Elektromanyetik Dalga Teorisi

08.10.2014
Elektromanyetik
Dalga Teorisi
DERS-4
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar
Düşük Kayıplı Dielektrikler
İyi İletkenler
Grup Hızı
Güç ve Enerji
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar
Eğer bir ortam iletken ise (≠0), elektrik alanın varlığından dolayı = .
akımı akacaktır. Bu durumda;
=
=
/
olur.
Kayıplı ortamın kompleks geçirgenliği
j
=
=
≅ ∶ ≫
İyi iletken
≪
İyi yalıtkan
1
08.10.2014
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar
Kayıplı ortamda dalga sayısı;
.
=j
. =0
.
1
=
1
=
Düşük Kayıplı Dielektrikler
Düşük kayıplı bir dielektrik, iyi ancak mükemmel olmayan bir yalıtkandır
ve
≪ veya ≪1 olacak şekilde sıfır olmayan bir eşdeğer öz
iletkenliği vardır. Bu koşul altında terimine binom açılımını uygularsak;
1
=
≅
/
1
Zayıflama sabiti
/
Faz sabiti
2
08.10.2014
Düşük Kayıplı Dielektrikler
Düşük kayıplı bir dielektriğin öz empedansı kompleks bir niceliktir.

=
 ≅
 , faz hızı
1
1

oranından elde edilir
 =
≅
1
/
İyi İletkenler
≪
veya 1≪
olan ortamlardır.
=
=
≅(1+j)
İyi iletkenin öz empedansı

≅
1
 = 1
3
08.10.2014
İyi İletkenler
İyi iletkende faz hızı
 =
≅
/
İyi iletkende dalga boyu

2

2
Deri Kalınlığı: İlerleyen dalganın genliğinin
veya 0,368 çarpanı ile azaldığı 
mesafesine iletkenin deri kalınlığı veya nüfuz derinliği adı verilir.
=
İyi iletken için
olduğu için
=

yazılabilir.
Faz ve Grup Hızı
Bilgi taşıyan bir sinyalin normal olarak bir yüksek taşıyıcı frekans etrafında küçük bir
frekans yayılması vardır. Böyle bir sinyal bir frekans grubundan oluşur ve bir dalga
paketi oluşturur. Grup hızı, dalga paketi zarfının yayılma hızıdır.
Genlikleri, hızları ve yayılım yönleri aynı
fakat frekansları farklı iki sinüs dalgasını
toplayalım:
A(t )  A sin(1t )  A sin(2t ) 
    2     1  2  
2 A cos  1
t  sin  
t  .
2
2

 



 
Sinüslü terimin frekansı faz, kosinüslü
terimin frekansı ise grup hızını belirler.
4
08.10.2014
Güç ve Enerji
Anlık Poynting vektörü:
.
.
1
2
.
.
1
2
=
1 1
2 2
1
2
∗
.
∗
∗
∗
.
∗
.
.
∗
.
.
∗
.
1
2
∗
.
.
∗.
.
ve zamanın fonksiyonu değillerdir. Poynting vektörünün zaman ortalaması (ortalama güç
yoğunluğu)
1
.
2
∗
Güç ve Enerji
 
 
  E   jH  M i
  
 
 
H * .(  E )   jH .H *  H * .M i
 

 
  H  jE  E  J i
  



E (  H * )   jEE *  EE *  EJ i
  
  
 
 *
 
 
 
E.(  H * )  H * .(  E )  H * .M i  E.J i  E * .E  jE * .E  jH .H *
Aşağıdaki vektör özdeşliğini kullanıp denklemi düzenlersek;
  
  
  
( E  H * )  H * (  E )  E (  H * )
 1  
1   1  * 1  2
 ( E  H * )  H * .M i  E.J i   E
2
2
2
2


2
2
1
1
 j 2   . H   E 
4
4

Harmonik alanlar için
enerjinin korunumu
denkleminin diferansiyel
formu
5
08.10.2014
 1  
 2 1  2
1   1  * 1  2
1
 ( E  H * )  H * .M i  E.J i   E  j 2   . H   E 
2
2
2
2
4
4

Denklemin iki yanının hacim integralini alırsak;
 1  
1  
  ( E  H * )dv    ( E  H * )dS
2
2
v
S
2
1   1  *
1
  ( H * .M i  E.J i )dv    E dv
2v
2
2v
 2 1  2
1
 j 2    . H   E dv
4
4

v
veya


1
2

 (H
v
*
2
1 *  1  *
1  
1
( H .M i  E.J i ) dv    ( E  H * )dS    E dv

2v
2
2
2v
S
 2 1  2
1
 j 2    . H   E dv
4
4

v


1  *
1 
1
.M i 
E . J i ) dv    ( E  H * ) dS 
2
2
2
S
Ps : Uygulanan
güç (kaynak
gücü)


E
2
dv  j 2 
v
v
Pe : Çıkan güç Pd : Harcanan
(kompleks) reel güç (Watt)
Ps= Pe + Pd +j2(
1
  4
-

.H
2


1
 E
4
2

 dv

Manyetik
Elektrik
enerjinin enerjinin
zaman
zaman
ortalamas ortalamas
ı [J]
ı [J]
)
6
08.10.2014
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
x
Yansıyan
Dalga
̂
x
z
İletilen
Dalga
Gelen
Dalga
̂
̂
1. ortam
( , 1)
2. ortam
( , 2)
z=0
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
Z=0’daki ortam süreksizliğinden dolayı
gelen dalga kısmen 1. ortama geri
yansıyacak ve kısmen de 2. ortama
iletilecektir.
Gelen dalganın elektrik ve
manyetik alan şiddeti fazörleri

Ei ( z )  Ei 0 .e  j1 z ıˆx

E
H i ( z )  i 0 .e  j1 z ıˆy
1
Yansıyan dalganın elektrik ve
manyetik alan şiddeti fazörleri

Er ( z )  Er 0 .e j1 z ıˆx

 Er 0 j1z
H r ( z) 
.e ıˆy
1
İletilen dalganın elektrik ve
manyetik alan şiddeti fazörleri

Et ( z )  Et 0 .e  j 2 z ıˆx

E
H t ( z )  t 0 .e  j 2 z ıˆy
2
7
08.10.2014
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
Bilinmeyen Er0 ve Et0 büyüklüklerini belirlemek için iki denkleme ihtiyaç vardır. Bu denklemler, elektrik
ve manyetik alanın sağlaması gereken sınır koşullarından elde edilir. z=0 dielektrik arayüzünde elektrik
ve manyetik alan şiddetlerinin teğet bileşenleri (x-bileşenleri) sürekli olmalıdır.



Ei (0)  Er (0)  Et (0)



H i (0)  H r (0)  H t (0)
veya
1
( Ei 0  Er 0 ) 
H i 0  H r 0  H t 0 veya
1
1
( Ei 0  Er 0 ) 
Eto
2
 2  1
Ei 0
 2  1
2 2
Et 0 
Ei 0
 2  1
Er 0 
Ei 0  Er 0  Et 0
1
Ei 0  Er 0  Et 0
Eto
2
Er 0  2  1

Ei 0  2  1
Yansıma Katsayısı

İletim Katsayısı
E
2 2
  t0 
Ei 0  2  1
1   
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
veya
1. ortamdaki (
toplam alanı, gelen ve yansıyan alanların toplamıdır.

E1 ( z )  Ei 0 .e  j1z (1  .e 2 j1z )ıˆx

E1 ( z ) , maksimum ve minimum değerlerine sırasıyla (1  .e 2 j1z ) çarpanının
maksimum ve minimum olduğu yerlerde ulaşacaktır. Ortamda bir duran dalga
vardır. Bir duran dalganın elektrik alan şiddetinin genliğinin maksimum değerinin
minimum değerine oranına Duran Dalga Oranı denir, s veya SWR ile gösterilir
s
E max
E min

1 
1 
(birimsiz )
s 1

(birimsiz )
s 1
 değerleri -1 ile +1, s’nin değeri
ise 1 ile sonsuz arasında değişir.
8
08.10.2014
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi
İkinci ortamda ( ,
, +z
yönünde yayılan iletilen dalgadır.

Et ( z )   .Ei 0 .e  j 2 z ıˆx

 .Ei 0  j 2 z
H t ( z) 
.e
ıˆy
2
İyi İletken Üzerine Dik Gelişi
Gelen alan vektör fazörlerini
düşünelim;

Ei ( z )  Ei 0 .e  j1z ıˆx

E
H i ( z )  i 0 .e  j1z ıˆy
1
Bu dalga, z=0’da mükemmel iletken düzlem sınırına
çarpmaktadır.İyi bir iletkenin öz empedansı;
 2  1  1

 1
 2  1 1
2 2
0

 2  1

2 
j

   yazarsak  2  0 olur
Sonuç olarak,
.
,
.
0bulunur. Gelen dalga
fazı ters çevrilerek tümüyle geri
yansır.
9
08.10.2014
İyi İletken Üzerine Dik Gelişi
Gelen alan vektör fazörleri

Ei ( z )  Ei 0 .e  j1z ıˆx

E
H i ( z )  i 0 .e  j1z ıˆy
1
Yasıyan alan vektör fazörleri

Er ( z )   Ei 0 .e  j1zıˆx

E
H r ( z )  i 0 .e  j1zıˆy
1
İyi İletken Üzerine Dik Gelişi



E1 ( z )  Ei ( z )  Er ( z )  Ei 0 .( e  j1z  e  j1z )ıˆx   Ei 0 .2. j. sin 1 z.ıˆx



E
E
H1 ( z )  H i ( z )  H r ( z )  i 0 .(e  j1z  e  j1z )ıˆy  i 0 .2. cos 1 z.ıˆy
1
1
ve
’nin zamanda birbirine dik ( , ’den –j çarpanından dolayı
90 geridedir) olduğunu gösterir. Her iki denklem de duran dalgaları gösterir.
10
08.10.2014
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi
x
Yansıyan Dalga
Kırılan Dalga
z
y
Gelen Dalga
2. ortam
,
1. ortam
,
z=0
11
08.10.2014
Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi
Snell yansıma yasası: Yansıma açısı,
geliş açısına eşittir.
Snell Kırılma Yasası:
sin  t  p 2 1 n1



sin i  p1  2 n2
1  2 için Snell kıırılm yasası;
sin  t n1 2

 r1


 1 
(   2 )
sin i n2 1
2
 r2 1
Tam Yansıma
durumunu inceleyelim.
Bu durumda
olur.
açısı
ile arttığından,
olduğunda kırılan dalganın
arayüzü yaladığı ilginç durum
oluşur. nin daha fazla artışı
kırılan dalga olmamasına neden
olur ve gelen dalganın tamamen
yansıdığı söylenir.
nin olduğu tam yansımanın
eşiğine karşılık gelen geliş
açısına kritik açı denir.
12
08.10.2014
Tam Yansıma
sin t

 1
sin i
2
1

 1
sin  c
2
sin  c 
2
1
n 
2
 sin 1  2  ( 1  2 )
1
 n1 
Kritik açı :  c  sin 1
Dik Kutuplama
Yansıyan Dalga
x
İletilen dalga
̂
̂
z
Gelen Dalga
y
̂
1. ortam
,
z=0
2. ortam
,
13
08.10.2014
Dik Kutuplama
Gelen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri

Ei ( x, z )  Ei 0 .e  j1 ( x . sin i  z . cosi )ıˆy

E
H i ( x, z )  i 0 .(  cos i .ıˆx  sin i .ıˆz ).e  j1 ( x . sin i  z . cosi )
1
Dik Kutuplama
Yansıyan dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri

Er ( x, z )  Er 0 .e j1 ( x. sinr  z. cosr )ıˆy

E
H r ( x, z )  r 0 .( cosr .ıˆx  sin r .ıˆz ).e j1 ( x. sinr  z. cosr )
1
14
08.10.2014
Dik Kutuplama
İletilen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri

Et ( x, z )  Et 0 .e j2 ( x. sint  z. cost )ıˆy

E
H t ( x, z )  t 0 .( cost .ıˆx  sin t .ıˆz ).e j2 ( x. sint  z. cost )
1
Dik Kutuplama

Ei ( x, z )  Ei 0 .e  j1 ( x . sin i  z . cosi )ıˆy

E
H i ( x, z )  i 0 .(  cos i .ıˆx  sin i .ıˆz ).e  j1 ( x . sin i  z . cosi )
1

Er ( x, z )  Er 0 .e j1 ( x. sinr  z. cosr )ıˆy

E
H r ( x, z )  r 0 .( cosr .ıˆx  sinr .ıˆz ).e j1 ( x. sinr  z. cosr )
1

Et ( x, z )  Et 0 .e  j2 ( x. sint  z. cost )ıˆy

E
H t ( x, z )  t 0 .( cost .ıˆx  sint .ıˆz ).e j2 ( x. sint  z . cost )
Yanda verilen denklemlerde dört
bilinmeyen nicelik vardır. Bunlar;
,
,
ve
Bunların belirlenmesi ve nin
teğet bileşenlerinin z=0 sınırındaki
süreklilik koşullarının sağlanması ile
olur.
1
Eiy ( x,0)  Ery ( x,0)  Ety ( x,0)
Ei 0 .e  j1 . x . sin i  Er 0 .e  j1 . x . sin i  Et 0 .e  j 2 . x . sin t
Benzer şekilde
H ix ( x,0)  H rx ( x,0)  H tx ( x,0)
1
1
.(  Ei 0 cos i .e  j1x . sin i  Er 0 cos  r .e  j1x . sin  r ) 
Et 0
2
. cos  t .e  j 2 x . sin t
15
08.10.2014
Dik Kutuplama
Ei 0 .e  j1 . x. sin i  Er 0 .e  j1 . x. sin  r  Et 0 .e  j2 . x. sint
1
1
.(  Ei 0 cos i .e  j1x. sini  Er 0 cos  r .e  j1x. sin  r ) 
Et 0
2
. cos  t .e  j2 x. sin t
Yukarıdaki eşitliklerin her x için sağlanması gerektiğinden, x’in fonksiyonu olan üç üstel faktörün
hepsi eşit olmalıdır.
1. x. sin i  1. x. sin  r   2 . x. sin t
bulunur ki, bu da snell yansıma (
Ei 0  Er 0  Et 0
1
1
Ei 0  Er 0 ). cosi 
Et 0
2
. cos t
ve Snell kırılma yasasını (
/
=
/
) verir.
 
Er 0 2 . cos i  1. cos t

Ei 0 2 . cosi  1. cos  t
 
Et 0
2.2 . cos i

Ei 0 2 . cos i  1. cos t
Paralel Kutuplama
Yansıyan Dalga
x
İletilen dalga
̂
̂
x
z
Gelen Dalga
y
̂
1. ortam
,
z=0
2. ortam
,
16
08.10.2014
Paralel Kutuplama
Gelen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri

Ei ( x, z )  Ei 0 .(cos i .ıˆx  sin i .ıˆz ).e  j1 ( x . sin i  z . cosi )

E
H i ( x, z )  i 0 .e  j1 ( x . sin i  z . cosi ) .ıˆy
1
Paralel Kutuplama
Yansıyan dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri

Er ( x, z )  Er 0 .(cos r .ıˆx  sin  r .ıˆz ).e j1 ( x. sinr  z. cosr )

E
H r ( x, z )   r 0 .e j1 ( x. sinr  z. cosr ) .ıˆy
1
17
08.10.2014
Paralel Kutuplama
İletilen dalganın elektrik ve manyetik alan şiddeti fazörleri

Et ( x, z )  Et 0 .(cost .ıˆx  sin t .ıˆz ).e j2 ( x. sint  z. cost )ıˆy

E
H t ( x, z )  t 0 .e j2 ( x. sint  z. cost ) .ıˆy
2
Paralel Kutuplama
ve nin teğet bileşenlerinin z=0’daki süreklilik koşulları
yine Snell yansıma ve kırılma yasalarını ve ek olarak
aşağıdaki iki denklemi verir.
( Ei 0  Er 0 ). cosi  Et 0 . cost
1
1
( Ei 0  Er 0 ) 
Et 0
2
Bunlardan
ve
,
cinsinden çözülerek, paralel kutuplama için yansıma ve
iletim katsayıları aşağıdaki gibi bulunur.
II 
Er 0 2 . cos  t  1. cosi

Ei 0 2 . cos  t  1. cos i
 II 
Et 0
2.2 . cosi

Ei 0 2 . cos  t  1. cos i
18
08.10.2014
Hiç Yansımanın Olmadığı Brewster Açısı
II 
Er 0  2 . cos  t  1. cos  i

Ei 0  2 . cos  t  1. cos  i
Denklemine bakarsak payının iki teriminin farklı olduğunu görürüz. Bu da yansıma
olmaması için
=0 yapan bir  ,  ve birleşimi olup olmadığı sorusunu gündeme
getirir. Bu özel ’ yi ile gösterelim.
II
 2 . cos  t  1. cos  B
(Her iki tarafın karesini alıp
1  sin 2  B  22

1  sin 2  t 12
ve
sin  t 
2
sin  B
1
Snell yasası kullanılarak aşağıdaki denklemler elde edilir)
sin  B 
sin 2  B 
1  ( 2 / 1 )
1   2 . 1 / 1. 2

1  ( 2 .1 / 1. 2 ) 2
1  ( 1 /  2 ) 2
2
 B  tan 1
1
1  ( 1 /  2 )
2
1
( 1   2 )
( 1   2 )
İyonosferik tabakaların kırılma indisi
19
08.10.2014
Snell kanunundan yararlanarak, aşağıdaki denklemleri yazabiliriz.
• Bu durumda, iyonosferden dalganın tekrar yeryüzüne yansıma
koşulu aşağıdaki gibidir.
20
08.10.2014
Dalganın geri yansıması geliş açısı ve elektron yoğunluğuna bağlıdır. Geliş açısı ne
kadar küçükse, geriye yansıma daha düşük elektron yoğunluğunda bile
gerçekleşebilecektir. Açı 90 dereceye yaklaştıkça, geriye yansıma için daha yoğun
elektrona ihtiyaç olacaktır. Gerekli elektron yoğunluğu yoksa, dalga yansımaz.
21
08.10.2014
Dalganın dik gönderilmesi koşulunda dalganın yeryüzüne geri dönme şartını
yazalım.
Bu koşul sağlanırsa, dalganın dik
gönderilmesi durumunda (aslında bütün
açılarda), dalga tekrar geri dönecektir.
Kritik Frekans
Düşük frekanslarda, elektron yoğunluğunun az olduğu, alçak
tabakalarda yansıma meydana gelecektir. Frekans arttıkça yansıma,
elektron yoğunluğunun fazla olduğu daha üst tabakalarda
gerçekleşecektir. Elektron yoğunluğunun maksimum değeri maksimum
frekansı belirler ve bu frekansa “kritik frekans” adı verilir ve f0 ile
gösterilir.
22

Download Report