Problemler2+Quiz1

MSGSÜ – MAT371
Problemler 2+QUIZ 1
16 Ekim 2014
4, 5, 6, 7, 8 ve 9. soruları, 1. quiz notunuz olarak değerlendireceğim. Bu nedenle, söz
konusu problemleri 24.10.2014 cuma günü ders saatine kadar çözüp getirmenizi istiyorum. Bu tarihten sonra getirilen çözümleri kabul etmeyeceğim. Sorularla ilgili dilediğiniz
kaynaklardan yararlanabilirsiniz. Benim tavsiyem, sorularla ilk önce kendiniz uğraşmanız.
Hocalardan yardım istemeyiniz. Eğer anlamadığınız bir şey varsa, bana sorunuz. Sorularla
ilgili bir ipucu: 4,5 ve 6. soruların çözümü 1,2 ve 3. soruların çözümlerine benzer yöntemlerle
çözülebilir. Bununla birlikte soruların bazılarında başka ipuçları da var.
1. Verilen a, b ∈ Z ve bir n ∈ N için
a ≡n b ⇐⇒ n | a − b
ile verilen “ ≡n ” bağıntısının Z üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz.
2. Tamsayılar kümesi Z üzerinde bir önceki soruda tanımlanan “ ≡n ” denklik bağıntısı
için,
(a) Bir a tamsayısının denklik sınıfının
a := a + nZ = {a + nk : k ∈ Z}
kümesi olduğunu gösteriniz.
(b) Tamsayılar kümesi Z üzerindeki “ ≡n ” denklik bağıntısına göre denklik sınıflarının
oluşturduğu kümeyi Z/nZ ile gösterelim.
Z/nZ = {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, . . . , n − 1}
olduğunu gösteriniz (yani bir a tamsayısının a
¯ denklik sınıfı ¯0, ¯1,. . . , n − 1 sınıflarından yalnızca bir tanesine eşittir ).
3. Verilen a, b ∈ Z için
a +n b := a + b
ve
a ×n b := a · b
olarak verilen “ +n ” toplama ve “ ×n ” çarpma işlemleriyle birlikte Z/nZ bir değişmeli
ve birimli halkadır. Gösteriniz.
4. Verilen bir p asalı için Fp cismini alalım 1 ve Fp [x] ile, Fp -katsayılı polinomlar halkasını
gösterelim. Bir M (x) ∈ Fp [x] polinomunu alalım.
Verilen her a(x), b(x) ∈ Fp [x] polinomları için
a(x) ≡M (x) b(x) ⇐⇒ M (x) | a(x) − b(x)
1
Derste, eğer p asalsa Fp = Z/ppZ ’nin bir cisim olduğunu göstermiştik ve bu cismin elemanlarını Fp =
{0, 1, . . . , p − 1} olarak göstermiştik. Bununla birlikte Fp üzerindeki toplama ve çarpma işlemlerini, “ +p ”
yerine “ + ”; “ ×p ” yerine “ × ” veya “ · ” ile göstereceğiz.
ile verilen “ ≡M (x) ” bağıntısının Fp [x] üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz.
5. Bir önceki soruda tanımlanan “ ≡M (x) ” denklik bağıntısı için,
(a) Bir F (x) polinomunun denklik sınıfının
F (x) := F (x) + M (x)Fp [x] = {F (x) + M (x)Q(x) : Q(x) ∈ Fp [x]}
kümesi olduğunu gösteriniz.
(b) Fp [x] üzerindeki “ ≡M (x) ” denklik bağıntısına göre denklik sınıflarının oluşturduğu
kümeyi Fp [x] mod M (x) ile gösterelim.
Eğer M (x) polinomunun derecesi n ise,
o
n
Fp [x] mod M (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 : a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ Fp
olduğunu gösteriniz.
6. Verilen F (x), G(x) ∈ Fp [x] için
F (x) +M (x) G(x) := F (x) + G(x)
ve
F (x) ×M (x) G(x) := F (x) · G(x)
olarak verilen “ +M (x) ” toplama ve “ ×M (x) ” çarpma işlemleriyle birlikte Fp [x]
bir değişmeli ve birimli halkadır. Gösteriniz.
mod M (x)
7. Diyelim ki P (x) ∈ Fp [x] bir indirgenemez polinom olsun. Gösteriniz ki, bu durumda
Fp [x] mod P (x) , “ +P (x) ” ve “ ×P (x) ” işlemleriyle birlikte bir cisimdir.
(İpucu: kanıt, Z/pZ ’nin cisim olduğunu göstermeye benzer)
8. Diyelim ki, verilen P (x) ∈ Fp [x] polinomunun derecesi n olsun. Bu durumda, Fp [x]
cisminin eleman sayısı pn dir.
(İpucu: 5. sorunun (b) şıkkını kullanın)
mod P (x)
NOTASYON: Derecesi n olan bir P (x) indirgenemez polinomu için, yukarıda tanımladığımız “ +P (x) ” ve “ ×P (x) ” işlemleriyle birlikte inşa ettiğimiz Fp [x] mod P (x) cismini, Fpn
ile göstereceğiz. Bununla birlikte Fpn üzerindeki toplama ve çarpma işlemlerini, “ +P (x) ”
yerine “ + ”; “ ×P (x) ” yerine “ × ” veya “ · ” ile göstereceğiz.
9. Gösteriniz ki, verilen her a ∈ Fp için
ϕ(a) = a
¯
ifadesi, ile verilen
ϕ : Fp ,→ Fpn
gömmesi, bir
∼
Fp −
→ ϕ(Fp )
izomorfizması tanımlar ( dolayısıyla, Fp cismi, Fpn ’in bir alt cismi olarak düşünülebilir).

Download Report