buradan indirebilirsiniz

Bono, Tahvil
I. Ozkan
07 Kasım Cuma, 2014
!!!Bu sayfanın pdf halini buradan indirebilirsiniz!!!
BONO TAHVİL Türkiye’de genel olarak vadesi 1 yıldan kısa borçlanma senetleri “Bono”, vadesi 1 yıldan
uzun borçlanma senetleri ise “Tahvil” olarak anılmaktadır. Son yıllara kadar genelde Hazine borçlanma
senetleri daha yaygın olarak piyasalara sunulmaktaydı ve vadeleri de kısaydı. Ancak son yıllarda özel
firmaların da borçlanma senetlerini piyasalara sunduğuna tanık olmaktayız. Düşük enflasyon dönemi ile
birlikte yatırımcılar daha uzun vadeli borçlanma senetleri için piyasalarda alım-satım yapma eğilimine
girmişlerdir.
Uzun vadeli borçlanma senetleri sık sık yıl için belirli dönemlerde ödemeleri ifade eden kuponlara sahiptirler.
Kupon taşıyan bu bonolar her yıl nosyonel değeri üzerinden belirli bir miktar ödemeyi düzenli peryotlarla
yaparlar. Bu açıdan, ara ödemeler tahvillerin değerine etki ederler. Bono ve Tahvillerin fiyatları gelecekteki
nakit akışlarının bugünkü değeri olarak görülebilirler. Örneğin 10 yıllık, yılda 10 TL kupon ödemesi olan 100
TL’lik Tahvilin nakit akışı aşağıda gösterilmektedir. Bu durumda, Tahvilin teorik fiyatı (vade boyu sabit
sürekli bileşik faiz ile):
P10
B = N P V = i=1 10e−ri + 100e−10r Bu tahvilin gelecekte konu olan ödemeleri ise aşağıda gösterilmiştir.
Böyle bir tahvilin teorik fiyatı, tüm vadeler için %10 faiz ile 96.8921TL olacaktır. Faizin %15’e çıkması fiyatını
70.3171TL’ye düşürecektir. Aşağıdaki grafikte bu tahvilin farklı faiz hadlerine göre fiyatları verilmiştir. Faiz
arttıkça fiyat düşmektedir.
1
80
20
40
60
Fiyat
100
120
140
Tahvilin Faize Gore Fiyati
10
20
30
40
50
Faiz (%)
Aşağıdaki grafikte ise Tahvilin fiyatında değişen faizlerle düşme miktarını göstermektedir. Grafikte, faizdeki
her bir %1’lik değişimin fiyatı ne kadar düşürdüğü görülmektedir. Örneğin faiz %10’dan %11’e çıkarsa, Faizin
%10 olduğu durumdaki görülen yaklaşık 6TL fiyat düşmektedir (Rakam noktadan sonraki 3. basamağa kadar,
6.231TL’dır). Alltaki grafikte ise fiyatın yüzde kaç değiştiği görülmektedir. Her bir %1’lik faiz değişimi
sonucunda tahvil fiyatındaki azalış değerini göstermektedir.
2
6
4
2
Fiyat Degisimi (TL)
8
Tahvilin %1'lik Faiz Degisimine Gore Fiyat degisimi
10
20
30
40
50
Faiz (%)
5
4
3
Fiyat Degisimi (%)
6
7
Tahvilin %1'lik Faiz Degisimine Gore Fiyat degisimi (%)
10
20
30
40
50
Faiz (%)
Daha gerçek hayata yakın bir örnek, her bir vade için iskonto oranının faizin vade yapısından elde edilmesi
gerekir. Bu durumda bugünkü değerlerin bulunmasında, her bir ödemenin vadesi için o vadenin faizinin
kullanılması gerekir. Bir başka deyişle yine sürekli faiz varsayımı ile:
3
B = NPV =
10
X
10e−iri + 100e−10r10
i=1
Bu hesaplama için, piyasada oluşan faizin vade yapısından okuduğumuz faizler aşağıda verilen faizler olduğunu
varsayalım. Grafikten de görülebileceği gibi faiz vade ile doğrusal bir şekilde değişmektedir.
Faiz
Vade
0.08
1
0.0833
2
0.0867
3
0.09
4
0.0933
5
0.0967
6
0.1
7
0.103
8
0.107
9
0.11
10
Table 1: Faizin Vade Yapisi
Faiz − Vade
11
11
10.67
10
9.67
9.33
9
9
Faiz (%)
10.33
10
8.67
8.33
8
8
2
4
6
8
10
Vade (Yil)
Bu durumda tahvilin fiyatı yaklaşık 94.039TL olarak hesaplanacaktır.
Örnek: 8 Yıl vadeli bir tahvil 6 ayda bir 5 TL ödemektedir. Tahvilin ana parası (Face value, nosyonel değeri,
nominal değeri) 100 TL olduğuna göre ve Faizler sürekli bileşik olarak aşağıdaki gibi verildiğinde;
4
a) Faiz %15, tüm vadeler için,
b) Faiz %10, tüm vadeler için,
c) Faiz %5, tüm vadeler için, bugünkü teorik fiyatı nedir?
d) Bugünkü değerinin 100 TL olması için Faiz ne olmalıdır?
e) Bugünkü teorik fiyatının nosyonel değeri olan 100 TL olması için 6 ayda bir yapılan kupon ödemeleri
yukarıda bulunan her bir faiz için ne olmalıdır?
Tahvilin
bugünkü değeri, gelecekteki tüm nakit ödemelerinin bugünkü değeri olarak yani B = N P V =
P16
− 2i ri/2
+ 100e−8r8 <br< yazılabilir.
5e
i=1
Bu durumda,
16
X
i
a) B =
5e− 2 ∗0.15 + 100e−8∗0.15 ≈ 74.981 TL
i=1
b) B =
16
X
i
5e− 2 ∗0.1 + 100e−8∗0.1 ≈ 98.635 TL
i=1
c) B =
16
X
i
5e− 2 ∗0.05 + 100e−8∗0.05 ≈ 132.147 TL
i=1
d) 100 = B =
16
X
i
5e− 2 ∗r + 100e−8∗r eşitliğini sağlayan faiz yaklaşık olarak %9.759 olmalıdır.
i=1
Aşağıdaki grafikte tahvilin fiyatı ile faiz ilişkisi verilmektedir.
140
160
Tahvil Fiyati ve Faiz
60
80
100
Ana Para = 100
40
Fiyat
120
Faiz % 9.76
0.05
0.10
0.15
Faiz
5
0.20
0.25
0.30
e) Bu şık için bir tablo elde etmemiz gerekmektedir. Faizler verildiğinde, örneğin %15,
100 = B =
16
X
i
Ce− 2 ∗0.15 + 100e−8∗0.15
i=1
eşitliğini sağlayan kupon ödemesi, C, sorulmaktadır.
Faiz (%)
Kupon Ödemesi
15
7.79
10
5.13
5
2.53
9.759
5
Örnek: piyasalarda, 6, 12 ve 18 aylık faizler sırası ile %8, %8.5, ve %9 (sürekli bileşik) olsun. 18 ay vadeli 6
ayda bir 5 TL kupon ödemeli bononun fiyatı gelecekteki getirilerinin bugünkü değeri nedir? Tahvilin fiyatı
için, B dersek;
3
X
B=
5e−ri/2 ∗ i/2 + 100e−r3/2 ∗ 3/2
i=1
Daha açık olarak yazarsak;
B = 5e−0.08 ∗ 1/2 + 5e−0.085 ∗ 1 + 5e−0.09 ∗ 3/2 + 100e−0.09 ∗ 3/2 ≈ 101.137TL
olarak hesaplanabilir.
Bu sorudaki teorik değerini bulduğumuz tahvilin iç getirisi (tahvilin getirisi olarak kısaca belirteceğiz) aynı
teorik fiyata ulaşacağımız tek getiri olarak ifade edilmektedir. Yani üç farklı faiz yerine bulduğumuz teorik
değere tekrar ulaşacağımız tek getiri değerini tahvilin getirisi olarak adlandırmaktayız. Bu örnekte, faizler %8
ile %9 arasında olduğundan getiri de bu aralıkta olmalıdır.
5e−y ∗ 1/2 + 5e−y ∗ 1 + 5e−y ∗ 3/2 + 100e−y ∗ 3/2 ≈ 101.137TL
eşitliğini sağlayacak y değeri tahvilin iç getirisi olacaktır. Bu bir doğrusal olmayan fonksiyonlarda
kök bulma problemi olarak düşünülüp çözülebilir. Birçok paket programın çözüm için sunduğu fonksiyonlar
da mevcuttur. Bu problemin çözümü için bilinen en yaygın yaklaşımlardan birisi Newton Metodu olarak
anılan Newton Raphson metodudur.
Newton-Raphson metodu iterasyonlar yolu ile gerçek değerli fonksiyonların köklerini bulmak için kullanılır.
Bulunacak kök için bir ilk değerden başlayarak, eğrinin o noktadaki değerinden geçen teğet doğrusunun sıfır
eksenini kesen değeri bulunur ve bu değer kök için bir sonraki değer olarak atanır. Teğet doğrularının sıfır
eksenini kestiği noktaların bir sonraki değer olarak atanması, arka arkaya iki değer arasındaki fark çok küçük
oluncaya kadar devam eder.
f (xn )
f 0 (xn )
hesaplamasını çok küçük bir değeri için |xn+1 − xn | ≤ oluncaya kadar devam ettirilmesi yolu ile köke çok
yakın bir değer elde edilir.
Örneğimizde,
xn+1 = xn −
5e−y ∗ 1/2 + 5e−y ∗ 1 + 5e−y ∗ 3/2 + 100e−y ∗ 3/2 − 101.137 = 0
eşitliğini sağlayacak bir kökün bulunması için bu fonksiyonun türevini bulursak:
dB
1
3
3
= − × 5e−y ∗ 1/2 − 5e−y − × 5e−y ∗ 3/2 − × 100e−y ∗ 3/2
dy
2
2
2
ve başlangıç değeri olarak y0 = 0.08 alırsak, ve yukarıdaki formülü kullanarak;
B 0 (y) =
6
B(y = y0 = 0.08)−101.137 = 5e−0.08 ∗ 1/2 +5e−0.08 ∗ 1 +5e−0.08 ∗ 3/2 +100e−0.06 ∗ 3/2 −101.137 ≈ 1.409
buluruz.
1
3
B 0 (y = y0 = 0.08) = − × 5e−0.08 × 1/2 − 5e−0.08 − × 5e−0.08 × 3/2 − 3 × 100e−0.08 × 3/2 ≈ -146.708
2
2
ve
y1 = y0 −
B(y0 )
≈ 0.0896
B 0 (y0 )
olarak bulunur.
|y1 − y0 | ≈ 0.0096
yani farkın mutlak değeri çok küçük olmadığından bir adım daha atılabilir ve y2 aynı adım kullanılarak
hesaplanabilir.
y2 = y1 −
B(y1 )
≈ 0.0897
B 0 (y1 )
|y2 − y1 | ≈ 0.0001
çok küçük olduğundan burada durulabilir. Ancak bir adım daha atmak isteseydik,
y3 = y2 −
B(y2 )
≈ 0.0897
B 0 (y2 )
|y3 − y2 | ≈ 0
olarak bulunacaktı.
Özet olarak Bono/Tahvillerin teorik fiyatları gelecekteki ödemelerinin bugünkü değerlerinin toplamı olarak
bulunmaktadır. Genel olarak gelecekteki nakit ödemeleri ci , ödeme zamanlarını ti ve ödeme zamanlarındaki
faizleri de ri olarak ifade edersek, teorik değer B,
B=
Pn
i=1 ci
× e−ri × ti
olarak genelleştirilebilir. Burada tn bono/tahvilin vadesini göstermektedir.
DURASYON Piyasalarda tahviller bağımsız şekilde alım-satım anlaşmaları üzerinden fiyatlanır. Piyasada
belirlenen bu fiyatlar faizlerin vade yapılarını vermektedir. Bir önceki örneklerde, tahvil fiyatlarının faiz ve
ödeme vadelerine bağlı olduğu fonksiyonları bulduk. Tahvillerin kupon ödemeleri olduğundan bu gelirler
ortalama vadeyi (Durasyon) azaltmaktadır. Durasyon analizleri özellikle finansal risklerin ölçümü açısından
önemlidir.
Tahvil fiyatını, B(y), iç getirisinin, y, bir fonksiyonu olarak şu şekilde yazabiliriz,
Pn
B(y) = i=1 ci × e−y × ti
Durasyon, D ise şu şekilde verilmektedir;
7
Pn
−y × ti
D = i=1 ti × ci ×e B
)
Her bir nakit ödemenin, ci , bugünkü değerinin toplama bölünmesi ile elde edilen ağırlıklar ödeme zamanları
olan ti ile çarpılarak ağırlıklı bir ortalama bulunmaktadır. Bu yüzden durasyon, tahvil sahiplerinin ortalama
nakit ödemesi için ne kadar beklediği olarak adlandırılmaktadır.
Eğer iç getirideki küçük değişimler için fiyatlardaki oynamaları hesaplamak istiyorsak durasyon bize kolay
hesaplama yapmamız için yardım edecektir. Bunu daha iyi anlamak için önce B(y) fonksiyonunun iç getiriye
göre türevini alırsak;
dB = − Pn t × c × e−y × ti
i
i=1 i
dy
tekrar düzenlersek,
1 dB = − Pn t × ci × e−y × ti
i=1 i
B
B dy
ve D’yi yerine koyarsak,
dB = − Pn t × ci × e−y × ti ) × dy = −D × dy
i=1 i
B
B
olacaktır. Eğer küçük getiri değişimleri için ∆y ≈ dy ve ∆B ≈ dB olarak düşünürsek;
∆B = −B × D × ∆y
olarak tekrar yazılabilir. Bu durumda, getirilerdeki küçük değişimlerin tahvil fiyatına etkisi durasyonu ile
doğru orantılı olmaktadır. Eğer bono/tahvil fiyatları, piyasalarda bazı rassal olayların etkisi ile değişiyorsa,
fiyat değişimi de rassal bir değişken olarak düşünülebilir ve risk hesaplaması yapılabilir. Piyasada belirlenen
fiyat/getiriden kaynaklandığı için bu risk piyasa riski başlığı altında incelenmektedir.
Getiriler yılda m kez ödemeli bileşik (compounding m times) olarak verildiğinde,
D
düzeltilmiş
1 + y/m
durasyon olarak adlandırılmaktadır.
Örnek: Nosyonel değeri 100TL, vadesi 3 Yıl ve 6 ayda bir 5TL kupon ödemeli bir tahvilin getirisi
%12 olarak verilmektedir. (Örnek, Hull, “Options Futures and Other Derivatives” kitabından)
a) Durasyonu Hesaplayınız?
b) Eğer getiri %12’den %11.5’a düşerse bononun fiyatını Durasyon ile hesaplayınız?
c) Getiri %12’den %12.2’ye değişirse Bononun fiyatını Durasyon ile hesaplayınız?
Tekrar hatırlarsak,
B(y) =
D=
Pn
i=1 ci
Pn
i=1 ti
×
× e−y × ti
ci ×e−y
B
× ti
)
ve
∆B = −B × D × ∆y
her altı ayda bir 5TL ödeme var, y = 0.12 anapara 100TL (verilmediğinde de 100TL kabul edeceğiz).
P6
B(y = 0.12) = i=1 5 × e−0.12 × i/2 ≈ 94.213
8
D=
P6
i=1
i
2×
−0.12 ×
5×e
B
i
2 ) + 100 × e−0.12 × 3 ≈ 2.653
B
olarak hesaplanacaktır. Bir tablo haline getirirsek (Hull’un kitabındaki tabloyu oluşturursak)
Zaman (Yıl)
Ödeme
Bugünkü Değer
Ağırlık
Zaman x Ağırlık
ti
ci
ci × e−y × ti
ci × e−y × ti
ti × ci × e−y × ti
B
B
0.5
5
4.709
0.05
0.025
1
5
4.435
0.047
0.0471
1.5
5
4.176
0.044
0.0665
2
5
3.933
0.042
0.0835
2.5
5
3.704
0.039
0.0983
3
105
73.256
0.778
2.3327
Toplam
130
B = 94.213
1
D ≈ 2.653
Tablonun hazırlanmasında kullanılan hesaplar en üst satırda gösterilmektedir. Durasyon, D 2.653 olarak
hesaplanmaktadır. Getiri %12’den %11.5’e düşerse, ∆y = −0.005 olacaktır.
∆B = −B × D × ∆y = −2.653 × (−0.005) × 94.213 = 1.25
ve yeni getiri, y = 0.115 ile tahvilin fiyatı, B + ∆B ≈ 95.463 olacaktır.
Tahvilin getisini direk olarak kullansaydık, B(y = 0.115) ≈ 95.472 olarak hesaplayacaktık. Aradaki fark ise,
-0.009TL olacaktır. Aynı yol ile getirinin %12.2’ye çıkmasını da hesaplayabiliriz. Bu durumda durasyon
tekrar D = 2.653 olarak alındığında,
∆B = −B × D × ∆y = −2.653 × (0.002) × 93.715 = -0.5
ve yeni getiri, y = 0.122 ile tahvilin fiyatı, B + ∆B ≈ 93.713 olacaktır.
Tahvilin getisini direk olarak kullansaydık, B(y = 0.122) ≈ 93.715 olarak hesaplayacaktık.
Aradaki fark ise, -0.0014TL olarak hesaplanacaktır. Aşağıdaki grafiklerde sırası ile getiri değişiminin tahvilin
fiyatına etkisinin Durasyon ile hesaplanması, Tahvilin teorik fiyatının hesaplanması ve Durasyon hesabındaki
hata gösterilmektedir.
9
2
0
−2
−4
Fiyat Degisimi (TL)
4
Tahvilin Getiri Degisimine Gore Fiyat degisimi, Durasyon= 2.653 B= 94.213
−2
−1
0
1
2
Getiri Degisimi, dy, (%)
2
0
−2
−4
Fiyat Degisimi (TL)
4
Getiri Degisimine Gore Teorik Fiyat degisimi, B= 94.213
−2
−1
0
Getiri Degisimi, dy, (%)
10
1
2
0.10
0.05
0.00
Fiyat Degisimi (TL)
0.15
Durasyon Hatasi, B= 94.213
−2
−1
0
1
2
Getiri Degisimi, dy, (%)
Grafiklerden de görülebileceği gibi getiri değişim sıfırdan uzaklaştıkça yani biraz büyük değişimler durumunda
hata payı konveks bir fonksiyon gibi artmaktadır. Bunun nedeni de tahvilin fiyatlarındaki değişimin durasyon
yolu ile bulunmasında doğrusal yaklaşık fonksiyonun kullanılmasıdır. Değişimin biraz daha büyük olması
durumunda fiyat fonksiyonunun konveksitesi de gözönüne alınmalıdır.
KONVEKSİTE Tahvilin fiyat fonksiyonu hatırlanacağı gibi doğrusal olmayan ancak getiriye göre yavaşça
değişen bir fonksiyondur ve sonsoz defa türevi de alınabilir. Bu durumda fiyat fonksiyonunu, Taylor seri
açılımı yoluyla
bir tür polinom olarak da yazabiliri. Tahvilin fiyat fonksiyonu,
Pn
B(y) = i=1 ci × e−y × ti
y = y + ∆y yazılıp, y = y noktasında ikinci derece polinom olan Taylor serisi elde edilirse,
B 00 (y)
B(y + ∆y) ≈ B(y) + B 0 (y) × ∆y + 2! × (∆y)2 + R
burada R hata payını ifade etmektedir ve bu durumda,
B 00 (y)
=⇒ ∆B = B(y + ∆y) − B(y) ≈ B 0 (y) × ∆y + 2 × (∆y)2 + R
Eşitliğin her iki tarafını da B’ye bölersek ve hatayı, R gözardı edersek,
1
2
=⇒ ∆B
B ≈ −D × ∆y + 2 × C × (∆y)
burada D Durasyon
ve C konveksitedir. Konveksite,
Pn 2 ci × e−y×ti
C = i=1 ti ×
)
B
olarak yazılır.
Finansal yöneticiler portföylerinde bulundurdukları varlıkların net durasyonu ve konveksitesini sıfır olarak
seçerek getirilerdeki değişimlerden etkilenmemeye çalışabilirler. Aktif ve pasiflerin Durasyonlarının eşitlenmesi
yolu ile yapıl faiz riskinin hedge edilmesine eşleştirmesi adı verilmektedir.
Yukarıda örnekte verilen tahvilin Konveksitesi, C ≈ 7.57 olarak hesaplanmaktadır.
∆B ≈ −D × ∆y + 1 × C × (∆y)2 =⇒ ∆B ≈ B × − D × ∆y + 1 × C × (∆y)2 )
2
2
B
11
Bu durumda grafiklere aynı örnek için tekrar dönersek, aşağıdaki grafikler sırası ile Durasyon ile hesaplanan
Tahvil fiyat farkını, Konveksitenin Tahvil fiyat farkına etkisini, teorik tahvil fiyat değişimini ve Durasyon +
Konveksite kullanılarak elde edilen tahvil fiyatlarındaki hatayı göstermektedir. Görüldüğü gibi sıfır getiri
değişiminden uzaklaştıkça hata büyümekte ancak hata hem çok az olmakta hem de %2 getiri değişimlerinde
bile gözardı edilebilecek düzeyde kalmaktadır.
2
0
−2
−4
Fiyat Degisimi (TL)
4
Durasyonun Etkisi, Durasyon= 2.653 B= 94.213
−2
−1
0
Getiri Degisimi, dy, (%)
12
1
2
0.08
0.04
0.00
Fiyat Degisimi (TL)
0.12
Konveksitenin Etkisi, Konveksite= 7.57 B= 94.213
−2
−1
0
1
2
1
2
Getiri Degisimi, dy, (%)
2
0
−2
−4
Fiyat Degisimi (TL)
4
Teorik Fiyat degisimi, B= 94.213
−2
−1
0
Getiri Degisimi, dy, (%)
13
0.000
−0.002
Fiyat Degisimi (TL)
0.002
Konveksite + Durasyon Hatasi, B= 94.213
−2
−1
0
1
2
Getiri Degisimi, dy, (%)
Daha büyük değişimlere bakıp yalnızca hata miktarını gösterirsek Konveksitenin etkisi daha çok ortaya
çıkacaktır.
1.5
1.0
0.5
0.0
Fiyat Degisimi (TL)
2.0
2.5
Durasyon Hatasi, B= 94.213
−5
0
Getiri Degisimi, dy, (%)
14
5
0.05
−0.05
−0.15
Fiyat Degisimi (TL)
0.15
Konveksite + Durasyon Hatasi, B= 94.213
−5
0
5
Getiri Degisimi, dy, (%)
Yukarıdaki grafiklerde sırası ile Durasyon ile hesaplama da ve Durasyon + Konveksite ile hesaplamada
arta kalan hata miktarları gösterilmektedir. Burada daha geniş getiri değişimine göre grafikler verilmiştir.
Görüleceği gibi hata artık bir tür 3. dereceden polinom gibi görünmektedir. Bunun nedeni ise daha yüksek
getiri değişimlerinde 3. ve daha yüksek derecede polinom yaklaşık fiyat fonksiyonu olarak kullanılmalıdır. Yani,
Taylor serisi ile daha yüksek derecelerin de fonksiyona eklenmesi gerekir. Ancak unutulmaması gereken bir
nokta, getiri değişimlerinin çok nadir çok yüksek düzeylerde olmasıdır. Bu dönemler finansal kriz dönemleridir.
15

Download Report