Rijeˇseni zadaci iz trigonometrije
Zadatak 5: 4) (str. 66) Izracunaj:
cos
17π
22π
10π
13π
· cos
+ sin
· sin
9
9
9
9
Rjesenje: Dakle u ovom zadatku bi trebalo prepoznati neki od adicijskih teorema:
sin (s ± t) = sin s · cos t ± cos s · sin t
cos (s ± t) = cos s · cos t ∓ sin s · sin t
Promotrim li zadatak uocavam da je prva i osnovna prepreka potpuno razliciti kutevi, ono sto meni treba promatrajuci gornje identitete jesu isti kutevi
u parovima. Dakle moj je zadatak uz pomoc formula redukcije svesti dane
kuteve na u parovima iste. Prisjetim se da su formule redukcije:
π
π
+ t = cos t cos
+ t = − sin t
sin
2
2
π
π
sin
− t = cos t cos
− t = sin t
2
2
sin (π + t) = − sin t cos (π + t) = − cos t
sin (π − t) = sin t cos (π − t) = − cos t
3π
3π
sin
+ t = − cos t cos
+ t = sin t
2
2
3π
3π
− t = − cos t cos
− t = − sin t
sin
2
2
Prvo sto cu uciniti jest izracunat cu glavne mjere svih kuteva koji se pojavljuju u
pocetnom izrazu. No prije nego to ucinim pogledajmo za koje kuteve uopce taj
postupak moram provesti. Prisjetim li se definicije glavne mjere kuta uocavam
18π
da glavnu mjeru kuta moram racunati samo za kuteve vece od 2π =
.
9
22π
Dakle to znaci da moram odrediti glavnu mjeru samo jednog kuta i to
.
9
Racunam:
t
0
t =t−
· 2π
2π
11
2
2
π1
22π 9
t0 =
−
· 2π
9
2
π
1 1
1
22π
11
t0 =
−
· 2π
9
9
1
t0 =
22π
− b1.223c ·2π
| {z }
9
1
22π
22π
− 1 · 2π =
− 2π
t0 =
9
9
Svedem na zajednicki nazivnik:
t0 =
22π 18π
4π
−
=
9
9
9
Dakle moj pocetni izraz sada izgleda na sljedeci nacin:
cos
17π
4π
10π
13π
· cos
+ sin
· sin
9
9
9
9
Pokusajmo sada rastaviti gornje kuteve na zbroj ili razliku tako da ona sadrzi
π
3π
specijalne kuteve , π,
i 2π. Zapisimo prvo dane specijalne kuteve u obliku
2
2
razlomaka s nazivnikom 9. Slijedi:
π
π
9π
·9
π
2
2
=
=
= 2
2
1
1·9
9
π·9
9π
π
=
=
1
1·9
9
3π
3π
27π
·9
3π
2
2
=
=
= 2
2
1
1·9
9
2π
2π · 9
18π
2π =
=
=
1
1·9
9
Promotrim li malo dane kuteve uocavam da ih mogu zapisati na sljedeci nacin:
π=
17π
18π π
π
=
− = 2π −
9
9
9
9
10π
9π π
=
+ =π+
9
9
9
13π
9π 4π
=
+
=π+
9
9
9
π
9
4π
9
4π
ne moramo mijenjati jer vidimo da se poklapa sa poslijednjim kutom.
9
Nadalje sada preko formula redukcije koje smo prije napisali vrijedi:
π
π
17π
π
π
cos
= cos 2π −
= cos 0 −
= cos −
= cos
9
9
9
9
9
π
10π
π
sin
= sin π +
= − sin
9
9
9
Kut
2
sin
13π
9
π
4π
= sin π +
= − sin
9
9
Nakon svega toga pocetni izraz prelazi u:
cos
4π
π
4π π
· − sin
· cos
+ − sin
=
9
9
9
9
π
4π
π
4π
· cos
+ sin · sin
9
9
9
9
No sada prepoznajemo formulu cos (s − t) = cos s · cos t + sin s · sin t, dakle
vrijedi:
1 π
4π
π
4π
π 4π
3π
π
+ sin · sin
= cos
−
= cos − = cos −
cos · cos
9
9
9
9
9
9
3
93
= cos
Kako je kosinus parna funkcija vrijedi:
cos
π
π 1
4π
π
4π
π
· cos
+ sin · sin
= cos −
= cos
=
9
9
9
9
3
3
2
Time je zadatak rijesen!
−?−
√
3π
3 7 π
Zadatak 16: Ako je α + β =
, cos β =
, < β < π, koliko je sin α?
4
8 2
Rjesenje: Najprije probajmo odrediti cemu je jednak kosinus od α + β:
cos (α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
3π
= cos α · cos β − sin α · sin β
cos
4
π
− cos
= cos α · cos β − sin α · sin β
4
√
2
−
= cos α · cos β − sin α · sin β
2
Nadalje probajmo odrediti cemu je jednak sinus od α + β:
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
3π
sin
= sin α · cos β + cos α · sin β
4
π
sin
= sin α · cos β + cos α · sin β
4
√
2
= sin α · cos β + cos α · sin β
2
3
Dakle na taj smo nacin dobili sljedeci sustav jednadzbi:
√
− 2 = cos α · cos β − sin α · sin β
√2
2 = sin α · cos β + cos α · sin β
2
Nadalje kako nam je dan iznos od cos β te kvadrant u kojem se kut β nalazi
mozemo odrediti sin β preko temeljnog indentiteta trigonometrije:
sin2 β + cos2 β = 1
2
sin β +
√ !2
3 7
=1
8
√ 2
7
=1
sin β +
82
9·7
=1
sin2 β +
64
63
=1
sin2 β +
64
63
sin2 β = 1 −
64
1 √
sin2 β =
/
64
1
sin β = ±
8
Iz podatka u zadatku vidljivo je da se kut β nalazi u drugom kvadrantu sto
1
znaci da sinus mora biti pozitivan, dakle vrijedi sinβ = . Sada vrijdnosti za
8
sinus i kosinus kuta β uvrstimo u sustav jednadzbi:
√
√
− 2 = cos α · 3 7 − sin α · 1
8
√2
√8
2 = sin α · 3 7 + cos α · 1
2
8
8
√
√
− 2 = cos α · 3 7 − sin α · 1
8
√2
√ 8
2 = cos α · 1 + sin α · 3 7 / · −3√7
2
8
8
√
√
− 2 = cos α · 3 7 − sin α · 1
8
8
√2
√
2 · −3√7 = cos α · 1 · −3√7 + sin α · 3 7 · −3√7
2
8
8
2
32
4
√
√
2
3 7
1
−
= cos α ·
− sin α ·
2√ √
8
8
√ 2
√
3 7
3
2
7
7
3
−
= − cos α ·
− sin α ·
2
8
8
√
√
2
3 7
1
−
= cos α ·
− sin α ·
2√ √
8
8
√ 2
√
7
32
− 3 2 7 = − cos α · 3 7 − sin α ·
2
8
8
√
√
2
3
7
1
−
= cos α ·
− sin α ·
2√ √
8
8
√
− 3 2 7 = − cos α · 3 7 − sin α · 63
2
8
8
Zbrojimo dane jednadzbe te dobijemo:
√
√ √ !
2
3 2 7
1
63
−
+ −
= − sin α · + − sin α ·
2
2
8
8
√
√ √
2 3 2 7
1
63
−
−
= − sin α · − sin α ·
2
2
8
8
√
√ √
2 3 2 7
64
−
−
= − sin α ·
2
2
8
√
2
, dok na desnoj pokratim sto se pokratiti dade:
Na lijevoj strani izlucim −
2
√ 8
√ 64
2
−
1 + 3 7 = − sin α ·
2
81
√ √ 1
2
−
1 + 3 7 = − sin α · 8 / · −
2
8
√ √ 1
2
1
−
1+3 7 · −
= − sin α · 8 · −
2
8
8
Pokratim sto se pokratit dade:
√ √ 2
1
1
1
−
1+3 7 · −
= − sin α · 8 · −
2
8
81
√ √ 2
1 + 3 7 = sin α
16
Time je zadatak rijesen!
−?−
5
© Copyright 2024 Paperzz
