Matematik Yöntemler Deneysel Sonuçlara Eğri Uydurulması Basit Çözümler Doğru Denklemi – İki Deneye Dayalı Gözlem y P2(x2,y2) y= a x+ b • Yapılan bir deneyde, deney değişkeninin iki farklı değeri için, iki farklı gözlem sonucu elde ediliyorsa; gözlemin fonksiyonu ancak bir doğru ile ifade edilebilir. Örneğin, ’e karşılık ve ’ye karşılık ’nin elde edilmesi gibi. • Bu durumda gibi bir doğrusal fonksiyonun varlığından bahsedebiliriz. P1(x1,y1) x Doğru Denklemi – İki Deneye Dayalı Gözlem • Sadece iki deney sonucu olduğundan fonksiyonun ve katsayıları • • eşitliklerinden bulunabilir. Bu durumda: • • Dolayısıyla • • Bunun birinci eşitlikte yerine konmasıyla: • • İkinci eşitlikte de yerine konursa aynı sonuç elde edilir: • • O halde: • Doğru Denklemi – İki Deneye Dayalı Gözlem • Bulunan denklemi, ve dışında kalan değerlere karşılık gelebilecek değerleriyle ilgili yorum yapmaya yardımcı olabilir. • Örnek: Yolda giden bir uçağın 0 anında, yol üzerindeki belli bir referans noktadan 10 uzakta olduğu, 1 dakika sonra ise aynı noktadan 17 uzakta olduğu 2 dakikada tespit ediliyor. Uçak referans noktadan ne kadar uzakta olur? • Bu değişimi ile ifade edebiliriz. 0 ·0 10 • 1 ·1 17 • Burada: · · 7 ve 10 • O halde: • 7 10 • 2 için 2 7 · 2 10 24 nm Üç Deneye Dayalı Gözlem • hem de bağıntıları ile ifade edilebilir. Ancak, hangi bağıntının kullanılabileceği noktaların durumuna göre belirlenir. Başka fonksiyonların da düşünülmesi mümkündür. y P3(x3,y3) y= ax +b • Yapılan üç deneyde , , , ve , sonuçları elde ediliyor. Bu deneyin sonucu hem P2(x2,y2) P1(x1,y1) x Üç Deneye Dayalı Gözlem • Şimdilik doğrusal fonksiyonu bir tarafa bırakarak, değişimin y y = ax2+bx+c ile ifade edilebileceğini kabul edelim. Bu durumda P3(x3,y3) P2(x2,y2) P1(x1,y1) x Üç Deneye Dayalı Gözlem • Üç bilinmeyenli üç lineer denklemden , ve katsayılarını hesaplamak mümkündür. 1 •∆ 1 1 • olmak üzere • • • ∆ ∆ ∆ 1 1 1 1 1 1 Üç Deneye Dayalı Gözlem • Örnek: Yolda giden bir uçağın 0 anında, yol üzerindeki belli bir referans noktadan 10 , 1 dakika sonra aynı noktadan 17 ve 2 dakika sonra ise aynı noktadan 22 uzakta olduğu tespit ediliyor. Uçak 3 dakikada referans noktadan ne kadar uzakta olur? • Denklemler ·0 ·0 10 • ·1 ·1 17 ·2 22 ·2 • Katsayıların çözümü: • 1 8 10 8 10 • 3 8 · 3 10 • 3 25 Deneysel Sonuçlara Eğri Uydurulması En Küçük Kareler Yöntemi En Küçük Kareler Yöntemi • Şimdi de çok sayıda adet deneyin yapıldığını farz edelim. Bu durumda 1,2, ⋯ , olmak üzere adet , veri çifti olacaktır. Bu veri çiftlerinin en yakınından geçen eğrinin fonksiyonu ise olsun. O halde, herhangi bir için gerçek , deney sonucu olan ve arasındaki fark: , olsun. • Burada , fonksiyonunun parametreleridir. En Küçük Kareler Yöntemi • Bu durumda, farklarının karelerinin toplamını minimize eden kümesi bulunduğunda, deney sonuçlarına en yakın , bulunmuş olur. Yani: • Örneğin olsun. Bu durumda ve 2 minimum olmalıdır. O halde: 0 sağlanmalıdır. 2 2 • Türevler alındığında: 2 2 2 2 2 2 0 0 En Küçük Kareler Yöntemi • Artık iki bilinmeyenli iki lineer denklem vardır. Bunun çözümü: • Uyumluluk kontrolü: Bazı durumlarda verilere yakın olduğu düşünülen fonksiyon, verilerle çok uyumlu olmayabilir. Veriler ve yaklaşık fonksiyon arasındaki uyumluluk determinasyon katsayısı ile belirlenir. • Determinasyon katsayısı ∆ ≡1 • olmak üzere: 1 ∆ • Burada 1 Determinasyon katsayısının değeri 0 • 1 ∆ ∑ ∑ 1 Eğer nin değeri 1’e ne kadar yakın ise yaklaşık fonksiyon deney verilerine o kadar yakındır. En Küçük Kareler Yöntemi – Örnek • Yapılan bir deneyin sonuçları tablodaki • Deney sonuçlarına göre sanki gibidir. Bu deney sonuçlarına en uygun doğrusal bir değişim göstermektedir. fonksiyonu bulunuz. O halde düşünebiliriz. • 7, ∑ 140, ∑ 28, ∑ 138,3, ∑ 27,2 xi yi • Bu durumda 1 1,0 140 28 196 ∆ 2 1,2 28 7 3 2,8 1 138,3 28 4 4,3 1,0536 27,2 7 5 4,8 196 1 6 6,4 140 138,3 0,3286 7 6,7 27,2 196 28 En Küçük Kareler Yöntemi – Örnek • Şimdi de fonksiyonu doğru olarak kabul etmenin ne kadar uygun olduğuna bakalım. 1 7 3,8857 0,8882 31,9686 ≡1 0,8882 31,9686 0,9722 xi 1 2 3 4 5 6 7 yi 1,0 1,2 2,8 4,3 4,8 6,4 6,7 fi 0,7250 1,7786 2,8321 3,8857 4,9393 5,9929 7,0464
© Copyright 2024 Paperzz