03_Bir_Matrisin_Eselon_Bicimi

0.1
BI·R MATRI·SI·N E¸
SELON BI·ÇI·MI·
n bilinmeyenli m lineer denklemden olu¸san sistemi çözmek için iki farkl¬metod kullan¬larak sonuç bulunacakt¬r. Bu metotlar kullan¬l¬rken lineer sistemin ilaveli matrisi
ele al¬n¬r ve bunun üzerinde uygun elementer i¸slemler yap¬larak, lineer sisteme denk
olan yeni bir matris elde edilir. (Yani bu sistem orjinal olan lineer sistem ile ayn¬
çözüme sahiptir.) Burada önemli olan nokta, lineer sistemin sonuçta çok daha kolay
çözülebilir olmas¬d¬r.
Bir lineer sistemin ilaveli matrisinin özel bir biçimde nas¬l kolay bir ¸sekilde çözülebilece¼
gini görmek için, a¸sa¼
g¬da verilen örne¼
ge bakal¬m.
2
3
1 2 0 3
6
7
6
7
6 0 1 1 j 2 7
4
5
0 0 1
1
matrisi lineer bir sistemin ilaveli matrisi olsun. Bu sistemin çözümü buna denk olan
x1 + 2x2 = 3
x2 + x3 = 2
x3 =
1
denklem sisteminin çözümü ile bulunur. Böylece çözüm
x3 =
1
x2 = 2
x3 = 2 + 1 = 3
x1 = 3
2x2 = 3
6=
3
biçimindedir. Bu bölümün amac¬, verilen lineer sistemin ilaveli matrisini ele alarak
bunu daha kolay bir çözüm veren de¼
gi¸sik bir biçimde ifade etmektir.
Tan¬m 1. m n tipindeki bir A matrisi, a¸sa¼
g¬daki özelliklerin sa¼
glanmas¬durumunda
sat¬rca indirgenmi¸
s e¸
selon biçimindeki matris olarak adland¬r¬l¬r.
1
(a) E¼
ger matrisin bir sat¬r¬ndaki elemanlar¬n hepsi s¬f¬r ise, bunlar matrisin en alt
sat¬r¬nda bulunmal¬d¬r.
(b) Matrisin s¬f¬rdan farkl¬ilk sat¬r¬n¬n ilk eleman¬1 olmal¬d¬r. Bu elemana bu sat¬r¬n
ilk eleman¬ad¬verilir.
(c) S¬f¬rdan farkl¬herbir sat¬rda bu ilk eleman, bir önceki sat¬ra göre sa¼
ga do¼
gru bir
kaymak suretiyle yer al¬r.
(d) E¼
ger matrisin sütununun birisi bu ilk eleman¬içeriyorsa, o sütundaki di¼
ger elemanlar¬n hepsi s¬f¬rd¬r.
Böylece sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon biçimindeki bir matris, ilk sat¬r¬n¬n eleman¬ 1
olan ve kö¸segen eleman¬üzerindeki elemanlar¬da 1 (alt sat¬rdaki tüm elemanlar s¬f¬r
olabilir) olarak yer alan matristir.
E¼
ger m n tipindeki bir matris yukar¬daki tan¬mda yer alan (a),(b) ve (c) ¸s¬klar¬ndaki
özellikleri sa¼
gl¬yor ise, bu matris sat¬rca e¸selon biçimindedir denir. Tan¬m 1 gere¼
gince
matrisin bir sat¬r¬ndaki elemanlar¬n hepsi s¬f¬r da olmayabilir.
Benzer bir tan¬m sütunca indirgenmi¸s e¸selon biçim ve sütunca e¸selon biçimi için de
a¸sikar bir biçimde yap¬labilir.
Örnek 1. A¸sa¼
g¬da verilen matrisler yukar¬da ifade edilen tan¬mdaki (a), (b), (c) ve
(d) ¸s¬klar¬n¬sa¼
glayan sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon biçimindeki matrislerdir.
2
1 0
6
6
6 0 1
A=6
6
6 0 0
4
0 0
3
2
1 0 0 0
6
6
7
6 0
7
6
0 0 7
7; B = 6
6 0
7
6
1 0 7
6
5
6 0
4
0 1
0
0 0
2
1 0 0
4
0 0 1
7
0 0 0
0
0 0 0
0
2
4
3
7
2
3
7
8 7
1 2 0 0 1
7
6
7
7
6
7
2 7; C = 6 0 0 1 2 3 7
7
4
5
7
0 7
0 0 0 0 0
5
0
A¸sa¼
g¬daki matrisler ise indirgenmi¸s sat¬rca e¸selon biçimde de¼
gildirler (Neden?)
2
1 2 0
6
6
D=6 0 0 0
4
0 0 1
4
3
2
3
2
1 0
3
3
4
3
2
1 2
3
Örnek 2. A¸sa¼
g¬daki matrisler sat¬rca e¸selon biçimindedir.
2
1 5 0
6
6
6 0 1 0
6
6
H=6 0 0 0
6
6
6 0 0 0
4
0 0 0
2
2
3
4
1
7
0
0
0
0
4
3
2
7
1 0
7
6
8 7
6
7
6 0 1
7
2 7; I = 6
6
7
6 0 0
7
4
0 7
5
0 0
0
3
2
0 0 1
6
6
7
6 0 0 0
7
6
0 0 7
7; J = 6
6 0 0 0
7
6
1 0 7
6
5
6 0 0 0
4
0 1
0 0 0
0 0
3 5
0 1
0 0
0 0
0 0
7
9
3
7
7
2 3 7
7
7
1 2 7
7
7
0 1 7
5
0 0
I·ndirgenmi¸s matrislerin en faydal¬özelli¼
gi; A matrisi In ’den farkl¬sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon biçiminde n
n tipinde bir matris ise, bu taktirde A matrisi elemanlar¬
tamamen s¬f¬r olan bir sat¬ra sahiptir.
S
¸imdi, her matrisin sat¬r (sütun) e¸selon biçimde veya sat¬rca (sütunca) indirgenmi¸s
e¸selon biçimde sat¬r veya sütun elementer i¸slemleri kullan¬larak nas¬l ifade edilece¼
gini
gösterece¼
giz.
Tan¬m 2. Bir A matrisi üzerinde elementer sat¬r (sütun) i¸slemleri a¸sa¼
g¬da verilen
i¸slemlerden herhangi birisidir.
(a) TI·P 1: Herhangi iki sat¬r (veya sütun)’¬n yer de¼
gi¸stirmesi
(b) TI·P 2: Bir sat¬r (veya sütun)’¬n s¬f¬rdan farkl¬bir say¬ile çarp¬lmas¬
(c) TI·P 3: Bir sat¬r (veya sütun)’¬n bir kat¬n¬n di¼
ger bir sat¬ra (veya sütuna) eklenmesi.
Bir matris, bir lineer sistemin ilaveli matrisi olarak gözönüne al¬n¬rsa, s¬ras¬yla iki
denklemin yer de¼
gi¸stirmesi, s¬f¬rdan farkl¬bir sabit ile denklemin çarp¬lmas¬ve den-
3
4
3
7
7
2 5 7
7
7
1 2 7
5
0 0
7
6
7
6
6 0 1
2 5 7
7;G = 6
7
6
6 0 0
2 2 7
5
4
0 0
0 0
6
6
7
6 0 1
7
2 5 7;F = 6
6
5
6 0 1
4
1 2
0 0
1 0
7
6
7
6
0 7;E = 6 0 2
5
4
3
0 0
4
klemin bir sabitle çarp¬l¬p bir di¼
ger denklemle ilave edilmesinin elementer sat¬r i¸slemlerine denk oldu¼
gunu gözlemleyiniz.
Örnek 3.
2
0 0 1
6
6
A=6 2 3 0
4
3 3 6
3
2
7
7
2 7
5
9
matrisi verilsin. Bu matrisin 1.sat¬r¬ile 3.sat¬r¬yer de¼
gi¸stirilirse,
2
3 3 6
3
9
6
6
B=6 2 3 0
4
0 0 1
7
7
2 7
5
2
matrisi bulunur. A matrisinin 3.sat¬r¬1=3 ile çarp¬l¬rsa
2
0 0 1
6
6
C=6 2 3 0
4
1 1 2
3
2
7
7
2 7
5
3
matrisi elde edilir. A matrisinin 2.sat¬r¬( 2) ile çarp¬l¬p, 3.sat¬ra ilave edilirse,
2
0
6
6
D=6 2
4
1
0
1
3
0
2
3 6
3
7
7
2 7
5
5
bulunur. Dikkat edilirse, A matrisinden elde edilen D matrisinin 2.sat¬r¬ile A matrisinin 2.sat¬r¬n¬n de¼
gi¸smedi¼
gi görülür.
Tan¬m 3. E¼
ger bir B matrisi, A matrisine elementer sat¬r (veya sütun) i¸slemlerinin
sonlu bir dizisi uygulanarak elde edilebiliyorsa, m
n tipindeki B matrisi m
tipindeki bir A matrisine sat¬rca (veya sütunca) denktir denir.
Örnek 4.
4
n
2
1
6
6
A=6 2
4
1
2
4 3
3
7
7
3 2 7
5
2 2 3
1
matrisi verilsin. E¼
ger A matrisinin 3.sat¬r¬n¬n 2 kat¬2.sat¬ra ilave edilirse,
2
1
6
6
B=6 4
4
1
2
4 3
3
7
7
3 7 8 7
5
2 2 3
matrisi bulunur. Buradan B matrisinin A matrisine sat¬rca denk oldu¼
gu görülür. B
matrisinin 2.sat¬r¬ile 3.sat¬r¬yer de¼
gi¸stirirse
2
1
6
6
C=6 1
4
4
2
4 3
3
7
7
2 2 3 7
5
3 7 8
matrisi elde edilir. Böylece C matrisinin de B matrisine sat¬rca denk oldu¼
gu ifade
edilir. C matrisinin 1.sat¬r¬n¬n 2 kat¬al¬n¬rsa,
2
2
6
6
D=6 1
4
4
4
8 6
3
7
7
1 2 3 7
5
3 7 8
bulunur. O halde D matrisinin de C matrisine sat¬rca denk oldu¼
gu aç¬kt¬r. Sonuç
olarak, A matrisine ard arda 3 elementer i¸slem uygulanarak elde edilen D matrisinin
A matrisine sat¬rca denk oldu¼
gu görülür.
S
¸imdi; (a) Her matrisin kendisine sat¬rca denk oldu¼
gu, (b) E¼
ger B matrisi A matrisine
sat¬rca denk ise, A matrisinin de B matrisine sat¬rca denk oldu¼
gu, (c) E¼
ger C matrisi
B matrisine sat¬rca denk ve B matrisi de A matrisine sat¬rca denk ise, bu taktirde
C matrisinin de A matrisine sat¬rca denk oldu¼
gu sonuçlar¬kolayca gösterilebilir.
Teorem 1. S¬f¬rdan farkl¬ her m
n tipindeki A = [aij ] matrisi, sat¬rca (veya
5
sütunca) e¸selon biçimindeki bir matrise sat¬rca (veya sütunca) denktir.
I·spat. A matrisinin sat¬rca e¸selon biçimindeki bir matrise sat¬rca denk oldu¼
gunu
ispat edece¼
giz. Yani sadece elementer sat¬r i¸slemlerini kullanarak A matrisini, sat¬rca
e¸selon biçimindeki bir matrise dönü¸stürebiliriz. Elementer sütun i¸slemleri kullan¬larak
yap¬lan tamamen benzer bir sütun denkli¼
gi için de benzer bir sonuç verir.
I·lk sütununda s¬f¬rdan farkl¬elemana sahip olan bir A matrisini gözöününe alal¬m.
I·lk sütununda s¬f¬rdan farkl¬ bir elemana sahip olan sütuna pivot sütunu, pivot
sütunundaki s¬f¬rdan farkl¬ilk elemana da pivot ad¬verilir. Pivot sütununun j-yinci
sütun oldu¼
gunu ve i.sat¬rda da pivotun bulundu¼
gunu kabul edelim. S
¸imdi de e¼
ger
gerekiyorsa 1. ve i.sat¬rlar¬n yerlerini de¼
gi¸stirerek B = [bij ] matrisini elde edelim.
Böylece bij , pivotu s¬f¬rdan farkl¬d¬r. B matrisinin ilk sat¬r¬n¬1=bij ile çarparak (yani
pivotun tersi ile çarparak) C = [cij ] matrisini bulal¬m. Burada cij = 1 oldu¼
guna da
dikkat edelim. Ard¬ndan da 2
h
m olmak üzere chj s¬f¬rdan farkl¬ ise 1.sat¬r¬
chj ile çarp¬p C nin h.sat¬r¬na ilave edelim. Bu i¸slemi h’n¬n herbir de¼
geri için yapal¬m. Buradan C nin 2; 3; :::; m-inci sat¬r ve j-inci sütununda yer alan elemanlar¬n¬n
s¬f¬r oldu¼
gu sonucu ç¬kar. Sonuçta elde edilen matrisi D ile gösterelim.
Daha sonra D matrisinin ilk sat¬r¬n¬n ç¬kar¬lmas¬ile elde edilen D matrisinin (m 1)
n tipindeki alt matrisi olan A1 matrisini gözönüne alal¬m. Yukar¬da yap¬lan i¸slemleri
A matrisi yerine A1 matrisini alarak tekrar edelim. Bu biçime devam edersek A
matrisine sat¬rca denk olan sat¬rca e¸selon biçiminde bir matris elde ederiz.
Örnek 5.
2
0 2
6
6
6 0 0
A=6
6
6 2 2
4
2 0
3
2
4 1
3
5
2
6
9
3
7
7
4 7
7
7
4 7
5
7
matrisi verilsin. 1.sütunun A matrisinin s¬f¬rdan farkl¬ elemana sahip olan (soldan
sa¼
ga do¼
gru say¬ld¬g¼¬nda) ilk sütundur. (Yukar¬dan a¸sa¼
g¬ya say¬ld¬g¼¬nda) pivot sütunundaki s¬f¬rdan farkl¬ ilk eleman 3.sat¬rdad¬r. Dolay¬s¬yla pivot a31 = 2 dir. A
6
matrisindeki 3.sat¬r 1.sat¬r ile yer de¼
gi¸stirilirse
2
2 2
5
6
6
6 0 0
B=6
6
6 0 2
4
2 0
2
7
7
3 4 7
7
7
4 1 7
5
9 7
2
3
6
matrisi bulunur. B matrisinin 1.sat¬r¬ b111 =
2
1 1
6
6
6 0 0
C=6
6
6 0 2
4
2 0
1
2
3
4
ile çarp¬l¬rsa,
5
2
1
2
3
3
6
2
3
7
7
4 7
7
7
4 1 7
5
9 7
elde edilir. Pivot sütunun d11 = 1 olmak üzere (sadece) s¬f¬rdan farkl¬elemana sahip
olan bir D matrisini elde etmek için C matrisinin ilk sat¬r¬n¬( 2) ile çarpar, 4.sat¬ra
ilave ederiz ve
matrisini buluruz.
2
1
6
6
6 0
D=6
6
6 0
4
0
1
5
2
0
2
2
3
2
1
2
3
7
7
3 4 7
7
7
4 1 7
5
7 3
1
D matrisinin ilk sat¬r¬n¬n ç¬kar¬lmas¬ile elde edilen bu D matrisinin A1 alt matrisini,
D matrisinin ilk sat¬r¬n¬ silmeden (ç¬karmadan) tan¬mlay¬p, yukar¬daki ad¬mlar¬ A
matrisi yerine A1 matrisi olarak tekrarlayal¬m.
2
1
1
6
6
6 0
0
A1 = 6
6
6 0 pivot = 2
4
0
2
5
2
2
3
1
1
2
3
7
7
3 4 7
7
7
4 1 7
5
7 3
matrisinde pivot sütunu 2.sütundur ve pivot a32 = 2 dir. A1 matrisinde 1.sat¬r
7
ile 2.sat¬r yer de¼
gi¸stirilirse
2
1
6
6
6 0
B1 = 6
6
6 0
4
0
1
5
2
2
3
0
2
2
1
1
2
3
7
7
4 1 7
7
7
3 4 7
5
7 3
matrisi bulunur. B1 matrisinin 1.sat¬r¬ 21 ile çarp¬l¬rsa,
2
1
6
6
6 0
C1 = 6
6
6 0
4
0
1
5
2
1
3
2
0
2
2
1
2
7
7
7
2
7
7
3 4 7
5
7 3
1
2
1
3
elde edilir. C1 matrisinin 1.sat¬r¬n¬2 ile çarp¬l¬r 3.sat¬ra ilave edilirse,
2
5
2
1 1
6
6
6 0 1
D1 = 6
6
6 0 0
4
0 0
1
2
3
7
7
7
2
7
7
3 4 7
5
3 4
3
2
1
2
2
2
bulunur.
D1 matrisinin ilk sat¬r¬n¬n ç¬kar¬ld¬g¼¬nda A2 matrisi elde edilir. Yukar¬daki i¸slemleri A
matrisi yerine A2 matrisi olarak tekrarlayal¬m. Burada A2 matrisinin hiç bir sat¬r¬n¬n
yer de¼
gi¸stirmemesine özen gösterelim.
2
1 1
6
6
6 0 1
A2 = 6
6
6 0 0
4
0 0
5
2
3
2
2
2
8
1
2
3
7
7
7
2
7 = B2
7
3 4 7
5
3 4
1
2
B2 matrisinin 1.sat¬r¬ 12 ile çarp¬l¬rsa
2
5
2
1 1
6
6
6 0 1
C2 = 6
6
6 0 0
4
0 0
3
2
1
2
1
2
3
7
7
7
2
7
7
3
7
2
2
5
3 4
1
2
matrisi bulunur. Sonuç olarak C2 matrisinin 1.sat¬r¬ ( 2) ile çarp¬l¬r ikinci sat¬ra
ilave edilirse,
bulunur.
Böylece
2
5
2
1 1
6
6
6 0 1
D2 = 6
6
6 0 0
4
0 0
1
2
5
2
3
2
0
1 1
6
6
6 0 1
H=6
6
6 0 0
4
0 0
3
2
1
2
3
7
7
7
2
7
7
3
7
2
2
5
0 0
1
2
1
2
1
3
2
0
0
2
3
7
7
7
7
7
2 7
5
0
1
2
matrisi sat¬rca e¸selon biçiminde olup A matrisine sat¬rca denktir.
Teorem 2. S¬f¬rdan farkl¬"her bir" m n tipindeki A = [aij ] matrisi, sat¬rca (sütun)
e¸selon biçimindeki bir matrise sat¬rca (sütunca) e¸sde¼
gerdir.
Uyar¬1. Bir matrisin sat¬rca e¸selon biçiminin tek olmad¬g¼¬unutmamal¬d¬r.
Örnek 6. Sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon biçiminde bir matrisin, Örnek 5’te verilen A
matrisine sat¬rca denk olan bir matrisini bulunuz.
Çözüm. Örnek 5’in çözümünde bulunan A matrisine sat¬rca denk olan H matrisi
9
ile ba¸slayal¬m. H matrisinin 3.sat¬rn¬(
2
1 1
6
6
6 0 1
J1 = 6
6
6 0 0
4
0 0
3
)
2
ile çarpar 2.sat¬ra ilave edersek,
5
2
1
2
7
7
7
7
7
2 7
5
0
17
4
0
1
3
2
0
0
3
5
2
matrisini buluruz. J1 matrisinin 3.sat¬r¬n¬ 25 ile çarpar 1.sat¬ra ilave edersek,
2
1 1 0
6
6
6 0 1 0
J2 = 6
6
6 0 0 1
4
0 0 0
19
4
7
3
7
7
7
7
7
2 7
5
0
17
4
5
2
3
2
0
matrisini elde ederiz. S
¸imdi de J2 matrisinin 2.sat¬r¬n¬( 1) ile çarpar 1.sat¬ra ilave
edersek,
2
1 0
6
6
6 0 1
K=6
6
6 0 0
4
0 0
0
0
9
19
2
17
4
1
3
2
0
0
3
7
7
7
7
7
2 7
5
0
5
2
matrisini buluruz. K matrisi A matrisine sat¬rca denk olan sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon
biçiminde bir matristir.
Teorem 3. AX = B ve CX = D, herbiri m denklem ve n bilinmeyenli iki lineer
denklem sistemi olsun. E¼
ger [A j B] ve [C j D] ilaveli matrisleri sat¬rca denk ise, bu
taktirde lineer sistemler denktir. Yani, tam olarak ayn¬çözümlere sahiptir.
Sonuç 1. E¼
ger A ve C matrisleri m n tipinde sat¬rca denk matrisler ise, bu taktirde
AX = 0 ve CX = 0 homogen sistemleri de denktir.
10
0.2
Lineer Sistemlerin Çözümleri
S
¸imdi lineer sistemlerin çözümü için ileride kullan¬lacak olan çok önemli iki metodu
verip bunlar¬ detayl¬ bir ¸sekilde inceleyece¼
giz. Ba¸slang¬çta AX = B lineer sistemi
al¬n¬rsa, bu taktirde elde edilen [C j D] bölünmü¸s matrisi ya sat¬rca e¸selon biçimindeki veya indirgenmi¸s sat¬rca e¸selon biçimindeki [A j B] ilaveli matrisine sat¬rca
denktir. Ayr¬ca [C j D] matrisi CX = D lineer sistemini ifade eder (gösterir). Bunun
yan¬nda bu sistemin çözümü [C j D] gösterimi sebebi ile oldukça basittir. Bu sistemin çözüm cümlesi de tamamen AX = B lineer sisteminin çözüm cümlesini verir.
Sat¬rca e¸selon biçimindeki [C j D] matrisinin çözümü için kullan¬lan bu metoda
"Gauss yoketme metodu" ad¬verilir. Benzer ¸sekilde indirgenmi¸s sat¬rca e¸selon
biçimindeki [C j D]matrisinin çözümü için kullan¬lan bu metoda da "Gauss-Jordan
indirgeme metodu" denir.
Gauss yoketme metodu ve Gauss-Jordan indirgeme metodu küçük problemlerin çözümü
için daha uygundur. Gauss yok etme metodu iki ad¬mdan olu¸sur.
ADIM 1 I·laveli [A j B] matrisinin elementer sat¬r i¸slemlerini kullanarak sat¬rca
e¸selon biçimindeki [C j D] matrisine dönü¸stürülmesi
ADIM 2 Geriye koyma metodunu kullanarak [C j D] biçimindeki ilaveli matrise
kar¸s¬l¬k gelen lineer sistemin çözümünün bulunmas¬A, n
n tipinde bir matris ve
AX = B bir lineer sistem ise, bu taktirde bu sistemin çözümü bir tektir. Böylece
[C j D] matrisi
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1 c12 c13 : : :
c1n
d1
0
..
.
1
..
.
c2n
..
.
d2
..
.
0
0
0
: : : 1 c(n
0
0
0
::: 0
c23 : : :
..
.
1)n
1
j
dn
dn
3
1
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
biçimindedir. Bunu takip eden durumlar ise a¸sa¼
g¬da incelenir. Yukar¬da yer alan
11
ilaveli matris
x1 + c12 x2 + c13 x3 + ::: + c1n xn = d1
x2 + c23 x3 + ::: + c2n xn = d2
..
.
xn
1
+ c(n
1)n xn
= dn
1
xn = dn
biçimindeki lineer sistemi temsil eder. Her bir denklemden bir (tek) de¼
gi¸sken de¼
geri
bulunarak ve n-inci denklemden ba¸slayarak yukar¬do¼
gru bulunan de¼
gerler bir önceki
denklemde yerine konulmak sureti ile
xn = dn
xn
1
= dn
..
.
c(n
1
1)n xn
x2 = d2
c23 x3
c24 x4
:::
c2n xn
x1 = d1
c12 x2
c13 x3
:::
c1n xn
çözümü elde edilir.
Örnek 7.
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
2x1
x2 + x3 = 8
3x1
x3 = 3
sistemi verilsin. Bu sistemin ilaveli matrisi
2
1
6
6
[A j B] = 6 2
4
3
2
1
0
12
3
9
3
7
7
1 j 8 7
5
1
3
biçimindedir. I·lk önce bu matris sat¬rca e¸selon biçimine dönü¸stürelim. 1.sat¬r¬n ( 2)
kat¬n¬2.sat¬ra ve ( 3) kat¬n¬3.sat¬ra eklersek
2
1
6
6
6 0
4
0
2
3
9
5 j
5
0
10
1
5
matrisi elde edilir. Bu matriste 2.sat¬r¬n
3
7
7
10 7
5
30
kat¬n¬ve 3.sat¬r¬n
2
1 2 3
9
6
6
[C j D] = 6 0 1 1 j 2
4
0 0 1
3
1
10
kat¬n¬al¬rsak
3
7
7
7
5
matrisi elde edilir. Bu matris [A j B] nin sat¬rca e¸selon biçimi olarak ifade edilir.
[C j D] yi lineer denklem sistemine dönü¸stürürsek
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
x2 + x3 = 2
x3 = 3
elde edilir. Geriye yerine koyma ile
x3 = 3
x2 = 2
x3 = 2
x1 = 9
2x2
3=
1
3x3 = 9 + 2
9=2
elde edilir. Böylece çözüm
x1 = 2; x2 =
1; x3 = 3
olur.
A, m n tipinde bir matris ise genel durum söz konusu olup benzer i¸slemler bu matris
13
için de yap¬l¬r. Yaln¬z bu durumda çe¸sitli durumlarla çal¬¸smak söz konusudur. Bu
durumda e¼
ger C; m
n tipinde bir matris ve CX = D de lineer bir sistemse, bu
taktirde [C j D] sat¬rca e¸selon biçiminde bir matris olup, [C j D] matrisi
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1 c12 c13 : : :
c1n
d1
0
..
.
0
..
.
c2n
..
.
d2
..
.
0
0
1
..
.
c24 : : :
..
.
0
..
.
0 :::
0 :::
..
.
1 c(k
0
..
.
1)n
1
0 :::
j
dk
3
1
dk
0
..
.
dk+1
..
.
0
dm
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
biçimindedir. Bu ilaveli matris ise
x1 + c12 x2 + c13 x3 + ::: + c1n xn = d1
x3 + c24 x4 + ::: + c2n xn = d2
..
.
xn
1
+ c(k
1)n xn
= dk
1
xn = dk
0x1 + ::: + 0xn = dk+1
..
.
0x1 + ::: + 0xn = dm
biçiminde bir lineer sistemi ifade eder.
I·lk olarak, e¼
ger dk+1 = 1 ise, bu taktirde CX = D lineer denklem sisteminin çözümü
yoktur. Zira bu denklem sistemindeki en az bir denklemin çözümü (bu) denklemi
sa¼
glamaz. E¼
ger dk+1 = 0 olmas¬dk+2 = ::: = dm = 0 olmas¬n¬gerektiriyorsa, bu taktirde (Burada [C j D] matrisinin sat¬rca e¸selon biçiminde oldu¼
gu kabul edildi¼
ginde)
xn = dk ; xn
1
= dt
1
c(k
1)n dk
= dk
1
c(k
1)n dk
biçiminde elde edilir. Herbir
sat¬rdaki bilinmeyenler, kendisinden önceki sat¬rla i¸sleme tabi tutularak bulunur. Bu
14
i¸sleme devam edilerek sondan ba¸sa do¼
gru yerine koyma metodu ile tüm bilinmeyenler
tesbit edilir. Bu yöntem ile CX = D lineer denklem sisteminin sonsuz çözüme sahip
oldu¼
gu gösterilmi¸s olur. Di¼
ger yandan her bir bilinmeyen de¼
gere kar¸s¬l¬k bulunan
belirli de¼
ger ile çözümün bir tek oldu¼
gu gösterilmi¸s olur.
Örnek 8.
2
1 2
6
6
6 0 1
[C j D] = 6
6
6 0 0
4
0 0
3 4
5
7
7
1
7 7
7
j
7
3
7 7
5
2
9
2 3
1 2
0 1
matrisi verilsin. Böylece
x4 = 9
2x5
x3 = 7
2x4
3x5 = 7
x2 = 7
2x3
3x4 + x5 = 2 + 5x5
x1 = 6
2x2
3x3
2(9
4x4
6
3
2x5 )
5x5 =
1
3x5 =
11 + x5
10x5
x5 = Herhangi bir reel say¬
Böylece tüm çözümler
x1 =
1
10r
x2 = 2 + 5r
x2 =
11 + r
x1 = 9
2r
x5 = r
¸seklindedir. r herhangi bir reel say¬ olabilece¼
ginden, verilen lineer sistem sonsuz
çözüme sahiptir.
15
Örnek 9. E¼
ger [C j D] matrisi
2
1 2 3 4
5
3
6
7
6
7
[C j D] = 6 0 1 2 3 j 6 7
4
5
0 0 0 0
1
biçiminde ise, bu taktirde bu matrisin son sat¬r¬ile ifade edilen
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1
denklemi hiçbir zaman sa¼
glanmayaca¼
g¬ndan CX = D lineer sisteminin çözümü yoktur.
Gauss-Jordan indirgeme metodu kullan¬ld¬g¼¬nda [A j B] indirgenmi¸s sat¬rca e¸selon
biçimindeki matrise dönü¸sür. Bu ise, CX = D lineer sisteminin, a¸sa¼
g¬da yap¬ld¬g¼¬
gibi sondan ba¸sa do¼
gru yerine koyma i¸sleminin yap¬lmaks¬z¬n çözümünün bulunmas¬
demektir. Buna kar¸s¬n indirgenmi¸s sat¬rca e¸selon biçimindeki bir matris ile ifade
etmek ¸süphesiz çok daha fazla çaba sarfetmeyi gerektirir (uzun (karma¸s¬k) i¸slem
yapmay¬ gerektirir). Burada Gauss yoketme metodu ve Gauss-Jordan indirgeme
metodunun ayn¬say¬da i¸slem yaparak verilen lineer sistemi çözmede esas olan yöntemler oldu¼
gunu da vurgulayal¬m.
Örnek 10. E¼
ger [C j D] matrisi
2
1 0 0 0
5
3
6
7
6
7
6 0 1 0 0
6 7
7
[C j D] = 6
j
6
7
6 0 0 1 0
7 7
4
5
0 0 0 1
8
biçiminde ise, bu taktirde çözümler
x1 = 5; x2 = 6; x3 = 7; x4 = 8
¸seklindedir.
16
Örnek 11. E¼
ger [C j D] matrisi
2
1 1 2 0
6
6
[C j D] = 6 0 0 0 1
4
0 0 0 0
5
2
2
3
1
2
j
0
1
2
0
3
7
7
7
5
biçiminde ise, bu taktirde çözüm x2 ; x3 ; x5 herhangi reel say¬lar olmak üzere
x4 =
1
2
2
=
3
1
x5
2
x1
x2
5
2x3 + x5
2
¸seklindedir. E¼
ger r, s ve t’ler herhangi reel say¬lar ise bu taktirde sistemin çözümü
2
3
= r
x1 =
x2
x3 = s
1
x4 =
2
x5 = t
r
5
2s + t
2
1
t
2
olarak bulunur.
S
¸imdi verilen bir lineer (denklem) sistemini hem Gauss yoketme metodu hem de
Gauss-Jordan indirgeme metodunu kullanarak çözelim.
Örnek 12.
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
2x1
3x2 + 2x3 = 14
3x1 + x2
x3 =
17
2
lineer sistemini gözönüne alal¬m. Bu sistemin ilaveli matrisi
2
1
2
6
6
6 2
4
3
3
3
1
3
6
7
7
j
2
14 7
5
1
2
biçimindedir. Bu matrisin 1.sat¬r¬n ( 2) kat¬n¬2.sat¬ra ve ( 3) kat¬n¬3.sat¬ra ilave
edersek
2
1
6
6
6 0
4
0
2
3
2
1
6
6
6 0
4
0
6
7
4 j
2
5
10
20
matrisi elde edilir. Bu matrisin 3.sat¬r¬(
lerse
3
1
)
5
2
7
7
7
5
ile çarp¬l¬r ve 3.sat¬r ile 2.sat¬r yerde¼
gi¸stirir-
3
3
6
7
7
j
2
4 7
5
4
2
1
7
matrisi bulunmu¸s olur. Bu matrisin 2.sat¬r¬n¬n 7 kat¬n¬3.sat¬ra ilave edersek
2
1 2
3
6
3
7
6
7
6
j
6 0 1 2
4 7
5
4
30
0 0 10
1
matrisi elde ederiz. Bu matrisin 3.sat¬r¬n¬ 10
ile çarparsak
2
1 2 3
6
6
6
6 0 1 2 j 4
4
0 0 1
3
3
7
7
7
5
matrisini buluruz. Bu matris sat¬rca e¸selon biçimindedir. Bu, x3 = 3 olmas¬anlam¬na
gelir. Ayr¬ca yukar¬daki matrisin 2.sat¬r¬n¬
x2 + 2x3 = 4
18
¸seklinde ifade eder ve x3 = 3 de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa
x2 = 4
2(3) =
2
de¼
geri bulunur. Yukar¬daki matrisin 1.sat¬r¬n¬da
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
¸seklinde ifade eder x2 =
2 ve x3 = 3 de¼
gerleri de yerine konursa
x1 = 6
2x2
3x3 = 6
bulunur. Böylece çözümler x1 = 1; x2 =
2( 2)
3(3) = 1
2; x3 = 3 biçimindedir. Bu çözümler
Gauss yoketme metodu kullan¬larak elde edilen çözümlerdir. Bu çözümler Gauss
yoketme metodu kullan¬larak elde edilen çözümlerdir.
Verilen lineer denklem sistemini Gauss-Jordan indirgeme metodu ile çözmek için son
bulunan matris, a¸sa¼
g¬daki ad¬mlar takip edilerek [C j D] biçimindeki indirgenmi¸s
sat¬rca e¸selon biçimindeki matrise dönü¸stürülür.
Yukar¬da bulunan en son matrisin 3.sat¬r¬n¬n ( 2) kat¬n¬ 2.sat¬ra ve ( 3) kat¬n¬
1.sat¬ra ilave edersek
2
1 2 0
6
6
6 0 1 0 j
4
0 0 1
3
3
7
7
2 7
5
3
matrisi bulunur. Bu matrisin 2.sat¬r¬n¬n ( 2) kat¬n¬1.sat¬ra ilave edersek
2
1 0 0
6
6
6 0 1 0 j
4
0 0 1
1
3
7
7
2 7
5
3
matrisi bulunur. Böylece daha önceki metotda oldu¼
gu gibi çözümler x1 = 1; x2 =
2; x3 = 3 biçimindedir.
19
Uyar¬. Biz, lineer denklem sisteminin çözümünde kulland¬g¼¬m¬z hem Gauss yoketme
metodu hem de Gauss-Jordan indirgeme metodunda sadece sat¬r i¸slemleri yaparak
sonucu elde edebiliriz. Bu sistemlerin çözümleri için sütun i¸slemlerini denemeye sak¬n
kalkmay¬n¬z!
0.3
Homogen Sistemler
Bu bölümde, n bilinmeyenli m lineer denklemden ibaret olan AX = 0 homogen
sistemi ele al¬narak incelenecektir.
Örnek 13.I·laveli matrisi
2
1 0
6
6
6 0 0
6
6
6 0 0
4
0 0
0 0 2
0
3
7
7
0 7
1 0 3
7
j
7
0 7
0 1 4
5
0
0 0 0
olan homogen sistemi gözönüne alal¬m. I·laveli matris, indirgenmi¸s sat¬rca e¸selon
biçiminde oldu¼
gundan çözümü r ve s herhangi iki say¬olmak üzere,
x1 =
2r; x2 = s; x3 =
3r; x4 =
4r; x5 = r
biçimindedir.
I·laveli A matrisi sat¬rca e¸selon biçiminde oldu¼
gunda ve m < n iken n(= 5) bilinmeyenli m(= 4) lineer denklemden olu¸san homogen sistemin çözümünü bir önceki
örnekte incelemi¸stik. I·laveli matrisin tamamen s¬f¬r elemanlar¬ndan olu¸san sat¬r¬n¬
ihmal edebiliriz. Böylece A matrisinin (tamamen) s¬f¬rdan farkl¬ olan 1; 2; ::: ; r
sat¬r¬n¬ ve 1.sat¬r ci .sütunundaki eleman¬ 1 olarak alabiliriz. n bilinmeyenli r denklemden olu¸san homogen denklem r < n iken çözüldü¼
günde ve bu özel durumda
(A, sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon biçiminde bir matristir) geriye kalan n
r bilinmeyen
cinsinden xc1 , xc2 , ... , xcr de¼
gerleri bulunur. Sonuncu halde herhangi reel de¼
gerler
ele al¬naca¼
g¬ndan, AX = 0 sisteminin sonsuz çözümü, özellikle de a¸sikar olmayan
20
çözümü oldu¼
gu görülür. S
¸imdi de bu durumun, A matrisi sat¬rca indirgenmi¸s e¸selon
biçimnde de olmamak üzere m < n iken sa¼
gland¬g¼¬n¬gösterece¼
giz.
Teorem 3. n bilinmeyenli m lineer denklemden olu¸san homogen bir sistem, m <
n iken daima a¸sikar olmayan bir çözüme sahiptir.
Örnek 14.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x4 = 0
x1 + 2x2 + x3 = 0
homogen sistemi gözönüne alal¬m. Bu sistemin ilaveli matrisi
2
1 1 1 1
0
6
6
A=6 1 0 0 1 j 0
4
1 2 1 0
0
3
7
7
7
5
biçiminde olup, bu matris sat¬rca denk oldu¼
gu matrise dönü¸stürelim. Bunun için
1.sat¬r ile 2.sat¬r¬yer de¼
gi¸stirirsek
2
1 0 0 1
0
3
6
7
6
7
j
6 1 1 1 1
0 7
5
4
1 2 1 0
0
matrisi elde edilir. Burada 2.sat¬r¬n ( 1) kat¬n¬3.sat¬ra eklersek
2
1 0 0
6
6
6 1 1 1
4
0 1 0
1
0
3
7
7
j 0 7
5
1
0
1
21
matrisine sat¬rca denktir. 2.sat¬ra 1.sat¬r¬n ( 1) kat¬n¬eklersek
2
1 0 0
1
6
6
6 0 1 1
4
0 1 0
0
3
7
7
j
0
0 7
5
1
0
matrisi elde edilir. Burada 3.sat¬ra 2.sat¬r¬n ( 1) kat¬n¬eklersek
2
1 0
6
6
6 0 1
4
0 0
0
1
1
0
1
0
3
7
7
j 0 7
5
1
0
matrisi elde edilir. Bu sat¬rca indirgenmi¸s matris yard¬m¬yla lineer denklem sistemimizin çözümü, r herhangi bir say¬olmak üzere,
x1 =
r; x2 = r; x3 =
¸seklindedir.
22
r; x4 = r

Download Report