Bölüm-2

FİZ101
FİZİK-I
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü
2. Bölüm (Vektörler) Özet
1.10.2014
Aysuhan Ozansoy
Bir şeyi basitçe açıklayamıyorsan onu tam olarak
anlamamışsın demektir.
Albert Einstein
2
A.Ozansoy
01.10.2014
Vektörler
Skaler niceliklerle toplama ve çıkarma işlemi yapılırken normal aritmetik kuralları
geçerlidir. Ancak vektörel nicelikler basit cebirsel işlemlerle toplanamazlar ve
çıkarılamazlar.
•Fizik kanunlarının vektörlerle ifade edilmesinin temeli öklid geometrisine dayanır.
Öklid geometrisinin geçerli olmadığı eğri uzayda ise diferansiyel geometri ve bunun
kuralları geçerlidir.
Kartezyen Koodinat Sistemi: Yatay ve düşey eksenlerin
kesiştiği yer başlangıç olarak alınır.
Düzlem kutupsal (polar) Koordinat Sistemi:
Şekil Kaynak [2]’ den alınmıştır.
3
Şekil Kaynak [1]’ den alınmıştır.
x = r cos θ
r = x2 + y2
y = r sin θ
tan θ =
A.Ozansoy
y
y
y
⇒ θ = arctan( ) = tan −1 ( )
x
x
x
01.10.2014
Örnek: Vektörel toplamın birleşme özelliği: Üç veya daha fazla vektör
toplanırken , bileşke vektör, vektörlerin birbirleriyle gruplandırma şekillerinden
bağımsızdır. Örneğin; A, B ve C vektörlerini toplamına bakalım:
Î
r r r r
v r
I . ( A + B) + C = D + C = R
v r r r
III . A + B + C = R
4
r v r
v r r
II . A + ( B + C ) = A + E = R
r v r r
IV . B + A + C = R
A.Ozansoy
01.10.2014
Î Fizikte yönü ve büyüklüğü olduğu halde vektör olmayan nicelikler de
vardır. Sonlu dönmeler buna bir örnektir.
•Bir
niceliğin
vektör
olabilmesi
için
vektörel
toplama altında komütatif
(sıra değiştirmeli) olması
gerekir.
kˆ
•Örneğin bir kitabı önce 1
ekseni etrafında π/2 radyan
sonra da 2 ekseni etrafında
π/2
radyan
kadar
döndürelim. Aynı kitabı bu
sefer
önce
2
ekseni
etrafında π/2 radyan sonra
da 1 ekseni etrafında π/2
radyan kadar döndürelim.
Her iki durumdaki toplam
dönme birbirini aynı değildir.
Şekil Kaynak [3]’ ten alınmıştır.
5
A.Ozansoy
01.10.2014
Birim Vektörler ve Vektör Bileşenleri
Sağ koordinat sistemiÎ dönüş saatin dönme
yönünün tersi (x Æ y Æ z)
Herhangi bir A vektörü yönündeki
birim vektör şu şekilde tanımlanır:
r
A
uˆ ≡ r
A
r
Ax = A cos θ
θ
r
Ay = A sin θ
tan θ =
Ay
Ax
Î 3- boyutlu uzayda; A = Axi + Ayj + Azk
6
A.Ozansoy
01.10.2014
Vektörlerin Çarpımı:
Birbiri ile toplanan ya da çıkarılan vektörler aynı cinsten vektörlerdir. Değişik
cinsten vektörler birbirleriyle çarpılabilir ve sonuçta değişik boyutlu fiziksel
büyüklükler meydana gelir.
Î Vektörlerle yapılan 3 çarpım işlemi:
1. Bir skalerle çarp
2. Skaler (iç) çarpım
3. Vektörel çarpım
7
Bu üç işlem de çizgisel. Çarpımın toplamaya göre sağdan
ve soldan dağılma özelliği var.
A.Ozansoy
01.10.2014
Skaler Çarpım:
r r r r
A ⋅ B = A B cos Φ
= Ax Bx + Ay B y + Az Bz
Sonuç bir
skaler..!
Bu tanımdan yararlanarak iki vektör arasındaki
açı bulunabilir:
Î Skaler çarpım sıra değiştirir.
cos Φ =
r r r r
A⋅ B = B ⋅ A
Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r r
AB
Î Birbirine dik vektörlerin skaler çarpımı sıfırdır.
r r
r r
A ⊥ B ⇒ A⋅ B = 0
iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1
iˆ ⋅ ˆj = ˆj ⋅ kˆ = kˆ ⋅ iˆ = 0,
8
iˆ ⊥ ˆj ⊥ kˆ
A.Ozansoy
01.10.2014
Skaler Çarpımın Geometrik Yorumu:
=
A vektörünün
büyüklüğü
r r r r
A⋅ B = B ⋅ A
B vektörünün A
üzerine dik izdüşümü
=
B vektörünün
büyüklüğü
9
A.Ozansoy
A vektörünün B
üzerine dik izdüşümü
01.10.2014
Vektörel Çarpım:
Vektörel çarpımın büyüklüğü
r r
r r
A × B = A B sin Φ
r r
A × B = iˆ( Ay B z − Az B y ) + ˆj ( Az B x − Ax B z ) + kˆ( Ax B y − Ay B x )
Sonuç bir vektör
vektörü A ve B vektörlerinin
oluşturduğu düzleme diktir.
Î Vektörel çarpım sıra değiştirmez.
Î Vektörel çarpım determinant şeklinde de ifade edilebilir:
iˆ
r r
A × B = Ax
Bx
ˆj
kˆ
Ay
By
Az
Bz
= ( A y B z − Az B y )iˆ + ( Az B x − Ax B z ) ˆj + ( Ax B y − A y B x ) kˆ
10
A.Ozansoy
01.10.2014
Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu:
=
A vektörünün
büyüklüğü
B vektörünün A vektörüne
dik olan bileşeni
=
B vektörünün
büyüklüğü
11
A.Ozansoy
A vektörünün B vektörüne
dik olan bileşeni
01.10.2014
Karma Çarpım: Taban alanı A ve B vektörleriyle, eğik yüzü C vektörü
ile tanımlı bir paralelyüzün hacmi karma çarpım ile
verilir.
r r r
r r r
V = A ⋅ ( B × C ) = ( A × B) ⋅ C
(⋅ ve ×)
Yeri
değişebilir.
Şekil Kaynak [3]’ ten alınmıştır.
12
A.Ozansoy
01.10.2014
Vektörlerin Kimyada Kullanımına Örnekler:
1. Karbon nano tüpler
Grafen, denilen bal peteğine benzer karbon
tabakalarının iki boyutlu kıvrılıp bir silindir
oluşturmasıyla karbon nanotüpler oluşur. Kimyada
bu yapıların incelenmesi için öncelikle atomlarının
koordinatlarının bilinmesi gereklidir.
r
C:
r
T:
Karbon tabakalarının nasıl
kıvrılıp tüp şekline geldiğini
anlatan vektör
Tüpün ekseni boyunca
kendini tekrarladığı minumum
mesafeyi tanımlar
C biliniyorsa, C her zaman T’ ye dik
olduğundan T hesaplanabilir!!!
13
A.Ozansoy
02.10.2014
01.10.2014
2. Moleküler Kutupluluk
(Bu kesim, [6] ve [7] referans alınarak hazırlanmıştır.
Vektörleri, bazı moleküllerin neden net dipol momente sahip olduğunu
(başka bir deyişle kutuplu=polar olduğunu) anlamak için kullanırız. Moleküller
3 boyutlu olduklarından üç boyutlu bir koordinat sistemi kullanmalıyız.
Örnek 1: Öncelikle 3 atomlu bir molekül olan CO2 molekülünü ele alalım.
Lewis nokta yapısından ve VSEPR (Valance-Shell Electron-Pair
Repulsion = Değerlik-Kabuğu Elektron-Çifti İtmesi) teorisinden CO2
molekülünün çizgisel (lineer) olduğunu tespit edebiliriz. Her bir CO bağı
için bağ kutupluluğu karbondan oksijene doğru yönlenmiş bir vektör ile
gösterilir. Buna göre, vektörel toplam sıfırdır. CO bağı kutuplu olmasına
rağmen CO2 molekülü kutuplu değildir.
Karbon atomu
için
Lewis
nokta yapısı
Vektörel toplam sıfır,
molekül kutuplu değil.
Şekil, Kaynak [6]’ dan alınmıştır.
14
A.Ozansoy
01.10.2014
Örnek 2: 5 atomlu CCl4 (karbon tetraklorür) molekülünü ele alalım. C-Cl
bağı kutupludur ve C atomundan Cl atomuna bir vektör ile gösterilir.
Karbon atomunu koordinat sisteminin merkezinde ve bir C-Cl bağını +z
ekseninde seçerek, vektörel toplamın sıfır olduğu gösterilebilinir. Burada
A, B, C ve D vektörleri bağ dipol momentlerini göstermektedir. Buna
göre C-Cl bağı kutuplu olmasına rağmen CCl4 molekülü kutuplu değildir.
Şekil, Kaynak [6]’ dan alınmıştır.
Şekil, Kaynak [7]’ den alınmıştır.
15
A.Ozansoy
01.10.2014
Örnek 3: 3 atomlu SO2 molekülünü ele alalım. Lewis nokta yapısından
ve VSEPR teorisinden bu molekülünün bükülmüş olduğunu biliyoruz.
Molekülün geometrisine göre, vektörel toplam sıfır değildir. SO2
molekülü kutuplu değildir.
Moleküler dipol moment
Şekil, Kaynak [6]’ dan alınmıştır.
16
A.Ozansoy
01.10.2014
Kaynaklar:
1. http://dersietkinlikleri.blogcu.com/kartezyen-koordinat-sistemi-7-sinifmatematik-sorulari-ve-cevap/7114649
2. http://www.nabla.hr/Z_FunctRectangularAndPolarCoordinateSystem_3.htm
3. “Mechanics”, C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Berkeley Physis Course
Vol.1
4. Diğer tüm şekiller: “Üniversite Fiziği Cilt-I “, H.D. Young ve R.A. Freedman,
(Çeviri Editörü: Prof. Dr. Hilmi Ünlü) 12. Baskı, Pearson Education Yayıncılık
2009, Ankara.
5. http://fizikkaralamalari.blogspot.com/2012_03_01_archive.html
6. http://chemistry.bd.psu.edu/jircitano/polar.html
7.http://guweb2.gonzaga.edu/faculty/cronk/chemistry/resources.cfm?resource
topics&topic=vectors
17
A.Ozansoy
01.10.2014

Download Report