MAK 202 DİNAMİK
Yrd. Doç. Dr. Ahmet Taşkesen
Gazi Üniv. Teknik Eğitim Fak. Makine Eğt. Bölümü
Mekanik ve Makine El. A.B.D
*1. derste belirtilen kaynaklar kullanılarak eğitim amaçlı hazırlanmıştır, ticari bir amacı yoktur.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ (Sections 14.1-14.3)
Dersin amaçları:
a) Bir kuvvetin yaptığı iş’in hesabı.
b) İş ve enerji prensibinin
uygulanması
Dr. Ahmet TAŞKESEN
UYGULAMALAR
A roller coaster makes use of
gravitational forces to assist the cars in
reaching high speeds in the “valleys” of
the track.
How can we design the track (e.g., the height, h, and the radius of
curvature, r) to control the forces experienced by the passengers?
Dr. Ahmet TAŞKESEN
İŞ VE ENERJİ
Parçacık için, Kinetik problemlerinde karşımıza çıkan başka bir
denklem, F = ma hareket denkleminin konuma göre integre
edilmesiyle elde edilebilir.
at = v (dv/ds) yi, Ft = mat denkleminde yerine yazıp integre edildiği
takdirde, iş ve enerji prensibi olarak bilinen denklem elde edilir.
Bu prensip, kuvvet, hız ve yer değiştirme içeren problemlerin çözümü
için çok uygundur. Güç hesabı için de kullanılabilir.
Bu metodu kullanmak için, bir kuvvetin yaptığı iş kavramı
anlaşılmalıdır.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
BİR KUVVETİN İŞİ
Bir parçacığa etki eden kuvvetin iş yapabilmesi için, kuvvet doğrultusunda parçacık yer
değiştirmelidir (hareket etmelidir).
İşin tanımı, kuvvet ile kuvvet doğrultusundaki yer değiştirmenin
çarpımıdır. Dolayısıyla, kuvvet vektörü ve yer değiştirme vektörü
arasındaki açı θ ise, kuvvetin yaptığı işin artışı aşağıdaki gibi
tanımlanır:
dU = F ds cos θ
Skaler çarpım kuralı uygulanıp integre edilirse, toplam iş şu şekilde
r2
tanımlanır:
∫ F • dr
U1-2 =
r1
F ikuvveti, konumun bir fonksiyonu ise (ki genellikle böyledir)
s2
U1-2 =
∫ F cos θ ds
s1
F ve θ’nın herikisi de sabit ise (F = Fc), bu denklem basitleştirilebilir:
U1-2 = Fc cos θ (s2 - s1)
Kuvvet ve yer değiştirme aynı yönde ise iş pozitiftir. Ters yönde iseler, iş
negatiftir. Kuvvet ve yer değiştirme yönleri bir birine dik ise, iş sıfırdır.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
AĞIRLIĞIN YAPTIĞI İŞ
Yerçekimi kuvvetinin (veya cismin ağırlığının) parçacıkta yaptığı iş aşağıdaki gibi
y2
hesaplanabilir.
U1-2 =
∫ - W dy =
y1
– W (y2 - y1) = –W Δy
Ağırlığın yaptığı iş, parçacığın ağırlığı ile düşey doğrultuda yaptığı yer değiştirmenin çarpımına
eşittir. Yer eğiştirme Δy yukarı yönde ise iş negatiftir (Çünkü, ağırlık daima aşağı doğrudur).
YAY KUVVETİNİN YAPTIĞI İŞ
Lineer elastik bir yay gerildiğinde, Fs=ks büyüklüğünde bir yay
kuvveti oluşur. Burada, k, yay sabiti ve s ise yayın serbest
konumundan gerildiği mesafedir.
s1 konumundan s2 konumuna gelen yaydaki yay kuvvetinin yaptığı iş:
s2
s2
s1
s1
U1-2 = ∫ Fs ds = ∫ k s ds = 0.5k(s2)2 - 0.5k(s1)2
Bir parçacık yaya bağlı ise, Parçacığa uygulanan Fs kuvveti yay kuvveti ile ters
yöndedir. Bundan dolayı, yay kuvvetinin parçacık üzerinde yaptığı iş, negatiftir , ve
aşağıda belirtildiği gibi ifade edilir.
U1-2 = – [ 0.5k (s2)2 – 0.5k (s1)2 ].
Dr. Ahmet TAŞKESEN
YAY KUVVETLERİ
Yay kuvvetleri ile ilgili, aşağıdaki husulara dikkat edilmelidir.
1. Yukarıda belirtilen yay denklemleri sadece! lineer yaylar için geçerlidir. Lineer
yay kuvveti F = ks (Aslında, bir doğru denklemi.)
2.
Bir yayın yaptığı iş, yay kuvveti ile yer değiştirmenin çarpımı değildir, yani,
(ksi)(si). Bu hususa özellikle dikkat ediniz!.
3.
Yayın yaptığı işi hesapladıktan sonra daima iki kez kontrol ediniz. Yay tarafından
cisme uygulanan kuvvet ve hareket yönü aynı ise iş pozitiftir.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ
∑ Ft = mat = mv(dv/ds) hareket denklemi integre edilerek iş enerji prensibi aşağıdaki
gibi yazılabilir.
∑ U1-2 = 0.5m(v2)2 – 0.5m(v1)2
veya T1 + ∑ U1-2 = T2
Burada, ∑U1-2 = Parçacık 1’den 2’ye giderken parçacığa etkiyen bütün kuvvetlerin
yaptığı iş’tir. İş, pozitif veya negatif skaler olabilir.
T1 and T2 , sırasıyla başlangıç ve son noktalardaki parçacığın kinetik enerjileridir.
Dolayısıyla, T1 = 0.5 m (v1)2 ve T2 = 0.5 m (v2)2 ‘dir. Kinetik enerji daima pozitif
skaler sayıdır (Hızın karesi alınmaktadır!).
Bundan dolayı, parçacığın başlangıç noktasındaki kinetik enerjisi ile 1’den 2’ye
giderken parçacığa etkiyen bütün kuvvetlerin yaptığı işin toplamı, parçacığın nihai
kinetik enerjisine eşittir.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ (devam)
Burada, iş ve enerji prensibi vektörel bir denklem değildir!. Her bir terim skaler bir sayıdır
(T1 + ∑ U1-2 = T2)
Kinetik enerji ve iş’in her ikisi de aynı enerji birimidir. SI sisteminde enerji birimi joule
(J)’dür. Burada, 1J=1N·m. FPS sisteminde ise enerji birimi ft·lb’dir.
Genellikle, Yörüngeye dik kuvvetler iş yapmadıkları için, bu kuvvetlerin bulunmasında
bu metot kullanılmaz.
The principle of work and energy can also be applied to a system of particles by
summing the kinetic energies of all particles in the system and the work due to all
forces acting on the system.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
READING QUIZ
F
1. F kuvvetinin yaptığı iş nedir?
s1
A) F s
B) –F s
C) Zero
D) None of the above.
s2
s
2. Bir parçacık 1’den 2’ye gidiyor ise, Parçacığa uygulanan FR
kuvvetinin yaptığı iş nedir?
A)
∫
s2
s1
C) ∫ s
s
2
ΣFt ds
B) −∫s
ΣFn ds
D)
s2
ΣFt ds
1
s2
− ∫ ΣFn ds
s1
1
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ÖRNEK
θ = 60 , iken, 60 N ağırlığındaki kütle serbest bırakılmıştır. θ =90o
olduğunda kütlenin hızını ve ipe gelen kuvveti bulunuz? İpin ağırlığını
ihmal ediniz.
T kuvveti iş yapamaz (Yörüngeye dik)
iş yapan tek kuvvet 60 N
A1’den A2’ye yapılan iş: U1→2 = 60(10-sinθ)
60(10-10sinθ)= T2-T1
∑Fn = man
= T − 60 sin(θ ) = (
1
2
60 V 2
)
9.81 r
= T − 60 sin(90) = (
1
2
60(10-10sin60)= mV22 − mV12
60 5.132
)
9.81 10
1
60
60(10-10sin60)= 2 ( 90.81)V22 − 0
T=…N
V2 = 5.13 m/s
Bu metodun avantajları:
at ivmesini bulup integre etmeye gerek kalmadı.
Hesaba giren bütün büyüklükler skalerdir. X ve y bileşenlerini kullanmadan hesaplanabilir.
İş yapmayan kuvvetler, hesaba katılmamaktadır.
Bu metodun dezavantajları:
Doğrudan doğruya ivme bulunamıyor (Hızı bulduktan sonra ivmeyi hesapladık).)
İpteki kuvvetini direkt hesaplayamadık. Bunun için Newton2un ikinci kanununu tekrar kullandık.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
125 kg kütleli beton A bloğu şekilde gösterilen konumdan serbest
bırakılmakta ve 200 kg’lık kütleyi 30o lik eğik düzlemden yukarı
doğru çekmektedir. Yüzey ile blok arasındaki sürtünme katsayısı
μk=0.5 olduğuna göre A bloğunun B’de yere çarptığı andaki hızını
bulunuz?
İp uzamadığı için, iki blok’u tek bir sistem olarak gözönüne aldığımız
zaman ipin uyguladığı kuvvetlerin işleri birbirini götürür.
Note that the work due to
the cable tension force on
each block cancels out.
Kinetik Enerji:
sA = 2sC
VA = 2VC
1 konumu: V1 = 0 T1 = 0
2 konumu: V2= V T2 =
1
1
mCVC 2 + mA (2VC )2
2
2
1
1
T2 = 200(VC )2 + 125(2VC )2
2
2
T2 =
VC =2.31m/s
1
1
mCVC 2 + mAVA 2
2
2
VA =4.62m/s
U1→2 = [−1962(sin30) −(0.5)1962(cos30)](sC) +1226.3 (sA)
=[−1962(sin30)−(0.5)1962(cos30)](3) +1226.3(6)
U1→2 =1866 Nm
İş: Hareket sırasında sadece ağırlıklar
1
1
U1→2 = T2 − T1 1866 = 200(VC )2 + 125(2VC )2 − 0
ve sürtünme kuvveti iş yapar.
2
2
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ÖRNEK
Given: A 0.5 kg ball of negligible size is fired up a
vertical track of radius 1.5 m using a spring
plunger with k = 500 N/m. The plunger
keeps the spring compressed 0.08 m when
s = 0.
Find: The distance s the plunger must be pulled back and released so
the ball will begin to leave the track when
θ = 135 .
Plan: 1) Draw the FBD of the ball at θ = 135 .
2) Apply the equation of motion in the n-direction to determine
the speed of the ball when it leaves the track.
3) Apply the principle of work and energy to determine s.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ÇÖZÜM
Solution:
1) Draw the FBD of the ball at θ = 135 .
t
N
n
45
W
The weight (W) acts downward through the center
of the ball. The normal force exerted by the track
is perpendicular to the surface. The friction force
between the ball and the track has no component
in the n-direction.
2) Apply the equation of motion in the n-direction. Since the ball leaves
the track at θ = 135 , set N = 0.
=>
+ ∑Fn = man = m (v2/r) => W cos45 = m (v2/r)
=> (0.5)(9.81) cos 45 = (0.5/1.5)v2 => v = 3.2257 m/s
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ÇÖZÜM (devam)
3) Apply the principle of work and energy between position 1
(θ = 0) and position 2 (θ = 135 ). Note that the normal force (N)
does no work since it is always perpendicular to the displacement
direction. (Students: Draw a FBD to confirm the work forces).
T1 + ∑U1-2 = T2
0.5m (v1)2 – W Δy – (0.5k(s2)2 – 0.5k (s1)2) = 0.5m (v2)2
andv1 = 0, v2 = 3.2257 m/s
s1 = s + 0.08 m, s2 = 0.08 m
Δy = 1.5 + 1.5 sin 45 = 2.5607 m
=> 0 – (0.5)(9.81)(2.5607) – [0.5(500)(0.08)2 – 0.5(500)(5 + 0.08)2]
0.5(0.5)(3.2257)2
=> s = 0.179 m = 179 mm
Dr. Ahmet TAŞKESEN
=
ATTENTION QUIZ
1. What is the work done by the normal force
N if a 10 lb box is moved from A to B ?
A) - 1.24 lb·ft
B) 0 lb·ft
C) 1.24 lb·ft
D) 2.48 lb·ft
N
B
2. If a spring force is F = 5s3 N/m and the spring is compressed by
s = 0.5 m, the work done on a particle attached to the spring will be
A) 0.625 N · m
B) – 0.625 N · m
C) 0.0781 N · m
D) – 0.0781 N · m
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
Dr. Ahmet TAŞKESEN
Güç (P) ve VERİM (ε) (Section 14.4)
Dersin Amacı:
a) Bir makine, motor ya da
mekanizmanın ürettiği gücün
bulunması.
b) Bir makinanın mekanik veriminin
hesabı
Dr. Ahmet TAŞKESEN
UYGULAMALAR
Motorlar genellikle, ürettiği güç miktarı ile ifade
edilirler. Bu asansörün hareketini sağlayan
motorun ihtiyacı olan güç, asansöre yukarıya
doğru hareket ettiren F kuvvetine bağlıdır.
Asansörün yukarı hızı belli ise, bu hızı sağlayacak motor
gücünü nasıl hesaplayabiliriz?
Dr. Ahmet TAŞKESEN
UYGULAMALAR (devam)
Bir otomobilin rampayı çıkış hızı motor
gücü ve rampa açısına bağlıdır.
Şekilde görülen jeep motorunun tekerleklere sağladığı güç
biliniyor ise, belli bir θ rampa açısı için, bu jeep’in hızını nasıl
hesaplayabiliriz?
Dr. Ahmet TAŞKESEN
GÜÇ (P)
Güç, birim zamanda yapılan iş olarak tanımlanır.
Bir makine ya da motor, dt, zaman aralığından dU kadar bir iş
yapıyor ise, makinanın ürettiği güç aşağıdaki gibi hesaplanır:
P = dU/dt
İş, dU = F • dr olduğuna göre, güç şu şekilde yazılabilir:
P = dU/dt = (F • dr)/dt = F • (dr/dt) = F • v
Dolayısıyla, güç, aynı yönde etkiyen kuvvet ve hız bileşenlerinin
çarpımından oluşan skaler bir değerdir.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
GÜÇ (devam)
Skaler notasyon kuralına göre güç aşağıdaki gibi yazılabilir:
P = F • v = F v cos θ
Burada, θ, kuvvet ve hız vektörleri arasındaki açıdır.
Yani, F kuvveti uygulanan bir cismin hızı biliniyor ise, kuvvet ve hız
vektörlerinin skaler çarpımı ile güç hesaplanabilmektedir.
SI birim sisteminde gücün birimi = watt (W)
1 W = 1 J/s = 1 (N ·m)/s .
1 kW = 1.36 hp
FPS birim sisteminde gücün birimi, beygirgücü (horsepower) (hp)
1 hp = 550 (ft · lb)/s = 746 W .
Dr. Ahmet TAŞKESEN
VERİM
Bir makinanın mekanik verimi, üretilen faydalı gücün (çıkış gücü)
makinaya verilen güce (giriş gücü) oranıdır. Veya,
ε = (Çıkış gücü)/(Giriş gücü)
Veya, Enerji girişi ve çıkışı biliniyor ise;
ε = (enerji çıkışı)/(enerji girişi)
Makinalar, daima sürtünme kuvvetlerine maruzdurlar. Sürtünme
kuvvetleri, enerji harcadıklarından, bu kuvvetler için de ayrıca güç
gerekmektedir. Sonuç olarak, bir makinanın verimi daima 1’den
küçüktür.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
Problemlerin çözümü
• Cismin hareketine sebep olan bileşke dış kuvvetler bulunur.
Serbest Cisim diyagramının çizilmesi gerekebilir.
• Cisim üzerinde Kuvvetin uygulandığı noktanın hızı tespit edilir.
Enerji metodu, Newton kanunu veya uygun kinematik bağıntılar
gerekli olabilir.
• F Kuvveti ile kuvvet yönündeki hız bileşeni çarpılarak cisme verilen
güç tespit edilir. (P = F v cos θ).
• Bazı durumlarda, birim zamanda yapılan iş yardımıyla güç
hesaplanabilir. (P = dU/dt).
• Makinanın mekanik verimi belli ise, giriş gücü veya çıkış gücü
bulunabilir.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
READING QUIZ
1. Güç formülünün tanımı aşağıdakilerden hangisidir?
A) dU / dt
B) F • v
C) F • dr/dt
D) Hepsi.
2. Kinetik enerji neden kaynaklanır?
A) konum
B) hız
C) yer çekimi
D) sürtünme
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
H 14-44 Şekilde görülen 25 kN ağırlığındaki Jip’in motoru
tekerleklerin tamamına 45 kW güç aktarmaktadır. Tekerlerin
kaymadığı varsayılarak, v = 3 m/s sabit hızla çıkabileceği
en büyük rampa açısını θ bulunuz?
25000 N
Fs
Hız sabit olduğundan ∑F = m(0) = 0
Fs = 25000sin(θ)
P = Fs • v= 45000 = 25000sinθ(3)
θ= 36.9o
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ÖRNEK
2000kg kütleli bir otomobil motorunun verimi ε = 0.65’dir.
Otomobilin ileri hareketinde, rüzgarın tepki kuvvetinin FD = 1.2v2
N olduğu bilinmektedir, Burada, v m/s ‘dir. Otomobil durağan
halden 5 m/s2 lik bir ivme ile hızlanmaktadır. t = 4 s olduğunda
otomobil motorunun giriş gücünü bulunuz?
SCD diyagramını çizilir.
T = 4 s’dekin hızını bulunur.
Bu hareket için gerekli gücü bulunur.
Rüzgarın
Giriş gücünu bulmak için, verimi kullanılır.
ÇÖZÜM
tepki kuvveti ve ağırlık bilinmektedir.
Tekerleklere gelen yüzey tepkisi Nc ve sürtünme kuvveti
Fc olsun. Tekerlekler ve yol arasındaki sürtünme kuvveti,
otomobili ileri itmektedir.
x-yönündeki hareket denklemi yazılabilir, ax = 5 m/s2:
+ ∑Fx = max => Fc – 1.2v2 = (2000)(5)
=> Fc = (10,000 + 1.2v2) N
Otomobilin hızı, ivme sabit olduğundan bulunabilir:
vx = vxo + axt = 0 + (5)(4) = 20 m/s
Po = (Fc)(vx ) = [10,000 + (1.2)(20)2](20) = 209.6 kW
Çıkış gücü, P = (F)(v)’den
Motorun sağladığı güç (sürtünme
olmadan), verim denklemiyle bulunur.
kaybı
Pi = Po/ε = 209.6/0.65 = 322 kW
Dr. Ahmet TAŞKESEN
CONCEPT QUIZ
1. Bir motor, 10 N ağırlığındaki bir kütleyi
sürtünmesiz düzlemden yukarı doğru sabit
4 m/s hız ile çekmektedir. Motorun
harcadığı gücü bulunuz?
A) 8.4 N·m/s
B) 20 N·m/s
C) 34.6 N·m/s
D) 40 N·m/s
30º
2. A twin engine jet aircraft is climbing at a 10 degree angle at 264
ft/s. The thrust developed by a jet engine is 1000 lb. The power
developed by the engines is
A) (1000 lb)(140 ft/s)
B) (2000 lb)(140 ft/s) cos 10
C) (1000 lb)(140 ft/s) cos 10
D) (2000 lb)(140 ft/s)
Dr. Ahmet TAŞKESEN
PROBLEM
50 N ağırlığındaki (B) yükü, makara sistemi ve motor vasıtasıyla
hareket etmektedir. Motor verimi 0.76 ve motor ipe 30 N sabit bir
kuvvet uyguladığına göre, yük 10 m yukarı kaldırıldığında motorun
harcadığı gücü bulunuz? Yük durağan halden başlamaktadır.
ÇÖZÜM
Koordinat sistemi tanımlanır:
Burada, sm, kablo üzerindeki bir nokta. Ayrıca, sB, alttaki
makaranın konumu (çünkü, blok bu makara ile birlikte hareket
ediyor). Kinematik’ten,
sm + 2sB = L => vm + 2vB = 0 => vm = -2vB
sm
sB
Blok için SCD
2T
B
WB = 50 N
Dr. Ahmet TAŞKESEN
Blok hızı, iş ve enerji prensibi ile hesaplanabilir
(Blok, durgun halden harekete başlamaktadır).
+ T1 + ∑U1-2 = T2
0.5m(v1)2 + [2T(s) – wB(s)] = 0.5m (v2)2
0 + [2(30)(10) - (50)(10)] = 0.5(50/32.2)(v2)2
=> v2 = vB = 11.35 m/s
vm = - 2vB = - (2)(-11.35) = 22.70 m/s
ÇÖZÜM (devam)
Motorun harcadığı güç, (motordan çıkan güç) kabloya uygulanan kuvvet ile kablonun
hızının çarpımına eşittir.
Po = F • v = (30)(22.70) = 681 Watt
Motora verilen güç, verim denklemiyle elde edilebilir.
Pi = Po/ε = 681/0.76 = 896 Watt
Converting to horsepower
Pi = 896/736 = 1.218 hp
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ATTENTION QUIZ
1. The power supplied by a machine will always be _________
the power supplied to the machine.
A) less than
B) equal to
C) greater than
D) A or B
2. A car is traveling a level road at 88 ft/s. The power being
supplied to the wheels is 52,800 ft·lb/s. Find the combined
friction force on the tires.
A) 8.82 lb
B) 400 lb
C) 600 lb
D) 4.64 x 106 lb
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
Dr. Ahmet TAŞKESEN
SORU
Dr. Ahmet TAŞKESEN
Dr. Ahmet TAŞKESEN
Dr. Ahmet TAŞKESEN
POTENTIAL ENERGY AND CONSERVATION OF ENERGY
(Sections 14.5-14.6)
Today’s Objectives:
Students will be able to:
a) Understand the concept of
conservative forces and
determine the potential
energy of such forces.
b) Apply the principle of
conservation of energy.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
READING QUIZ
1. The potential energy of a spring is
A) always negative.
B) always positive.
C) positive or negative.
D) equal to ks.
2. When the potential energy of a conservative system increases,
the kinetic energy
A) always decreases.
B) always increases.
C) could decrease or
increase.
D) does not change.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
UYGULAMALAR
The weight of the sacks resting on this platform causes potential energy
to be stored in the supporting springs.
If the sacks weigh 100 lb and the equivalent spring constant is k = 500
lb/ft, what is the energy stored in the springs?
Dr. Ahmet TAŞKESEN
UYGULAMALAR (devam)
When a ball of weight W is dropped (from rest) from a height h
above the ground, the potential energy stored in the ball is converted
to kinetic energy as the ball drops.
What is the velocity of the ball when it hits the ground? Does the
weight of the ball affect the final velocity?
Dr. Ahmet TAŞKESEN
CONSERVATIVE FORCE
A force F is said to be conservative if the work done is independent of
the path followed by the force acting on a particle as it moves from A to
B. In other words, the work done by the force F in a closed path (i.e.,
from A to B and then back to A) equals zero.
z
∫F
· dr = 0
This means the work is conserved.
F
B
A
A conservative force depends only
on the position of the particle, and is
independent of its velocity or
acceleration.
x
Dr. Ahmet TAŞKESEN
CONSERVATIVE FORCE (continued)
A more rigorous definition of a conservative force makes use of a
potential function (V) and partial differential calculus, as explained
in the texts. However, even without the use of the these
mathematical relationships, much can be understood and
accomplished.
The “conservative” potential energy of a particle/system is typically
written using the potential function V. There are two major
components to V commonly encountered in mechanical systems, the
potential energy from gravity and the potential energy from springs or
other elastic elements.
V total = V gravity + V springs
Dr. Ahmet TAŞKESEN
POTENTIAL ENERGY
Potential energy is a measure of the amount of work a conservative
force will do when it changes position.
In general, for any conservative force system, we can define the
potential function (V) as a function of position. The work done by
conservative forces as the particle moves equals the change in the
value of the potential function (the sum of Vgravity and Vsprings).
It is important to become familiar with the two types of potential
energy and how to calculate their magnitudes.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
y
POTENTIAL ENERGY DUE TO GRAVITY
The potential function (formula) for a gravitational force, e.g., weight (W
= mg), is the force multiplied by its elevation from a datum. The datum
can be defined at any convenient location.
V g = +_ W y
Vg is positive if y is
above the datum and
negative if y is below
the
datum.
Remember, YOU get
to set the datum.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ELASTIC POTENTIAL ENERGY
Recall that the force of an elastic spring is F = ks. It is important to
realize that the potential energy of a spring, while it looks similar, is a
different formula.
Ve (where ‘e’ denotes an elastic
spring) has the distance “s”
raised to a power (the result of an
integration) or
Ve =
1 2
ks
2
Notice that the potential
function Ve always yields
positive energy.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
CONSERVATION OF ENERGY
When a particle is acted upon by a system of conservative
forces, the work done by these forces is conserved and the sum
of kinetic energy and potential energy remains constant. In other
words, as the particle moves, kinetic energy is converted to
potential energy and vice versa. This principle is called the
principle of conservation of energy and is expressed as
T1 + V1 = T2 + V2 = Constant
T1 stands for the kinetic energy at state 1 and V1 is the
potential energy function for state 1. T2 and V2 represent
these energy states at state 2. Recall, the kinetic energy is
defined as T = ½ mv2.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ÖRNEK
Given: The girl and bicycle weigh
125 lbs. She moves from point A to
B.
Find: The velocity and the normal
force at B if the velocity at A is 10
ft/s and she stops pedaling at A.
Plan: Note that only kinetic energy and potential energy due to
gravity (Vg) are involved. Determine the velocity at B using the
conservation of energy equation and then apply equilibrium
equations to find the normal force.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
EXAMPLE (continued)
Solution:
Placing the datum at B:
T A + V A = TB + V B
1 125
1 125
2
(
)(10 ) + 125 ( 30 ) = (
)v
2 32 .2
2 32 .2
V B = 45 .1 ft
s
2
B
Equation of motion applied at B:
2
∑ Fn = man = m vr
N B - 125 =
125 ( 45 .1) 2
32 .2 50
N B = 283 lb
Dr. Ahmet TAŞKESEN
CONCEPT QUIZ
1. If the work done by a conservative force on a particle as it moves
between two positions is –10 ft-lb, the change in its potential
energy is
A) 0 ft-lb.
B) -10 ft-lb.
C) +10 ft-lb.
D) None of the above.
2. Recall that the work of a spring is U1-2 = -½ k(s22 – s12) and can
be either positive or negative. The potential energy of a spring is V
= ½ ks2 . Its value is
A) always negative.
B) either positive or negative.
C) always positive.
D) an imaginary number!
Dr. Ahmet TAŞKESEN
GROUP PROBLEM SOLVING
Given:
The mass of the collar is 2 kg and the
spring constant is 60 N/m. The collar
has no velocity at A and the spring is
un-deformed at A.
Find:
The maximum distance y the collar
drops before it stops at Point C.
Plan: Apply the conservation of energy equation between A and C.
Set the gravitational potential energy datum at point A or point
C (in this example, choose point A).
Dr. Ahmet TAŞKESEN
GROUP PROBLEM SOLVING (continued)
Notice that the potential energy at C has two parts (Tc = 0).
Vc = (Vc)e + (Vc)g
Placing the datum for gravitational potential at A yields a
conservation of energy equation with the left side all zeros. Since Tc
equals zero at points A and C, the equation becomes
60
0 + 0 = 0 + [ ( (. 75 ) 2 + y 2 - .75 ) 2 - 2 ( 9 .81) y ]
2
Note that (Vc)g is negative since point C is below the datum.
Since the equation is nonlinear, a numerical solver can be used to
find the solution or root of the equation. This solving routine can be
done with a calculator or a program like Excel. The solution yields y
= 1.61 m.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
GROUP PROBLEM SOLVING (continued)
Also notice that since the velocities at A and C are zero, the velocity
must reach a maximum somewhere between A and C.
Since energy is conserved, the point of maximum kinetic energy
(maximum velocity) corresponds to the point of minimum potential
energy.
By expressing the potential energy at any given position as a function of
y and then differentiating, we can determine the position at which the
velocity is maximum (since dV/dy = 0 at this position). The derivative
yields another nonlinear equation which could be solved using a
numerical solver.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ATTENTION QUIZ
1. The principle of conservation of energy is usually ______ to apply
than the principle of work & energy.
A) harder
B) easier
C) the same amount of work
D) Don’t pick this one.
2. If the pendulum is released from the
horizontal position, the velocity of its
bob in the vertical position is
A) 3.8 m/s .
B) 6.9 m/s.
C) 14.7 m/s.
D) 21 m/s.
Dr. Ahmet TAŞKESEN
ATTENTION QUIZ
1. Conservation of energy is valid for all mechanical systems.
A) true
C)
B) false
D)
2. If a system of particles is subjected only to conservative forces, the
work done by internal forces can be neglected.
A) true
C)
B) false
D)
Dr. Ahmet TAŞKESEN

öğretmen adaylarının dairesel hareketi anlama düzeyleri

uygulama5

fizik1 bolum 1

İşlem Prosedürü