YTÜ Makine Mühendisliği Bölümü Makine Teorisi, Sistem Dinamiği

YTÜ Makine Mühendisliği Bölümü
Makine Teorisi, Sistem Dinamiği ve Kontrol Anabilim Dalı Özel Laboratuvar Dersi
Dinamik Absorber Tasarımı Deney Çalışma Notu
Laboratuar Yeri: A Blok 3 ve 4. Kat arası-Makine Teorisi Sis. Din. ve Kontrol Laboratuvarı
Laboratuar Adı: Makine Teorisi - 1
Konu: Dinamik Absorber Tasarımı
Kullanılan Cihaz Donatım ve Malzemeler:
Titreşim Deney Seti
Teorik Bilgi:
Titreşim: Bir cismin denge konumu etrafında yapmış olduğu salınım hareketlerine titreşim
denir. Bir süre sonra tekrarlanan her hareket veya salınım da titreşim olarak adlandırılır.
Serbestlik Derecesi: Bir sistemin herhangi bir anda bütün parçalarının konumlarının
tamamen belirli olabilmesi için gereken birbirinden bağımsız minimum koordinat sayısıdır.
Genlik: Titreşen cismin denge konumuna göre maksimum yer değiştirmesi.
Periyot: Titreşim hareketinin tekrarlandığı minimum süre.
Frekans: Birim zamandaki hareket sayısı.
Harmonik Hareket: Bir hareket eşit zaman aralıklarından sonra kendisini tekrarlıyorsa buna
periyodik hareket denir. En basit periyodik hareket şekli harmonik harekettir.(Şekil 1)
Şekil 1 Harmonik hareket
Rezonans: Bir sistemin doğal frekansı - kritik frekansı ( wn ) o sistem üzerine uygulanan
zorlayıcı etkinin (kuvvet veya moment) zorlayıcı frekansı ile çakışırsa) sistemde titreşim
genliklerinin giderek sonsuza doğru büyüdüğü, önüne geçilmediği taktirde de sistemde
muhakkak bir takım hasarların ortaya çıkması kaçınılmaz olur. Bu olaya rezonans denir.
Titreşim kontrolü mevcut sistemlere uygulandığı gibi dizayn aşamasında da kullanılır. Bu
şekilde başlangıçta oluşan titreşimlerin standartlarda verilen sınırlar içerisinde kalması
sağlanır. Çoğu zaman bazı sebeplerden dolayı sistemlerin dinamik davranışları zamanla
değişkenlik gösterebilir. Dolayısıyla mekanik sistemlerdeki titreşimlerin teknik, insan ve
çevre şartları açısından emniyetli sınırların altına indirilmesi gerekir. Buna da titreşimlerin
kontrolü denir.
Titreşim İzolasyonu Niçin Yapılır:
Makina konstrüksiyonunun ömür değerlendirilmesinde makina titreşimleri birinci dereceden
rol oynar. Sistem içerisinde rezonans olmasa bile zamanla yorulma kırılmaları ortaya
çıkabilir. Makina parçaları sistem içerisindeki çalışma sırasında rezonans bölgesinde
çalışıyorsa bu durumda rezonans kırılmaları ortaya çıkacaktır. Bundan dolayı sistemi izole
etmek gerekir.
Rezonans altı veya rezonans üstü bölgelerde çalışan makina parçalarının titreşim genlikleri
standartlarda (DIN, VDI, TSE) verilen değerlerin altına düşürülmediği taktirde titreşimlerin
etkisiyle parçalarda bir takım hasarların ortaya çıkması söz konusudur. Bu da yine titreşim
izolasyonunu gerektiren bir durumdur.
Şekil 2‘yi incelediğimizde wn sistemin doğal frekansı, υ ise o sistem üzerine uygulanan
zorlayıcı etkinin (kuvvet veya moment) zorlayıcı frekansıdır.
υ
wn
rezonans bölgesidir.
oranı 0.8-1.25 arası
Şekil 2 Rezonans bölgesi
Titreşimli çalışan makinalarda makina parçalarının titreşiminden dolayı deformasyonlar
meydana gelir. Sistemde oluşan iç sürtünmeler dolayısıyla bir enerji kaybı oluşur. Bu şekilde
titreşimler ve sürtünmeler sonucu meydana gelen enerji kayıplarının da titreşim izolasyonu
yoluyla azaltılması gerekir.
İnsan sağlığı açısından titreşimlerin ve gürültülerin insan üzerindeki etkilerinin yok edilmesi
veya sınırlandırılması gerekir. Bundan dolayı standartlarda titreşim ve gürültüler insan sağlığı
açısından sınırlandırılmıştır.
Tablo 1: Titreşimlerin İnsan Sağlığı Açısından Sınırlandırılması
300 (5 Hz)
600 (10 Hz)
1200 (20 Hz)
Titreşim Genlikleri
3000 (50 Hz)
x [mm]
İnsan Üzerindeki Etkileri
0,02
0,01
0,005
0,002
Hissedilmez
0,02 - 0,056
0,01 - 0,03
0,005 - 0,015
0,002 - 0,005 Mevcudiyeti anlaşılır
0,056 - 0,16
0,03 - 0,08
0,015 - 0,04
0,005 - 0,015 Hissedilmeye başlar
0,16 - 0,8
0,08 - 0,25
0,04 - 0,09
0,015 - 0,025 Rahatsız olmaya başlar
0,8 - 2,2
0,25 - 0,66
0,09 - 0,16
0,025 - 0,03
>2,2
>0,66
>0,16
>0,03
Rahatsız eder
Dayanılmaz hal alır
Titreşimlerin teknik açıdan deformasyonlar yönünden de sınırlandırılması gerekmektedir.
Tablo 2: Titreşimlerin Cihaz Güvenliği Açısından Sınırlandırılması (L yatak arası mesafe)
ÖTELEME
AÇISAL
xmax. ≤ xem.
θmax. ≤ θem.
xem. = 10-4. [mm]
θem. = 5.10-6. [mm]
Genelleştirilmiş Koordinatlar ve Asal Koordinatlar:
Sistemin her x anı için konumunu belirlemede kullanılan koordinatlara genelleştirilmiş
koordinatlar denir. İki serbestlik dereceli bir sistemin hareket denklemleri birbirine bağlı iki
denklemden oluşur. Ancak bu iki denklemi birbirinden bağımsız kılmak da mümkündür. Yani
her bir denklemi sadece bir koordinata bağımsız olarak yazmak mümkün olur. Bu şekilde
hareket denklemlerini birbirinden bağımsız yapan koordinatlara asal koordinatlar denir.
En Genel Halde 2. Dereceden Diferansiyel Denklemin Eldesi
İki serbestlik dereceli sistemlerde her kütleye ait bir adet olmak üzere iki tane diferansiyel
denklem bulunur. Buna bağlı olarakta iki kritik frekans değeri elde edilir. Bu frekans değerleri
sönümsüz hareketlerde frekans denklemini, sönümlü hareketlerde ise karakteristik denklemi
çözebilir. Kütleler o şekilde hareket edebilirler ki her kütle maksimum deplasmandan denge
konumuna aynı anda geçebilir veya sistemin tüm elemanları aynı faz açısında salınım
yapabilir. Bu hareket durumuna titreşimin normal modu denir.
Şekil 3. En genel halde lineer 2 serbestlik dereceli mekanik sistem
serbest cisim diyagramı:
Şekil 2. Kütlelerin serbest cisim diyagramları
ΣF = m1.x1
(1)
m1.x1 + k 1.x 1 + c 1.x 1 + k 2 .( x 1 − x 2 ) + c 2 .( x 1 − x 2 ) = F1 ( t )
(2)
m1.x1 + (c 1 + c 2 ).x 1 − c 2 .x 2 + (k 1 + k 2 ).x 1 − k 2 .x 2 = F1 ( t )
(3)
ΣF = m 2 .x 2
m2 .x 2 + k 3 .x 2 + c 3 .x 2 − k 2 .( x 1 − x 2 ) − c 2 .( x 1 − x 2 ) = F2 ( t )
(4)
m2 .x 2 + (c 2 + c 3 ).x 2 − c 2 .x 1 + (k 2 + k 3 ).x 2 − k 2 .x 1 = F2 (t )
(5)
Denklemler Matris formatında düzeltildiğinde
m1 0   x1  c 1 + c 2
 0 m  x  +  − c

2  2 
2

− c 2   x 1  k 1 + k 2
 +
c 2 + c 3  x 2   − k 2
− k 2   x 1  F1 ( t ) 
 =

k 2 + k 3  x 2  F2 ( t )
(6)
Dikkat edilirse [m], [c] ve [k] 2x2 boyutunda olup hepsi simetrik matristir.
[m]T=[m]
[c]T=[c]
[k]T=[k]
Eğer sistemde c2=0 ve k2=0 olursa bu iki denklem birbirinden bağımsız olur. Bu durum iki
kütlenin fiziksel olarak birbirine bağlı olmadığını ifade eder. Bu durumda [m], [c] ve [k]
matrisleri köşegen olur. Burada sistemin sönümsüz ve k3=0 olarak kabul edilirse, ve m2
kütlesine kuvvet uygulamıyorsa, ifade
(7)
Bu ifadede,
(8)
(9)
Şeklinde yazılırsa,
(10)
(11)
Denirse, ve ilk denklem x1 cinsinden yazılırsa
(12)
(13)
(14)
(15)
olarak bulunur.
Titreşim İzolasyonunda Dinamik Absorber Yöntemi:
Titreşen esas sistemin titreşimlerinin önüne geçilemiyorsa bu durumda titreşen esas sisteme
bir yay vasıtası ile yardımcı bir kütle eklenmektedir. Bunda amaç esas sistem yerine sonradan
bu sisteme asılan yardımcı kütle yani dinamik absorberin titreşmesidir. Bu metod sayesinde
uygun frekans ve kütle ayarı ile hem ana sistemin tabii frekansı değişmekte hem de titreşim
genlikleri azaltılmaktadır. Dinamik titreşim absorberleri sönümlü ve sönümsüz olarak
tasarlanabilirler. Şekil 3’de örnek bir sönümsüz dinamik absorber uyguaması görülmektedir.
Burada; m2 dinamik absorber kütlesi, k 2 ise dinamik absorber yayının katsayısıdır.
Şekil 3. Sönümsüz dinamik absorber uygulaması
Burada;
k1 = k A + kB
ωn1 =
k1
: absorber kütle asılmadan önceki ana sistemin kritik frekansı
m1
F( t ) = Fmax .Sinω.t [N]
x 2 > x1 olsun
m1.x1 + (k1 + k 2 ).x1 − k 2 .x 2 = Fmax .Sinω.t
x1( t ) = x1.Sinω.t
m 2 .x 2 + k 2 .x 2 −k 2 .x1 = 0
x 2 ( t ) = x 2 .Sinω.t
Buradan sistemin ωn1 ve ωn 2 kritik frekansları bulunur.
x1 =
Fmax .(k 2 − m2.ω2 )
(k1 + k 2 − m1.ω2 ).(k 2 − m2 .ω2 ) − k 22
x2 =
Fmax .k 2
(k 1 + k 2 − m1.ω2 ).( k 2 − m 2 .ω2 ) − k 22
Burada x1 ana sistemin yer değişimlerini, x2 ise bu sisteme sonradan asılan kütlenin yer
değişimlerini ifade etmektedir. Burada amaç ana sistemin titreşimlerini azaltmak olduğuna
2
göre x1 = 0 olması için paydaki (k2 − m2.ω ) değerini sıfırlamak gerekir.
x1 = 0
ω2 =
k2
m2
→
(k2 − m2.ω2 ) = 0
→
ω=
k2
m2
ωa
ω2 = ωa =
k2
: absorber kütlenin kritik frekansı
m2
ω = ωa olursa x1 = 0 olur.
Burada görülmektedir ki ana sisteme etkiyen kuvvetin zorlayıcı frekansı bu sisteme sonradan
asılan dinamik absorberin tabii frekansıyla eşitlendiği taktirde (ω = ωa ) ana sistem titreşimleri
x1 = 0 olacaktır. Burada ana sisteme asılan absorber kütlenin daha kolay titreşebilmesi için
kütle ve rijitlik değerinin ana sisteminkinden daha küçük olması gerekir.
ω = ω2 ⇒
x1 = 0 , x 2 = −
Fmax
şeklinde elde edilir.
k2
Yapılan deneyler sonucunda dinamik absorber kütlesinin m1 kütlesinin 0.1-0.3 katı olması
durumunda iyi bir absorbsiyon sağladığı belirlenmiştir. Buradan hareketle
olmak
üzere
olarak dinamik damper tasarımı yapılmış olur. Teori gereği sistem doğal frekans değerinde
tahrik edildiğinde x1 hareketi tamamen sönümlenerek yok olur. Yalnızca x2 hareketi görülür.
Dinamik damperler, tek bir serbestlik derecesini kontrol etmede etkili bir yöntemdir. Buna
karşın, sistemde ikinci bir doğal frekans oluşacağı için değişken tahrikli sistemlerde
tasarlanması önerilmez. Tek serbestlik derecesinde normalde üst frekanslar her zaman güvenli
olarak düşünülebilmesine karşın, oluşan bu ikinci serbestlik derecesi tehlikeli bir bölge
oluşturacağı unutulmamalı ve tasarımlar yapılırken bu durum göz önünde bulundurulmalıdır.

Download Report