Soru 2. f(x) = x

BAHAR DÖNEM˙
I
DERS˙
IN Ö˘
GRET˙
IM ÜYES˙
I: Dr. Salim CEYHAN
BM202
Soru 1.
15 Mart 2014
SAYISAL ÇÖZÜMLEME-ÖDEV-III
Yer de˘gi¸stirme(Regula Falsi) yöntemi ile
√
15’in de˘gerini xa = 3 ve xü = 4 ilk tah-
minlerini kullanarak εs = %0.5 oluncaya kadar hesaplayın.
ÇÖZÜM
f(x) = x2 –15 = 0 denkleminin pozitif kökü
√
15’dir. xa = 3 ve xü = 4 ba¸slangıç tahminlerini kullanarak
tahmini de˘geri hesaplayalım.
f(xü )(xa – xü )
= 3.85714, f(3.85714) = –0.122449,
f(xa ) – f(xü )
f(xalt ) · f(xr ) > 0 → xalt = 3.85714 alınır. Kök [3.85714, 4] aralı˘gındadır.
f(xü )(xa – xü )
= 3.87273, f(3.87273) = –0.00198383,
2.Adım: f(xa ) = –0.122449, f(xü ) = 1 → xr = xü –
f(xa ) – f(xü )
f(xalt )· f(xr ) > 0 →xalt = 3.87273 alınır. Kök [3.87273, 4] aralı˘gındadır.
xyeni – xeski 3.87273 – 3.85714 r
r × %100 = %0.402558 < %0.5
|εa | = × %100 = xyeni 3.87273
r
√
15’in tahmini de˘geri=3.87273.
1.Adım: f(xa ) = –6, f(xü ) = 1 → xr = xü –
Soru 2.
f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6.1 fonksiyonunun kökünü üç iterasyonda a¸sa˘gıdaki yollarla
belirleyin:
a
˙Ilk tahmini x0 = 3.5 Newton-Raphson yöntemini kullanarak en büyük kökünü ve
b
ilk tahminleri x–1 = 0.5 ve x0 = 0.4 Sekant yöntemini kullanarak en küçük kökünü bulun.
ÇÖZÜM
Denklemin gerçek kökleri= 1.05435, 1.89897, 3.04668 buna göre en büyük kök=3.04668.
f(x )
Newton-Raphson yönteminde kullanılacak iterasyon formülü: xi+1 = xi – 0 i .
f (xi )
0
2
a x0 = 3.5 ilk tahmin de˘geri ve türevi f (xi ) = 3xi – 12xi + 11.
x3 – 6x2 + 11xi – 6.1
xi+1 = xi – i 2 i
iteratif formülümüzdür.
3xi – 12xi + 11
1.Adım:x1 = 3.1913
2.Adım:x2 = 3.0687
3.04668 – x3 × %100 = %0.0210065
3.Adım:x3 = 3.04732, |εt | = 3.04668 xi – xi–1
· f(xi ) iterasyon formülüyle
b ˙Ilk tahminleri x–1 = 0.5 ve x0 = 0.4 alarakxi+1 = xi –
f(xi ) – f(xi–1 )
tahmini kökleri hesaplarız.
1.Adım:x1 = 0.818035
2.Adım:x2 = 0.935458
3.Adım:x3 = 1.02219,
1.05435 – x3 × %100 = %3.05022
|εt | = 1.05435 DERS˙
IN Ö˘
GRET˙
IM ÜYES˙
I: Dr. Salim CEYHAN
Soru 3.
BAHAR DÖNEM˙
I
15 Mart 2014
f(x) = –11 – 22x + 17x2 – 2.5x3 fonksiyonunun küçük reel kökünü üç anlamlı basa-
ma˘ga kar¸sı gelen εs de˘geriyle birlikte Sekant yöntemini kullanarak belirleyin.
ÇÖZÜM
Denklemin gerçek kökleri= –0.381333, 2.42688, 4.75446 buna göre en küçük kök=–.381333 ve üç anlamlı
basama˘ga kadar anlamlı olması için tolerans hatası εs = %0.5 102–3 = %0.05.
xi – xi–1
Keyfi olarak ilk tahminleri x–1 = –1 ve x0 = 0.5 alarak xi+1 = xi –
·f(xi )
f(xi ) – f(xi–1 )
tahmini kökleri hesaplarız.
iterasyon formülüyle
1.Adım:x1 = –0.0579151
x2 – x1 × %100 = %91.7326 > εs
2.Adım:x2 = –0.700521, |εa | = x
2
x3 – x2 × %100 = %115.694 > εs
3.Adım:x3 = –0.324775, |εa | = x
3 x – x 4.Adım:x4 = –0.372406, |εa | = 4 3 × %100 = %12.7901 > εs
x3 x – x 5.Adım:x5 = –0.381619, |εa | = 5 4 × %100 = %2.41419 > εs
x5 x – x 6.Adım:x6 = –0.381331, |εa | = 6 5 × %100 = %0.0755249 > εs
x6 x – x 7.Adım:x7 = –0.381333, |εa | = 7 6 × %100 = %0.000524476 < %0.05,
x7
tahmini en küçük kök= – 0.381333.
Soru 4.
Newton-Raphson yöntemini ve (a) 4.2 ve (b) 4.43 ilk tahminlerini kullanarak
f(x) = 0.5x3 – 4x2 + 6x – 2 fonksiyonunun reel kökünü ayrı ayrı belirleyin. Sonuçlarda bir olagan
dı¸sılık var mı?
ÇÖZÜM
Denklemin gerçek kökleri= 0.474572, 1.3691, 6.15633.
Newton-Raphson yönteminde kullanılacak iterasyon formülü:
a x0 = 4.2 ilk tahmin de˘geri ve türevi f0 (xi ) = 1.5x2i – 8xi + 6.
0.5x3i – 4x2i + 6xi – 2
xi+1 = xi –
iteratif formülümüzdür.
1.5x2i – 8xi + 6
1.Adım:x1 = –4.84912
2.Adım:x2 = –2.57392
3.Adım:x3 = –1.13753
4.Adım:x4 = –0.272741
5.Adım:x5 = 0.202829
f(x )
xi+1 = xi – 0 i .
f (xi )
DERS˙
IN Ö˘
GRET˙
IM ÜYES˙
I: Dr. Salim CEYHAN
BAHAR DÖNEM˙
I
6.Adım:x6 = 0.415353
7.Adım:x7 = 0.470574
8.Adım:x8 = 0.474552
9.Adım:x9 = 0.474572
x0 = 4.2 ba¸slangıç de˘geri için 9 adımda Newton-Raphson yöntemi gerçek köke yakınsadı.
b x0 = 4.43 ilk tahmin de˘geri için
1.Adım:x1 = –3939.13
2.Adım:x2 = –2625.2
3.Adım:x3 = –1749.25
4.Adım:x4 = –1165.28
5.Adım:x5 = –775.966
6.Adım:x6 = –516.424
7.Adım:x7 = –343.398
8.Adım:x8 = –228.049
9.Adım:x9 = –151.153
x0 = 4.43 ba¸slangıç de˘geri için 9 adımda hala köke Newton-Raphson yöntemi yakınsamadı.
15 Mart 2014

Download Report