MSK Ders Notu (S.Erturk ve B.Sklar)

Minimum Kaydırmalı Anahtarlama (Minimum Shift Keying – MSK)
Referans: Sarp Ertürk, Sayısal Haberle me, Birsen Yayınevi, stanbul, 2010, S.279.
OQPSK’nın QOSK’ya göre üstünlü ü, sembol (burada bit) geçi lerinde olu an faz devamsızlıklarını
azaltmı olmasıdır. Bu iyile tirmeyi biraz daha ileri götürerek faz süreklili inin sa lanması dü üncesi
sürekli faz modülasyonu yöntemlerinin geli tirilmesine yol açmı tır. MSK sürekli faz modülasyon
yöntemlerinden biridir.
MSK iki farklı ekilde ele alınabilmektedir:
1. Sürekli-fazlı faz kaydırmalı anahtarlama (CPFSK: Continuous Phase Frequency Shift Keying) olarak;
2. Sinüssel sembol darbe biçimlendirme kullanılan OQPSK olarak.
1.
MSK’nın CPFSK Olarak Ele Alınması
Bu durumda, MSK i areti temel FSK i areti olarak ele alınır, fakat sembol geçi lerinde faz süreklili ini
sa lamak için bir faz sabiti (pk) eklenir. Böylece MSK i areti
i(t ) = cos 2π f c +
bk
t + pk
4Tb
kTb < t < (k + 1)Tb
(1)
olarak ifade edilir. Bu ifadede,
fc : Merkez ta ıyıcı frekansı
Tb : Bit aralı ı
bk : bk = ±1 olup, bit aralı ı Tb olan kutuplu ikili bilgi i aretinin (polar binary information signal)
aldı ı de erdir (1 bit için bk= +1, 0 bit için bk= −1).
pk : Faz sabiti
MSK’da ta ıyıcı frekansları (f1 ve fo):
bk = +1 için f1 = fc + 1/4Tb
bk = −1 için fo = fc − 1/4Tb
(2)
(3)
MSK ta ıyıcı frekansları arasında fark (ton aralı ı: Tone spacing),
f1 − f 0 =
1
2Tb
(4)
dir. Bu ton aralı ı, BFSK ta ıyıcı çapraz ilinti (cross correlation) diyagramında ilk sıfır geçi ine kar ılık
gelmektedir. E evreli olmayan (noncoherent), yani zarf çözümü kullanılabilen, BPSK demodülasyonu
için en dü ük ta ıyıcı frekans farkı, çapraz ilinti diyagramının ikinci sıfır geçi noktasına kar ı gelen
2(f1−fo)Tb=2 noktası, yani (f1−fo)=1/Tb frekans farkı olmaktadır. Bu frekans farkında çalı an BFSK,
Sunde FSK olarak adlandırılmaktadır [Sarp Ertürk, 2010, S.248]. MSK’daki ton aralı ı Sunde
FSK’daki ton aralı ının yarısına e it oldu undan, bu modülasyon yöntemine minimum kaydırmalı
anahtarlama (MSK: Minimum Shift Keying) adı verilmi tir.
MSk modülasyonu, BFSK ta ıyıcı çapraz ilinti diyagramının ilk sıfır geçi ine kar ı gelen ta ıyıcı
frekanslarında yapıldı ından, pk faz sabiti kullanılmadı ı takdirde sembol geçi leri sırasında ta ıyıcılar
arasında 180o faz farkı olu maktadır.
Faz sabiti pk, sembol geçi leri sırasında 0 ya da de erini alarak MSK dalgası fazının sürekli olmasını
sa layacaktır. Sembol geçi anında (yani, t = kTb için), ekil 1’de gösterildi i gibi, faz süreklili inin
sa lanabilmesi için iki ta ıyıcının da aynı de ere sahip olması gerekir. Bunun için E itlik (5) ve (6)’nın
sa lanması gerekir.
cos 2π f c +
cos 2π f c +
bk
t + pk
4Tb
= cos 2π f c +
t = kTb
bk −1
t + pk −1
4Tb
(5)
t = kTb
bk
b
kTb + pk = cos 2π f c + k −1 kTb + pk −1
4Tb
4Tb
(6)
t=kTb
cos 2π fc +
bk −1
t + pk −1
4Tb
cos 2π f c +
bk
t + pk
4Tb
ekil 1 MSK i aretinin sembol geçi lerinde faz devamlılı ının sa lanması.
Faz süreklili inin sa lanması için E itlik (6)’daki kosinüslerin açıları e it olmalıdır.
b
b
2π f c + k kTb + pk = 2π f c + k −1 kTb + pk −1
4Tb
4Tb
2πf c +
πk
πk
bk + pk = 2πf c +
b + pk −1
2
2 k −1
πk
πk
b + pk =
b + pk −1
2 k
2 k −1
(7)
(8)
(9)
MSK fazının sürekli olması sa layan faz sabiti pk, E itlik (6)’dan
pk = pk −1 +
πk
( b − b ) mod 2π
2 k −1 k
(10)
olarak elde edilir. Burada, pk’nın hesaplanması Modülo 2 ’ye göre yapılmaktadır. “Modulo 2 ”
tanımında, “ = , mod (2 )” ifadesi ( − ) açısının 2 ’nin tamsayı katlarına e it oldu u anlamına
gelir. Örne in, mod 2 tanımıda , 3 ve −5 aynı açılardır.
E itlik (6)’dan görülü ü gibi, her sembol için iletilecek faz de eri pk, bir önceki iletilen faz de eri ile o
andaki ve bir önceki sembol de erine ba lı olarak elde edilebilir.
DPSK sisteminde oldu u gibi, iletimden önce farksal kodlama kullandıktan sonra MSK yöntemi
uygulanabilir. Bu ekilde elde edilen farksal kodlanmı MSK iletimi, FFSK (Fast Fequency Shift
Keying: Hızlı frekans kaydırmalı anahtarlama) olarak da adlandırılır. Fakat farksal kodlanmı MSK, hata
olasılı ı MSK’ye göre daha yüksektir.
Örnek 1: MSK’da Faz Sabiti pk’nın Hesaplanması
CPFSK olarak yapılan bir MSK ileti iminde, 1 0 0 0 1 0 1 1 1 giri bit dizisi için, MSK i areti fazının
sembol geçi lerinde (burada bit geçi leri) sürekli olmasını sa lamak amacıyla, fazına eklenecek olan faz
sabiti pk’yı bir tablo çizerek k=0’dan 8’e kadar olan bit de erleri için hesaplayınız.
Çözüm 1: Faz sabiti hesabında pk = pk −1 +
πk
2
(bk −1 − bk ) mod 2 formülünü kullanalım:
Bit dizisi
:
1 0 0 0 1 0 1 1 1
Bilgi i areti (bk) : +1 −1 −1 −1 +1 −1 +1 +1 +1
Aralık sayısı (k) :
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Çizelge 1: 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Bit Dizisi için MSK Fazının Hesaplanması
k
bk-1
bk
Faz Sabiti: pk = pk −1 +
0
---
+1
po = 0 alınır
1
+1
−1
p1 = 0 +
2
−1
−1
3
−1
−1
4
−1
+1
5
+1
−1
6
−1
+1
7
+1
+1
8
+1
+1
2.
kπ
(bk −1 − bk ) mod 2
2
π
[+1 − (−1)] = π
2
2π
p2 = π +
[_ − 1 − (−1)] = π
2
3π
p3 = π + [−1 − (−1)] = π
2
4π
p4 = π +
[−1 − (+1)] = π − 4π = −3π = π
2
5π
p5 = π + [+1 − ( −1)] = 6π = 0
2
6π
p6 = 0 +
[−1 − (+1)] = 6π = 0
2
7π
p7 = 0 +
[+1 − (+1)] = 0
2
8π
p8 = 0 +
[+1 − ( +1)] = 0
2
E evreli MSK’nın Açı Modülasyonlu CPFSK Olarak Ele Alınması
[Simon Haykin, Communication Systems, 3/e, J. Willey,1994, p. 523-532]
E evreli MSK i areti elde etmenin bir yolu da, e evreli BFSK (Binary Frequency Shift Keying)
ileti iminde iletilecek olan ikili i aretinin bitleri arasındaki 0’dan 1’e ve 1’den 0’a geçi anlarında (yani
sinüzoidal ta ıyıcının frekans de i tirme anlarında), ta ıyıcının fazında süreklilik sa lamaktır. Bu i arete
CPFSK (Continuous Phase FSK) i areti de denilmektedir.
MSK i aretinde faz süreklili i sa landı ı için kullanılacak ta ıyıcı frekansları ( f1 ve f2) arasındaki fark
BFSK ta ıyıcısının çapraz ilinti diyagramında ilk sıfır geçi de eri (minimum de er) olan 1/2Tb olarak
alındı ından bu iletime Minimum Kaydırmalı Anahtarlama (MSK) adı verilmektedir.
CPFSK i areti 0
t
Tb aralı ında a a ıdaki ekilde tanımlanabilir:
s(t ) =
2 Eb
cos [ 2π f1t + θ (0)] , 1 bit için
Tb
(11a)
2 Eb
cos [ 2π f ot + θ (0) ] , 0 bit için
Tb
(11b)
Burada,
•
•
•
Eb iletilen i aretin bir bitlik enerjisidir (transmitted signal energy per bit).
Tb bit aralı ıdır.
2E b / Tb sinüzoidal ta ıyıcının bit enerjisi ve bit aralı ı türünden genli idir. Sinüzoidal
ta ıyıcının genli i A volt ve bit aralı ı Tb saniye olsun. Bu ta ıyıcının bir ohm’luk bir direnç
2
/ R = ( A / 2) 2 /1 = A2 / 2 watt’dır. CPFSK i aretinin
(R=1 ) üzeride olu turaca ı güç S = Vrms
bir bitlik enerjisi Eb=STb ya da Eb=(A2/2) Tb’dir. Böylece, sinüzoidal ta ıyıcının genli i, E itlik
(1) ve (2)’de oldu u gibi, A = 2 Eb / Tb olarak ifade edilebilir.
•
•
(0) fazı (evresi), t=0 anındaki faz de eri olup demodülatörün geçmi ine ba lıdır.
f1 ve fo frekansları, sırasıyla, modülatör giri indeki 1 bit ve 0 bit için kullanılan ta ıyıcı
frekanslarıdır.
CPFSK i areti açı modülasyonlu i aret (angle-modulated signal) olarak da a a ıdaki gibi tanımlanabilir.
s(t ) =
2 Eb
cos [ 2π f ct + θ (t )]
Tb
(12)
Burada (t), s(t) i aretinin fazıdır. (t) sürekli bir zaman fonksiyonu ise, s(t) de bitler arasındaki geçi
anları da dahil olmak üzere sürekli bir zaman fonksiyonudur.
Sembol 1 ve sembol 0’ın ta ıyıcı frekansları, sırasıyla,
ve
f1=fc + f
(13)
fo=fc − f
(14)
dir.
f1 ve fo frekans farkının bit oranı (bit rate) 1/Tb ile normalize edilmi (1/Tb’ye bölünmü ) ifadesi
birimsiz bir parametre olan sapma oranı (deviation ratio) olarak tanımlanır. Sapma oranı E itik (15)’de
verilmi tir.
h = Tb(f1 – fo)
(15)
f1 – fo = h/Tb = f
(16)
f = (f1 – fo)/2 = h/2Tb
(17)
E itlik (15’den,
Böylece, E itlik (13) ve (14) sapma oranı h türünden E itlik (18) ve (19)’daki gibi yazılabilir.
ve
f1=fc + h/2Tb
(18)
fo=fc − h/2Tb
(19)
E itlik (11a) ve (12)’deki kosinüsün açıları e it olaca ından,
2π f1t + θ (0) = 2π f c t + θ (t )
h
2π f c +
t + θ (0) = 2π f ct + θ (t )
2Tb
2π h
t + θ (0) = 2π fc + θ (t )
2Tb
2π h
θ (t ) = θ (0) +
t , 1 bit için, 0 t
2Tb
(20)
(21)
2π fct +
(22)
Tb
(23)
elde edilir. Benzer ekilde, E itlik (11b) ve (12)’deki kosinüsün açıları e it olaca ından,
2π f ot + θ (0) = 2π f ct + θ (t )
2π f c −
h
t + θ (0) = 2π f ct + θ (t )
2Tb
2π h
t + θ (0) = 2π fct + θ (t )
2Tb
2π h
θ (t ) = θ (0) −
t , 0 bit için, 0 t
2Tb
elde edilir ve E itlik (23) ile (27) E itlik (28)’deki gibi yazılabilir.
(25)
2π fc −
θ (t ) = θ (0) ±
πh
Tb
t,
0
t
(24)
(26)
Tb
Tb
(27)
(28)
CPFSK i aretinin (t) fazı, Tb saniyelik her bit aralı ında zamanla do rusal olarak E itlik (28)’e göre
artar ya da azalır. Burada, “ + ” i areti 1 bit göndermeye, ” − ” ise 0 bit göndermeye kar ı gelir.
E itlik (28), E itlik (12)’de yerine konulursa ve kosinüs fonksiyonunun açısı E itlik (11)’deki kosinüs
açılarıyla kar ıla tırılırsa, E itlk (29) ve (30) elde edilir.
πh
(29)
2π fct + θ (0) +
t = 2π f1t + θ (0)
Tb
2π f c t + θ (0) −
πh
Tb
t = 2π f ot + θ (0)
(30)
E itlik (29) ve (30)’dan CPFSK i aretinin ta ıyıcı frekansları olan f1 ve fo
f1 = f c +
h
2Tb
(31)
f2 = fc −
h
2Tb
(32)
olarak elde edilir. E itlik (31) ve (32) fc ve h için çözülürse,
1
( f1 + f 2 )
2
(33)
h = Tb ( f1 − f2 )
(34)
fc =
elde edilir.
E itlik (33)’den görüldü ü gibi nominal ta ıyıcı frekansı fc, f1 ve f2 ta ıyıcı frekanslarının aritmetik
ortalamasına e ittir. E itlik (34)’den görüldü ü gibi, f1 ve f2 frekans farkının bit oranı (bit rate) 1/Tb ile
normalize edilmi ifadesi birimsiz bir parametre olan sapma oranı (deviation ratio) olarak tanımlanır.
Faz Kafesi (Phase Trellis)
E itlik (28)’den t=Tb anında, E itlik (35) elde edilir.
θ (Tb ) − θ (0) =
+πh
−π h
1 bit için
0 bit için
(35)
E itlik (35) öyle yorumlanabilir: CPFSK i areti s(t)’nin fazı 1 bit gönderildi inde π h radyan kadar
artar, 0 bit gönderildi inde π h radyan kadar azalır. (t) fazının zamana göre de i imi, e imleri frekans
de i imlerine e it olan bir dizi do ru üzerinde bir yol takip eder. ekil 2’de t = 0 anında ba layan olası
yollar gösterilmektedir. Bu tür faz çizimlerine faz a acı (phase tree) denir.
(t) – (0)
(radyan) 4 h
Faz yollarının e imi frekans
de i imlerine e ittir
3 h
E im = ±
2 h
πh
Tb
h
0
- h
2Tb
4Tb
6Tb
8Tb
t
-2 h
-3 h
-4 h
ekil 2 Faz a acı (phase tree)
Faz a acı, iletilecek veri bitlerinin Tb saniyelik bit aralı ı sınırlarındaki ta ıyıcı fazı geçi lerine açıklık
getirir. Ayrıca, ekil 2’den açıkça görüldü ü gibi, Tb’nin tek ve çift tam sayı katlarında CPFSK’nın fazı
h’nın sırasıyla tek ve çift tam sayı katları kadardır.
E itlik (34)’de tanımlanan sapma oranı h’nın bire e it olması durumunda elde edilen BFSK i areti
aynı zamanda CPFSK i aretidir ve Sunde FSK (Sunde’s FSK) olarak adlandırılmaktadır [Simon Haykin,
Communication Systems, 3/e, J. Willey,1994, p. 523-532] ve [Sarp Ertürk, Sayısal Haberle me, Birsen Yayınevi,
2010, sayfa 248].
Sunde FSK’da h=1 oldu undan, E itlik (34)’den ta ıyıcı frekansları arasındaki fark
1
(36)
Tb
e itli i ile tanımlanır. Bu durumda, bit aralıklarının sınırlarındaki faz de i iklikleri ± radyan kadardır.
Burada “modulo 2 ” tanımı geçerli oldu u için + radyan’lık faz de i imi − radyan’lık faz de i imi ile
aynıdır.
f1 − f 2 =
Sunde FSK’da, bit aralıkları sınırlarındaki faz de i iklikleri ± radyan oldu undan, bir önceki bit
aralı ındaki de i ikli in ne oldu unun bilinmesi bir sonraki aralıktaki de i ikli in belirlenmesinde
herhangi bir fayda sa lamaz, yani, Sunde FSK belleksizdir (no memory).
Buna kar ılık, h=1/2 için farklı bir durum ortaya çıkar. Bu durumda, Tb’nin tek sayı katlarında (odd
multiples of Tb) faz + /2 ya da − /2 de erlerinden birini alır, Tb’nin çift sayı katlarında (even multiples
of Tb) faz 0 ya da de erlerinden birini alır. Bu durumdaki faz de i imini gösteren grafi e faz kafesi
(phase trellis) adı verilir. Bu Kafes yeniden ortaya çıkan dallardan olu maktadır. Faz kafesinde, soldan
sa a do ru her yol belirli bir ikili i aret giri ine kar ı gelmektedir. ekil 3’de bir faz kafesi örne i
gösterilmi tir. ekil 3’deki koyu çizgilerle belirtilen yol (t)=0 ve h=1/2 için 1101000 bit dizisine kar ı
gelmektedir.
E itlik (35)’i genelle tirirsek E itlik (37)’yi yazabiliriz.
θ (kTb ) = θ [(k − 1)Tb ] ± π h , k= 1, 2, 3, …, n
(37)
Burada, n bit dizisindeki bit sayısıdır; 1 bit için “ + ” i aret, 0 bit için “ – ” i aret kullanılmaktadır ve
(0)=0 alınır. E itlik (37)’den yararlanarak h=1/2 için Çizelge 2’deki gibi hesaplanan (t) faz
de i meleri ekil 3’de koyu çizgilerle gösterilmi tir.
Örnek 2: MSK’da Faz Kafesi Üzerine Faz Yolunun Çizilmesi
1101000 bit dizisi MSK modülasyon yöntemi ile iletilmektedir. Sapma oranını de erini h=1/2 ve
ba langıç fazını (0)=0 alarak, MSK i aretinin bit geçi lerinde faz süreklili inin sa lanması için verilen
bit dizisine ait faz de i imlerini,
a) Faz kafesi üzerine faz yolunu (phase path) çizerek gösteriniz.
b) θ (kTb ) = θ [( k − 1)Tb ] ± π h e itli ini kullanarak k=1, 2, 3, … , 7 için (kTb) faz de erlerini hesaplayınız.
Çözüm:
a) Faz kafesi üzerinde, faz yolu sıfırdan ba layarak, 1 bit için koyu çizgiyle /2 çıkı (artı ), 0 bit için
koyu çizgiyle /2 ini (azalma) yaparak ekil 3’de gösterilmi tir.
(t) – (0)
(radyan)
1
1
0
1
0
0
0
bit dizisi
/2
0
- /2
2Tb
4Tb
6Tb
8Tb
t
-
ekil 3 Faz kafesi üzerinde 1 1 0 1 0 0 0 bit dizisine ait
faz yolunun (faz de i imi) koyu çizgilerle gösterilmesi.
b) Çizelge 2: 1101000 Bit dizisine ait (t)’nin h=1/2 için Hesaplanması
Bit
De eri
aret
t
θ (kTb ) = θ [(k − 1)Tb ] ± π h ,
k = 1, 2, 3, …, n
1 bit için “ + ” , 0 bit için “ – ”
θ (Tb ) = θ (0) +
π
= 0+
1
+
Tb
1
+
2Tb θ (2Tb ) = θ (Tb ) +
0
–
3Tb θ (3Tb ) = θ (2Tb ) −
2
π
2
1
+
4Tb θ (4Tb ) = θ (3Tb ) +
0
–
5Tb θ (5Tb ) = θ (4Tb ) −
0
–
6Tb θ (6Tb ) = θ (5Tb ) −
0
–
7Tb θ (7Tb ) = θ (6Tb ) −
=+
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
=
2
π
2
+
=π −
=+
π
2
2
= 0−
2
2
π
−
2
π
π
=π −
=
π
+
π
2
π
2
π
2
; θ (0) = 0 alınır
=π
=+
π
2
π
2
= +π
=+
π
2
=0
=−
π
2
Çizelge 2’den ve ekil 3’den görüldü ü gibi, 1 bit göndermek MSK i aretinin fazı
arttırmakta, 0 bit göndermek MSK i aretinin fazını /2 radyan azaltmaktadır.
/2 radyan
E itlik (34)’den h = 1/2 de eri için f1 ve fo ta ıyıcı frekansları arsındaki fark bit oranın yarısına e it olur:
f1 − fo =
R
1
= b
2Tb 2
(38)
Bu frekans farkı, 1 ve 0 bitlerini E itlik (11)’deki gibi tanımlayan iki FSK i aretinin alma sürecinde
birbirleri ile giri im yapmayaca ı anlamına gelen e evreli ortogonal (coherently orthogonal) özelli e
sahip olmalarını sa layan minimum frekans farkıdır. Bu nedenle, sapma oranı (deviation ratio) 1/2 olan
CPFSK i areti genellikle MSK (Minimum Shift Keying) i areti olarak anılır.
Örnek 3: MSK’da Faz Kafesinin Elde Edilmesi ve Faz Yollarının Dikey Ekseni Kesti i Yollar
CPFSK olarak yapılan bir MSK ileti iminde, 1 0 0 0 1 0 1 1 1 giri bit dizisi için, MSK i areti fazının
sembol geçi lerinde (burada bit geçi leri) sürekli olmasını sa lamak amacıyla,
a) Faz de i imini gösteren faz yolarını faz kafesi üzerine çiziniz.
b) Faz kafesi üzerinde, faz yollarının dikey ekseni kesti i noktaların aynı bit dizisi için Örnek 1’de
Modülo 2 ’de hesaplanan faz sabiti (pk)’lara kar ı geldi ini çizimsel olarak gösteriniz.
c) θ (kTb ) = θ [( k − 1)Tb ] ± π h e itli ini kullanarak k=1, 2, 3, … , 7 için
hesaplayarak her bit aralı ı için bir çizelge üzerinde gösteriniz.
(kTb) faz de erlerini
Çözüm:
Verilen bit dizisi (Örnek 1’deki ile aynı): 1 0 0 0 1 0 1 1 1
(a) ve (b) Faz kafesi üzerinde faz yolu ve faz yolu çizgilerinin dikey ekseni kesti i noktaların Modülo
2 ’de faz sabiti pk de erine e it oldu u ekil 4’de gösterilmektedir.
Bit dizisi 1
(t) – (0)
radyan
0
0
0
1
0
1
1
1
(2 )mod 2 = 0
2
3 /2
/2
0
– /2
Tb
2Tb
3Tb
4Tb
5Tb
6Tb
7Tb
8Tb
9Tb
t
–
–3 /2
–2
–5 /2
–3
(–3 )mod 2 =
Not: Faz yollarının dikey ekseni kesti i noktalar
“modülo 2 ” olarak 0 ya da de erindedir.
–7 /2
–4
(–4 )mod 2 = 0
ekil 4 MSK modülasyonlu 1 0 0 0 1 0 1 1 1
giri bit dizisi için faz yolu (phase path)
c) Çizelge 3: 100010111 Bit Dizisine ait (t)’nin h=1/2 için Hesaplanması
Bit De eri
aret
t
θ ( kTb ) = θ [( k − 1)Tb ] ± π h , k = 1, 2, 3, …, n
1 bit için “ + ” , 0 bit için “ – ”
θ (Tb ) = θ (0) +
π
= 0+
1
+
Tb
0
–
2Tb θ (2Tb ) = θ (Tb ) −
0
–
3Tb θ (3Tb ) = θ (2Tb ) −
0
–
4Tb θ (4Tb ) = θ (3Tb ) −
1
+
5Tb θ (5Tb ) = θ (4Tb ) +
2
π
=+
2
0
–
6Tb θ (6Tb ) = θ (5Tb ) −
1
+
7Tb θ (7Tb ) = θ (6Tb ) −
1
+
8Tb θ (8Tb ) = θ (7Tb ) +
1
+
9Tb θ (9Tb ) = θ (8Tb ) +
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
−
2
2
−
= −π +
=−
π
2
=−
π
2
= 0+
+
π
2
π
2
π
−
= −π +
=0
=−
2
π
; θ (0) = 0 alınır
2
π
π
= 0−
=−
π
=+
2
π
2
π
2
π
2
π
2
= −π
=−
π
2
= −π
=−
π
2
=0
=+
π
2
3. MSK’nın Faz Kaydırmalı Anahtarlama Olarak Ele Alınması
[Bernard Sklar, Digital Communications Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 2/ed, New Jersey, 2001,
ISBN 0-13-084788-7 , p. 559-563]
[Sarp Ertürk, Sayısal Haberle me, Birsen Yayınevi, stanbul, 2010, S.281]
MSK i areti, sinüssel sembol darbe biçimlendirme kullanan OQPSK i areti olarak ifade edilebilir.
Kolaylık için A a ıda tekrar yazılan E itlik (1)’de E itlik (39)’daki trigonometik ba ıntıyı uygulayalım.
i(t ) = cos 2π f c +
bk
t + pk
4Tb
kTb < t < (k + 1)Tb
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
i(t ) = cos 2π f c +
(1’in tekrarı)
(39)
bk
b
t cos pk − sin 2π f c + k t sin pk
4Tb
4Tb
(40)
Faz sabiti pk, sıfır ya da π de erini aldı ından, cos pk = ±1 ve sin pk = 0 olur. Böylece E itlik (40)’dan
E itlik (41) elde edilir.
i(t ) = cos 2π fc +
bk
t
4Tb
ya da i (t ) = cos
π bk
2Tb
t + 2π f ct
(41)
cos (a+b) biçiminde olan E itlik (41)’de E itlik (39)’daki trigonometik ba ıntıyı uygularsak, E itlik
(41)’i e -fazlı ve dik-fazlı bile enler türünden (quadrature representation) E itlik (42)’deki gibi
yazabiliriz.
πb
πb
kTb < t < (k + 1)Tb
(42)
i (t ) = cos k t cos 2π f c t − sin k t sin 2π f ct
2Tb
2Tb
Bilgi i aretinin bk = ±1 de erlerini aldı ı göz önüne alındı ında E itlik (42)’yi E itlik (43)’deki gibi
ifade edebiliriz.
i (t ) = ek cos π t cos 2π f c t − d k sin π t sin 2π f c t
2Tb
2Tb
kTb < t < (k + 1)Tb
(43)
Burada, ek ve dk sırasıyla, e -fazlı ve dik-fazlı ta ıyıcıların katsayılarıdır.
ek = cos pk = ±1
dk = bkcos pk = ±1
(44)
(45)
E itlik (43)’de,
•
•
ek cos π t cos 2π f c t e -fazlı bile en, cos2πfct e -fazlı ta ıyıcı, cos(πt/2Tb) sinüssel sembol
2Tb
a ırlı ı (darbe biçimlendirmesi) ve ek veriye ba lı olarak ±1 de erin alan bir katsayı olarak
tanımlanmaktadır.
Benzer ekilde, d k sin π t sin 2π f c t dik-fazlı bile en, sin2πfct dik-fazlı ta ıyıcı, sin(πt/2Tb)
2Tb
sinüssel sembol a ırlı ı (darbe biçimlendirmesi) ve dk veriye ba lı olarak ±1 de erin alan bir
katsayı olarak tanımlanmaktadır.
kili tabanbant bilgi i areti verisi (bk), her Tb saniyede de i mektedir. Buna ra men sürekli faz artı
nedeniyle, ek sadece cos(πt/2Tb)’nin sıfır geçi lerinde ve dk da sadece sin(πt/2Tb)’nin sıfır geçi lerinde
de er de i tirebilmektedir. cos(πt/2Tb)’nin priyodunun 4Tb, yarı-periyodunun ise 2Tb oldu unu öyle
gösterebiliriz: cos(πt/2Tb) ifadesinde, πt/2Tb = 2πft oldu undan, frekans f = 1/4Tb ve periyot ise T = 1/f = 4Tb
elde edilir. Benzer ekilde, sin(πt/2Tb)’nin periyodu da 4Tb’dir. Böylece,
Dolayısıyla, ek ve dk katsayıları, OQPSK i aretinin e -fazlı ve dik-fazlı kollarında yer alan i aret
de erlerinin sadece iki bit zaman dilimi (2Tb) aralıklarla özelli ini sa lamaktadır.
Sonuç olarak, OQPSK modülasyonunda yükseltilmi kosinüs darbe biçimlendirmesi yerine sinüssel
darbe biçimlendirmesi kullanarak MSK elde edilebilmektedir. Bu durumda ikili bilgi i aretinin bitleri.
ki erli olarak gruplandıktan sonra her seferinde bir bit e -fazlı I kanalından, di er bit ise dik-fazlı Q
kanalından iletilmek üzere MSK i areti
i (t ) = bI cos π t cos 2π f ct + bQ sin π t sin 2π f c t
2Tb
2Tb
(46)
olarak ifade edilmektedir. Bu ifadede e -fazlı I kanalından iletilecek veri bI ve dik-fazlı Q kanalından
iletilecek veri bQ olarak gösterilmektedir. ekil 5’de bu ekilde çalı an bir MSK modülatörü
gösterilmektedir.
Çarpıcı
bI
Çarpıcı
×
×
Rs=Rb/2
Tabanbant
Bilgi areti
Rb=1/Tb
Seri/Paralel
Çevirici
~
Rs=Rb/2
bQ
cos π t
2Tb
Tb
Gecikme
~
Tb Gecikme
×
cos 2π c ft
+
π /2 Gecikme
×
ekil 5 OQPSK temelli çalı an MSK modülatör yapısı.
MSK
Rs=Rb
E -fazlı kanal (in-phase channel)
×
Giri
(Input)
Tb
−Tb
dt
x1
φ1 (t )
Karar devresi
(decision circuit)
E ik seviyesi
Dik-fazlı kanal (quadrature channel)
φ2 (t )
θˆ (0)
Mantık devresi
(threshhold) = 0
x (t )
×
Faz kestirimi
(phase estimate)
2Tb
0
dt
x2
Karar devresi
(decision circuit)
(logic circuit)
Faz kestirimi
(phase estimate)
θˆ(Tb )
E ik seviyesi
(threshhold) = 0
ekil 6 MSK demodülatör yapısı.
Di er MSK Örnekleri
MSK ile ilgili di er örnekler için a a ıdaki referans kitabın belirtilen sayfalarına bakınız.
[Sarp Ertürk, Sayısal Haberle me, Birsen Yayınevi, stanbul, 2010]
•
Sayfa 283-284: MSK i aretinin elde edilmesine ili kin örnek için da ekil 6.34 ve 6.35.
•
Sayfa 285: MSK’da hata olasılı ı ile ilgili örnek için Örnek 6.10.
•
Sayfa 286: MSK bantgeni li i ve iletim hızı ile ilgili örnek için Örnek 6.11.
kili
i aret
(binary
signal)

Download Report