Yapı Statiği I Dersi Sunusu

Yararlanılabilecek Bazı Kaynaklar
1. Yapı Statiği I-II
Adnan ÇAKIROĞLU ve Enver ÇETMELİ
2. Çözümlü Örneklerle Yapı Statiği
Hüsnü CAN
3. Taşıyıcı Sistemler ve Yapı Statiği
İsmail İlhan SUNGUR
4. Yapı Statiği, Sonlu Elemanlar Metodu, Bilgisayar Destekli
Sistem Analizi
Azer Arastunoğlu KASUMOV
5. Yapı Statiği
Yalçın AKÖZ
6. Yapı Statiği I-II
Mustafa KARADUMAN ve Şanser DURAN
7. Matrix Structural Mechanics
…
Lewis P. FELTON and Richard B. NELSON
2
Konu Başlıkları
Giriş
Yapı Mühendisliğinin Amacı
Yapı Mühendisliğinde İzlenen Yol
Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller
Yapı Sistemleri
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
Denge Denklemleri
Mesnet Tepkileri
Kesit Tesirleri
İzostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) Sistemler
Kesit Tesir Diyagramları
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
- Basit Kirişler, Konsol Kirişler ve Konsollu kirişler
- Gerber Kirişleri
- Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler
- Kafes Sistemler
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
- Basit Kirişler, Konsol Kirişler ve Konsollu kirişler
- Gerber Kirişleri
- Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler
- Kafes Sistemler
3
Giriş
•
İnşaat Mühendisinin görevleri:
- Tasarım (projelendirme)
- Yapım (inşaat)
- Bakım ve işletme
 Proje mühendisi
 Şantiye mühendisi
 Şantiye mühendisi
Yapı Statiği dersleri, yapıların tasarımı için gereken bilgilerin
önemli bir kısmını içermektedir. Diğer bir değişle Yapı Statiği
dersi mühendisin kendi alanında karşılaşacağı ve yapmakla
yükümlü olduğu çeşitli yapı sistemlerinde uygulanmak üzere
çözüm yöntemlerini öğretir.
- Bir yapı sisteminin çözümlenmesi:
a) Sistemin kesit tesirlerinin hesaplanması (Yapı Statiği dersi)
b) Hesaplanan kesit tesirlerini emniyetle taşıyabilecek şekilde sistemin
boyutlandırılması (Betonarme, Çelik Yapılar dersleri)
4
Yapı Mühendisliğinin Amacı
•
Yapı, insanların belirli ihtiyaçlarını karşılamak üzere çeşitli yapım
malzemelerini ve tekniklerini kullanarak meydana getirdikleri her türlü
yer altı ve yer üstü tesislerine denilmektedir. Yapıların bir mühendislik
ürünü olabilmeleri için yapıları
- belirli bir güvenlikte
- yeterli bir rijitlikte
- ve en ekonomik olarak
boyutlandırmak gerekmektedir.
5
Yapı Mühendisliğinin Amacı
•
Güvenlik:
Dış etkiler nedeniyle yapıda oluşan zorlanmalar, yapının taşıyabileceği
(karşı koyabileceği) sınır değerlerden belirli bir güvenlik katsayısı
kadar küçük olmalıdır.
a) Emniyet gerilmeleri esasına göre boyutlandırma
b) Taşıma gücü esasına göre boyutlandırma: daha güvenilir ve
genellikle daha ekonomik sonuçlar veren bir boyutlandırma yöntemidir.
Her iki boyutlandırma yönteminde de, ayrıca yapının stabilite
(kararlılık) kontrolü yapılmalıdır.
•
Ekonomi:
Malzeme + işçilik + bakım masrafları m inim um olmalıdır.
6
Yapı Mühendisliğinin Amacı
•
Rijitlik:
Dış etkiler nedeniyle yapıda meydana gelen yer değiştirmeler sınırlı
olmalıdır. Bunun nedenleri kısaca:
a) duvar, döşeme kaplaması … vb. gevrek yapı elemanlarının hasar
görmelerinin engellenmesi
b) ikinci mertebe etkilerinin azaltılması
c) titreşimlerin azaltılması
d) göz güvenliği ve estetiğin sağlanmasıdır.
(f/L) oranının sınır değeri genel olarak 0,001~0,005 arasında değişse
de yapının, yapı elemanının özelliklerine ve kullanım amacına göre
yönetmelikler tarafından belirlenir.
7
Yapı Mühendisliğinde İzlenen Yol
1) Amaç ve ihtiyaç belirlenir. Amaç ve ihtiyaçlar doğrultusunda mimari projeler
hazırlanır.
2) Yapının formu (geometrisi) (çubuk sistem, plak, kabuk, dolu sistem, kafes
sistem vb.) ve malzemesi (betonarme, çelik, ahşap vb.) seçilir.
Örnek: Endüstri yapısı (fabrika, depo vs.)
- Yerinde dökme betonarme sistem
- Prefabrike betonarme sistem
- Çelik çerçeve sistem
- Çelik kafes sistem
- Betonarme kolonlu çelik kiriş veya kafes sistem
- Ön gerilmeli betonarme sistem vs.
3) Yapının formu (şekli), mesnetleri, birleşim noktaları vs. idealleştirilerek hesap
modeli kurulur.
hesap modeli = idealleştirilmiş sistem = yapı sistemi
8
Yapı Mühendisliğinde İzlenen Yol
4) İşletme yükleri (yapıya kullanım süresi içinde etkiyecek yükler)
belirlenir. Bunun için Standartlar ve Yönetmeliklerden yararlanılır.
- TS 498; T.C. Karayolları Fenni Şartnamesi
- Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik (2007)
- UBC; DIN 1055; DIN 1972
5) Malzemelerin mekanik özellikleri (E, υ, sınır gerilmeler σs, …) belirlenir
(yönetmelikler, malzeme deneyleri)
6) Yapı sisteminin en kesitleri tahmin edilir. İzostatik sistemlerde en kesit
tahmini yapmak gerekli değildir.
9
Yapı Mühendisliğinde İzlenen Yol
7) Yapı sistemi, işletme yükleri veya bu yüklerin yük güvenlik katsayıları ile
çarpılarak elde edilen hesap yükleri altında hesaplanarak kesit zorları ve
yer değiştirmeler elde edilir (Yapı Statiği bilim dalı)
8) Kesit hesapları ve yer değiştirme kontrolleri yapılır (Mukavemet,
Betonarme ve Çelik bilim dalları).
9) En ekonomik çözüm seçilir. Seçim yapılırken yapının estetiği de göz
önünde bulundurulur.
• 6-8 adımları tekrarlanır.
• Çeşitli alternatif çözümler denenir. Gerekirse 2-8 adımları tekrarlanır.
10
Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller
1) Yapı Statiğinde incelenen sistemler yüklemenin şekline ve şiddetine bağlı
değildir. Yüklemenin şekline ve/veya büyüklüğüne göre hesap modeli
değişmez.
2) Yer değiştirmelerin, denge denklemlerine ve geometrik uygunluk şartlarına
etkisi dikkate alınmayacak kadar küçüktür.
- Kesit zorlarının hesabında (δ)’lar
ihmal edilir.
- Denge denklemleri şekil değiştirmemiş sistem üzerinde yazılır.
 1. ve 2. varsayımların yapıldığı
hesaplamaya 1. Mertebe Teorisi
denir.
11
Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller
3) Malzeme lineer elastiktir.
σ
E=
ε
τ
E
(Elastisite Modülü) =
G =
G
γ
2 (1 + υ)
12
Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller
• Beton:
13
Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller
• Çelik:
14
Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller
• Yukarıda yapılan üç varsayımın geçerli olduğu hesaplama yöntemlerinde
Süperpozisyon Prensibi geçerlidir.
1
+ 2
1
+ 2
İzostatik Sistemlerde Süperpozisyon
+ 3
Hiperstatik Sistemlerde Süperpozisyon
15
Yapı Sistemleri
• Bir yapının tümünün veya bir bölümünün idealleştirilmesinden oluşan
hesap modeline Yapı Sistemi adı verilmektedir.
Yapı
Yapı Sistemi
• Yapı sistemleri oluştukları yapı elemanlarının türlerine bağlı olarak;
- Bir boyutlu sistemler (çubuk sistemler)
- İki boyutlu sistemler (yüzeysel taşıyıcı sistemler)
- Üç boyutlu sistemler
olmak üzere sınıflandırılmaktadır.
16
Yapı Sistemleri
Düzlem çubuk sistem
Düzlem yüzeysel taşıyıcı sistem
Uzay çubuk sistem
Uzay yüzeysel taşıyıcı sistem
17
Yapı Sistemleri
•
Yapı elemanlarının sınıflandırılması:
a) Bir boyutlu elemanlar (çubuklar): İki boyutu, diğer boyutunun
(uzunluğunun) yanında küçük olan elemanlardır.
( h;b ) << L
h
L
-
b
Sabit kesitli çubuk
Değişken kesitli çubuk
Doğru eksenli çubuk
Eğri eksenli çubuk
18
Yapı Sistemleri
• Yapı elemanlarının sınıflandırılması (devam):
b) İki boyutlu elemanlar (yüzeysel taşıyıcı elemanlar): Bir boyutu
(kalınlığı) diğer iki boyutunun yanında küçük olan elemanlardır. Plak,
perde, kabuk, levha …
t≤
t
b
a, b
10 − 20
a
- Plak : Düzlemine dik yükler etkisindeki elemanlardır.
- Levha : Düzlemi içindeki yükler etkisindeki elemanlardır.
- Perde : Düzlemi içinde ve düzlemine dik yükler etkisindeki elemanlardır.
- Kabuk : Eğri yüzeyli elemanlardır.
19
Yapı Sistemleri
• Yapı elemanlarının sınıflandırılması (devam):
c) Üç boyutlu elemanlar: Üç boyutu da aynı önemde olan elemanlardır
(kalın plak, kalın levha, temel blokları, baraj gövdesi vb.).
 Bir yapıda, genel olarak bu yapı elemanlarından bir veya bir kaçı bir
arada bulunmaktadır.
(2)
(1)
(2)
(3)
(3)
(1)
 Yapı Statiğin dersinin konusu çubuk sistemlerdir ve düzlem çubuk
sistemlerine ağırlık verilecektir.
20
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• Yapı sistemlerinde iç kuvvet (kesit zoru) ve/veya şekil değiştirme ve yer
değiştirme meydana getiren dış etkilerin tümüne yük olarak
adlandırılmaktadır.
Başlıca yükler:
-
Dış yükler (yapı yükleri, ilave yükler, kar, rüzgar ve deprem yükleri)
Sıcaklık değişmesi (düzgün sıcaklık değişmesi, farklı sıcaklık değişmesi)
Rötre
Mesnet çökmeleri
İlkel kusurlar
Ön germe ve ard germe
21
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• İzostatik ve hiperstatik sistemlerde başlıca yüklerden dolayı oluşan
büyüklükler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:
Yükler
(Dış Etkiler)
Dış yükler
İzostatik Sistemler
Şekil
Yer
Kesit Zoru
Değiştirme
Değiştirme
var
var
var
Hiperstatik Sistemler
Şekil
Yer
Kesit Zoru
Değiştirme
Değiştirme
var
var
var
Sıcaklık değişmesi
yok
var
var
var
var
var
Rötre
yok
var
var
var
var
var
Mesnet çökmesi
yok
yok
var
var
var
var
İlkel Kusurlar
yok
yok
var
var
var
var
Ön ve Ard germe
var
var
var
var
var
var
22
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• Yüklerle ilgili standart ve yönetmelikler:
a) Ulusal yönetmelikler:
TS 498
TDY (Deprem Yönetmeliği
Karayolları Teknik Şartnamesi
b) ABD yönetmelikleri:
ASCE 7-98
UBC-97 (deprem)
AASHTO (karayolları)
AREA (demiryolları)
c) Alman yönetmelikleri:
DIN 1055
DIN 1072 (karayolları)
BE (demiryolları)
d) Avrupa Birliği yönetmelikleri: Eurocode 1
Eurocode 8 (deprem)
23
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
DIŞ ETKİLER
(YÜKLER)
I. TÜR
SINIFLANDIRMA
II. TÜR
SINIFLANDIRMA
III. TÜR
SINIFLANDIRMA
IV. TÜR
SINIFLANDIRMA
V. TÜR
SINIFLANDIRMA
YAPI YÜKLERİ
(Öz Yükler )
(g veya G)
SABİT YÜKLER
(Yapı Yükler i, Kar )
TEKİL YÜKLER
DİREKT YÜKLER
SICAKLIK DEĞİŞİMİ,
MESNET
ÇÖKMELERİ, RÖTRE
İLAVE YÜKLER
(İnsan, Ar aç, Kar vs.)
(q veya Q)
HAREKETLİ
YÜKLER
(Ar aç, Vinç vs.)
YAYILI YÜKLER
İNDİREKT
YÜKLER
TOPLAM YÜKLER
(p=g+q veya P=G+Q)
24
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• I. Tür Sınıflandırma:
- Yapı Yükleri (Öz Yükler): Yapı üzerinde devamlı etkiyen yüklerdir.
Yapının taşıyıcı olan veya olmayan kısımlarının ağırlıkları ile toprak itkisi
gibi yüklerdir.
- İlave Yükler: Yapı üzerinde devamlı olarak bulunmayan insan, kar,
deprem, araç vs. gibi yüklerdir.
- Toplam Yükler: Yapı yükleri ile ilave yüklerin toplamından oluşurlar.
• II. Tür Sınıflandırma:
- Sabit Yükler: Yapı üzerinde hareket etmeyen yüklerdir. Bu yüklerin
dinamik etkisi yoktur.
- Hareketli Yükler: Yapı üzerinde hareket eden yüklerdir. Bu yüklerin
dinamik etkisi vardır.
25
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
•
-
III. Tür Sınıflandırma:
Tekil Yükler: Sonsuz küçük bir uzunluğa, alana veya hacme etkiyen yüklerdir.
Birimi; N, kN.
-
Yayılı Yükler: Sonlu bir hacme, alana veya uzunluğa etkiyen yüklerdir. Birimi;
N/m, kN/m, kN/m2, N/m2… Yayılı yükün şiddeti (p) ise
∆p
x
∆p
p = lim
∆x →0 ∆x
∆x
şeklinde tanımlanır. Yayılı yük diyagramında taramanın doğrultusu yükün
etkidiği ve şiddetinin ölçüldüğü doğrultu olarak seçilir.
 Yük katarı: Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit kalarak sistem üzerinde hareket
eden yük gruplarıdır.
26
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• Özel Yayılı Yükler:
- Düzgün yayılı yük: Şiddeti sabit olan yüklerdir. Yatayda yayılı yükün şiddeti p ise
sistem üzerinde dx uzunluğuna gelen yük pdx kadardır.
p
Eğer yayılı yük eğri üzerinde şekildeki gibi yayılı ise, eğrinin birim uzunluğuna
gelen yük ise
p
dx
α
pdx
 dx

=
p cos α; 
=
cos α 
ds
 ds

ds
27
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• Özel Yayılı Yükler (devam):
- Yamuk yayılı yük: Şiddeti uzunluk boyunca doğrusal değişen yayılı yüktür. Yük
diyagramının denklemi ise
pb
pa − p b
x a pa − x b p b
=
C =
, D
xa − xb
xa − xb
px
pa
xa a
b
x
p(x)
= Cx + D
xb
- Üçgen yayılı yük: a noktasındaki şiddeti sıfır olan özel bir yamuk yayılı yüktür.
pb
px
pa
xa a
b
x
xb
28
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
•
-
Özel Yayılı Yükler (devam):
Parabol yayılı yük: Yük diyagramı 20 parabol olan yayılı yüktür. Bu parabolün
denklemi ise
x
px
4p
=
p(x)
x(L − x)
2
L
L
 Yukarıdaki yayılı yük tiplerinden bir veya bir kaçı bir araya gelerek bileşik yayılı
yükleri oluştururlar.
 Etkime doğrultuları, etkime genişlikleri ve başlıca noktalardaki şiddetleri aynı
olan yükler eşdeğerdir.
29
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• Bileşke: Belirli sayıdaki kuvvetlerin tümüne eşdeğer olan tek kuvvete bu
kuvvetlerin bileşkesi adı verilir. Bileşkenin karakteristikleri
-
Doğrultusu
-
Yönü
-
Şiddeti
-
Uygulama noktası
30
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• Yayılı Yüklerin Bileşkesi:
a) Yayılı yükün bileşkesinin şiddeti yük diyagramının alanına eşittir.
R
p(x)
∆R
∆R
=
R lim ∑=
∆x
∆x →0
a ∆x
b
a
xb
∫ p(x)dx
xa
b
∆x
b) Yayılı yükün bileşkesinin yeri ise yük diyagramının ağırlık merkezinden
geçmektedir.
=
x0
∆Rx ∫ p(x)xdx
∑
=
∑ ∆R ∫ p(x)dx
31
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
R
q
x
L
1
R = qL
2
1
xR = L
3
q
20 parabol
x
L
1
R = qL
3
1
xR = L
4
xR
q
20 parabol
q
x
L
2
R = qL
3
1
xR = L
2
30 parabol
x
L
q
n0 parabol
x
L
1
R = qL
4
1
xR = L
5
1
R=
qL
n +1
1
xR =
L
n+2
32
Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması
• IV. Tür Sınıflandırma:
- Direkt Yükler: Yapı sisteminin üzerine doğrudan doğruya etkiyen
yüklerdir.
-
İndirekt Yükler: Yapı sisteminin üzerine dolaylı olarak etkiyen yüklerdir.
• V. Tür Sınıflandırma:
Sıcaklık değişimi, rötre, mesnet çökmeleri gibi yüklerdir. Bu tür yükler
izostatik sistemlerde şekil değiştirme meydana getirir, iç kuvvet
meydana getirmezler. Hiperstatik sistemlerde ise şekil değiştirme ile
birlikte iç kuvvet de meydana getirirler.
33
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
• Düzlem Sistemler: Eleman eksenleri ve yükleri aynı düzlem içinde olan
sistemlere denir.
• Uzay Sistemler: Eleman eksenleri ve yükleri uzayda herhangi bir
konumda olan sistemlere denir.
• Çubuk Ekseni: Çubuğun bütün en kesitlerindeki ağırlık merkezlerini
birbirine birleştiren eğri veya doğruya denir. Çubuk ekseni eğrisel ise bu
çubuklara eğri eksenli çubuklar, çubuk ekseni bir doğru ise bu tür
çubuklara da doğru eksenli çubuklar adı verilir.
Çubuk Ekseni
Enkesit Ağırlık Merkezi
G
Çubuk Enkesiti
34
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
• Dik Kesit: Çubuk ekseni üzerindeki bir noktadan bu eksene çizilen dik
düzlemin çubuk ile ara kesitine verilen isimdir.
• Çubuk Türleri: Doğru eksenli çubuk, eğri eksenli çubuk, sabit kesitli
çubuk, değişken kesitli çubuk vb.
Çubuk Ekseni
Enkesit Ağırlık Merkezi
G
Çubuk Enkesiti
35
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
•
Mafsal: Sistemde momentin
sıfır olduğu yerlerdir.
•
Düğüm
Noktaları:
Yapı
çubuklarının
birbirleri
ile
birleştikleri noktalardır.
1
2
=
M1 0=
, M2 0
a) Rijit Düğüm Noktası: Yapı
çubuklarının
rijit
olarak
birleştiği
noktalardır.
Bu
düğüm noktalarına bağlanan
çubuklarda
dönmeler
birbirine eşit, momentler
sıfırdan farklıdır.
b) Mafsallı Düğüm Noktası: Yapı
çubuklarının birbiri ile bir mil
etrafında serbestçe dönebilecek
şekilde
bağlandığı
düğüm noktalarıdır.
1
2
ϕ1 ≠ ϕ2 ≠ 0
M
=
M
=
0
1
2
36
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
•
-
Mesnetler: Yapıların dış ortamla birleştiği yerler mesnet olarak adlandırılır.
Ankastre Mesnet
Sabit Mesnet
Hareketli (Kayıcı) Mesnet
Pandül Ayak
Elastik Ankastre Mesnet
a) Ankastre Mesnet: Ankastre mesnette çubuk, sonsuz rijit bir ortama yer
değiştirme yapmayacak şekilde bağlanmıştır. Bu mesnet türünde u, v yer
değiştirmeleri ile ϕ açısal yer değiştirme, yani dönme, sıfırdır.
37
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
b) Sabit Mesnet: Sabit mesnetlerde çubuk, dış ortama serbestçe
dönebilecek şekilde bağlanmıştır. Bu tip mesnetin u ve v yer
değiştirmeleri sıfırdır.
c) Hareketli (Kayıcı) Mesnet: Hareketli mesnetlerde çubuk, serbestçe
dönebilecek ve bir doğrultuda serbestçe hareket edebilecek şekilde
bağlanmıştır. Bu mesnetlerde sadece bir yer değiştirme sıfırdır.
38
Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar
d) Pandül Ayak: Üzerine kuvvet
etkimeyen iki ucu mafsallı doğru
eksenli çubuklara pandül ayak adı
verilmektedir. Bu çubuklarda çubuk
ekseni boyunca olmak üzere sadece
bir reaksiyon kuvveti vardır.
d) Elastik Ankastre Mesnetler:
- Dönmeye Karşı Elastik Ankastre
Mesnet: Bu tip mesnetlerin u, v yer
değiştirmeleri sıfırdır. Mesnete bir
moment etkidiği zaman bu mesnet
ϕ kadar döner. Bu dönme moment
ile orantılıdır.
-
Çökmeye Karşı Elastik Ankastre
Mesnet: Bu tip mesnetlere bir P
kuvveti etki ettiğinde, mesnet
kuvvetin büyüklüğü ile orantılı
olarak bir miktar çöker.
39
Denge Denklemleri
• Çeşitli dış etkiler altındaki bir sistem hareketsiz ise veya mevcut durumunu
koruyor ise bu sistemin dengede olduğu düşünülür. Dengede olan bir cisim
üzerine etkiyen kuvvetler, cisim üzerindeki her noktada ve her doğrultuda
y
birbirini dengeler.
y
x
x
z
• Denge, cismin hareketi ile ilgilidir. Cismin hareketi ise içinde olduğu ortamla
sınırlıdır. Yani cismin uzayda yaptığı hareket ile düzlemde yaptığı hareketin
bileşenleri ve dolayısı ile denge denklemleri farklıdır.
40
Denge Denklemleri
•
Düzlem Sistemlerde Denge: Düzlemde, bir
cismin yaptığı hareket, iki ötelenme ve bir
dönme bileşeni olmak üzere üç tanedir. Eğer
düzlemdeki bu cisim dengede ise üç tane
denge şartını sağlaması gerekmektedir.
y
a) Sisteme etkiyen kuvvetlerin x-ekseni üzerindeki
izdüşümlerinin toplamı sıfırdır (ΣFX=0).
b) Sisteme etkiyen kuvvetlerin y-ekseni üzerindeki
izdüşümlerinin toplamı sıfırdır (ΣFY=0).
c) Sisteme etkiyen kuvvetlerin düzlem içindeki
herhangi bir noktaya göre statik momentlerin
toplamı sıfırdır (ΣM=0).
VA
θZ
A
UA
x
z
41
Denge Denklemleri
•
Uzay Sistemlerde Denge: Uzayda, bir cismin
yaptığı hareket, üç ötelenme ve üç dönme
bileşeni olmak üzere toplam altı tanedir. Eğer
uzaydaki bu cisim dengede ise altı tane denge
şartını sağlaması gerekmektedir.
y
a) Sisteme etkiyen kuvvetlerin x, y, z eksenleri
üzerindeki izdüşümlerinin toplamı sıfırdır.
(ΣFX=0, ΣFY=0, ΣFZ=0).
b) Kuvvetlerin uzayda seçilen herhangi bir noktaya
göre statik momentlerinin x, y, z eksenleri
üzerindeki izdüşümlerinin toplamı sıfırdır.
(ΣMX=0, ΣMY=0, ΣMZ=0).
θy
VA
θZ
z
A
WA
θx
UA
x
42
Mesnet Tepkileri
• Bir yapıya etkiyen dış kuvvetler, mesnet tepkileriyle birlikte dengededir. Mesnet
tepkileri belirlenirken, mesnetler kaldırılıp onun yerine mesnet türlerine göre bağ
kuvvetleri yazılır. Denge denklemleri ile bu kuvvetler bulunur.
y
y
A
B
Ax
x
•
-
Ay
By
x
Düzlemde mesnet reaksiyonları sayısı (r) ise;
r<3 ise sistem taşıyıcı değildir.
r=3 ise mesnet tepkileri denge denklemleri ile hesaplanabilir.
r>3 ise sistem hiperstatiktir.
43
Kesit Tesirleri
•
•
•
Bir yapı sisteminde yüklerden (dış etkilerden) oluşan iç kuvvet bileşenlerine
kesit zorları (kesit tesirleri, iç kuvvetler) adı verilmektedir. Diğer bir değişle
taşıyıcı sistemlerde dış kuvvetlerden dolayı kesit içlerinde meydana gelen
zorlanmalara kesit tesirleri denir.
Yükler ve bunlardan oluşan mesnet tepkileri altında dengede olan bir sistem
herhangi bir noktasından kesilerek iki parçaya ayrıldığında, parçaların dengesini
bozmamak için her bir parçanın üzerine, diğer parça tarafından uygulanan
etkileri de yerleştirmek gerekir. Bu durumda kesit ağırlık merkezine bir R
kuvveti ile bir M momenti yerleştirmek gerekir.
Etki-tepki prensibine göre, sol ve sağ parçalara etkiyen kesit zorları birbirlerine
eşit şiddette ve ters yöndedir.
R
M
M
i
G
G
R
44
Kesit Tesirleri
• Düzlemde Kesit Tesirleri:
Yükleri ve çubukları aynı düzlem içinde olan sistemler olan düzlem
sistemlerde R ve M kesit tesirleri aşağıdaki şekilde bileşenlere ayrılır ve
adlandırılır.
a) Normal Kuvvet: R vektörünün çubuk ekseni doğrultusundaki (kesit
düzlemine dik) bileşenidir ve N harfi ile gösterilir. Normal kuvvet, σ
normal gerilmelerinin toplamıdır.
b) Kesme Kuvveti: R vektörünün çubuk eksenine dik (kesit düzlemine
paralel) doğrultudaki bileşenidir ve V veya T harfi ile gösterilir. Kesme
kuvveti, τ kayma gerilmelerinin toplamıdır.
c) Eğilme Momenti: σ normal gerilmelerinin, kesitin ağırlık merkezinden
geçen ve sistem düzlemine dik olan eksene göre statik momentlerin
toplamına eşittir ve M harfi ile gösterilir.
45
Kesit Tesirleri
•
Düzlemde Kesit Tesirleri (devam):
Kesit tesirleri vektörel büyüklükler oldukları için doğrultu, yön ve şiddetlerinin
belirtilmesi gerekir. Şiddetleri bir skaler büyüklükle belirtilirken, doğrultularının
da isimleriyle belirtildiği hatıra getirilmelidir. Ancak yönlerinin anlatılabilmesi için
bir işaret kabulünün yapılması gerekir. Bunun için bir bakış yönü seçilir. Şekilde
sağ ve sol kesitler ile kesit tesirlerinin düzlemsel sistemlerde kabul edilen pozitif
yönleri gösterilmiştir.
M
N
T
M
Sağ Kesit
Sol Kesit
Bakış Yönü
N
T
46
Kesit Tesirleri
•
Bakış Yönü: Kesit tesirlerinin pozitif yönlerinin tanımlanmasında bakış
yönünden yararlanılır. Bu amaçla,
a) Her çubuğun bir tarafı bakış yönü olarak işaretlenir.
b) Bakış yönü statik hesapları yapan ve değerlendirenler arasındaki bir
anlaşmadır. Hesapların sonuna kadar aynı bakış yönü kullanılır.
M
N
Bakış Yönü
T
M
Sağ Kesit
Sol Kesit
Bakış Yönü
N
T
Bakış Yönleri
 N (Normal Kuvvet): Çubukta uzama meydana getirecek yönde pozitiftir.
 T (Kesme Kuvveti): Çubuğu saat yönünde döndürmesi halinde pozitiftir.
 M (Eğilme Momenti): Bakış yönü tarafındaki liflerde çekme (uzama) meydana
getirmesi halinde pozitiftir.
47
Kesit Tesirleri
• Uzayda Kesit Tesirleri:
Yükleri ve çubukları uzayda olan sistemler
uzaysal sistemler olarak adlandırılırlar. Bu
tür sistemlerde R ve M kesit tesirlerinin her
birinin üç bileşeni vardır.
z
a) Normal Kuvvet: R vektörünün çubuk ekseni
doğrultusundaki (kesit düzlemine dik)
bileşenidir
Vz
M
b) Kesme Kuvveti: R vektörünün çubuk
eksenine dik (kesit düzlemine paralel)
doğrultudaki bileşenidir
G
M
c) Eğilme Momenti: σ normal gerilmelerinin,
kesitin ağırlık merkezinden geçen ve sistem
düzlemine dik olan eksene göre statik
momentlerin toplamına eşittir.
Mz
x
Vx
R
N
y
My
x
d) Burulma Momenti: kesitin ağırlık merkezinden geçen ve Y eksenine göre çubuğu
burmaya çalışan momentlerin toplamıdır.
48
İzostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) Sistemler
• İzostatik Sistemler: Bütün mesnet tepkileri ve kesit tesirleri yalnız denge
denklemleri ile hesaplanabilen sistemlerdir.
• Hiperstatik Sistemler: Bütün mesnet tepkilerinin ve/veya kesit tesirlerinin hesabı
için denge denklemlerinin yeterli olmadığı sistemlerdir.
49
İzostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) Sistemler
 Hiperstatik sistemlerde çözümün elde edilebilmesi için, denge denklemlerinin
yanında, geometrik süreklilik denklemleri adı verilen ek denklemlere gerek
vardır.
• Oynak (Labil) Sistemler: Üzerine etkiyen tüm yükleri taşıyamayan sistemlerdir.
Bu sistemlerde, çok küçük yüklerden dolayı çok büyük yer değiştirmeler
meydana gelebilir.
Oynak sistemlerde mesnet tepkileri için anlamlı
çözümler bulunamaz. Sistemin labil olmaması için
aşağıdaki konulara dikkat edilmelidir:
a) Sistemdeki üç tepki birbirine paralel olmamalıdır.
b) Sistemdeki üç tepki aynı noktada kesişmemelidir.
50
Kesit Tesir Diyagramları
• Dış etkilerden (yüklerden) oluşan kesit tesirlerinin sistem üzerindeki
değişimini gösteren diyagramlara kesit tesir diyagramları adı
verilmektedir.
• Düzlem çubuk sistemlerde M, N, T (V) diyagramları olmak üzere üç kesit
tesiri diyagramı çizilir.
• Kesit tesir diyagramları sistemin şeması üzerine veya yatay eksende
çizilirler. Bu diyagramların herhangi bir noktadaki ordinatı, sistemin o
kesitindeki kesit tesiri (zoru) değerini verir.
51
Kesit Tesir Diyagramları
•
Kesit Tesiri Diyagramlarının Çiziminde Dikkat Edilmesi Gerekenler:
a) Kesit tesir diyagramları ölçekli (veya yaklaşık ölçekli) çizilmelidir.
b) Kesit tesirlerinin ordinatları çubuk eksenlerine dik çizilir.
c) Diyagramların üzerine başlıca noktalardaki değerler yazılır ve bölgelerin
işaretleri konur.
d) Kesme kuvveti diyagramında pozitif değerler bakış yönünün aksi
tarafında, Moment diyagramında pozitif değerler bakış yönü tarafında
gösterilir. Normal kuvvet için böyle bir ayırım yoktur.
52
Kesit Tesir Diyagramları
•
Kesit Tesir Diyagramlarının Çizimi:
a) Genel Yol: Sistemin yeter derecede sık kesitlerindeki kesit tesirleri
hesaplanarak M, N ve T diyagramları çizilir.
b) Fonksiyonlar Yöntemi: Sistem yeterli sayıda bölgeye ayrılarak her bölge
için M(x), N(x) ve T(x) kesit zorlarının fonksiyonları belirlenir ve
bunların fonksiyonları çizilir.
c) Kritik Kesitler Yardımıyla Çözüm: Sistemin kritik kesit adı verilen sınırlı
sayıdaki kesitlerinde kesit tesiri (zoru) hesaplanır ve bu değerlerden
yararlanılarak M, N ve T diyagramları çizilir. Bu yol en uygun yoldur.
53
Kesit Tesir Diyagramları
• Kritik Kesitler: Kesit tesirleri (zorları) diyagramlarının çizilebilmesi için,
kesit zorlarının hesaplanması gereken kesitlere kritik kesitler adı
verilmektedir.
-
Mesnetlerin iki yan noktaları
-
Sistemin uç noktaları
-
Düğüm noktalarında birleşen çubukların uç noktaları
-
Tekil kuvvetlerin ve tekil momentlerin iki yan noktaları
-
Yayılı yüklerin başlangıç ve bitiş noktaları ile şekil ve değer değiştirdiği
noktalar
54
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
•
Kesit yöntemi geometri bakımından her türlü taşıyıcıya uygulanabilen çok güçlü
bir yöntem olmasına karşın, süreksizliklerin sayısı arttığında işlemlerin sayısı da
artar. İşlem hacmindeki artış hata riskini de artırır. Bundan kurtulmak için
hesap kolaylığı olan bir yöntem kullanmak gerekir. Bu yöntemin temelinde
kesme kuvveti (T) ile moment (M) arasındaki ilişki yatar. Bu ilişki de sonsuz
küçük bir çubuk elemanın serbest cisim diyagramında yazılacak denge
denklemleridir.
A
B
dx
N
M
T
M+dM
N+dN
dx
T+dT
55
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
N
M
T
M+dM
N+dN
dx
•
T+dT
Bu şekil üzerinde denge denklemleri yazılırsa;
→
∑F
x
=0 ⇒ N − (N + dN) =0 ⇒ N =Sabit
dT
∑ Fy = 0 ⇒ T − (T + dT) − qdx = 0 ⇒ dx = −q
(1)
qdx 2
dM
∑ M =0 ⇒ M − (M + dM) + Tdx − 2 =0 ⇒ dx =T
( 2)
56
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
•
(1) numaralı denklem kesme kuvvetinin türevinin yayılı yükün negatif işaretlisini
vermektedir. Ayrıca bu denklem aynı noktadaki kesme kuvveti diyagramının
teğetinin eğimini vermektedir.
• (2) numaralı denklem ise eğilme momentinin türevinin kesme kuvvetini
verdiğini göstermektedir.
 (1) ve (2). bağıntı kirişin herhangi iki A ve B noktası arasında integre edilip, ve
sabitler dışarı alınırsa;
B
TB=
B
∫ qdx + T
⇒ TB − TA=
A
A
∫ qdx
A
B
MB =
∫ Tdx + M
A
Herhangi iki nokta (A ve B) arasındaki
kesme kuvveti farkı, o iki nokta arasındaki
yük diyagramının alanına eşittir.
B
A
⇒ MB − MA =
∫ Tdx
A
Herhangi iki nokta (A ve B) arasındaki
moment farkı, o iki nokta arasındaki kesme
diyagramının alanına eşittir.
57
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
• Teorem 1: Sistemin her hangi bir (n) kesitindeki kesit tesirleri belli iken, her
hangi bir (n+1) kesitindeki kesit tesirlerinin hesabı için: (n+1) kesitinin solunda
kalan bütün dış kuvvetler yerine, (n) kesitindeki kesit tesirleri ile (n)-(n+1)
kesitleri arasındaki dış kuvvetler alınabilir.
N n +1 = N n
Tn +1 =
Tn − ∑ Q − ∫ q(x)dx
M n +1 = M n + Tn a − ∑ Qi x i − ∫ q(x)xdx
58
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
•
Teorem 2: Komşu iki kesitteki (n ve n+1) eğilme momentleri belirli iken bu iki kesit
arasındaki M diyagramının çiziminde, (n) ve (n+1) kesitlerindeki eğilme momentlerini
ordinat olarak almak suretiyle çizilen doğrusal diyagrama (çekirdek moment diyagramı)
(n) ve (n+1) açıklıklı basit kirişte q(x) yükünden oluşan M0 diyagramı cebrik olarak
(işareti göz önüne tutularak) eklenir.
59
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
• Pratik Sonuçlar:
1) Kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitlerde moment maksimum yada
minimumdur.
2) Kesme kuvvetinin pozitif olduğu yerlerde (x) arttıkça moment büyür. Negatif
kesme kuvvetinde bunun tam tersi olur.
3) Kirişin belli bir parçasında M’deki değişme miktarı eğer dıştan ayrıca bir
moment etkimiyorsa kesme kuvvet diyagramının alanına eşittir.
4) İki kesit arasındaki kesme kuvveti farkı iki kesit arasındaki diyagramın alanına
eşittir.
5) Kesme kuvvetinin integrali momenti verir.
6) Tekil yükün etkidiği noktada kesme kuvvetinin mutlak değeri o noktadaki tekil
yükün değerine eşittir.
7) Tekil kuvvetlerin etki ettiği noktada kesme kuvveti ani olarak değişir.
8) Kesme kuvvetinin ani değiştiği yerlerde moment diyagramında köşeler oluşur.
9) Yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti diyagramı yataydır.
10) Yayılı yüklerde kesme kuvveti diyagramı doğrusal, moment diyagramı
paraboldur.
60
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
61
Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar
• A noktasında nokta 7 birim yukarı hareket
ederek 1 noktasına ulaşır.
• Başka kuvvet olmadığı için 2. noktaya
kadar yatay üzerinde sağa doğru hareket
eder.
• X=2 m’de 10 kN’luk kuvvetle karşılaşılan
nokta, 2’den itibaren 10 birim aşağı iner
ve 3’e ulaşır.
• 3’den 4’e kadar, nokta yatay üzerinde
sağa doğru hareket eder.
• 4’de 5 kN’luk kuvvetle karşılaşan nokta 5
birim daha aşağı hareket ederek 5
noktasına ulaşır.
• 5’ten 6’ya yatay hareket eden nokta 6’da
karşılaştığı 8 kN’luk kuvvetle yukarı
hareket ederek B’ye ulaşır.
• Kesme kuvveti diyagramı alanından
moment diyagramı elde edilir.
 Kesme kuvveti ve moment diyagramı
düşey denge ve moment denge koşulları
nedeniyle B noktasında kapanmalıdır.
10 kN
5 kN
A
B
2m
10 kN
2m
1m
5 kN
Ax
Ay=7 kN
By=8 kN
1
7
3
2
+
C
A
D
-
3
-
4
5
5
6
+
14
B
8
2
1
62
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
Basit Kiriş, Konsol Kiriş ve Konsollu Kiriş:
• Mesnetlerinden biri sabit mafsallı ve diğeri
hareketli mafsallı olan tek açıklıklı kirişlere
basit kiriş adı verilir.
B
A
Ax
Ay
By
MA
• Bir ucu ankastre diğer ucu boşta olan tek
açıklıklı kirişlere konsol kiriş adı verilir.
A
Ax
Ay
• Bir veya iki ucunda konsolu bulunan basit
kirişlere konsollu kirişler adı verilir.
A
B
Ax
Ay
By
63
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Gerber Kirişleri:
Basit kiriş, konsol kiriş ve konsollu kirişlerin birbirlerine mafsallı olarak
birleşmelerinden oluşan taşıyıcı ve izostatik sistemlere gerber kirişleri adı
verilmektedir. Çok açıklıklı sürekli kiriş olan bu sistemi ilk uygulayan Alman
mühendis H. Gerber’dir. Mafsal sayısı, kirişin hiperstatiklik derecesine eşittir.
64
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Gerber kirişleri pratikte (uygulamada) genellikle çatı aşıkları ve köprü kirişleri
olarak kullanılırlar.
• Gerber kirişleri;
- Kısa elemanlar olduğundan prefabrik olarak imal edilebilir ve taşınabilirler.
- Meydana gelen her kuvvet izostatiktir. Mesnet çökmesinden, sıcaklık
değişmesinden etkilenmez.
65
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Gerber kirişleri oluşturulurken, sistemin taşıyıcı olmasına (oynak olmamasına)
dikkat edilmelidir.
Hiperstatik parça
Oynak parça
Oynak parça
Hiperstatik parça
• Gerber kirişlerinde oynak parçaların bulunmaması için bir takım mafsal
yerleştirme kuralları bulunmaktadır.
66
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
a)
b)
c)
d)
e)
Gerber kirişlerinde mafsal yerleştirme kuralları:
Kenar açıklıklara en fazla bir, orta açıklıklara en fazla iki mafsal konulabilir.
İki mafsal konulan ara açıklıklara komşu açıklıklara mafsal konulmamalıdır.
Yan yana komşu iki açıklık mafsalsız bırakılmamalıdır.
Yan yana komşu iki açıklığa iki mafsal konulmamalıdır.
Mafsallar nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin bir açıklık mafsalsız bırakılmalıdır.
-
Bir ankastre mesnedi olan gerber kirişlerinde bu kurallarda bazı değişiklikler
yapılabilir:
a) Ankastre mesnetli kenar açıklığa iki mafsal konulabilir.
b) Yukarıdaki maddelerden (e) maddesi uygulanmayabilir.
c) Ankastre mesnetli açıklığa en az bir mafsal konulmalıdır.
67
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
Bilinmeyen Reaksiyon Sayısı: 7
Denge Denklemleri Sayısı: 3
Gerekli Mafsal Sayısı: 4
Kısaca açıklık sayısının bir eksiği kadar mafsal gereklidir.
Açıklık Sayısı:
5
Gerekli Mafsal Sayısı: 5-1=4
68
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Gerber Kirişlerinin Sabit Yüklere Göre Hesabında İzlenen Yol:
1) Sistem mafsallarından kesilerek parçalara ayrılırsa, bu parçalardan bazılarının
tek başına taşıyıcı olmadıkları, diğerlerinin ise taşıyıcı oldukları görülür. Taşınan
parçalar kendi üzerindeki yükleri, mafsallardaki kuvvetler ile taşıyan parçalara
aktarırlar. Taşıyan parçalar ise hem üzerindeki yükleri hem de komşu
parçalardan aktarılan mafsal kuvvetlerini taşırlar. Sistem üzerindeki parçaların
yükleri nasıl taşıdığını gösteren bu şemaya taşıma şeması adı verilir. Dolaysıyla
öncelikle sistemin taşıma şeması çizilir. Bu şemada, taşınan parçalar üstte,
taşıyan parçalar ise onların altında gösterilir.
2) Önce taşıyıcı olmayan (taşınan) parçalar tek tek ele alınarak üzerindeki yüklere
göre hesaplanarak mafsal kuvvetleri bulunur.
3) Sonra, taşıyıcı parçalar üzerindeki yüklere ve komşu parçalardan aktarılan
mafsal kuvvetlerine göre hesaplanarak mesnet tepkileri hesaplanır.
4) Her parçaya ait kesit tesir diyagramları yan yana çizilerek tüm sistemin kesit
tesir diyagramları elde edilir.
69
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
70
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
71
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
72
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
Üç Mafsallı Sistemler: İki mesnedi sabit olan ve üzerinde bir mafsal bulunan
sistemlere üç mafsallı sistemler adı verilmektedir.
 Eksenleri eğri olan sistemlere “üç mafsallı kemerler”, çokgen olan sistemlere de
“üç mafsallı çerçeveler” adı verilir.
Anahtar
G
B Özengi
f
gisi
gi çiz
n
e
z
Ö
Özengi A
-
A, B; Sabit mesnetler
AB; Sabit mesnetleri birleştiren çizgi (özengi hattı)
G; Ara mafsalın bulunduğu kesit (anahtar noktası)
f; Ara mafsalın özengi hattına dik uzaklığı
L; Açıklık
f/L; Basıklık oranı
L
Üç mafsallı kemer
G
f
B
A
L
Üç mafsallı çerçeve
73
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Üç mafsallı kemerlerde özengi çizgisi genellikle yatay ve eksen 2. derece parabol
olmaktadır.
• İkinci derece parabole ait bazı geometrik özellikler aşağıda verilmiştir;
xm
20 parabol
y
m
Denklemi
=
: y
ϕm
ym
4f
x(L − x)
L2
f
x
L/2
L/2
2(f − y m )
(m) kesitindeki teğetin eğimi : tgϕm =
L
− xm
2
L
74
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
Üç mafsallı sistemlerde öncelikle mesnet tepkileri hesaplanır, daha sonra kesit
tesirleri hesaplanır ve diyagramları çizilir.
a) Mesnet tepkilerinin hesabı;
G
- Özengi çizgisi yatay ise:
A
∑M =
∑M =
A
B
∑M
∑M
0 → By 
 kontrol : ∑ Fy = 0
0 → A y 
B
Ax
Bx
Ay
= 0 → A x 
 kontrol : ∑ Fx = 0
G,sağ= 0 → B x 

By
G
G,sol
A
B
Ax
Bx
Ay
By
75
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
a) Mesnet tepkilerinin hesabı; (devam)
- Özengi çizgisi yatay değil ise:
G
∑M
∑M

= 0 
 → Bx ve By 
=
0

G,sağ

Fx = 0

∑
 kontrol :
Fy = 0
∑

∑ M B = 0  → A ve A 
x
y

=
M
0
∑ G,sol 

A
B
Bx
A
By
Ax
Ay
G
B
Bx
A
By
Ax
Ay
76
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
b) Kesit tesirlerinin hesabı;
-
Kesit tesirleri bilinen şekilde hesaplanır. Her hangi bir “m” kesitindeki kesit
tesirleri aranıyorsa
Sistem “m” kesitinden ikiye ayrılır.
Parçalardan birine etkiyen kuvvetlerden faydalanarak o noktadaki pozitif yön
kabulüne göre kesit tesirleri hesaplanır.
c) Kesit tesir diyagramlarının çizilmesi;
-
Üç mafsallı çerçevelerde: Kritik kesitlerdeki kesit zorları hesaplanarak M, N ve T
(V, Q) diyagramları bilinen şekilde çizilir.
-
Üç mafsallı kemerlerde: Eğri eksenli sistemlerde kritik kesit kavramı geçerli
olmadığından, yeterli sayıdaki kesitte kesit tesirleri hesaplanır ve M, N, T (V, Q)
diyagramları nokta nokta çizilir.
77
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Üç mafsallı kemerlerde kesit tesirlerinin bulunması:
Pyi
m
G
Pxi
Pyi
Ax
A
Ay
B
m
Bx
Pxi
By
Ax
Nm
Mm
ϕm
Tm
A
Ay
78
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Üç mafsallı kemerlerde kesit tesirlerinin bulunması:
- Normal kuvvet:
∑F = 0 ⇒ N
m
T
=
A y − ∑ Pyi
0
=
H A x + ∑ Pxi
+ A x Cosϕm +A ySinϕm + Pxi Cosϕm − PyiSinϕm = 0
⇒ N m =−  A y − ∑ Pyi  Sinϕm −  A x + ∑ Pxi  Cosϕm
N m =−T0Sinϕm − HCosϕm
Pyi
- Kesme kuvveti:
∑F = 0 ⇒ T
m
+ A x Sinϕm −A y Cosϕm + PxiSinϕm + Pyi Cosϕm = 0
m
Pxi
⇒ Tm =−  −A y + ∑ Pyi  Cosϕm −  A x + ∑ Pxi  Sinϕm
Nm
Mm
ϕm
Tm
T
=
T0 Cosϕm − HSinϕm
m
- Eğilme momenti:
“m” kesitindeki Mm kesit tesirinin değeri,
dış yüklerin “m” kesitine göre momenti
alınarak elde edilir.
Ax
A
Ay
79
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Üç mafsallı sistemlerde yüklerin düşey olması durumu:
Üç mafsallı sisteme etkiyen yüklerin yalnızca düşey olması özel halinde üç
mafsallı sistemin mesnet tepkileri ve kesit zorları, aynı açıklıklı basit kirişe ait
büyüklüklerden yararlanılarak hesaplanabilir. Bu kavram eksen eğrisinin
seçilmesinde ve hareketli yüklere hesapta yardımcı olmaktadır.
Pi
m
Ax
G
∑F
f
∑ M B =0 ⇒ A y L − ∑ Pi bi =0 ⇒ A y =
A
x
∑Pb
B
Ay
Bx
∑M
A
=0 ⇒ By L − ∑ Pi a i =0 ⇒ By
By
∑Pb
∑ M B =0 ⇒ A0 =
G
A0
=0 ⇒ A x − Bx =0 ⇒ A x =Bx =H
ai
bi
L
B0
i
i
i
L
Pa
∑
=
i i
L
i
L
∑Pa
∑ M A =0 ⇒ B0 =
i i
L
80
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Üç mafsallı sistemlerde yüklerin düşey olması durumu (devam):
Pi
G
m
∑M
f
Ax
A
G,sol
G
=0 ⇒
A y x G − ∑ Pi x i
sol


A y = A 0 olduğundan bu ifade M 0 G ' ye eşittir
B
Bx
M 0G − Hf =0 ⇒ H =
Ay
By
ai
bi
L
M 0G
f
M0G aynı açıklıklı basit kirişte G kesitindeki
eğilme momentidir.
G
A0
− Hf =0
B0
N m =−T0Sinϕm − A x Cosϕm
Sonuç olarak, kemer basit kiriş gibi ele
alınıp, sırayla mesnet reaksiyonlarını ve T
=
T0 Cosϕm − A x Sinϕm
m
kesit tesirleri hesaplanıp, sinφ ve cosφ
değerleriyle çarpılarak kemerin
kesit tesirleri elde edilir.
T
=
A y − ∑ Pyi
0
H = Ax
=
M
M 0m − A x y m
m
81
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Üç mafsallı sistemlerde eksen eğrisinin seçimi (en ekonomik kemer eğrisi):
En ekonomik kemerler, kemerin her kesitinde eğilme momentinin sıfır olduğu
veya çok küçük olduğu eğrilerden meydana gelen kemerlerdir.
=
M(x) M 0 (x) − Hy(x)
H=
M 0G
f
M(x) =
M 0 (x) −
y(x) =
M 0G
y(x) =
0
f
f
M 0 (x)
M 0G

orantı katsayısı
82
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Görüldüğü gibi, kemerin y(x) eksen eğrisi, g(x) yükünden dolayı aynı açıklıklı
basit kirişte meydana gelen M0(x) diyagramı ile orantılı olarak seçilirse bütün
kesitlerde M(x)≈0 olur. Bu eksen eğrisine g(x) yükünün finiküleri (ip eğrisi) adı
verilir.
y(x) =
f
M 0 (x)
(Eksen eğrisi)
M 0G

orantı katsayısı
Eksen eğrisinin bu şekilde seçilmesi
M(x) ≅ 0 →
dM(x)
= T(x)
= 0
dx
olduğundan, yapının en ekonomik bir
şekilde boyutlandırılmasını sağlar.
Eksen eğrisinin bu şekilde seçilmesi halinde,
her kesitte sadece normal kuvvet oluşacaktır.
M 0G
H
N=
−
=
cosϕ f cosϕ
83
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
Üç mafsallı gergili kemerler ve çerçeveler:
Mesnetlerinden birisi sabit, diğeri kayıcı olan, üzerinde bir ara mafsal ve ara
mafsalın iki tarafındaki parçaları birleştiren bir gergi bulunan sistemlere “üç
mafsallı gergili sistemler” adı verilmektedir.
 Bu tür sistemler, zeminlerin çok çürük olduğu veya sistemin oturduğu kolon
veya duvarların yatay itki kuvvetlerini taşıyamadığı veya çok zorlandığı
durumlarda kullanılırlar.
G
G
gergi
A
gergi
B
A
B
84
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
Üç mafsallı gergili kemerler ve çerçeveler (devam):
Sabit yüklere göre hesap:
 Bilinmeyenler:
a) Gergideki normal kuvvet (S gergi kuvveti)
b) Mesnet tepkileri; A, B ve HA
 Denklemler:
a) Tüm sistemin denge denklemlerinden yararlanarak mesnet tepkileri hesaplanır
b) MG=0 mafsal şartından S gergi kuvveti hesaplanır.

Mesnet tepkileri hesaplandıktan sonra kesit
hesaplandıktan sonra kesit tesir diyagramları çizilir.
tesirleri
bilinen
şekilde
85
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes Sistemler: Doğru eksenli çubukların birbirlerine mafsallı olarak
birleşmesinden oluşan taşıyıcı sistemler kafes sistemler olarak adlandırılmaktadır.
86
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes sistemleri oluşturan doğru eksenli çubuklar sadece çekme kuvveti
veya basınç kuvveti, yani sadece eksenel kuvvet etkisi altındadır.
• Kafes sistemler genellikle çelik veya ahşap malzemeden imal edilirler.
Açıklıkları ise 9 m’den 300 m’ye kadar değişmektedir.
• Özellikle büyük açıklıklı yapılarda, öz ağırlıkların fazla olması nedeniyle,
dolu gövdeli sistemler ekonomik olmamaktadır. Bu nedenle, büyük
açıklıklı yapılarda (çatı sistemleri, köprüler vs.) kafes sistemlerinden
faydalanılır.
87
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes sistemlerde çubukların mafsallı olarak birbirlerine birleştikleri
noktalara düğüm noktaları adı verilmektedir.
• Bir kafesin elemanları narindir, yani boyuna göre kesit boyutları küçük
olduğundan ve büyük yanal zorlamaları taşımaya müsait olmadığından,
yüklerin yalnızca düğüm noktalarına etki ettiği kabul edilmektedir.
88
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Yaygın Kafes Sistemler:
89
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
Uygulamada düğüm noktaları tam mafsallı yapılamadığından, sistemde ikincil
(sekonder) gerilmeler meydana gelir. Bu gerilmelerin olumsuz etkilerini
azaltmak için düğüm noktalarının teşkilinde şu hususlara dikkat etmek
gerekmektedir:
a) Çubuk eksenleri ve yükler aynı düzlem (sistem düzlemi) içinde olmalıdır.
b) Yükler düğüm noktalarına etkimelidir.
c) Çubuk eksenleri düğüm noktalarında kesişmelidir.
d) Çubuklar arasındaki açı küçük olmamalıdır (>26,30).
e) Birleşim elemanlarının ağırlık ekseni, çubuk ekseni ile mümkün olduğunca
çakışmalıdır.
90
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
Bulonlu veya kaynaklı birleşimler, mafsal kabul
edilirler. Bu durumda, eleman uçlarında tek
kuvvet bulunur (moment oluşmaz).
91
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
Kafes sistem çubuklarının isimlendirilmesi:
• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması:
a) Oluşturulma şekline göre:
- Basit kafes sistemler: En basit stabil kafes üçgendir (temel üçgen). Basit kafes
sistemler temel üçgene yeni üçgenler eklemek suretiyle oluşan sistemlerdir.
92
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması (devam):
a) Oluşturulma şekline göre:
- Bileşik kafes sistemler: Basit kafes sistemlerinin birbirlerine mafsallar ve/veya
çubuklarla birleştirilmesinden oluşan sistemlerdir.
-
Karmaşık kafes sistemler: Basit ve bileşik sistemlerin dışında kalan sistemlerdir.
Bu sistemlerin taşıyıcı olup olmadıkları kontrol edilmelidir.
93
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması (devam):
b) Başlıkların şekline göre:
c) Dikme ve diyagonallerin şekline göre:
94
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması (devam):
c) Yolun konumuna göre:
Dolaylı yükleme:
95
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Kafes sistemlerde izostatiklik şartı:
Düzlem bir kafes sisteminin izostatik olabilmesi için:
d
; düğüm noktası sayısı,
r
; mesnet tepkilerinin sayısı,
ç
; çubuk sayısı
olmak üzere 2d=r + ç şartı sağlanmalı, ayrıca sistem taşıyıcı olmalıdır.
2d<r + ç
2d>r + ç
kafes sistem statikçe belirsiz
kafes sistem dengede değildir. Sistem mekanizma halindedir.
96
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
-
Düğüm Noktaları Yöntemi:
Her düğüm noktasına etkiyen kuvvetler (dış
yükler, mesnet tepkileri, çubuk kuvvetleri)
denge denklemlerini sağladıklarından, bu
denklemlerden
yararlanılarak
çubuk
kuvvetleri hesaplanabilir.
- Hesaba iki çubuğun birleştiği bir düğüm
noktasından başlanır. Her adımda en çok iki
bilinmeyen çubuk kuvvetinin bulunduğu
düğüm noktaları sıra ile göz önüne alınır.
Bu hesaplar yapılırken;
a) Bilinmeyen
çubuk
kuvvetleri
çekme
yönünde (+) alınır.
b) Bilinen çubuk kuvvetleri gerçek yönlerinde
yazılır.
Bu yöntem basit kafes sistemlere daima
uygulanabilir.
97
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• Pratik Sonuçlar:
P
S1
S1
S2
S2
S1=0
S1=S2=0
S2=-P
P
S1
S3
S2
S1
S3
S2
S1=S3
S2=0
S1=S3
S2=-P
98
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
ÇÖZÜM:
• Tüm sistemin serbest cisim diyagramından
hareketle, denge denklemlerini kullanarak
E ve C deki mesnet tepkileri hesaplanır.
• A düğümünde bilinmeyen iki çubuk
kuvveti düğüm noktasının dengesinden
hesaplanabilir.
• D, B ve E düğümlerindeki çubuk kuvvetleri
de ardışık olarak düğümlerin denge
denklemlerinden hesaplanabilir.
Düğüm noktaları yöntemi ile kafesteki
tüm çubuk kuvvetlerini belirleyiniz.
• Artık C düğümündeki tüm çubuk kuvvetleri
ve mesnet tepkileri bilinmektedir. Ancak, C
düğümünün dengesi, çözümün doğruluğu
kontrol amacıyla kullanılabilir.
99
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
ÇÖZÜM:
• Tüm kafes için yazılan denge denklemlerinden
E ve C mesnet tepkileri bulunur.
∑M
C
=0
⇒ −(9,0kN)(7, 2m) − (4,5kN)(3,6m) + E(1,8m) =0
⇒ E = 45kN
∑F =
0 ⇒ Cx = 0
∑F =
0 ⇒ −9,0kN − 4,5kN + 45kN + C y = 0
x
y
⇒ C y = −31,5kN
100
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• A düğümünde bilinmeyen yalnızca iki
çubuk kuvveti var. Bunlar düğüm
noktasının dengesinden bulunur.
Denge denklemleri yazılırsa;
• D düğümünde şimdi bilinmeyen
yalnızca iki çubuk kuvveti kaldı.
Burada düğüm noktasının dengesi
yazılırsa;
FAD=-11,25 kN
FDB=11,25 kN
FAB=6,75 kN
FDE=-13,50 kN
101
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• B düğümünde bilinmeyen yalnızca iki
çubuk kuvveti var. Bunlar düğüm
noktasının dengesinden bulunur.
Denge denklemleri yazılırsa;
FBC=23,60 kN
• E düğümünde şimdi bilinmeyen
yalnızca bir çubuk kuvveti kaldı.
Burada düğüm noktasının dengesi
yazılırsa;
FEC=-39,40 kN
FBE=16,90 kN
102
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
∑F
x
∑F
y
= − 23.6 + 53 (39.4 ) = 0
(tamam )
= −31.5 + 54 (39.4 ) = 0
(tamam )
• C düğümündeki tüm çubuk kuvvetleri ve
mesnet tepkileri biliniyor. Yine de, bu
düğümde yazılacak denge denklemlerinden
yararlanılarak çözüm kontrol edilebilir.
103
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
•
-
Ritter (Kesim) Yöntemi:
Verilen dış yükler ve bunlardan oluşan
mesnet tepkileri altında dengede olan bir
kafes sistem, yapılan bir kesimle iki parçaya
ayrılırsa, her bir parça kendine etkiyen dış
yükler, mesnet tepkileri ve kesim yapılan
çubuklardaki çubuk kuvvetlerinin etkisi
altında dengededir.
-
Yapılan kesimlerin en fazla, bilinmeyen üç
çubuk kuvveti olacak şekilde yapılmasına
dikkat edilirse, bilinmeyen çubuklardaki
çubuk kuvvetleri parçalardan birine ait
denge denklemleri ile hesaplanabilir.
-
Denge denklemleri, her denklemde bir
bilinmeyen bulunacak şekilde yazılabilirler.
-
Çubuk kuvvetlerinden bazıları hesaplandık
tan sonra diğerleri onlara bağlı olarak
denge denklemleri ile bulunabilirler.
104
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
ÇÖZÜM:
• Tüm sistemin serbest cisim diyagramından
hareketle, denge denklemlerini kullanarak
A ve L deki mesnet tepkileri hesaplanır.
• FH, GH, and GI elemanlarından geçen bir
kesit alınır ve parçalardan birine ait
serbest cisim diyagramı çizilir.
FH, GH, and GI çubuk kuvvetlerini
hesaplayınız.
• İstenen çubuk kuvvetleri statik denge
denklemleri yazılarak hesaplanır.
105
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
ÇÖZÜM:
• Tüm kafes için yazılan denge denklemlerinden
A ve L mesnet tepkileri bulunur.
∑M
A
=
− ( 5 m )( 6 kN) − (10 m )( 6 kN) − (15 m )( 6 kN)
0=
− ( 20 m )(1 kN) − ( 25 m )(1 kN) + ( 25 m ) L
L = 7,50 kN
∑F
y
=0 =−20 kN + L + A
A = 12,50 kN
106
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
• FH, GH ve GI çubuklarından geçen bir kesit alıp
sağda kalan parçayı serbest cisim olarak
düşünelim.
• Statik denge koşullarını uygulayarak bilinmeyen
çubuk kuvvetlerini bulalım.
∑M
H
=0
0
( 7,50 kN)(10 m ) − (1 kN)( 5 m ) − FGI (5, 33 m ) =
FGI = 13,13 kN
FGI = 13,13 kN
107
İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı
FG
8m
=
= 0,5333
GL 15 m
∑ MG = 0
α
tan=
=
α 28,07°
( 7,5 kN)(15 m ) − (1 kN)(10 m ) − (1 kN)( 5 m )
+ (FFH cos α )( 8 m ) = 0
FFH = −13, 82 kN
FFH = −13, 82 kN
β
tan=
∑M
L
GI
=
HI
5m
= 0, 9375
2
m
8
(
)
3
=
β 43,15°
=0
0
(1 kN)(10 m ) + (1 kN)( 5 m ) + (FGH cos β )(10 m ) =
FGH = −1,371 kN
FGH = −1,371 kN
108
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
• Hareketli Yük Çeşitleri:
a) I. tip hareketli yük: Sistemin tümünü veya bir bölümünü kaplayan, boyu
değişken düzgün yayılı hareketli yüklerdir (insan, eşya, hafif araç yükleri vb)
b) II. Tip hareketli yük (yük katarı): Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit olan tekil
yüklerden oluşan hareketli yüklerdir. (tekerlekli araç yükleri)
109
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
• Hareketli Yük Çeşitleri:
c) III. tip hareketli yük: Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit olan tekil yükler ile boyu
değişken düzgün yayılı yükten oluşan hareketli yüklerdir (büyük araç +
bunların önünde veya arkasında küçük araç yükleri kombinasyonu).
d) IV. Tip hareketli yük: Boyu sabit, düzgün yayılı hareketli yüklerdir (paletli araç
yükleri).
110
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
•
-
Hareketli Yüklere Göre Hesap:
Hareketli yüklerin sistem üzerindeki konumları değişkendir.
Hareketli yükler etkisindeki bir yapı sisteminin boyutlandırılması için, sistemin
her kesitinde, hareketli yüklerden oluşan en elverişsiz (maksimum ve
minimum) kesit tesirlerinin hesaplanması gerekmektedir.
-
Hareketli yüklerden oluşan en elverişsiz büyüklükler genel olarak araştırma ile
bulunabilir. Bunun için hareketli yük sistemin üzerinde hareket ettirilerek
yükün her konumu için aranan büyüklüğün değeri hesaplanır.

Araştırmanın daha sistematik yapılabilmesi için tesir çizgilerinden yararlanılır.
Bunun için 1 birimlik (1 N, 1 kN, 1 ton vb) düşey kuvvet sistem üzerinde
hareket ettirilerek kuvvetin her konumu için aranan büyüklüğün değeri
hesaplanır ve bu değerlerden yararlanılarak tesir çizgisi diyagramı çizilir.

Sisteme ait herhangi bir büyüklüğün tesir çizgisi diyagramı çizildikten sonra, bu
diyagramdan yararlanarak;
Verilen bir yükleme için söz konusu büyüklüğün değeri
Verilen bir hareketli yük için söz konusu büyüklüğün alacağı en elverişsiz
değerler kolaylıkla hesaplanabilir.
a)
b)
111
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
•
Tesir Çizgileri:
Hareket eden 1 birim yükün herhangi
bir kesitte meydana getirdiği gerilme
fonksiyonlarını gösteren grafiklerdir.
Diğer bir değişle, sistem üzerinde
hareket eden 1 birimlik düşey
kuvvetin herhangi bir konumunda
oluşan herhangi bir büyüklüğün
değerini, 1 birimlik düşey kuvvetin
altında ordinat almak suretiyle çizilen
diyagrama bu büyüklüğe ait tesir
çizgisi adı verilmektedir.
 Tesir çizgileri, iç kuvvet diyagramları
ile karıştırılmamalıdır. İç kuvvetler
sabit bir yük altında kirişin her
kesitinde değişim gösterirler. Tesir
çizgileri ise kiriş boyunca hareket eden
birim
yükün
belli
bir
kesitte
oluşturduğu gerilme fonksiyonlarıdır.
112
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
•
Tesir Çizgileri (devam):
Şekildeki sistemde;
ηC ; 1 birimlik yük C’de iken A mesnet
tepkisinin değeri
μC ; 1 birimlik yük C’de iken Mm eğilme
momentinin değeri
 Tesir çizgisi tanımına göre, bir tesir
çizgisi diyagramının herhangi bir
noktasındaki ordinatı, o noktanın
hizasındaki 1 birimlik düşey kuvvetten
dolayı söz konusu büyüklüğün değerini
verir.
113
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
•
Tesir çizgisi diyagramlarının
çiziminde uyulacak kurallar:
1. Tesir çizgisi diyagramları sistemin
şeması üzerinde değil, 1 birimlik
kuvvete dik doğrultu üzerinde çizilir.
2. Tesir çizgisi diyagramları, 1 birimlik
kuvvetin dolaştığı sınırlar arasında
çizilir.
3. Ordinatlar 1 birimlik kuvvetin
etkime yönünde pozitif olarak
alınırlar.
4. Bölgelerin işaretleri ve başlıca
noktalardaki ordinatları diyagrama
yazılmaktadır.
Kural: İzostatik sistemlerde mesnet
tepkilerine ve kesit zorlarına ait tesir
çizgileri doğru parçalarından oluşurlar.
114
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
•
Tesir Çizgisi Diyagramlarının Elde edilmesi:
a) Genel Yol: 1 birimlik kuvvet sistemin üzerinde yeterli sayıda noktaya etkitilir,
kuvvetin her konumu için, tesir çizgisi çizilecek büyüklüğün değeri hesaplanır.
Bu değerler yardımıyla, tesir çizgisi nokta nokta elde edilir. Bu yol çok uzundur.
b) Fonksiyonlar Yardımıyla Çizim:
- 1 birimlik düşey kuvvet sistemin herhangi bir noktasına etkitilir ve seçilen bir
başlangıç noktasına uzaklığı (x) parametresi ile belirlenir. Tesir çizgisi çizilecek
olan büyüklük 1 birimlik kuvvetin konumuna (x parametresine) bağlı olarak
ifade edilir. Bu şekilde elde edilen fonksiyonun grafiği aranılan tesir çizgisi
diyagramını verir.
115
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
b) Fonksiyonlar Yardımıyla Çizim (devam):
- Çoğu kez tesir çizgisi tek bir fonksiyonla
ifade edilemez. Bu durumda sistem yeterli
sayıda bölgeye ayrılır ve her bölge için
tesir çizgisi fonksiyonları ayrı ayrı tayin
edilir. Bu fonksiyonların tanımlı oldukları
bölgelerdeki grafikleri yan yana çizilerek
aranan tesir çizgisi diyagramı elde edilir.
-
Tesir çizgilerine ait fonksiyonların (x)
parametresi
yerine,
bazı
yardımcı
büyüklüklerin (örneğin mesnet tepkileri
nin) tesir çizgisi fonksiyonları cinsinden
ifade edilmesi hesapları hızlandırmaktadır.
Bu halde, önce yardımcı büyüklüklere ait
tesir çizgileri çizilir. Daha sonra, tesir
çizgisi aranan büyüklükler yardımcı
büyüklükler cinsinden ifade edilerek
bunlara ait tesir çizgileri doğrudan
doğruya belirlenir.
116
İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı
• Tesir Çizgisi Diyagramlarının Kullanılması:
Verilen sabit düşey yüklerden oluşan
büyüklüklerin hesabı
Tesir çizgilerinin tanımı göz önünde
tutulursa, verilmiş olan sabit düşey
yüklerden dolayı tesir çizgisi çizilmiş olan
bir büyüklüğün değeri:
•
Tekil yüklerden dolayı: Q1η1 + Q2 η2 +  + Q=
i ηi
∑Qη
i
i
B
•
q(x) yayılı yükünden dolayı:
∫ q(x)η(x)dx
A
•
•
∫
q0 düzgün yayılı yükünden dolayı: q0 η(x)dx =
q0F
Toplam yükten dolayı:
∑Qη
i
i
+
B
∫ q(x)η(x)dx + q F
A
0
117

Download Report