Üçgenin İçindeki Gizemli Altıgen

ÖZEL EGE ORTAOKULU
ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN
HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER:
Olçar ÇOBAN
Sevinç SAYAR
DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ
ĠZMĠR
2014
ĠÇĠNDEKĠLER
1. PROJENĠN AMACI ....................................................................................................... 2
2. GĠRĠġ ............................................................................................................................. 2
3. KULLANILAN YÖNTEM................................................................................................ 3
4. SONUÇLAR ve TARTIġMA .......................................................................................... 7
5.PROJE BÜTÇESĠ ........................................................................................................... 8
6.PROJE ÇALIġMA TAKVĠMĠ ........................................................................................... 8
KAYNAKLAR .................................................................................................................... 8
1
1. PROJENĠN AMACI
Tabanı dar açılı bir üçgen olan bir üçgen piramit (veya prizma) alınsın. Piramidin
(veya prizmanın) tabanında yer alan üçgenin her bir kenarının orta noktasından üçgenin
diğer iki kenarına dikmeler inilsin. Bu projenin amacı, bu çizimlerden sonra üçgenin iç
bölgesinde oluşan altıgen üzerine piramidin (veya prizmanın) yüksekliği ile aynı olan bir
altıgen piramit (veya prizma) kurulduğunda oluşan bu katı cismin hacmi ile başta alınan katı
cismin hacmi arasındaki ilişkiyi belirlemektir.
Projede, özel olarak tabanı eşkenar üçgen olan piramit (prizma) incelenmiş ve oluşan
düzgün altıngenin çevrel çemberinin üzerine piramidin (prizmanın) yüksekliği ile aynı olan bir
koni yerleştirildiğinde, koninin hacmi ile üçgen piramidin (veya prizmanın) ve altıgen
prizmanın (veya piramidin) hacimleri arasındaki ilişkinin bulunması hedeflenmiştir.
2. GĠRĠġ
Bu proje aşağıdaki sorudan yola çıkılarak hazırlanmıştır:
SORU [1]
Dar açılı bir ABC üçgeni verilsin. Üçgenin her bir kenarının orta noktasından diğer iki
kenarına dikmeler inilsin. Üçgenin iç bölgesinde oluşan altıgensel bölgenin alanının ABC
üçgensel bölgesinin alanının yarısına eşit olduğunu gösteriniz.
Öncelikle bu ilginç problemin çözümünü yaptık. Sonra tabanı dar açılı üçgen olan
bildiğimiz katı cisimlerin içine bu şekilde altıgenler çizdik. Yükseklikleri başta seçtiğimiz katı
cismin yüksekliği ile aynı olan ve tabanı, oluşturduğumuz altıgen olan katı cisimlerin
hacimlerini belirlemeye karar verdik. Özel olarak, tabanı eşkenar üçgen olan katı cisimler
aldığımızda ise oluşan düzgün altıgenin çevrel çemberini taban kabul eden koninin hacmini
de diğer katı cisimlerin hacmi ile karşılaştırdık. Oluşan tüm durumların modellerini yaparak
projeyi sonlandırdık.
2
3. KULLANILAN YÖNTEM
1. Önce yukarıda yer alan sorunun çözümünü yaptık. Sorunun çözümü için ġEKĠL 1’i
inceleyelim.
ÇÖZÜM:
Ġstenilen özelliklerde ABC üçgeni alıp aĢağıdaki Ģekli çizelim.
A
H
R
D
L
K
E
M
olsun.
P
A
O
B
F
N
G
C
D ile E, D ile N ve N ile E noktalarını birleştirelim.
orta taban olduğundan
olur. Buradan,
DBNE, DNCE ve DNEA dörtgenleri paralel kenardır.
S3
S2
R
Oluşan ADE, DBN, ENC üçgenleri eştir.
D
Bu üçgenlerin yükseklik merkezleri de sırasıyla
R, M ve O olur.
Diğer taraftan,
ADR, DBM ile ENO üçgenleri,
DMN, EOC ile ARE üçgenleri ve
MBN, ONC ile RDE üçgenleri eştir.
S1
S2
S3
E
b
S1+S2+S3
S3
M
S2
O
S1
Bu üçgenlerin alanları sırasıyla
S3, S2, S1 olsun. Yani,
B
Alan(MBN)=Alan (ONC)=Alan(RDE)=S
1
Alan(DMN)=Alan (ARE)=Alan(EOC)=S2
Alan(DMB)=Alan(ADR)=Alan (ENO)=S3
a
S1
N
a
DBNE paralel kenar olduğundan Alan (DNE)= S1+ S2 +S3 olur. Buradan,
Alan (DMNOER)= 2(S1+ S2 +S3) iken Alan (ABC)= 4(S1+ S2 +S3). Yani, oluşan altıgenin alanı,
ABC üçgenin alanının yarısıdır.
ġEKĠL 1
3
C
2. Daha sonra, maket kartonun üzerine cetvel, pergel ve açı ölçer yardımı ile dar açılı
bir ABC üçgeni çizdik. ABC üçgensel bölgesinin alanı 2A olsun. Bu üçgenin her bir kenarının
orta noktasını belirleyerek, diğer iki kenara bu orta noktalardan pergel yardımı ile dikmeler
indik ve soruda yer alan altıgensel bölgeyi oluşturduk (ġEKĠL 1). Bu altıgensel bölgenin alanı
A olur.
3. ABC üçgenini taban kabul eden ve yüksekliği h birim olan bir üçgen prizmanın
içine,
a) tabanı oluşturduğumuz altıgen olan ve yüksekliği h birim olan bir altıgen prizma
b) tabanı oluşturduğumuz altıgen olan ve yüksekliği h birim olan bir altıgen piramit
gömdük. Bu durumda,
a) Üçgen prizmanın hacmi=2Ah
b) Altıgen prizmanın hacmi=Ah
c) Altıgen piramitin hacmi=(1/3)Ah
olur.
4
4. Daha sonra, tabanı ABC üçgeni ve yüksekliği h birim olan bir üçgen piramit aldık.
Bu piramitin içine tabanı oluşturduğumuz altıgen olan ve yüksekliği h birim olan bir altıgen
piramit gömdüğümüzde ise
a) Üçgen piramidin hacmi=(1/3)2Ah
b) Altıgen piramidin hacmi=(1/3)Ah
olur.
5. Özel olarak, ABC üçgenini eĢkenar üçgen olarak aldığımızda ise üçgenin içinde
oluşan altıgenin düzgün altıgen olduğunu ispatladık. (ġEKĠL 2)
A
A
600
R
E
D
2a
30
0
2
a
M
a
O
B
N
600
300
600
C
2
a
a 2
ġEKĠL 2
5
a
a
a
6. Bu düzgün altıgenin çevrel çemberini çizerek yüksekliği h birim olan bir koni
oluştuduk. Bu durumda, tabanı ABC üçgeni ve yüksekliği h birim olan bir üçgen piramit içine
bu koniyi gömersek
a) Üçgen piramidin hacmi=(1/3)2Ah
b) Altıgen piramidin hacmi=(1/3)Ah
c) Küçük Koninin hacmi= (1/3)((2π
d) Büyük Koninin hacmi= (1/3)((8π
)/9)Ah,
)/9)Ah
olur.
DÜZGÜN ALTIGEN VE ÇEVREL ÇEMBER
R
D
A
E
2a
X
4a
X
2a
300
B
O
M
2
a
C
2
a
N

=A
 X merkezli, 2a yarıçaplı dairenin alanı=
=
(Altıgenin Çevrel Çemberinin Alanı)
 Alan (ABC) =
=
=2A
 X merkezli, 4a yarıçaplı dairenin alanı=
(ABC Üçgeninin Çevrel Çemberinin Alanı)
6
=
7) Tabanı ABC üçgeni ve yüksekliği h birim olan bir üçgen prizma içine bu koniyi
gömersek
a) Üçgen prizmanın hacmi=2Ah
b) Altıgen prizmanın hacmi=(1/3) Ah
c) Koninin hacmi= (1/3)((2π )/9)Ah
olur.
4. SONUÇLAR VE TARTIġMA:
Çalışmamızın sonunda
1) Üçgen prizmanın içine, tabanı oluşturduğumuz altıgen olan ve yüksekliği üçgen
prizma ile aynı olan olan altıgen
a) prizmayı yerleştirdiğimizde, üçgen prizmanın hacminin altıgen prizmanın hacminin
iki katı kadar,
b) piramidi yerleştirdiğimizde, üçgen prizmanın hacminin altıgen prizmanın hacminin
altı katı kadar,
2) Üçgen piramidin içine, tabanı oluşturduğumuz altıgen olan ve yüksekliği üçgen
piramit ile aynı olan olan altıgen piramidi yerleştirdiğimizde üçgen piramidin hacminin
altıgen piramidin hacminin iki katı kadar,
3) Özel olarak ABC üçgenini eşkenar üçgen olarak aldığımızda ise,
a) ABC üçgen piramidinin içine tabanı oluşturduğumuz altıgenin çevrel çemberi
olan ve yüksekliği üçgen piramit ile aynı olan koni yerleştirdiğimizde, piramidin hacminin
koninin hacminin ((3
3)/ π) katı
b) ABC üçgen prizmasının içine tabanı oluşturduğumuz altıgenin çevrel çemberi
olan ve yüksekliği üçgen prizma ile aynı olan koni yerleştirdiğimizde, prizmanın hacminin
koninin hacminin ((9 )/ π) katı
7
olduğunu belirledik.
5. PROJE BÜTÇESĠ
Maket Kartonu, yapıştırıcı ve el işi kağıtları için toplam 10 TL harcanmıştır.
6. PROJE ÇALIġMA TAKVĠMĠ
1 Ekim 2013 – 1 Kasım 2013: Proje konusunun araştırılması ve belirlenmesi
1 Kasım 2013 – 1 Aralık 2013: Gerekli ispat ve hesaplamaların yapılması
1 Aralık 2013 - 15 Aralık 2013: Proje Raporunun Yazılması
KAYNAKLAR
[1] Serkan Küpeli, 2010, 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın Nokta
Yayınevi, İzmir.
[2] Ömer Gürlü, 2004, Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları, İstanbul.
8

Download Report