URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Zaman Gecikmeli Kaotik Bir Sistemin Aktif Kontrol İle Senkronizasyonu
Gülten Çetintaş1,
Vedat Çelik2
1
Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Muş Alparslan Üniversitesi, 49250 Muş
[email protected]
2
Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Fırat Üniversitesi, 23119 Elazığ
[email protected]
Özet: Bu bildiride, basit bir yapıda olan zaman gecikmeli doğrusal olmayan özdeş iki kaotik sistemin (biri
Master-Verici diğeri Slave-Alıcı olmak üzere)
farklı başlangıç şartları için kaos senkronizasyonu
gerçekleştirilmiştir. Bu amaçla Master ve Slave sistemlerin çıkışındaki hatayı sıfıra götürebilmek için Slave
sisteme uygun bir kontrol işareti uygulanmasını sağlayacak bir oransal kontrolör, aktif kontrol yöntemi
kullanılarak tasarlanmıştır. Elde edilen kontrolörün etkinliği Lambert W fonksiyonu kullanılarak test edilmiş ve
uygun kazanç parametresi seçilmiştir. Elde edilen sonuçlar, sisteme ait simülasyon sonuçlarıyla doğrulanmıştır.
Abstract: In this paper, the chaos synchronization of two identical non-linear time delay chaotic system with a
simple structure (One Master-Transmitter, other Slave-Receiver) has been carried out for different initial
conditions. For this purpose, a proportional controller to provide a control signal for the slave system has been
designed by using active control methods in order to be zero error at the output of the master and slave system.
Efficacy of controller which is obtained has been tested using Lambert W function and appropriate gain
parameter was selected. The obtained results have been confirmed by the simulation results of the system.
1. Giriş
Kaosun başlangıç şartlarına hassas bağlı olması ve önceden kestirilemeyen yapıda olmasından dolayı kaos
senkronizasyon güvenli haberleşme sistemlerinde kullanılmaktadır [1-4]. Bu yüzden kaotik sistemlerin
senkronizasyonunu gerçekleştirmek önemli bir konu halini almıştır.
[5-7]’de sunulan sistem, doğrusal olmayan zaman gecikmeli yapıdadır ve aşağıdaki bir boyutlu zaman gecikmeli
diferansiyel denklem ile tanımlanmaktadır.
x  x   ( x )3
(1)
Burada, δ ve ε pozitif sistem parametreleri, x=x(t-) ve R+ olmak üzere sabit bir zaman gecikmesidir.
Denklem (1)’de tanımlanan sistem, zaman gecikmesi ve sistem parametrelerine bağlı olarak asimptotik kararlı,
limit çevrim ve kaotik davranış türlerini gösterebilmektedir. δ=ε=1 ve =1.6s için bu sistem kaotik davranış
göstermektedir.
Bu bildiride, Denklem (1)’de verilen doğrusal olmayan zaman gecikmeli özdeş iki sistemin biri Master (Verici)
diğeri ise Slave (Alıcı) olmak üzere kaos senkronizasyonu için, [8-9]’da verilen aktif kontrol yöntemiyle bir
oransal kontrolör önerilecek ve uygun kazanç değeri ise [10]’da verilen, zaman gecikmeli sistemlerin kutup
yerleşiminin tespit edilmesine yardımcı olan, Lambert W fonksiyonu ile tespit edilecektir. Bu girişle birlikte,
Bölüm 2’de, (1)’de verilen sistemin aktif kontrolle senkronizasyonu için gerekli olan oransal kontrolör
belirlenecek ve Lambert W fonksiyonu kavramı sunulacaktır. Bölüm 3’te Lambert W fonksiyonu kullanılarak
uygun oransal kontrol kazancı belirlenecektir. Bölüm 4’de elde edilen kontrolör kazanç değerlerine göre
oluşturulan sisteme ait nümerik sonuçlar verilecek ve son olarak Bölüm 5’de sonuçlar kısmı tartışılacaktır.
2. Zaman Gecikmeli Kaotik Sistemin Aktif Kontrol Yöntemiyle Senkronizasyonu
Şekil 1’de verilen özdeş iki zaman gecikmeli doğrusal olmayan kaotik sistemin, [8-9]’da verilen aktif kontrolle
senkronizasyonu gerçekleştirmek için farklı başlangıç şartları için çıkışlarının hata dinamiğinin elde edilmesi
gerekecektir. Denklem (2.a)’da Master ve (2.b)’de Slave sistem ve kontrol fonksiyonundan oluşan sistemin
modelleri verilmiştir.
URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Master (Verici)
Xm
u0
Slave (Alıcı)
+
-
Xs
Δ
Kontrolör
Şekil 1. Kaos senkronizasyon blok diyagramı
x m  xm   ( xm ) 3
(2.a)
x s  xs   ( xs ) 3   0 (t )
(2.b)
burada 0(t) kontrol fonksiyonudur. Bu özdeş iki sistemin hata dinamiğini tanımlayan ifade Denklem (3)’te ifade
edilmiştir.


x s  x m   ( xs  xm )   ( xs ) 3  ( xm ) 3   0 (t )
(3)


Eğer    x s  x m ,   xs  xm ve u 0 (t )   ( xs ) 3  ( xm ) 3   0 (t ) alınırsa, hata dinamiği aşağıdaki
biçimde elde edilecektir.
     u 0 (t )

 0 (t )  u0 (t )   ( xs ) 3 ( xm ) 3
forma dönüşür.
(4)

olmak kaydıyla,
u0 (t )   K olarak seçildiğinde Denklem (4) aşağıdaki
   (  K )
(5)
Denklem (5)’te elde edilen hata dinamiğinin karakteristik denklemi aşağıdaki biçimde olacaktır ve bu ifadenin
kökleri hata dinamiğinin kutuplarını verecektir. Senkronizasyonun gerçekleşebilmesi için hatanın sıfıra gitmesi
gerekir ve bu, ancak Denklem (6)’daki ifadenin köklerinin, yani hata dinamiğinin kutuplarının, sol yarı sdüzleminde olmasıyla sağlanabilecektir.
  (  K )e   0
(6)
=jω için (6)’yı sıfır yapacak K kazanç değerleri belirlendikten sonra Denklem (6)’nın köklerinin sol yarı sdüzleminde olduğu K kazanç aralığını bulmak için Lambert W fonksiyonu kullanılabilir. Lambert W fonksiyonu
aşağıda verilen eşitlikle ifade edilmektedir.
W ( x)eW ( x )  x
Bu ifade Denklem (6)’ya uygulanırsa aşağıdaki eşitlik elde edilecektir.
(7)
URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
1
  W ( (  K ))

(8)
Matlab ortamında farklı sistem parametresi ve zaman gecikmesi değerleri için denklem (8) çözülebilir. Elde
edilen sonuçlara göre kararlı olunan kazanç değerleri tespit edilebilir.
3. Uygulama
Bu bölümde Denklem (1)’de verilen özdeş iki modelin farklı başlangıç şartları için senkronizasyonu Bölüm 2’ de
verilen yolla gerçekleştirilecektir. Bu amaçla kaotik davranışın gözlendiği sistem parametreleri olan δ=ε=1 ve
=1.6s seçilecektir. Verilen sistem parametreleri için =jω alındığında Denklem (6)’nın gerçek ve kompleks iki
ifade elde edilecektir.
( K   ) cos( )  0
  (  K ) sin( )  0

(9)
Denklem (9)’u sağlayan K kazanç değerleri, K=1 ve K=1.981 dir. Hata dinamiğinin kutupları Denklem (8)’de
verilen ifadeyle incelenecek olursa, farklı K kazanç değerleri için Lambert W fonksiyonu ile elde edilmiş kutup
yerleşimi Şekil 2’de verilmiştir.
K=1.2
K=0.8
25
20
20
15
15
10
10
5
jω
jω
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
(a)
(b)
-25
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
-3
0
-2.5
-2
-1.5
K=1.5
0
K=2.5
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
jω
jω
-0.5
σ
σ
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
(c)
-20
-25
-2.5
-1
-2
-1.5
-1
σ
-0.5
0
(d)
-20
-25
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
σ
Şekil 2. δ=ε=1 ve =1.6 s için zaman gecikmeli doğrusal olmayan sistemin kutuplarının s-düzlemindeki
konumları: a) K=0.8, b) K=1.2 , c) K=1.5 ve d) K=2.5.
Şekil 2’ye bakıldığında, 1<K<1.981 aralığındaki değerler için hata dinamiğinin tüm kutupları sol yarı sdüzlemindedir. Bu Slave sistemin Master sistemi belirli bir süre sonra takip edeceği anlamına gelir. K=1.5 için
kutuplar kompleks eşlenik olduğundan belirli bir osilasyon sonunda hata sıfıra ulaşırken, K=1.2 için dominant
kutup reel eksen üzerinde olduğu için sönümsüz bir şekilde üssel olarak sıfıra gidecektir. Bundan dolayı oransal
kontrolörün kazanç değeri K=1.2 alınarak senkronizasyon osilasyonsuz bir şekilde sağlanabilecektir.
4. Nümerik Sonuçlar
Bu bölümde aktif kontrol yöntemiyle senkronizasyonu sağlamak amacıyla kullanılan oransal kontrolörün farklı
kazanç değerleri için özdeş iki kaotik sistemin, Matlab/Simülink ortamında elde edilen nümerik sonuçları
sunulacaktır. Sisteme ait nümerik sonuçlar elde edilirken tüm uygulamalarda Master sistemin başlangıç şartı
x0m=0.9 ve Slave sistemin başlangıç şartı x0s=0.1olarak alınacaktır ve senkronizasyonu sağlayacak olan kontrolör
50. saniyede devreye alınacaktır. Şekil 3’de kontrolörün hata dinamiğini kararlı yapacağı kazanç değerleri
K=1.2 ve1.5 için Master ve Slave çıkışlarının zamana göre değişimleri ve iki çıkış arasındaki hatanın değişimi
elde edilmiştir.
URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
K=1.2
K=1.2
2.5
1.5
2
1.5
1
1
Δ(t-)
x(t-)
0.5
0
-0.5
0.5
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-1.5
-2.5
0
Kontrolör Aktif
50
t(s)
100
150
0
Kontrolör Aktif
50
t(s)
100
150
(a)
K=1.5
K=1.5
2.5
1.5
2
1.5
1
1
Δ(t-)
x(t-)
0.5
0
-0.5
0.5
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-1.5
0
50
Kontrolör Aktif
t(s)
100
-2.5
150
0
50
Kontrolör Aktif
t(s)
100
150
(b)
Şekil 3. δ=ε=1 ve =1.6 s için zaman gecikmeli doğrusal olmayan özdeş Mater ve Salve sistemlerin çıkışı ve
aralarındaki hata, a) K=1.2, b) K=1.5 (Düz çizgi: Master, Kesikli çizgi: Salve)
Şekil 3’e bakıldığında, her iki kontrol kazancı için de kontrolör devreye girdikten sonra senkronizasyonun
gerçekleştiği görülmektedir. Ancak K=1.2 için aradaki hata üssel sıfıra giderken K=1.5 için osilasyon yaparak
sıfıra gittiği görülmektedir. Benzetim sonuçlarına bakıldığında kontrolör kazancı olarak K=1.2 seçilmesinin
uygun olduğu görülür.
5. Sonuçlar
Bu bildiride, doğrusal olmayan zaman gecikmeli kaotik bir sistemin senkronizasyonu gerçekleştirilmiştir. Bunu
sağlamak için zaman gecikmeli birinci derece doğrusal olmayan özdeş iki sistemin farklı başlangıç şartları için
senkronizasyonunu aktif kontrol yöntemi kullanılarak uygun bir oransal kontrolörle sağlanmıştır. Kontrolör
kazanç değerleri Lambert W fonksiyonu ile test edilmiş ve osilasyonsuz bir hata dinamiğinin oluşması için
uygun kontrolör kazancının K=1.2 olduğu tespit edilmiştir. Elde edilen sisteme ait simülasyon sonuçlarında da
beklendiği biçimde senkronizasyonun gerçekleştiği görülmüştür.
Kaynaklar
[1] Cuomo K.M., Oppenheim A.V., Strogatz, S.H., “Synchronization of Lorenz-Based Chaotic Circuits with Applications
to Communications”, IEEE Trans. On CAS-II, 40(10), s: 626–633, 1993.
[2] Yang T., Chua L.O., “Secure Communication via Chaotic Parameter Modulation”, IEEE Trans. On CAS-I, 43(9),
s: 817–819, 1996.
[3] Li Z., Li K., Wen C., Soh Y.C., “A New Chaotic Secure Communication System”, IEEE Trans. on Communications,
51(8), s: 1306–1312, 2003.
[4] Grzybowski J.M.V., Rafikov M., Balthazar J.M., “Synchronization of the unified chaotic system and application in
secure communication”, Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 14,s: 2793–2806, 2009.
[5] Uçar A., Bishop S.R., “Chaotic behaviour in a nonlinear delay system”, Int. J. Nonlinear Sci. Num. Sim., 2, s:289–294,
2001.
[6] Uçar A., “A prototype model for chaos studies”, Int. J. Eng. Sci., 40, s: 251–258, 2002.
[7] Uçar A., “On the chaotic behavior of a prototype delayed dynamical system”, Chaos Solitons and Fract., 16, s:187–194,
2003.
[8] Bai E. W., Lonngren K. E.,” Synchronization of two Lorenz systems using active control”, Chaos Solitons and Fract.,
8(1), s:51–58, 1997.
[9] Uçar A., Lonngren K. E., Bai E.W.,”Synchronization of chaotic behavior in nonlinear Bloch equations”, Physics Letters
A, 314, s: 96–101, 2003.
[10] Corless R. M., Gonnet G. H., Hare D. E. G., Jeffrey D. J., Knuth D. E., “On the LambertW function”, Advances in
Computational Mathematics, 5(1), s:329-359, 1996.

Download Report