(1) Vektörler Tanımlar • Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için genellikle vektörlerden faydalanılır. • Kuvvet ve hız gibi hem büyüklük hem de yöne sahip olan değerler vektör (vector) ile gösterilir. Vektörler büyük ve kalın harfler ile gösterilir. Örnek: A • Buna karşın skaler (scalar) tanımı yönü olmadan sadece büyüklüğe sahip değerler için kullanılır. Buna örnek olarak ağrılık ve enerji verilebilir. • Örnek: hız (speed) ve sürat (velocity) kavramları V v = |V| Koordinat Sistemleri (1) • Uzayda bir noktayı göstermek ve vektörleri görselleştirerek daha kolay anlaşılmasını sağlamak için koordinat sisteminden faydalanılır. Verilen bir vektör matematiksel olarak seçilen koordinat sistemi üzerinde bileşenlerine ayrılarak ifade edilir. • Uzayda çok sayıda dikgen (orthogonal) koordinat sistemi mevcuttur. Burada dikgen terimi koordinat sistemi içinde her bir noktanın birbirlerine dik üç yüzeyin kesişimi ile tanımlanabileceğini anlatmaktadır. • Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için Kartezyen (Cartesian), silindirik (cylindrical) ve küresel (spherical) koordinat sistemlerinden faydalanılır. Verilen bir vektör ifadesi için koordinat sistemleri arasında dönüşüm yapmak mümkündür. Koordinat Sistemleri (2) Kartezyen Silindirik Küresel Kartezyen koordinat sisteminde üç adet düzlem, silindirik koordinat sisteminde iki adet düzlem ve bir adet silindir, küresel koordinat sisteminde ise bir adet küre, bir adet düzlem ve bir adet koni bulunur. Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi (1) : A vektörünün x bileşeninin büyüklüğü : x ekseninde birim vektör* *Büyüklüğü 1 olan vektör «birim vektör» olarak isimlendirilir. Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi (2) • Vektörün büyüklüğü: • Vektörün yönü: x, y ve z eksenleri ile yaptığı açı ile belirlenir. MATLAB Uygulaması • Kartezyen koordinat sisteminde birim vektörlerin tanımlanması: Vektörlerde Toplama ve Çıkarma (1) Vektörlerde Toplama ve Çıkarma (2) Vektörlerde Skaler Çarpım (1) ise A ve B vektörleri birbirlerine diktir. Vektörlerde Skaler Çarpım (2) Vektörel Çarpım (1) Vektörel Çarpım (2) • Kartezyen koordinat sisteminde Vektörel Çarpım (3) • İki birim vektörün çarpımı (vektörel çarpım) yönü üçüncü birim vektör olan yüzeyi tanımlar. Kartezyen koordinat sisteminde tüm birim vektörler birbirine dik ve yönleri konumlarından bağımsızdır. Buna karşın silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde birim vektörlerin yönleri konumlarına bağlı olarak değişir. Örneğin küresel koordinat sisteminde uρ birim vektörü θ=0 için +z yönünde, θ=π için ise ‐z yönünde olacaktır. MATLAB Uygulaması MATLAB Uygulaması >> a=[6 2.5 ‐0.8]; >> b=[‐3 2 6]; >> c=[1 ‐3 10]; >> d=cross(b,c); >> e=dot(a,d) ans = 312.4000 >> a=[6 2.5 ‐0.8]; >> b=[‐3 2 6]; >> c=[1 ‐3 10]; >> d=cross(c,a); >> e=dot(b,d) ans = 312.4000 Ödev ? ? Diferansiyel Uzunluk, Diferansiyel Yüzey ve Diferansiyel Hacim Kartezyen koordinat sistemi için 1 adet diferansiyel uzunluk, 6 adet diferansiyel alan ve 1 adet diferansiyel hacim ifadesi yazılabilir. Not (1) = paralel kenarın alanı Not (2) • Hacim • A = [3 0 0]; B = [0 2 0]; C = [0 2 4]; Hacim = 24 Silindirik Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi • Silindirik koordinat sisteminde bir nokta silindir ile iki düzlemin kesişimi ile tanımlanır. ρ : z eksenine olan uzaklık (pozitif) Φ : (phi) x ekseni ile olan açı (0,2π) veya (‐π, +π) arasında z : z ekseninde koordinat değeri A vektörü Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (1) Verilen A vektörünün silindirik koordinat sisteminde karşılığını bulun? Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (2) • İki koordinat sistemi arasındaki dönüşüm silindirik koordinat sistemindeki birim vektör ile Kartezyen koordinat sistemindeki vektörün skaler çarpımı alınarak bulunur. Dikkat edilirse her iki koordinat sisteminde Az terimleri aynıdır. Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (3) • Benzer şekilde y ekseni için Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (3) • Genelleme yapılırsa Kartezyen koordinat sisteminden silindirik koordinat sistemine dönüşüm yapıldığında aşağıdaki ifadeler kullanılır. • Bunun tersine silindirik koordinat sisteminden Kartezyen koordinat sistemine dönüşüm yapıldığında ise aşağıdaki ifadeler kullanılır. Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (4) Küresel Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi • Küresel koordinat sisteminde bir nokta silindir ile iki düzlemin kesişimi ile tanımlanır. r , Θ, Φ Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (1) • Kartezyen koordinat sisteminden küresel koordinat sistemine dönüşüm yapmak için aşağıdaki ifadeler kullanılır: Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (2) Silindirik ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (1) Örnek • Merkezi orijin olan küre üzerinde bir P noktası çapı r=1 birim ve açısal pozisyonu θ=45, φ=45 olarak tanımlanıyor. Bu noktanın Kartezyen ve silindirik koordinatlarını bulun? Diferansiyel Uzunluk Diferansiyel Uzunluk Diferansiyel Yüzey • Yüzey, iki çizgi elemanı ile tanımlanır. • Kartezyen koordinat sisteminde yüzey elemanları • z sabit düzlem ise • y sabit düzlem ise • x sabit düzlem ise Diferansiyel Yüzey • Silindirik koordinat sisteminde yüzey elemanları • ρ sabit yüzey ise • φ sabit düzlem ise • z sabit düzlem ise Diferansiyel Yüzey • Küresel koordinat sisteminde yüzey elemanları • r sabit yüzey ise (küre) • θ sabit yüzey ise (koni) • φ sabit yüzey ise (yarı‐düzlem) Diferansiyel Hacim • Hacim, üç çizgi elemanı ile tanımlanır. • Kartezyen koordinat sisteminde hacim elemanı Diferansiyel Hacim • Silindirik koordinat sisteminde hacim elemanı Diferansiyel Hacim • Küresel koordinat sisteminde hacim elemanı
© Copyright 2024 Paperzz
