri 10 olduğuna
göre m ve n değerleri kaça eşittir?
4) 7
5) –12
6) m = –4, n = –11
37
f'(x) in Grafiğiyle Ekstremum
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
Konu Özeti
Tanımlı olduğu aralıkta f(x) sürekli bir fonksiyon olmak üzere, f'(x) in grafiği yardımıyla işaret tablosu
yapılarak f(x) in ekstremum noktaları tespit edilebilir.
vv f'(x) tanımsız olduğu nokta, f(x) in kırık (sivri) noktası olduğu için ekstremum olabilir.
vv f'(x) in x eksenine teğet olduğu nokta f'(x) in çift
katlı kökü olduğu için f(x) in ekstremumu olamaz.
ÖRNEK
Şekilde, R → R ye
tanımlı f fonksiyonunun türevinin grafiği
verilmiştir. Buna göre
y = f(x) in ekstremum
noktalarının apsisleri
toplamını bulunuz.
y
y = fI(x)
–3
1
2
1.
x
3
o
–1
2
3
6
7
c) x = 2 apsisli noktada f in yerel maksimumu vardır.
d) x = 4 apsisli noktada f in yerel maksimumu vardır.
e) f in yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı 2 dir.
f) x = 6 apsisli nokta f'(x) in yerel minimum noktasıdır.
g) x = 3 apsisli nokta f'(x) in yerel maksimum noktasıdır.
c) Y
x = 1 de f'(x) pozitiften negatife geçerken f(x) artandan
azalana geçtiği için, (1, f(1)) noktası f(x) de yerel maksimum noktadır.
x = 3 de f'(x) işaret değiştirmediği için, f(x) de (3, f(3))
ekstremum nokta olamaz.
O halde, ekstremum noktaların apsisleri toplamı,
–3 + 1 + 2 = 0 bulunur.
y
d) D
e) Y
f) D
–6 –5
–3
o
–2
2
4
–2
b) f in yerel maksimum noktaların apsisleri toplamı 0
dır.
b) D





yerel yerel yerel
min. maks. min.
x = –3 ve x = 2 de f'(x) negatiften pozitife geçerken f(x)
azalandan artana geçtiği için; (–3, f(–3)), (2, f(2)) noktaları f(x) de yerel minimum noktalardır.
x
a) x = –4 apsisli noktada f in yerel maksimum noktası
vardır.
1) a) D
–
f(x)
–7
4
Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre aşağıda verilen ifadeleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.
38
1
1
4
–2
–∞ –3
–
+
fI(x)
5
–2
f'(x)
tanımsız nokta
çift katlı kök
2
3 –∞
+
+
2
6
–6 –4
x
2.
y
–3
ÇÖZÜM f'(x) = 0 ın kökleri –3, 1 ve 3 tür. x = 3 te çift
katlı kök olduğuna dikkat ediniz. Ayrıca x = 2 de f'(x) tanımsız olduğu için işaret tablosunda değerlendirilmelidir.
g) D
5
x
y = fI(x)
Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre aşağıda verilen ifadeleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.
a) x = –7 apsisli noktada f(x) in yerel minimumu vardır.
b) x = 5 apsisli noktada f(x) in yerel maksimumu vardır.
c) x = –2 apsisli noktada f(x) in yerel minimumu vardır.
d) (2, 5) aralığında f(x) in yerel minimumu vardır.
e) f(x) in ekstremum noktalarının apsisleri toplamı
–12 dir.
f) f(x) in yerel maksimum noktalarının apsisleri toplamı
2 dır.
g) f(x) in yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı
–7 dir.
2) a) D
b) Y
c) D
d) Y
e) D
f) Y
g) Y
Eğrilik Yönü: 2. Türevin Geometrik Anlamı
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
f: [a, b] → R fonksiyonu (a, b) aralığında I. ve II. türevli ve sürekli iken ∀x∈(a, b) için
vv f''(x) > 0 ⇔ f in eğrilik yönü yukarı doğrudur.
f
 f dış bükeydir, çukurdur, konveksdir.
 f eğrisi teğetlerinin üstündedir.
vv f''(x) < 0 ⇔ f in eğrilik yönü aşağı doğrudur.
 f iç bükeydir, tümsektir, konkavdır
 f eğrisi teğetlerinin altındadır.
f
Aşağıda verilen eğrilerin konveks (çukur) ve konkav
(tümsek) oldukları aralıkları bulunuz.
f(x) = x3 – 6x2 + 1 fonksiyonunun konveks ve konkav
olduğu aralıkları bulunuz.
f''(x) i bularak işaret tabolosunu yapalım,
ÇÖZÜM
f(x) = x3 – 6x2 + 1 ⇒ f'(x) = 3x2 – 12x ⇒ f''(x) = 6x – 12
f''(x) = 6x – 12 = 0 ⇒ x = 2 bulunur.
x
–∞
–
f''(x)
f(x)
2
+∞
+
konkav konveks
(tümsek) (çukur)
(–∞, 2) aralığında f"(x) < 0
olduğu için f(x) konkavdır. (İç
bükeydir)
(2, +∞) aralığında f"(x) > 0 olduğu
için f(x) konveksdir. (Dış bükeydir)
4. f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 5x + 2
1. f(x) = x3
3
5. f(x) = (x – 3)3 + 1
2
2. f(x) = –x + 3x + 2
3. f(x) = 9 – x2
6. f (x) =
1) (–∞, 0) konkav, (0, ∞) konveks
2) (–∞, 1) konveks, (1, ∞) konkav
3) ∀ x ∈ R için konkav
1
+1
ex
4) (–∞, 1) ve (3, ∞) konveks, (1, 3) konkav
5) (–∞, 3) konkav, (3, ∞) konveks
6) ∀ x ∈ R için konvekstir
39
Dönüm (Büküm) Noktası
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
Bir fonksiyonunun eğriliğinin yön değiştirdiği (2. türevin işaret değiştirdiği) sürekli noktası dönüm (büküm) noktasıdır.
xo apsisli noktası f(x) fonksiyonunun dönüm noktası
ise
fII > 0
↑↑
↑↑
↑
↑
fII < 0
x x
xo
f
↑
↑
fII > 0
xo
↑
f
f
↑
↑
fII > 0
xo
x
x –∞ xo +∞
–
–
f''
Dönüm noktası
ÖRNEK
(Dönüm Noktası Olmayan)
f(x) = x4 + 3x fonksiyonunun dönüm noktasını bulunuz.
ÇÖZÜM
f(x) = x4 + 3x ⇒ f'(x) = 4x3 + 3 ⇒ f''(x) = 12x2
12x2 = 0 ⇒ x1 = x2 = 0 (çift katlı köktür)
x –∞ 0 +∞
f''(x) +
+
f(x)
f
123
123
144424443
Dönüm noktası olamaz
Dönüm noktası OLAMAZLAR
x = 0 apsisli noktada f''(x) = 0 ın çift
katlı kökünde f'' işaret değiştirmediği
için f in eğrilik yönü değişmez ve
dönüm noktası olamaz.
Fonksiyonun dönüm noktası YOKTUR!
Aşağıda verilen eğrilerin dönüm noktalarının koordinatlarını bulunuz.
3
f(x) = x3 + 3x2 ⇒ f'(x) = 3x2 + 6x ⇒ f''(x) = 6x + 6
6x + 6 = 0 ⇒ x = –1
x –∞ –1 +∞ x = –1 apsisli noktada f" işaret
değiştirirken f in eğrilik yönü değiştiği
f''(x) –
+
için dönüm noktasının apsisidir.
f(x)
fII < 0
f''(x) = 0 denkleminin xo çift katlı kökü ise f'' fonksiyonu işaret değiştirmeyeceği için xo apsisli nokta f in
dönüm noktası olamaz.
x –∞ xo +∞
+
+
f''
ÇÖZÜM
(–1, 2) noktası f(x) in dönüm (büküm) noktasıdır.
y
y
fII < 0
↑↑
f
(ii) fII(xo) yoktur
↑
y
ya da
↑
fII(x) = 0
↑
(i)
(Dönüm Noktası)
f(x) = x3 + 3x2 fonksiyonunun dönüm noktasını işaret
tablosu yaparak bulunuz.
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
5. f"(x) = (x – 1) · (x – 2)2 · (x – 3)3 olduğuna göre f(x) in
dönüm noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
2
1. f(x) = x + 6x
2. f(x) = x3 – 3x2 + 5
6. f(x) = x · ex + 1 eğrisinin dönüm noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
3. f(x) = x4 – 2x3 – 5x + 1
7. y = t4 – 6t2 ve x = 2t + 1 iken y = f(x) eğrisinin dönüm
noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? (t > 0)
4. f(x) = (x – 1)4
40
1) (–2, 16)
2) (1, 3)
3) (0, 1), (1, –5)
4) Yoktur
5) 4
6)
-2
e2
-1
7) –15
Dönüm Noktasının Varlığı / Simetri Merkezi
(Dönüm Noktasının Varlığı)
Konu Özeti
f(x), 3. dereceden polinom fonksiyonun dönüm noktası (a, b) ise,
(ii) f(a) = b
ve
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
Konu Özeti
(Simetri Merkezi)
3. dereceden polinom fonksiyonların dönüm noktaları
simetri merkezleridir.
(ii) f''(a) = 0 dır.
ÖRNEK
f(x) = x3 + 3x2 fonksiyonunun simetri merkezini bulunuz.
ÖRNEK
f(x) = x3 + mx2 + nx + 2 fonksiyonunun (1, 3) noktasında
dönüm noktası var ise m ve n değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
f(1) = 3 ve f''(1) = 0 dır.
(i) f(x) = x3 + mx2 + nx + 2 ⇒ f(1) = 1 + m + n + 2 = 3
(ii) f'(x) = 3x2 + 2mx + n ⇒ f''(x) = 6x + 2m ⇒ f''(1) = 6 + 2m = 0
(i) ve (ii) ortak çözülürse m = –3 ve n = 3 bulunur.
ÇÖZÜM
f(x) = x3 + 3x2 ⇒ f'(x) = 3x2 + 6x ⇒ f''(x) = 6x + 6
6x + 6 = 0 ⇒ x = –1
x –∞ –1 +∞ x = –1 apsisli nokta dönüm noktası
olduğu için f(x) in simetri merkezi–
+
f''(x)
dir.
f(x)
Dönüm noktası
O halde, x = –1 için f(–1) = 2 ise (–1, 2) simetri merkezidir.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = ax3 + (a + 1)x2 + 3x – 4 fonksiyonunun dönüm
noktasının apsisi x = –1 olduğuna göre a kaçtır?
1. f(x) = x3 – 3x2 + 5x + 7 fonksiyonunun simetri merkezininin koordinatları nedir?
2. f(x) = x3 + mx2 + (1 – m)x – 4 fonksiyonunun dönüm
noktasının apsisi 1 olduğuna göre ordinatı kaçtır?
2. f(x) = x3 – 6x2 + a fonksiyonunun simetri merkezinin
koordinatları toplamı –13 olduğuna göre a kaçtır?
3. f(x) = 2x3 + mx2 – nx – 2 fonksiyonunun x = 1 de yerel
ekstremumu, x = –1 de dönüm (büküm) noktası olduğuna göre m – n farkı kaçtır?
1)
1
2
2) –2
3) –12
Ç-6
3. f(x) = x3 + ax2 – 2bx + 1 fonksiyonunun simetri merkezi
(–1, 9) olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
1) (1, 10)
2) 1
3) 6
41
f(x) in Eğrilik Yönü ile f"(x) i Yorumlama
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÇÖZÜM
Konu Özeti
Bir f fonksiyonunun grafiğinde, eğriliğin yön değiştirdiği dönüm noktaları f''(x) = 0 ın kökleridir.
f in grafiğindeki sürekli olan kırık noktalar,
türevsiz olmasına rağmen eğrilik yön değiştiriyorsa dönüm noktasıdır.
f in eğrilik yönü ile f' in artan azalanlığı da yorumlanabilir.
vv f çukur (
) ⇔ f'' > 0 ⇔ f' artan ()
vv f tümsek (
)⇔ f'' < 0 ⇔ f' azalan ()
vv f doğrusal (
) ⇔ f'' = 0 ⇔ f' sabit (→)
a) (–∞, 1) aralığında f(x) çukur olduğundan f"(x) > 0 dır.
(1, 4) aralığında f(x) tümsek olduğundan f"(x) < 0 dır.
(4, 6) aralığında f(x) çukur olduğundan f"(x) > 0 dır.
(6, ∞) aralığında f(x) tümsek olduğundan f"(x) < 0 dır.
x = 1 ve x = 6 apsisli noktalarda f(x) in eğriliğinin yönü
değiştiği için f"(1) = f"(6) = 0 dır ve bu noktalar f(x) in
dönüm noktalarıdır.
x = 4 apsisli noktada f(x) eğrisi yön değiştirmesine rağmen kırık nokta olduğu için f"(x) yoktur; ancak bu nokta
yine de f(x) in dönüm noktasıdır.
ÖRNEK
y
y = f(x)
–1
o
Şekildeki A, B ve C noktaları
y = f(x) fonksiyonunun
dönüm noktalarıdır.
B
A
C
x
4 6
1
Buna göre;
a) f"(x) fonksiyonunun işaretini yorumlayınız.
b) f'(x) fonksiyonunun artan azalanlığını yorumlayınız.
1.
A
–1
o 1
2
3
5
y
7
9
–7
x
–5
–3
A –1
o
B
1
6
4
x
f(x)
y = f(x)
B
42
(1, 4) ve (6, ∞) aralıklarında f"(x) < 0 olduğundan f'(x)
azalandır.
E
D
C
–2
(–∞, 1) ve (4, 6) aralıklarında f"(x) > 0 olduğundan f'(x)
artandır.
2.
y
–4
b) f" fonksiyonu f' in türevi olduğu için,
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A, B, C, D
ve E noktaları f(x) in dönüm noktaları olduğuna göre
aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A ve
B noktaları dönüm (büküm) noktaları olduğuna göre
aşağıdaki verileri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.
a) f"(–3) > 0
g) f'(2) = 0
a) f"(–5) = 0
f) f'(1) · f''(3) < 0
b) f"(–6) > 0
h) f"(4) < 0
b) f"(–4) < 0
g) f'(5) · f"(5) > 0
c) f'(–2) = 0
k) f'(5) = f"(7) = 0
d) f'(1) < 0
3
l) f" c m · f" (4) < 0
2
e) f"(0) = 0
m) (1, 3) aralığında f'(x) artandır.
f) f"(1) = 0
n) (–2, 0) aralığında f'(x) artandır.
1) a) D
b) Y
c) Y d) D
e) Y
f) D
g) D
h) D
k) D
c) f"(–6) · f"(3) > 0 h) f(7) · f"(4) > 0
l) D
m) D
n) Y
d) f"(–1) > 0
k) (–∞, –5) aralığında f'(x) artandır.
e) f"(0) < 0
l) (1, ∞) aralığında f'(x) azalandır.
2) a) Y
b) D
c) D
d) D
e) Y
f) D
g) D
h) D
k) Y
l) D
f''(x) Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönü
kökü 1 dir. Yani f"(–3) = f"(–1) = f"(1) = 0 dır.
Bir f'' fonksiyonunun grafiğinde f''(x) = 0 ın tek katlı
kökleri f(x) in dönüm noktalarıdır.
vv f'' > 0 olduğu aralıkta f çukurdur. (
)
vv f'' < 0 olduğu aralıkta f tümsektir. (
)
vv f" = 0 olduğu aralıkta f doğrusaldır. (→)
f'' in grafiğinin x eksenine teğet olduğu çift katlı
köklerinde f'' işaret değiştirmeyeceği için f in
eğrilik yönü değişmez, dönüm noktası OLAMAZ!
ÖRNEK
–3
–2
–1
f''(x) = 0 ın tek katlı kökleri –3 ve –1, çift katlı
ÇÖZÜM
Konu Özeti
y
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
y = fII(x)
x
1
Şekildeki ikinci türevinin grafiği
verilen y = f(x) fonksiyonunun
eğrilik yönünü tespit ederek
dönüm noktalarını bulunuz.
1.
x
f''(x)
f(x)
–∞ –3
–1
1 +∞
+
–
+
+
Çukur
Tümsek Çukur
(–∞, –3) aralığında f"(x) > 0 olduğundan f(x) çukurdur.
(–3, –1) aralığında f"(x) < 0 olduğundan f(x) tümsektir.
(–1, ∞) aralığında f"(x) > 0 olduğundan f(x) çukurdur.
f in eğrilik yönünün değiştiği –3 ve –1 apsisli noktaları
dönüm noktasıdır; ancak 1 apsisli noktada f in eğrilik
yönü değişmediği için, dönüm noktası olamaz.
O halde, (–3, f(–3)) ve (–1, f(–1)) noktaları f(x) fonksiyonunun dönüm noktalarıdır.
2.
y
y
–5
–9
–7 –5
–3
–1
o
2
4
Şekilde f"(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki soruları Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.
d) x = –7 apsisli nokta f(x) in dönüm noktasıdır.
e) x = –1 apsisli noktada f(x) in eğrilik yönü değişmediğinden dönüm noktası değildir.
f) f(x) in dönüm noktalarının apsisleri toplamı –9 dur.
g) x = 4 apsisli noktada f'(x) yerel minimuma sahiptir.
e) D
8
x
fII(x)
Şekilde f: R → R ye sürekli f(x) fonksiyonunun ikinci
türevinin grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki soruları Doğru "D", Yanlış "Y"
yazarak cevaplayınız.
c) f(x) in 3 tane dönüm noktası vardır.
c) (–5, –1) aralığında f(x) konvekstir.
d) Y
4
b) (0, 4) aralığında f(x) iç bükeydir.
b) (–9, –5) aralığında f(x) dış bükeydir.
c) D
o
a) R– de f(x) tümsektir.
a) (–∞, –9) aralığında f(x) çukurdur.
b) Y
–3
x
fII(x)
1) a) D
Çukur
f) Y
g) Y
d) x = 0 apsisli noktada f'(x) yerel minimuma sahiptir.
e) (4, f(4)) noktası f(x) in kırık görünümdeki dönüm noktasıdır.
f) (–5, 0) aralığında f"(x) tümsektir.
g) f(x) in çukur olduğu aralıktaki x tam sayılarının toplamı 6 dır.
2) a) D
b) Y
c) Y
d) D
e) D
f) Y
g) D
43
f'(x) in Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönünü Yorumlama
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
y
Grafikle açıklayalım;
y
b
a
c
fII(d) = 0
o d
fII(b) = 0
–1
–2
e
Şekilde türevinin grafiği verilen
y = f(x) fonksiyonunun eğrilik
x yönünü ve dönüm noktalarını
inceleyiniz.
y = fI(x)
1
2
ÇÖZÜM
x
(–∞, –1) aralığında; f'(x) azalan ise f''(x) < 0 ⇔ f(x)
fI(x)
x = b ve x = d apsisli noktalarda f''(b) = f"(d) = 0 dır.
(–∞, b) ve (d, ∞) aralığında f'(x) azalan olduğundan
f"(x) < 0 dır. O halde, f(x) tümsektir.
tümsektir. (
)
(–1, 1) aralığında; f'(x) artan ise f"(x) > 0 ⇔ f(x) çukurdur. (
)
(1, 2) aralığında; f'(x) azalan ise f"(x) < 0 ⇔ f(x) tümsek-
(b, d) aralığında f'(x) artan olduğundan f''(x) > 0 dır.
O halde, f(x) çukurdur.
tir. (
)
(2, ∞) aralığında; f'(x) artan ise f"(x) > 0 ⇔ f(x) çukurdur.
Sonuç: f' fonksiyonunun 1. türevi f" fonksiyonu olduğu için,
vv f' artan () ise f'' > 0 ⇔ f çukurdur. (
)
vv f' azalan () ise f'' < 0 ⇔ f tümsektir. (
(
)
x = –1, x = 1 ve x = 2 apsisli noktalarda;
f"(–1) = f"(1) = f"(2) = 0
dır ve bu noktalarda f(x) in eğrilik yönü değiştiği için
)
((–1, f(–1)), (1, f(1)) ve (2, f(2)) noktaları f(x) in dönüm
(büküm) noktalarıdır.
1.
2.
y
–7
–5
–3
o
2
4
6
8
–10
x
–8
–6
–4
–2
o
3
5
6
8
10
12
x
fI(x)
fI(x)
Şekilde f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.
Şekilde f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y"
yazarak cevaplayınız.
a) f"(–5) = f"(2) = f"(4) = f"(6) = 0
a) –8, –4, 0, 5, 8 ve 10 apsisli noktalar f(x) in dönüm
noktalarıdır.
b) (–∞, –5) aralığında f(x) tümsektir.
b) (–∞, –8) aralığında f" > 0 olduğundan f çukurdur.
c) (–8, –6) aralığında f" < 0 dır.
c) (–5, 2) aralığında f(x) konkavdır.
d) (–4, –2) aralığında f tümsektir.
d) (2, 4) aralığında f(x) iç bükeydir.
44
y
e) (4, 6) aralığında f(x) çukurdur.
e) (–4, f(–4)) noktası f(x) in dönüm noktası olmasına
rağmen f"(–4) yoktur.
f) (–5, 2) aralığında f eğrisi teğetlerinin üstündedir.
f) f''(x) = 0 in kökler toplamı 11 dir.
g) x = –3 apsisli noktada f(x) in yerel maksimumu vardır.
g) (10, ∞) aralığında f(x) in bütün teğetleri f(x) eğrisinin
üstündedir.
1) a) D
b) D
c) Y
d) D
e) D
f) D
g) Y
2) a) D
b) Y
c) Y
d) D
e) D
f) Y
g) D
Grafikte Ardışık Türev
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÇÖZÜM
Konu Özeti
(i) f(x) in artan - azalan olduğu aralık hakkında yorumu
14243
f grafiğinden f' ve f" nasıl yorumlanıyorsa,
f' grafiğinden f'' ve f"'
f" grafiğinden f"' ve f (ıv)
(n)
f
grafiğinden f
(n + 1)
(n + 2)
ve f
yapabiliriz.
aynı şekilde
yorumlanır.
y
Bunların tersindeki yorumlarda aynı şekilde yapılır.
Yani,
vv
f'
f"
f"'
...
f
+
 Artan
–
 Azalan
vv
∪
∩
+
 Azalan
–
f'
f
f"
–2
–
1.
y
–1
o
2
3
x
Şekilde verilen
f'(x) in grafiğine
göre f(x), f"(x) ve
f"'(x) i yorumlayınız.
Şekilde f'(x) in grafiği
verilmiştir.
Buna göre aşağıda
4
x
verilenleri Doğru "D",
I
f (x)
Yanlış "Y" yazarak
cevaplayınız.
b) f'(–6) · f"(–2) < 0
e) f"'(–3) > 0
c) f"(–3) = f"(2) = 0
f) f"'(2) · f"'(4) > 0
–
–
f(x)

azalan


artan azalan

artan
x = –5 ve x = 3 de f(x) in yerel minimumu, x = – 1 de
f(x) in yerel maksimumu vardır.
f) D
x = 1 apsisli nokta çukurda olduğu için f"'(1) > 0 dır.
2.
Şekilde f"(x) in grafiği
verilmiştir.
y
–1
o
1
x
fII(x)
Buna göre aşağıda verilenleri
Doğru "D", Yanlış (Y) yazarak
cevaplayınız.
c) x = 0 apsisli nokta f'(x) in yerel maksimumudur.
d) f IV(x) fonksiyonu R den R– ye tanımlıdır.
e) f(0) = 0 dır.
f) f"'(x) daima azalandır.
k) (–3, 2) aralığında f(x) çukurdur.
e) D
x = –2 apsisli nokta tümsekte olduğu için f"'(–2) < 0 dır.
b) x = –1 apsisli noktada f'(x) in yerel minimumu vardır.
h) (–∞, –5) aralığında f(x) tümsektir.
d) Y
–
+
a) (–∞, –1) ve (1, ∞) aralığında f'(x) azalandır.
g) (–∞, –5) ve (2, 4) aralığında f(x) azalandır.
c) D
–
x
(iii) f"'(x) in işareti hakkında yorum yapabiliriz.
d) f'(–4) · f"(1) > 0
b) Y
–
3+
–
f"(–2) = f"(1) = 0 dır.
...
a) f"(0) > 0
1) a) D
–
+
1
3 +∞
+
(1, ∞) aralığında f'(x) artan olduğundan f''(x) > 0 dır.
fI(x)
1
–2 –1 –
o
–
(–∞, –2) aralığında f'(x) artan olduğundan f"(x) > 0 dır.
+
o
–1
+
–∞ –5 –1
f'(x)
(–2, 1) aralığında f'(x) azalan olduğundan f"(x) < 0 dır.
y
–3
...
–
∪
∩
ÖRNEK
–5
f"'
–
–
x
fI(x)
(ii) f"(x) in işareti hakkında yorum yapabiliriz. (f(x) den
f'(x) e geçişin aynısı)
...
+
–5
 Artan
–5
+ + +
+
+
g) Y
h) D
k) D
2) a) D
b) D
c) Y
d) D
e) Y
f) D
45
Türevin Türevleri
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
3
Türevin türevleri yorumlanırken daha önce öğrendiğimiz 1. türev ve 2. türev geçişleri aynen uygulanır.
Bir fonksiyonun 1. türevinin o fonksiyonun
teğetinin eğimini verdiğini hatırlayınız.
vv Fonksiyon
 Artan
 Azalan
–
1444442444443
∪
ÇÖZÜM
Teğet f'(x) e çizileceği için;
f'(x) = 3x2 + 2x + 1 ⇒ f'(–1) = 2 ise (–1, 2) teğet noktası,
f''(x) = 6x + 2 ⇒ f'(–1) = –4 ise mT = –4 teğetin eğimidir.
x = –1 apsisli noktasından çizilen teğet denklemidir.
+
ÖRNEK
Fonksiyonun ekstremum noktalarının tespiti
vv Fonksiyon
f(x) = x + x + x olmak üzere f'(x) fonksiyonunun x = –1
apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.
O halde, y – 2 = –4(x + 1), f'(x) fonksiyonuna,
1. Türev
(1. Türevin Teğet Denklemi)
2
2. Türev
f(x) = x + 3x2 fonksiyonunun dönüm noktasından çizilen
teğetinin eğimini bulunuz.
ÇÖZÜM
+
(Dönüm Noktasından Çizilen Teğet)
3
f(x) = x3 + 3x2 ⇒ f'(x) = 3x2 + 6x ⇒
f''(x) = 6x + 6
∩
–
14444244443
Fonksiyonun dönüm noktalarının tespiti
Aşağdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
f"(x) = 0 ⇒ 6x + 6 = 0 ⇒ x = –1 dönüm noktasının
apsisidir.
mT = f'(–1) = 3(–1)2 + 6 · (–1) = –3, x = –1 apsisli noktasından f(x) e çizilen teğetin eğimidir.
4. f(x) = x4 – 4x3 + 2x fonksiyonu veriliyor. Buna göre f'(x)
fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?
1. f(x) = x3 + 3x2 + 4x + 5 fonksiyonu veriliyor. Buna göre
f'(x) fonksiyonunun x = 1 apsisli noktadaki teğetinin
eğimi kaçtır?
1 3 2
x –x + 3x + 1 fonksiyonuna dönüm noktasın3
dan çizilen teğetin eğimi kaçtır?
5. f (x) =
2. f(x) = x4 – x2 + x + 2 fonksiyonu veriliyor. f"(x) fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
x3 x2
- 2x + 4 fonksiyonu veriliyor. f'(x) fonk3
2
siyonuna üzerindeki hangi noktadan çizilen normalin
1
eğimi - tür?
3
3. f (x) =
46
1) 12
2) 24
3) (2, 0)
x3
- 3x + 6 fonksiyonunun dönüm noktasından
6
çizilen teğetinin ox ve oy ekseni ile oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?
6. f (x) =
4) (0, 2)
5) 2
6) 6
2. Türev ile Ekstremum
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
ÖRNEK
Konu Özeti
f(x) = x – 8x2 + 2 nin yerel ekstremumlarını işaret tablof: (0, 2π) → R, f(x) = sin x + cos x fonksiyonunun yerel
su yapmadan belirleyiniz.
ekstremum değerlerini bulunuz.
Yerel ekstremum için 2. türev testi:
f'(x0) = 0
o
f
x0
y
x
f
f'(x0) = 0
f(x0)
o
x0
x
ÇÖZÜM
ise, f in x = x0 da
f'' (x0) < 0 yerel maksimumu vardır.
123
y
123
(x = x0 civarında f türevlenebiliyorsa)
f(x0)
(Trigonometrik Fonksiyondaki Ekstremum)
4
f(x)ÇÖZÜM
= x4 – 8x2 + 2 ⇒ f'(x) = 4x3 – 16x ⇒ f''(x) = 12x2 – 16
f'(x) = f'(x)
0 ın =köklerini
bulalım,
I.(i)Adım:
0 ın köklerini
bulalım,
4x3 –= 16x
· (x=+cos
2) ⇒x x–1 sin
= 0,xx2 = 2, x3 = –2 dir.
f(x)
sin =
x0
+⇒
cos4xx(x–2)
⇒ f'(x)
ise, f in x = x0 da
(ii) f'(x)
ın kökleri
f'(x)
= 0=⇒0 sin
x – cosf''(x)
x = de
0 yerine yazalım,
(0, 2)
sin
x
f''(0)
=
–16
<
0
ise
x
=
0
da
yerel
maksimum
vardır.
f
= 1 & tan x = 1
⇒ sin x = cos x ⇒
cos x
f''(–2) =π32 > 0 ise x5π
= –2 de yerel minimum vardır. (0, 2)
& x1 =
, x2 =
4
4
f''(2) = 32 > 0 ise x = 2 de yerel minimum vardır. (0, 2)
f'' (x0) > 0 yerel minimumu vardır.
ÖRNEK
f(x) = x4 – 8x2 + 2 nin yerel ekstremumlarını işaret tablosu yapmadan eğrilik yönü ile belirleyiniz.
II. Adım: f'(x) = 0 ın köklerini f"(x) de yerine yazalım,
f''(x) = –sin x – cos x olduğuna göre,
π
π
π
(i) f'' c m = - sin - cos = - 2 < 0
4
4
4
ÇÖZÜM
f(x) = x4 – 8x2 + 2 ⇒ f'(x) = 4x3 – 16x ⇒ f''(x) = 12x2 – 16
ı. Adım: f'(x) = 0 ın köklerini bulalım,
O halde, x =
π
de f(x) in yerel maksimumuna sahip
4
c
π
π
π
değeri, f c m = sin + cos = 2
4
4
4
4x3 – 16x = 0 ⇒ 4x (x–2) · (x + 2) = 0
⇒ x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 dir.
II. Adım: f'(x) = 0 ın kökleri f''(x) de yerine yazalım,
(ii) f'' c
(0, 2)
f''(0) = –16 < 0 ise x = 0 da yerel maksimum vardır.
f''(–2) = 32 > 0 ise x = –2 de yerel minimum vardır.
f''(2) = 32 > 0 ise x = 2 de yerel minimum vardır.
f
(–2, –14)
5π
de f(x) in yerel minimuma sahip değeri,
4
5π
5π
5π
m = sin
+ cos
=- 2
4
4
4
(2, –14)
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. f(x) = x3 – 12x + 5 fonksiyonunun ekstremum noktalarındaki eğrilik yönünü belirtiniz.
2. f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 3 fonksiyonunun yerel minimum ve yerel maksimum noktaları nelerdir?
f
5π
5π
5π
m = – sin
- cos
= 2 >0
4
4
4
O halde, x =
fc
π,
2m
4
f
5π ,
- 2p
4
Ç-7
4. f(x) = x3 + ax2 + bx + c fonksiyonunun x = –1 de yerel
minimumu olduğuna göre a ve b nin aralıkları nelerdir?
5. f: [0, π] → R olmak üzere, f(x) = 2 sin2 x – x fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?
3. f(x) = x3 – ax2 + bx + 4 fonksiyonunun x = 1 de yerel
maksimumunun olması için a nın aralığı ne olmalıdır?
1) (–2, 21) de tümsek, yerel maks.
(2, 11) da çukur, yerel min.
2) (–1, 10) yerel maks. (2, –17) yerel min.
3) a > 3
4) a > 3 ve b > 3
5)
π
12
47
Ekonomik Uygulama
Konu Özeti
MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ
(Ekonomik Uygulama)
İstenilen ifade tek değişkenli fonksiyon olarak yazılıp
1. türev ile ekstremumları incelenerek en az – en çok
değeri tespit edilir. Örnekle açıklayalım.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
x ürün adeti iken,
Maliyet: M(x) = 10x
Ciro: C(x) = x(x – 20) + 250 = x2 – 20x + 250
Kâr: K(x) = x2 – 20x + 250 – 10x = x2 – 30x + 250
a) C(x) = x2 – 20x + 250 ⇒ C'(x) = 2x – 20 = 0
Bir firma, bir dükkana x tane ürünün her birini ¨ 10 den
verip, mağazanın ürünlerin her birini ¨ (x – 20) den satması koşuluyla ¨ 250 pirim ödeyeceğini söylüyor. Buna
göre dükkan bu işten,
⇒ x = 10 adet üründe en az ciro elde edilir.
a) Kaç ürün sattığında en az ciroyu elde eder?
K(15) = 152 – 30 · 15 + 250 = ¨ 25 bulunur.
b) K(x) = x2 – 30x + 250 ⇒ K'(x) = 2x – 30 = 0
⇒ x = 15 adet üründe en az kâr elde edilir.
b) En az kaç ¨ kâr elde edebilir?
1. Bir otomobil firması yılda x adet otomobil üreterek bir
otomobilden (30000 – 3x) lira kâr elde ediyor. Bir yılda
maksimum kâr elde etmesi için kaç otomobil üretmelidir?
2. 10x liraya alınan bir ürün (30x – x2) liraya satılmaktadır.
a) Satıştan en çok hasılatın elde edilmesi için ürün kaç
liraya alınmalıdır?
b) Kârın en çok olması için ürün kaç liraya alınmalıdır?
1) 5000
2) a) 150
b) 100
3. Bir atölyede ayda x tane ayakkabı yapılmaktadır. Her
x
m liraya malolmaktadır. Ayakkabıla20
10
m liraya satıldığına göre maksimum
rın tanesi c 50 +
x
kârın elde edildiği ayda kaç tane ayakkabı satılmıştır ?
ayakkabı c 60 -
Ç - 14
4. Bir sinemada bir bilet 20 liradan satıldığında 100 kişi
film izlemeye gelmektedir. Sinema biletine yapılan her
1 liralık indirimde sinemaya gelen müşteri sayısı 10
kişi artmaktadır.
Sinemanın kasasına en fazla paranın girdiği gün bir bilet kaç liradır?
3) 100
4) 15
67
En Kısa Zaman / En İyi Görüntü
MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(En Kısa Zaman)
İstenen zaman ifadesi tek değişkenli fonsiyon olarak
yazılıp 1. türev ile ekstremum ifadeleri incelenerek
en az – en çok değeri tespit edilir. Örnekle inceleyelim.
İstenen ifade trigonometrik açılımla tek bilinmeyenli
fonksiyon olarak yazılıp 1. türev ile ekstremum ifadeleri incelenerek en az – en çok değeri tespit edilir.
tan a ! tan b
tan (a ± b) =
olduğunu hatırlayı1 " tan a · tan b
nız.
yol = hız · zaman olduğunu hatırlayınız.
ÖRNEK
Nehir
C
Şirin
ÖRNEK
Ferhat AB = 240 m ve BC = 360 m
A
dir. Ferhat'ın yüzme hızı 6 m/dk
ve yürüme hızı 10 m/dk dır.
B
A noktasında bulunan bir
projeksiyon cihazı [CD] de
bulunan perdeye yansıtılıyor.
CD = 8 m, BC = 6 m
A
B
olduğuna göre projeksiyonun
en büyük açıyla perdeye yansıtılması için AB kaç m
olmalıdır?
D
Perde
C
A noktasından suya giren Ferhat
en kısa sürede Şirin'e kavuşmak
için B den kaç m uzaklıkta sudan
çıkmalıdır?
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
A
A dan suya giren Ferhat en
kısa sürede D noktasına
240
kadar yüzererek, C ve D
C
D
arasını yürüyerek Şirin'e
14243
x B
360 – x
kavuşur.
144424443
14243
Projeksiyon cihazının en büyük açı
ile yansıtılması için
t ) = α ve m (BAC
t ) = i ise
m (BAD
a
6
t ) = α - i için
θ
m (CAD
A
x
B
tan (a – θ) en büyük olmalıdır.
6
14
tan i = ve tan α =
dir.
x
x
360
2402 + x2 dir.
Yol = Hız ·Zaman ⇒ 2402 + x2 = 6 · t1 & t1 =
1442443
yüzülen için
Yol = Hız · Zaman ⇒ 360 – x = 10 · t2 ⇒ t2 =
1442443
yürünen için
2
240 + x
6
2
360 - x
10
Buna göre zamanlar toplamı;
T(x) = t1 + t2 =
T'(x) =
1.
2402 + x2 360 - x
+
6
10
-1
1
2x
= 0 & x = 180 m dir.
·
+
6 2 2402 + x2
10
A
AB = 7 km ve BC = 10 km dir.
7 km
Bir bisikletli toprak zeminde 3 km/sa ve
asfalt yolda 4 km/sa hızla ilerlemektedir.
A dan toprak zemine giren bu bisikletli
B Asfalt C
en kısa sürede C ye gitmek için B den
kaç km uzakta asfalt yola çıkmalıdır?
68
D
8
C
a–θ
Pisagor teoreminden;
Yüzülen Yol = AD =
(En İyi Görüntü)
Konu Özeti
T (x) = tan (α - i) =
14 6
8x
x
x
& T (x) =
= 2
14 6
x
+ 84
1+
·
x x
T' (x) =
8 (x2 + 84) - 8x · 2x
T' (x) = 0 &
2
(x + 84)
2
D
Perde
C
1.
A
=
672 - 8x2
x2 + 84
672 - 8x2
= 0 & x = 2 21 m dir.
(x2 + 84) 2
Toprak
zemin
1) 3
tan α - tan i
1 + tan α · tan i
B
CD = 3 m BC = 12 m dir.
A noktasında bulunan bir kişinin
perdeyi en büyük açı ile görmesi
için AB kaç m olmalıdır?
(Kişinin boyu önemsizdir)
1) 6 5
Köklerin Sayısı
GRAFİKLER
3
Verilen fonksiyondaki kök sayısının belirlenmesi için
I. Adım: ekstremum noktaları bulunur.
II. Adım: Ekstremumlardan yerel minimum ve yerel
maksimumum işaretlerine göre kök sayısı belirlenir.
Örnekle açıklayalım.
ÖRNEK
(Fonsiyonun Kök Sayısı)
ÖRNEK
Konu Özeti
f(x) = x – 12x + a fonksiyonunun üç tane kökünün
olması için a nın aralığı ne olmalıdır?
ÇÖZÜM
f(x) = x3 – 12x + a ⇒ f'(x) = 3x2 – 12
f'(x) = 0 ⇒ 3x2 – 12 = 0 ⇒ x = ± 2
x
–2
f'(x)= 3x2 – 12x
+
f(x)

(Fonksiyonun Kök Sayısı)
2

min.
x
Fonksiyonunun maksimum
değeri pozitif, minimum
değeri negatif olduğunda üç
kökü bulunur.
f(–2) = (–2)3 – 12 · (–2) + a = –8 + 24 + a
ÇÖZÜM
f(x) = –x3 + 3x2 + 4 ⇒ f'(x) = –3x2 + 6x
f'(x) = 0 ⇒ –3x2 + 6x = 0 ⇒
–3x (x – 2) = 0 ⇒ x = 0 ve x = 2
x
0
2
f'(x)= –3x2 + 6x
–
+
–
f(x)



min.
maks.
f(0) = –03 + 3 · 02 + 4
⇒ f(0) = 4
f(2) = –23 + 3 · 22 + 4
⇒ f(2) = 8
y
Fonksiyonunun x eksenini
kestiği bir noktası yani bir
tane kökü vardır.
8
4
2
O halde f(–2) = a + 16 > 0 ⇒ a > –16 dır.
f(2) = 23 – 12 · 2 + a = 8 – 24 + a
O halde f(2) = a – 16 < 0 ⇒ a < 16 dır.
Fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerine göre
grafiği belirlendiğinde x eksenini kestiği noktalar kökleridir.
o
o
–2
+

maks.
y
f(x) = –x3 + 3x2 + 4 fonksiyonunun kök sayısını tespit
ediniz.
2
–
x
f(x)
Buna göre a ∈ (–16, 16) dır.
ÖRNEK
(Fonsiyonun Tersinin Varlığı)
f(x) = x3 + ax2 + x + 7 fonksiyonunun tersinin var olmasını sağlayan a nın aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM
Fonksiyonunun tersinin olması için fonksi-
yon birebir ve örten olmalıdır.
3. dereceden bir fonksiyonun birebir ve örten olması
için bir kökü olmalı ve daima artan veya daima azalan
olmalıdır.
y
o
f(x) = x3 + ax2 + x + 7
f(x)
x
f'(x) = 3x2 + 2ax + 1
Daima artan olması için f' ≥ 0
Δ ≤ 0 ⇒ Δ = (2a)2 – 4 · 3 · 1 ≤ 0
4a2 – 12 ≤ 0 ⇒ 1 4 a2 ≤ 12 3 & a d 6– 3 , 3 @
1. f(x) = x3 – 6x2 – 15x + 3 fonksiyonunun kaç tane kökü
vardır?
86
1) 3
2. f(x) = –x3 + x2 + 2ax + 1 fonksiyonunun tersinin olması
için a nın aralağı ne olmalıdır?
1
2) c – ∞, – E
6
Teğet ve Normal Doğruların Eğimi ve Denklemi
1. f(x) = x3 + 5x + 3 fonksiyonunun x = 0 apsisli noktasındaki teğetin eğimi kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. f(x) = ax3 – 4x2 + 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki
teğetinin eğimi 8 olduğuna göre a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. f(x) = x3 – 3x2 – 4x + 1 fonksiyonuna x = –1 apsisli
noktasından çizilen teğetin denklemi y = mx + n olduğuna göre m + n toplamı kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
4. x2 + y2 + xy – y – 5 = 0 eğrisinin P(1, 2) noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) -
3
1
D) 2
2
E) 2
5. f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 fonksiyonu üzerindeki x = 2
apsisli noktadan çizilen normalin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
KONU TESTİ – 1
π
6. f(x) = ln (cos x) eğrisinin apsisi
olan noktasındaki
3
normalinin eğimi kaçtır?
A) - 3 B) -
3
C) 0
3
D)
3
3
E)
3
π
7. f(x) = sin (cos x) in x = noktasındaki normalin
2
eğimi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
8. y = 2ax2 – 4x + 5 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğeti x ekseni ile 45° lik açı yapıyorsa a
kaçtır?
A)
3
4
B) 1
C)
5
3
D) 2
4
E) 2
9. f(x) = x2 – 3x + 5 fonksiyonunun hangi noktasındaki
teğeti x ekseni ile 135° lik açı yapar?
A) (–1, 3)
B) (1, 3)
D) (–1, 4)
E) (3, 1)
C) (–1, 4)
Ç - 20
10.R → R tanımlı f ve g fonksiyonları f(x) = 3x2 + 2 ve
g(x) = x + 2 kuralı ile tanımlanıyor.
A) x + 4y – 6 = 0
B) x + 4y + 5 = 0
h(x) = (fog)(x) ile tanımlı h fonksiyonunun hangi
noktasındaki teğetinin eğimi –6 dır?
C) 4x + y + 3 = 0
D) 4x + y – 6 = 0
A) (0, 5)
B) (–3, 4)
D) (–3, 5)
E) (1, 5)
E) x + 4y – 10 = 0
C) (–3, 2)
95
f'(x) ve f''(x) Grafikleri ile Yorum
1.
KONU TESTİ - 11
4.
y
–4
4
–2
O
2
–5
x
D) f''(4) < 0
E) f'''(–2) > 0
–1
f'(x)
3
2
x
y = f'(x)
Şekilde f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) f''(0) = 0
–4
O
Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A) f''(2) = 0
y
f(x) in x = a için maksimum, x = b için minimum ve
x = c için dönüm noktası var ise a + b + c toplamı
kaçtır? (a > 0 , c < 0)
C) f''(–4) > 0
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 4
y
5.
2.
–2
–3
y
O
1
4
2
x
f'(x)
–1
–6
–7
–4
–2
O
2
4
6
Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x
8
Buna göre f(x) için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
y = f'(x)
A) x < –3 için artandır.
Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
B) x = 4 apsisli noktada yerel maksimumu vardır.
Buna göre y = f(x) in dönüm noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
C) x = 2 dönüm noktasıdır.
D) (–2, 2) için f''(x) > 0 dır.
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) x = –2 apsisli noktada yerel maksimumu vardır.
E) 2
y
6.
3.
y
y = f'(x)
3
–4
1
–2
1
x
O
f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
–4
O
1
3
x
Buna göre;
I. (–∞, –2) aralığında f'(x) > 0 dır.
Şekilde f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
II: x = –2 apsisli noktada türev olmadığı için f(x) in
yerel ekstremumu yoktur.
A) f''(0) < 0
B) f''(1) > 0
IV. (–2, ∞) aralığında f'(x) < 0 dır.
D) f''(2) > 0
E) f'''(–5) < 0
C) f'''(3) < 0
III. f'(–2) = 0 dır.
Yukarıda verilenlerin hangileri doğrudur?
A) I, II ve IV
B) I ve III
D) I ve IV
E) II, III ve IV
C) II ve IV
115
Sizin İçin Çözdüklerimiz
Ç-1
Ç-5
2
A noktası y = x + 1 parabolünün y eksenini kestiği nokta olduğu için
y = x2 + 1 de x = 0 için y = 02 + 1 = 1 bulunur. Yani A(0, 1) dir.
T noktası y = x2 + 1 parabolünün üzerinde olduğu için
f(x) = x · e–x ⇒ f'(x) = 1 · e–x – 1 · e–x · x
⇒ f'(x) = e–x (1 – x) = 0 ⇒ x = 1
x
T noktasını y = x2 + 1 de sağlatabiliriz.
f'(x)
O halde T nin ordinatı x = 2 için y = 22 + 1 = 5 dir. Yani T(2, 5) dir.
B(0, k) olsun,
d doğrusunun (teğet) eğimi parabolün türevinin x = 2 apsisli noktadaki değeridir.
y = x2 + 1 ⇒ y' = 2x ⇒ y'(2) = md = 4
k-5
md = 4 =
(T ve B noktalarından eğim) ⇒ k = –3 tür.
0-2
O halde A nın ordinatı 1, B nin ordinatı –3 ise ordinatlar toplamı
–3 + 1 = –2 bulunur.
–∞
1
+∞
+
–
Artan
Azalan
Ç-6
f(x) in (–1, 9) simetri merkezi ise f''(–1) = 0 ve f(–1) = 9 dur.
f'(x) = 3x2 + 2ax – 2b ⇒ f"(x) = 6x + 2a
⇒ f"(–1) = –6 + 2a = 0 ⇒ a = 3
f(x) = x3 + 3x2 – 2bx + 1 ⇒ f(–1) = –1 + 3 + 2b + 1 = 9 ⇒ b = 3 tür.
Buradan a + b = 6 bulunur.
Teğet
f(x)
T(
a,
ln
a)
Ç-2
Teğetin eğimi: mT = f'(a) dır.
1
1
f' (x) = & mT = f' (a) =
x
a
O ve T noktalarından geçen teğetin eğimi
ise
ln a - 0 ln a
=
mT =
a
a-0
0(0, 0)
O halde bu eğimleri eşitlersek
1 ln a
& a = e dir. T(e, 1) olur.
=
a
a
1
O halde eğimi
ve 0(0, 0) noktasından geçen doğru denkleminden
e
1
x
·(x - 0) = y - 0 & y = bulunur.
e
e
Ç-7
f(x) in x = –1 de yerel minimumu varsa f'(–1) = 0 ve f"(–1) > 0 olmalıdır.
f'(x) = 3x2 + 2ax + b ⇒ f'(–1) = 3 – 2a + b = 0
f"(x) = 6x + 2a ⇒ f"(–1) = –6 + 2a > 0 ⇒ a > 3 tür.
3 – 2a + b = 0 ⇒ a =
sa
y = f(x) = x2 – 6x + 8 parabolünün x eksenini kestiği noktalar
Ç-8
f'(x) = –x2 + 8x – 6 ⇒ f''(x) = –2x + 8 = 0 ⇒ x = 4
x
y = 0 için x2 – 6x + 8 = 0 ⇒ (x – 4) · (x – 2) = 0
y = f(x)
d2
(4, 0)
–∞
f''(x)
⇒ x = 2 ve x = 4 yani (2, 0) ve (4, 0) dır.
(2, 0)
b+3
> 3 ⇒ b > 3 bululur.
2
Bu soruya çok dikkat etmelisiniz. Soruda f'(x) in azalan olduğu aralık
soruluyor. Yani f"(x) < 0 olduğu aralığı bulmalıyız.
Ç-3
d1
b+3
eşitliğini a > 3 eşitsizliğinde yerine yazılır2
f'(x) Artan
m1 = f'(2) = 2 · 2 – 6 = –2
f'(x) Azalan
Ç-9
D
x
2x
x
A
A(1, 4)
f'(x) (4, ∞) aralığında azalandır.
y' = 3x2
mT = y'(1) = 3
Eğimi 3 olan A(1, 4) noktasından geçen
doğrunun denklemi
36 – 3x
C
A(x) = 2x (36 – 3x)
A(x) = 72x – 6x2
A'(x) = 72 – 12x = 0
B
⇒ x = 6 dır O halde
A(6) = 12 · (36 – 18) = 216 m2
bulunur.
Ç - 10
M
N
6
3(x – 1) = y – 4 ⇒ y = 3x + 1
y = 3x + 1 ile y = x3 + 3 ortak çözülürse
123 123
m2 = f'(4) = 2 · 4 – 6 = 2
Ç-4
Teğet
+∞
–
f'(x) = 2x – 6
İki doğru arasındaki açı a ise,
m1 - m2
3
-2 - 2
4
tan α =
=
= tür. cot α =
1 + m 1 · m 2 1 + 2 · (- 2) 3
4
y = x3 + 3
4
+
K
x
36 - x2
x
2
L
36 - x & A' (x) = 2 ·
36 - x2 +
(- 2x)· 2x
=0
x3 + 3 = 3x + 1 ⇒ x3 – 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 ve x = –2 dir.
A(x) = 2x ·
O halde B(–2, –5) bulunur.
& x = 3 2 dir O halde, A (3 2 ) = 6 2 · 36 - 18 = 36 cm2 bulunur.
2 · 36 - x2
131

Download Report