ile x

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bölüm 3
Denklemlerin Kökleri
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bölüm 3:
Denklemlerin Kökleri
Giriş
Kapalı Yöntemler
Grafik Yöntemi
İkiye Bölme Yöntemi
Yer Değiştirme Yöntemi
Açık Yöntemler
Sabit Nokta İterasyonu
Newton-Raphson Yöntemi
Sekant Yöntemi
Katlı Kökler
Bilgisayar Yazılımı (MATLAB) ile Denklem Köklerinin Belirlenmesi
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Bir denklemin kökleri, f (x) = 0 şartını sağlayan x değerleri olarak tanımlanabilir.
f (x) = ax2 + bx + c
 Bu nedenle denklemlerin köklerine bazen denklemlerin sıfırları adı verilir.
Denklemler
 Yukarıda yazılan 2. derece denklemin köklerini basitçe bulmak mümkündür, ancak
f(x) = e-x - x gibi basit görünen bir denklemin analitik olarak kökünü bulmak mümkün
değildir. Bu gibi durumlarda tek seçenek sayısal yöntemler kullanılarak yaklaşık
çözümler elde etmektir.
Cebirsel Denklemler: f (x) = 1 – 2.37x + 7.5x2 – x3
Transandant Denklemler: f (x) = lnx2 – 1;
f (x) = e 0.2x sin(3x-0.5)
Kapalı Yöntemler
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Kapalı yöntemler, denklemlerin kökleri civarında işaret değiştirmeleri gerçeğinden
yola çıkılarak geliştirilmiştir.
 Kapalı yöntemlerde, kökün ilk tahmini için kökü kıskaca alacak şekilde, kökün iki
farklı yanından, iki adet değere ihtiyaç vardır. Esasen, bu yüzden kapalı
yöntemler olarak isimlendirilirler.
 Kapalı yöntemlerde, kökün ilk tahmini kullanılacak iki değer aralığının küçültülerek
daha doğru sonuca ulaşılmasına yönelik farklı stratejiler söz konusudur.
Kapalı Yöntemler: Grafik Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 f (x) = 0 denklemini köklerini tahmin etmek için kullanılan en basit yöntem,
fonksiyonu çizmek ve x eksenini nerede kestiğini gözlemlemektir.
 f (x) = 0 yapan x değerini gösteren bu nokta kökün kaba bir tahminidir.
Örnek 3.1
Kütlesi m = 68.1 kg olan bir paraşütçünün, t =10 s serbest düştükten sonra 40 m/s hıza
ulaşabilmesi için gerekli c direnç katsayısını belirlemek için grafik yöntemi kullanın.
Not: g = 9.82 m/s2
FU = -cv
FD= mg
Kapalı Yöntemler: Grafik Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
FU = -cv
FD= mg
c
f (c)
4
34.115
8
17.653
12
6.067
16
- 2.269
20
- 8.401
Şekil 3.1
Kapalı Yöntemler: Grafik Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Grafik yöntemi, kökün kaba tahminini vermenin yanında, fonksiyonun
özelliklerini anlamada ve sayısal yöntemin zayıf noktalarını tahmin
etmede önemli bir araçtır.
 Şekil 3.2’de, köklerin xa alt sınır ve xü üst sınır arasında olduğu (veya
olmadığı) farklı durumları göstermektedir.
Genel Olarak
f(xa) ve f (xü) işaretleri aynı ise xa – xü aralığında ya kök
yoktur yada çift sayıda kök vardır (Şekil 3.2a ve c)
f(xa) f (xü) > 0
f(xa) ve f (xü) işaretleri farklı ise xa – xü aralığında tek
sayıda kök vardır (Şekil 3.2b ve d)
f(xa) f (xü) < 0
 Ancak bazı durumlarda bu genelleme geçerli değildir (Şekil 3.3).
xa
xü
Şekil 3.2
Kapalı Yöntemler: Grafik Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Örneğin, x eksenine teğet olan fonksiyonlar (Şekil 3.3a) ile
süreksiz fonksiyonlar (Şekil 3.3b) bu genellemeye uymazlar.
 Böyle durumlarda, kökleri belirlemek için farklı stratejiler
gerekir.
x eksenine teğet fonksiyonlara bir örneği
x = 2 : Katlı Kök
Not: Katlı Köklerin bulunması için uygulana yöntemler ilerleyen
bölümlerde ayrıca ele alınacaktır
Şekil 3.3
Kapalı Yöntemler: İkiye Bölme (Orta Nokta) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Grafik yöntemde de ifade edildiği üzere, genel olarak eğer f(x), xa - xü aralığında reel ve
sürekliyse ve f(xa) f (xü) < 0 ise f(x) fonksiyonunun, xa - xü aralığında, en az 1 reel kökü
vardır.
 İkiye bölme yönteminde, bu gözleme dayanılarak, fonksiyonun işaret değiştirdiği bir
aralık aranır.
 Daha sonra, aralık ikiye bölünerek daha küçük aralıklarda kökün nerede işaret
değiştirdiği (dolayısıyla kökün yeri) hassas olarak belirlenir.
 Kök için, daha yakın tahminler elde etmek amacıyla bu süreç tekrarlanır.
f(x)
xa
xr
xü
Kapalı Yöntemler: İkiye Bölme (Orta Nokta) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Adım 1: Fonksiyon aralıkta işaret değiştirecek şekilde, kök için xa ve xü tahminleri yapılır.
Bu durum, f(xa) f (xü) < 0 şartının sağlanması ile kontrol edilir.
Adım 2: xr kökün bir tahmini belirlenir.
Adım 3: Kökün hangi alt aralıkta olduğunu belirlemek için aşağıdaki durumlar göz önüne
alınır:
(a) f ( xa ) f ( xr ) < 0 ise xu = xr alınarak Adım 2 tekrarlanır.
(b) f ( xa ) f ( xr ) > 0 ise xa = xr alınarak Adım 2 tekrarlanır.
(c) f ( xa ) f ( xr ) = 0 ise xr köktür.
f(x)
xa
xr
xü
Kapalı Yöntemler: İkiye Bölme (Orta Nokta) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.2
Örnek 3.1’de verilen problemi ikiye bölme yöntemi kullanarak çözünüz.
FU = -cv
FD= mg
xü = 16
xa = 12
Kapalı Yöntemler: İkiye Bölme (Orta Nokta) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
ÖDEV 1
Örnek 3.2’de ikiye bölme yöntemi kullanarak çözülen problem için MATLAB’da bir
algoritma yazınız.
FU = -cv
FD= mg
Kapalı Yöntemler: Yer Değiştirme (Doğrusal İnterpolasyon) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Yer değiştirme yöntemi grafik özelliklere dayanan alternatif bir yöntemdir.
 İkiye bölme yönteminin en önemli eksikliği xa ile xü arasında kalan aralığı ikiye bölerken
f (xa) ve f (xü) değerlerini dikkate almamasıdır. Örneğin, f (xa) sıfıra f (xü)’den daha yakın
ise kökün xa ya xü den daha yakın olması olasıdır.
 Yer değiştirme yönteminde bu durum dikkate alınarak, f (xa) ile f (xü)’ yü bir doğru ile
birleştirerek, bu doğrunun x eksenini kestiği nokta kök olarak tahmin edilmektedir.
 Üçgenlerde benzerlik ilkesi kullanılarak (Şekil 3.4)
doğrunu x eksenini kestiği nokta tahmin edilebilir:
f ( xü )
xa
xr
xü
f ( xa )
Şekil 3.4
Kapalı Yöntemler: Yer Değiştirme (Doğrusal İnterpolasyon) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Adım 1: Fonksiyon aralıkta işaret değiştirecek şekilde, kök için xa ve xü tahminleri yapılır.
Bu durum, f(xa) f (xü) < 0 şartının sağlanması ile kontrol edilir.
Adım 2: xr kökün bir tahmini belirlenir.
xa
Adım 3: Kökün hangi alt aralıkta olduğunu
belirlemek için aşağıdaki durumlar göz
önüne alınır:
f ( xü )
(a) f ( xa ) f ( xr ) < 0 ise xu = xr
alınarak Adım 2 tekrarlanır.
(b) f ( xa ) f ( xr ) > 0 ise xa = xr
alınarak Adım 2 tekrarlanır.
(c) f ( xa ) f ( xr ) = 0 ise xr köktür.
xr
xü
f ( xa )
Kapalı Yöntemler: Yer Değiştirme (Doğrusal İnterpolasyon) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.3
Örnek 3.1’de verilen problemi yer değiştirme yöntemi kullanarak çözünüz.
FU = -cv
FD= mg
xü = 16
xa = 12
Kapalı Yöntemler: Yer Değiştirme (Doğrusal İnterpolasyon) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.4
İkiye bölme ve yer değiştirme yöntemi kullanarak f (x) = x10 -1 denkleminin köklerini, x = 0 ve
x =1.3 aralığında belirleyin.
Kapalı Yöntemler: Yer Değiştirme (Doğrusal İnterpolasyon) Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
ÖDEV 2
Örnek 3.3’de yer değiştirme yöntemi kullanarak çözülen problem için MATLAB’da bir
algoritma yazınız.
FU = -cv
FD= mg
Açık Yöntemler
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Kapalı yöntemlerde, kökler bir alt ve bir üst sınırla belirlenen bir aralık içinde arandığı
içini bu yöntemlerin tekrarlanması ile her zaman kökün gerçek değerinin daha iyi bir
tahmini yapılabiliyordu. Bu yüzden bu yöntemlere yakınsak yöntemler adı da verilir.
 Açık yöntemlerde ise kökler kıskaca almadan yalnızca bir xi başlangıç değerine ihtiyaç
duyulan teknikler (yada formüller) kullanarak belirlenmeye çalışılır.
 Bu yüzden, açık yöntemler ile yapılan
tahminler hesaplama sırasında bazen
ıraksar ve gerçek değerden uzaklaşabilir.
 Ancak açık yöntemler yakınsadıkları
zaman genelde kapalı yöntemlerden
daha hızlı sonuç verirler.
Şekil 3.5
Açık Yöntemler: Sabit (Tek) Noktalı İterasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Az öncede vurgulandığı gibi, açık yöntemler, kökü tahmin ederken başlangıç değerine
bağlı bir formül kullanılır.
 Sabit nokta iterasyonu için x denklemin sol tarafında kalacak şekilde f (x) = 0 fonksiyonu
yeniden düzenlenir:
f (x) = 0
x = g (x)
 Bu dönüşüm ya cebirsel işlem ya da basitçe orijinal denklemin her iki tarafına
x eklenerek gerçekleştirilebilir.
x2 – 2x +3 = 0
x = ( x2 + 3 ) / 2
sin x = 0
x = sin x + x
 Bu ifadesi, x’in eski bir değerinin fonksiyonu olarak x’in yeni bir değerinin bulunmasını
sağlayan bir formüldür. Böylece xi’deki kök için ilk tahmin verildiğinde (yani başlangıç
değeri) bu eşitlik kullanılarak
xi+1 = g (xi)
şeklindeki iteratif formül ile yeni bir xi+1 değeri değeri tahmin edilebilir.
Açık Yöntemler: Sabit (Tek) Noktalı İterasyon
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.5
Sabit noktalı iterasyon yöntemi ile f (x) = e
değerini kullanarak belirleyiniz.
-x
– x fonksiyonunun köklerinin x0 = 0 başlangıç
Not: Yaklaşık hatayı aşağıdaki formül ile tahmin ederek ɛa < 1 olunca iterasyonu sonlandırın.
Gerçek çözüm : 0.56714329
f (x) = e
-x
–x
x = e -x
xi+1 = e -xi
xi
xi+1 = e -xi
ɛt
ɛa
(%)
(%)
Açık Yöntemler: Newton-Raphson Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Newton-Raphson yöntemi, denklem köklerinin belirlenmesinde en çok kullanılan
yöntemdir.
 Eğer kökün ilk tahmini xi ise, [xi , f (xi)] noktasındaki teğet uzatıldığında, teğetin x eksenini
kestiği nokta çoğunlukla kökün daha iyi bir tahminini verir (Şekil 3.6)
 Newton-Raphson yöntemi, Şekil 3.6’daki geometrik gösterime dayanılarak çıkarılabilir.
Şekil 3.6’da görüldüğü gibi, [xi , f (xi)] noktasındaki birinci türev (ya da teğetin eğimi):
Eğim
Şekil 3.6
Açık Yöntemler: Newton-Raphson Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.6
Newton-Raphson yöntemi ile f (x) = e -x – x fonksiyonunun köklerinin x0 = 0 başlangıç değerini
kullanarak belirleyiniz.
Not: Yaklaşık hatayı aşağıdaki formül ile tahmin ederek ɛa < 1 olunca iterasyonu sonlandırın.
f (x) = e
-x
–x
f ' (x) = -e -x – 1
i
0
1
2
xi
0
0.500000000
0.566311003
xi+1
ɛa
(%)
0.500000000 100
0.566311003 11.7
0.146
0.567143165
Gerçek çözüm : 0.56714329
Açık Yöntemler: Newton-Raphson Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.7
Newton-Raphson yöntemi ile f (x) = x2 – 2x -3 fonksiyonunun köklerinin x0 = 0 başlangıç
değerini kullanarak belirleyiniz.
Not: Yaklaşık hatayı aşağıdaki formül ile tahmin ederek ɛa < 1 olunca iterasyonu sonlandırın.
f (x) =
x2
– 2x -3
f ' (x) = 2x-2
i
0
1
2
3
xi
0
-1.500000000
-1.050000000
- 1.000609756
xi+1
-1.500000000
-1.050000000
-1.000609756
-1.000000093
Gerçek çözüm : x1= -1 ve x2 = 3
ɛa
(%)
100
43
4.94
0.061
Açık Yöntemler: Sekant Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Newton-Raphson yöntemi için gerekli olan türev alma işlemi bazı polinom ve fonksiyonlar
için oldukça zordur.
Newton-Raphson yöntemi
 Sekant yönteminde, türev yerine sonlu farklar
yaklaşımı yöntemi kullanılır:
Sekant yöntemi
 xi ve xi-1 başlangıç değerleri verilmelidir.
Şekil 3.7
 Başlangıç değerleri kökün farklı taraflarında
olmak zorunda değildir.
Sonlu Farklar Yaklaşımları
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
İleri Farklar
Yaklaşımı
Geri Farklar
Yaklaşımı
Merkezi Farklar
Yaklaşımı
Açık Yöntemler: Sekant Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.8
Sekant yöntemi ile f (x) = e -x – x fonksiyonunun köklerinin x-1 = 0 ve x0 = 1 başlangıç
değerlerini kullanarak belirleyiniz.
Not: Yaklaşık hatayı aşağıdaki formül ile tahmin ederek ɛa < 1 olunca iterasyonu sonlandırın.
Gerçek çözüm : 0.56714329
f (x) = e -x – x
xi+1
ɛa
i
xi-1
xi
0
0
1
0.61270
-
1
1
0.61270
0.56384
8.66
2
0.61270
0.56384
0.56717
0.58
(%)
Açık Yöntemler: Sekant Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.9 (Ödev)
Sekant yöntemi ile f (x) = x2 – 2x -3 fonksiyonunun köklerinin x-1 = 0 ve x0 = -3 başlangıç
değerlerini kullanarak belirleyiniz. Bu işlemi yapam bir Matlab programı yazınız.
Not: Yaklaşık hatayı aşağıdaki formül ile tahmin ederek ɛa < 1 olunca iterasyonu sonlandırın.
i
xi-1
xi
xi+1
0
f (x) = x2 – 2x -3
1
2
Gerçek çözüm : x1= -1 ve x2 = 3
ɛa
(%)
Açık Yöntemler: Katlı Kökler
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
(a)
 Katlı kök, fonksiyonun x eksenine teğet
olduğu noktaya karşılık gelir.
 Genel olarak, tek sayılı katlı kökler ekseni keser
(Şekil 3.8b); çift sayılı katlı kökler ise ekseni
kesmez yalnızca teğet olur (Şekil 3.8a ve c).
(b)
 (Çift sayılı) Katlı köklerde, fonksiyonun işaret
değiştirmesi kapalı yöntemler kullanımını
etkisiz kılar (Şekil 3.8a ve c).
(c)
Şekil 3.8
 Katlı köklerin neden olabileceği olası bir diğer problem ise,
sadece f (x)’in değil, aynı zamanda f ' (x)’in de sıfır olmasıdır.
Bu durum, paydada türev kullanan Newton Raphson ve Sekant
yöntemlerinde sorum yaratır.
Açık Yöntemler: Katlı Kökler: Düzeltilmiş Newton Raphson Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Newton-Raphson yöntemi
u (x) fonksiyonu ile f (x) fonksiyonunu kökleri aynıdır. Bu durumda f (x) yerine u (x) fonksiyonunun
kökleri araştırılır. Newton Raphson yöntemi uygulanırsa:
Bu denklemde u' (x) yerine u (x) = f (x) / f ' (x) ifadesinin x’e göre türevi alınıp standart Newton-Raphson
eşitliğinde yerine yazılırsa:
Düzeltilmiş Newton-Raphson yöntemi
Açık Yöntemler: Katlı Kökler: Düzeltilmiş Newton Raphson Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 3.10
Düzeltilmiş Newton-Raphson yöntemi ile f (x) = (x-3)(x-1)(x-1) fonksiyonunun katlı köklerini
x0 = 0 başlangıç değerlerini kullanarak belirleyiniz.
Not: Yaklaşık hatayı aşağıdaki formül ile tahmin ederek ɛa < 1 olunca iterasyonu sonlandırın.
f (x) = x3 - 5x2+7x - 3
f ' (x) = 3x2-10x + 7
f '' (x) = 6x-10
i
xi
0
1
2
0
1.105263
1.003082
xi+1
1.105263
1.003082
1.000002
ɛa
(%)
100
10.186
0.031
MATLAB ile Denklem Kökü Belirleme
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

Download Report