karmasik_sayilarin_gosterilis_sekilleri

KARMAŞIK SAYILARIN GÖSTERİLİŞ ŞEKİLLERİ
Karmaşık Sayılar veya vektörler üç şekilde gösterilir. Bunlar aşağıda incelenmiştir.
Dik bileşenler şeklinde gösteriliş
Bu gösteriş şeklinde karmaşık veya vektör yatay ve düşey eksen üzerindeki
izdüşümleri ile gösterilir. Bu izdüşümler vektörün birbirine dik olan bileşenlerdir.
Şekil 1.a Bir vektörün dik bileşenler şeklinde gösterilmesi

Şekil 1a’daki A vektörünün yatay eksen üzerindeki bileşeni a ve düşey eksen üzerindeki

bileşeni b olduğuna göre A vektörü,

A = a + jb
(1-1)
şeklinde gösterilir. a bileşeni gerçel sayılar ekseni üzerinde olduğundan gerçel bir sayıdır. b
bileşeni ise sanal sayılar ekseni üzerinde bulunduğundan, sanal bir sayıdır. Bunun için b
bileşeni j ile birlikte gösterilir. Şekil 1 deki vektörlerde dik bileşenler şeklinde gösterilmiştir.
Dik bileşenlerinden vektörün büyüklüğünü (mutlak değerini) ve yatayla yaptığı açıyı
bulabiliriz. Şekil 1a’daki A vektörünün büyüklüğü,

A  A  a 2  b2
(1-2)
ve yatayla yaptığı açı ise,
 = tan-1
dır. Burada tan-1
b
a
(1-3)
b
, tanjantı b/a olan açı anlamındadır. tan-1 = arctan olarak da ifade edilir.
a
Diğer taraftan Cos  = (a/A) ve Sin  = (b/A) olduğundan, a ve b bileşenleri için,
a = A . Cos
b = B . Sin
(1-4)


yazılır. Bu ifadeler, A = a + jb formülün yerine yazılırsa, A vektörü için,

A = a + jb = A . Cos + j . A . Sin
veya,

A = A (Cos + j Sin)
(1-5)
elde edilir. Burada A, vektörün büyüklüğü ve  da vektörün yatayla yaptığı açıdır.
Kutupsal Gösteriş
Bu gösteriş şeklinde vektör, büyüklüğü ve pozitif yatay eksenle yaptığı açı ile

gösterilir. Şekil 2 de A vektörünün büyüklüğü (mutlak değeri) A ve pozitif yatay eksenle
yaptığı açı  olduğuna göre kutupsal gösterilişi,

A = A /
(7-6)
dır. Bu gösterilişte A ve açı işareti içindeki  birbiri ile çarpma şeklinde düşünülmemelidir.

A = A /  sadece bir gösteriliş biçimidir.
Şekil 2. Bir vektörün kutupsal şekilde gösterilmesi




Şekil 3’te A , B , C ve D vektörleri kutupsal şekilde gösterilmiştir. Bu vektörlerin
açılarının pozitif yatay eksenden itibaren alındığına dikkat ediniz.
Şekil 3.
Bundan dolayı pozitif yatay eksene “başlangıç ekseni” denir. Ayrıca saat ibresi hareketinin
ters yönünde oluşan açılar pozitif, saat ibresi hareketi yönünde oluşan açılarda negatif işaretle
gösterilir.
Vektörün yatay ve düşey eksenler üzerindeki bileşenleri (gerçel ve sanal bileşenleri)
yine a = A . Cos, b = B . Sin bulunur.
KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti


değiştirilerek elde edilir. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A * sayısı sırasıyla,

A = a  jb

A * = a  jb




dir. A = 2-j3 ise, eşleniği A * = 2 + j3 dür. B = -4 + j2 ise, eşleniği B * = -4-j2 dir.
Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açısının işareti


değiştirilerek bulunur. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A * sayısı sırasıyla,

A = A / 

A*=A/  




dır. A = 4/ 30 0 ise, eşleniği A * = 4/- 30 0 dir. B = 20 /- 70 0 ise, eşleniği B * = 20/700 dir.
DİK BİLEŞEN VE KUTUPSAL GÖSTERİLİŞLERİN BİRBİRİNE ÇEVRİLMESİ
Dik bileşenler şeklinde bir vektör kutupsal şekile ve kutupsal şekildeki bir vektör de

dik bileşenler şekline çevrilebilir. Dik bileşenler şeklindeki A = a + jb vektörünün, kutupsal

A =A/  vektörüne çevrilmesi için A büyüklüğü ve  açısının a ve b cinsinden bulunması

gerekir. A büyüklüğü A  A  a 2  b 2 formülünde verilmiştir. Buradan,

A = a + jb =
a 2  b 2 / tan 1
b
a
yazılır. Bu formül dik bileşenler şeklinin kutupsal şekle çevrilmesinde kullanılır.
Kutupsal şekildeki, A = A/  vektörünü, dik bileşenler şeklindeki

A = a + jb
(1-8)
vektörüne çevirmek için, a ve b bileşenleri, a ve  cinsinden bulunmalıdır. a = A . Cos ,
b = B . Sinl formülünde a ve b bileşenleri A ve  cinsinden verilmişti. Buradan;

A = A/  = A Cos  + jA Sin 
(1-9)
yazılır. Bu formül kutupsal şeklin dik bileşenler şekline çevrilmesinde kullanılır.
Örnek 1

Z = 3 – j4 vektörünü kutupsal şekle çeviriniz.
Çözüm

a 2  b 2 / tan 1
A = a + jb =

Z = 3 – j4 =
b
formülü kullanılarak,
a
32  4 2 / tan 1 (4 / 3)
= 5 /  530
bulunur. Burada negatif açıların tanjantının da negatif olacağı unutulmamalıdır.
Örnek 2


Y = 20/ 310 ve U = 100/ 65 0 vektörlerini dik bileşenler şekline çeviriniz.
Çözüm

A = A/  = A Cos  + jA Sin 
formülü kullanılarak,

Y = 20/ 30 0 = 20 . Cos 300 + j 20 . Sin 300
= 17,3 + j10
ve,

U = 20/  65 0 = 100 . (Cos -650) + j 100 . Sin (-650)
= 42,2 + j90,6
bulunur. Burada negatif açıların kosinüslerinin pozitif, sinüslerinin ise negatif olduğu
unutulmamalıdır.
KARMAŞIK SAYILARININ DÖRT İŞLEMİ
Toplama ve Çıkarma
Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklindeki gösteriliş ile mümkündür.
Kutupsal şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılamaz. Kutupsal şekil ancak dik bileşen
şekline çevrilerek toplanabilir veya çıkarılabilir.
Dik bileşenler şeklindeki vektörlerin toplama işleminde, gerçel kısımlar kendi


aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanırlar. A = a+jb ve B = c-jd ise, bunların
toplamı,


A + B = (a+c) + j(b-d)


olur. Çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer. Yukarıdaki A ve B vektörlerinin farkı,


A - B = (a+jb) – (c-jd) = (a-c) + j (b+d)
Örnek 3


A = 2 + j5 ve B = 4 – j2 vektörlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm


A + B = (2+j5) + (4-j2) = (2+4) + j(5-2)
= 6 + j3




olur. Şekil 4’de A ve B vektörleri ile bunların toplamları gösterilmiştir. A ve B vektörleri
paralel kenar yöntemi ile toplanınca yine aynı toplamın bulunacağına dikkat ediniz.
Şekil 4.
Örnek 4




U 1 = 50/ 45 0 ve U 2 = 30/ 60 0 olduğuna göre U 1 - U 2 yi bulunuz.
Çözüm
Çıkarma işleminin yapılabilmesi için önce her birini dik bileşen şeklinde çevirelim.

U 1 = 50/ 45 0 = 35,35 + j35,35

U 2 = 30/ 60 0 = 15 + j25,98
Şimdi çıkarma işlemi,


U 1 - U 2 = (35,35 + j35,35) – (15+j25,98)
= 35,35 + j35,35 – 15 – j25,98
= 20,35 + j9,37
olarak elde edilir.
Çarpma
Dik bileşen şeklindeki gösterilişte çarpma cebir kurallarıona göre yapılır.


A = a + jb

B = c – jd
ve

ise A ile B nin çarpımı,


A + B = (a+jb) . (c-jd) = ac – jad + jbc – j2bd
ve j2 = -1 olduğundan,


A + B = (ac+ bd) + j (bc-ad)
olur.
Kutupsal gösterilişte çarpma işlemi, büyüklüklerin çarpımı ve açıların toplamı ile




gerçekleştirilir. A = A /  B = B /  ise, A ve B nin çarpımı,


A . B = (A /  ) . (B /  ) = A.B/   
dir.
Örnek 5




I = 2 + j3 ve Z = 4+j2 dir. I . Z yi bulunuz.
Çözüm


I . Z = (2+j3) (4+j2) = 8 + j4 + j12 + j2
= 2 + j16
Örnek 6




U =100/ 20 0 ve Y =3/  60 0 dir. U . Y yi bulunuz.
Çözüm


U . Y = (100/ 20 0 ) (3/  60 0 ) = 100 . 3 / 20 0  60 0
= 300/  40 0
Bölme
Dik bileşenler şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma
getirilmelidir. Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme




işlemi yapılır. A = a + jb ve B = c – jd ise A nın B ye bölümü,

A


a  jb c  jd ac  jad  jbc  bd
.

c  jd c  jd c 2  jcd  jcd  d 2
=
(ac  bd)  j(ad  bc)
c2  d 2
=
ac  bd
ad  bc
j 2
2
2
c d
c  d2
B
olur.
Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Büyüklükleri
bölünür ve paydanın açısı, payın açısından çıkarılır.


A = A / B = B / 
ise


A nın B ye bölümü,

A

B
dir.

A/ A
 / 
B/ B
Örnek 7




U =36+j12 ve Z = 8-j4 dür. U / Z yi bulunuz.
Çözüm


36  j12 8  j4
.
8  j4 8  j4
=
288  j144  j96  48 240  j240

64  j32  j32  16
80
U

Z
= 3+j3
Örnek 8


K =240/ 90 0 ve L =20/ 40 0


dir. K / L değerini bulunuz.
Çözüm

K


L
240 / 90 0 240

 90 0  40 0
0
20
20 / 40
= 12/ 50 0
ÖDEV
1. Aşağıdaki sayıları temsil eden vektörleri koordinat ekseni üzerinde gösteriniz.
a) 2-j2
d) 4+j4
g) -4
b) 3+j8
e) 5+j0
h) –j5
c) 5-j3
f) j6
2. Ödev 1’deki karmaşık sayıları kutupsal şekilde gösteriniz.
3. Aşağıdaki karmaşık sayıları temsil eden vektörleri koordinat ekseni üzerinde
gösteriniz.
a) 10/ 30 0
d) 5/  90 0
b) 25/ 90 0
e) 2/ 0 0
c) 0,2/  45 0
f) 2/  60 0
4. Ödev 3’deki sayıları dik bileşen şeklinde gösteriniz.
5. Ödev 1 ve 3 deki sayıların eşleniklerini yazınız.
6. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a) (5-j2) + (-3-j8)
d) (2,83/ 45 0 ) – (2-j8)
b) (5-j2) - (-3-j8)
d) (10+j1) + 6 (13,45/ 42 0 )
c) (-4-j6) + (2+j4)
e) (5/ 53,10 ) – (4/ 30 0 )
7. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a) (2/ 30 0 ) (5/ 45 0 )
d) (-1-j1) (1+j1)
b) (2+j3) (-1-j3)
e) (1/ 80 0 ) (25/  45 0 ) (0,2  15 0 )
c) (2+j0) (3-j3)
f) ((j1,6) (2,6+j1)
8. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
a) (5+j5) / (1-j1)
d) (6,88/ 12 0 ) / (2+j1)
b) (5-j10) / (3+j4)
d) (7/ 45 0 ) / (5/ 80 0 )
c) 8 + j12 / j2
f) 1 / (6+j8)

Download Report