1.1 Hidrostatik Denge Bir teorisyenin rüyası: küresel simetrik, dönmeyen, manyetik olmayan, tek, üzerinde herhangi bir kuvvet etki etmediği için net ivmesi olmayan bir yıldız. Konveksiyonla alakalı yıldız içersinde iç hareketler olabilir, fakat bunlar ortalama olarak alınır. Bu denge durumunu ifade edecek bir bağıntı bulmak istiyoruz. İlk önce yıldızsal maddenin iç tedirginliklerinin izotropik olduğunu ve bunun da sıradan basıncı azalttığını düşünelim, ondan sonra da bu bölümde kullanacağımız aşağıdaki nicelikleri tanımlayalım: Yarıçap: r yıldız merkezinden ölçülen radyal uzaklık (cm) Toplam yıldız yarıçapı: R Kütle yoğunluğu: ρ(r) r’deki kütle yoğunluğu (g cm-3) Sıcaklık: T(r) r’deki sıcaklık (K) Basınç: P(r) r’deki basınç (dyne cm-2 = erg cm-3) Kütle: Mr r yarıçaplı kürenin kütlesi (g) Toplam yıldız kütlesi: M = Mr Yerel kütle çekimi: g(r) kütle çekimi nedeniyle yerel ivme (cm s-2) Kütle çekim sabiti G = 6.6726 x 10-8 g-1 cm3 s-2 Güneş kütlesi: Mʘ = 3.847 x 1033 erg s-1 Güneş yarıçapı: Rʘ = 6.96 x 1010 cm Yukarıdaki nicelikler cgs birimiyle ifade edilmiştir. Bunun için çok iyi bir sebep olmasa da, araştırmacıların genelde tercih ettiği birim sisteminin bu olduğu görülmekte. MKS (SI) birimleri de bunun yerine kullanabilir ( astrofizikte genelde manyetik alanla ilgili çalışanlar tarafından tercih edilir). Burada gerektiği zaman Güneş birimini kullanacağız ( ör: M/Mʘ veya R/Rʘ). İlk önce denge halindeki yıldız içersindeki kuvvetlerin dengesini araştırıyoruz. Temel fizikten, r yarıçaplı kürenin kütle çekim sabiti g (r ) GM r M r 2.74 10 4 ( r )( ) 2 cm / s 2 2 M R r ve M r dr M r dM r 4r 2 (r )dr (1.1) (1.2) dr kalınlıkta ve r yarıçaplı kabuğun kütlesidir. (1.2)’nin integrali, r içindeki kütleyi verir, r M r 4r 2 dr. (1.3) 0 (1.2) veya (1.3) kütle bağıntısı veya kütle korunumu bağıntısı olarak adlandırılır. R uzaklıktaki kabuk yüzeyinde 1 cm2’ lik bir alan elamanı alalım. 1cm2 dr hacmine pdr GM r dr r2 (1.4) kadar içeri doğru bir kütle çekim kuvveti etki eder. Bu kuvveti dengelemek için kabuğun dış tarafına etki eden basınç kuvvetinin, kabuğun iç yüzeyine etki eden basınç kuvvetinden P(r) büyük olmalıdır. O zaman dışa doğru etki eden net basınç P(r ) P(r dr ) (dP / dr )dr olur. Kütle çekim ve diferansiyel basınç kuvvetini topladığımızda dP GM r 2 dr r Lokal ivmenin r , d 2 r / dt 2 olduğu hareket denklemini elde ederiz. r (1.5) Hipoteze göre, cisme etki eden net kuvvet sıfırdır, r 0 ’ı denkleme yazdığımızda hidrostatik denge denklemini elde ederiz: GM dP 2 r g . dr r (1.6) g , 0 olduğunda dP / dr 0 olur ve basınç dışa doğru her yerde azalmalıdır. Yıldız içinde bu şart sağlanmadığında hidrostatik denge bozulur ve lokal ivmelenme meydana gelir. Hidrostatik denge denklemini başka bir yöntemle daha bulacağız ve başka yeni konulara giriş yapacağız. 1.2 Enerji Prensibi Az önce bahsettiklerimiz mekanik dengeye lokal bir bakıştı, çünkü sadece r deki yerel nicelikleri kattık (gradienti içersek bile). Şimdi yapacağımız ise dengenin sağlandığı tüm yıldız yapısına bir göz atmak olacaktır. Yıldız için denge durumunun sadece sonsuz sayıda olası konfigürasyondan bir tanesidir ve buradaki amacımız bu durum için doğru konfigürasyonu bulmak (yanlış konfigürasyonlar dengede olmayacak). Her bir konfigürasyon integral fonksiyonu ile belirtilecek, öyle ki dengedeki yıldız bir seri olası fonksiyon için durağan bir nokta gibi ele alınacak. Bu durum klasik fizik ve varyasyonlar kalkülüsü için problem teşkil edebilir (burada matematiği kolaylaştıracağız). Buradaki bahsi geçen fonksiyon, yıldızın enerji fonksiyonudur ve bunun ne olduğuna bir bakalım. Kendi kendine kütle çekimi uygulayan cisim için toplam kütle çekim potansiyeli, Ω, yıldızın tüm kütle elemanlarının sonsuzluğa dağılması için gereken negatif toplam enerji olarak tanımlanır. Sıfır potansiyeli bu dağılma gerçekleştirildikten sonraki bu son durum için alınır. Diğer bir değişle, Ω dış uzaydan kütle toplayarak yıldızı olağan haliyle bir arada tutmak için gereken enerjidir. Bundan dolayı Ω, sisteme veya sistem tarafından yapılan (negatif) işi temsil eder ve yıldızın toplam enerjisini belirlemek istediğimizde göz önüne alınmalıdır. Küresel yıldızımızdan kabuklar soyarak, yıldızın dağılmış haline ulaşabiliriz. Bunu yaparak M r dM r iç kütlesine ulaştığımızı ve dM r kütleli kabuğu uzaklaştıracağımızı düşünelim. Bu kabuğu dışarıya doğru hareket ettirmek için r yarıçapından r dr yarıçapına kadar (GM r / r 2 )dM r dr kadar iş gerektirir. r ’den sonsuzluğa gitmek için Ω’ya aşağıdaki gibi katkı sağlar: d r GM r GM r dM r dr dM r . 2 r r Yıldızın tüm kütlesini kaybetmesi için bunu tüm dM r için yapmalıdır veya: M GM r dM r . r 0 (1.7) Bundan dolayı potansiyel enerji GM 2 / R birimindedir ve bunu genelde aşağıdaki şekliyle kullanacağız: q GM 2 . R (1.8) Sabit yoğunluktaki küre için, q’nun 3/5 olduğunu göstermek kolaydır. (Elektrostatikten hatırlayacağımız üzere sabit yükteki bir küreyi sonsuzluğa dağıtmak için gereken enerji miktarı -3e2/5R’dir).Tüm dengedeki yıldızlar için dışa doğru yoğunluk azalacağından, 3/5 değeri, pratik kullanım için, alt limittir q 3 / 5. Güneş için GM 2 / R 3.8 10 48 erg. Bunu şu anki güneş parlaklığına Lʘ böldüğümüzde, karakteristik zamanı (Kelvin-Helmholtz zaman ölçeği) yaklaşık 3x107 olarak buluruz. Bu zaman ölçeğine ileride değineceğiz. Toplam kütle hareketini veya türbülans fenomenini göz ardı ettiğimizde, o zaman yıldızın toplam enerjisi Ω artı mikroskopik süreçlerden kaynaklanan iç enerjidir. E gram başına erg cinsinden, yerel öz iç enerji olsun. Birim hacmin enerjisini tanımlamak istediğimizde ρ ile çarparız (Bu nedenle E’nin birimi erg cm-3 olabilir). Toplam enerji W, Ω’nun ve E’nin kütle integralinin toplamıdır. W EdM r U (1.9) M U EdM r (1.10) M Yıldızın denge hali, W ye göre durağan bir noktaya denk geliyor. Bu demek oluyor ki, yıldız için hidrostatik dengedeyken W, tüm olası konfigürasyonlar için extramumdur (minimum veya maksimum). Bu fikri test etmek için, yıldızı orijinal halinden adiabatik olarak rastgele ve çok az miktarda uzaklaştıracağız. Tedirginlik yeterli derecede hızlı yapıldığında, kütle elemanları arasında ısı alışverişi olmayacağı için adiabatik kısım sağlanacaktır. Daha sonra göstereceğimiz üzere normal yıldızlardaki enerji dağılımı, mekanik cevap zamanından daha uzun zaman almakta. Diğer bir taraftan, kütle hareketinden kaynaklanan kinetik enerjiyi göz ardı edebilmemiz için tedirginliğin yeterince yavaş olması gerekir. Eğer δ yerel veya global tedirginlik operatörünü temsil ederse, o zaman yıldızın hidrostatik denge durumu (δW)ad = 0 Ad: adiabatik kısaltması (sistem ile çevre arasında enerji akışı yok). Bundan dolayı eğer tesadüfi ve küçük değişikler W de değişim yaratmaz, o zaman yıldızın başlangıç durumu hidrostik durumu dengede demektir. Bunu göstermek için, U ve Ω nin, ρ, T vs nin adiabatik olarak değişiminden nasıl etkilendiklerine bakmamız gerekir. Bundan dolayı parçalara bakmamız gerekir (δW)ad = (δU)ad + (δΩ)ad δ tedirginliği U’ nun δU kadar değişmesine neden olur. UU+ δU = U EdM r U EdM r M M Son adım, öz iç enerjinin belirli bir kütle elemanını dMr ifade etmesini seçmemizden kaynaklanır. (Bu, bölüm 8 de anlatılan Lagranjian tedirginlik tanımıdır). Şimdi δE yi ele alalım. Her bir kütle elemanını dMr olarak ele alıyoruz ve r, ρ ve T değiştiğinde nasıl etkilendiğini görmek istiyoruz (E’nin de) Çok küçük ve geri dönüşümü olan bir değişimde, termodinamiğin birinci ve ikinci kanununa göre dQ = dE + PdVp = TdS (1.11) Burada dQ sisteme eklenen ısıdır, dE iç öz ısının artışı ve PdVp hacmin dVp kadar değişimi sonucu sistem tarafından yapılan iş.. Bu hacim özgül hacimdir: Vp = 1/ρ (1.12) ve verilen gram materyalle ilintilidir. Birimi cm3 g-1. ( V sembolü birimi cm3 normal hacim). Entropi S ve Q kütleye bağlı niceliklerdir. Türevleri δs ile değiştirdiğimizde, adiabatik süreç için gereklilik olan δS=0’dan (δE)ad = -P δVp. Öyleyse (U ) ad PV p dM r M δVp nedir? Öz hacmin tanımından 1.12 ve kütle denkleminden Vp 1 4r 2 dr d (4r 3 / 3) dM r dM r (1.13) Problemi basitleştirmek için, tüm tedirginlikleri küresel simetri varmış gibi kısıtlıyoruz. Eğer kütle paketi hareket ediyorsa, sadece yarıçap doğrultusunda hareket ediyordur r+δr. Vp deki dalgalanma r deki dalgalanmaya denktir veya V p V p V p d [4 (r r ) 3 / 3] d (4r 2r ) Vp dM r dM r Birinci derecedeki δr yi δr/r <<1 farzettiğmizde denktir. (Daha sonra bu tür şeylere lineerizasyon diyeceğiz). Toplam enerjideki değişim (1.14) (U ) ad P ;M d (4r 2r ) dM r . dM r (1.15) Şimdi iki sınır koşulu tanımlıyoruz. Birincisi gayet açık olarak, küresel simetrik yıldız merkezinin hareket etmesine izin vermiyoruz. Bunu gerektiren miktar δr(Mr = 0) = 0. İkincisinin ismi “Basıncın sıfır sınır koşulu” olup, yüzeydeki basıncın sıfır olmasını gerektirir. Bundan dolayı Ps = P(Mr = M) = 0. Bu mantıklı bir sonuçtur, çünkü idealize ettiğimiz yıldız için, yüzeyde kütlenin sona erdiği yerde ve dışarıdan basınç uygulanmadığı durumlar için geçerlidir. (1.15)’in parçalı integralini aldığımızda ve sabit terime de sınır koşullarını uyguladığımızda (U ) ad dP dM M 4r 2rdM r buluruz. r () ad için gerekli analizler sonucu GM r GM dM r 2 r rdM r r r M M r Her şeyi birleştirdiğimizde (W ) ad [ M GM dP 4r 2 2 r ]rdM r . bulunur. dM r r Buradaki amaç bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimizde ne olacağını görmektir. Hidrostatik denge elde edilir mi? Eğer r rastgele seçildiyse (simetriden dolayı kısıtlama var), (W ) ad ’in sıfır olması için tek yol ifadedeki her bir terim integrallerinin sıfır olmalarıdır. Öyleyse GM r dP dM r 4r 4 (1.16) Bulunur. (1.16) denkleminde (1.2) kütle denklemini kullandığımızda diferansiyeli dMr’dan dr’ye dönüştürürüz. (1.16) versiyonu Lagrangian versiyonudur (bağımsız değişken dMr) ve genelde yıldızların tek boyutlu hidrodinamiksel çalışmalarında kullanılır. (1.16) W’deki ekstramum için gereklidir fakat bize doğrudan ne yapısını ne de birden fazla ekstramumun varlığını gösterir. 1.3 Virial Teoremi ve Uygulamaları Şimdi virial teoremini türeterek, W ve Ω gibi yıldız nicelikleri arasınaki bazı ilginç ve kullanışlı bağıntılar elde edeceğiz. Bu bir klasik mekanik alıştırması olacak, fakat virial teoreminin faydası, sıcaklık ve yoğunlukla ilgili bize basit tahminler yaptırmasıdır. Buna ek olarak bu teorem bazı zaman ölçekleri ile de ilgili bazı tahminlerde uygulanır. Bunun üzerine birçok metin olsa da biz Clayton’u (1968, Bölüm 2) takip edeceğiz, özel referansımız Collins (1978). p i ri skaler çarpımını ele alalım, pi, ri uzaklıkta, mi kütleli serbest parçacığın vektör i momentumudur ve toplam işareti ile de yıldızı oluşturan tüm parçacıklar üzerinden toplam alınmıştır. Mekanizma göreli olmadığında, hatırlayın: d d 1 d d 1 d 2I 2 pi ri dt i mi ri ri 2 dt i dt (mi ri ) 2 dt 2 dt i Burada I eylemsizlik momenti, I mi ri 2 . Diğer taraftan orijinal toplamın türevi: i dp dr d pi ri i ri pi i . dt i dt dt i i Son terim m v 2 i i ’dir ve yıldızdaki tüm serbest parçacıkların toplam kinetik enerjilerinin K, i iki katına eşittir. Ayrıca Newton kanununa göre dpi Fi dt Fi , i parçacığına etki eden kuvvet, bu durumda kütle çekim kuvvetidir. Bunları birleştirdiğimizde: 1 d 2I 2 K Fi ri . 2 dt 2 i (1.17) Son terim Clausius virialidir, fakat bunu kullanabilmemiz için Fi.ri terimini ayrıntılarıyla belirtilmemiz gerekir. (1.17) yıldızdaki parçacıkların karşılıklı kütle çekimsel etkileşimini gösteren bir terimdir.(Şu an manyetik alan gibi etkileri göz ardı ediyoruz). Fij, j parçacığın i parçacığına uyguladığı kütle çekim kuvveti olsun. Bu tür kuvvetler eşit ve zıt yönlü olduğu için, Fij = -Fji’dir. F r (F i i i ij ri F ji r j ) i, j i j i<j koşulunun sağlandığı tüm i ve j’ler üzerinden toplam alınır. Temel fizikten, Newton kütle çekim kuvveti: Fij Gmi m j rij3 (ri r j ) rij ri r j parçacıklar arasındaki uzaklıktır. O zaman virial teoremine kütle çekimsel katkısı: F ij (ri r j ) Gm m i rij j Virial Son terim (eksi işaretli) yıldızı uzaya dağıtmak için daha önce tanımladığımız yapılması gereken negatif iştir, Ω. O zaman Virial = Ω . (1.17)’ye eklediğimizde 1 d 2I 2K 2 dt 2 (1.18) “Virial teoremini” elde etmiş oluyoruz. Bu ifade, yıldızın tüm niceliklerinin toplamından elde edilmiştir. Yıldızın sadece belirli bir bölümünü seçmiş olsaydık, örneğin ryüzey R yarıçapında ve Vyüzey hacminde bir küre tanımlasaydık, o zaman I,K ve Ω değerleri sadece bu bölüm için geçerli olacaktı. Eğer ryüzey r R yarıçapında bir küresel kabuk tanımlasaydık, bu defa (1.18)’in sağ tarafına -3PyüzeyVyüzey terimi eklenecekti, Pyüzey, ryüzey yarıçapında yüzeydeki basınçtır. Eğer ryüzey R ve Pyüzey 0 , o zaman (1.18) değişmeden kalır çünkü tüm yıldızı kapsamış oluruz ve burada R üzerinde dışarıdan bir basınç etki etmediğini varsayıyoruz. Şimdi K’nın neyi temsil ettiğini araştıralım. Örneğin U’ya denk mi veya farklıysa farkı nedir? 2 K mi vi2 pi vi i (1.19) i p ve v’nin skaler çarpımı, momentum transfer oranını belirler, gazların kinetik teorisinden, bu oran basınçla ilgilidir, izotropik gazların sürekli limitinde, basınç P 1 n( p) p vd 3 p 3P (1.20) olarak verilir. Burada n(p), p basıncına sahip taneciklerin yoğunluk sayısıdır ve integrasyon tüm moment üzerinedir. n(p) birimi sayı cm-3 p-3. (1.19)’daki toplam tüm parçacıkları içerdiğine göre, K’nın ifadesini bulmak için (1.20)’yi toplam hacim V (cm3) üzerinden integralini almak yeterlidir: 2 K 3 PdV . (1.21) V 4 dM r d ( r 3 ) dV olduğu için 3 P 2 K 3 dM r buluruz M Virial teoremi (1.22) 1 d 2I 3P dM r halini alır. 2 2 dt M (1.23) Bu ifadeyi yıldızlarda uygulayarak, hal denklemi için olası seçenekler arayacağız. 1.3.1 Uygulama: Global Enerjetikler Basınçla iç enerji arasında aşağıdaki basit bağıntıyı ele alalım. P ( 1) E (1.24) sabit, E erg g-1 cinsinden. Bu bağıntının ismi “ -hal denklemi kanunu”. Örneğin tek atomlu ideal gaz için c p / cv 5 / 3 , c p ve c v sırasıyla sabit basınçta ve hacimde öz 2 E ’dir. Radyasyon veya tamamıyla göreli Fermi gazı için 3 γ=4/3’tür. 2K 3( 1) EdM r , (1.22) ve (1.24)’ü birleştirdiğimizde, o zaman ısılardır. Bu durumda P 3 ( 1)U bulunur. Bu durumda γ = 5/3 olduğunda, K = U olur, yani sadece belirli 2 koşullarda toplam kinetik enerji toplam iç enerjiye eşittir. γ’nın 5/3 olması gazın ideal ve monoatomik olmasını gerektirmiyor. K Virial teoremi şimdi 1 d 2I 3( 1)U 2 dt 2 (1.25) şeklini alır. (1.9)’da olduğu gibi W=U+Ω dersek, o zaman 1 d 2I 3( 1)W (3 4) 2 dt 2 (1.26) Hidrostatik denge için d2I/dt2 sıfır olmalıdır, öyleyse W 3 4 3( 1) (1.27) Bu bağıntı hidrostatik yıldızların W ve Ω arasındaki ilişkiyi, -hal denklemi kanununu kullanarak gösterir. Dinamik olarak kararlı olan yıldızda W<0 olmalıdır, aksi halde, prensipte yıldızın dağılması için yeterli enerjiye sahip olacak demektir. (1.27) denklemi hidrostatik dengedeki yıldızın γ’sının 4/3’ü geçmesi gerekir. Fakat daha sonra göreceğimiz üzere bu şart bile her zaman güvenirliği garantilemiyor. Yıldız potansiyel patlayıcı yakıta sahip olabilir, bu da W’nin zamanla sıfırdan büyük olmasına neden olabilir. Buna ek olarak toplam enerjinin sürekli sabit olmasını bekleyemeyiz. Sonuçta yıldızlar her zaman parlıyor ve enerjilerinin bir kısmını kaybediyor. Bundan sonra Enerji kaynağının kütle çekimsel büzülme olduğu durumlardaki, ışıma aracılığıyla enerji kayıplarını araştıracağız. 1.3.2 Uygulama: Kelvin-Helmholtz Zaman Ölçeği Bazı tuhaf şartlar dışında, yıldızlar enerjilerini üç kaynaktan elde ederler: iç enerji, termonükleer yakıt ve kütle çekimsel büzülme. Bir veya birden fazla kaynak aynı anda kullanılabilir. Burada son kaynağı kısaca araştıracağız. Bir yıldızın, küresel simetrisini ve hidrostatik dengesini koruyarak, kademeli olarak büzüldüğünü düşünelim. (büzülme ivmelenme olmadan gerçekleşmeyeceği için, hidrostatik denge yıldızda genel olarak nerdeyse korunur ). Yıldız büzüldükçe Ω ve büyük olasılıkla W’de değişir. Bu değişimleri ∆Ω ve ∆W olarak göstereceğiz. Eğer büzülme sırasında γ sabit kalırsa (1.27)’ye göre: W 3 4 3( 1) (1.28) Yıldızın gelişmesini tam olarak takip edemediğimiz için, Ω ve W’nin büzülmeyle nasıl değiştiğini tahmin etmek için bazı birimsel argümanlar kullanacağız. R yıldızın toplam yarıçapı, ∆R’de büzülme sonucu değişimi olsun. γ>4/3’ten büyük farz ediyoruz. (1.8)’den, GM 2 / R , sabit q için aynı şekilde (GM 2 / R 2 )R . Büzülme için ∆R<0 olacağı için ∆Ω da negatif olacaktır ve yıldız potansiyel kuyusu içersinde içe doğru gömülecektir. Enerjinin bir şekilde serbest kalacağı anlamına geliyor bu. Virialin sonucu (1.28) ∆W<0 ve sistem bir bütün olarak enerji kaybediyor. Buradaki enerji stoku tam olarak nedir? Uygun olan bir kısmı iç enerjiye gider. Bu (1.25)’ten görülebilir (d2I/dt2 dengeyi sağlamak için sıfıra eşitlendiğinde): U 1 3( 1) (1.29) Ve büzülme için U 0 sonucunu verir. kadar açığa çıkan enerjiden ∆U kadarı yıldızı ısıtmak için kullanılır, geri kalanı sistem tarafından kaybedilir. Tartışmamızın bu aşamasında, bu enerjinin yıldızın dış yüzeyinden ışıma olarak salındığını farz edeceğiz, yani güç parlaklık olarak yayılır. Eğer γ=5/3 ise (ideal monoatomik gazda olduğu gibi), ∆U=-∆W =-∆Ω/2’dir, yani enerjinin yarısı iç enerjiye gider, diğer yarısı da parlaklık olarak yayılır, enerji bu ikisi arasında eşit olarak paylaşılır. Eğer sıcaklıktaki artış U’daki artışa neden oluyorsa, yıldızın toplam öz ısısı negatif olur, bu durumda yıldızın toplam enerjisini kaybetmesi sıcaklığın artması manasına gelir. Bu fenomen, normal yıldızlar için önemli bir kendi kendini düzenleme mekanizmasıdır. Son olarak, eğer γ=4/3 ise ∆W=0’dır ve tüm enerji U’yu arttırmak için kullanılır ve yıldız ışıma yapmaz. Yukarıdaki analiz ve hipotezlerimizi biraz genişleterek büzülmenin tek başına, yıldız ışımalarından sorumlu olduğunu farz edelim. İdeal gazdan oluşan yıldız için γ=5/3, ∆W=∆Ω/2=(q/2)(GM2/R2)∆R. –dW/dt’yi L parlaklığına eşitlediğimizde: L dW q GM 2 dR / dt ( ). dt 2 R R (1.30) L sabit tutulduğunda t KH q GM 2 2 LR (1.31) “KH” bu bağıntıyı ileri atanların isimlerinin kısaltmasıdır: Baron W.T. Kelvin ve H.L.F. Helmholtz. q için 3/2 değerini seçtiğimizde (güneş için), t KH 2 10 7 ( M 2 L 1 R 1 ) ( ) ( ) yıl bulunur. M L R (1.32) Fosil kanıtlardan 2x107 senedeki yarıçap değişiminin doğru olmadığını biliyoruz: dünyadaki yaşam milyonlarca yıl önce olduğu gibi aynı. Güneşteki kritik değişimler dünyadaki yaşamı etkilerdi, böyle bir etki için herhangi bir işaret yok. Buna rağmen, birçok yıldızın evrimlerinin belirli bir süresinde bu kütlesel çekime bağlı olduklarını bulacağız, bununla ilgili zaman ölçeğinin de diğer ölçeklerle karşılaştırıldığında çok kısa olduğunu görürüz. 1.3.3 Uygulama: Dinamik Zaman Ölçeği W / 2 GM 2 / R olan, hidrostatik dengede ve tamamıyla ideal gazdan oluşan bir yıldız düşünelim. Aniden iç süreçler sonucu 4 / 3 olsun, bu durumda W belirli bir şekilde değişmez, o zaman (1.26)’dan d 2 I / dt 2 GM 2 / R olur. Birimsel argümanlara göre 2 MR 2 / t din olarak tanımlıyoruz. I MR 2 , böylelikle tdin zaman ölçeğini d 2 I / dt 2 I / t din 2 R 3 / GM bulunur veya: d 2 I / dt 2 için ifadelerden her ikisini birbirleriyle eşitlediğimizde t din t din 1 [G ]1 / 2 (1.33) Burada M / R 3 ortalama yoğunluktur. O zaman t din yıldız yapısındaki dinamik ayarlamaları yaparken, yarıçapındaki değişimlerin oluşması için geçen süredir. (Bu örnekte d 2 I / dt 2 negatiftir dolayısıyla yıldız içine çöker). Güneş için t din bir saat kadardır. (1.33) ifadesi “ortalama periyot yoğunluk bağıntısıdır”, değişen yıldızları incelediğimizde tekrar önümüze çıkacaktır. 1.3.4 Uygulama: Yıldız Sıcaklıklarının Tahmini Monoatomik ideal gazdan oluşan, sabit yoğunlukta ve sıcaklıkta bir yıldız düşünelim. İç enerji yoğunluğu E 3 3 N kT erg cm-3 nkT A 2 2 (1.34) Burada n serbest parçacıkların yoğunluk sayısı (sayı cm-3 biriminde); k ve NA, sırasıyla Boltzman ve Avogadro sabitleri ve μ yıldız karışımının iyon veya atom başına ortalama molekül ağırlığıdır (genelde amu biriminde). n N A . Elementlerden oluşan tipik bir yıldız için bir birimdir. μ’ya bağlı ideal gaz basıncı P nkT N A kT (1.35) 3 MN A kT / 2 buluruz. Diğer taraftan virialden (1.25) γ=5/3 gaz için U=-Ω/2 ve sabit yoğunluktaki küre için 3 GM 2 / R . Her iki U’yu eşitleyip, ρ,M ve μ cinsinden T’yi çözdüğümüzde 5 E’yi yıldız hacmi ile çarptığımızda U elde ederiz ve ρV = M olduğundan U M 2 / 3 1/ 3 (1.36) ) K M buluruz. Bu ifadenin nümerik sonuçlarını incelemeden önce, bu ifadenin bileşenlerini başka bir perspektiften ele alalım. (1.16) Lagranj ifadesi bu açıdan kullanışlıdır, P’nin GM2/R4’e orantılı olduğunu ifade eder. Fakat aynı zamanda P, ideal gaz denkleminde P=nkT, yoğunluk elimine edildiğinde MT/R3μ’e bağlı olarak değişmektedir. P’nin her iki şeklini eşitlediğimizde (1.36)’yı buluruz. Buradaki önemli nokta, örneğin R küçük olursa, ρ, 1/R3 oranında artar, bununla beraber ideal gaz basıncı artar, T sabit kalır. P’nin bu R’ye bağılılığı fazla güçlü değil, çünkü sıcaklıktan bağımsız hidrostatik denge için P, 1/R4 arttıkça artıyor. Bundan dolayı ideal gaz hal denklemi ve hidrostatik denge, 1 / R 1 / 3 arttıkça T’nin artmasını gerektirir. T 4.09 10 6 ( Şekil 1.1 (1.36)’nın logT-logρ grafiğini gösteriyor, μ=1 için M, 0,3 ile 100Mʘ arası. Tipik bir yıldız olarak günümüz güneşini düşünelim, ortalama yoğunluğu 1.4 gcm 3 , merkez yoğunluğu yaklaşık 80 gcm 3 . Ortalama değer (1.36)’daki değerlerle tanımlandığında, güneşin ortalama sıcaklığı birkaç milyon derece olur. Bir yıldızın ortalama sıcaklığından bahsetmek her ne kadar da doğru olmasa, günümüz güneşin merkez sıcaklığı, bulduğumuz değere çok yakın olan Tmerkez = 15 x 106 K’dir. Daha sonra göreceğimiz üzere, hidrojenik nükleer füzyonu başlatmak için 106 K’den büyük sıcaklık gereklidir. Yıldızın nükleer füzyonla enerji üretmesinin sebebi, hidrostatik dengenin yüksek sıcaklıklara ihtiyaç duymasından kaynaklanır. Şekil 1.1 üzerinde logρ-logT düzlemini parçalara ayıran değişik çizgiler bulunmaktadır, bunlar ideal gaz hal denkleminden farklı gaz yasalarının geçerli olduğu durumlardır. “Dejenere” sınırları, Fermi-Dirac dejenere elektronların önemli rol oynadığı bölgeleri tanımlar. 25 Mʘ çizgisi üzerindeki çizgilerde, radyasyon basıncı önem kazanır (γ=4/3 ve 1 P aT 4 ). 10 6 g cm-3 ve T me c 2 / k 5 10 9 K’den başlayan bölgeler göreli etkinin 3 başladığı bölgelerdir (mec2 elektronun durgun kütle enerjisidir). Tüm bu özellikler, şu ana kadar çizdiğimiz bu basit resmi, modifiye eder. Bunları ileriki bölümlerde inceleyeceğiz. Şekil 1.1 Denklem (1.36)’dan değişik kütleli yıldızlar için sıcaklık-yoğunluk ideal gaz virial sonucu (güneş birimimde). Kesikli çizgi üzerinde radyasyon basıncı dominanttır ve kesikli çizgi altında da dejenere elektron durumu göz önüne alınmalıdır. Relativistik etki altındaki bölgeler gösterilmiştir. Güneşin konumu ʘ olarak gösterilmiştir 1.3.5 Uygulama: Bir Başka Dinamik Zaman Ölçeği Daha önceden eylemsizlik momentinde oynamalar yaparak, hidrostatik dengenin işlemez olduğu durumlardaki dinamik zaman ölçeğini bulmuştuk. Küçük genlikli adiabatik ses dalgalarının yıldız yapısında ufak tedirginlikler yarattığını düşünelim ve böyle bir adiabatik dalganın yıldız merkezinden yıldız yüzeyine ve tekrardan gerisin geriye ne kadar sürede gideceğini hesaplayalım. Yıldız ses dalgası hızı vs (şimdilik sabit bir değer olarak alacağız) ise, bir gidiş geliş periyodu Π ise, o zaman 2R . vs (1.37) Temel fizikten, yerel adiabatik ses dalgasının karesi: v s2 ( dP P ) ad 1 d (1.38) olarak verilmiştir. Burada 1 bizim birinci adiabatik katsayımızdır: 1 ( d ln P dP ) ad ( ) ad . d ln P d (1.39) Daha sonraları 1 ’in adiabatik şartlar altında yoğunluğun değişmesiyle basıncın nasıl değiştiğinin bir ölçüsü olduğunu bulacağız. İdeal tek atomlu gaz (1.38) denkleminin sonucu v s T bulunur. Zayıf ses dalgası yıldız içinden geçerken, hidrostatik denge korunmaya yakınsa, virial teoreminin (1.23) versiyonu v s2 3v s2 3 dM r 3 dM r M şeklini alır. Burada denklemin sağ tarafındaki ses hızı 1 M M 1 P ve 1 bu değerlerin ortalamalarıdır. GM 2 / R olduğundan, periyot için ( R 3 / GM ) 1 / 2 tahminini buluyoruz. Birim değerindeki sabitler ( 1 gibi) bire eşitlenmiştir. Kütle ve yarıçapları, yoğunluk olarak yazdığımızda: 1 [G ] 1/ 2 .04 gün [ / ]1 / 2 (1.40) buluruz. =1.41 g cm-3. 0.04 faktörü bu gibi değerlerin denkleme konmasıyla elde edilir. (1.40) ifadesi tdin için (1.33) ifadesiyle aynıdır, bunların her ikisi tüm yıldızı ilgilendiren mekanik fenomeni açıklar. Ses dalgalarının nasıl davrandığı ile ilgili detaylı analizler sonucu (1.40)’ın paydasına ek olarak (3Γ1-4)1/2 terimi gelir. 1.4 Sabit Yoğunluk Modeli Şimdi, yoğunluğun her yerde sabit olduğu bir yıldız modeli oluşturacağız. Gerçek hayatta bunu yapamayız, çünkü yoğunluk çeşitli faktörler sonucu belirlenir, fakat bu modelin bizim için bir yararı var. 1.3.4 bölümündeki sabit yoğunluklu model uydurmadır. Orada yıldızın sabit sıcaklıkta, hidrostatik dengede olduğunu ve ideal gaz kanununun basınçtan sorumlu olduğunu iddia ettik. Bu iddiaların biraz çelişkili olduğunu biraz düşününce anlayabiliriz. Bunlar hem basıncın sabit olmasını, hem de yıldızın hidrostatik dengede olmasını gerektirir. Şimdi bazı düzeltmeler yapacağız. 4 Eğer ρ = ρmerkez = sabit alırsak (1.2) kütle denklemi M r r 3 merkez olur. Bu ifade r = R ve 3 Mr = M olduğu yıldız yüzeyine kadar geçerlidir. Basit cebir sonucu r3 M buluruz. Bu ifadeyi hidrostatik dengenin Lagranj formunda (1.16) kullanarak R3 r’den kurtuluruz. Basınç gradiyenti Mr dP GM M r 1 / 3 ( ) olur. dM r 4R 4 M Basınç için R’de sıfır sınır koşulunu uyguladığımızda P Pmerkez [1 ( M r 2/3 r ) ] Pmerkez [1 ( ) 2 ] M R elde edilir. Pmerkez Mr = 0 olduğu merkezdeki basınçtır. (1.41) Pmerkez 3 GM 2 M 2 R 4 1.34 1015 ( ) ( ) dyne cm-2 4 8 R M R (1.42) ρ’nun her zaman dışarıya doğru azaldığını varsaydığımızda, Pmerkez’in nümerik değeri, hidrostatik dengedeki merkezi basıncın alt limitini gösterir. Bu varsayım bazı olağandışı durumlar hariç doğrudur. Pmerkez’in alt limit olması mantıklı görünüyor çünkü, merkeze doğru kütle konsantrasyonunun artması, yüksek kütle çekim alanı, bunu takiben de dengeyi korumak için daha yüksek basınç gerektirir. 1 d 2 I / dt 2 0 ve GM 2 / R iken yukarıdaki ifadenin basınç ve kütle dağılımının virial 3 teoremini (1.23) sağladığını doğrulamayı size bırakıyoruz. Sıcaklık dağılımını bulmak için hal denklemini tayin etmek ve tekrar kullanışlı bir örnek olarak ideal monoatomik gaz seçmemiz gerekir P = nkT. Fakat amacımıza ulaşmadan önce n ve μ’yü nasıl hesaplayacağımızı bulmamız gerekecek. 1.4.1 Atom Ağırlıklarının Hesaplanması Gazın nötr atomlar, iyonlar (farklı iyonlaşma derecelerinde) ve elektronlardan oluşan bir karışım olduğunu düşünelim, her şeyden önce gaz elektrik olarak nötr olsun. Bunlar n’yi oluşturan serbest parçacıklardır. Önce iyon ve nötr atomları nükleer izotropik çeşit olarak toplayalım, bunların ikisini şimdilik iyon olarak adlandıralım ve indeks i ile belirtelim. Örneğin 4 He ’un tüm iyonlarına bir indeks atayın. İndeksi i olan her çekirdeğin, sayısal bir değeri olan çekirdek yükü Zi ve amu (atomik kütle birimi) biriminde kütle numarası bulunur. 4 He için Zi = 2 ve Ai = 4. ( 4 He ’un atomik kütlesi tam olarak 4 değil, fakat buna yakın.) Karışımdaki i çeşitlerin kütle kesri Xi olsun, öyle ki X i 1 . Örneğin maddenin %70’i, i i türünden parçacıklar içeriyorsa Xi = 0.7 olur. i türlerinin iyon yoğunluk sayısı, sayı cm-3 n1,i (kütle / birim _ hacim ) X i N A 1 _ iyonun _ kütlesi Ai (1.43) Burada Avogadro numarası NA = 6.022x1023 mole-1. “amu” ‘yu tanımlayacak olursak, karbon izotopunun atomu 12C tam olarak 12 amu kütlesi var. NA ise 12 g 12C ’deki 12C atomunun sayısıdır ve “mol” 12 g 12C atomunun içerdiği kadar sistemin içerdiği atom sayısıdır. Tüm iyonların toplamı n I n1,i N A i i Xi Ai . (1.44) Şimdi μI’yı “iyonların toplam moleküler ağırlığı” olarak ranımlayalım: nI veya N A I (1.45) X I i i Ai 1 (1.46) İyonların ortalama moleküler ağırlığı, karışımdaki bir çeşit “ortalama” iyonun ortalama kütlesidir, bu bilgiyi iyonların sayı yoğunluğunu bulmak için kullanırız. Elektronlarla uğraşmak biraz daha zordur. Ortamda kaç tane serbest elektronun bulunduğunu bulmak için, tüm çeşitlerin iyonizasyon durumunu bilmemiz gerekir. Bu bilgiyi elde etmek zordur, nasıl elde edildiğini daha sonra tartışacağız. Şimdilik iyi bir ruhun bizim için bu işi yaptığını ve bize istediğimiz bilgiyi içeren yi niceliğini sağladığını farz edelim. Bu yi’ler, i çekirdek türleri ile ilgili, serbest elektronların sayı yoğunluğu olarak tanımlanır. ne,i yi Z i n I ,i N A ( Xi ) yi Z i . Ai (1.47) Bundan dolayı, Zi elektronlarından, belirli i iyon çeşitlerinin serbest elektron havuzuna olası katkısı bulunan elektronlar dışında kalanlar hariç, sadece yi kesrindeki elektronlar gerçekte serbesttir. yi ‘ye “iyonizasyon kesri” diyeceğiz. yi=1 değeri türlerin tamamen iyonize olduğu anlamına gelirken, yi=0 tamamen nötr durumu belirtir. Toplam elektron sayı yoğunluğu ne ne,i N A ( i i Xi N A ) yi Z i Ai e (1.48) bulunur ki bu aynı zamanda μe’yi “elektron başına ortalama molekül ağırlığı” tanımlar. (Bu şekliyle elektrona hiçbir şekilde bir “ağırlık” tayin etmiyoruz). Z X y e i i i Ai i 1 (1.49) e ’nin tanımlama biçimine dikkatlice bakacak olursak, çekirdekteki tüm nükleonların (proton artı nötron), madde içindeki toplam serbest elektronların oranına eşit olduğunu fark ederiz. Son olarak, n’yi nI ve ne’nin toplamı olarak tanımladığımızda, toplam molekül ağırlığı: 1 1 I e 1 (1.50) buluruz ki, burada n n I ne N A (1.51) Nükleer dönüşümlerinin henüz gerçekleşmediği, az gelişmiş yıldızlarda temel çekirdek yapıtaşları (1H ) ve ( 4 He) ’dur. Bunların kütle kesirlerine sırasıyla X ve Y diyeceğiz. Bunları dışında kalanların tümüne “metal” diyeceğiz ve bunların kütle kesrini Z ile göstereceğiz (bu iyon yükü ile karıştırılmasın). Z’nin tipik değeri, yüzde bir ikiden fazla değildir. X+Y+Z=1 (1.52) Birçok yıldızın yüzeylerindeki metal bollukları, baskın elementlerin karbon, azot, oksijen ve neon olduğunu gösteriyor. Nikele kadar olan ağır elementlerin katkısı daha azdır. Birçok durumda temel ağır elementlerin izotopları “beta stabilitesi kuyusuna” düşer, burada Z i / Ai 1 / 2 ’dir. Yükün kütle numarasına oranı ( 4 He) için de geçerlidir. Şekil 1.2’de karbondan (Zi = 6) nikele (Zi = 28) kadar Güneş atmosferindeki Xi metal bolluğu gösterilmiştir. Apsiste Dünya için göreli izotropik bollukları kullanılarak gözlenen ortalama kütle numaraları yer alır. Bu set X i Z 0.02 ’ye normalize edilmiştir ki bu da Güneş atmosferindeki metal kütle kesrine yakındır. Oksijenin kütle bakımından en bol olduğunu, bunu karbon ve neonun takip ettiğini not edin. Standart büyük patlama teorisinin doğru olduğunu kabul edersek, bu ve diğer metaller evrenin erken evrelerinde üretilen elementler değildir. Şekil 1.2 Güneş atmosferindeki metal bollukları - ortalama element kütle numarasına göre verilmiştir. Yıldızların derin katmanlarında, hidrojen, helyum ve metallerin birçoğu tamamıyla iyonizedir (yi =1). Eğer metaller toplamın sadece küçük bir kesrini Z 1 oluşturuyorsa, μe için aşağıdaki kullanışlı tahmini yaparız: e 2 1 X (1.53) Yıldızların detaylı modellemesinde bu ifade dikkatli kullanılmalıdır, çünkü iyonizasyon tam olmayabilir (veya elementler tamamen nötr olabilir) ve bolluklar oldukça garip olabilir. İyonların ortalama moleküler ağırlığı yukarıdaki aynı şartlar altında tahmin edilebilir ve buna ek olarak Z, ortalama A’dan küçük olacak ( A Ai 14) , sonuç olarak I 4 1 3X (1.54) (1.53) ve (1.54)’ü kullanarak, toplam ortalama molekül ağırlığı için 4 3 5X (1.55) bulunur. Hayatlarının en uzun dönemini başlayan yıldızların – “sıfır yaş ana kol” devresitipik bollukları X 0.7, Y 0.3 ve Z 0.03 (galaktik tarihimizden eski yıldızlar için bundan daha az). Bunlarda I 1.3, e 1.2 ve 0.6 . Molekül ağırlığı için geçerli bir tahminimiz var şu an tekrar sabit yoğunluk modeline geri dönelim. 1.4.2 Sıcaklık Dağılımı P N A kT / aldığımızda ve (1.42) merkezi basıncı kullandığımızda, sabit yoğunluk modeli için merkezi sıcaklık Tmerkez 1 GM M R 1.15 10 7 ( )( ) 1 K 2 R N Ak M R (1.56) Sıcaklık dağılımı (1.41) ile aynı formda, burada sadece Pmerkez, Tmerkez ile yer değiştirmiştir. Güneş modellerinden ve virial “ortalama” tahminlerinden (1.36) Güneş’in kütle ve yarıçap değerleri ile, günümüz Güneş’in sıcaklığına oldukça yakındır. Sabit yoğunluk modelinde bulduğumuz merkez sıcaklığı, virialdakinden daha yüksektir, çünkü burada basınç için daha detaylı bir değer bulduk, sadece ortalamasını almadık. Daha önce de bahsettiğimiz gibi, sadece yoğunluk dağılımını alıp tüm yıldız yapısının denklemlerini sağlamasını bekleyemeyiz. Şimdi buna ilişkin ek denklemler türeteceğiz. 1.5 Enerji Üretimi ve İletimi Füzyon enerji araştırmalarının bir amacı, potansiyel termonükleer yakıt içeren plazmayı milyonlarca dereceye ulaşana kadar ısıtmak ve yeterince uzun zaman fiziksel olarak bu durumda kalmasını sağlamaktır. Birçok yıldız bu şekilde yapar. Onların yeterli sıcaklıkları, kontrol mekanizmaları (kütle çekimi), yakıtları, zamanları var ve hafif elementleri daha ağır elementler elde edecek şekilde füzyona uğratarak, enerji üretirler. Burada nasıl bir termonükleer yanma reaksiyonunun gerçekleştiğini tartışmayacağız, sadece enerji üretimini de kapsayarak denge kavramımızı genişleteceğiz ve bu enerjinin yıldızdan salınmasıyla nasıl dengelendiğini araştıracağız. Bir gram maddede içersinde, bir çeşit nükleer yanmanın gerçekleştiğini farz edelim. Eğer bu bir gram maddede üretilen enerji hiçbir yere gitmiyorsa, denge bozulur ve materyal ısınmaya başlar. Diğer taraftan üretilen bu enerjiyi oldukça hızlı bir şekilde uzaklaştırmayı başarırsak, o zaman madde “termal denge” dedir diyeceğiz. Madde örneğimiz, füzyon durumunda tam anlamıyla dengede değildir, çünkü daha kütleli nükleer çeşitler oluştukça içeriği değişir, fakat bu çok yavaş meydana gelir. Bu soruna daha sonra tekrar geri döneceğiz. Termal dengeyi sayısal olarak ifade etmek için, dMr kütleli ve dr kalınlığında küresel bir kabuk ele alalım. Bu kabuk içinde gram başına üretilen enerji (erg g-1 s-1) olsun. Buna “enerji üretim katsayısı” diyeceğiz. Kabukta üretilen toplam güç 4r 2 dr dM r ’dır. Bu gücü dengelemek için kabuğu terk eden net enerji akımız olması lazım. Eğer F(r) radyal olarak dışarı yönde, artı değerde akı ise (erg cm-2 s-1 biriminde), o zaman Lr 4r 2 F (r ) kabuğun iç yüzeyine giren (veya çıkan) güç veya parlaklıktır, Lr r 4r 2 F (r dr ) ise kabuğun dış yüzeyinden yıldızı terk eden parlaklıktır. Bu iki terimin farkı, kabuktaki toplam güç kaybını veya kazancını gösterir. Termal denge için bu fark, kabuk içersinde üretilen toplam güce eşit olmalıdır. Lr dr Lr dLr 4r 2 dr veya dLr 4r 2 dr (1.57) Bunu “enerji denklemi” olarak adlandıracağız. Lagranj şekli: dLr dM r (1.58) dir. Burada toplam diferansiyellerin kullanıldığına ve kütle çekimsel büzülme gibi enerji kaynakların tamamen göz ardı edildiğine dikkat edin. Şimdilik sadece 0 durumunu ele aldığımızda, Lr ya sabit olmalı ( 0 olduğu bölgelerde) veya r ve Mr arttıkça monoton olarak artmalıdır. Daha sonraları göstereceğimiz üzere sıcaklığın güçlü bir fonksiyonudur ve yıldız dışına doğru sıcaklığın azalması beklendiğine göre, yakıtın bulunduğu iç yıldız bölgelerinde ’nin de daha büyük olması beklenir. Bundan dolayı Lr’nin yıldız merkezinden dışa doğru, sıfırdan başlayarak artarak L yüzey değerine ulaşması gerekir. Gelişmiş yıldızlar için bu konuda bazı istisnai durumlar var, fakat bu ifadeler şimdilik bizim için kâfidir. Bundan sonraki konuşmamızda, için aşağıdaki güç kanunu ifadesi önem kazanacaktır. 0 T (1.59) Sınırlı bir T, ρ ve içerik aralığı için 0 , ve sabittir. Önemli bir örnek olarak yıldızların hidrojeni (1H ) helyuma ( 4 He ) dönüştürdüğü iki yöntemi ele alalım. Bunlar proton-proton zinciri (pp) ve karbon-azot-oksijen (CNO) çevirimidir. Birincisi iki protonla başlayan bir dizi reaksiyon silsilesidir, en sonunda helyum oluşturacak şekilde orta ürünlere proton eklenir. İkinci çevirim C,N ve O’yu aynı sonuca ulaşmak için katalizör olarak kullanır. Tipik hidrojen yakan sıcaklık ve yoğunluklar ( T birkaç milyon derece, yoğunluk 1-100 g cm-3 aralığında ) için, sıcaklık ve yoğunluk üstleri ve tablo 1.1’de verilmiştir. “Üçlü alfa” reaksiyon üstleri de verilmiştir: üç tane 4 He çekirdeğinin (alfa parçacığının) birleşmesi ile 108 dereceyi aşan sıcaklıklarda bir tane 12C çekirdeği oluşturur. 0 sabit teriminin çıkarımı bölüm 6’da işlenecektir. için enerji üretim modu pp zinciri CNO çevirimi Üçlü α λ 1 1 2 4 15 40 Tablo 1.1 Sıcaklık ve yoğunluk katsayıları Hidrojen yakan ana kol yıldızlarında, bir güneş kütlesi civarındaki yıldızlar için pp zinciri, daha kütleli yıldızlar için de CNO çevirimi baskındır. Her bir gram hidrojen yandığında, hidrojenin helyuma dönüşmesinden ortaya çıkan toplam enerji 6 1018 erg civarıdır. Bunun ne demek olduğu ile ilgili bir fikir edinmek için basit hesaplamalardan Güneş’in günümüzde kütlece %70 hidrojenden oluştuğu düşünülürse, bu var olan hidrojenle, şimdiki parlaklığında 1011 sene daha parlayacağını söyleyebiliriz. Termal denge için değer faktörler nelerdir? Lr’yi belirleyen nedir? Göreceğimiz üzere üç farklı enerji iletim şekli vardır: ışıma (radyasyon) foton aktarımı, sıcak ve soğuk kütle elemanlarının konveksiyonu ve ısı iletimi. Bunlardan ilk ikisi birçok yıldız için daha önemlidir. (beyaz cüceler ısı iletimine bağlıdır). Radyasyon aracılığı ile enerji aktarımı kolayca tarif edilebilir. Yalnız yıldızın dış katmanlarında, radyasyonla taşınan enerji akı Fick difüzyon kanununa uyar. Akım, radayasyon alanının gradiyent niceliği ile alakalıdır d (aT 4 ) F (r ) D dr aT 4 radyasyon enerji yoğunluğu, D difüzyon sabitidir. 4. Bölümde D’nin en önemli bölümünün “donukluk” olduğunu göstereceğiz. İsminden de belli olduğu üzere, radyasyonun ortamdan geçerken ne kadarının engellendiğini gösterir. D, ile ters orantılı olmalıdır. F(r)’yi ışıma gücü(parlaklığı) elde etmek için 4r 2 ile çarptığımızda ve D için daha sonra çıkarımı gösterilecek olan faktörler yerleştirildiğinde Lr 4r 2 c daT 4 3 dr (1.60) bulunur. Alternatif Lagranj şekli: Lr (4r 2 ) 2 c da.T 4 3 dM r (1.61) dir. Donukluk hesaplamaları kolay iş değildir bununla ilgili koca bir endüstri açılmıştır. Bölüm 4’te bunlar incelenecektir, şimdilik donukluğu güç kanunu şeklinde aşağıdaki gibi yazıyoruz 0 nT s cm2 g-1 (1.62) Katsayı ve üstler, 0 , n ve s hepsi sabittir. Elektron Thomson saçılma donukluğu (n=s=0) tamamıyla iyonlaşmış yıldız bölgeleri için önemliyken, Kramer donukluğu (n=1, s=3.5) atomları ilgilendiren radiyatif süreçte önem kazanır. Soğuk veya sıcak maddenin taşınmasıyla sürüklenen ışıma gücüne konveksiyon diyeceğiz. Bir sonraki bölümde, şu ana kadar bahsettiğimiz konuları birbirine bağlayan fikirler sunulacaktır. 1.6 Yıldızların Boyutsal Analizi Yıldız evrimi hakkındaki bazı metinler (özellikle Cox, 1968, Bölüm 22) “homoloji” ve “homolojik yıldız” konularını işler. Bu terim tamamen dengede olan bir dizi basit küresel yıldız modelini ele alarak, her modelin bir biriyle ilişkisini sadece ölçek değişimi ile nitelendirir. Tüm modellerin aynı fiziksel bileşenlere sahip olduğunu düşünelim (hal denklemi, donukluk vs), bu durumda Mr ve r birbiriyle şu şekilde ilişkilendirilir: bu homojen koleksiyondan bir tane referans yıldız seçilip, buna 0 yıldızı deyip, bunu da alt indeks sıfır ile belirttiğimizde, o zaman yıldızların homojen olması gerektiren aşağıdaki bağıntılar uygulanmalıdır: r R r0 ve R0 Mr M M r ,0 M0 (1.63) (1.64) Bu bağıntılar bu yıldızların birbirine göre göreli kütle dağılımlarının olduğunu ve basit oranlarla referans yıldızın niceliklerine ilişkilendirildiklerini gösteriyor. R, R0, M ve M0 sabit tutularak bu bağıntıları türevleri ile de değiştirebiliriz. İki yıldızın kütle denklemi (1.2) birbirine oranlanıp, yoğunluklar arasındaki ilişki bulunabilir. 0 dM r 1 r M R 3 ( ) 2 0 ( )( ) dM r ,0 dr / dr0 r0 M 0 R0 (1.65) (1.65) sadece homolojik yıldızlar için geçerlidir. Şimdi homolojik yıldızların boyutsal analizini yapacağız. Kütle, yarıçap vs değişik yıldız niceliklerinin nasıl ilişkilendirildiği hakkında kullanışlı tahminler elde edeceğiz. Fakat buradan çıkan sonuçları körü körüne kullanmayacağız. Hidrostatik denge denklemini Lagranj formu (1.16) ile yazarak başlıyoruz. G gibi temel sabitler denklemde tutulması gerekmiyor P M2 R4 (1.66) Enerji üretimi ve donukluk bağıntılarında yaptığımız gibi basınç da güç kanunu formunda belirtilir: P P0 p T T (1.67) P0 (kullanımı gerekmiyor), ve T sabittir ve koleksiyondaki tüm yıldızlar için aynı olduğunu kabul ediyoruz. (1.67) logaritmik diferansiyel formda da yazılabilir. d ln P d ln T d ln T (1.68) (1.66) ve (1.67) eşitlendiğinde, R, ρ, T ve M arasındaki ilişkiyi buluruz. Logaritmik diferansiyel şekliyle yazıldığında: 4d ln R d ln T d ln T 2d ln M (1.69) Amacımız enerji denklemine (1.58), enerji üretim oranının güç kanunu formuna (1.59), difüzyonlu radyatif aktarım denklemine (1.61) ve donukluk güç kanununa (1.62) basınçta yaptığımız gibi aynı işlemleri yapmak ve R, ρ, T , L’nin M’yle nasıl değiştiğini görmek. (1.70) R M R P (1.71) RM T (1.72) RM L (1.73) RM α üstünü belirlemek için bir sürü denklemimiz var, örneğin α ilgili bir bağıntı elde etmek için (1.70-1.73) bağıntıları (1.69)’a yerleştirilebilir. 4 R T T 2 Buna benzer bir işlem, kütle, hidrostatik denge, enerji ve enerji aktarımı denklemlerine uygulandığında aşağıdaki matris denklemini elde ederiz. 0 0 R 1 3 1 T 2 4 0 0 1 1 L 4 n 1 4 s 1 T (1.74) Sol taraftaki matrisin determinantı Drad (3 4)( s 4) T (3 3n 4) (1.75) “rad” alt indeksi, enerji aktarımının radyasyon biçiminde olduğunu gösteriyor. Drad’ın sıfır olmadığını ve belirli yoğunluk ve sıcaklık üstlerinin bir bileşimi olduğunu düşünüyoruz. (1.74)’ün çözümleri: (αR için tipografik hata düzeltilerek Carson 1986’dan alınmıştır) 1 1 2( T s 4) / Drad 3 2( T s 4) / Drad R L 1 2 ( T s 4) 2 ( n)/ Drad T 2( n) / Drad (1.76) (1.77) (1.78) (1.79) Bunlara radyasyonun tüm ışınım gücünü taşıdığını varsaydığımız durumlarda (1.70-1.73)’te kullanılabilir. Eğer enerji taşınımı konveksiyonla sağlanıyorsa yukarıdaki denklemler modifiye edilmelidir. Bölüm 5’te konveksiyonu detaylı olarak inceleyeceğiz fakat şimdilik etkili bir konveksiyon için sıcaklığın, yarçapın fonksiyonu olan yoğunluğa bağlılığı adiabatik olması gerekiyor. T (r ) (r ) 3 1 (1.80) ( 3 1 ) adiabatik termodinamik türevdir: 3 1 ( d ln T ) ad d ln (1.81) (1.39)’daki Γ1’e benzer. Γ3’de birim değerindedir ve bu Γ’lerden ilerde daha fazlasını göreceğiz. Bu bağıntı bir önceki analizlerde elde ettiğimiz radyatif aktarım denkleminin yerine geçer dolayısıyla (1.74)’teki matrisinin son sırası (0, Γ3-1, 0, -1) olarak, sağ taraftaki kolon vektörünün son elemanı da sıfır olarak değişmesi gerekir. Yeni sistemin determinantı Dkonv (3 4) 3 T (3 1) (1.82) Etkili konvektif taşınım için yeni üstler: R L T (1 2 / Dkonv ) / 3 2 / Dkonv (1.83) (1.84) 2(3 1) / Dkonv (1.85) (1.86) 1 2 (3 1) / Dkonv Bu analiz nasıl çalışır? Haklarında en çok bilgiye sahip olduğumuz yıldızlar anakolda yer alır. Bu yıldızların birçoğu içerik ve kütle bakımından homojendir ve ışınım güçleri ve yarıçapları tam olarak belirlenmiştir. Şekil 1.3 Allen’de verilen verilere göre belirlenmiştir ve gözlenen bu üç nicelik arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Bir önceki tartışmamızdan üst anakolda bulunan yıldızların (büyük kütleli ve parlak olanların) daha yüksek merkezi sıcaklıklarının olması beklenir. Burada kullanmamız gereken uygun donukluk yasası n = s = 0’ın olduğu durumdaki gibi elektron saçılmasıdır. Enerji CNO çevrimi ile üretilir ve Tablo 1.1’den λ = 1 ve ν = 15 olur. Daha sonra göstereceğimiz üzere, bu yıldızların iç katmanları konvektif olmalarına rağmen, radyatif taşınım enerjinin dışarı çıktığı dış katmanlarda daha baskındır. Radyasyon basıncı önemli olmasına rağmen, basınç Şekil 1.3 Anakol yıldızların Işıma gücü veya Yarıçap-Kütle grafiği. Tüm nicelikler güneş kütlesi biriminde. çoğunlukta (ksi) χρ = χT = 1 ideal gaz kanunu ile belirlenir. Bu yıldızlar homojen bir kolu temsil ettiklerinde, önceki analizler Şekil 1.3’teki αR ve αL değerlerini verir. (1.75) ve (1.79) denklemlerini ve öne sürülen kat sayıları kullandığımızda, αR = 0.78 ve αL= 3.0 bulunur. Güneş kütlesinden birkaç kat büyük yıldızlar için eğime uydurduğumuzda R M 0.75 L M 3.5 ( ) ve ( ) R M L M Güneş burada sadece niceliklerin normalizasyon için kullanılmamıştır, aynı zamanda birçok homojen yıldız setleri için referans yıldız olarak alınmıştır. Homoloji ilişkisi belirgin bir şekilde yapılmıştır. Buna ek olarak αT = 0.22 ve αρ = -1.33 üst ana kolda yoğunluk azalırken sıcaklık kütle ile beraber artmalıdır. Daha fazla kanıta gerek olmadan, her şey tam da böyle olmaktadır (Bölüm 2.15). Yıldız modelleri gösteriyor ki merkez sıcaklıkları ve yoğunlukları tam da bunu yapmakta, katsayılar da bulduğumuz şekildedir. Alt ana kolu işlemek biraz daha zordur. Enerji üretiminde pp zinciri (λ = 1,ν = 4) baskın olup Kramer donukluğu (n = 1, s = 3.5) birçok yıldızda işlev görür, fakat özellikle düşük kütleli yıldızlarda konveksiyon çok önemlidir. Bu bir problem teşkil etmemeli çünkü, konveksiyon için homoloji bağıntısını türetmiştik, fakat buradaki sorun bu yıldızların yapısını tek başına belirleyen şeyin dış radyatif katmanın olabileceği durumudur. (Bölüm 7’ye bakınız). Yukarıdaki katsayıları ideal gaz yasasıyla birleştirdiğimizde ne olduğuna bakalım, radyatif transfer olduğunu ve yıldızları güneş kütlesine sahip olduklarını varsayalım. αL 5.5 çözümlerden biridir. Astrometrik Hipparacus uydusundan aldığımız sonuçları karşılaştırdığımızda Martin ve Mignard (1998), Martin at al. (1998) ve Lebreton (2001) şekil 1.4’teki kesikli çizgi αL = 3.9 verisine uydurulmuştur. Eğim biraz oynasa da ( Hipparacos kadiri için bolometrik düzeltme yaklaşımını kullandık), αL 5.5 güneş kütlesi ve daha küçük kütleler civarındaki yıldızlar için iyi bir yaklaşımdır. Şekil 1.4 Anakoldaki çift yıldızlar için ışıma gücü- kütle grafiği. Kesikli çizgide L M 3.9 . 1.7 Anakol Yıldızların Evrim Süresi Anakoldaki yıldızlar hayatlarını hidrojeni helyuma çevirerek geçirirler. Yıldızın hidrojeninin %10 helyuma dönüştüğü düşünüldüğünde, ışıma gücü ve yarıçapı değişerek yıldız değişime meydana gelir ve anakol yıldızı olmaktan çıkar. Anakol yaşam süresi füzyon reaksiyonlarının vuku bulma oranına bağlıdır. tnük zamanını tahmin etmek için, var olan hidrojenin %10 nunu yakarak ne kadar enerji elde edildiğini hesaplayarak bunu yıldız ışıma gücü ile karşılaştırmak gerekir. Bir gram hidrojen yanmasından açığa çıkan enerji t nük 0.1 0.7 M 6 1018 s L (1.89) Veya güneş birimine ve yıl olarak dönüştürüldüğünde t nük 1010 ( M L )( ) 1 yıl M L (1.90) (1.89)’daki 0.7 hidrojenin tipik X kütle oranıdır. (1.90)’daki ışıma gücünü yok etmek için (1.88) kütle ışıma gücü bağıntısını kullandığımızda, üst anakol yıldızları için t nük M 10 M 10 2.9 yıl (1.91) Buluruz. Bundan dolayı Güneşin anakoldaki yaşam süresi 1010 yıl olması beklenir. Güneş’in şimdiki yaşıyla karşılaştırıldığında 4.6x109, Güneş’in orta yaşta bir yıldız olduğunu buluruz. Büyük kütleli yıldızların yaşam süresi daha kısadır çünkü var olan ışıma güçlerini korumak için daha çok yakıta ihtiyaçları vardır. Güneş’ten daha küçük kütleli, alt anakolda yer alan yıldızların yaşı, günümüzdeki tahminlere göre galaksimizin ve evrenin yaşını aşmaktadır. 1.8 Hertzsprung-Russell Diagramı Gerçek yıldızları anlatan bir sonraki bölüme geçmeden önce HR diagramını tanıtalım. HR astronomların, yıldızların önemli gözlemsel verilerini karakterize etmek için kullandıkları iki boyutlu bir diyagramdır. Dikey eksen yıldızın güç çıkışını, yatay eksen ise yıldız rengini, görünen yüzeyin sıcaklığını gösterir. Eksen birimleri içeriğe ve onları kimin sunduğuna bağlıdır. Gözlemci gücü kadir cinsinden ifade edecektir. Teorisyen genelde parlaklığı (bazen kadirden parlaklığa dönüşüm yapmak kolay değildir) tercih eder. Gözlemci rengi iki tayfsal bant arasındaki kadir farkı olarak belirtirken, teorisyen teorik olarak belirlenen etkin sıcaklığı kullanacaktır. Parlaklık, toplam yıldız yarıçapı ve Tetkin arasındaki bağıntı L 4R 2Teff4 (1.92) (sigma) = 5.6704 x 10-5 erg cm-2 K-4s-1 Stefan-Boltzmann sabiti. Yarıçap ve etkin sıcaklık için değişik tanımlar vardır fakat en basit tanımlarıyla yarıçap görünen yıldız yüzeyinin (fotosfer) yarıçapıdır, etkin sıcaklık ise yüzey sıcaklığıdır. Bundan dolayı (1.92) R yarıçaplı ve Tetkin sıcaklıktaki bir yıldızın yüzeyinden yayılan kara cisim ışıması parlaklığıdır. Güneşin etkin sıcaklığı Tetkin = 5,780 K’dir. (1.92)’de L ve R Güneş birimiyle yazıldığında L R 4 8.97 10 16 ( )Tetkin L R (1.93) buluruz. Genelde H-R diagramının L- Tetkin versiyonunu kullanacağız. Bunu yapmamızın bir sebebi L ve Tetkin logaritmik olarak ifade edildiklerinde, bu diagrama sabit yarıçapta düz çizgiler yerleştirmemiz çok kolaydır. Ayrıca etkin sıcaklık sola doğru artar, solda görünen ilk sıcaklık değeri en büyük sıcaklıktır. Aynı zamanda HR diagramı L, Tetkin ve R dışında, yıldızın kütlesi, bileşimi ve evrimi gelişmişlik derecesi hakkında bize bilgi vermez. Şekil 1.5’te HR diagramı için bir örnek gösterilmiştir Iben (1991). Tipik yıldız parlaklık ve etkin sıcaklık aralıkları ve (1.92) ve (1.93)’ten bulunabilen üç yarıçap çizgisi verilmiştir. Yakın çevredeki parlak yıldızlar da belirtilmiştir. Açık bir şekilde görüldüğü üzere çoğu yıldız “anakol” adı verilen belirgin bir çizgi üzerinde yer alır. Diğer yıldızlar büyük olduklarından dolayı “dev”, 10-2Rʘ yarıçapından küçük yıldızlar da “beyaz cüce” olarak adlandırılır. Şekilde görülen yıldızlardan daha farklı yıldızlar bulunmaktadır, bir sonraki bölümün amacı bu aykırı objeler arasındaki olası evrimsel ilişkiyi ortaya çıkarmak. Şekil 1.5. Yakınımızdaki parlak yıldızları gösteren H-R diagramı
© Copyright 2024 Paperzz
