ales 85 ve üzeri puan alan adaylara TÜBİTAK burs veriyor... ÖYP kapsamında araştırma görevlisi atamalarında ALES daha da önem kazandı... EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES KONU ANLATIMLI . . Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Savaş Doğan ÖSYM Sınav Sistemine Uygun TEK KİTAP Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Savaş Doğan ALES KONU ANLATIMLI SAYISAL YETENEK 978-605-364-364-7 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. © 2014, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti’ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. “Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR' ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.” 10. Baskı: Ekim 2014, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Gamze Dumlupınar Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Sti Đvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA (0312-394 55 90) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 13987 Đletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 E-ileti: [email protected] SUNU Değerli Adaylar, Dünyadaki bilimsel gelişmeleri yakından izleyecek, bu gelişmelere katkıda bulunacak ve ülkemizi bilimsel platformlarda daha da yukarılara taşıyacak siz bilim insanı adaylarının eğitim sürecine katkıda bulunabilmekten PEGEM AKADEMĐ ailesi olarak gurur duyuyoruz. Akademik yayın alanında 27 yıllık lider bir kurum olan PEGEM AKADEMĐ, Akademik Lisansüstü Egitimi Giriş Sınavı (ALES)’nın ilk yıllarından bu yana yurt çapındaki en önemli başvuru kaynağıdır. Bu güven ve birikimle yürütülen çalısmalardan biri olan ALES Konu Anlatımlı Soru Bankası Sözel Yetenek Sayısal Yetenek kitabımız, ÖSYM tarafından 04.03.2014 tarihinde açıklanan yeni sınav sistemine uygun olarak hazırlanmıştır. Sınav sisteminde; adaylara Sözel Yetenek bölümünde 40’ar sorudan oluşan iki test (Sözel Yetenek-1 ve Sözel Yetenek-2), Sayısal Yetenek bölümünde de yine 40’ar sorudan oluşan iki test (Sayısal Yetenek-1 ve Sayısal Yetenek-2) uygulanacaktır. Böylece her aday için Sayısal-1, Sayısal-2 ,Sözel-1, Sözel-2 Standart Puanlar (SP) hesaplanacaktır. Bu standart puanlar kullanılarak her aday için sayısal ağırlıklı, sözel ağırlıklı ve eşit ağırlıklı olmak üzere 3 ağırlıklı puan (AP) hesaplanacaktır. Ağırlıklı puanların hesaplanmasında testlerin ağırlıkları aşağıdaki gibi olacaktır: Sayısal AP Sözel AP Eşit AP Sayısal-1 SP 0,35 0,2 0,4 Sayısal-2 SP 0,35 0,2 Sözel-1 SP 0,3 0,4 0,4 Sözel-2 SP 0,4 - Kitap, bu testleri etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla, sınavın uygulanmaya başladığı ilk yıllardan günümüze kadarki süreçte konuyla ilgili tüm gelişmeleri yakından takip eden ve bu sınava yönelik çalışmalar yapan uzman eğitimcilerce hazırlanmıştır. Sözel Yetenek, Sayısal Yetenek olmak üzere 2 kısımdan oluşan bu kitapta yer alan konu anlatımlarının, örnek soruların; gerçek sınavla kapsam açısından uyumu, biçimsel sunumu, içerik ve metinlerin uygunluğu ve zorluk dereceleri açısından ALES’le bire bir örtüşmesi konusunda titiz bir çalışma yürütülmüştür. Konu anlatımları, adayların kolaylıkla anlayabileceği açıklıkta sunulmuş ve anlatılan konuyu en iyi şekilde örnekleyen-pekiştiren sorular olarak her ünitenin sonunda; - çıkmış sorulara ve - çözümlü testlere yer verilmiştir. Böylece, adayların gerçek sınav formatına uygun çok sayıda soru çözebilecekleri bir yayın ortaya konmuştur. Adaylar, kendilerine sunulan bu kaynaktaki çalışma programıyla sınava hazırlandıkları zaman, arzu edilen hedefe çok daha rahat ulaşabilecek ve başarılı olacaklardır. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMĐ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, ALES’te ve meslek hayatınızda başarılar. Tüm adaylara başarı dileklerimizle Kerem Köker – Kenan Osmanoğlu – Savaş Doğan iii İÇİNDEKİLER 3. BÖLÜM MATEMATİK 1. BÖLÜM SAYILAR .................................................................. 3 Sayı Kümeleri........................................................... 4 Doğal Sayılar............................................................ 5 Tam Sayılar .............................................................. 8 Tek ve Çift Tam Sayılar ........................................... 9 Pozitif ve Negatif Sayılar ......................................... 11 Ardışık Sayılar ......................................................... 13 Asal Sayı .................................................................. 18 Aralarında Asal Sayılar ........................................... 18 Basamak Analizi ...................................................... 19 Çözümleme .............................................................. 24 Faktöriyel ................................................................. 26 Sayma Sistemleri ..................................................... 29 Çıkmış Sorular ......................................................... 36 Çözümlü Test – 1 ..................................................... 41 Çözümlü Test – 2 ..................................................... 46 Çözümlü Test – 3 ..................................................... 51 Çözümlü Test – 4 ..................................................... 56 Çözümlü Test – 5 ..................................................... 62 Çözümlü Test – 6 ..................................................... 67 Çözümlü Test – 7 ..................................................... 72 Çözümlü Test – 8 ..................................................... 77 Çözümlü Test – 9 ..................................................... 81 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK ...... 109 Asal Çarpanlara Ayırma .......................................... 110 Bir Tam Sayının Bölenleri ....................................... 111 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı .................. 113 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ......................... 114 En Küçük Ortak Kat (EKOK) ............................. 117 Çıkmış Sorular ......................................................... 122 Çözümlü Test - 1 ..................................................... 124 Çözümlü Test - 2 ..................................................... 129 4. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .................... 134 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler .... 135 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ..... 138 Denklem Sistemi ..................................................... 138 Yok Etme Metodu .............................................. 138 Yerine Koyma Metodu ....................................... 139 Özel Denklemler ...................................................... 140 Çıkmış Sorular ......................................................... 143 Çözümlü Test........................................................... 147 5. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR.............................................. 152 Kesir ve Kesir Türleri .............................................. 153 Kesir ................................................................... 153 Basit Kesir ......................................................... 153 2. BÖLÜM BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI .................. 86 Bölme ....................................................................... 87 Bölünebilme Kuralları ............................................. 91 2 ile Bölünebilme ............................................... 91 3 ile Bölünebilme ............................................... 91 4 ile Bölünebilme ............................................... 92 5 ile Bölünebilme ............................................... 93 7 ile Bölünebilme ............................................... 94 8 ile Bölünebilme ............................................... 94 9 ile Bölünebilme ............................................... 94 10 ile Bölünebilme ............................................. 96 11 ile Bölünebilme ............................................. 96 Çıkmış Sorular ......................................................... 98 Çözümlü Test - 1...................................................... 99 Çözümlü Test - 2...................................................... 104 iv Bileşik Kesir ....................................................... 153 Tam Sayılı Kesir................................................. 154 Sabit Kesir ......................................................... 155 Denk Kesir ......................................................... 155 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ............................... 156 Toplama İşlemi .................................................. 156 Çıkarma İşlemi ................................................... 157 Çarpma İşlemi .................................................... 157 Bölme İşlemi ...................................................... 157 Kuvvet Alma ...................................................... 157 İşlem Önceliği .................................................... 158 Ondalık Kesirler ....................................................... 161 Ondalık Sayılarda Dört İşlem .................................. 162 Devirli Ondalık Açılımlar ......................................... 164 Rasyonel Sayılarda Sıralama.................................. 165 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma ........ 167 Çıkmış Sorular ......................................................... 168 Çözümlü Test - 1 ..................................................... 171 Çözümlü Test - 2 ..................................................... 176 6. BÖLÜM 10. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ........................................................ 181 Özellikleri ........................................................... 182 Üslü Sayılarda Dört İşlem ....................................... 185 ORAN – ORANTI ..................................................... 272 Oran.................................................................... 273 Orantı ................................................................. 273 Toplama – Çıkarma............................................ 185 Çarpma ............................................................... 186 Orantının Özellikleri .......................................... 273 Orantı Türleri ........................................................... 275 Bölme ................................................................. 188 Çıkmış Sorular ......................................................... 191 Doğru Orantı ...................................................... 275 Ters Orantılı Çokluklar ...................................... 277 Çözümlü Test ........................................................... 193 Bileşik Orantı ..................................................... 278 Ortalamalar .............................................................. 279 7. BÖLÜM Aritmetik Ortalama ............................................ 279 Geometrik Ortalama .......................................... 280 Çıkmış Sorular ......................................................... 282 KÖKLÜ SAYILAR ..................................................... 198 Köklü Sayıların Özellikleri ....................................... 199 Köklü Sayılarda Dört İşlem ..................................... 203 Toplama-Çıkarma .............................................. 203 Çarpma ............................................................... 204 Bölme ................................................................. 205 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması ....... 207 Eşlenik (Paydayı Kökten Kurtarma) ....................... 208 İç İçe Sonlu Kökler .................................................. 210 İç İçe Sonsuz Kökler................................................ 211 A ∓ 2 B ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ........... 213 Köklü Sayılarda Sıralama ........................................ 215 Köklü Sayılarda Denklem Çözme ........................... 216 Çıkmış Sorular ......................................................... 217 Çözümlü Test ........................................................... 219 8. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA .......................................... 224 Ortak Parantez Yöntemi .................................... 225 Gruplandırma Yöntemi ...................................... 225 ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ....... 226 Özdeşlikler ............................................................... 228 İki Kare Farkı ...................................................... 228 Tam Kare İfadeler .............................................. 230 III. Dereceden Özdeşlikler ....................................... 233 Çıkmış Sorular ......................................................... 235 Çözümlü Test ........................................................... 238 9. BÖLÜM EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER .............................. 243 Eşitsizlikler .............................................................. 244 Özellikleri ........................................................... 244 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .................................... 247 Kapalı Aralık ....................................................... 247 Yarı Açık Aralık .................................................. 247 Açık Aralık .......................................................... 248 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler.... 248 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi ............................ 249 Mutlak Değer ............................................................ 251 Özellikleri ........................................................... 253 Çıkmış Sorular ......................................................... 257 Çözümlü Test – 1 ..................................................... 261 Çözümlü Test – 2 ..................................................... 267 Çözümlü Test - 1 ..................................................... 285 Çözümlü Test - 2 ..................................................... 290 11. BÖLÜM PROBLEMLER ......................................................... 295 Denklem Kurma Problemleri .................................. 296 Yaş Problemleri ....................................................... 302 Yüzde Problemleri ................................................... 305 Faiz Problemleri ...................................................... 307 Kâr – Zarar Problemleri........................................... 308 Karışım Problemleri ................................................ 311 İşçi Problemleri ....................................................... 314 Havuz Problemleri ................................................... 316 Hareket Problemleri ................................................ 317 Çıkmış Sorular ......................................................... 323 Çözümlü Test - 1 .................................................... 339 Çözümlü Test - 2 .................................................... 344 Çözümlü Test - 3 .................................................... 350 Çözümlü Test - 4 ..................................................... 355 Çözümlü Test - 5 .................................................... 361 Çözümlü Test - 6 .................................................... 366 Çözümlü Test - 7 .................................................... 373 Çözümlü Test - 8 .................................................... 379 Çözümlü Test - 9 .................................................... 386 Çözümlü Test - 10 .................................................. 392 12. BÖLÜM KÜMELER ................................................................ 398 Küme ........................................................................ 399 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı ................ 399 Kümelerin Gösterimi ......................................... 399 Küme Çeşitleri ................................................... 400 Kümelerde İşlemler ........................................... 401 Alt Küme ............................................................ 404 Küme Problemleri.............................................. 406 Çıkmış Sorular ......................................................... 408 Çözümlü Test........................................................... 410 v 13. BÖLÜM İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ............................. 415 İşlem ......................................................................... 416 İşlem Tabloları ................................................... 419 İşlemin Özellikleri .............................................. 419 Modüler Aritmetik .................................................... 422 Modüler Aritmetiğin Özellikleri ......................... 423 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü ............ 427 Çıkmış Sorular ......................................................... 428 Çözümlü Test – 1 ..................................................... 429 Çözümlü Test – 2 ..................................................... 433 14. BÖLÜM PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ... 438 Saymanın Temel Kuralları ....................................... 439 Toplama Kuralı .................................................. 439 Çarpma Yolu ile Sayma ..................................... 439 Saymanın Temel İlkesi ...................................... 439 Permütasyon (Sıralama) ......................................... 441 Tekrarlı Permütasyon ........................................ 442 Dairesel Permütasyon ....................................... 443 Kombinasyon (Gruplama) ...................................... 444 Olasılık ..................................................................... 449 Olasılık Fonksiyonu .......................................... 449 Olasılık Hesabı ................................................... 450 Koşullu Olasılık.................................................. 454 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık ............................ 455 Çıkmış Sorular ......................................................... 456 Çözümlü Test – 1 ..................................................... 458 Çözümlü Test – 2 ..................................................... 463 Çözümlü Test – 3 ..................................................... 468 15. BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER .......................................... 473 Tablo ve Yorumlama ............................................... 474 Grafik ve Yorumlama............................................... 478 Çizgi Grafik ........................................................ 478 Sütun Grafiği ...................................................... 480 Daire Grafiği ....................................................... 480 Çıkmış Sorular ......................................................... 483 Çözümlü Test – 1 ..................................................... 495 Çözümlü Test – 2 ..................................................... 498 16. BÖLÜM SAYISAL YETENEK PROBLEMLERİ ...................... 501 Sayısal Mantık Soruları ........................................... 502 Sayı Dizileri .............................................................. 506 Şifreli Sorular ........................................................... 506 Görsel Yetenek ........................................................ 510 Çıkmış Sorular ......................................................... 514 Cevaplı Test-1 .......................................................... 535 Cevaplı Test-2 .......................................................... 539 Cevaplı Test-3 .......................................................... 543 Cevaplı Test-4 .......................................................... 547 vi GEOMETRİ 1. BÖLÜM GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR ................................................. 552 Geometrik Kavramlar .............................................. 553 Tanımsız Kavramlar ................................................ 553 Açılar ........................................................................ 553 Açının Ölçüsü .................................................... 553 Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler .................. 553 Açı Ölçü Birimleri .............................................. 553 Açı Çeşitleri ............................................................. 554 Dar Açı ............................................................... 554 Dik Açı ................................................................ 554 Geniş Açı............................................................ 554 Doğru Açı ........................................................... 554 Tam Açı .............................................................. 554 Komşu Açılar ..................................................... 554 Açıortay.................................................................... 554 Tümler Açılar ........................................................... 555 Bütünler Açılar ........................................................ 555 Ters Açılar ............................................................... 556 Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ........................................................... 556 Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar ................................... 556 Kenarları Paralel Açılar ........................................... 558 Kenarları Dik Açılar ................................................. 558 Üçgenler ................................................................... 561 Üçgen Çeşitleri ........................................................ 561 Açılarına Göre Üçgenler.................................... 561 Kenarlarına Göre Üçgenler ............................... 561 Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ................. 562 Yükseklik............................................................ 562 Açıortay .............................................................. 562 Kenarortay ......................................................... 562 Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler .......................... 563 Dik Üçgen ................................................................ 567 Pisagor Teoremi ................................................ 567 Öklid Bağıntıları ................................................. 568 Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ................ 569 Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler..................... 570 Üçgende Açıortay Teoremleri................................. 572 İç Açıortay Teoremi ........................................... 573 Dış Açıortay Teoremi ........................................ 574 Üçgende Kenarortay Teoremleri ............................ 576 Ağırlık Merkezi ................................................... 576 Kenarortay Bağıntıları ....................................... 578 İkizkenar Üçgen ....................................................... 580 Eşkenar Üçgen ........................................................ 582 Üçgende Alan .......................................................... 586 Üçgende Benzerlik .................................................. 591 Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ........................ 591 Tales Teoremi .................................................... 593 Temel Orantı Teoremi ....................................... 593 Çapraz Tales Teoremi ....................................... 594 Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı ............... 595 Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı .......... 596 Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ............................ 599 Üçgen Eşitsizliği ...................................................... 599 Cevaplı Test - 1 ....................................................... 604 Cevaplı Test - 2 ....................................................... 606 Cevaplı Test - 3 ....................................................... 608 Cevaplı Test - 4 ....................................................... 610 Cevaplı Test - 5 ....................................................... 612 Cevaplı Test - 6 ....................................................... 614 Cevaplı Test - 7 ....................................................... 616 Cevaplı Test - 8 ....................................................... 618 Cevaplı Test - 9 ....................................................... 620 Cevaplı Test - 10 ..................................................... 622 Cevaplı Test - 11 ..................................................... 624 Cevaplı Test - 12 ..................................................... 626 Cevaplı Test - 13 ..................................................... 628 Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti .......... 672 Kuvvet Ekseni .................................................... 674 İki Çemberin Ortak Teğetleri................................... 675 İki Çemberin Birbirine Göre Durumları .................. 677 Üçgen Çemberleri ................................................... 677 Üçgenin İç Teğet Çemberi ................................ 677 Üçgenin Dış Teğet Çemberi .............................. 678 Teğetler Dörtgeni .................................................... 678 Dairede Alan ............................................................ 679 Dairenin Alanı ve Çevresi ................................. 679 Daire Diliminin Alanı ......................................... 679 Çember Yayının Uzunluğu ................................ 679 Daire Kesmesinin Alanı..................................... 679 Daire Halkasının Alanı ....................................... 680 Çemberde Benzerlik .......................................... 681 Cevaplı Test - 1 ....................................................... 683 Cevaplı Test - 2 ....................................................... 685 Cevaplı Test - 3 ....................................................... 687 2. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ ............................................. 689 Noktanın Analitik İncelenmesi ................................ 690 Analitik Düzlem.................................................. 690 İki Nokta Arasındaki Uzaklık ............................. 691 Doğrusal Noktalar ............................................. 692 Doğrusal Olmayan Noktalar ............................. 694 Doğrunun Analitik İncelenmesi .............................. 697 Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ........................ 697 Doğrunun Grafiğinin Çizimi .............................. 699 Doğrunun Denklemleri ...................................... 700 Özel Doğrular ..................................................... 702 İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları............ 702 Doğru Demeti ..................................................... 704 Simetriler............................................................ 707 Noktanın Simetriği............................................. 707 Doğrunun Simetriği ........................................... 710 Eşitsizlikler .............................................................. 712 Cevaplı Test ............................................................. 714 ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ............................ 630 Çokgenler ................................................................. 631 Dışbükey ve İçbükey Çokgenler ....................... 631 Düzgün Çokgen ................................................. 632 Dörtgenler ................................................................ 637 Dörtgenin Özellikleri.......................................... 637 Dörtgenlerde Alan ............................................. 638 Paralelkenar ............................................................. 640 Paralelkenarda Alan .......................................... 641 Paralelkenarın Alan Özellikleri ......................... 641 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler ...... 643 Eşkenar Dörtgen ...................................................... 644 Dikdörtgen .............................................................. 645 Kare .......................................................................... 647 Yamuk ...................................................................... 649 İkizkenar Yamuk ................................................ 652 Dik Yamuk .......................................................... 654 Deltoid ................................................................ 654 Cevaplı Test - 1 ....................................................... 655 Cevaplı Test - 2 ....................................................... 657 Cevaplı Test - 3 ....................................................... 659 Cevaplı Test - 4 ....................................................... 661 Cevaplı Test - 5 ....................................................... 663 3. BÖLÜM ÇEMBER VE DAİRE ................................................. 665 Çemberde Açı .......................................................... 666 Çemberde Yardımcı Elemanlar ............................... 666 Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ............................ 667 Merkez Açı .......................................................... 667 Çevre Açı ............................................................ 668 Teğet Kiriş Açı ................................................... 669 İç Açı ................................................................... 669 Dış Açı ................................................................ 669 Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ............................... 671 Kirişler Dörtgen ....................................................... 671 Çemberde Uzunluk .................................................. 672 4. BÖLÜM 5. BÖLÜM KATI CİSİMLER........................................................ 716 Prizma ...................................................................... 717 Dikdörtgenler Prizması ..................................... 718 Küp ..................................................................... 720 Silindir ................................................................ 720 Dönel Silindir ..................................................... 721 Piramit ...................................................................... 723 Düzgün Piramit .................................................. 723 Kesik Piramit ..................................................... 724 Küre .......................................................................... 726 Cevaplı Testler - 1 .................................................. 727 Cevaplı Testler - 2 .................................................. 729 Çıkmış Sorular ......................................................... 731 vii TÜRKÇE 1. BÖLÜM SÖZCÜKTE ANLAM ................................................. 748 Sözcüğün Anlamı .................................................... 748 Gerçek Anlam .................................................. 749 Mecaz Anlam ................................................... 750 Terim Anlam .................................................... 752 Soyut – Somut Anlam ..................................... 752 Nitel – Nicel Anlam .......................................... 753 Sözcüğün Cümleye Kattığı Anlam ................. 753 Sözcüklerde Anlam İlişkileri ................................... 754 Eş Anlamlı Sözcükler ...................................... 754 Yakın Anlamlı Sözcükler ................................. 755 Karşıt Anlamlı Sözcükler ................................ 756 Eş Sesli (Sesteş) Sözcükler ............................ 756 Genel – Özel İlişkili Sözcükler ........................ 759 Söz Sanatları ............................................................ 759 Benzetme (Teşbih) .......................................... 759 Eğretileme (İstiare) .......................................... 760 Ad Aktarması (Mecaz-ı Mürsel) ...................... 763 Değinmece (Kinaye) ........................................ 763 Dokundurma (Tariz) ........................................ 764 Mübalâğa (Abartma) ........................................ 765 Dolaylama ........................................................ 765 Güzel Adlandırma............................................ 766 Somutlama ....................................................... 766 Söz Öbekleri............................................................. 767 Deyimler ........................................................... 767 Atasözleri ......................................................... 768 İkilemeler ......................................................... 771 Pekiştirmeler ................................................... 772 Sözün Cümleye Kattığı Anlam........................ 772 Çıkmış Sorular ......................................................... 774 Çözümlü Test ........................................................... 780 3. BÖLÜM ANLATIM BİÇİMLERİ ............................................... 833 Öyküleyici Anlatım .......................................... 833 Betimleyici Anlatım ......................................... 833 Açıklayıcı Anlatım ........................................... 833 Tartışmacı Anlatım .......................................... 834 Düşünceyi Geliştirme Yolları .................................. 834 Benzetme ......................................................... 834 Tanımlama ....................................................... 835 Karşılaştırma ................................................... 835 Örneklendirme................................................. 835 Tanık Gösterme (Alıntı Yapma) ...................... 836 Sayısal Verilerden Yararlanma ....................... 836 Soru Sorma ..................................................... 836 Anlatım Nitelikleri .................................................... 837 Özgünlük ......................................................... 837 Özlülük (Yoğunluk) ......................................... 837 Yalınlık (Sadelik) ............................................. 837 Akıcılık ............................................................. 837 Sürükleyicilik ................................................... 837 Duruluk ............................................................ 837 Açıklık .............................................................. 837 Tutarlılık ........................................................... 837 Çıkmış Sorular ......................................................... 839 Çözümlü Test........................................................... 845 4. BÖLÜM 2. BÖLÜM PARAGRAF .............................................................. 852 ALES’te Paragraf Soruları ...................................... 852 ALES Paragraf Sorularının Özelliği Nedir?............ 852 Paragraf Konusuna Nasıl Çalışmalı? ..................... 852 Paragrafın İçeriği ..................................................... 853 Paragrafta Konu .............................................. 853 Paragrafta Başlık............................................. 856 Paragrafta Ana Düşünce ................................ 857 Paragrafta Yardımcı Düşünceler .................... 860 Paragrafta Tanıtılan Kişiyle İlgili Sorular....... 866 Parçaya Dayalı Sorular ................................... 868 Paragrafın Yapısı ..................................................... 899 Paragrafın Bölümleri ....................................... 899 Paragrafın Yapısına İlişkin Soru Tipleri ve Çözüme Yönelik Pratikler ............................... 900 Çıkmış Sorular ......................................................... 924 Çözümlü Test........................................................... 941 CÜMLEDE ANLAM ................................................... 785 Cümlenin Yorumu ................................................... 786 Cümle Vurgusu................................................ 786 Eş Anlamlı (Özdeş) / Yakın Anlamlı Cümleler........................................................... 787 Cümlenin İletisi................................................ 788 Cümle Analizi................................................... 791 Çelişen (Karşıt Anlamlı) Cümleler .................. 792 Kesin Yargı ...................................................... 794 Cümlenin Yapısı ...................................................... 796 Eksiltili Cümle.................................................. 796 Cümle Tamamlama ......................................... 796 Cümle Oluşturma ............................................ 800 Cümlenin Anlamı ..................................................... 803 Anlamlarına Göre Cümleler ............................ 803 Anlam İlişkilerine Göre Cümleler ................... 805 Anlatım Özelliklerine Göre Cümleler ............. 807 İlettiği Duygu, Düşünce ve Duruma Göre Cümleler ................................... 811 Çıkmış Sorular ......................................................... 818 Çözümlü Test ........................................................... 827 SÖZEL MANTIK ....................................................... 948 Mantıkla İlgili Temel Kavramlar ...................... 948 Sözel Mantık Sorularının Kapsamı ................. 948 Sözel Mantık Soruları Hakkında ..................... 948 Soru Çözümünde Yararlanılabilecek Yöntemler ... 949 Simgeler Kullanma .......................................... 949 Tablo Oluşturma ............................................. 950 Sıralama ........................................................... 955 Sözel Mantık Soru Tipleri ve Örnek Çözümleri ..... 956 Çıkarım Soruları .............................................. 956 Şifreleme Soruları ........................................... 957 Sıralama Soruları ............................................ 957 Yer-Yön-Konum Bildiren Sorular ................... 959 Eşleştirme Soruları ......................................... 961 Tablo Yorumlama Soruları ............................. 962 Karma Sorular ................................................. 962 Çıkmış Sorular ......................................................... 964 Çözümlü Test........................................................... 970 viii 5. BÖLÜM ALES SAYISAL YETENEK SAYISAL ANALİZ ALES ALES ALES 2008 2009 Kasım Mayıs ALES 2010 Mayıs ALES 2010 Aralık ALES 2011 Nisan ALES 2011 Kasım ALES 2012 Mayıs ALES 2012 Kasım ALES 2013 Mayıs ALES 2013 Kasım ALES 2014 Mayıs Sayılar 14 17 10 16 11 7 11 18 14 10 12 1.Dereceden Denklemler 8 3 2 3 3 3 3 4 3 5 3 EşitsizlikMutlak Değer 6 8 3 6 4 4 2 4 2 5 4 Üslü İfadelerKöklü ifadeler 4 2 4 4 5 6 6 4 5 4 4 ÖzdeşliklerÇarpanlarına Ayırma 4 2 2 5 3 3 3 2 3 4 4 Oran ve Orantı 4 2 1 2 3 4 2 2 1 5 1 Problemler 15 16 15 20 22 14 12 8 13 14 9 Kümeler -- 4 -- 1 4 -- -- 1 1 4 3 İşlemModüler Aritmetik 2 -- -- 3 -- -- 2 2 4 5 2 PermütasyonKombinasyon-Olasılık 1 3 -- 7 3 1 2 5 5 1 1 Sayısall Mantık ve Tablo Yorumlama 17 17 35 18 30 47 48 43 34 33 29 Geometri 5 7 8 15 12 11 9 13 15 10 9 Sayılar Sayı Kümeleri Doğal Sayı Tam Sayılar Pozitif ve Negatif Sayılar Ardışık Sayılar Asal Sayı Aralarında Asal Sayılar Basamak Analizi Çözümleme Faktöriyel Sayma Sistemleri Çıkmış Sorular Çözümlü Testler 1-9 Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu 2010 2011 2012 2013 2013 2014 Mayıs Aralık Nisan Kasım Mayıs Kasım Mayıs Kasım Mayıs 3 7 7 5 8 8 9 9 7 Đnsanlar sayılar gibidir. O insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür. Newton ALES Matematik RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: RakamlarÕn tek baúlarÕna veya bir çokluk oluúturacak úekilde bir araya gelmesiyle oluúan ifadelere sayÕ denir. 4) Rasyonel SayÕlar Kümesi a úeklinde b yazÕlabilen sayÕlarÕn oluúturdu÷u kümeye rasyonel sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna bir rasyonel sayÕ denir. a ve b birer tam sayÕ ve b z 0 olsun. Rasyonel sayÕlar kümesi “Q” sembolü ile gösterilir. ÖRNEK Q 7 bir rakam aynÕ zamanda bir sayÕdÕr. 36 iki rakamdan oluúan bir sayÕdÕr. 712 üç rakamdan oluúan bir sayÕdÕr. a ½ ® : a, b Z ve b z 0 ¾ dir. ¯b ¿ ÖRNEK 5391 dört rakamdan oluúan negatif bir sayÕdÕr. SAYI KÜMELERİ 1) Sayma SayÕlarÕ Kümesi 3 12 , , 4, 25..... birer rasyonel sayÕdÕr. 8 17 5) ^1, 2, 3,.....` kümesine sayma sayÕlarÕ kümesi ve bu kümenin her bir elemanÕna bir sayma sayÕsÕ denir. Sayma sayÕlarÕ kümesi " ` " sembolü ile gösterilir. Rasyonel olmayan sayÕlara yani iki tam sayÕnÕn bölümü úeklinde yazÕlamayan sayÕlarÕn kümesine irrasyonel sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna bir irrasyonel sayÕ denir. 2) ørrasyonel sayÕlar kümesi “ QI ” sembolü ile gösterilir. Do÷al SayÕlar Kümesi ^0, 1, 2, 3,.....` kümesine do÷al sayÕlar kümesi ve bu kümenin her bir elemanÕna bir do÷al sayÕ denir. Do÷al sayÕlar kümesi " ` " sembolü ile gösterilir. 3) Tam sayÕlar Kümesi ^........, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.......` kümesine tam sayÕlar kümesi ve bu kümenin her bir elemanÕna bir tam sayÕ denir. Tam sayÕlar kümesi " ] " sembolü ile gösterilir. Tam sayÕlar kümesi üçe ayrÕlÕr. a) Negatif Tam sayÕlar Kümesi SÕfÕrdan küçük (sÕfÕrÕn solunda olan) sayÕlarÕn oluúturdu÷u kümeye negatif tam sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna negatif tam sayÕ denir. Negatif tam sayÕlar kümesi " ] " sembolü ile gösterilir. ] ^..............., 3, 2, 1` dir. Negatif tam sayÕlar sÕfÕra yaklaútÕkça büyürler. DolayÕsÕyla en büyük negatif tam sayÕ " 1" dir. b) Pozitif Tam sayÕlar Kümesi SÕfÕrdan büyük (sÕfÕrÕn sa÷Õnda olan) sayÕlarÕn oluúturdu÷u kümeye pozitif tam sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna pozitif tam sayÕ denir. Pozitif tam sayÕlar kümesi " ] " sembolü ile gösterilir. ] ^1, 2, 3,.........` dir. Pozitif tam sayÕlar sÕfÕra yaklaútÕkça küçülürler. DolayÕsÕyla en küçük pozitif tam sayÕ "1" dir. c) 4 ørrasyonel SayÕlar Kümesi SÕfÕr bir tam sayÕdÕr, fakat iúaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayÕ de÷ildir. ÖRNEK 10, 3 7, 6) 13 ,... birer irrasyonel sayÕdÕr. 5 Reel (Gerçel, Gerçek) SayÕlar Kümesi Rasyonel sayÕlar kümesi ile irrasyonel sayÕlar kümesinin birleúim kümesine reel sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna bir reel sayÕ denir. Reel sayÕlar kümesi " \ " sembolü ile gösterilir. \ Q Q Õ úeklinde ifade edilir. Örnek: a ve b birer rakam olmak üzere, 3a 4b ifadesinin alabilece÷i en büyük de÷er kaçtÕr? A) 65 B) 63 C) 60 D) 57 E) 54 Çözüm: øfadede kullanÕlacak rakamlarÕn farklÕ olup olmadÕ÷Õna dikkat edilmelidir. a ve b birbirinden farklÕ rakamlar denilmedi÷inde 3a 4b ifadesinde en büyük de÷eri elde etmek için a 9 ve b 9 seçilmelidir. Böylece 3a 4b 3 9 4 9 27 36 63 bulunur. DOĞAL SAYILAR Örnek: En küçük do÷al sayÕ “0” dÕr. A) 115 ` B) 110 C) 105 D) 100 E) 95 ^1,2,3.......` kümesine pozitif do÷al sayÕlar kümesi denir. En küçük pozitif do÷al sayÕ veya sayma sayÕsÕ “1” dir. Çözüm: Verilen ifadede rakamlarÕn farklÕ olmasÕ istendi÷inden ve en büyük de÷er soruldu÷undan seçilebilecek en büyük üç rakam 7, 8 ve 9 kullanÕlmalÕdÕr. Büyük de÷er elde etmek için bu de÷erler bilinmeyenlerin katsayÕlarÕnÕn büyüklük sÕrasÕna göre verilmelidir. O halde a 8, b 9, c 7 seçilirse 5a 6b 3c 5 8 6 9 3 7 40 54 21 115 bulunur. NOT x,y ` ifadesi x ve y do÷al sayÕ, x,y ` ifadesi x ve y pozitif do÷al sayÕ veya sayma sayÕsÕ úeklinde okunur. Örnek: a, b, c, birbirinden farklÕ do÷al sayÕlar olmak üzere, a 4b 2c ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er kaçtÕr? A) 0 Örnek: x, y, z birbirinden farklÕ rakamlar olmak üzere, 4x 2y 7z ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er kaçtÕr? A) 6 ^0,1,2,3.......` kümesine do÷al sayÕlar kümesi denir. ` Sayılar a, b ve c birbirinden farklÕ rakamlar olmak üzere, 5a 6b 3c ifadesinin alabilece÷i en büyük de÷er kaçtÕr? B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Çözüm: Verilen ifadede rakamlarÕn farklÕ olmasÕ istendi÷inden ve en küçük de÷er soruldu÷undan en küçük üç rakam 0,1 ve 2 kullanÕlmalÕdÕr. Küçük de÷er elde etmek için bu de÷erler katsayÕlarÕnÕn büyüklük sÕrasÕ ile ters olacak úekilde seçilmelidir. Yani x 1, y 2, z 4x 2y 7 z B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Çözüm: a 4b 2c ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er bulunurken, denklemde verilen bilinmeyenlere katsayÕlarÕnÕn büyüklü÷ü ile ters olacak úekilde küçük do÷al sayÕ de÷erleri verilir. En büyük katsayÕ “b” nin oldu÷u için b 0 , sonra en büyük katsayÕ “c” nin oldu÷u için c 1 ve son olarak a 2 seçilir. Böylece; a 4b 2c 2 4 0 2 1 4 bulunur. Örnek: 0 seçilirse 4 1 2 2 7 0 x,y,z ` olmak üzere, 3x 2y 4z ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er kaçtÕr? 440 8 bulunur. A) 0 B) 7 C) 9 D) 13 E) 16 Çözüm: Örnek: x, y ve z birbirinden farklÕ rakamlardÕr. Buna göre, 4x 3y 8z ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er kaçtÕr? A) 72 B) 69 C) 68 D) 7 E) 10 Çözüm: Böylece x 1,y 1 ve z 1 seçilirse 3x 2y 4z 3 1 2 1 4 1 9 bulunur. Örnek: Soruda rakamlarÕn farklÕ olmasÕ istendi÷inden ve en küçük de÷er soruldu÷undan katsayÕsÕ pozitif olan bilinmeyenlere küçük, katsayÕsÕ negatif olan bilinmeyenlere büyük de÷er verilmelidir Yani, x 0,y 1 ve z x, y, z pozitif tam sayÕlarÕnÕn birbirinden farklÕ oldu÷u belirtilmedi÷inden ifadede aynÕ de÷er bütün bilinmeyenlere verilebilir. Burada kat sayÕlarÕnÕn büyüklü÷ünün bir önemi yoktur. a ve b do÷al sayÕlar a b 19 ise a nÕn alabilece÷i kaç de÷er vardÕr? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 9 seçilmelidir. 4x 3y 8z 4 0 3 1 8 9 3 72 69 bulunur. 5 ALES Matematik Çözüm: Çözüm: ToplamlarÕ sabit oldu÷undan bilinmeyenlerin birisine de÷er verilip di÷er bilinmeyenin de÷eri bulunur. ToplamlarÕ sabit oldu÷undan x ve y nin birbirine yakÕn ve birbirinden uzak de÷erlerine bakÕlacak olursa, Yani a b 19 a xy 0, b 19 a 1, b 18 a 27 x 13 x 2, b 17 0 y 14 seçersek x y 182 y seçersek x y 27 0 olur. DolayÕsÕyla x y nin alabilece÷i en büyük de÷er 182 ve en küçük de÷er 0 olur. Bu de÷erlerin toplamÕ ise 182 0 182 bulunur. # # a 19, b 0 bulunur. DolayÕsÕyla a nÕn alabilece÷i 20 de÷er vardÕr. Örnek: Örnek: x ve y sayma sayÕsÕ, x y 23 oldu÷una göre, y nin alabilece÷i kaç de÷er vardÕr? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 ToplamlarÕ 18 olan farklÕ iki do÷al sayÕnÕn çarpÕmÕnÕn alabilece÷i en büyük de÷er kaçtÕr? A) 77 B) 78 C) 79 D) 80 E) 81 E) 24 Çözüm: Çözüm: ToplamlarÕ sabit oldu÷undan bilinmeyenlerin birisine de÷er verilip di÷er bilinmeyenin de÷eri bulunur. y 22 Yani x y 23 x 1 , x 2, # y ToplamlarÕ 18 olan iki sayÕ x ve y seçilirse x ile y birbirinden farklÕ do÷al sayÕlar oldu÷undan x 10 ve y 8 seçilir. Böylece x y 80 olur. 21 # x 22, y 1 DolayÕsÕyla y nin alabilece÷i 22 de÷er vardÕr. Örnek: a ve b do÷al sayÕ a b 64 ise a b toplamÕnÕn alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr? Örnek: A) 82 B) 81 C) 80 D) 79 E) 78 a ve b pozitif do÷al sayÕlardÕr. a b 20 oldu÷una göre, a b çarpÕmÕnÕn alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr? A) 119 B)115 C) 109 D) 107 E) 100 Çözüm: ToplamlarÕ sabit olan iki pozitif do÷al sayÕnÕn çarpÕmÕnÕn en büyük ve en küçük de÷eri bulunurken birbirine yakÕn (duruma göre eúit seçilebilir) de÷erler ile birbirinden uzak de÷erler seçilmelidir. a b 20 a 10, b 10 seçilirse a b 100 a 1, b 19 seçilirse a b 19 olur. DolayÕsÕyla a b nin en büyük de÷eri 100, en küçük de÷eri 19 olur. Buradan a b nin alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ 100 19 119 bulunur. Örnek: x y 27 oldu÷una göre, x y çarpÕmÕnÕn alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr? B) 201 D) 186 6 ÇarpÕmlarÕ sabit olan iki do÷al sayÕnÕn toplamÕnÕn alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erler bulunurken sayÕlar birbirine yakÕn veya birbirinden uzak seçilmelidir. Yani a b 64 a 8, b a 1, b 8 seçilirse a b 16 64 seçilirse a b 65 olur. DolayÕsÕyla a b nin alabilece÷i en büyük de÷er 65, en küçük de÷er 16 olur. Bu de÷erlerin toplamÕ ise 65 16 81 bulunur. Örnek: ÇarpÕmlarÕ 48 olan iki do÷al sayÕnÕn toplamÕnÕn alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr? x ve y do÷al sayÕ A) 208 Çözüm: C) 198 E) 182 A) 63 B) 62 C) 61 D) 60 E) 59 Çözüm: Çözüm: ÇarpÕmlarÕ 48 olan iki do÷al sayÕ x ve y olsun. 48 x 8, y x 1, 48 seçilirse x y y x 6 seçilirse x y 14 49 DolayÕsÕyla x y nin alabilece÷i en büyük de÷er 49, en küçük de÷er 14 olur. Buradan bu de÷erlerin toplamÕ 14 49 63 bulunur. 9 6 denkleminde paydada verilen bilinmeyene; pay y kÕsmÕndaki sayÕyÕ bölecek úekilde de÷erler verilip di÷er de÷iúkenin de÷erleri bulunur. Burada y = 1 , 3 , 9 de÷erlerini alabilir. O halde x 9 4 Örnek: x, y ve z birer do÷al sayÕ olmak üzere , x z 5y ise x y z toplamÕ aúa÷Õdakilerden hangisi olabilir? A) 20 B) 22 C) 24 D) 27 E) 32 5y y 9 için x 1 6 x y 3 için x 3 y 1 için x 9 Bu de÷erlerin toplamÕ ise 5 3 6y bulunur. 6x 6x 5 3 3 8 bulunur. Örnek: x y z toplamÕnda x z de÷eri yerine 5y yazÕlÕrsa xN z y 6y x ve y do÷al sayÕ oldu÷undan x in alabilece÷i de÷erler x 5 ve x 3 tür. Çözüm: xyz 6b 10 ise b b nin alabilece÷i de÷erler toplamÕ kaçtÕr? a ve b do÷al sayÕlar olmak üzere, a 5y DolayÕsÕyla toplamÕnÕn sonucu 6 nÕn katlarÕ olmalÕdÕr. Seçenekler incelenirse cevap 6 nÕn katÕ 24 olur. Örnek: A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 Çözüm: a,b,c N ve 3a 4b, 5b 6c olmak üzere , a b c toplamÕ aúa÷Õdakilerden hangisi olamaz? Verilen ifade aúa÷Õdaki gibi düzenlenecek olursa, A) 19 a B) 27 C) 38 D) 57 E) 76 6b 10 b Buradan a Çözüm: Verilen iki eúitlikte ortak bilinmeyen “b” oldu÷undan “a” ve “c” nin de÷erleri “b” de÷iúkenine ba÷lÕ olarak yazÕlacak olursa 4b 3a 4b a 3 5b 5b 6c c olur. 6 Buradan a b c 4b b 5b 3 1 6 (2) (6) 8b 6b 5b 6 19b 6 Örnek: x ve y do÷al sayÕdÕr. 5x 6y 125 eúitli÷ini sa÷layan kaç tane (x,y) ikilisi vardÕr? A) 4 b 6 için a b c 19 b 12 için a b c 38 bulunur. Çözüm: # O halde a b c toplamÕ 19 ve 19 un katlarÕ úeklinde bulunur. Yani a b c toplamÕ 27 olamaz. B) 7 C) 6 D) 7 E) 8 5x 6y 125 eúitli÷inde x ve y de÷iúkenlerinin ilk de÷erleri bulunur. Daha sonra x in de÷erleri bulunurken y nin katsayÕsÕ kadar artÕrÕlÕr (veya azaltÕlÕr), y nin de÷erleri bulunurken x in katsayÕsÕ kadar artÕrÕlÕr (veya azaltÕlÕr). Yani 5x 6y 125 x 1 ve y 20 7 ve y 15 x 13 ve y 10 9 y 6 oldu÷una göre, C) 6 D) 5 x 19 ve y 5 x 0 olur. 25 ve y DolayÕsÕyla (1,20) , (7,15) , (13,10) , (19,5) , (25,0) olmak üzere 5 tane sÕralÕ ikili bulunur. x in alabilece÷i de÷erler toplamÕ kaçtÕr? A) 8 B) 5 x Örnek: x ve y do÷al sayÕ x 6b 10 olur. b b 10 dir. 6 b a ve b do÷al sayÕ oldu÷undan b ,10 u bölen sayÕlar olmalÕdÕr. O halde b nin alabilece÷i de÷erler toplamÕ 1 2 5 10 18 bulunur. DolayÕsÕyla; # Sayılar xy E) 4 7 Çözüm: ALES Matematik TAM SAYILAR ] ^........, 3, 2, 1, 0, 1, 2,.......` kümesine tam sayÕlar kümesi denir. Tam sayÕlar kümesi negatif tam sayÕlar kümesi pozitif tamsayÕlar kümesi ve ^0` kümesinin Verilen denklemler alt alta toplanarak ortak olan bilinmeyen ( yani b) yok edilecek olursa a b b c ac elamanlarÕnÕn birleúimidir. ac 1) Negatif Tam sayÕlar: ^........ 3, 2, 1` kümesine negatif tam sayÕlar ] 9 c 13 22 22 a c 22 olur. 23 seçilirse a Buradan a b c 1 ve b 10 olur. 1 10 23 34 bulunur. kümesi denir. Örnek: Negatif tam sayÕlar kümesi sÕfÕra yaklaútÕkça büyür. En büyük negatif tam sayÕ “ 1 ” dir. 2) Pozitif Tam sayÕlar: ^1, 2, 3,.......` kümesine pozitif tam sayÕlar kümesi ] x, y ve z pozitif tam sayÕdÕr. 3x 2y z 19 ise x y z toplamÕ en az kaçtÕr? A) 7 B) 8 D) 10 E) 11 denir. Çözüm: Pozitif tam sayÕlar kümesi sÕfÕra yaklaútÕkça küçülür. x y z nin en küçük de÷eri alabilmesi için katsayÕsÕ büyük olan bilinmeyene alabilece÷i en büyük de÷er verilerek iúlem yapÕlÕr. En küçük pozitif tam sayÕ “1” dir. 3) SÕfÕr (0) pozitif tam sayÕ veya negatif tam sayÕ de÷ildir. x 5 seçilirse 2y z Örnek: 4x 3y 5z ifadesinin alabilece÷i en büyük de÷er kaçtÕr? B 8 C) 10 D) 12 1, y Örnek: a, b ve c farklÕ pozitif tam sayÕlardÕr. A) 26 x, y ve z birbirinden farklÕ olmadÕ÷Õndan alabilecekleri en büyük negatif tam sayÕ de÷eri 1 dir. x 1 ve z 1 seçilirse 4( 1) 3( 1) 5( 1) 12 bulunur. 36 ise a b c toplamÕ en çok kaçtÕr? B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 Çözüm: a b c nin en büyük de÷eri alabilmesi için katsayÕ büyük olan bilinmeyene alabilece÷i en küçük de÷er verilerek iúlem yapÕlÕr. a 1 seçilirse 3b c Buradan a b c Örnek: 31 b 1 2 25 2 seçilirse c 25 olur. 28 bulunur. Örnek: a, b ve c negatif tam sayÕdÕr. ab 9 x ve y tam sayÕ bc 13 xy 25 oldu÷una göre, x y toplamÕ en az kaçtÕr? oldu÷una göre , a b c toplamÕ en çok kaçtÕr? A) 26 A) 34 Çözüm: B) 30 D) 27 8 bulunur. 3 ve z 1 seçilirse de eúitlik korunur ve 5a 3b c E) 22 Çözüm: 4x 3y 5z 5 1 2 x y z 4 3 1 8 olur. x, y, z’ye verilebilecek di÷er de÷erlerde toplam de÷eri büyür.) x, y ve z negatif tam sayÕdÕr. A) 0 4, y 4 2 olur. x y z y 1 seçilirse z (x C) 27 E) 21 B) 10 C) 0 D) 10 E) 26 x ve y tam sayÕ oldu÷undan ifadenin en küçük de÷erini bulabilmek için x ve y negatif tam sayÕlar seçilmelidir. O halde x xy 8 C) 9 1 ve y 1 25 25 seçilirse 26 bulunur. Tek Tam SayÕ Örnek: x,y,z ] olmak üzere, x y 15 yz 20 oldu÷una göre, x y z toplamÕ en az kaçtÕr? A) -12 B) -20 C) -24 D) -36 “n” tam sayÕ olmak üzere tek tam sayÕlar ” 2n 1 ” ile gösterilir. Tek tam sayÕlar kümesi ^........., 5, 3, 1,1,3,5,.....,2n 1,......` úeklinde gösterilir. ÖRNEK D) -39 Çözüm: 21, 483, 5475, -647, -1239 …birer tek tam sayÕdÕr. x,y,z tam sayÕ oldu÷undan x y z toplamÕnÕn en az olabilmesi için ortak olan bilinmeyene, en büyük negatif tam sayÕ de÷eri verilmelidir. O halde y 1 seçilirse x 15 ve z 20 olur. Tek ve Çift Tam SayÕlar ArasÕndaki øúlemler Buradan x y z Ç 15 1 20 36 bulunur. Çift tam sayÕ, T Tek tam sayÕ olmak üzere 1) øki çift tam sayÕnÕn toplamÕ ve farkÕ daima çift tam sayÕdÕr. Örnek: ÇÇ x ve y tam sayÕ 15 oldu÷una göre y nin alabilece÷i de÷erler y 1 toplamÕ kaçtÕr? x A) 8 Sayılar Birler basama÷Õ 1, 3, 5, 7, 9 rakamlarÕndan oluúan tam sayÕlara tek tam sayÕ denir. B) 2 C) 0 D) 4 E) 8 Çözüm: O halde y 1 15 y 14 y 1 15 y y 1 5 y 4 y 1 5 y 6 y 1 3 y 2 y 1 3 y 4 y 1 1 y 0 y 1 1 y 2 16 Buradan y nin alabilece÷i tamsayÕ de÷erleri toplamÕ 14 4 2 0 ( 16) ( 6) ( 4) ( 2) 8 bulunur. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR Çift Tam SayÕ Birler basama÷Õ 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarÕndan oluúan tam sayÕlara çift tam sayÕ denir. “n” tam sayÕ olmak üzere çift tam sayÕlar “2n” ile gösterilir. Çift tam sayÕlar kümesi ^......... 4, 2,0,2,4, .....,2n,......` úeklinde gösterilir. ÖRNEK 216, 48, -380, -54, 58792… birer çift tam sayÕdÕr. Ç dir. 2) øki tek tam sayÕnÕn toplamÕ ve farkÕ daima çift tam sayÕdÕr. TT Ç ,TT Ç dir. 3) Bir çift tam sayÕ ile bir tek tam sayÕnÕn toplamÕ ve farkÕ daima tek tam sayÕdÕr. TÇ x in tam sayÕ olabilmesi için (y 1) in 15 i bölen bir tam sayÕ olmasÕ gerekir. Ç ,ÇÇ T ,TÇ T dir. 4) øki veya daha fazla tam sayÕdan en az biri çift tam sayÕ ise çarpÕmlarÕ daima çift tam sayÕdÕr. ÇÇ Ç T Ç Ç dir. 5) øki veya daha fazla tek tam sayÕnÕn çarpÕmÕ daima tek tam sayÕdÕr. TT T dir. 6) Tek tam sayÕlarÕn veya çift tam sayÕlarÕn bölümü için kesin yargÕlarda bulunulamaz. Tek veya çift olma, tam sayÕlar için geçerlidir. Rasyonel sayÕlara tek veya çift sayÕ denemez. ÖRNEK 18 6 24 4 30 12 3 (Tek sayÕ) 6 (Çift sayÕ) 5 (Tek veya çift de÷ildir) 2 7) Çift tam sayÕlarÕn bütün pozitif tam sayÕ kuvvetleri çift tam sayÕdÕr. n ] olmak üzere Çn Ç dir. 9 Örnek: ALES Matematik UYARI Çift sayÕlarÕn kuvveti pozitif tam sayÕ olmalÕdÕr. Çift sayÕlarÕn kuvveti sÕfÕr veya negatif olursa ifade çift sayÕ belirtmez. x tek tam sayÕ ise aúa÷Õdakilerden hangisi veya hangileri tek tam sayÕdÕr? I. x5 x3 II. 3x3 4x 1 2 III. 6x 2 4x 1 ÖRNEK IV. x 77 3 x16 2 6 bir çift tam sayÕ ise 633 çift tam sayÕ V. 8 bir çift tam sayÕ ise 8100 çift tam sayÕ A) I ve II (-10) bir çift tam sayÕ ise ( 10)73 çift tam sayÕ B) I ve IV C) II ve III E) IV ve V D) III ve V ÖRNEK Çözüm: 1 bir rasyonel 210 sayÕdÕr. Tek tam sayÕ veya çift tam sayÕ de÷ildir. 4 çift tam sayÕ olmak üzere 4o 1 tek tam sayÕdÕr. 2 çift tam sayÕ olmak üzere 210 SayÕnÕn tek veya çift tam sayÕ oldu÷u belirtildi÷inde, bilinmeyen yerine tek veya çift tam sayÕ de÷eri verilebilir. x 1 seçilirse; 8) Tek tam sayÕlarÕn bütün do÷al sayÕ kuvvetleri tek tam sayÕdÕr. n N olmak üzere Tn T dir. I. x5 x3 II. 3x 4x 1 3 4 1 8 çift tam sayÕ 3 1 1 2 çift tam sayÕ 2 III. 6x 2 4x 1 ÖRNEK 6 4 1 1 tek tam sayÕ IV. x77 3 1 3 2 çift tam sayÕ 3 tek tam sayÕ ise 345 tek tam sayÕ 7 tek tam sayÕ ise 7 206 x16 2 1 2 3 tek tam sayÕ V. tek tam sayÕ DolayÕsÕyla III ve V tek tam sayÕdÕr. ÖRNEK 1 bir rasyonel sayÕdÕr. Tek tam 5 48 sayÕ veya çift tam sayÕ denilemez. Örnek: 5 tek tam sayÕ ise 548 Örnek: Aúa÷Õdakilerden hangisi çift tam sayÕdÕr? A) 3 C) 2 43 5 100 77 7 88 B) 4 6 200 5 D) 12 E) 8 888 3 33 8 44 17 9 83 43 2 Çözüm: Verilen üslü sayÕlarda tabandaki sayÕlarÕn tek veya çift tam sayÕ oldu÷u biliniyor ise kuvvetlerine bakÕlÕr. Kuvvetleri pozitif tam sayÕ ise kuvvetler silinerek iúlem yapÕlabilir. A) 343.577 o 3 5 15 tek tam sayÕ B) 488 644 983 o 4 6 9 19 tek tam sayÕ C) 2100 7200 5 o 2 7 5 8 9 tek tam sayÕ D) 12 17 ifadesinde kuvvet, negatif tam sayÕ oldu÷undan kesin bir yorum yapÕlamaz. 43 E) 8888 333 2 o 8 3 2 10 26 çift tam sayÕ a, b, c birer tam sayÕ ve a b 4c 3 oldu÷una göre aúa÷Õdakilerden hangisi kesinlikle do÷rudur? A) a b tek tam sayÕdÕr. B) a b çift tam sayÕdÕr. C) a c çift tam sayÕdÕr. D) b c tek tam sayÕdÕr. E) a b c çift tam sayÕdÕr. Çözüm: a b 4c 3 ifadesinde 4c daima bir çift tam sayÕdÕr. O halde 4c 3 bir tek tam sayÕ olur. Böylece a b 4c 3 a b tek tam sayÕdÕr a tek, b tek tam sayÕdÕr Seçenekler incelenirse a b T T Çift tam sayÕ bulunur. 4) AynÕ iúaretli iki sayÕnÕn çarpÕmÕ veya bölümü daima pozitiftir. Örnek: a, b, c birer do÷al sayÕ olmak üzere, A) B) C) D) E) a çift tam sayÕdÕr. b tek tam sayÕdÕr. a tek, c çift tam sayÕdÕr. b çift, c çift tam sayÕdÕr. a çift ise b çift tam sayÕdÕr. x ! 0½ x ¾ x y ! 0 ve ! 0 dÕr. y y ! 0¿ x 0½ x ¾ x y ! 0 ve ! 0 dÕr. y 0¿ y Sayılar a 8b 4 oldu÷una göre, aúa÷Õdakilerden hangisi c 1 kesinlikle do÷rudur? 5) ZÕt iúaretli iki sayÕnÕn çarpÕmÕ veya bölümü daima negatiftir. x ! 0½ x ¾ x y 0 ve 0 dÕr. y 0¿ y Çözüm: 6) Pozitif sayÕlarÕn bütün kuvvetleri pozitiftir. a 8b 4 ifadesinde içler dÕúlar çarpÕmÕ yapÕlÕrsa c 1 a 8b 4c 4 olur. Bu ifadede 8b ve 4c 4 daima bir çift tam sayÕdÕr. DolayÕsÕyla a çift tam sayÕ olmalÕdÕr. POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR SÕfÕrdan küçük sayÕlara negatif sayÕlar denir. x negatif sayÕ ise " x 0" úeklinde gösterilir. SÕfÕrdan büyük sayÕlara pozitif sayÕlar denir. x pozitif sayÕ ise " x ! 0" úeklinde gösterilir. SÕfÕr pozitif veya negatif sayÕ de÷ildir. n bir tam sayÕ x pozitif sayÕ olmak üzere x n daima pozitiftir. ÖRNEK 3 ! 0 oldu÷undan 352 ! 0 2 ! 0 oldu÷undan 28 1 ! 0 dÕr. 28 7) Negatif sayÕlarÕn; a) Çift tam sayÕ kuvvetleri daima pozitiftir. b) Tek tam sayÕ kuvvetleri daima negatiftir. Pozitif Ve Negatif SayÕlarArasÕndaki øúlemler 1) Pozitif sayÕlarÕn toplamÕ daima pozitiftir. x ! 0½ ¾ x y ! 0 dÕr. y ! 0¿ ÖRNEK ( 4) 0 oldu÷undan ( 4)2 16 ! 0 ( 3) 0 oldu÷undan ( 3)3 27 0 dÕr. 2) Negatif sayÕlarÕn toplamÕ daima negatiftir. x 0½ ¾ x y 0 dÕr. y 0¿ UYARI 3) ZÕt iúaretli sayÕlarÕn toplamÕ için kesin bir yargÕda bulunulamaz. Sonuç, sayÕsal de÷erce büyük olanÕn iúaretini alÕr. x ! 0½ ¾ x y 0 , x y ! 0 ,x y y 0¿ Negatif sayÕlarÕn çift kuvvetleri alÕnÕrken kuvvetin parantezin içinde veya dÕúÕnda olmasÕna göre sonuç de÷iúir. 0 dÕr. ÖRNEK ( 2) 0 oldu÷undan ( 2)2 4!0 ( 2) 0 oldu÷undan ( 22 ) 4 0 olur. DolayÕsÕyla; ( 2)2 z ( 22 ) dir. 11 ALES Matematik Örnek: Örnek: a, b, c reel sayÕlardÕr. x y 0 z ifadesine göre aúa÷Õdakilerden hangisi daima pozitiftir? a b ! 0 8 7 b5 c 3 0 A) a3 c ! 0 eúitsizliklerine göre a, b, c nin iúaretleri sÕrasÕyla aúa÷Õdakilerden hangisidir? B) , , D) , , Verilen ifadelerde çift kuvvetli sayÕlar tamamen silinir. Geriye kalan sayÕlardan tek kuvvete sahip olanlarÕn kuvvetleri yokmuú gibi iúlem yapÕlÕrsa a8 b 7 ! 0 o b ! 0 A) B) a 3 c ! 0 o a c ! 0 ve c 0 oldu÷undan a 0 olur. DolayÕsÕyla a, b, c nin iúaretleri sÕrasÕyla , , bulunur. a 0 b ifadesine göre, aúa÷Õdakilerden kaç tanesi kesinlikle pozitiftir? I. a b II. a b III. b a IV. a2b3 V. 2a 3b C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: a 0 b ifadesinde a II. ab ve b iúaretlidir. D) xy z xz y 2 1 2 2 2 1 yz x zy x yx z 1 2 1 (Negatif) 2 2 2 ( 1) 2 1 3 (Negatif) 2 2 2 1 ( 2) 1 2 1 (Pozitif) 2 2 2 3 (Negatif) 2 0 0 (øúaretsiz) 1 DolayÕsÕyla A, C, D seçenekleri negatif, B seçene÷inin pozitifli÷i veya negatifli÷inden bahsedilemez. E seçene÷i daima pozitif bulunur. ( )2 ( )3 a pozitif b ve c negatif tam sayÕdÕr. Buna göre, aúa÷Õdakilerden hangisi sÕfÕr olabilir? A) a b c D) a b c B) a b a c C) a b c E) a c b Çözüm: ( ) ( ) için kesin bir úey söylenemez. III. b a ( ) ( ) ( ) ( ) IV. a2b3 yx z Örnek: B) 2 ( ) ( ) C) E) Örnek: a b E) yz x x, y ve z için sÕralama verildi÷inden bilinmeyenlerin yerine sayÕsal de÷erler verilebilir. x y 0 z ise x 2 , y 1 ve z 2 seçilebilir. Seçilen de÷erler seçeneklerde yerine yazÕlacak olursa b 5 c 3 0 o b c 0 ve b ! 0 oldu÷undan c 0 olur. I. zy x C) Çözüm: C) , , E) , , Çözüm: A) 1 xz y B) D) A) , , ( ) ( ) V. 2a 3b 2( ) 3( ) ( ) ( ) bulunur. Buradan III. ve IV. öncüller kesinlikle pozitiftir. O halde verilen ifadelerden 2 tanesi kesinlikte pozitiftir. 12 xy z a pozitif b ve c negatif tam sayÕ oldu÷undan a , b , c iúaretli olmalÕdÕr. øúlemin sonucunun sÕfÕr olabilmesi için ifade zÕt iúaretli sayÕlarÕn toplamÕ úeklinde yazÕlabilmelidir. Buna göre, A) a b c ( ) ( ) ( ) B) ab a c C) a bc ( ) ( ) ( ) () () D) a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E) a c b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oldu÷undan E seçene÷indeki ifade sÕfÕr olabilir. a(b c) ( ) ( ) Çözüm: ARDIŞIK SAYILAR ArdÕúÕk tek tam sayÕlarÕn terimleri arasÕnda “2” fark oldu÷undan 1. (7n 1) (8n 5) 2 7n 1 8n 5 2 Örnek: n 6 2 n 8 olur. 2 8n 5 7n 1 2 n6 2 n 4 olur. 3, 4, 5, 6,…….. ardÕúÕk do÷al sayÕlar. 7, 12, 17,…….. 5 er ardÕúÕk do÷al sayÕlar. 4, 10, 16,…….. 6 úar ardÕúÕk do÷al sayÕlar. 12, 14, 16,…… ardÕúÕk çift do÷al sayÕlar. 11, 13, 15,…… ardÕúÕk tek do÷al sayÕlar. 2. (8n 5) (7n 1) n 8 için sayÕlar 7n 1 7( 8) 1 57 1. ArdÕúÕk Tam sayÕlar n 4 için sayÕlar 7n 1 7( 4) 1 29 8n 5 AralarÕnda bir fark olan ve art arda gelen tam sayÕlara ardÕúÕk tam sayÕlar denir. n tam sayÕ olmak üzere n,n 1,n 2,n 3,....... úeklinde gösterilir. 2. ArdÕúÕk Çift Tam sayÕlar 8( 8) 5 59 8n 5 8( 4) 5 27 Buradan ardÕúÕk tek sayÕlarÕn toplamÕ ( 57) ( 59) ( 29) ( 27) 172 bulunur. Örnek: a,b,c ardÕúÕk do÷al sayÕlardÕr. AralarÕnda iki fark olan ve art arda gelen çift sayÕlara ardÕúÕk çift tam sayÕlar denir. n çift tam sayÕ olmak üzere n,n 2,n 4,...... úeklinde gösterilir. 3. ArdÕúÕk Tek Tam sayÕlar AralarÕnda iki fark olan ve art arda gelen tek sayÕlara ardÕúÕk tek tam sayÕlar denir. n tek tam sayÕ olmak üzere n,n 2,n 4,n 6,...... úeklinde gösterilir. Örnek: a b c oldu÷una göre , (a b)3 (a c) ifadesinin (b c)2 sonucu kaçtÕr? A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) 3 Çözüm: I. Yol: a,b,c ardÕúÕk do÷al sayÕlar ve a b c oldu÷undan a 1, b 3 seçilebilir. 2 ve c (a b)3 (a c) (b c)2 (1 2)3 (1 3) (2 3)2 ( 1)3 ( 2) ( 1)2 n tam sayÕ olmak üzere 3n 1 ve 4n 5 sayÕlarÕ ardÕúÕk tam sayÕlardÕr. 2 bulunur. Buna göre, n’in alabilece÷i de÷erler toplamÕ kaçtÕr? II. Yol: A) 12 a b c oldu÷undan sayÕlar küçük sayÕya göre yazÕlabilir. Küçük sayÕ a ise ortanca sayÕ a + 1 ve büyük sayÕ a + 2 olur. Bu de÷erler verilen denklemde yerine yazÕlÕrsa, (a b)3 (a c) [ a ( a 1)]3 > a ( a 2 )] (b c)2 [a 1 ( a 2 )]2 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 Çözüm: ArdÕúÕk tam sayÕlarÕn terimleri arasÕnda “1” fark oldu÷undan 1. (3n 1) (4n 5) 1 3n 1 4n 5 1 n 6 1 n 7 olur. ( a a 1)3 ( a a 2 ) (a 1 a 2 )2 ( 1)3 ( 2) ( 1)2 ( 1).( 2 ) 1 2 bulunur. 2. (4n 5) (3n 1) 1 4n 5 3n 1 1 n6 1 n 5 olur. n in alabilece÷i de÷erler toplamÕ ( 7) ( 5) bulunur. 12 Örnek: Örnek: n tam sayÕ olmak üzere 7n 1 ile 8n 5 ardÕúÕk tek tam sayÕlardÕr. Buna göre, bu ardÕúÕk sayÕlarÕn toplamÕ kaçtÕr? A) 12 B) 36 Sayılar Belirli bir kurala göre art arda gelen sayÕlara ardÕúÕk sayÕlar denir. C) 72 D) -118 E) 172 a,b,c dörder ardÕúÕk pozitif tam sayÕlardÕr. c b a oldu÷una göre , (a c) b a)2 iúleminin sonucu kaçtÕr? A) 180 B) 144 C) 128 D) 96 E) 72 13 ALES Matematik Çözüm: III. Yol : I. Yol : a,b,c dörder ardÕúÕk tam sayÕlar ve c b a Ortanca terim formülünden bu ardÕúÕk beú sayÕnÕn ortancasÕ bulunur. oldu÷undan c 1, b ( a c ).(b a ) bulunur. 2 9 seçilebilir. 5 ve a ( 9 1).( 5 9 ) 2 8.( 4 )2 8.16 128 II. Yol : a , b , c dörder ardÕúÕk tam sayÕlar ve c b a oldu÷undan büyük sayÕlar yani a ve b sayÕlarÕ küçük sayÕ yani c ye ba÷lÕ yazÕlabilir. Küçük sayÕ c ise ortanca sayÕ b c 4 , büyük sayÕ a b 4 c 8 olur. Bu de÷erler ifadede yerine yazÕlÕrsa (a c) (b a)2 ( c 8 c ) ( c 4 c 8)2 8 ( 4)2 p or tan ca terim Bir ardÕúÕk sayÕ dizisinde terimlerin toplamÕ ve terim sayÕsÕ biliniyor ise ortanca terim aúa÷Õdaki formül ile bulunabilir. Terimlerin ToplamÕ Terim SayÕsÕ Örnek: ArdÕúÕk dokuz tek tam sayÕnÕn toplamÕ 27 ise bu sayÕlarÕn en küçü÷ü kaçtÕr? B) 5 C) 3 D) 5 E) 7 YukarÕdaki verdi÷imiz üç çözümden üçüncüsü iúlem yapma açÕsÕndan daha pratik bir yol oldu÷undan bu sorularÕn çözümünde üçüncü çözüm yolu kullanÕlabilir. 27 Or tanca Terim 3 olur. 9 5 , 3 , 1, 1 m 3 p or tan ca terim o 5 , 7 , 9 , 11 or tan cadan büyük dört tek tam sayÕ En küçük de÷er –5 bulunur. Örnek: ArdÕúÕk 5 tam sayÕsÕnÕn toplamÕ 115 ise bu sayÕlarÕn en büyü÷ü kaçtÕr? B) 22 24,25 or tan cadan büyük iki tam sayÕ O halde büyük sayÕ 25 bulunur. or tan cadan küçük dört tek tam sayÕ A) 21 23 olur. Çözüm: NOT Or tanca Terim m 23 o 21,22 N or tan cadan küçük iki tam sayÕ A) 7 128 bulunur. 115 5 Ortanca Terim C) 23 D) 24 E) 25 Çözüm: Örnek: ArdÕúÕk yedi çift tam sayÕnÕn toplamÕ 294 ise bu sayÕlarÕn en büyü÷ü kaçtÕr? A) 42 B) 44 C) 46 D) 48 E) 50 I. Yol: Bu ardÕúÕk sayÕlardan en büyü÷ü x olsun. Di÷er dört ardÕúÕk sayÕ x 1, x 2, x 3 ve x 4 olur. ToplamlarÕ 115 oldu÷undan x x 1 x 2 x 3 x 4 115 5x 10 115 5x 125 x 25 bulunur. Çözüm: 294 42 olur. 7 m 42 o 44, 46, 48 p Or tanca Terim 36, 38, 40 or tan cadan küçük üç çift tam sayÕ or tan ca terim or tan cadan büyük üç çift tam sayÕ Buradan en büyük de÷er 48 bulunur. II. Yol: Bu ardÕúÕk sayÕlardan ortancasÕ a olsun. Di÷er dört sayÕdan iki tanesi a dan küçük, iki tanesi a dan büyük olur. DolayÕsÕyla sayÕlarÕmÕz a 2 , a 1, a, a 1, a 2 olur. ToplamlarÕ 115 oldu÷undan a 2 a 1 a a 1 a 2 115 5a 115 a Büyük sayÕ a 2 14 23 2 23 25 bulunur. UYARI ArdÕúÕk sayÕ dizisinde çift sayÕda terim varsa (4 tane, 6 tane, 8 tane,… gibi) ortanca terim olmaz. Fakat ortanca terim varmÕú gibi iúlem yapÕlÕr yazÕlacak ardÕúÕk sayÕlar bulunan de÷erden büyük ve küçük olacak biçimde eúit úekilde yazÕlÕr.
© Copyright 2024 Paperzz
