ELK 307
İletişim Kuramı-I
Kuramı I
Nihat KABAOĞLU
Ders 2
Dersin İçeriği

Sinyaller ve Sistemlerin Temelleri
Sinyaller
Sinyallerin Sınıflandırılması
Trigonometrik ve Üstel Fourier Serileri
Fourier
F i Dönüşümü
Dö ü ü ü ve Ö
Özellikleri
llikl i
Birim Dürtü (Delta Dirac) Fonksiyonu
Sinyallerin Doğrusal Sistemlerden İletimi

Kısım-2
Sinyaller ve Sistemlerin
Temelleri
Sinyaller

Sinyal, bilgi ya da veri kümesi olarak tanımlanabilir.
Örneğin

Telefon ya da televizyon sinyali.
Bir kuruluşun ayın günlerine göre satış tutarları
Ancak, bu derste zamanın fonksiyonu olan sinyaller ile
ilgilenilecek.
g
Bir dalga şeklinin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için

Zamanda sınırlı
Bant genişliği sonlu
Zamanda sürekli
Aldığı değerler sonlu ve gerçel

olmalıdır.
Sinyallerin Sınıflandırılması
Sürekli zamanlı ve ayrık zamanlı sinyaller
Analog ve sayısal sinyaller
Deterministik ve rasgele sinyaller
Periyodik ve periyodik olmayan sinyaller
Enerji ve güç sinyalleri

Sürekli ve Ayrık Zamanlı Sinyaller
Zamanın her anında belirtilen sinyaller
sürekli zamanlı sinyaller olarak tanımlanır
tanımlanır.
Zamanın belirli anlarında belirtilen sinyaller
ayrık zamanlı sinyaller olarak tanımlanır.

Sürekli Zamanlı Sinyal
Ayrık Zamanlı Sinyal
Sürekli ve Ayrık Zamanlı Sinyaller

Ayrık zamanlı bir sinyal sürekli zamanlı bir sinyalin
örneklenmesi ile elde edilebilir.
Bazı durumlarda ise ayrık zamanlı sinyalden
tekrar sürekli zamanlı sinyale geri dönmek
istenebilir.
Örnekleme Teoremi’ ne uygun yapılan örnekleme
sonunda sürekli zamanlı sinyali yeniden elde
etmek mümkün.
Örnekleme teoremi şunu ifade eder:
Si
Sinyalin
li spektrumundaki
k
d ki en yüksek
k k ffrekans
k
B iise,
bu sinyalden saniyede 2B’ den az olmayacak
şekilde alınacak örnekler kullanılarak sinyali
yeniden oluşturmak mümkündür.
Analog ve Sayısal Sinyaller
Genlik değerlerini sürekli bir bölgeden alan
sinyallere analog sinyal adı verilir.
Analog ve sayısal sinyal kavramı sürekli
zamanlıl ve ayrıkk zamanlıl sinyal
i
l
kavramından farklıdır.
Çünkü, bir sinyal sayısal ve sürekli zamanlı
olabileceği gibi analog ve ayrık zamanlı da
olabilir.

Analog ve Sayısal Sinyaller

Kuvantalayıcı kullanarak analog bir sinyalden
sayısall bi
bir sinyal
i
l elde
ld etmek
t k mümkündür.
ü kü dü
Analog sinyalin genliği L aralığa bölünür.
Her bir örnek değeri orijinal değerin bulunduğu
aralığın
ğ orta noktasındaki değere
ğ
yyuvarlanır.
Kuvantalama kayıplı bir işlemdir.
Dikkat : Öyleyse,
Öyleyse sayısal ayrık zamanlı bir
sinyal, analog sürekli zamanlı bir sinyalin
örneklenip kuvantalanmasıyla elde edilir
edilir.
(Kodlamada yapıldığı varsayılıyor)
Deterministik ve Rasgele Sinyaller

Fiziksel tanımı tamamıyla bilinen bir sinyale
deterministik sinyal denir.
Yalnızca istatistiksel özellikleri ile tanımlanan bir
sinyale ise rasgele sinyal denir.
Periyodik ve Periyodik Olmayan
Sinyaller
y

Bazı sabit pozitif
T0 değerleri için eğer
f (t ) = f (t + T0 ) ; ∀t

sağlanıyorsa f(t) periyodiktir denir.
Eğer bu şartı sağlamıyorsa da o zaman bu sinyal
periyodik değildir denir.
Yaygın olarak bilinen bazı periyodik sinyaller
şunlardır:
sin (ω0t ) , cos (ω0t ) , e
2π
2π
burada, ω0 =
‘ dır ve
T0
j ω0 t
T0 periyottur.
Periyodik ve Periyodik Olmayan
Sinyaller
y
f (t )
t
Enerji ve Güç Sinyalleri
Gerçel bir f (t ) sinyalinin enerjisi E f
∞
Ef =
∫
f 2 (t )dt
-∞
olarak tanımlanır. Karmaşık değerli bir sinyal içinse,
∞
Ef =
∫
-∞
∞
2
f * (t ) f (t )dt = ∫ f (t ) dt
olarak
l k ttanımlanır.
l
Eğer, E f < ∞ ise o zaman bu
sinyalidir.
-∞
f (t ) sinyali enerji
Dikkat! Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!
Enerji ve Güç Sinyalleri

Enerjinin sonlu olabilmesi için gerekli koşul zaman sonsuza
giderken sinyal genliğinin sıfıra gitmesidir. Sonsuz enerjili
sinyaller ile ilgilenildiğinde ise (örneğin periyodik işaretler)
sinyalin enerjisi ile değil gücü ile ilgilenmek daha anlamlı
olacaktır.
T 2
Dikkat!
Dikk
t!
Güç sinyalleri fiziksel
olarak gerçeklenemez!
Çünkü sinyaller ya
Çünkü,
sonsuza kadar devam
eder ya da bir anda
sonsuz değer alırlar
alırlar.
< ∞ Dolayısıyla enerjileri
sonsuzdur.
2
1
Pf = lim ∫ f (t ) dt
T →∞ T
−T 2

Eğer bir sinyal
Güç
ç sinyalleri
y
periyodik veya
aperiyodik
olabilirler.

T 2
2
1
0 < lim ∫ f (t ) dt
T →∞ T
−T 2
şartını sağlıyorsa bu sinyal güç sinyalidir denir.
Bir sinyal aynı anda hem enerji hem güç sinyali olamaz.
Enerji ve Güç Sinyalleri
f (t )
Enerji sinyaline örnek
2
2ee−t 2
2
t
-1
0
Yukarıda grafiği verilen sinyalin enerjisi
∞
0
∞
E f = ∫ f (t ) dt = ∫ (2) dt + ∫ (2e
2
-∞
olur.
−1
2
0
) dt = 4 + 4 = 8
−t 2 2
Enerji ve Güç Sinyalleri
Güç sinyaline örnek
g (t ) = A cos (ω0t + θ ) ‘ nin gücünü hesaplayalım.
T 2
1
2
2
cos
A
(ω0t + θ ) dt
T →∞ T ∫
−T 2
Pg = lim
T 2
1
A2
= lim ∫
(1 + cos (2ω0t + 2θ )) dt
T →∞ T
2
−T 2
2 −T 2
2 T 2
= lim
T →∞
A2
=
2
A
2T
∫
−T 2
dt + lim
T →∞
A
2T
∫
−T 2
cos (2ω0t + 2θ )dt
Enerji ve Güç Sinyalleri

Bir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır.
Güç Sinyali:0 < P < ∞
Enerji Sinyali:0 < E < ∞

Güç sinyalleri
Gü
i
ll i periyodik
i dik veya aperiyodik
i dik olabilir.
l bili
Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.
Bazı Önemli Sinyaller
⎧
1 ,
⎛t⎞
⎛ t ⎞ ⎪⎪
Π ⎜ ⎟ = rect ⎜ ⎟ = ⎨
⎝T ⎠
⎝T ⎠ ⎪
0 ,
⎪⎩
⎧ t
⎛ t ⎞ ⎪1 −
Λ⎜ ⎟ = ⎨ T
⎝T ⎠ ⎪ 0
⎩
T
2
T
t >
2
⎛t⎞
Π⎜ ⎟
⎝T⎠
t ≤
⎛t⎞
Λ⎜ ⎟
⎝T⎠
,
t ≤T
,
t >T
sin (π x )
sinc ( x ) =
πx
Trigonometrik ve Üstel Fourier
Serileri

Fiziksel olarak gerçeklenebilir T0 ile periyodik bir f(t) sinyali
Fourier serisine açılabilir:
f (t ) = a0 + a1 cos (ω0t ) + a2 cos (2ω0t ) +
+ b1 sin (ω0t ) + b2 sin (2ω0t ) +
+ an cos ( nω0t ) +
+ bn sin ( nω0t ) +
∞
f (t ) = a0 + ∑ (an cos (nω0t ) + bn sin (nω0t ))
n=1
∞
f (t ) = C0 + ∑ Cn cos (nω0t + θn )
n=1
f (t ) =
∞
∑
n=−∞
Gn e jnω0t
Genel ya da
Trigonometrik
Fourier Serisi
Trigonometrik Fourier Serisi
(Compact Form)
Üstel Fourier Serisi
Trigonometrik ve Üstel Fourier
Serileri

Burada, ω0 = 2π f 0 = 2π T0 temel frekansı, nω0 ise n’ inci
harmonik frekansını göstermektedir. a0 , an , bn , C0 , Cn , θnve Gn
aşağıdaki gibi tanımlanan sabitlerdir:
1
a0 =
T0
2
an =
T0
2
bn =
T0
t0 +T0
∫
C0 = a0
f (t )dt
Cn = an2 + bn2
t0
t0 +T0
∫
f (t ) cos (nω0t ) dt
θn = − tan
t0
t0 +T0
∫
t0
f (t ) sin (nω0t ) dt
1
Gn =
T0
t0 +T0
∫
t0
t0 = 0 ya da -T0 2
−1
bn
an
f (t ) e− jnω0t dt
Trigonometrik ve Üstel Fourier
Serileri

Fourier Serilerinde Simetri
f(t) tek simetri özelliğine sahiptir eğer
f (t ) = − f (−t )
ise, o zaman tüm n = 0,1, 2, … değerleri için an = 0
olur. Yani, seride yyalnızca sinüslü terimler vardır.
f(t) çift simetri özelliğine sahiptir eğer
f (t ) = f (−t )
ise, o zaman tüm n = 0,1, 2, … değerleri için bn = 0
olur.
l Y
Yani,
i seride
id yalnızca
l
k i ü lü tterimler
kosinüslü
i l vardır.
d
Örnek
Örnek (devam)
2π 2π
ω0 =
=
= 2 rad / sn
T0
π
∞
f (t ) = C0 + ∑ Cn cos (2nt + θn )
n=1
Bu verileri kullanarak şunları çizebiliriz:
Cn ’ nin ω ile değişimi
ğş
→ Genlik Spektrumu
p
faz θn’ in ω ile değişimi → Faz Spektrumu
g
genlik
Bu iki ççizim birlikte f(t)’
( ) nin frekans spektrumu
p
olarak
adlandırılır.
Örnek (devam)
Genlik Spektrumu
Faz Spektrumu
Örnek
T
T
⎧
⎪A , − ≤ t ≤
g p (t ) = ⎨
2
2
⎪⎩ 0 ,
diğer
ğ
Genlik Spektrumu
1
cn =
T0
=
T0 2
∫
Ae
−
j 2π nt
T0
dt
−T0 2
⎛ nπ T ⎞
A
sin ⎜
⎟ , n = 0, ±1, ±2,…
nπ
T
⎝ 0 ⎠
⎛ nT ⎞
TA
=
sinc ⎜
⎟
T0
T
⎝ 0 ⎠
Faz Spektrumu
Dikkat!!!
Spektrum Ayrık
Faz tek, genlik ise çift simetrik
Fourier Dönüşümü

Periyodik sinyaller Fourier serisine açılarak temsil
edilmişlerdi. Benzer şekilde, periyodik olmayan sinyalleri
de Fourier dönüşümü kullanılarak kendi frekans
bileşenleriyle ifade etmek mümkündür.
Periyodik olmayan bir f(t) sinyalinin Fourier dönüşümü
∞
F (ω ) = F
{ f (t )} = ∫ f (t )e− jωt dt
−∞
ya da
∞
F ( f )=F
− j 2 π ft
f
t
=
f
t
e
dt
{ ( )} ∫ ( )
−∞
Fourier Dönüşümü

Ters Fourier dönüşümü ise
∞
f (t ) = F
-1
1
j ωt
F
ω
=
F
ω
e
( ) dω
{ ( )}
∫
2π −∞
∞
ya da
∞
f (t ) = F
-1
j 2 π ft
F
ω
=
F
f
e
df
(
)
(
)
{
} ∫
−∞
Örnek
Aşağıda verilen sinyalin Fourier dönüşümünü bulunuz.
f(t)
A
-τ/2
∞
F (ω ) = ∫ f (t )e− jωt dt =
∞
−∞
τ 2
τ 2
∫
−τ 2
τ/2
Ae− jωt dt =
A − j ωt
A
=
e
e− jωτ 2 − e jωτ 2 )
(
− jω
− jω
−τ 2
⎛ ωτ ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
sin
j
ωτ
2
−
j
ωτ
2
⎛e
⎞⎟
−e
⎝⎜ 2 ⎠⎟
⎜
⎟ = Aτ
= Aτ ⎜
→
⎜⎝ 2 jω τ 2 ⎠⎟⎟
ωτ
2
⎛ ωτ ⎞⎟
⎜
F (ω ) = Aτ sin c ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ 2 ⎠
Örnek(Devam)
F (ω )
Aτ
−2π −π
4π
−
τ
2π 0
−
τ
π
2π
τ
2π
2
4π
τ
x
ω
Örnek
f (t ) = A cos (ω0t ) sinyalin
i
li F
Fourier
i dö
dönüşümünü
ü ü ü ü
bulunuz. Frekans spektrumunu çiziniz.
∞
A j ω0 t
f (t ) = A cos (ω0t ) = (e + e− jω0t ) → F (ω ) = ∫ f (t )e− jωt dt
2
−∞
∞
∞
∞
A
A
A
j ω0 t
− j ω0 t
j ω0 t − j ωt
− j ω0 t − j ωt
− j ωt
e
dt
e
e
dt
e
e dt
= ∫ (e + e
=
+
)
∫
∫
2 −∞
2 −∞
2 −∞
∞
∞
∞
A
A
= 2πδ (ω − ω0 ) + 2πδ (ω + ω0 )
2
2
F (ω ) = Aπδ (ω − ω0 ) + Aπδ (ω + ω0 )
A
A
F ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f + f0 )
2
2
Örnek(Devam)
F (ω )
F( f ) =
Aπ
A
2
Aπ
0
−ω0
ω0
ω
F (ω )
2π
f
0
− f0
f0
Çift taraflı genlik spektrumu
F (ω )
F( f )
2Aπ
0
A
2
ω0
A
ω
0
Tek taraflı genlik spektrumu
f
f0
Dikkat !!! f(t) çift simetrik fonksiyon olduğu için Faz Spektrumu sıfırdır.
Fourier Dönüşüm Özellikleri
Doğrusallık (Süperpozisyon) Özelliği
Y
g1 ( t ) ←⎯→
G1 ( f )
Y
⇒ ag1 ( t ) + bg 2 ( t ) ←⎯→
aG1 ( f ) + bG2 ( f )
Y
g 2 ( t ) ←⎯→
G2 ( f )

Ölçekleme Özelliği
g ( t ) ←⎯→ G ( f ) ⇒
Y
1 ⎛ f ⎞
g ( at ) ←⎯→ G ⎜ ⎟
a ⎝a⎠
Y
Fourier Dönüşüm Özellikleri

Simetri ya da Dualite Özelliği
Y
Y
g ( t ) ←⎯→
G ( f ) ⇒ G ( t ) ←⎯→
g (− f )
Örnek
()
( )
Y
( )
g t = Asinc Wt ←⎯⎯
→G f
⎛ f ⎞
A
=
Π⎜ ⎟
W
⎝W ⎠
Fourier Dönüşüm Özellikleri

Zamanda Öteleme Özelliği
Y
Y
g ( t ) ←⎯→
G ( f ) ⇒ g ( t − t0 ) ←⎯→
G ( f ) e − j 2 π f t0

Frekansta Öteleme Özelliği
Y
Y
g ( t ) ←⎯→
G ( f ) ⇒ g ( t ) e j 2π f t0 ←⎯→
G ( f − f0 )
Fourier Dönüşüm Özellikleri

Frekansta Öteleme Özelliği
Örnek
Fourier Dönüşüm Özellikleri

g(t) ve G(f)’ in Altında Kalan Alan
Y
g ( t ) ←⎯→
G( f )
G ( 0)
∫−∞ g ( t )dt = 2π
∞

∞
ve
∫ G ( f )df
= 2π g ( 0 )
−∞
Türev Özelliği
Y
g ( t ) ←⎯→
G( f )
dn
n
Y
g
t
←⎯→
j
2
π
f
G( f )
(
)
(
)
n
dt
zaman bölgesinde
dn
n
Y
G
f
←⎯→
−
j
2
π
t
g (t )
(
)
(
)
n
df
frekans bölgesinde
Fourier Dönüşüm Özellikleri

İntegral Özelliği
Y
g ( t ) ←⎯→
G( f )
t
∫
Y
g ( t )dt ←⎯→
−∞
f
Y
G
f
df
←⎯→
(
)
∫
−∞
∞
1
G( f )
j 2π f
1
g (t )
( − j 2π t )
zaman bölgesinde
frekans bölgesinde
Fourier Dönüşüm Özellikleri

Kompleks Eşlenik Özelliği
Y
g ( t ) ←⎯→
G( f )
Y
g * ( t ) ←⎯→
G* ( − f )
İspat
g (t ) =
∞
j 2π f t
G
f
e
dff
(
)
∫
−∞
g* (t ) =
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
− j 2π f t
*
*
j 2π f t
G
f
e
df
=
−
G
−
f
e
df =
(
)
(
)
∫
∫
*
j 2π f t
G
−
f
e
df
(
)
∫
Fourier Dönüşüm Özellikleri

Konvolüsyon Özelliği
g (t ) * h (t ) =
∞
∫
Y
g (τ )h ( t − τ ) dτ ←⎯→
G( f )H ( f )
−∞
Zamanda Konvolüsyon
y
g ( t ) .h ( t ) ←⎯→
←Y → G ( f ) * H ( f ) =
∞
∫ G ( λ )H ( f − λ ) d λ
−∞
F k
Frekansta
t Konvolüsyon
K
lü
Birim Dürtü (Dirac Delta) Fonksiyonu

Tanımı:
δ ( t ) = 0, t ≠ 0 için,
∞
∫ δ ( t )dt = 1
−∞

Ö
Özellikleri:
∞
∫ g ( t ) δ ( t )dt = g ( 0 )
δ ( −t ) = δ ( t )
−∞
1
δ ( at ) = δ ( t )
a
∫ g ( t )δ ( t − t ) dt = g ( t )
g ( t ) δ ( t − t0 ) = g ( t0 ) δ ( t − t0 )
∞
0
0
−∞
∞
∫ g (τ )δ ( t − λ ) dτ = g ( t )
−∞
g (t ) *δ (t ) = g (t )
Birim Dürtü Fonksiyonu

Birim Dürtü Fonksiyonunun Fourier Dönüşümü
Y ⎡⎣δ ( t ) ⎤⎦ =
∞
− j 2π ft
δ
t
e
dt = 1
(
)
∫
−∞
Y
δ (t ) ←
←⎯→
→1
δ ( t ) Uygulamaları

DC Sinyal
Y
1 ←⎯→
δ(f)
∞
− j 2π f t
e
dt = δ ( f )
∫
−∞

Kompleks
o p e s Üs
Üstel
e
e
j 2π f c t
←Y → δ ( f − f c )
←⎯→
δ ( t ) Uygulamaları

1 j 2π f c t
⎡⎣e
+ e − j 2π fc t ⎦⎤
2
1 j 2π f c t − j 2 π f c t
⎡⎣e
⎤⎦
sin ( 2π f c t )P
−e
2j
cos ( 2π f c t )P
Sinüzoidal Sinyal
1
cos ( 2π f c t ) ←⎯→
←Y → ⎡⎣δ ( f − f c ) + δ ( f + f c ) ⎤⎦
2
Y
←⎯→
1
sin ( 2π f c t ) ←⎯→ ⎡⎣δ ( f − f c ) − δ ( f + f c ) ⎤⎦
2j
Y
Y
←⎯→
δ ( t ) Uygulamaları

Birim Basamak Sinyali
δ(f)
1
u ( t ) = ∫ δ (τ )dτ ←⎯→
+
2
j 2π f
−∞
t
Y

İşaret Fonksiyonu
Y
sgn ( t ) = 2u ( t ) − 1 ←⎯→
1
j 2π f
Sinyallerin Zamanla Değişmeyen
Doğrusal
ğ
Sistemlerden İletimi

Doğrusal Sistemler
Zamanla
Değişmeyen
Doğrusal
Sistem
h (t )
g (t )
f (t )
Eğer bir sistem hem doğrusalsa hem de zamanla
değişmiyorsa o zaman bu sistemin giriş çıkış ilişkisi şu
şekilde tanımlanır:
∞
∞
f (t ) = ∫ g (τ ) h (t − τ ) d τ = ∫ h (τ ) g (t − τ ) d τ
−∞
−∞
Sinyallerin Zamanla Değişmeyen
Doğrusal
ğ
Sistemlerden İletimi
Bu ifadeye konvolüsyon integrali adı verilir ve çıkış
ifadesi konvolüsyonun sembolik gösterimi kullanılarak da
ifade edilebilir:
f (t ) = g (t ) ∗ h (t )
Konvolüsyon integrali doğrusal bir sistemin giriş zaman
fonksiyonu ve çıkış zaman fonksiyonu arasındaki ilişkiyi
sistemin birim dürtü cevabı h (t ) cinsinden tanımlar
tanımlar.
Sinyallerin Zamanla Değişmeyen
Doğrusal
ğ
Sistemlerden İletimi

Örnek:
Aşağıda
A
ğ d şekilleri
kill i verilen
il ffonksiyonların
k i
l
k
konvolüsyon
lü
integralini hesaplayınız.
-1
g (t )
h (t )
1
1
0
1
t
-2
0
2
t
Örnek(Devam)
t < −3 ⇒ üst üste çakışma yok, f (t ) = 0
t
−3 ≤ t ≤ − 1 ⇒
t
f (t ) = ∫ (1)(1) d τ = τ −3 = t + 3
−3
1
−1 ≤ t ≤ − 1 ⇒
1
f (t ) = ∫ (1)(1) dτ = τ −1 = 1 + 1 = 2
−1
3
1≤ t ≤1 ⇒
3
f (t ) = ∫ (1)(1) dτ = τ t = 3 − t
f (t )
t
t > 3 ⇒ üst üste ççakışma
ş yyok,, f (t ) = 0
h (t )
2
1
1
g (t − τ )
t
-2
3
0
2
t
-3
-1
1
3
t

Download Report