Hamel Taban ve Boyut Teoremi
Mert ÇAĞLAR
VE
Zafer ERCAN
Amaç
Baştan söyleyelim: Okuyucunun, vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik
vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde de olsa, konuya yabancı olmadığını varsayıyoruz. Bu konuda türkçe yazılmış olan [] kitabı öneririz.
Matematik Dünyası Dergisinin -I ve -II (bu yazının da yer almasını umut ettiğimiz sayı) sayılarının kapak konuları vektör uzaylarıydı. Bu kapak konularında eksik olan ya
da yeterince yer verilmeyen, bir vektör uzaylarda tanımlı olan boyut kavramı ve onun "büyüklüğü" idi. Bu yazının temel amacı, vektör uzaylarında boyut kavramı olacak ve "Boyut
Teoremi " olarak bilinen teoremi kanıtıyla birlikte vermek olacak.
Bir vektör uzay, bir E kümesi üzerinde belirli özellikleri sağlayan toplama (+) ve skalerle çarma (.)işlemleri tanımlanmış olan bir (E, +, .) üçlüdür. Bu üçlüyü, bir yanlış anlama
durumu yok ise, sadece E ile gösterilir. Vektör uzayının temel örneği R vektör uzayıdır. R
vektör uzayı üzerinde tanımlı toplama ve skalerle çarpma işlemleri "bildiğimiz" işlemlerdir.
R vektör uzayından üretilen doğal vektör uzay örneklerinden biri, RX , boş kümeden farklı
bir X kümesinden R’ye tanımlı küme ve her f , g ∈ RX ve α ∈ R için,
(f + g)(x) := f (x) + g(x) ve (αf )(x) := αf (x)
olarak tanımlanmak üzere, (RX , +, .) üçlüsüdür. Bu vektör uzayın direk toplam vektör
uzayı olarak adlandırılan vektör altuzayı aşağıdaki gibi tanımlanır ve gösterilir:
⊕X R = {f ∈ RX : f −1 (R r {0}) sonlu}.
Her x ∈ X için
χx (y) =
¨1
; x=y
0 ; x=
6 y
olarak tanımlanan χx ∈ RX fonksiyonun ⊕X R vektör uzayının bir elemanı olduğu açıktır.
Belli anlamlarda, ⊕X R vektör uzayını anlamak, RX vektör uzayını anlamaktan daha kolaydır. Nedeni: {χx : x ∈ X} kümesinin doğrusal bağımsız (tanımı aşağıda verilecek) ve
⊕X R’nin her elemanının sonlu tane αχx (α ∈ R, x ∈ X) türündeki elamanlaın toplamı
olarak yazılabilmesidir. Gerçekten, her f ∈ ⊕X R için,
f=
dir.
P
x∈{x∈X:f (x)6=0}
f (x)χx
Bu yaklaşımla şu soruları sorabiliriz:
(i) X boşkümeden farklı bir küme olmak üzere, RX vektör uzayını ⊕I R uzayına izomorfizma (vektör uzay eşyalılı) olacak biçimde I kümesi var mıdır?
İstanbul Kültür Üniversitesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü, Ataköy Kampüsü, Bakırköy , İstanbul
Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gölköy Kampüsü , Bolu
ingilizcesi Dimension Theorem.
(ii) ⊕I R ve ⊕J R vektör uzayları izomorfik iseler, I ve J’nin kardinaliteleri arasında eşitlik
ilişkisi var mıdır?
(iii) I ve J kümelerinin kardinaliteleri eşit ise, yani I’dan J’ye tanımlı birebir ve örten
fonksiyon var ise, ⊕I R ve ⊕J R vektör uzayları izomorfik midirler?
(iv) (i)’nin yanıtı evet ise, soruyu genelleybiliriz: Her E vektör uzayı, bir direk toplam
vektör uzayına izomorfik midir?".
Bu yazıda yukarıdaki soruların yanıtlarının evet olduğu gösterilecektir. Yazıyı ayrıcalıklı
yapan ve yayınlanmasının "yararlı" olabileceğinin nedeni, Hamel tabanların kardinalitelerinin
aynı olduğunun yaygın olarak bilinmiyen bir kanıtının verilmesi olacak. Bu kanıt J. T. Moore
[]’ye aittir.
Hamel Tabanı
Her şeyin bir omurgası vardır. Vektör uzayın da omurgası vardır ama biz ona "taban" ya da
"baz" diyeceğiz. Tanımı aşağıda.
Tanım .. E, sıfırdan farklı bir vektör uzayı olmak üzere, S ⊂ E r {0} kümesi
si ∈ S, αi ∈ R, α1 s1 + ... + α1 s1 = 0 =⇒ α1 = ... = αn = 0
özelliğindeyse, S, kümesine doğrusal bağımsız denir.
Yukarıdaki gerektirme ifadesinde i 6= j için si 6= sj olduğunu varsayıldığına okuyucu
dikkat etmeli!
Tanım .. E, sıfırdan farklı bir vektör uzayı olmak üzere, S ⊂ E için
< S >:= {
P
n
i=1
αi si : n ∈ N, α ∈ R, si ∈ S}
olarak tanımlanan E’nin vektör altuzayına, S tarafından üretilen vektör altuzay denir.
Vektör uzayında taban kavramını tanımlamaya hazırız.
Tanım .. E sıfırdan farklı bir vektör uzayı olsun. B ⊂ E kümesi doğrusal bağımsız ve S
tarafından üretilen vektör altuzay E’ye eşitse, yani
< B >= E
ise, B’ye E vektör uzayının Hamel tabanı denir.
Yukarıda tanıma göre sıfırdan farklı bir vektör uzayın tabanı boş küme olamaz. Ama kavram
bütünlemesi açısından sıfır vektör uzayının Hamel tabanını boş küme olarak tanımlayabiliriz.
Örnek ..
X sonsuz bir küme olmak üzere,
H := {χx : x ∈ X}
diyelim. H ⊂ RX doğrual bağımsız fakat Hamel taban değildir. Buna karşılık H, ⊕X R vektör
uzayının bir Hamel tabanıdır.
Her Vektör Uzayın Hamel Tabanı vardır
"Her vektör uzayın tabanı var mıdır?" sorusunun yanıtını, Zorn Önsavı kullanarak olumlu
olarak yanıtlayabileceğiz.
Teorem .. (Zorn Önsavı) Her zinicirinin bir üst sınırı olan kısmı sıralı kümenin bir
maksimal elemanı vardır.
Yukarıdaki teoremini bir kanıtı []’de bulunabilir.
Teorem .. ( Löwig[] )Her vektör uzayın bir Hamel tabanı vardır.
Kanıt. E vektör uzay olsun. E = {0} olma durumunda E’nin Hamel tabanını boş küme
olarak tanımlamıştık. E 6= {0} olduğunu varsayalım. Bu durumda E’nin boşkümeden farklı
doğrusal bağımsız bir B alt kümesi vardır. (Örneğin, 0 6= x ∈ E olmak üzere B = {x}
alabiliriz. )
P = {A ⊂ E : B ⊂ A ve doğrusal bağımsız}
kümesi, B’yi içerdiğinden boş kümeden farklıdır. P, kapsama sıralamasına göre, yani
A 6 B :⇐⇒ A ⊂ B
sıralaması 6’ye göre kısmı sıralı bir kümedir. C ⊂ P bir zincir ise,
B∞ = ∪C
kümesi P’nin bir elemanı ve C zincirinin bir üst sınırıdır. Zorn Önsavı gereği P’nin bir
maksimal elemanı vardır, bunu B∞ ile gösterelim. x ∈ E olmasına karşın,
x 6∈< B∞ >
olduğunu varsaydığımızda, B∞ ∪ {x} ∈ P, B < B∞ elde edilirki, bu B’nin maksimal olmasıyla çelişr. O halde < B >= E dir. Böylece B, E vektör uzayının bir Hamel tabanıdır.
Yukarıdaki teoremin bir uygulaması olarak, yukarıdaki sorulan sorulardan (iv)’nin yanıtını
aşağıdaki gibi verebiliriz.
Sonuç .. E sıfırdan farklı bir vektör uzay ise, E ve ⊕B R vektör uzaylarını izomorfik yapan
B kümesi vardır.
Kanıt. B ⊂ E kümesini, E’nin Hamel tabanı olarak almak yeterlidir.
Bunun bir sonucu olarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz.
Sonuç .. X boş kümeden farklı ise, RX ve ⊕I R vektör uzaylarını izomorfik yapan bir I
kümesi vardır.
Bu yukarıda sorulan (i)’nin yanıtıdır.
Bir vektör uzayından R’ye tanımlı her doğrusal dönüşümler fonksiyonel denir. E’de tanımlı
fonksiyonellerin kümesi, noktasal toplama ve noktasal skalerler çarpma işlemleri altında, yani
fonksiyoneller f , g ∈ E ∗ ve α ∈ R için,
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) := αf (x)
[]’de Löwig için "unutulmuş matematikçi" diye yazar.
f + g ve αf ’ler fonksiyonellerdir ve bu işlemlere göre fonksiyoneller kümesi vektör uzaydır ve
E’nin cebirsel duali denir. E’nin cebirsel dualini E ∗ ile gösterelim. E ∗ , RE vektör uzayının
altuzayıdır.
Alıştırma .. Bir E vektör uzayın cebirsel duali E ∗ ’nın sıfırdan farklı olması için gerekli
ve yeterli koşulun E’nin sıfırdan farklı olması olduğunu gösteriniz.
Bir vektör uzayın Hamel tabanının varlığını gösteren yöntem kullanılarak aşağıdaki problem çözülebilir.
Alıştırma .. H ⊂ R için,
⊕H Q = {f ∈ QH : f −1 (Q r {0}) sonlu}
olarak tanımlansın. α ∈ Q, f , f ∈ ⊕H Q için
(f + g)(x) = f (x) + g(x) ve (αf )(x) = αf (x)
olarak tanımlanmak üzere f + g, αf ∈ ⊕H Q olduğu bariz. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz:
(i) Her x, y ∈ R ve α ∈ Q için
T (x + y) = T (x) + T (y) ve T (αx) = αT (x)
özelliğini sağlayan H ⊂ R ve birebir ve örten T : R → ⊕H Q fonksiyonu vardır.
(ii) R’den kendisine tanımlı ve her x, y ∈ R için
f (x + y) = f (x) + f (y)
eçitliğini sağlayan ve doğrusal olmayan f fonksiyon vardır.
F ve G, E vektör uzayın alt uzayları ise
F + G = {x + y : x ∈ F, y ∈ G}
bir vektör altuzaydır. F ∩ G = {0} olması durumunda F + G yerine F ⊕ G yazarız. Ayrıca
F ⊕ G vektör uzayı E × F çarpım vektör uzayına izomorfiktir.
Alıştırma .. W , F ve G, E vektör uzayının,
E =W ⊕G=W ⊕F
özelliğinde vektör altuzayları ise, G ve F alt uzaylarının izomorfik olduklarını gösteriniz.
Aşağıdaki teoremin kanıtı kolay ve okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem .. F , E vekör uzayının altvektör uzayı, B, F ’nin bir tabanı, B’yi kapsayan E’nin
bir S tabanı vardır ve
E = F⊕ < S r B >
dir.
Boyut Teoremi
E vektör uzayının sonlu bir A tabanı var ise, diğer bütün tabanların eleman sayısı, A kümesinin eleman sayılarına eşittir. Konuyla ilgili bütün kitaplarda bu sonuçlar vardır ve üniversite
lisans öğrencilerine kanıtıyla verilir. Aslında bu sonuç bütün vektör uzayları için doğru olsa
da, bu yazıda yer alacak "klasik" olan kanıtda kullanılan yöntem nedeniyle olsa gerek, matematik lisans öğrencilerine ö¨gretilmez. Buna karşın, bu yazıda vereceğimiz, J. T. Moore []’ye
ait olan kanıt, lisans öğrencilerine okutulabilcek niteliktedir.
A bir küme ise, A’nin kardinalitesi |A| ile gösterilir. A kümesinden B kümesinin tanımlı
birebir fonksiyon var ise, |A| 6 |B| yazarız. |A| = |B| olması ise, A’dan B’ye tanımlı birebir ve
örten fonksiyonun olması anlamındadır. |A| 6 |B| ve |B| 6 |A| ise, |A| = |B| dir. Bu sonuç
Cantor-Schröder-Bernstein Teoremi olarak bilinir ve bir kanıt []’de bulunabilir. Aşağıda
ifadesi verilen Boyut Teoremi’nin klasik kanıtında bu teorem kullanılır. Bu yazıda verilecek
olan kanıtta ise kullanılmayacaktır.
A ve B iki küme olsun. |A| = |B| ise, ⊕A R ve ⊕B R vektör uzaylarının izomorfik olduğunu
göstermek kolaydır. Peki, ⊕A R ve ⊕B R vektör uzayları eş yapılı ise |A| = |B| mi dir?
Bunun yanıtı evettir ve yukarıdaki sonuç kullanılarak, bir vektör uzayın Hamel tabanlarının
kardinalitelerinin eşit olduğunu söyler.
Bir E vektör uzayından kendisine tanımlı doğrusal dönüşümlerin kümesini L(E) ile gösterelim.
Teorem .. (Löwig [],Boyut Teoremi) A ve B, E vektör uzayının Hamel tabanları ise
|A| = |B| dir.
Kanıt. (Moore[]) W, A ∩ W ve B ∩ W kümeleri Hamel tabanı olan, E vektör uzayının alt
vektör uzay W ’lerin kümesini göstersin. W ∈ W olmak üzere,
T |A∩W : A ∩ W → B ∩ W
birebir ve örten özelliğinde olan T ∈ L(W ) doğrusal dönüşümlerin kümesini P ile gösterelim.
W = {0} ∈ W ve sıfır liner dönüşümü P de olduğundan, P boş kümeden farklıdır. W ∈ W
ve P’de verilen bir T ∈ L(W ) için W = dom(T ) yazalım. T , S ∈ P için,
S 6 T :⇐⇒ dom(S) ⊂ dom(T ) ve T |dom(S) = S
olarak tanımlanan 6 ilişkisine göre (P, 6) kısmi sıralı bir kümedir. P’de her zincirin bir üst
sınırı vardır: C ⊂ P bir zincir olsun.
W = ∪S∈C dom(S)
olarak tanımlıyalım. Her S ∈ C için
T : W → W , T |dom(S) = S
özelliğinde T fonksiyonunu tanımlıyalım. Gerçekten, C’nin bir zincir olması nedeniyle bu
özellikte bir fonksiyon tanımlanabilir. Üstelik W ∈ W ve T ∈ P dir. T ’nin C zincirinin bir
üst sınırı olduğu da bariz. Zorn Önsavı gereği, P’nin bir maksimal elemanı T vardır. T ’nin
tanım kümesini W ile gösterelim.
E = W ⊕ V = W ⊕ < A r (A ∩ W ) >= W ⊕ < B r (B ∩ W ) >
özelliğinde V vektör altuzayı vardır. Iki durum sözkonusu:
Birinci Durum. V sonlu boyutlu:
E = W ⊕ < A r A ∩ W >= W ⊕ < B r (B ∩ W ) >
olacağından V , < A r (A ∩ W ) > ve < B r (B ∩ W ) > vektör altuzayları izomorfik ve sonlu
boyutludur. Sonlu boyutlar için Boyut Teoremi (sonlu boyutlar için bildiğimizi varsayıyoruz!)
gereği,
|A r (A ∩ W )| = |B r (B ∩ W )|
dir. Ayrıca,
|A ∩ W | = |B ∩ W |
olmasından
|A| = |B|
elde edilir.
Ikinci Durum. V sonsuz boyutlu: Bu durumda E = W + F özelliğinde sonlu boyutlu E’nin
vektör altuzayı F yoktur. Bunun sonucu olarak, aşağıdaki özellikte A r W ’nin sonlu altkümelerinin (An ) dizisi ve B r W ’nin sonlu alt kümelerinin dizisi (Bn ) vardır. Her n ∈ N
için:
- An ⊂ An+1 ve Bn ⊂ Bn+1 .
- An 6= An+1 .
- An ⊂< Bn >.
- Bn ⊂< An+1 >.
Bu iki dizinin inşasına şöyle başlayabiliriz: x ∈ E r W verilsin. x ∈< A1 > oözelliğinde
sonlu A1 ⊂ A vardır. Her a ∈ A1 için a ∈< Ca > özelliğinde sonlu Ca ⊂ B seçebiliriz.
B1 = ∪a∈A1 Ca alabiliriz. B1 ⊂ W olmadığı bariz. Bu yöntemle devam ederek, tümevarımla
istenilen özellikte diziler elde edilir.
A∞ = (∪∞
i=1 Ai ) r W
ve
B∞ = (∪∞
i=1 Bi ) r W
olarak tanımlansın. A∞ ve B∞ kümeleri sayılabilir sonsuz kümelerdir.
0
W =< W ∪ A∞ >=< W ∪ B∞ >
olduğu bariz.
f : A∞ → B∞
0
birebir örten fonksiyon olmak üzere, T doğrusal dönüşümü, W vektör altuzayına her a ∈ A∞
için
0
T (a) = f (a)
özelliğini sağlayacak biçimde genişletilebilir. Ayrıca
0
0
0
T (W ∩ (A ∩ B)) = T (W ∩ (A ∩ B)) = T (W ∩ (A ∩ B))
olduğundan,
0
0
0
T |A∩B : W ∩ (A ∩ B) → W ∩ (A ∩ B)
0
0
0
0
birebir ve örtendir. Dolayısıyla (T , W ) ∈ P ve (T, W ) < (T , W ) olur ki, bu (T, W )’nin
maksimal olmasıyla çelişir. Ve Kanıtı tamamlanır.
Klasik Kanıt
Her ne kadar yukarıda verilen kanıtın klasik kanıttan daha analşılır ve kolay olduğunu ve
lisans öğrencilerinin anlayabiliceği seviyede de olduğunu, yazarlar olarak ifade etmiş olsak
da, bazı okuyucular aynı görüşte olmayabilirler. Karşılaştırma imkanı vermek aşından, Boyut
Teoreminin klasik kanıtı olarak bilinen kanıtını detaya girmeden bahsedilmesi yazıyı daha
bütün yapacaktır.
Kanıt. (Klasik Kanıt ) Aşağıdaki adımları takip edelim:
- S sayılabilir bir küme ise |S × N| = |S| dir:
f : N × N → N, f (k, n) = 2k 3n
olarak tanımlanan fonksiyonun birebir ve örten olması dikkate alınarak istenilen elde
edilir.
- Aşğıdaki kümeyi tanımlayalım.
A = {(S, f ) : S ⊂ A, sayılabilir ve f : S × N → S
birebir ve örten}.
A sonsuz olduğundan, A’nın sayılabilir sonsuz alt kümesi vardır. Dolayısıyla A 6= ∅.
Üstelik, A,
(S, f ) 6 (T, g) :⇐⇒ S ⊂ T ve g|S = f
sıralamsına göre A, kısmı sıralı bir küme ve her zincirin bir üst sınırı vardır. Dolayısıyla
Zorn Önsavı gereği, A’nın (R, ϕ) maksimal elemanı vardır.
- A r R sonludur: Varsayalım ki sonsuz. S ⊂ A r R sayılabilir sonsuz küme seçebiliriz.
0
0
0
R = R ∪ S diyelim. g : S × N → S birebir ve örten fonksiyon olsun. π : R × N → R
π(r, n) =
¨ ϕ(r, n)
; (r, n) ∈ R × N
g(r, n) ; (r, n) ∈ S × N
0
0
π birebir ve örten olduğundan (R , π) ∈ A ve (R, ϕ) < (R , π) dir ki, bu (R, ϕ)’nin
maksimal olmasıyla çelişir.
- Y ⊂ R sayılabilir sonsuz bir küme olsun.
|[(A r R) ∪ Y ] × N| = |[ϕ(Y × N) ∪ (A r R)]|
olduğundan birebir ve örten
Bu kanıt []’den alınmıştır.
h : [(A r R) ∪ Y ] × N → [ϕ(Y × N) ∪ (A r R)]
fonksiyonu vardır.
- |A × N| = |A|: σ : A × N → A fonksiyonu
σ(x, n) =
¨ ϕ(x, n)
; (x, n) ∈ (R r Y ) × N
h(x, n) ; (x, n) ∈ [(A r R) ∪ Y ] × N
σ birebir ve örten fonksiyon olduğundan, istenilen elde edilir.
- Her x ∈ X için
x=
P
y∈B(x)
αy y
özelliğunde tek bir tane
B(x) = {y1x , ..., ykxx } ⊂ B
kümesi vardır.
- B = ∪x∈A B(x) dir.
- |B| 6 |A × N|: α : A × N → B fonksiyonu
α(x, n) =
¨y
x
1
ynx
; n > kx
; 1 6 n 6 kx
eşitliğiyle tanımlansın. α fonksiyonu örtendir. Dolayısıyla |B| 6 |A × N| dir.
- |A| = |B|: |B| 6 |A × N| = |A| olduğunu yukarıda gösterildi. Benzer biçimde |A| 6 |B|.
Cantor-Schröder-Bernstein Teoreminden |A| = |B| elde edilir.
Kaynaklar
[] C. D. Aliprantis, K. C. Border, Infinite dimensional analysis, A hitchhiker’s guide. Third
edition. Springer, Berlin, .
[] M. Becvarova, The foggotten Mathematician Henry Lowig, Dejiny Matematiky/History
of Mathematics, . Matfyzpress, Prague, .
[] J. T. Moore, A Zorn’s lemma proof of the dimension theorem for vector spaces, Amer.
Math. Monthly (), no. , -.
[] Cantor-Schröder-Bernstein Teoremi, Matematik Dünyası, -III, -.
[] T. Karayayla, Hausdorff Zincir Teoremi ve Zonn Önsavı, MD -II, -.
[] H. Löwig, Über die Dimension linearer Röume, Studia Mathematica, vol. (),
p.-.
[] T. Terzioğlu, Fonksiyonel Analizin Yöntemleri, Matematik Vakfı, Istanbul, .
© Copyright 2024 Paperzz
