Belirsiz Parametreli Kesir Dereceli Polinomların

Belirsiz Parametreli Kesir Dereceli Polinomların Üslerinin
Kararlılık Aralığının İncelenmesi
Bilal Şenol1, Celaleddin Yeroğlu1
1
Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
İnönü Üniversitesi, Malatya
[email protected] , [email protected]
Özetçe
Bu yayında, belirsiz parametre içeren kesir dereceli
polinom ailelerinin üslerinin kararlılık analizi
yapılmıştır. Kararlı tepki veren belirsiz parametreli kesir
dereceli polinom aileleri ele alınmış, üsleri bir aralık
içerisinde değiştirilerek değer kümeleri oluşturulmuş ve
sıfırı dışarıda bırakma prensibi ile üslerin kararlılık
aralıkları incelenmiştir. Kullanılan algoritma, uygulama
örnekleri üzerinde denenmiştir.
1. Giriş
Son birkaç on yılda, kesir dereceli matematiğin daha iyi
anlaşılması, bu konudaki çalışmaların artmasına sebep
olmuştur. Bilindiği gibi kesir dereceli bir diferansiyel
denklem, türevlerinin derecelerinin herhangi bir reel
sayı olabileceği diferansiyel denklemdir [1]. Bu fikirden
yola çıkılarak yapılan bazı çalışmalar, kesir dereceli
sistemlerin, gerçek dünyayı tamsayı dereceli
sistemlerden daha iyi ifade ettiğini göstermiştir [2].
Kesir dereceli matematik, ilk defa 17. YY'da L'Hospital
ile Leibniz arasındaki yazışmada sorgulanmıştır. Kesir
dereceli integro diferansiyel sistemler hakkında en çok
kullanılan tanımlamalar Grünwald-Letnikov, RiemannLiouville ve Caputo tarafından önerilmiştir. Bu
tanımlamaların sayısal çözümlerini [3]'te bulmak
mümkündür. Aradan geçen yıllarda, artan bir ilgi ile
kesir dereceli matematik, kendine sağlam bir yer
edinmiştir. Kesir dereceli bir polinomun frekans
tabanındaki analizi için bu polinomların Laplace
dönüşümlerinin alınması gerekecektir. Bu bağlamda
kesir dereceli bir integro diferansiyel denklem Laplace
tabanında aşağıdaki gibi tanımlanabilir [3].
m 1 k
n 1
 d m f (t )  m
f (t ) 
k d
L
(1)
  s L  f (t )   s 

m
m 1 k
dt
dt
k 0



t 0
Burada, n  1  m  n 'dir.
Belirsizlik yapıları içeren sistemler de günümüzde ilgi
gören konulardandır. Dayanıklı kontrol sistemleri
çalışmalarında, sistemdeki belirsizlik göz önünde
bulundurulması gereken bir konudur çünkü belirsizlik
yapıları genelikle istenmeyen kararsızlıklara yol
açmaktadır [4]. Belirsizlik yapıları içeren sistemlerde
istenmeyen durumlarla karşılaşmamak için, belirsiz
parametrelerin verilen aralık içerisindeki tüm
olasılıklarının hesap edilmesi ve sistemin bütün
olasılıklara karşı kararlı tutulabilmesi gerekmektedir. Bu
çalışmada, seçilen belirsiz parametre içeren sistemlerin
üslerinin bir aralık içerisinde değişime tabi tutulmasına
karşı, sistemin tepkisi araştırılmıştır ve üslerin değişen
değerlerinde sistemin kararlılık aralığı incelenmiştir.
Literatürde, belirsiz parametre içeren sistemlerin
kararlılık analizi ile ilgili çok sayıda çalışmalar bulmak
mümkündür [4-7]. Örneğin, belirsizlik yapıları içeren
polinomların kararlılığına grafiksel bir yaklaşım [4]'te,
kesir dereceli aralık belirisizlik yapısı içeren sistemlerin
frekans cevaplarına ilişkin bir çalışma [5]'te bulunabilir.
Kesir ve orantılı dereceli belirsiz sistemlerle ilgilenen
bir çalışma [6]'da ve kesir dereceli aralık belirsizlik
yapısındaki sistemlerin dayanıklı kararlılık analizi [7]'de
yapılmıştır. Bu çalışmalardan edinilen bilgilere göre
değer kümesi hesabının, sıfırı dışarıda bırakma prensibi
ile birlikte kullanımı oldukça etkin bir yöntem olarak
gösterilebilir [4]. Bu yayındaki kararlılık analizi de bu
şekilde yapılmıştır.
Bu yayında, Bölüm 2'de, sıkça kullanılan belirsizlik
yapıları hakkında genel bilgi verilmiştir. Bölüm 3'te,
sıfırı dışarıda bırakma prensibi kısaca açıklanmıştır.
Bölüm 4'te uygulama örnekleri yer almaktadır. Bölüm
5'te ise sonuçlara yer verilmiştir.
2. Temel Belirsizlik Yapıları
Belirsizlik yapılarının kesir dereceli matematikle
birleştirilmesi son yıllara kadar fazla rağbet gören bir
konu olmamıştır fakat kesir dereceli matematiğin daha
iyi anlaşılmasıyla bu konuda da çalışmalar ortaya
çıkmıştır [5-7]. Belirsiz parametre içeren bir kesir
dereceli polinomun genel yapısı aşağıdaki gibi
gösterilebilir.
P(s, q)  pn sn  ...  p2 s2  p1s1  p0 s0
(2)
Burada, 0  1  ..   n keyfi seçilmiş reel sayılardır.
q  [ p0 ,.., pn ]  Q ise
Q belirsizlik sınırlama
kümesine ait bir belirsiz parametrelerdir. Belirsizlik
sınırlama kümesi Q , aynı zamanda belirsizlik kutusu
ismini alır [8].


Q  q : pi   pi , pi  , i  0,1,..., n
(3)
Burada pi , pi , i  1, 2,..., l , pi belirsiz parametresinin
i. elemanına ait alt ve üst limitlerdir. Farklı belirsizlik
yapıları için farklı şekillerde Q kümeleri meydana
gelmektedir. Dolayısıyla farklı belirsizlik yapılarının
incelenmesi ve bu belirsizlik yapılarının kesir dereceli
polinomlar için genellenmesi önemli olacaktır. En çok
kullanılan belirsizlik yapılarının kesir dereceli sistemler
için genellenmesi aşağıda verilmiştir [4, 9].
Tek parametre belirsizliği içeren kesir dereceli bir
polinom ailesi gösterimi denklem 4’te verilmiştir.
[n1 ,n1 ]
p( s, q)  (an  bn q) s[n ,n ]  (an 1  bn 1q) s
[1 ,1 ]
...  (a1  b1q) s
(4)
[0 ,0 ]
 (a0  b0 q) s
Burada ai , bi  R , i  0,1,..., n keyfi reel katsayılardır,
i  [i ,i ] , i  0,1, 2,...., n , i  R , polinomun kesir
dereceleridir.  i ve  i , sırasıyla belirsiz üslerin alt ve
üst limitleridir. q , q  [ q , q ] aralığında değişen reel
belirsiz parametredir. q
ve q , verilen belirsizlik
aralığının sırasıyla alt ve üst limitleridir.
Aralık belirsizliği yapısındaki kesir dereceli bir polinom
ailesi gösterimi denklem 5’te verilmiştir.
[n1 ,n1 ]
p( s, qi )  [ qn , qn ]s[n ,n ]  [ qn 1 , qn 1 ]s
[1 ,1 ]
...  [ q1 , q1 ]s
[0 ,0 ]
 [ q0 , q0 ]s
i  0,1,..., n
(5)
Burada, qi , i  0,1,..., n şeklindedir. Bu yapıda belirsiz
parametreler birbirine bağımlılık gösterebilir.
Polinom belirsizlik yapısındaki kesir dereceli bir
polinom ailesi gösterimi denklem 8’de verilmiştir.
qi  (an qnn qnn11 .. q00  an 1qnn qnn11 .. q00  ... 
a0 qnn qnn11 .. q00 )
Burada qi , i  0,1,.., n şeklindedir.  i , i  0,1, 2,...., n ,
 k  R reel derecelerdir. Çarpma işleminden dolayı
belirsiz parametreler birbirileriyle bağımlı olabilir.
Yukarıda verilen belirsizlik yapılarına ek olarak genel
belirsizlik yapısı gösterilebilir. Bütün matematiksel
işlemler bu yapıda kullanılabilir. Bu yapıyı denklem
6'daki
gösterim
ile
ifade
etmek
gerekirse
i , i  0,1,..., n , q 'ye bağlı bir polinomdur ve q ,
qi , i  0,1,..., n herhangi bir yapıda olabilir. Bu yapıda
da belirsiz parameteler birbirleriye bağımlı olabilir.
Bu belirsizlik yapılarının genel kararlılık analizi [9]'da
sunulmuştur. Ancak bu yapılardaki kesir derecelerin
belirli bir aralıkta değişmesi durumunda kararlılığın
incelenmesinin bu alana önemli katkı sağlayacağı
düşünülmektedir. Çünkü üslerin belirli aralıkta
değişmesi kararlılığı önemli şekilde etkilemektedir.
Kesir dereceli polinomlarda s  j değişikliğini
yaparak frekans analizi yapmak mümkündür. Denklem
6'da s  j değişikliği yapılarak aşağıdaki denklem
elde edilebilir.
[n1 ,n1 ]
Burada, qi ve qi , i  0,1, 2,...., n , qi  R verilen
p( j , q)  n (q)( j )[n ,n ]  n 1 (q)( j )
belirsiz parametrenin alt ve üst
ve i  [i ,i ] , i  0,1, 2,...., n , i  R
...  0 (q)( j )
limitleridir
polinomun
kesir dereceleridir.  i ve  i , sırasıyla belirsiz üslerin
alt ve üst limitleridir.
Affine belirsizlik yapısı içeren kesir dereceli bir
polinom ailesi gösterimi denklem 6’da verilmiştir.
[n1 ,n1 ]
p( s, q)  n (q) s[n ,n ]  n 1 (q) s
[0 ,0 ]
...  0 (q) s
(6)
Burada, i , i  0,1,..., n , q 'ye bağlı bir polinomdur. q
ise qi  (an qn  an 1qn 1  ...  a0 q0 ) şeklindedir. Burada
ak , k  0,1,..., n sabitlerdir, qk , k  0,1,..., n , belirsiz
parametrelerdir ve i  [i , i ] , i  0,1, 2,...., n ,
i  R ,  i ve  i alt ve üst limitler olmak üzere
polinomun kesir dereceleridir.
Multilineer belirsizlik yapısındaki kesir dereceli bir
polinom ailesi gösterimi denklem 7’de verilmiştir.
qi  (an qn qn 1...q0  an 1qn qn 1...q0  ...  a0 qn qn 1...q0 ) (7)
(8)
[0 ,0 ]
(9)
i (q)( j )[ , ]  i (q)([ , ] )( j[ , ] ) 


i (q)([ , ] )[cos ( i ,  i )  j sin ( i ,  i )] 
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2

(10)


[i ,i ]
)(cos ( i ,  i ))  
 i (q)(
2





j  i (q)([i ,i ] )(sin ( i ,  i )) 
2


Burada i  0,1, 2,..., n olarak alınmıştır. Bu sistemin
frekans analizi ile polinomun kararlılığı incelenebilir.
Denklem 10'da elde edilen Re[ P(s, q)]  j Im[ P( s, q)]
değeri i  0,1, 2,..., n için aşağıdaki şekliyle kompleks
düzlemde çizilerek kesir dereceli polinom ailesinin
kararlılık aralığı incelenebilir.




i
i
 i (q)( )(cos 2  i )  j i ( q)( )(sin 2  i )  


(11)




i
i
 i (q)( )(cos 2  i )  j i ( q)( )(sin 2  i ) 


Değer kümesinin elde edilmesinden sonra da sıfırı
dışarıda bırakma prensibini kullanarak dayanıklı
kararlılık analizi yapılabilir.
3. Sıfırı Dışarıda Bırakma Prensibi
Sabit parametreli bir P( s) polinomu, bütün kökleri sol
yarı düzlemde olduğu takdirde kararlıdır. Buna Hurwitz
kararlılığı denir. Verilen bir P   p(s, q) : q  Q
polinom ailesinin kararlı olabilmesi için tüm q  Q ’da
p( s, q) elemanlarının kararlı olması gerekmektedir.
Bir başka deyişle her q  Q için P( s, q) 'nin bütün
kökleri sol yarı düzlemde ise tüm polinom ailesi
kararlıdır [10]. Bölüm 1'de bahsedildiği gibi belirsiz
parametre içeren sistemlerin dayanıklı kararlılık analizi,
değer kümesi hesabı ve sıfırı dışarıda bırakma
prensibinin birlikte kullanımı ile yapılabilmektedir.
Sıfırı dışarıda bırakma prensibine göre bir P( s, q)
polinom ailesi, eğer en az bir elemanı kararlıysa ve tüm
 frekans değerleri için 0  P( j, q) şartını sağlıyorsa
dayanıklı kararlıdır [4, 9]. Bir başka deyişle, bir
polinom ailesinin dayanıklı kararlı olabilmesi için değer
kümesinin, kompleks düzlemin merkez noktasını
içermemesi gerekmektedir. Sıfırı dışarıda bırakma
prensibi, dayanıklı kararlılık analizi için oldukça etkin
ve kullanımı kolay bir yöntemdir. Bu yayında kullanılan
algoritmada da sıfırı dışarıda bırakma prensibinden
yararlanılmıştır ve algoritmanın akış diyagramı Şekil
1’de verilmiştir.
4. Uygulama Örnekleri
Bu çalışmada üslerin belirli aralıklarla değişiminin
polinom ailesinin kararlılığına etkisi incelenmiş ve
polinom ailesini kararlı tutan değerler araştırılmıştır.
Bunun için bir Matlab m-dosyası oluşturulmuştur.
Yazılan algoritma polinom ailesinin üslerini, nominal
değerlerden
başlayarak
simetrik
olarak
0.01
basamaklarla artırmış ve azaltmıştır. Oluşan aralık
içerisinde polinom ailesinin kararlılığı incelenmiştir.
Polinom ailesi kararsızlığa ulaşana kadar bu işlem tekrar
edilmiştir böylece verilen polinom ailesinin bir üssü için
kararlılık aralığı bulunmuştur. Diğer üsler için de bu
işlem tekrarlanmıştır. Son olarak bu işlem tüm üsler için
aynı anda uygulanmıştır. Affine ve multilineer
belirsizlik yapılar içeren iki adet kesir dereceli polinom
üzerinde algoritma uygulanmış ve sonuçlar grafiklerle
gösterilmiştir. Bölüm 2’de verilen diğer belirsizlik
yapıları için de bu yöntemi uygulayarak üslerin
kararlılık aralığını belirlemek mümkündür.
Örnek 1: [4]'te verilen, affine belirsizlik yapısındaki
polinom ailesi belirsiz kesir dereceli formda şöyle ele
alınsın.
[ 3 ,3 ]
P( s, q)  (2q1  q2  2q3  1) s
[ 2 , 2 ]
(3q1  q2  q3  2) s
[1 ,1 ]
(3q1  q2  7q3  5) s

(12)
 (2q1  2q2  5q3  4)
Burada belirsiz üslerin nominal değerleri, 3  3 ,
 2  2 ve 1  1 olarak alınmıştır. Belirsiz parametreler
ise qi  [0.2,0.2] , i  1, 2,3 olarak belirlenmiştir. Sıfırı
dışarıda bırakma prensibine göre dayanıklı kararlılık
için, bir P( s, q) polinom ailesi en az bir q  Q için
kararlı olmalıdır. Denklem 12’de verilen polinom
ailesinin nominal üs değerleri ve qi  0.2 değerindeki
kökleri k1  0.3003  1.9861i , k2  0.3003  1.9861i
ve
olarak
bulunmuştur.
Kök
k3  0.7745
değerlerinden görüldüğü üzere polinom ailesinin en az
bir üyesi kararlıdır. Bu polinom ailesine ait nominal
değerlerde   [0, 2.5]rad / sn frekans aralığındaki
değer kümesi Şekil 2'de verilmiştir.   
değerlerinde de kararlılığın değişmediği görülmüştür.
Görüldüğü gibi verilen değerlerle bu polinom ailesi
dayanıklı kararlıdır. Bir sonraki adım olarak 3  3
değeri 0.01 basamaklarla artırılarak ve azaltılarak
kararlı olduğu değerler hesaplanmıştır.  3 değerinin
0.06 ötelendiği durumlar içerisinde polinom ailesi
kararlı kalmıştır. Daha büyük değerlerde ise kararsızlığa
gitmiştir. Şekil 3(a)'da 3  [2.94,3.06] aralığında alt
3  2.94 için ve Şekil 3(b)'de üst değer
3  3.06 için bulunan değer kümeleri gösterilmiştir.
değer
Şekil 1. Kullanılan algoritmanın akış diyagramı
1  [0.94,1.06] aralığında alt değer 1  0.94 için ve
Şekil 5(b)'de üst değer 1  1.06 için bulunan değer
kümeleri gösterilmiştir.
Şekil 2. Örnek 1'deki polinom ailesinin nominal üslerle
  [0, 2.5]rad / sn frekans aralığında değer kümesi.
Şekil 6. Örnek 1'deki polinom ailesinin   2.1rad / sn
frekans değerinde 3  [2.97,3.03] ,  2  [1.97, 2.03]
ve 1  [0.97,1.03] aralıklarındaki değer kümesi.
Şekil 3. Örnek 1'deki polinom ailesinin
3  [2.94,3.06] aralığı için değer kümesi.
Şekil 4. Örnek 1'deki polinom ailesinin
 2  [1.67, 2.33] aralığı için değer kümesi.
Şekil 7. Örnek 1'deki polinom ailesinin
  [0, 2.5]rad / sn frekans aralığında 3  [2.97,3.03] ,
 2  [1.97, 2.03] ve 1  [0.97,1.03] aralıklarındaki
değer kümesi.
Şekil 5. Örnek 1'deki polinom ailesinin 1  [0.94,1.06]
aralığı için değer kümesi.
 2  2 üssü için uygulanmış ve
görülmüştür ki  2 değerinin 0.33 ötelendiği durumlar
Aynı
işlem
içerisinde polinom ailesi kararlı kalmıştır. Şekil 4(a)'da
 2  [1.67, 2.33] aralığında alt değer  2  1.67 için ve
Şekil 4(b)'de üst değer  2  2.33 için bulunan değer
kümeleri gösterilmiştir.
1  1
üssü için yapılan
incelemede 1 değerinin %6 ötelendiği durumlarda
polinom ailesi kararlı kalmıştır. Şekil 5(a)'da
Görüldüğü gibi seçilen üs aralıklarında polinom ailesi
dayanıklı kararlı kalmıştır. Bir sonraki adımda polinom
ailesinin tüm üslerine eşit öteleme uygulanmıştır ve
0.03 öteleme değerinde polinom ailesi kararlı
kalmıştır. Daha büyük öteleme değerlerinde ise polinom
ailesi karasızlığa gitmiştir. 0.03 öteleme değerinde
polinoma ait üsler 3  [2.97,3.03] ,  2  [1.97, 2.03]
ve 1  [0.97,1.03] olmaktadır. Şekil 6'da polinom
üslerinin alt ve üst limit değerlerindeki değer kümeleri
  2.1rad / sn frekansı için verilmiştir. Görüldüğü gibi
tüm değerlerde polinom ailesi sıfır noktasını
içermemektedir bu nedenle kararlı kalmaktadır fakay alt
limit değerlerinde 0 noktasına yaklaşmakta yani sistem
kararsızlık sınırına gelmektedir. Bu sistem için
  [0, 2.5]rad / sn frekans aralığında elde edilen değer
kümesi Şekil 7'de verilmiştir.
Örnek 2: [4, 11]'de verilen, multilineer belirsizlik
yapısındaki polinom ailesi belirsiz üsler ile aşağıdaki
gibi ele alınsın.
[ 4 , 4 ]
P ( s, q )  s
[ 3 ,3 ]
 (q1  q2  2.56) s
[ 2 , 2 ]
(q1q2  2.06q1  1.561q2  2.871) s
[1 ,1 ]
(13)
(1.06q1q2  4.481q1  1.561q2  3.164) s
Şekil 9(a)'da  4  3.63 değeri için polinom ailesinin
değer kümesi verilmiştir. Şekil 9(b)'de ise  4  4.17
değeri için polinom ailesinin değer kümesi verilmiştir.
Benzer şekilde 3  2.8 değerinin kararlılık aralığı
a3  [2.68, 2.92] olarak bulunmuştur. Şekil 8'de
görüldüğü gibi 0.12 öteleme değerinde polinom ailesi
kararlı kalmştır. Verilen polinom ailesinin 3  2.68
değerinde elde edilen değer kümesi Şekil 10(a)'da,
3  2.92 değerinde elde edilen değer kümesi ise Şekil
10(b)'de verilmiştir.
(4.032q1q2  3.773q1  1.985q2  1.853)
Bu örnek için belirsiz üslerin nominal değerleri
 4  3.9 , 3  2.8 ,  2  1.85 ve 1  1 olarak
alınmıştır. Belirsiz katsayılar ise q1  [0,1] ve
q2  [0,3] olarak belirlenmiştir. Sıfırı dışarıda bırakma
prensibinin uygulanabilmesi için polinom ailesinin en az
bir elemanının kararlı olduğu görülmüştür. Şekil 8'de
polinom ailesine ait değer kümesi   [0,1.8]rad / sn
frekans aralığında verilmiştir.
Şekil 10. Örnek 2'deki polinom ailesinin
a3  [2.68, 2.92] aralığı için değer kümesi.
 2  1.85 değeri için yapılan hesaplamada, 0.22
öteleme değeri ile elde edilen a2  [1.63, 2.07]
aralığında polinom ailesinin kararlı kaldığı sonucuna
ulaşılmıştır. Şekil 11(a)'da  2  1.63 değeri için ve
Şekil 11(b)'de  2  2.07 değeri için elde edilen değer
kümeleri verilmiştir.
Şekil 8. Örnek 2'deki polinom ailesinin verilen nominal
üslerle   [0,1.8]rad / sn frekans aralığındak değer
kümesi.
Bu örnek için de üslerin değişim adımı aralığı 0.01
olarak belirlenmiştir.  4  3.9 değerinin 0.27
ötelendiği durumda polinom ailesi kararlı kalmıştır.
Dolayısıyla bu üs için a4  [3.63, 4.17] değeri kararlılık
aralığı olarak belirlenmiştir.
Şekil 9. Örnek 2'deki polinom ailesinin a4  [3.63, 4.17]
aralığı için değer kümesi.
Şekil 11. Örnek 2'deki polinom ailesinin
a2  [1.63, 2.07] aralığı için değer kümesi.
1  1 değeri için ise a1  [0.85,1.15] aralığında
polinom ailesi kararlı kalmıştır. 0.15 öteleme ile elde
edilen 1  0.85 değeri için elde edilen değer kümesi
Şekil 12(a)'da ve 1  1.15 değeri için elde edilen değer
kümesi Şekil 12(b)' de gösterilmiştir.
Şekil 12. Örnek 2'deki polinom ailesinin
a1  [0.85,1.15] aralığı için değer kümesi.
5. Sonuçlar
Bu yayında belirsizlik yapıları içeren kesir dereceli
polinom ailelerinin kararlılık analizi yapılmıştır. Verilen
uygulama örneklerinde polinom ailelerinin üsleri belirli
ve simetrik oranlarda değiştirilerek, değer kümelerini
kararlı durumda tutan üsler bir aralık içerisinde
belirlenmiştir.
Parametrelerin
kararlılık
sınırı
belirlendikten sonra bu sistemi kararlı yapan tüm
parameter değerlerini de aynı algoritma kullanılarak
benzer şekilde elde etmek mümkündür. Affine ve
multilineer belirsizlik yapıları üzerinden iki uygulamalı
örnek ile analiz süreci açıklanmıştır. Sonuçlar
grafiklerle verilmiştir. Diğer belirsizlik yapıları için de
benzer şekilde üslerin kararlılık aralığı belirlenebilir.
Şekil 13. Örnek 2'deki polinom ailesinin   1.5rad / sn
frekans değerinde a4  [3.63, 4.17] , a3  [2.68, 2.92] ,
a2  [1.63, 2.07] ve a1  [0.85,1.15] aralıklarındaki
değer kümesi.
Şekil 14. Örnek 2'deki polinom ailesinin
  [0,1.7]rad / sn frekans aralığında a4  [3.63, 4.17] ,
a3  [2.68, 2.92] , a2  [1.63, 2.07] ve a1  [0.85,1.15]
aralıklarındaki değer kümesi.
Görüldüğü gibi  4  3.9 , 3  2.8 ,  2  1.85 ve
1  1 değerlerinin belirli oranlarda değiştirilmesiyle
polinom ailesi kararlı kalmıştır. Tüm üslerin aynı oranda
değiştirlmesiyle polinom ailesinin kararlı kaldığı durum
incelenmiş ve 0.05 öteleme değerinde polinom
ailesinin kararlı olduğu gözlenmiştir. Verilen polinom
ailesinin   1.5rad / sn frekansında,  4  [3.85,3.95] ,
3  [2.75, 2.85] ,  2  [1.8,1.9] ve 1  [0.95,1.05]
değerleri için elde edilen değer kümeleri Şekil 13'de
verilmiştir. Bu sistemin   [0, 2.5]rad / sn frekans
aralığında elde edilen değer kümesi Şekil 14'te
verilmiştir.    değerlerinde de kararlılığın
değişmediği görülmüştür. Şekil 13 ve Şekil 14'te
görüldüğü gibi belirsiz üslerin alt limit değerlerinde 0
noktasına yaklaşmakta yani sistem kararsızlık sınırına
gelmektedir.
Kaynakça
[1] S. Manabe, “Early development of fractional order
control,” Proceedings of DETC‟03, ASME 2003
Design Engineering Technical Conference,
Chicago, 2003.
[2] I. Podlubny, Fractional-order systems and PI  D
controllers, IEEE Transactions on Automatic
Control, vol. 44(1), pp. 208–214, 1999.
[3] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna and I. Petras,
Fractional Order Systems, Modeling and Control
Applications. World Scientific, Singapore, 2010.
[4] R. Matusu, and R. Prokop, Graphical analysis of
robust stability for systems with parametric
uncertainty: an overview, Trans. of the Inst. of
Meas. and Cont., 33 (2), 274-290, 2011.
[5] C. Yeroglu, M. M. Ozyetkin and N. Tan, Frequency
Response Computation of Fractional Order Interval
Transfer Functions, IJCAS, 8 (5), 1009-1017, 2010.
[6] H. Kang, Robust Stabilization of Commensurate
Fractional Order Interval Plants with PID
Controllers, ICIS, 596-599, 2009.
[7] N. Tan, O. F. Ozguven and M. M. Ozyetkin,
Robust stability analysis of fractional order interval
polynomials, ISA Transactions, 48 (2009), 166172, 2009.
[8] P. Husek, Systems, Structure and Control, pp. 111128. In-Teh, Croatia, 2008.
[9] B. Şenol ve C. Yeroglu, "Robust Stability Analysis
of Fractional Order Uncertain Polynomials,"
FDA12, Nanjing, China, 2012.
[10] S. P. Bhattacharyya, H. Chapellat and L. H. Keel,
Robust Control: The Parametric Approach, Prentice
Hall, 1995.
[11] B. R. Barmish, New tools for robustness of linear
systems. Macmillan, 1994.

Download Report