1
GIRIS
1879’ da Edwin H. Hall, akim tasiyan bir iletken, manyetik alan içine
yerlestirildiginde, hem akima hem de manyetik alana dik yönde bir elektrik gerilim
farki ürettigini kesfetti. Hall olayi olarak bilinen bu gözlemde olusan bu gerilime Hall
voltaji (∆ V H
) olarak tanimlanir.
Hall olayi, yüz yili askin bir süre önce kesfedilmis olmasina ragmen,
metallerin ve yari iletkenlerin elektronik özelliklerini anlamada bize yardimci olan çok
önemli tekniklerden biri olmaya devam etmektedir. 1980 yilinda Klaus Von Klitzing,
bir yari iletkendeki iki boyutlu elektron gaz sisteminin 1-10 K arasi sicakliklarda ve
çok yüksek manyetik alanlarda σ H =
e2
ν ile verilen bir iletkenlik gösterdigini buldu.
h
Burada ν =1, 2,3,... tam sayi, e elektron yükü ve h planck sabiti. Bu iki boyutlu
iletkenligin kuantize oldugunun bir kanitiydi. Bu önemli kesfinden ötürü Klaus Von
Klitzing 1985 yilinda fizik dalinda Nobel ödülü aldi. Daha sonra 1 K ‘dan daha düsük
sicakliklarda kesirli sayilar kuantum Hall olayi gözlendi. Yeni elektronik devre
elemanlarinin tasarimina öncülük eden bu alanda deneysel ve teorik çalismalar
devam etmektedir.
Bu çalismada iki boyutlu elektron sistemine (2DES) düsük sicakliklarda, dik
ve kuvvetli bir manyetik alan etkisi altinda olusan Kuantum Hall Olayi (QHE) ve bu
etkiler esnasinda malzeme üzerinde olusan sikistirilamaz bölgelerdeki (IS) elektron
hizi incelenmistir. Sikistirilamaz bölgelerdeki elektronun hizina, manyetik alan,
sicaklik, malzeme boyutlari, kenar profili, örnek özellikleri ve potansiyeldeki
düzensizliklerin elektron hizindaki etkileri arastirildi. Sistemde birden fazla elektron
bulundugundan elektronlar arasi etkilesmeleri Hartree tipi yaklasimla (HA) belirleyip,
elektron dagilimini Thomas-Fermi-Poisson yaklasimiyla (TFPA) iç uyumlu (selfconsistent) çözümle yöntemiyle belirlendi.
2
1. HALL OLAYI
Edwin H. Hall tarafindan 1879’da ,
yariiletken malzemelerin yük
yogunlugunu, elektriksel özdirenci ve tasiyicilarin mobilitelerini dogru bir sekilde
belirleme gereksinimine cevap vermek için bu deneyi yapti. Edwin H. Hall tarafindan
yapildigi içinde Hall olayi olarak isimlendirildi.
r
E
Sekil (1.1) : Hall olayi deney düzenegi.
Hall olayi sekil (1.1)’ de de görüldügü üzere kolay bir düzenege sahiptir.
Ince bir plakaya iki ucundan bir gerilim uygulanir ve böylece plaka uçlari arasina
r
r
elektrik alan uygulanmis olur. Plaka içindeki elektronlar Fe = −e E E = V
d
(
(
))
kuvveti ile elektrik alana ters yönde harekete baslarlar. Daha sonra plakaya dik
r
olacak sekilde sabit bir B manyetik alan uygulanir ve böylece elektronlar üzerine
r
r r r
etkiyen toplam kuvvet FL = − e( E + ϑ × B) Lorentz kuvveti olur. Manyetik kuvvetin
etkisiyle elektronlar plakanin ön yüzeyine dogru hareket eder, ön ve arka yüzeyler
arasinda bir gerilim farki olusur. Olusan bu gerilime Hall voltaji
Ohm yasasina göre,
(∆VH ) adi verilir ve
3
VH = ρ H I
(1.1)
dir. ne ’ yi elektron sayi yogunlugu olarak tanimlarsak Hall katsayisi,
RH =
1
ne e
(1.2)
olmak üzere,
ρ H = RH B
(1.3)
Hall direncini elde edilir. Bu verilerden faydalanarak öz iletkenlik,
σH =
1
1
RH B ρ H
=
(1.4)
olur. ϑ elektron hizi olmak üzere elektron mobilitesi,
µ=
ϑ
=σ H R H
E
baslica nitelendirici fiziksel parametreler olarak tanimlanir.
(1.5)
4
2. KUANTUM HALL OLAYI
Sekil (2.1) : Kuantum Hall olayinin deney düzenegi.
1980 yilinda Klaus Von Klitzing, Hall olayinin yük tasiyicilarini kuantum
özelliklerini sergileyecegi bir deney düzenegi tasarladi [1]. 1985 yilinda Nobel
ödülünü kazanan çalismada iki boyutlu bir sistem (2DES) olarak görülebilecek çok
ince bir plakada fonon etkilerinin kayboldugu düsük sicakliklarda ve yüksek manyetik
alan siddeti altinda ρ H Hall direncinin kesikli degerlere sahip oldugu gösterildi.
5
Sekil (2.2) : V H Hall voltaji ve V pp akim yönündeki voltaj olmak üzere
sayfa düzleminin içine dogru B = 18T degerinde sabit bir manyetik alan uygulaniyor.
T =1.5K sicakliginda malzeme üzerinden I 0 =1µA lik sabit bir akim geçisi zorlaniyor.
V g geçis voltajina bagli V pp ve V H voltajlarinin grafigi.
Elde edilen bu grafige göre, V g geçis voltajinin bazi degerlerinde öz
iletkenlik sonsuzmus gibi (Hall direnci yok), akim yönündeki potansiyel (V pp ) düsüsü
sifir olur. Ayni noktalarda Hall voltajinin ( V H ) grafiginde düzlükler olusur ve bu
düzlükler ρ H =V H
I
Hall direncinin ohm degerine karsilik gelir.
6
2.1 HALL OLAYININ KUANTUM FIZIGI ILE INCELENMESI
Klasik olarak iyi tanimlanmis her fiziksel gözlenebilire (konum, momentum,
enerji), kuantum fiziginde bir çizgisel Hermite islemcisi karsilik gelir [2].
fizikteki enerji öz degerine kuantum fiziginde,
r2
1 r
H = * P + eA
2m
(
Klasik
)
(2.1.1)
Hamilton islemcisi karsilik gelir ve enerji öz degerini,
r
r
Hˆ Ψ (r ) = E Ψ (r )
(2.1.2)
r
Schrödinger denkleminden yararlanilarak elde edilir. A vektör potansiyeli olmak
üzere,
r r r
B =∇× A
(2.1.3)
manyetik alani belirlenir. Manyetik alan sisteme dik oldugu için B0 sabit ve manyetik
alanin büyüklügü olmak üzere,
r
r
B= B0 k
(2.1.4)
yönünde uygulanirsa, vektör potansiyelini denklem (2.1.3) sartini saglayan,
r
A= B0 (− y , 0 , 0 )
(2.1.5)
Landau ayari olarak seçilir. Elektron hareketi iki boyutta ve yalnizca y yönünde sinirli
oldugundan dalga fonksiyonunu ;
Ψ ( x, y)= e ik x x Φ( y)
(2.1.6)
seklinde yazabiliriz. Böylece Schrödinger denklemi
r r
r
r
r
r
r r r r
P + e A . P + e A e ik x x Φ( y ) = P 2 + eP.A+ eA.P + e 2 A 2 e ik x x Φ( y )
(
)(
)[
[
]
][
r r
∂ r ∂
⇒ P. A e ik x x Φ( y ) =(− ih ) i +
∂y
 ∂x
][
[
]
]
r
r
j (− yB 0 i ) e ik x x Φ ( y )

[
(2.1.7)
(2.1.8)
]
=(− ih )(− yB0 )(ik x ) e ik x x Φ( y )
[
]
=− h y B0 k x e ikx x Φ( y )
[
]
[
]
r r
r
 ∂ r ∂ r  ik x x
⇒ A.P e ik x x Φ ( y ) = (− yB0 i ).(− ih ) i +
j  e Φ( y )
∂y 
 ∂x
[
]
=(− yB0 )(− ih )(ik x ) e ik x x Φ( y )
[
]
=− hyB0 k x e ikx x Φ( y )
(2.1.9)
7
olarak elde edilir. Bu sonuca göre,
r r
r r
P. A e ik x x Φ( y ) = A.P e ik x x Φ( y )
[
]
[
]
(2.1.10)
olur. Bu esitlige göre Schrödinger denklemi denklem (2.1.10)’ u kullanarak yazilirsa,
(Pr
2
)[
] (
)[
]
r r
r
+ 2 eA.P + e 2 A 2 e ik x x Φ ( y ) = = Px2 + Py2 − 2eB0 k x y + e 2 B0 y 2 e ik x x Φ ( y ) (2.1.1)
[
⇒ P e
2
x
ik x x
]
[
]
∂ 2 ik x x
Φ( y ) = − h
e Φ( y )
∂x 2
2
[
(2.1.12)
]
= − h 2 (ik x )(ik x ) e ik x x Φ( y )
[
]
=h 2 k x2 e ik x x Φ( y )
bulunur. Bu sonuca göre Schrödinger denklemi,
H Ψ ( x, y ) =
(
)
1
Py2 +h 2 k x2 − 2eB0 hk x y + e 2 B0 y 2 Ψ ( x, y )
*
2m
(2.1.13)
,
(2.1.14)
olur.
l2 =
h
eB 0
y0 =
h
kx
eB0
Magnetik uzunluk
bu durumda k x =
eB0
y0
h
ve k x2 =
e 2 B02 2
y 0 olur.
h2
(2.1.15)
Yukarida tanimlanan parametreler Schrödinger denkleminde kullanilirsa,
2 2

 eB 0

1  2
2 e B0
2
2
2
P
+
y
−
eB

y

y
+
e
B
y
h
2
h

 Φ ( y )= E Φ( y )
y
0
0
0
0
2m * 
h2
 h


 h 2 ∂ 2 1 * e 2 B02
2
+
m
(
y
−
y
)
−
 Φ (y) = E Φ (y)
0
*
2
2
m*
 2m ∂y 2

olarak bulunur. Burada,
ωc =
e B0
m*
(2.1.16)
siklotron frekansi olmak üzere
 h2 ∂2
−
*
2
 2m ∂y
1
2
+ m *ω c2 ( y − y 0 )  Φ ( y ) = E Φ ( y )
2

sonucunu elde edilir. Bu denklem harmonik salinici çözümüne benzer [2].
(2.1.17)
8
Φ ( y) =
1
π
1
4
 1  y − y0  2 
exp− 
 
2
l

 

l

(2.1.18)
Dalga fonksiyonu olmak üzere,
1

E n =h ω c  n + 
2

,
( n=0,1,2,....... )
(2.1.19)
Landau enerji seviyeleri elde edilir. Artik elektronlar n ’ sayisina göre kuantalanmis
enerji seviyelerinde bulunmaktadir.
B=0
B=0
B=0
B=0
Sekil (2.1.1) : Manyetik alanin etkisiyle olusan Landau enerji seviyeleri.
9
2.2 IKI BOYUTTA DURUM YOGUNLUGU
Birim enerji araligindaki elektron sayisi olarak tanimlanan durum
yogunlugu N e toplam elektron sayisi olmak üzere D( E )=
dN e
ile verilir[3]. Ilk önce
dE
birim alandaki elektron sayisina bulunur. Bunun için ters örgü kavramindan
yararlanilir. Ters örgü kavrami periyodik yapilarin analitik olarak incelenmesinde
önemli bir rol oynar. Ters örgü denilme nedeni bu örgüye ait temel örgü vektörlerinin
biriminin gerçek uzaydaki vektörlerin biriminin tersi olmasidir (1/uzunluk). Dalga
r 2π
vektörü k =
ile temsil edilir.
L
2π / Lx
ky
2π / Ly
kx
Sekil (2.2.1): Iki boyutlu ters örgü uzayinda elektron dizilimi.
(2π )2
Lx Ly
π k F2
alanda
1 elektron
alanda
N e elektron
-----------------------------------------------------------------Burada anlatilmak istenen k F ters örgü uzayinda Fermi yüzeyinin yari çapi
olmak üzere,
(2π )2
Lx Ly
alanda bir elektron varsa, π k F2 alanda N e tane elektron olmali.
Bu islemi yapacak olursak,
10
π k F2
Ne =
(2π )2
× gs
Lx Ly
olur ve her enerji seviyesinde spin dejenerelikten dolayi ayni seviyede iki elektron
bulunacagindan g s = 2 ile çarpilmasi gerekir. Iki boyutta elektron sayi yogunlugu
belirlenecek olursa,
n
2D
e
N e k F2
=
=
L x L y 2π
k F = ne2 D 2π
veya
(2.2.1)
olur ve buradan,
EF =
Fermi
h2 2
kF
2m *
enerjisi
(2.2.2)
bulunur.
Elektron
sayi
yogunlugu
Fermi
enerjisi
cinsinden
tanimlanirsa,
h 2 2D
E F = * ne 2π
2m
veya
n
2D
e
m*
= 2 EF
h π
(2.2.3)
olarak bulunur. Elektronlar sürekli enerji seviyelerinde degil de n’ e göre kuantalanan
dn 

enerji seviyelerinde bulunacagindan ne2 D ’i, durum yogunlugunda  D ( E )= e  yerine
dE 

yazilip ve n ’e göre degisimini alinirsa,
dne d  m *

=  2 E n 
dn dn  h π

D( E ) =
=
d  m*
1 

 2 hω c  n +  
dn  h π
2 

=
m * eB0
h
h 2π m *
D( E ) =
gs
2π l 2
∞
∑ δ (E − E )
n
n =0
∞
∑ δ (E − E )
n
(2.2.4)
n =0
denklemi elde edilir. Bu denklem birden fazla enerji seviyesi oldugunu ve
elektronlarin bu enerji seviyeleri etrafinda dagilmasi gerektigini anlatir.
11
D(E)
Ω c =hω c
1
hω c
2
3
hω c
2
E
5
hω c
2
Sekil (2.2.2) : Ω c siklotron enerjisi olmak üzere, manyetik alanin etkisiyle
kuantalanan enerji seviyeleri etrafinda elektronlarin dagilimi.
Durum yogunlugunu bilindigine göre elektron sayi yogunlugunu da
belirlenebilir.
ne (µ )= ∫ dE f (E )D (E )
= ∫ dE f (E )
=
gs
2π l 2
ne ( µ ,T ) =
gs
2πl 2
(2.2.5)
∞
∑ δ (E − E )
n
n =0
∞
∫ ∑ f (E )δ (E − E )dE
gs
2π l 2
n
n =0
∞
∑ f (E )
Burada Fermi-Dirac dagilimi f ( E ) =
Ek bilgi: Dirac-Delta fonksiyonu
tanimlanir.
(2.2.6)
n
n =0
1
 +1
exp ( E − µ )

k
T
B


olarak tanimlanir.
∫ f (x )δ (x − x )dx= f (x )
x2
x1
0
0
,
x1 ≤ x0 ≤ x 2 olarak
12
Elektron sayi yogunlugu sicakligin bir fonksiyonu olarak elde edildigine
göre artik durum yogunlugu da sicakligin bir fonksiyonu olarak tanimlanabilir.
D 2 D (µ ,T ) =
dne
dµ
(2.2.7)
Durum yogunlugunu bu sekilde tanimlanip denklem (2.2.6)’ da bulunan elektron sayi
yogunlugu denklemde yerine yazilirsa.
=

d  gs
f ( E n )

2 ∑
dµ  2π l n

=
gs
d
( f (En ))
2∑
2π l n dµ
=

d 
1


∑

2π l 2 n dµ  (E n − µ )k BT
e
+ 1
gs
 ( E n − µ )k B T
g

1
= s2
e
+ 1
∑

2π l k B T 

( E n −µ )
e
D
2D
k BT
+ 1=
1
x
 (E n − µ )k B T 
e



olsun. Yani x= f ( E n ) ve e
g
(µ ,T )= s 2 1 ∑  1 
2π l k B T n  x 
=
−2
−2
(En −µ )
k BT
1
= −1 olur.
x
1 
 x −1
gs 1
∑ x(1 − x )
2π l 2 k B T n
D 2 D (µ ,T ) =
gs 1
∑ f n (1 − f n )
2π l 2 k B T n
,
f n = f (E n )
Sicakliga bagli olarak durum yogunlugunu elde edilir.
(2.2.8)
13
6
kBT / Ωc =0.2
5
kBT / Ωc =0.05
kBT / Ωc =0.005
DT(µ;T) / D0
4
m*
D0 =
πh
3
2
1
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
µ /Ω c
Sekil (2.2.3) : Sabit manyetik alan altinda
sicakliga göre degisim grafigi.
( B ≠0 ) ,
durum yogunlugunun
14
2.3 DOLDURMA (FILLING) FAKTÖRÜ
Ly
Lx
Sekil (2.3.1) : Kuantum Hall deneyinde iki boyutlu elektron gazin (2DES)
boyutlandirilmasi.
Hamiltonyen,
Py2
1
2
H = * (Px − e B 0 y ) +
2m
2m *
(2.3.1)
olarak denklem (2.1.17)’ de bulunmustu. Denklem (2.1.15)’ e göre elektronlar, y
ekseni boyunca k x ’in degerine göre yerlesirler [1].
V(y)
∆y0
(1)
y0
(2)
y0
(3)
y0
(4)
y0
y
Sekil (2.3.2) : Elektronlarin y ekseni boyunca dizilimi ve olusturduklari
potansiyeller.
y0 =
h
k x olarak denklem (2.1.15)’ de tanimlamistik. Bu tanimi,
eB0
y0 =
Px
eB0
(2.3.2)
15
seklinde momentuma bagli olarak tanimlandirilir ve buradan elektronlarin momentum
uzayindaki yerlesimine bakilirsa,
∆Px
(1)
(2)
Px
(3)
Px
Px
(4)
Px
Px
Sekil (2.3.3) : Momentum uzayindaki elektronlarin dizilimi.
∆ Px yani ∆ y0 aralikla sisteme ne kadar elektron koyulacagini belirlemek için her
enerji seviyesine kaç tane elektron yerlestirilebilecegi incelenmelidir.
NΦ
3
hω c
2
NΦ
5
hω c
2
NΦ
1
hω c
2
Landau seviyeleri
N Φ : B manyetik alaninda her enerji seviyesine alabilecegi toplam elektron
sayisi olsun. Bu bize, L y genisligindeki sisteme ∆ y o araliklarla ne kadar elektron
koyabilecegimizi anlatir[5]. Dolayisiyla,
NΦ =
NΦ =
Ly
(2.3.3)
∆ y0
Ly
h ∆k x
e B0
=
e B0 L y
h
2π
Lx
=
B0 L y L x
h
e
16
Φ = B0 L y L x
(2.3.4)
Manyetik aki ve
Φ0 =
h
e
(2.3.5)
kuantum manyetik aki olmak üzere her enerji seviyesinin alabilecegi elektron sayisi
NΦ =
Φ
Φ0
(2.3.6)
(ν ) ,
olur. Doldurma faktörü
toplam elektron sayisinin, her enerji seviyesinin
alabilecegi elektron sayisina oranidir (ν =1, 2,3,...) .
ν=
Ne
NΦ
(2.3.7)
Manyetik alan arttiginda N Φ artacagindan tüm elektronlar taban durumundaki enerji
seviyesine yerlesmeye baslayacaklardir. ν =1 oldugu durumda tüm elektronlar taban
durumuna yerlestigi anlamina gelmektedir. Spini de hesaba katilacak olursa
ν =1+1= 2 olacaktir. En genel haliyle doldurma faktörü ν =2, 4, 6,... degerlerini alir.
ne =
gs
h
f denklem (2.2.6)’da bulunmustu. l 2 =
2∑ n
e B0
2π l n
magnetik uzunluk
bu denklemde yerine yazilirsa,
ne =
eB0
gs ∑ fn
2π h
n
(2.3.8)
olur ve denklemin her iki tarafini L x L y ile çarpilirsa,
e
ne L x L y =  (B0 L x L y ) g s ∑ f n
h
n
(2.3.9)
yukarda buldugumu parantez içindeki ifadeleri yerlerine yazip biraz islem yaptiktan
sonra,
ν =gs ∑ fn
,
ν =2, 4, 6,...
n
seklinde en genel halde doldurma faktörü bulunur.
(2.3.10)
17
4,0
kBT / Ωc =0.2
3,5
kBT / Ωc =0.05
kBT / Ωc =0.005
3,0
ν (µ;T)
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1,5
2,0
µ /Ω c
6
kBT / Ωc =0.2
5
kBT / Ωc =0.05
kBT / Ωc =0.005
D T(µ;T) / D0
4
3
2
1
0
0,0
0,5
1,0
µ /Ωc
Sekil (2.3.4) : Manyetik alan sabit tutularak
faktörü ve durum yogunlugunun degisim grafigi.
( B ≠0 ) ,
sicaklikla doldurma
18
2.4 HALL DIRENCI
Her enerji seviyesinin alabilecegi toplam elektron sayisini denklem (2.3.6)’
da N Φ = Φ Φ 0 olarak tanimlandi. Elektron sayi yogunlugunu,
ne =
Ne
N ν
e
= Φ = B0 ν
Lx L y Lx Ly
h
(2.4.1)
ve Hall direncini ( ρ H = B0 n e e ), ohm yasasinda ( ∆V H = ρ H I ) yerine yazip asagidaki
islemler yapilacak olursa,
∆V H = ρ H I =
∆V H =
B0
I
 e 
 B 0 ν e
 h 
 h
∆V H = 2
e ν
ρH =
B0
I
ne e

I


h
e 2ν
(2.4.2)
Hall direnci ve
1 e2
σH =
= ν
ρH h
(ν = 2 , 4 , 6 , . . . )
öz iletkenlik doldurma faktörüne bagli olarak elde edilmis olur.
(2.4.3)
19
600
B1 =
hπ
ne
e
0,4
ne =3.58 ×1011 cm −2
400
ρ(Ω)
0,3
Klasik Hall Direnci
ρH
25813Ω
300
0,2
ρ H ( h/e2 )
k BT
=0.02
0
EF
500
0,5
200
0,1
100
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,0
1,0
B / B1
Sekil (2.4.1) : Hall direncinin
manyetik alanla degisimi.
(ρ H )
ve akim yönündeki direncin
(ρ )
20
20
DT : Durum Yogunlugu
18
ν
( 2 DT ) / D0 ,
νT
16
14
T
: Doldurma Faktörü
12
10
8
k BT
=0.02
0
EF
6
4
2
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
B / B1
Sekil (2.4.2) : Doldurma faktörü ve durum yogunlugunun manyetik alanla
degisimi.
21
3. ELEKTROSTATIK IÇ UYUM
Iki boyutta (z=0 düzleminde), y dogrultusunda
ve
–d<x<d araliginda
düzgün dagilmis ne(x) elektron denizini ele alalim. Düzgün dagilmis donorlarin
olusturdugu potansiyel Vbg(x) olsun. Elektronlar arasi tekrarli Coulomb etkilesmeleri,
Hartree yaklasimi ile belirlenir. Bu potansiyel VH(x) ile gösterelim.
V H ( x )=
d
2e 2
dx ′ K ( x , x ′ )ne ( x ′)
κ −∫d
(3.1)
ile gösterilir. VH(x), elektron yogunlugu tarafindan Poisson esitligi ile bulunur. Degistokus ve korelasyon etkileri ihmal edilip ve spin dejenerasyonu hesaba katilmamistir.
Böylece elektronlara etkiyen toplam potansiyel,
V ( x )=Vbg ( x) +V H ( x )
(3.2)
olur. κ , malzemenin ortalama sabit dielektrik sabiti ve e elektron yükü olmak üzere,
K ( x, x ′) sinir kosullari altinda çözülen,
K ( x, x ′ )=ln
(d
2
)(
)
− x 2 d 2 − x ′ 2 + d 2 − x ′x
(x− x′)d
(3.3)
kernel (çekirdek) fonksiyonudur [5,6,7]. Düzgün dagilmis donorlarin olusturdugu
potansiyel asagidaki gibidir.
Vbg ( x )= − E0 1−( x d )
2
,
E0 = 2π e 2 n0 d κ
(3.4)
en 0 , Hall çubugunda pozitif yüklerin ( donorlarin ) homojen yogunlugudur. Iç uyumlu
çözüm ise Thomas Fermi Poisson yaklasimina (TFPA) ve Thomas Fermi
Yaklasimina (TFA) dayanir.
22
3.1 THOMAS-FERMI YAKLASIMI
(
)
V ( x ) , manyetik uzunluk biriminde l = h m wc yavas degisiyorsa, Landau
seviyeleri pertürbe olmus gibi davranir[5,6,7]. Bu durumda;
En ( X )= E n +V ( X )
,
(
E n =h wc n+ 1
2
)
(3.1.1)
seklinde elde edildikten sonra Durum yogunlugu ( DOS ) belirlenir ve
buradan
elektron dagilimini elde edilir.
1 ∞
∑ δ (E − En )
π l 2 n =0
(3.1.2)
ne ( x )= ∫ dE D ( E ) f ( E +V ( x )− µ )
(3.1.3)
D( E )=
Burada
f ( E ′) =1 (exp(E ′ k B T ) + 1) Fermi fonksiyonu, µ
kimyasal potansiyel, k B
Boltzman sabiti ve T sicakliktir.
Sistem iki boyutlu ( 2D ) ve pozitif yüklerin ( donorlarin ) sayi yogunlugu n0 ’
dir. Bu yüklerin olusturdugu potansiyel Vbg (x ) ( Background potansiyel )’ dir.
Perdeleme parametresi α sc =π a 0 d , perdeleme uzunlugu a0 =κ h 2
(2me )
2
olup,
elektronlarin bulundugu bölgeyi 2b genisliginde seçip, T=0 ve B=0 daki durumu
inceleyecegiz. Bu durum için sisteme etkiyen toplam potansiyel enerji;
V ( x )=Vbg ( x ) −
1
α sc
dx ′
K ( x, x ′ )[µ 0 −V ( x ′ )]
d
−d
d
∫
(3.1.4)
23
seklinde
olur.
Elektron
dagilimi
n e (x ; B = 0 ,T = 0 )= D 0 [µ 0 − V ( x ′ )]
olur.
da
(
D0 = m * π h 2
Ortalama
)
olmak
elektron
sayi
üzere
yogunlugu
ne = ∫ dxne ( x; B =0,T =0) 2d ’ dir ve sistemin Fermi enerjisi de EF0 = ne D0 olur.
Iki boyutlu elektron gazini tek boyuta indirgeyerek –b ile +b arasinda
simetrik olarak elektronlarin dagildigini kabul edilir. Vbg ( x ) potansiyeli ilk degermis
gibi hesapta kullanilir. (3.1), (3.1.2) ve (3.1.3) denklemlerinden manyetik alanda
yüksek sicaklikta elektron yogunlugunu hesaplanabilir. Daha sonra sicakligi adim
adim düsürerek Newton-Rapson yöntemi yaklasimi ile çözülür.
3.2 THOMAS-FERMI-POISSON YAKLASIMI
Iki boyutlu elektron gazi, z=0 düzleminde ve x<-d ile x>d’ de bulunan
düzlemsel kapilarla kenarlardan sinirlandirilir. Bu kapilar sirasi ile VL ve VR
potansiyelleri ile beslenir. d − b genisligine sahip bosaltilis bölgeler her iki tarafta da
simetrik oldugundan sadece V(±)=V L=VR=0 ile V(x)=V(-x) simetrik potansiyel özelligi
gösterir. Bu da elektron yogunlugunu simetrik birakir ve ne ( x )=ne (− x ) seklinde olur.
Pozitif yüklerin (donorlarin) yogunlugu n0 olmak üzere, homojen yüzey yük
yogunlugunu ρ ( x )= e[n0 −ne ( x )] olarak tanimlanirsa sistemdeki potansiyel;
2e d
V ( x )= −
dx ′ K ( x , x ′ )ρ ( x ′ ) , K ( x , x ′ )=ln
κ −∫d
(d
2
)(
)
− x 2 d 2 − x ′ 2 + d 2 − x ′x
(3.2.1)
(x− x ′)d
seklinde olur [6,7]. Bu durumda Poisson esitligi bir elektronun potansiyel enerjisi için
sonuç verir.
24
3.3 IÇ UYUMLU (SELF-CONSISTENT) ÇÖZÜM
Iç uyumlu (self-consistent) çözüm
• Donorlar
• Elektronlar
• Kapilar
V(x)
Poisson denk.
ε n ( X 0 ) ≈ ε n + V( X 0 )
| Ψα ( x ) |2 ≈ δ ( x − X 0 )
Electron yog.
nel ( x )=∫ dE D(E ) f (E +V ( x )− µ )
Sekil(3.3.1): Thomas-Fermi-Poisson
yaklasimi ile iç uyumlu (self-
consistent) çözümün sematik anlatimi.
Kenarlardaki kapilari (gates) tanimlayip sisteme donorlari yerlestirdikten
sonra kuantum kuyularindan da bildigimiz tuzaklama yöntemi ile elektronlari kuantum
kuyusu içerisine hapsettikten sonra (Sekil (3.3.2))
donorlarin olusturdugu ilk
potansiyel Vbg ( x ) ’in etkisi ile elektronlarin malzeme üzerindeki dagilimlari belirlenir.
Daha sonra bu dagilimi Poisson denklemi ile çözüp sistemin olusturdugu potansiyeli
hesapladiktan sora tekrar elektron dagilimini hesaplanir ve bu olay sistem dengeye
yani elektron dagilimi dengeye gelene kadar bir çember seklinde devam ettirilir[6,7].
25
Sekil(3.3.2): (a) Üst üste preslenmis farkli yari iletkenlerle, (b) kuantum
kuyusu içerisinde olusturulan elektron denizi ve (c) bu elektronlarin kuantum kuyusu
içerisinde Fermi enerjisi altinda bulunmalari.
26
4. SIKISTIRILAMAZ BÖLGELER
B=0
Sekil(4.1): (a,d) Iki boyutlu elektron gazi. (b,e) bu gaza dik ve düzgün
uygulanan manyetik alanin etkisiyle olusan Landau seviyeleri. (c,f) elektron
dagiliminin gösterimi.
27
Sekil (4.1)’ i incelenirse, (a) da malzeme üzerine uygulanan dik ve düzgün
bir manyetik alan uygulaniyor. Bu durumda (b)’ de manyetik alanin etkisiyle Landau
enerji seviyeleri olusur. Fermi enerji seviyesine kadar malzemeye sol taraftan
bakilirsa birinci Landau enerji sevisine (LL1) kadar olan bölgede hiç elektron
olmayacak, LL1’ e gelindiginde elektronlar ilk enerji seviyesine yerlesecek ve (c)’ de
LL2’ ye gelene kadar sabit kalacak . Ilerlemeye devam ettigimizde ise elektronlar
malzeme üzerinde bu özellige göre yerlesecekleri görülür. Fakat D.B. Chklovskii, B.I.
Shklovskii ve L.I.
Glazman makalelerinde sistemin bu sekilde olmadigini
göstermislerdir [8]. Düsük sicaklikta manyetik alanin etkisiyle malzeme uzerinde
sikistirilamaz bölgeler (ISs) olusacaktir. Eger malzeme üzerinden akim geçirilirse bu
akim IS’ lerden geçecektir. Bu olay kisaca (d,e,f) de açiklanmistir.
ν(x)
(3)
2
(2)
(1)
x
(2)
(1)
(3)
LL2
LL1
ν (x)
(1)
2
(2)
(3)
x
Sekil(4.2): Sikistirilamaz
bölgelerin nasil olustugunu anlatan sematik
gösterim.
Sekil (4.1) de B=0 durumunda elektron dagiliminin kirmizi ile gösterildigi
gibi olmasi gerekir. Sisteme elektron gazina dik manyetik alan uyguladiginda
28
olusacak olan Landau enerji seviyelerine (LL) Sekil (4.2) de görüldügü gibi
elektronlar yerlesmeye baslayacaklardir. (1) durumunda LL1 dolmamis, (2)
durumunda tam dolu ve (3) durumunda ise LL1 dolmus LL2’ a elektronlar yerlesmeye
baslayacaktir. Bu durumda LL2’ deki elektronlar yüksek enerji seviyesinde
bulunduklarindan burada durmak istemeyecekler ve daha düsük enerji seviyelerine
dogru hareket edip enerjilerini minimum duruma getirmek isteyeceklerdir. Dolayisiyla
(3)
durumunda
LL2
deki
elektronlar,
(1)
durumundaki
dolmamis
LL1’
e
yerleseceklerdir.
Bu durumda da (1) ile (3) arasinda tam dolu yörüngeler olusur. Üst
seviyedeki elektronlar enerjilerini azaltmak için alt seviyelerdeki henüz dolmamis
seviyelere yerlesmesi gerekiyor ise
(3) durumunun sagindaki elektronlarin (1)
durumun solundaki dolmamis seviyelere dogru gitmemesi önemli bir soruyu
gündeme getirir. (1) durumundaki seviyelere yerlesmeleri halinde hem daha genis bir
sikistirilamaz bölgemiz olusmasi hem de sistem kendini daha düsük enerji seviyesine
getirmis olmasi fiziksel olarak tercih edilen bir çözümdür. Ancak burada bu çözüm
tercih edilmemektedir. Bu sorunun açiklamasi söyle yapilabilir: Bir otobanda yogun
bir trafigin oldugunu düsünelim. Araçlar hiz sinirinin izin verdigi ölçüde hizli hareket
etsinler. Bu durumda bir yayanin karsidan karsiya geçmesi imkansiz olacaktir. Belki
ilk gelen araci görüp ondan kurtulabilecektir ama sonrasinda hizli gelen araçlardan
kurtulamayip kaçinilmaz bir kazaya sebep olacaktir. Sikistirilamaz bölgelerde olan
olayda bu örnekte oldugu gibidir. Sikistirilamaz bölgelerin oldugu yerde siki bir
elektron dizilimi oldugu için tam perdeleme yapar ve sol tarafi ile sag tarafinin bilgi
alis verisini keser. Elektronlarin düsük seviyelere geçisi tamamlandiktan sonra sistem
dengeye gelir.
29
-0,150
5
-0,152
4
-0,154
3
-0,158
EF : Fermi enerjisi
-0,160
2
ν(x)
V(x) / E0
-0,156
-0,162
T=1K
B = 3 Tesla
d = 1µm
-0,164
-0,166
-0,168
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
1
0
0,00
x/d
Sekil(4.3): 2µ m genisliginde, T=1K sicaklikta, B=3T büyüklügünde bir
manyetik alan etkisi altinda ne =3×1011 cm −2 elektron sayi yogunlugundaki malzeme
üzerindeki elektron dagilimi. Bu elektron dagiliminin olusturdugu potansiyel enerji ve
sistemin Fermi enerjisi (EF).
30
14
12
B = 1 Tesla
B=3 "
B=5 "
B=7 "
ν(x)
10
T = 1K
d = 1µm
8
6
4
2
0
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
x/d
Sekil(4.4): 2µ m genisliginde, T=1K sicakliginda, ne =3×1011 cm −2 elektron
sayi yogunluguna sahip malzeme üzerine uygulanan farkli manyetik alan degerleri
için elektron dagilimi.
31
5
4,10
4
ν(x)
4,05
4,00
3,95
3
3,90
-0,80
-0,78
-0,76
-0,74
-0,72
T = 1K
T = 3K
T = 5K
T = 7K
-0,70
ν(x)
x/d
2
2,10
B = 3 Tesla
d = 1µm
ν(x)
2,05
1
2,00
1,95
1,90
-0,89
-0,88
-0,87
-0,86
x/d
0
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
x/d
Sekil(4.5): 2µ m genisliginde, ne =3×1011 cm −2 elektron yogunluguna sahip
malzemeye, B=3T büyüklügünde manyetik alan etkisi altinda olusan sikistirilamaz
bölgelere sicakligin etkisi.
32
V0=300 meV
d=1 µm
T = 1K
T = 5K
V0=200
3
V0=100
6
Vel ( 10 cm/s )
4
2
V0=0
1
0
5
6
7
8
9
10
B (Tesla)
Sekil(4.6): 2µ m genisliginde, ne =3×1011 cm −2 elektron sayi yogunluguna
sahip malzemeye kapilardan (gate) uygulanan farkli V0 potansiyel enerjileri ile
manyetik alana bagli olarak sikistirilamaz bölgelerden akan elektronlarin hizlarindaki
degisim.
33
2,0
6
Vel ( 10 cm/s )
V0=300 meV
1,5
V0=100
1,0
d=2 µm
0,5
V0=200
V0=0
T = 1K
T = 5K
0,0
5
6
7
8
9
10
B (Tesla)
Sekil(4.7): 4µ m genisliginde, ne =3×1011 cm −2 elektron sayi yogunluguna
sahip malzemeye kapilardan (gate) uygulanan farkli V0 potansiyel enerjileri ile
manyetik alana bagli olarak sikistirilamaz bölgelerden akan elektronlarin hizlarindaki
degisim.
34
1,5
d=5 µm
V0=300 meV
1,0
V0=200
V0=100
6
Vel ( 10 cm/s )
T = 1K
T = 5K
V0=0
0,5
0,0
5
6
7
8
9
10
B (Tesla)
Sekil(4.8): 10 µ m genisliginde, ne =3×1011 cm −2 elektron sayi yogunluguna
sahip malzemeye kapilardan (gate) uygulanan farkli V0 potansiyel enerjileri ile
manyetik alana bagli olarak sikistirilamaz bölgelerden akan elektronlarin hizlarindaki
degisim.
35
a)
b)
ν(x)
ν(x)
d = 1µ m , T = 5K
d = 1µm , T = 1K
3,000
7
7
6
6
B (Tesla)
B (Tesla)
2,000
1,000
5
-1,0
5
0
-0,5
0,0
0,5
-1,0
1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
x/d
x/d
c)
0,30
W2 (µm) / d
0,25
d = 1µm
T = 1K
T = 3K
T = 5K
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
B (Tesla)
Sekil(4.9): 2µ m genisliginde, (a) T=5K, (b) T=1K sicakliginda elektron
dagilimin manyetik alanla degisimi ve sikistirilamaz bölgeler. (c) Farkli sicakliklarda
sikistirilamaz bölgelerin kalinliklarinin manyetik alanla degisimi.
36
a)
b)
ν(x)
d = 3µm , T = 1K
d = 3µm , T = 5K
3,000
7
7
6
1,000
B (Tesla)
B (Tesla)
2,000
6
0
5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
5
-1,0
1,0
-0,5
x/d
0,0
0,5
1,0
x/d
c)
0,20
W2 (µm) / d
0,15
d = 3µm
T = 1K
T = 3K
T = 5K
0,10
0,05
0,00
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
B (Tesla)
Sekil(4.10): 6 µ m genisliginde, (a) T=5K, (b) T=1K sicakliginda elektron
dagilimin manyetik alanla degisimi ve sikistirilamaz bölgeler. (c) Farkli sicakliklarda
sikistirilamaz bölgelerin kalinliklarinin manyetik alanla degisimi.
37
5. KENAR ETKILERI VE DONOR DAGILIMI
Simdiye kadar sistemdeki donor dagilimini düzgün alindi. Ama gerçekte
kenar etkilerinden dolayi donorlar sabit bir dagilim göstermeyip orta bölgelere dogru
yogunlasma egilimi gösterilmektedir[7]. Dogal olarak bu durum sistem üzerinde bazi
degisiklikler meydana getirecektir.
Donorlarin orta bölgelerde yogunlasmasi sonucu elektron gazi ile çekici
etkilesmelerinden dolayi elektronlarin orta bölgelerde yogunlasmasini saglayacaktir.
Bu dagilimi anlatan iki farkli donor dagilimi için sistemi inceledik[7]. Sekil (5.1)’ de
kesikli ve parabolik donor dagilimi için elektron gazina etkiyen potansiyeller
görülüyor. Burada u= x d ile tanimlanmis ve donor yogunlugu n0 (u ) ’ dur. Bu dagilima
sahip donorlarin elektron gazina etkiyen ilk (background) potansiyeli de Vbg (u ) ’ dur. c
parametresi de donorlarin hangi aralikta sabit dagilim gösterdigi anlatir. Dolayisiyla c
parametresini seçerek donor dagilimini belirlenmis olur. Kesikli donor dagiliminda
donorlar d − c bölgeleri arasinda lineer artan bir sekilde dagilim gösterirken ara
bölgede ise c noktasindan itibaren keskin bir sekilde degiserek sabit bir dagilim
gösterir. Parabolik dagilimda ise d − c bölgeleri arasinda parabolik bir egri seklinde
dagilim gösterirken ara bölgede ise c noktasindan itibaren parabolik egri sayesinde
daha yumusak bir geçis yaparak ayni kesikli dagilimda oldugu gibi sabit bir dagilim
sergiler.
Sekil (5.1)’ de görüldügü gibi kesikli ve parabolik dagilimlari altinda
elektron dagilimi, bu dagilimin olusturdugu potansiyel, sikistirilamaz bölgeler ve bu
bölgelerdeki elektronlarin hizi incelenmistir.
38
 (u + 1)n c
 (1 − c ) , − 1 ≤n< − c

, − c ≤u ≤c
ρ 2 (u )=nc
 (1 − u )n
c

, c < u ≤1
 (1 − c )
[
]
[
]
 −(u + c ) 2 +(c − 1) 2 n c
, − 1 ≤n < − c

(c − 1)2


, − c ≤u ≤c
ρ1 (u )= nc

2
2
 −(u − c ) + (1 − c ) nc , c < u ≤1

(c − 1)2
Sekil(5.1): c’ nin degerlerine göre farkli ρ2(u) (kesikli dagilim) ve ρ1(u)
(parabolik dagilim) donor dagilimlarinin olusturduklari ilk potansiyeller ve u=0 da
farkli donor dagilimlarinin olusturdugu potansiyellerinin degisimi.
39
Sekil(5.2): B=0 ve T=0 degerlerinde, c’ nin farkli degerlerine göre sirasiyla
ρ1(u) ve ρ2(u) donor dagilimlarinin
perdelenmis potansiyelleri ve fermi enerjisinin
farkli donor dagilimlari altinda c’ ye bagliligi.
40
Parabolik Dagilim ( ρ1(u) )
4
ν
3
c=0.6
c=0.8
c=1.0
2
1
Fermi Enerjisi
0
0,00
d=3µm
T=1K
B=5Tesla
V(u) / E0
-0,01
-0,02
-0,03
-0,04
-0,05
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
u
Sekil(5.3): 6µm genisliginde ,T=1K sicaklikta, parabolik donor dagilimda
c=0.6 , 0.8 ,1
degerleri için ve B=5T manyetik alanda elektron dagilimlari ve bu
elektron dagiliminin olusturdugu potansiyeller.
41
Kesikli Dagilim ( ρ2(u) )
4
ν
3
c=0.6
c=0.8
c=1.0
2
1
Fermi Enerjisi
0,00
0
d=3µm
T=1K
B=5Tesla
V(u) / E0
-0,01
-0,02
-0,03
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
u
Sekil(5.4): 6µm genisliginde ,T=1K sicaklikta, kesikli donor dagilimda
c=0.6 , 0.8 ,1
degerleri için ve B=5T manyetik alanda elektron dagilimlari ve bu
elektron dagiliminin olusturdugu potansiyeller.
42
Sekil(5.5): T=1K (kalin çizgi) ve T=5K (ince çizgi) , d=1µm (üs) , 3 µm
(orta) , 5µm (alt) genisliginde, doldurma faktörünün ν=2 oldugu durumdaki ρ1(u)
(a,c,e) ve ρ2(u) (b,d,f) donor dagilimlarinda olusan sikistirilamaz bölgelerin
kalinliklarinin manyetik alana göre degisimi.
43
6. SONUÇ VE TARTISMA
Klasik Hall olayindaki enerjinin sürekliligi, iki boyutlu olarak incelenen bu
kuantum Hall olayinda artik gözlenmemektedir. Bu ilk olarak Landau enerji
seviyelerinde görülüyor. Buna göre elektronlar izin verilen herhangi enerji
seviyelerine rastgele degil, manyetik alana bagli olarak kuantumlanan Landau enerji
seviyelerinde
bulunacaklardir.
Burada
sicakligin
büyük
bir
önemi
oldugu
görülmektedir. Sicakligin artmasi sistemi gittikçe klasik Hall olayina yaklastirir.
Kuantum Hall olayinin önemli sonuçlarindan biri de, iki boyutlu iletkenligin
e2
= 25813 ohm üzerinden kuantize olmasidir. Bu durum en azindan 10 5 de bir
h
dogrulukla öziletkenligin ölçülebilme olanagini saglar.
Bu çalismada görüldügü gibi akim, düsük sicaklikta ve yüksek manyetik
alan degerlerinde olusan sikistirilamaz bölgelerden akmaktadir. Sikistirilamaz
bölgelerdeki elektronlar sikistirilabilir bölgelere göre birbirlerine daha yakindirlar.
Eger malzeme üzerinden akim akitilirsa elektronlar bu siki bölgelerden (sikistirilamaz
bölgelerden) iletimi daha kolay yapacaklarindan dolayi akim manyetik alanin etkisiyle
olusan sikistirilamaz bölgelerden akacaktir. Sicakligi sabit tutup (T < 10 K ) manyetik
alan arttirilirsa ( B > 7.4 T ) elektronlar Landau enerji seviyelerinin altina ineceklerinden
sikistirilamaz bölgeler ortadan kalkacaktir ve bu durumda ise akim tüm yüzeyden
akacaktir. Ayni sekilde manyetik alani sabit tutup ( 4. 5 K < B < 7.4 K ) sicaklik arttirilirsa
( T > 10 K ) Landau enerji seviyeleri ortadan kalkip sürekli bir enerji seviyeleri
olusacaktir ve dolayisiyla sikistirilamaz bölgelerde kaybolacaklardir. Bu durumda da
akim tüm yüzeyden akacaktir.
44
Ilk olarak sikistirilamaz bölgelerin olusumu hesaba katilmadan sadece
Landau kuantizasyonu göz önüne alinarak elektron hizinin fonksiyonel formu ve
manyetik alanin elektrik alana bagimliligi elde edildi. SPV (surface photovoltage)
deneylerinin [9] yorumlari, elde ettigimiz sonuçlarla ve diger deneylerle [10] siddetli
bir sekilde ters düstügü gösterildi. Örnegin kenarlarinda elektrik alanin F ∝ B
seklinde davrandigi iç uyumlu potansiyelin egiminin B
−1
2
1
2
ile degistigi görüldü. Mach-
Zehnder interferometre [11,12] tipi deneylerin sonuçlarinin analiz edilmesiyle,
elektron hizinin sabit oldugu farz etmenin bazi farkli sonuçlara yol açacagi gösterildi.
Ikinci olarak, iç uyumlu potansiyelin ele alinmasi ile sikistirilamaz bölgeler
içinde ve Fermi enerjisi civarinda elektron hizi elde edildi. Tek parçacikli durumda
elektronun hizi B
−1
2
’ ye bagimli oldugu gösterildi. Tam perdelenmis potansiyelin
sikistirilamaz bölgelerdeki egimi hesaplandiginda manyetik alanin iki farkli rejim
ortaya koydugunu belirlendi. Bu iki rejim lineer ve non-lineer olarak elektron hizinin
manyetik alana bagimli oldugunu ortaya çikardi.
Öyle görünüyor ki Mach-Zehnder interferometresi [11,12] deneylerinin
sonuçlari iç uyumlu (self-consistent) bir yaklasimla tekrar gözden geçirmek, modelde
yatan fizigin anlasilmasinda yardimci olacaktir.
45
KAYNAKLAR
[1]
K. Von Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, Phys. Rev. Letter, 45, 494 (1980)
[2]
Kuantum Mekanigine Giris Bekir Karaoglu (2006)
[3]
Katihal Fizigine Giris Charles Kittel (1996)
[4]
K. Von Klitzing’ in 09.01.1985 yilinda verdigi Nobel dersi. Max-Planck-Institut für
Festkörperforschung, D-7000 Stuttgart 80
[5]
Afif Siddiki and Rolf Gerhardts, Phys. Rev. B 70, 195335 (2004)
[6]
A.Siddiki and R.R.Gerhardts,Phys.Rev.B 68,125315(2003).
[7]
D. Eksi, E.Cicek, A. I. Mese, S. Aktas, A. Siddiki, T.Hakioglu, Phys.Rev. B 76,
075334 (2007)
[8]
D.B. Chklovskii, B.I. Shklovskii, L.I. Glazman, Phys.Rev. B 46, 4026 (1992)
[9]
B. Karmakar and B. M. Arora, Pramana, J. Phys. 67, 191 (2006).
[10] M. Huber, M. Grayson, M. Rother, W. Biberacher, W. Wegscheider, and G.
Abstre iter, Phys. Rev. Lett. 94, 016805 (2005)
[11] Y. Ji, Y. Chung, D. Sprinzak, M. Heiblum, D. Mahalu, and H. Shtrikman, Nature
(London) 422, 415 (2003).
[12] I. Neder, M. Heiblum, Y. Levinson, D. Mahalu, and V. Umansky, Phys. Rev. Lett.
96, 016804 (2006)

Download Report