TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
ELE 273 Elektrik Mühendisleri İçin Olasılık Teorisi
Ara Sınav
27 Şubat 2014
Adı ve Soyadı:
Bölüm:
No:
Aşağıdaki soruların tümünü çözünüz. Sorulardan tam puan alabilmek için tüm ara adımları gösteriniz
ve gerekli açıklamaları yazınız.
Sınav süresi 110 dakikadır.
ÖNEMLİ UYARI
Yükseköğretim Kurumları Öğrenci Disiplin Yönetmeliği Madde 9-m’ye göre “sınavlarda kopya yapmak
veya yaptırmak veya bunlara teşebbüs etmek” fiilinin suçu YÜKSEKÖĞRETYM KURUMUNDAN BİR
VEYA İKİ YARIYIL İÇİN UZAKLAŞTIRMA cezasıdır.
UYARI VE KURALLARI OKUDUM.
İmza:
Başarılar!
Soru
Not
1
2
3
4
Toplam
/110
Soru 1 (20 puan) 4 kırmızı, 4 siyah, 4 mavi ve 4 yeşil 30 × 30 cm kare şeklinde fayanslar, 4 × 4 şeklinde
bir renkli kare oluşturmak üzere duvara yapıştırılmak istenmektedir.
a) (5 puan) Renk düzeni birbirinden farklı kaç tane kare oluşturulabilir?
b) (5 puan) Her bir sütunda tek renk fayans olacak şekilde kaç farklı kare oluşturulabilir?
c) (5 puan) Her bir sütunda 2 farklı renkten aynı sayıda olacak şekilde kaç farklı kare oluşturulabilir?
d) (5 puan)Her bir sütunun 4 fayansının da farklı renkte olacağı şekilde kaç farklı kare oluşturulabilir?
2
Soru 2 (30 puan) Görüntü kümesi Z = {1, 2, . . . , ∞} olan X ayrık rastgele değişkeni için
P (X > k) = 2−k , k ∈ Z
olarak verilmektedir.
a) (5 puan) E[X] beklenen değeri, ve var(X) değişintisini (varyans) hesaplayınız.
b) (5 puan) P (X < 2n|X ≥ n) =?
c) (10 puan) 6-yüzlü düzgün bir zar atılıyor ve çıkan sayı kadar X rastgele değişkenleri bağımsız olarak
üretiliyor ve toplanıyor.
Örneğin zar atımında i gelmiş ise, bu i adet X rastgele değişkeni, X1 , X2 , . . . , Xi
∑
üretiliyor ve T = in=1 Xn toplamı elde ediliyor. T rastgele değişkeni için E[T ] nedir?
d) (10 puan) X rastgele değişkenleri bağımsız olarak 3 tane üretiliyor ve bu 3 tanesinin maksimumu Y =
max{X1 , X2 , X3 } olarak tanımlanıyor. Y rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunu hesaplayınız.
∑
∑∞ i
∑∞ 2 i r(1−r2 )
1
r
n
Not: ∞
i=0 r = 1−r ,
i=0 ir = (1−r)2 ,
i=0 i r = (1−r)4 |r| < 1
3
Soru 3 (25 puan) X ve Y rastgele değişkenleri için, olasılık yoğunluk fonksiyonu

 cxy 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, xy ≤ 0.5
fX,Y (x, y) =
 0
değilse
a) (5 puan) c =?
b) (10 puan) fX (x) ve fY (y) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. X ve Y rastgele
değişkenleri bağımsız mıdır? İspat ediniz.
[
]
c) (10 puan) E X|Y = 34 = ?
4
Soru 4 (35 puan) Rastgele pozitif tamsayılar üreten bir makine şöyle çalışmaktadır: İlk olarak 6-yüzlü
bir zar atar, zarın sonucunu 6’ya bölerek p değeri üretir, ve sonrasında bu p değerini kullanarak, birbirinden bağımsız ve eş dağılımlı geometrik rastgele değişken tamsayılar üretir. Bu makineden çıkan
L sayı, x1 , x2 , . . . , xL , kullanılarak geometrik rastgele değişkenin parametresi, p, tahmin edilmek istenmektedir. Geometrik rastgele değişken için OKF,
P (Xi = k) = PXi (k) = (1 − p)k−1 p, k = 1, 2, . . . ,
olarak verildiğini hatırlayınız (Not: E[Xi ] = 1/p, var(Xi ) = 1/p2 − 1/p.). Bu makinden çıkan Geometrik
r.d.’nin parametresi olan p değeri ise, yukarıda bahsedildiği üzere düzgün bir dağılıma sahiptir:
{
}
1
1 2
PP (p) = , p ∈
, ,...,1 .
6
6 6
a) (5 puan) PX1 ,...,XL (x1 , . . . , xL ) OKF’yi, L ve T =
∑L
l=1
xl ’a bağlı olarak ifade ediniz.
b) (10 puan) p değerini tahmin etmek için şöyle bir yol takip etmek istiyorsunuz: Önce, g(p, x1 , . . . , xL ) =
PP |X1 ,...,XL (p|x1 , . . . , xL ) koşullu olasılık fonksiyonunu maksimize eden 0 ≤ pˆ ≤ 1 sayısını makineden
çıkan L sayıya bağlı olarak hesaplayıp, sonrasında, bu pˆ değerinin, {1/6,2/6,.
. . ,1} değerlerinden hangi∑L
sine en yakın ise o değer istenilen p değeridir. pˆ değerini L ve T = l=1 xl ’a bağlı olarak ifade ediniz.
c) (10 puan) Makineden çıkan ilk L sayı, 1 olarak elde edilmiştir: xl = 1, l = 1, . . . , L. Bu dizi oluşturulurken, zar atma sonucunun 6 olma ihtimali nedir?
d) (10 puan) Makineden çıkan ilk L sayı, 1 olarak elde edilmiştir: xl = 1, l = 1, . . . , L. Bu L sayıdan
sonra gözlenen L sayının da hepsinin 1 olma ihtimali, xl = 1, l = L + 1, . . . , 2L, nedir?
P (XL+1 = 1, . . . , X2L = 1|X1 = 1, . . . , XL = 1) =?
5

Download Report