URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Green Fonksiyonunun Ölçekli Köşegenleştirilmesine Dayalı
Geniş Bantlı Çok Seviyeli Hızlı Çokkutup Yöntemi
Barışcan Karaosmanoğlu, Özgür Ergül
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Ankara
[email protected]
Özet:
Yakın zamanda ortaya atılan Green fonksiyonun ölçekli köşegenleştirilmesi, çok ölçekli
elektromanyetizma problemlerinin hızlı ve doğru çözümleri için tasarlanan geniş bantlı çok seviyeli hızlı
çokkutup yönteminin (ÇSHÇY) geliştirilmesi amacıyla kullanılmıştır.
Ölçekli köşegenleştirme, standart
çarpanlara ayırma ve düzlem dalga açılımlarında kullanılan küresel Hankel ve Bessel fonksiyonlarının küçük
argümanlar için normalleştirilmesine dayalı, yaklaşık ancak kararlı bir yöntemdir. Bu yöntemden faydalanarak
standart bir ÇSHÇY uygulaması, farklı açılım ve köşegenleştirme tekniklerine gidilmeden ve yazılımın kökten
değiştirilmesine gerek duyulmadan, geniş bantlı hale getirilmiş ve çok ölçekli problemlerin verimli ve etkin
çözümleri için kullanılmıştır.
Abstract: A recently developed approximate scaled diagonalization of the Green’s function is employed to
implement a broadband multilevel fast multipole algorithm (MLFMA) that is designed for fast and accurate
solutions of multiscale problems in electromagnetics. The scaled diagonalization is an approximate but stable
method based on the normalization of the spherical Hankel and Bessel functions for small arguments in the
standard factorizations and plane-wave expansions. Using this method, a standard MLFMA implementation is
converted into a broadband solver and used for efficient and rigorous solutions of multiscale problems, without
resorting to re-implementation of the program via different factorization and diagonalization techniques.
1. Giriş
Hızlı çokkutup yöntemi ve çok seviyeli hızlı çokkutup yöntemi (ÇSHÇY) gibi verimli yöntemlerin, dalgaboyuna
göre küçük bölgelerde hatalı hale geldikleri iyi bilinmektedir [1]-[10]. Literatürde düşük frekans bozulmaları
olarak bilinen bu sorunlardan dolayı, ÇSHÇY ve benzeri hızlı yöntemler çok ölçekli elektromanyetizma
problemlerine verimli olarak uygulanamamaktadır [11]. Gerçek yaşamda ise, büyük platformlar üzerine
yerleştirilen antenler, küçük yapıtaşlarından oluşan metamalzemeler ve fotonik kristaller, ve küçük detayların
önem kazandığı tıbbi görüntüleme gibi çok ölçekli senaryoların çözümlerine ve benzetimlerine ihtiyaç
duyulmaktadır. Literatürde bu tür problemlerin çözümleri için kimi zaman ciddi varsayımlarda bulunulmakta,
kimi zaman ise verilen problemlerle sınırlı kalan ve özelleşmiş çarpanlara ayırma ve köşegenleştirme
tekniklerine dayalı programlar kullanılmaktadır.
ÇSHÇY ve benzeri yöntemlerde kullanılan standard çarpanlara ayırma ve köşegenleştirme operasyonları
incelendiğinde, düşük frekans bozulmalarının sayısal seviyelerde matematiksel fonksiyonların kararsız hale
gelmesinden dolayı ortaya çıktığı anlaşılmaktadır [1],[3]. Örneğin, ışınım ve gelen dalga örüntülerinin açılması
için kullanılan düzlem dalga modelleri, dalgaboyu altı mesafelerde örüntü karakteristiklerini taşımak için gerekli
kabiliyetlere sahip değildir. Ötelemelerde kullanılan monopol operatörleri ise, kısa mesafelerde yüksek
değerlere sahip olan küresel Hankel fonksiyonlarıyla ifade edildiğinden son derece kararsızdır. Yakın zamanda,
bu tür sayısal problemlerin önüne geçilmesi amacıyla, yeni bir köşegenleştirme stratejisi geliştirilmiş ve
dalgaboyu altı mesafelerde başarıyla kullanılmıştır [12]. Düzlem dalgaların ve Hankel fonksiyonlarının
ölçeklenmesine dayalı bu strateji sayesinde, standart köşegenleştirme küçük değişikliklerle kararlı ve her türlü
etkilişim için kullanışlı hale getirilmiştir. Bu çalışmada ise, ölçekli köşegenleştirmenin çeşitli seviyelerde
kullanılmasıyla birlikte, geniş bantlı bir ÇSHÇY uygulaması geliştirilmiş ve çok ölçekli problemlerin hızlı ve
doğru çözümleri için kullanılmıştır. Geliştirilen uygulamanın kabiliyeti, büyük ve yoğun ayrıklaştırmalar içeren
ve standart ÇSHÇY uygulamalarıyla çözülemeyen problemlerin üzerinde gösterilmiştir.
Bu çalışma, TÜBİTAK (113E129, 113E276) ve Bilim Akademisi (BAGEP-2013) tarafından desteklenmektedir.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
2. Ölçekli Köşegenleştirme
Ölçeklenmiş fonksiyonlarla gerçekleştirilen köşegenleştirme ile, Green fonksiyonu
exp(ik | r − r ′ |)
1
≈
d 2kˆβ(k,w − r + r ′)α (k,w)
∫
ik | r − r ′ |
4π
şeklinde yazılabilmektedir [12]. Bu denklemde,
⎧⎪ β(k,v) ⎫⎪
⎨
⎬≈
⎩⎪ α (k,v) ⎪⎭
ve
⎧
⎪
∑ i (2t + 1) ⎨
t =0
⎪⎩
T
t
k = ω (ε )1/2(µ)1/2 dalga numarası,
j!t ⎫⎪
ˆ =
⎬ (kv)Pt (kˆ ⋅ v)
h!t(1) ⎪
⎭
{j ,h } küresel Bessel ve Hankel fonksiyonlarıdır.
t
(1)
t
(1)
⎧ j / st
⎪
∑ i (2t + 1) ⎨ stth (1)
t =0
⎪⎩
t
T
t
Ayrıca (2)’de,
⎫
⎪
ˆ
⎬ (kv)Pt (kˆ ⋅ v)
⎪⎭
(2)
s ölçeklemeyi ifade etmektedir.
Kaydırma fonksiyonlarının küçük argümanlar için yakınsanmasıyla,
exp(ik | r − r ′ |)
1
≈
d 2kˆ exp ⎡⎣ik ⋅ w − r + r ′ / s ⎤⎦ α (k,w)
ik | r − r ′ |
4π ∫
(
)
(3)
elde edilebilir. Denklem (3)’te bulunan ölçekleme, kutu (grup) boylarına göre optimize edilebilmektedir [12].
Bu optimizasyonlar sayesinde, her türlü dalgaboyu altı etkileşimin kararlı biçimde hesaplanması mümkün hale
gelmektedir. Denklem (1)’den (3)’e geçişte kullanılan yakınsama ise etkileşim hatalarındaki belirleyici faktör
olarak gözükmektedir. En kötü durumda, örneğin gözlem ve kaynak noktalarının grup köşelerine denk geldiği
senaryolarda, hata %1’e kadar çıkabilmektedir. Öte yandan, bu hata miktarı sabit olarak kalmakta ve kutu
boylarının küçültülmesiyle (standart ÇSHÇY’den farklı olarak) artmamaktadır. Dolayısıyla, düşük frekans
problemlerinin kararlı çözümleri mümkün hale gelmektedir.
Dalgaboyuna göre uzak etkileşimler için (3)’te verilen ifade kendiliğinden standart köşegenleştirmeye
dönüşmektedir. Ölçekleme faktörünün 1.0 olduğu bu durumlarda, kaydırma fonksiyonları kendiliğinde düzlem
dalga fazlarına karşılık gelmektedir. Bu doğrultuda, (3)’te verilen köşegenleştirme, farklı seviyelerde ve
dalgaboyu altı/üstü farklı kutu boyları için kullanılmış ve böylece geniş bantlı bir ÇSHÇY uygulaması
geliştirilmiştir. Bu uygulamanın kullanılmasıyla, çok ölçekli problemlerin O(NlogN) sayısal karmaşıklığı ile
çözümleri mümkün hale gelmektedir.
3. Sayısal Örnekler
Geliştirilen geniş bantlı ÇSHÇY uygulamasının doğruluğunun ve etkinliğinin gösterilmesi amacıyla Şekil 1’de
yarıçapı 0.3 m olan mükemmel iletken bir küreye ait saçılım probleminin çözümleri gösterilmiştir. Birim
elektrik alana sahip düzlem dalga ile 500 MHz’te aydınlatılan küre ve kürenin üzerine indüklenen akımlar,
sayısal çözümler için λ/60 ve λ/120 üçgenler üzerinde tanımlanan RWG fonksiyonlarıyla ayrıklaştırılmıştır.
Formülasyonlarda manyetik-alan integral denklemi (MFIE) kullanılmış, ayrıklaştırmalar sonucunda 37,587 ve
154,569 bilinmeyen içeren yoğun matris denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlerin iteratif çözümlerinde ise
sırasıyla 6 ve 7 seviyeli geniş bantlı ÇSHÇY kullanılmıştır (3 seviye hızlı çokkutup yöntemine karşılık
gelmektedir).
Şekil 1’de küreden saçılan elektrik alanı değerleri uzak alanda bistatik açıya bağlı olarak gösterilmiştir. Şekilde
0 ve 180 derece sırasıyla ileri ve geri saçılım açılarına karşılık gelmektedir. ÇSHÇY ile elde edilen sonuçların,
Mie serisi ile elde edilen analitik sonuçlarla son derece tutarlı olduğu gözlemlenmektedir. Hata seviyelerinin
incelenmesi amacıyla ileri saçılım açısı etrafındaki değerler yakınlaştırılmış eksenler üzerinde ayrıca
gösterilmiştir. Bu figürde, 37,587 bilinmeyenle elde edilen sonuçların (MAİD/ÇSHÇY-6) analitik değerlere
yakın olduğu, bilinmeyen sayısının 154,569’a yükseltilmesiyle birlikte (MAİD/ÇSHÇY-7) sayısal değerlerin
daha da iyileştiği gözlemlenmektedir. Tüm açılardaki değerlerin hesaba katıldığı göreceli hata değerleri ise
MAİD/ÇSHÇY-6 ve MAİD/ÇSHÇY-7 için sırasıyla %0.65 ve %0.35 olarak hesaplanmıştır.
Elektrik Alanı (V/m)
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
0.525
0.7
0.52
0.6
0.515
0.5
0.51
0.4
0.505
0.3
0.5
0.2
0.495
0.1
0.49
0.485
Mie Serisi
MAİD/ÇSHÇY-6
MAİD/ÇSHÇY-7
0
2 4 6 8 10
Bistatik Açı
0
0
45
90
Bistatic Açı
135
180
Şekil 1. Yarıçapı 0.3 metre olan mükemmel iletken bir kürenin düzlem dalga ile aydınlatılması sonucu saçılan
elektrik alanı değerleri (V/m). İleri ve geri saçılım açıları sırasıyla 0 ve 180 dereceye karşılık gelmektedir.
4. Sonuç
Green fonksiyonu için ölçekli köşegenleştirme tekniğinin kullanılmasıyla, geniş bantlı yeni bir ÇSHÇY
çözücüsü geliştirilmiştir. Kullanılan teknik sayesinde, standart uygulamadan kolaylıkla elde edilen çözücü, çok
ölçekli problemlerin hızlı ve verimli analizleri doğrultusunda test edilmiştir. Doğrudan standard ÇSHÇY’den
türetilen ve dolayısıyla O(NlogN) sayısal karmaşıklığa sahip uygulamanın hassasiyeti küre problemleri üzerinde
gösterilmiştir.
Kaynaklar
[1]. Coifman R., Rokhlin V., ve Wandzura S., “The fast multipole method for the wave equation: a pedestrian
prescription,” IEEE Antennas Propag. Mag., 35, s.7-12, 1993.
[2]. Greengard L., Huang J., Rokhlin V., ve Wadzura S., “Accelerating fast multipole methods for the Helmholtz
equation at low frequencies,” IEEE Comput. Sci. Eng., 5, s.32-38, 1998.
[3]. Jiang L. J. ve Chew W. C., “A mixed-form fast multipole algorithm,” IEEE Trans. Antennas Propag., 53,
s.4145-4156, 2005.
[4]. Zhao J.-S. ve Chew W. C., “Applying matrix rotation to the threedimensional low-frequency multilevel fast
multipole algorithm,” Microw. Opt. Technol. Lett., 26, s.105-110, 2000.
[5]. Ergül Ö. ve Gürel L., “Efficient solutions of metamaterial problems using a low-frequency multilevel fast
multipole algorithm,” Prog. Electromagn. Res., 108, s.81-99, 2010.
[6]. Jiang L. J. ve Chew W. C., “Low-frequency fast inhomogeneous planewave algorithm (LF-FIPWA),”
Microw. Opt. Technol. Lett., 40, s.117-122, 2004.
[7] Darve E. ve Have P., “A fast multipole method for Maxwell equations stable at all frequencies,” Phil. Trans.
R. Soc. Lond. A, 362, s. 603-628, 2004.
[8] Wallen H. ve Sarvas J., “Translation procedures for broadband MLFMA,” Prog. Electromagn. Res., 55, s.4778, 2005.
[9]. Bogaert I., Peeters J., ve Olyslager F., “A nondirective plane wave MLFMA stable at low frequencies,”
IEEE Trans. Antennas Propag., 56, s.3752-3767, 2008.
[10]. Bogaert I. ve Olyslager F., “A low frequency stable plane wave addition theorem,” J. Comput. Phys., 228,
s.1000-1016, 2009.
[11]. Ergül Ö. ve Gürel L., The Multilevel Fast Multipole Algorithm for Solving Large-Scale Computational
Electromagnetics, Wiley, 2014.
[12]. Ergül Ö. ve Karaosmanoğlu B., “Low-frequency multilevel fast multipole algorithm using an approximate
diagonalization of the Green’s function,” XXXI URSI General Assembly and Scientific Symp. of Int. Union of
Radio Science, 2014.

Download Report