Jedan primjer izvedbenog plana nastave Logike

Jedan primjer izvedbenog plana nastave Logike
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Kreˇsimir Gracin
X. gimnazija ”Ivan Supek”
13. listopad 2012.
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
1 / 36
Analiza plana i programa nastave logike i prijedlog
kurikuluma
Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna:
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
2 / 36
Analiza plana i programa nastave logike i prijedlog
kurikuluma
Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna:
Analizu plana i programa nastave Logike –
http://kgracin.com/logika/izlaganja/
KGracinKakoorganiziratinastavulogike.pdf
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
2 / 36
Analiza plana i programa nastave logike i prijedlog
kurikuluma
Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna:
Analizu plana i programa nastave Logike –
http://kgracin.com/logika/izlaganja/
KGracinKakoorganiziratinastavulogike.pdf
Prijedlog kurikuluma iz Logike – http://kgracin.com/logika/
izlaganja/KurikulumLogikaPrijedlog.pdf
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
2 / 36
Saˇzetak analize
Velik je nedostatak plana i programa, kako je postavljen, njegova
neuskladenost sa ciljevima koji su u njemu postavljeni. Ono ˇsto u planu i
programu ometa ostvarivanje ciljeva jesu:
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
3 / 36
Saˇzetak analize
Velik je nedostatak plana i programa, kako je postavljen, njegova
neuskladenost sa ciljevima koji su u njemu postavljeni. Ono ˇsto u planu i
programu ometa ostvarivanje ciljeva jesu:
orijentiran je viˇse prema ”znanjima o” logiˇckim oblicima i njihovim
podjelama, nego prema njegovanju vjeˇstina
orijentiran je povijesno (udvostruˇcava se uˇcenje o istome tradicionalno i suvremeno)
gradivo nije povezano
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
3 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
1.O Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice koje stoje u sljede´
cim logiˇ
ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od
konkluzije, te uop´
ce reˇ
cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih
dokazati (izvesti) formalno i neformalno.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
1.O Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice koje stoje u sljede´
cim logiˇ
ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od
konkluzije, te uop´
ce reˇ
cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih
dokazati (izvesti) formalno i neformalno.
2. O Uˇ
cenik moˇze navesti sudove (reˇ
cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
1.O Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice koje stoje u sljede´
cim logiˇ
ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od
konkluzije, te uop´
ce reˇ
cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih
dokazati (izvesti) formalno i neformalno.
2. O Uˇ
cenik moˇze navesti sudove (reˇ
cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede.
3.O Uˇ
cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ
cenice nekoj zadanoj reˇ
cenici, te
reˇ
cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
1.O Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice koje stoje u sljede´
cim logiˇ
ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od
konkluzije, te uop´
ce reˇ
cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih
dokazati (izvesti) formalno i neformalno.
2. O Uˇ
cenik moˇze navesti sudove (reˇ
cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede.
3.O Uˇ
cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ
cenice nekoj zadanoj reˇ
cenici, te
reˇ
cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati.
4.O (nevaljan zakljuˇ
cak) Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice u kojima naizgled postoji odnos logiˇ
ckog slijeda,
navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostaju´
com premisom koja bi
zakljuˇ
cak uˇ
cinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
1.O Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice koje stoje u sljede´
cim logiˇ
ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od
konkluzije, te uop´
ce reˇ
cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih
dokazati (izvesti) formalno i neformalno.
2. O Uˇ
cenik moˇze navesti sudove (reˇ
cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede.
3.O Uˇ
cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ
cenice nekoj zadanoj reˇ
cenici, te
reˇ
cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati.
4.O (nevaljan zakljuˇ
cak) Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice u kojima naizgled postoji odnos logiˇ
ckog slijeda,
navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostaju´
com premisom koja bi
zakljuˇ
cak uˇ
cinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno.
5.O (pogreˇska u dokazu) Uˇ
cenik moˇze prepoznati pogreˇsku u pogreˇsnom formalnom ili neformalnom dokazu, navesti
razlog pogreˇske, ispraviti ju ako je mogu´
ce, te navesti protuprimjer ako reˇ
cenica nije izvediva.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu
postavljeni?
Jedan naˇ
cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima.
Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode –
U prijedlogu kurikuluma:
Ishodi
1.S Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi logiˇ
cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost
(inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ
cenice koje ga ˇ
cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati
primjer koji zadovoljava reˇ
cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ
cak ili sud koji ga ˇ
cini valjanim i to dokazati
izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ
cini nevaljanim ako tekst nije valjan.
2.S Uˇ
cenik moˇze navesti reˇ
cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ
ciniti nezadovoljivim ako je
zadovoljiv, te izdvojiti reˇ
cenicu, ili reˇ
cenice, koja ga ˇ
cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv.
1.O Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice koje stoje u sljede´
cim logiˇ
ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od
konkluzije, te uop´
ce reˇ
cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih
dokazati (izvesti) formalno i neformalno.
2. O Uˇ
cenik moˇze navesti sudove (reˇ
cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede.
3.O Uˇ
cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ
cenice nekoj zadanoj reˇ
cenici, te
reˇ
cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati.
4.O (nevaljan zakljuˇ
cak) Uˇ
cenik moˇze uoˇ
citi i izdvojiti reˇ
cenice u kojima naizgled postoji odnos logiˇ
ckog slijeda,
navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostaju´
com premisom koja bi
zakljuˇ
cak uˇ
cinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno.
5.O (pogreˇska u dokazu) Uˇ
cenik moˇze prepoznati pogreˇsku u pogreˇsnom formalnom ili neformalnom dokazu, navesti
razlog pogreˇske, ispraviti ju ako je mogu´
ce, te navesti protuprimjer ako reˇ
cenica nije izvediva.
6.O Uˇ
cenik moˇze iskazati zakljuˇ
cak u obliku pogodbene reˇ
cenice.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
4 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se
mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema”
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se
mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema”
izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto
je moguće manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je moguće viˇse
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se
mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema”
izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto
je moguće manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je moguće viˇse
koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge
druge sadrˇzaje moguće razumjeti i na njih svoditi
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se
mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema”
izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto
je moguće manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je moguće viˇse
koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge
druge sadrˇzaje moguće razumjeti i na njih svoditi
najintuitivnije, tj. najbliˇze naˇsem naˇcinu razmiˇsljanja
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se
mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema”
izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto
je moguće manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je moguće viˇse
koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge
druge sadrˇzaje moguće razumjeti i na njih svoditi
najintuitivnije, tj. najbliˇze naˇsem naˇcinu razmiˇsljanja
najobuhvatnije – koji mogu opisati ˇsto je moguće viˇse oblika
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima do ishoda?
Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se
voditi sljedećim naˇcelima:
izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se
mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema”
izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto
je moguće manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je moguće viˇse
koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge
druge sadrˇzaje moguće razumjeti i na njih svoditi
najintuitivnije, tj. najbliˇze naˇsem naˇcinu razmiˇsljanja
najobuhvatnije – koji mogu opisati ˇsto je moguće viˇse oblika
O metodama koje zadovoljavaju ove kriterije razmatralo se u izlaganju Analiza Plana i programa nastave logike
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
5 / 36
Kojim sredstvima?
Ishodi - sredstva
1.Prev Uˇ
cenik moˇze prevesti zadanu reˇ
cenicu iskazanu obiˇ
cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te
zadanu reˇ
cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ
cu tumaˇ
cenja prevesti na obiˇ
can jezik,
to ukljuˇ
cuje i reˇ
cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´
cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ
est¯
a
(prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ
cje) na koje se tekst odnosi (ili koje
kljuˇ
c tumaˇ
cenja odreduje)
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
6 / 36
Kojim sredstvima?
Ishodi - sredstva
1.Prev Uˇ
cenik moˇze prevesti zadanu reˇ
cenicu iskazanu obiˇ
cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te
zadanu reˇ
cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ
cu tumaˇ
cenja prevesti na obiˇ
can jezik,
to ukljuˇ
cuje i reˇ
cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´
cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ
est¯
a
(prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ
cje) na koje se tekst odnosi (ili koje
kljuˇ
c tumaˇ
cenja odreduje)
1.Sem Uˇ
cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova)
povezane ovim veznicima, te na taj naˇ
cin prepoznati tipiˇ
cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u
kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost,
nezadovoljivost)
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
6 / 36
Kojim sredstvima?
Ishodi - sredstva
1.Prev Uˇ
cenik moˇze prevesti zadanu reˇ
cenicu iskazanu obiˇ
cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te
zadanu reˇ
cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ
cu tumaˇ
cenja prevesti na obiˇ
can jezik,
to ukljuˇ
cuje i reˇ
cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´
cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ
est¯
a
(prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ
cje) na koje se tekst odnosi (ili koje
kljuˇ
c tumaˇ
cenja odreduje)
1.Sem Uˇ
cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova)
povezane ovim veznicima, te na taj naˇ
cin prepoznati tipiˇ
cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u
kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost,
nezadovoljivost)
2.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje,
umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´
ce odrediti s obzirom na neko
zadano stanje.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
6 / 36
Kojim sredstvima?
Ishodi - sredstva
1.Prev Uˇ
cenik moˇze prevesti zadanu reˇ
cenicu iskazanu obiˇ
cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te
zadanu reˇ
cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ
cu tumaˇ
cenja prevesti na obiˇ
can jezik,
to ukljuˇ
cuje i reˇ
cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´
cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ
est¯
a
(prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ
cje) na koje se tekst odnosi (ili koje
kljuˇ
c tumaˇ
cenja odreduje)
1.Sem Uˇ
cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova)
povezane ovim veznicima, te na taj naˇ
cin prepoznati tipiˇ
cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u
kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost,
nezadovoljivost)
2.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje,
umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´
ce odrediti s obzirom na neko
zadano stanje.
3.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti za koja je tumaˇ
cenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skup
sudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razliˇ
citim tumaˇ
cenjima
elementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumaˇ
cenja)
4.Sem Uˇ
cenik moˇze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuˇznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,te
povezati pojam o njima s pojmom o logiˇ
ckom slijedu.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
6 / 36
Kojim sredstvima?
Ishodi - sredstva
1.Prev Uˇ
cenik moˇze prevesti zadanu reˇ
cenicu iskazanu obiˇ
cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te
zadanu reˇ
cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ
cu tumaˇ
cenja prevesti na obiˇ
can jezik,
to ukljuˇ
cuje i reˇ
cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´
cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ
est¯
a
(prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ
cje) na koje se tekst odnosi (ili koje
kljuˇ
c tumaˇ
cenja odreduje)
1.Sem Uˇ
cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova)
povezane ovim veznicima, te na taj naˇ
cin prepoznati tipiˇ
cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u
kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost,
nezadovoljivost)
2.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje,
umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´
ce odrediti s obzirom na neko
zadano stanje.
3.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti za koja je tumaˇ
cenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skup
sudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razliˇ
citim tumaˇ
cenjima
elementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumaˇ
cenja)
4.Sem Uˇ
cenik moˇze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuˇznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,te
povezati pojam o njima s pojmom o logiˇ
ckom slijedu.
5.Sem Uˇ
cenik moˇze ispitati valjanost, odnosno nevaljanost zakljuˇ
cka neizravnim dokazom, te sastavljanjem istinitosnih
tablica.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
6 / 36
Kojim sredstvima?
Ishodi - sredstva
1.Prev Uˇ
cenik moˇze prevesti zadanu reˇ
cenicu iskazanu obiˇ
cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te
zadanu reˇ
cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ
cu tumaˇ
cenja prevesti na obiˇ
can jezik,
to ukljuˇ
cuje i reˇ
cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´
cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ
est¯
a
(prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ
cje) na koje se tekst odnosi (ili koje
kljuˇ
c tumaˇ
cenja odreduje)
1.Sem Uˇ
cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova)
povezane ovim veznicima, te na taj naˇ
cin prepoznati tipiˇ
cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u
kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost,
nezadovoljivost)
2.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje,
umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´
ce odrediti s obzirom na neko
zadano stanje.
3.Sem Uˇ
cenik moˇze odrediti za koja je tumaˇ
cenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skup
sudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razliˇ
citim tumaˇ
cenjima
elementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumaˇ
cenja)
4.Sem Uˇ
cenik moˇze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuˇznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,te
povezati pojam o njima s pojmom o logiˇ
ckom slijedu.
5.Sem Uˇ
cenik moˇze ispitati valjanost, odnosno nevaljanost zakljuˇ
cka neizravnim dokazom, te sastavljanjem istinitosnih
tablica.
1.Pd Uˇ
cenik moˇze izvesti dokaz prirodnom dedukcijom koriste´
ci pravila: u¬ , i¬ , u⊥, i⊥, u→ , i→ , u∨ , i∨ , u∧ ,
i∧ , u∃ , i∃ , u∀ , i∀ , u= , i=, te koriste´
ci teoreme: Modus tollens (M T ), Disjunktivni silogizam (DS), De
Morganove zakone (DeM )
1.Ana Ucenik moˇze razlikovati logiˇ
cku od analiticke istine (tj. kondicionala), te u izvodu znade pridodati premise koje
proizlaze iz posebnih svojstava predikata poput simetriˇ
cnosti, refleksivnosti i tranzitivnosti; Modalnost...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
6 / 36
Ako su prvi ishodi prihvatljivi, i ako su ove metode najprimjereniji put
prema ovim ishodima, onda je vaˇzno razmisliti o redoslijedu pouˇcavanja.
I redoslijed nastave logike moˇze biti nelogiˇcan.
Pri odluci o redoslijedu dobro je drˇzati se naˇcela:
Sve prethodno potrebno je za razumijevanje potonjega, a niˇsta
od potonjega nije potrebno za razumijevanje prethodnoga.
Vaˇzno!
Sredstva ne smiju zamraˇciti ciljeve!
Komentar
To nije tako lako izvedivo. Jako se lako dogodi da uˇcenici logiku poˇcnu
poistovjećivati s onim ˇsto se poduˇcava kao metoda. Tako npr., ako se uˇci:
S e P , dakle ne-P e S; ili figure i modusi kategoriˇckog silogizma; ili
Vennovi dijagrami; ili prirodna dedukcija – uˇcenici vrlo brzo stvore upravo
takvu predodˇzbu o logici.
Boriti se sa time ostaje na svakom nastavniku i njegovom umijeću.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
7 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
2
Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
2
Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija
3
Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
2
Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija
3
Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost
Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka
4
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
2
Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija
3
Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost
Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka
4
1
logika sudova – pronalazak protuprimjera
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
2
Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija
3
Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost
Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka
4
1
2
logika sudova – pronalazak protuprimjera
logika pojmova – pronalazak protumodela
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Struktura izvedbenog plana
1
Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda
(Lp )
2
Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija
3
Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost
Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka
4
1
2
5
logika sudova – pronalazak protuprimjera
logika pojmova – pronalazak protumodela
Definicija i divizija, odnosi medu pojmovima
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
8 / 36
Zaˇsto zapoˇceti sa uˇcenjem Li i Lp ?
Iako stroga formalizacija ima nedostataka (ne prenose se sve obavijesti iz
teksta, simbole je lako poistovjetiti s logikom, reˇcenice koje je teˇze
formalizirati mogu obeshrabriti uˇcenike), joˇs veće su njezine prednosti:
Mnoˇstvo reˇcenica obiˇcnog jezika svodimo samo na njihovu logiˇcku
strukturu. Te reˇcenice iz logiˇcke perspektive postaju jednake
Zanemarujemo vanlogiˇcki sadrˇzaj reˇcenica koji nas moˇze (i zbog
poznavanja i zbog nepoznavanja tog sadrˇzaja) ometati u ocjenama o
logiˇckim odnosima
Reˇcenice koje svojom duljinom mogu ometati u ispitivanju logiˇckih
odnosa pretvaramo u kratke izraze
Najvaˇznije je ˇsto nas prevodenja usmjeravaju na razumijevanje
logiˇckih odnosa izmedu sudova i pojmova (ne bavimo se evaluacijom
sudova(!) već razotkrivanjem njihovih logiˇckih odnosa kako su
iskazani!)
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
9 / 36
Zaˇsto baˇs Li i Lp a ne neka druga vrsta formalizacije ?
Nekoliko je naˇcina dijagramiranja reˇcenica obiˇcnog jezika:
Vennovi dijagrami, prednosti..., nedostaci...
Eulerovi dijagrami, prednosti..., nedostaci...
tradicionalni simboli za sudove - SaP, SiP, SeP, SoP prednosti...,
nedostaci...
Li i Lp , prednosti ..., nedostaci...
Li i Lp ponajviˇse zadovoljavaju kriterije primjenjivosti, obuhvatnosti,
razumljivosti, jednostavnosti,...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
10 / 36
Zaˇsto prevodenja na Li i Lp zajedno?
Sve odnose i svojstva koja u nastavi ˇzelimo ispitivati ne moˇzemo ispitati samo Li . Taj je
jezik priliˇcno grub, no vaˇzan je jer je jednostavniji i jer je Lp zapravo njegova nadgradnja.
Na ovaj naˇcin uˇcenicima dajemo sredstva za dvije razine analize – grublju i finiju, a
svaku će koristiti prema potrebama.
Primjer 1 – dubine analize
1
Ako su sve jabuke na naˇsemu stolu iz vrta bake Jage, onda neke jabuke iz vrta
bake Jage lijepo miriˇsu. Sve jabuke na naˇsemu stolu su iz vrta bake Jage. Dakle,
neke jabuke iz vrta bake Jage lijepo miriˇsu.
Za ispitati je li zakljuˇcak valjan nije potrebno ulaziti u finiju analizu. Da bismo
ispitali slijed moˇzemo ga formalizirati i ovako: S → M, S Dakle, M . – modus
ponens
2
Sve jabuke iz vrta bake Jage miriˇsu. Sve jabuke na naˇsemu stolu su iz vrta bake
Jage. Dakle, sve jabuke na naˇsemu stolu miriˇsu.
Za ispitati valjanost ovog zakljuˇcka viˇse nam nije dovoljan jezik logike sudova, jer
prevodeći ga na njega njegova valjanost neće biti vidljiva: V, S Dakle, M (za ’Sve
jabuke na naˇsemu stolu miriˇsu.’). Ovaj zakljuˇcak u sustavu logike sudova nije
valjan, no njegova valjanost vidljiva je kada ga izrazimo jezikom logike pojmova:
∀x((J(x) ∧ Iz(x, j)) → M (x)), ∀x((Jx ∧ N a(x, s)) → Iz(x, j)). Dakle,
∀x((Jx ∧ N a(x, s)) → M (x))
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
11 / 36
Zaˇsto uopće poˇceti od reˇcenice?
Za raspravu.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
12 / 36
Zaˇsto semantika logiˇckih veznika nakon jezika?
Nakon ˇsto su uˇcenici nauˇcili jezik, trebaju nauˇciti joˇs neˇsto za logiku vaˇznije –
semantiku logiˇckih veznika. Vaˇznije, jer simboli za reˇcenice, logiˇcke veznike i
pojmove mogu biti svakojaki (kao ˇsto su to u povijesti logike bili), no ono ˇcime se
u logici bavimo jesu logiˇcka svojstva i odnosi koji ne ovise o tipovima simbola
nego o njihovom znaˇcenju (o onome ˇsto oni oznaˇcavaju).
Tumaˇcenje reˇcenica (njihovu istinitost ili neistinitost) daju razliˇcite znanosti, no
uvjete istinitosti i neistinitosti logiˇckih veznika iˇsˇcitava (a ponekad i propisuje)
logika: za konjunkciju moˇzemo reći da iˇsˇcitava, za disjunkciju i jedno i drugo, za
kondicional i jedno i drugo – u nekim primjerima odgovara naˇsim intuicijama u
svakodnevnom govoru, dok u drugima ne)
Neke su stvari u logici kao teoriji naprosto proizvod odluke (jer je obiˇcan jezik
priliˇcno dvosmislen i nije ga jednostavno prenijeti u sustav koji zahtijeva precizno
tumaˇcenje). (npr. hrvatski govorni ’ili’ ponekad je logiˇcki ∨ (lat. vel), ponekad Y
(lat. aut), a ponekad ∧ (lat. sive)).
Na kraju, svejedno je kako ćemo neki veznik nazvati, no vaˇzno je imati pred
oˇcima uvjete istinitosti i neistinitosti iskazanih sloˇzenih sudova.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
13 / 36
Zaˇsto semantika i prirodna dedukcija zajedno?
Obiˇcno se, u udˇzbenicima iz logike, semantika logiˇckih veznika (istinitosne
tablice) i neka sintaktiˇcka metoda (aksiomatska ili prirodna dedukcija, ili
”stabla”) izlaˇzu odvojeno. Za to postoji i (znanstveno, struˇcno)
opravdanje – sintaksa i semantika odvojene su stvari i ne treba ih mijeˇsati.
No, sintaktiˇcki i semantiˇcki pojmovi su zamjenjivi – npr. valjanost
(semantiˇcki pojam) i izvedivost (sintaktiˇcki pojam)
U ocjenama o logiˇckim svojstvima i odnosima teksta oslanjamo se i na
sintaktiˇcke i na semantiˇcke pojmove (ono ˇsto ocijenimo da vrijedi za jedne
vrijedi i za druge).
Osim toga, sintaktiˇcke metode (npr. prirodna dedukcija) oslanjaju se na
semantiku (kada bi semantika logiˇckih veznika bila drugaˇcija, drugaˇcija bi
bila pravila ukljuˇcivanja i iskljuˇcivanja logiˇckih veznika)
Kako je u srediˇstu ovoga prijedloga tekst, praktiˇcno je i vrijedno ukazivati
na mnogostrukost naˇcina utvrdivanja njegovih svojstava.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
14 / 36
Semantika
P Q P
I
I
I N
N I
N N
P
I
I
N
N
Q
I
N
I
N
Prirodna dedukcija
∧Q
I
N
N
N
P ∨Q
I
I
I
N
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
1
...
1
...
2
P
...
2
P ∧Q
...
3
Q
...
3
P
2/ i∧
4
P ∧Q
2, 3/ u∧
4
Q
2/ i∧
1
...
2
P ∨Q
3
P
4
...
...
pretp.
1
...
2
P
...
5
R
...
3
P ∨Q
2/ u∨
6
Q
pretp.
7
...
8
9
Primjer izvedbenog plana - Logika
R
R
...
2, 3–5, 6–8/ i∨
13. listopad 2012.
15 / 36
Semantika
P Q P
I
I
I N
N I
N N
P
I
N
¬P
N
I
Prirodna dedukcija
→Q
I
N
I
I
¬¬P
I
N
1
P
3
...
Q
4
5
P →Q
1
...
pretp.
...
⊥
¬P
P
...
4
Q
2, 3/ i→
...
2–4/ u→
Q
5
P →Q
3
...
P
¬Q
...
2
...
3
4
1
pretp.
2
6
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
...
2
1
...
2
¬¬P
...
3
P
2/ i¬
...
3, 4/ u⊥
2–5/ u¬
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
16 / 36
Semantika
P Q P
I
I
I N
N I
N N
¬P
N
I
P
I
N
Prirodna dedukcija
→Q
I
N
I
I
¬¬P
I
N
1
...
2
P
3
...
Q
4
5
P →Q
1
...
pretp.
Q
...
⊥
6
¬P
P
...
4
Q
2, 3/ i→
...
2–4/ u→
P
5
P →Q
3
...
3
¬Q
...
2
...
2
4
1
pretp.
1
...
2
¬¬P
...
3
P
2/ i¬
...
3, 4/ u⊥
2–5/ u¬
Uoˇcite:
da uˇcenici razumijevajući semantiku logiˇckih veznaka odmah vjeˇzbaju
i zakljuˇcivati
da uˇcenici shvaćaju na temelju ˇcega i pod kojim uvjetima sudove
moˇzemo sastavljati i rastavljati
povezuju pojam o istini i neistini sa pojmom o izvedivosti
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
16 / 36
Svodenje na druge logiˇcke veznike - razumijevanje teorema
Uˇcenicima je u uoˇcavanju logiˇckih svojstava i odnosa od velike pomoći razumijevanje
nekih teorema.
Osim ˇsto njime uoˇcavaju odnose sintakse i semantike, shvaćaju i meduodnose logiˇckih
veznika.
Evo joˇs nekoliko razloga:
Shvaćaju da se isto stanje stvari moˇze i drugaˇcije izraziti
Primjer 2:
Mirka i Slavka su iskrene ≡ Nije sluˇcaj da barem jedna od njih nije iskrena ≡ Nije
sluˇcaj da ako je jedna od njih iskrena, onda da druga nije
Shvaćaju da su mnogi razliˇciti zakljuˇcci semantiˇcki isti – disjunktivni silogizam
moˇzemo pretvoriti u modus ponens, ponens u tollens i obrnuto, ovisno o tome
kojim veznikom oblikujemo jednu premisu
Primjer 3:
Ako je Pedro pumi, Ako je Pedro puli, Pedro nije pumi ili nije
onda nije puli.
puli.
onda nije pumi.
Pedro je pumi.
Pedro je pumi.
Pedro je pumi.
Dakle, Pedro nije puli. Dakle, Pedro nije puli. Dakle, Pedro nije puli.
modus ponens
disjunktivni silogizam
modus tollens
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
17 / 36
puli i pumi
(a) puli
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
(b) pumi (Pedro)
Slika: psi
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
18 / 36
Svodenja i razumijevanje negacije sloˇzenih sudova
Im
I
Is
I
Im → Is
I
Im ∧ Is
I
Im ∨ Is
I
3. (¬Im ∧ Is )
I
N
N
I
N
I
N
N
I
I
4. (¬Im ∧ ¬Is )
N
N
I
N
N
tumaˇ
cenja
1. (Im ∧ Is )
2. (Im ∧ ¬Is )
[Kljuˇ
c tumaˇ
cenja: Ix
za ’x je iskren’; m za
Mirku; s za Slavku;
u domeni (podruˇ
cju
primjene)
neka
su
nam Mirka i Slavka]
(tumaˇ
cenja
moˇzemo
shvatiti kao razliˇ
cite
svjetove
u
kojima
razliˇ
cite tvrdnje vrijede
o Mirki i Slavki)
Razumjevanje negacije i istovrijednosti (samo neki primjeri koji se mogu iˇsˇcitati):
Sud Mirka je iskrena ili je iskrena Slavka neistinit je jedino u ”svijetu”
(tumaˇcenju) u kojemu vrijedi da Ni Mirka ni Slavka nisu iskrene – to je onda
tumaˇcenje negacija gornjega suda, a njemu istovrijedan sud je negacija
njegove negacije: Nije sluˇcaj da ni Mirka ni Slavka nisu iskrene. (ova
pretvorba je poznata i kao De Morganov zakon)
na ovoj domeni sud Svi su iskreni poopćenje je suda Mirka i Slavka su
iskrene, a njegova je negacija Mirka nije iskrena ili to nije Slavka, odnosno,
Netko nije iskren.
Disjunkcijom tvrdimo da je barem jedan disjunkt istinit, ˇsto znaˇci da ako
jedan nije, drugi je (Im ∨ Is ≡ ¬Im → Is )
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
19 / 36
Razumijevanje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora
Vaˇzno je da znaju , na ograniˇcenim domenama pretvarati nizove sudova u
kvantificirane izraze i obrnuto
Svijet 1 i Svijet 2:
Svatko je oraholjubac
I Zagi i Bijeli´
c su oraholjupci
Netko nije oraholjubac
Zagi nije oraholjubac ili to nije
Bijeli´
c
Neke vjeverice su oraholjupci
Zagi je vjeverica i oraholjubac ili
je Bijeli´
c vjeverica i oraholjubac
Sve su vjeverice glodavci.
Zagi je glodavac ako je vjeverica,
i Bijeli´
c je glodavac ako je vjeverica.
Postoje dabrovi a postoje i vjeverice.
Zagi je dabar ili je Bijeli´
c dabar,
te je Zagi vjeverica ili je to Bijeli´
c.
Nitko nije dabar ili nitko
nije vjeverica
Ni Zagi ni Bijeli´
c nisu dabrovi, ili
ni jedan ni drugi nisu vjeverice.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
20 / 36
Valjanost, slijed, dokazivost
Iako moˇzemo govoriti o valjanom i nevaljanom sudu, ove pojmove najˇceˇsće
veˇzemo uz zakljuˇcak.
Jedna je sposobnost prosuditi je li zakljuˇcak valjan ili nevaljan, no drugaˇcija je
moći objasniti, korak po korak, zaˇsto je neki valjan i zaˇsto je neki drugi nevaljan.
Objasniti se moˇze formalno i neformalno – vaˇzno je da se u oba naˇcina uˇcenici
usavrˇsavaju.
Cilj je, prije svega, njegovati umijeće neformalnog dokazivanja jer se ono dogada
u obiˇcnom jeziku i znak je razumijevanja o ˇcemu se radi, te je (u neartikuliranijem
obliku) pretpostavka za umijeće gradnje formalnih dokaza.
Vaˇzno sredstvo kao gornjem je ovladavanje formalnim dokazom, zbog:
kratkoće izraza
nedvosmislenosti
nema preskakanja u koracima (postupost)
grafiˇcke preglednosti
moguće je izraziti sintagme neizrazive u obiˇcnom jeziku
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
21 / 36
Dokaz – formalan i neformalan. Na primjeru
Primjer 4
Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sreću.
[Kljuc tumacenja: Sx za 'x je igra na srecu'; U x za 'x je uzbudljiv'; Zx za 'x je skolski zadatak', p za
Primjer 4;
domena: svi predmeti]
Neformalno:
P 1 Sve su igre na sre´
cu uzbudljive.
P 2 Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pretpostavimo da je Primjer 4 ˇskolski zadatak koji nije
uzbudljiv.
Iz toga slijedi da je Primjer 4 ˇskolski zadatak, a takoder i da
nije uzbudljiv.
Nadalje, prema P 1 znamo da je Primjer 4 uzbudljiv ako je
igra na sre´
cu, no prema pretpstavci on nije uzbudljiv, pa stoga
nije ni igra na sre´
cu.
Dakle, Primjer 4 je ˇskolski zadatak i nije igra na sre´
cu.
Sve ovo vrijedi pod pretpostavkom da je Primjer 4 ˇskolski
zadatak koji nije uzbudljiv, no on ne mora nuˇzno biti takav.
Ali prema P 2 znamo da barem jedan takav postoji. Stoga,
ako se ”rijeˇsimo” Primjera 4 moˇzemo to tvrditi i bez ove
pretpostavke o njemu. A njega se moˇzemo rijeˇsiti: iz zadnje
tvrdnje slijedi: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´
cu
Iz gornjih premisa, dakle, bez dodatnih pretpostavki, slijedi da
neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´
cu.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Formalno:
1
∀x(Sx → U x)
2
∃x(Zx ∧ ¬U x)
pretp.
pretp.
Zp ∧ ¬U p
pretp.
4
Zp
3/ i∧
5
¬U p
3/ i∧
6
Sp → U p
1/ i∀
7
¬Sp
5, 6/ MT
8
Zp ∧ ¬Sp
4, 7/ u∧
9
∃x(Zx ∧ ¬Sz)
8/ u∃
3
10
p
∃x(Zx ∧ ¬Sz)
Primjer izvedbenog plana - Logika
2, 3–9/ i∃
13. listopad 2012.
22 / 36
Isto kao i prethodno samo semantiˇcki
Primjer 4
Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sreću.
Napravimo model (svijet) u kojemu će premise biti zadovoljene (istinite, ili
– koji će biti primjer za premise)!
Ako će nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za
koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz
zadanih premisa.
No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi.
Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera 4 i sinoćnje partije pokera
.
x je ˇskolski x je uzbud- x je igra na
zadatak
ljiv
sreću
Primjer 4
S ovom metodom valja biti
s. partija pokera
jako oprezan, jer neki zakljuˇ
cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za
sve zakljuˇ
cke kategoriˇ
ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
23 / 36
Isto kao i prethodno samo semantiˇcki
Primjer 4
Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sreću.
Napravimo model (svijet) u kojemu će premise biti zadovoljene (istinite, ili
– koji će biti primjer za premise)!
Ako će nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za
koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz
zadanih premisa.
No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi.
Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera 4 i sinoćnje partije pokera
.
x je ˇskolski x je uzbud- x je igra na
zadatak
ljiv
sreću
Primjer 4
S ovom metodom valja biti
+
–
s. partija pokera
jako oprezan, jer neki zakljuˇ
cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za
sve zakljuˇ
cke kategoriˇ
ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
23 / 36
Isto kao i prethodno samo semantiˇcki
Primjer 4
Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sreću.
Napravimo model (svijet) u kojemu će premise biti zadovoljene (istinite, ili
– koji će biti primjer za premise)!
Ako će nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za
koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz
zadanih premisa.
No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi.
Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera
.
x je ˇskolski x je uzbudzadatak
ljiv
Primjer 4
+
–
s. partija pokera
4 i sinoćnje partije pokera
x je igra na
sreću
–
S ovom metodom valja biti
jako oprezan, jer neki zakljuˇ
cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za
sve zakljuˇ
cke kategoriˇ
ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
23 / 36
Isto kao i prethodno samo semantiˇcki
Primjer 4
Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sreću.
Napravimo model (svijet) u kojemu će premise biti zadovoljene (istinite, ili
– koji će biti primjer za premise)!
Ako će nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za
koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz
zadanih premisa.
No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi.
Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera
.
x je ˇskolski x je uzbudzadatak
ljiv
Primjer 4
+
–
s. partija pokera
+
4 i sinoćnje partije pokera
x je igra na
sreću
–
S ovom metodom valja biti
+
jako oprezan, jer neki zakljuˇ
cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za
sve zakljuˇ
cke kategoriˇ
ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
23 / 36
Isto kao i prethodno samo semantiˇcki
Primjer 4
Sve su igre na sreću uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi.
Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sreću.
Napravimo model (svijet) u kojemu će premise biti zadovoljene (istinite, ili
– koji će biti primjer za premise)!
Ako će nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za
koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz
zadanih premisa.
No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi.
Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera
.
x je ˇskolski x je uzbudzadatak
ljiv
Primjer 4
+
–
s. partija pokera
–
+
4 i sinoćnje partije pokera
x je igra na
sreću
–
S ovom metodom valja biti
+
jako oprezan, jer neki zakljuˇ
cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za
sve zakljuˇ
cke kategoriˇ
ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
23 / 36
ˇ OVAJ! Pogreˇska u neformalnom dokazu - na
PRESKOCI
primjeru
Primjer 5
Pred vama je jedan pogreˇsan neformalni dokaz. Zaokruˇ
zite mjesto na kojemu je u dokazu napravljena prva pogreˇska i kratko
objasnite zaˇsto je to pogreˇska.
ˇ
Pretpostavimo: (1) Stogod
je Hamlet prepoznao u oblaku, prepoznao je i Polonije, te (2) Hamlet u oblaku nije prepoznao vuka,
no prepoznao je lasicu, a dokaˇzimo da iz njih slijedi da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu, ali ne i vuka.
Dokaz:
Kako je Polonije u oblaku prepoznao sve ˇsto i Hamlet, slijedi da je u oblaku prepoznao lasicu ako ju je Hamlet prepoznao. Nadalje
slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao vuka ako ga je Hamlet prepoznao. Kako je Hamlet u oblaku prepoznao lasicu, ali ne i
vuka, slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu i da u njemu nije prepoznao vuka.
Objaˇsnjenje:......
Odgovor: ” slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu i da u njemu nije prepoznao vuka.”
Prema pretpostavci (1) znademo da je ono ˇsto je u oblaku prepoznao Hamlet dostatan uvjet da je isto u njemu prepoznao i
Polonije, no Polonije je u njemu mogao prepoznati i stvari koje Hamlet nije.
Pogreˇsan korak izraˇzen formalno:
1
∀x(P hx → P px)
pretp.
2
P hl ∧ ¬P hv
pretp.
3
P hl → P pl
1/ i∀
4
P hv → P pv
1/ i∀
5
P hl
2/ i∧
6
¬P hv
2/ i∧
7
P pl
3, 5/ i→
8
¬P pv
4, 6/ . . .
9
P pl ∧ ¬P pv
7, 8/ u∧
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
24 / 36
Nevaljanost (prividno zakljuˇcak)
Logiˇ
cke se sposobnosti ne iscrpljuju u prepoznavanju reˇ
cenica koje slijede i njihovom izvodenju.
Logiˇ
cke sposobnosti ukljuˇ
cuju i sposobnost prepoznavanja i dokazivanja da neka reˇ
cenica ne slijedi
Pitanje: Kako pokazati da neki zakljuˇ
cak nije valjan?
Od tradicionalnih sredstava imamo na raspolaganju:
Moduse i figure kategoriˇ
ckog silogizma – svaki zakljuˇ
cak koji se sastoji iskljuˇ
civo od kategoriˇ
ckih sudova (kategoriˇ
cki
silogizam) koji se ne moˇze podvesti pod neku od figura nije valjan.
Problem ovog naˇ
cina: ne govori niˇsta o tome zaˇsto konkluzija ne slijedi iz premisa, govori samo da se zakljuˇ
cak ne moˇze
svesti na formu ve´
c unaprijed utvrdenih valjanih oblika
Op´
ca pravila kategoriˇ
ckog silogizma (samo neka navodimo) –
(1) Nedopuˇsteno proˇsirenje (tj. neraspodjeljenost) manjeg/srednjeg/ve´
ceg pojma – najˇ
ceˇs´
ce se napamet uˇ
ce sudovi u
kojima je koji pojam raspodijeljen/neraspodijeljen, a zaˇsto je to zapravo tako nije lako razumijeti (zaˇsto su u npr. e
sudu raspodijeljeni i S i P ) (2) Iz dvije negativne premise ne slijedi niˇsta. Problem: ponekad slijedi (Neki M nisu P.
Nijedan S nije M. Dakle, neki ne-S nisu P.)
tipiˇ
cni oblici valjanih zakljuˇ
caka: ponens, tollens, HS, DS. Problem: ˇsto s valjanim zakljuˇ
ccima koji nisu tipiˇ
cni oblici
Tipiˇ
cni oblici nevaljanih zakljuˇ
caka: afirmacija konzekvensa, negacija antecedensa... Problem: ˇsto s nevaljanim
zakljuˇ
ccima za koje ne postoje tipiˇ
cni oblici
Vennovi i Eulerovi dijagrami – problem nastaje kada imamo viˇse pojmova koji sudjeluju u zakljuˇ
civanju (ve´
c sa ˇ
cetiri
pojma postaju teˇsko pregledni), osim toga uˇ
cenici crtaju´
ci krugove trebaju i objasniti zaˇsto zakljuˇ
cak nije valjan.
Primjetite da nam nijedna od ovih metoda ne govori zaˇsto neki zakljuˇ
cak nije valjan! Ne dokazuje njegovu nevaljanost!(Vennovi
i Eulerovi dijagrami sami po sebi niˇsta ne govore, no pomo´
cu tumaˇ
cenja slika mogli bismo dobiti dokaz)
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
25 / 36
Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka – Li ?
Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, trebamo odgovoriti na jedno drugo:
ˇ je valjan zakljuˇcak?
Sto
Odgovor na ovo pitanje razlikuje se prema tome govorimo li o valjanosti na
temelju samo odnosa sudova ili valjanosti i na temelju odnosa pojmova.
Ako govorimo o valjanosti zakljuˇcka na temelju samo odnosa sudova, onda
je valjan zakljuˇcak onaj
u kojemu ne postoji tumaˇcenje (redak u istinosnoj tablici) u kojemu je
skup premisa istinit, a konkluzija neistinita.
Zakljuˇcak koji nije valjan, dakle, jest onaj u kojemu postoji takvo
tumaˇcenje.
Ako, pronademo takvo tumaˇcenje, pronaˇsli smo protuprimjer, odnosno
primjer u kojemu je skup premisa istinit a konkluzija ne (semantiˇcki
pojam), a to znaˇci da ona ne slijedi nuˇzno iz premisa (sintaktiˇcki pojam)
Kojim sve metodama moˇzemo ispitati postoji li takvo tumaˇcenje?
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
26 / 36
Kojim sve metodama moˇzemo pronaći protuprimjer?
Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti
Primjer 6:
Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ?
P → Q Q
Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o
istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati
da ne slijedi:
”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su
zadovoljene (istinite), no konkluzija nije”
Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa
slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)
Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti
stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer
Vennovi dijagrami (kako je Matić pokazao)
neformalno...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
27 / 36
Kojim sve metodama moˇzemo pronaći protuprimjer?
Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti
Primjer 6:
Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ?
P → Q Q
I
I
Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o
istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati
da ne slijedi:
”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su
zadovoljene (istinite), no konkluzija nije”
Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa
slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)
Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti
stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer
Vennovi dijagrami (kako je Matić pokazao)
neformalno...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
27 / 36
Kojim sve metodama moˇzemo pronaći protuprimjer?
Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti
Primjer 6:
Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ?
P → Q Q
I
I
I
Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o
istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati
da ne slijedi:
”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su
zadovoljene (istinite), no konkluzija nije”
Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa
slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)
Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti
stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer
Vennovi dijagrami (kako je Matić pokazao)
neformalno...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
27 / 36
Kojim sve metodama moˇzemo pronaći protuprimjer?
Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti
Primjer 6:
Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ?
P → Q Q
?
I
I
I
Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o
istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati
da ne slijedi:
”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su
zadovoljene (istinite), no konkluzija nije”
Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa
slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije)
Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti
stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer
Vennovi dijagrami (kako je Matić pokazao)
neformalno...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
27 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Ivo je pas ili je vuk
Ivo je vuk ili je Wolfsspitz
(Slijedi li?)Ivo je pas ili je Wolfsspitz
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
pokazali smo da postoji interpretacija
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Ivo je pas ili je vuk
Ivo je vuk ili je Wolfsspitz
Nije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
pokazali smo da postoji interpretacija
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Ivo je pas ili je vuk
Ivo je vuk ili je Wolfsspitz
Nije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
Ivo nije pas
Ivo nije Wolfsspitz
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
pokazali smo da postoji interpretacija
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Ivo je pas ili je vuk
Ivo je vuk ili je Wolfsspitz
Nije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
Ivo nije pas
Ivo nije Wolfsspitz
Ivo je pas
⊗
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Ivo je vuk
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
pokazali smo da postoji interpretacija
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
Ivo je pas ili je vuk
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz
blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
Ivo nije pas
pokazali smo da postoji interpretacija
Ivo nije Wolfsspitz
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
Ivo je pas
Ivo je vuk
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
⊗
Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
Ivo je pas ili je vuk
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz
blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
Ivo nije pas
pokazali smo da postoji interpretacija
Ivo nije Wolfsspitz
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
Ivo je pas
Ivo je vuk
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
⊗
Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
⊗
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
Ivo je pas ili je vuk
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz
blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
Ivo nije pas
pokazali smo da postoji interpretacija
Ivo nije Wolfsspitz
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
Ivo je pas
Ivo je vuk
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
⊗
Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
⇑
⊗
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Primjer stabla – navesti protuprimjer
Primjer 7
Metoda stabla jest jedan automatski
postupak. No i nju treba razumjeti,
Ivo je pas ili je vuk
ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz
blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz
mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za
jedan mogući nevaljani zakljuˇcak, tj.
Ivo nije pas
pokazali smo da postoji interpretacija
Ivo nije Wolfsspitz
u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ
caj
u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti
Ivo je pas
Ivo je vuk
je Vuˇ
cji ˇspic (Keeshond).
Gotovo isto radimo kada neizravno
⊗
Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz
nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazujući ga kao konjunkciju premisa
⇑
⊗
koja implicira konkluziju pretpostavljajući da je ta implikacija neistinita!
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
28 / 36
Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka – Lp ?
Pojam zakljuˇcka u kojemu konkluzija slijedi iz odnosa pojmova malo je zahtjevniji:
Valjan zakljuˇcak je onaj u kojemu je konkluzija zadovoljena kadgod su i premise
zadovoljene u SVAKOM modelu, ili: Valjan je zakljuˇcak onaj u kojemu ne postoji model
u kojemu su premise zadovoljene a konkluzija nije.
Nevaljan je, dakle, onaj za koji postoji model u kojemu su premise zadovoljene a
konkluzija nije.
Kako bismo pokazali da neki takav zakljuˇcak nije valjan, trebamo izgraditi protumodel.
Jedna (automatska) metoda izgradnje takvog modela je metoda stabla – no uz satnicu
koju imamo ne vjerujem da se moˇze stići.
Vjerujem da je dovoljna jedna od sljedećih provjera (sljedećih naˇcina):
(1)Uˇcenici su već upoznati s formalnim dokazom i mogu vidjeti je li neki sud izvediv iz
drugih – ukoliko vide da nije, nastoje izgraditi model ili ”svijet” u kojemu će premise biti
istinite, a konkluzija ne.
(2) Uˇcenici mogu i odmah pokuˇsati pronaći protuprimjer – u mislima provjeriti je li
moguće da je konkluzija neistinita a skup premisa istinit – ako su ga pronaˇsli, mogu ga
navesti, ako nisu mogu pokuˇsati dokazati slijed.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
29 / 36
Jedan primjer gradnje protumodela
Primjer 8
Kako ćemo pokazati da iz premisa (1)’Sve vjeverice su glodavci’ i (2) ’Neki oraholjupci
su glodavci’ ne slijedi konkluzija ’Neki oraholjubci su vjeverice’.
Izgradimo protumodel (svijet) u kojemu će premise biti istinite, a konkluzija ne!
Izgradimo odmah dva svijeta:
Opiˇsimo naˇse svijetove: u njima
postoje dva predmeta – Zagi i Bijelić
(skup predemta koji su u naˇsem
svijetu nazivamo domenom).
Uoˇcite da su u jednom od ova dva modela (svijeta) zadovoljene i premise i konkluzija,
dok su u drugom zadovoljene premise ali ne i konkluzija (zato ga nazivamo
protumodelom za (prividni) zakljuˇcak, prema analogiji sa protuprimjerom)
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
30 / 36
Jedan primjer gradnje protumodela
Primjer 8
Kako ćemo pokazati da iz premisa (1)’Sve vjeverice su glodavci’ i (2) ’Neki oraholjupci
su glodavci’ ne slijedi konkluzija ’Neki oraholjubci su vjeverice’.
Izgradimo protumodel (svijet) u kojemu će premise biti istinite, a konkluzija ne!
Izgradimo odmah dva svijeta:
Opiˇsimo naˇse svijetove: u njima
postoje dva predmeta – Zagi i Bijelić
(skup predemta koji su u naˇsem
svijetu nazivamo domenom).
Uoˇcite da su u jednom od ova dva modela (svijeta) zadovoljene i premise i konkluzija,
dok su u drugom zadovoljene premise ali ne i konkluzija (zato ga nazivamo
protumodelom za (prividni) zakljuˇcak, prema analogiji sa protuprimjerom)
Protumodel za gornji zadatak je Svijet 1: Zagi je jedina vjeverica i glodavac je (dakle,
sve vjeverice su glodavci); Bijelć je i glodavac i oraholjubac (dakle, neki glodavci su
oraholjupci); no konkluzija u njemu nije istinita, jer u njemu nijedan oraholjubac nije
vjeverica.
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
30 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
predavanje
Lovre
x je pristojan
Katarina
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
Katarina
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
predavanje
Lovre
+
Katarina
+
x je pristojan
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
Katarina
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
predavanje
Lovre
+
Katarina
+
–
x je pristojan
–
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
Katarina
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo
predavanje
Lovre
+
Katarina
+
i Katarine
x je strpljiv
x je pristojan
+
–
–
+
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
Katarina
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo
predavanje
Lovre
+
+
Katarina
+
+
i Katarine
x je strpljiv
x je pristojan
+
–
–
+
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
Katarina
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo
predavanje
Lovre
+
+
Katarina
+
+
i Katarine
x je strpljiv
x je pristojan
+
–
–
+
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
+
+
Katarina
–
–
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo
predavanje
Lovre
+
+
Katarina
+
+
i Katarine
x je strpljiv
x je pristojan
+
–
–
+
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo x je strpljiv
x je pristojan
predavanje
Lovre
+
+
+
Katarina
–
–
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera
Primjer 9
Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri
ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje.
Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo
predavanje
Lovre
+
+
Katarina
+
+
i Katarine
x je strpljiv
x je pristojan
+
–
–
+
Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije
zadovoljiti premise:
.
x je hrabar
x je izdrˇzao ovo
predavanje
Lovre
+
+
Katarina
–
–
i napraviti ju nezadovoljenom, pa
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
x je strpljiv
x je pristojan
+
–
–
+
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
31 / 36
Definicija, divizija...
Ako odnose medu pojmovimo onda je ovo mjesto za to.
Kao i prije, odnositi se prema njima kao prema posebnim reˇcenicama koje
sudjeluju u zakljuˇcku...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
32 / 36
Li i Lp
Semantika i PD
Zadovoljivost/
nezadovoljivost; valjanost/ nevaljanost
(1) jezik Li
(2) jezik Lp
(3,4) Vjeˇzbe
(5) ¬, ∧ i ∀, ∨ i ∃
(6) →
(7) Y i ↔
(8) Svodenja veznika
jednih na druge
(9,10,11) Vjeˇzbe: PD
i semantika (tablice i
modeli)
(12)
Objaˇsnjenje
pojmova
(13,14) Vjeˇzbe
Protuprimjer i protumodel
ˇ
(15) Sto
je protuprimjer i metoda/e
njegova pronalaˇzenja
(16) Vjeˇzbe
ˇ je protumo(17) Sto
del
(18,19) Vjeˇzbe
Def., div. i odnosi
medu pojmovima
(20)
Definicija,
nadredeni, podredeni
i ekvipolentni pojmovi
(21)
Divizija,
ukrˇsteni, koordinirani
i
kontradiktorno–
koordinirani pojmovi
(22) Vjeˇzbe pronalaˇzenja def. i div.
u tekstu, te njihovih
elemenata
(23,24) Vjeˇzbe dokaza u kojima su def.
i div.
u ulogama
premise
Preostalih 11 sati mogu´
ce je rasporediti kroz godinu ovako:
3 sata provjere znanja (+ 2 sata ispravaka/popravaka ocjena) i joˇs 2 sata analize pismenih radova
(ako nemate pismenih radova toliko je potrebno i za usmeni odgovor)
1 sat – zakljuˇ
civanje ocjena
preostala 3 sata mogu se rasporediti na pouˇ
cavanje o induktivnom zakljuˇ
cku, objaˇsnjenju i dodatnim vjeˇzbama
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
33 / 36
ˇ bih u nastavi izbjegao i zaˇsto
Sto
Teorije o pojmu (općenito: filozofske probleme u pozadini logike),
zato ˇsto...
Vrste pojmova, zato ˇsto...
Teorije o sudu i podjele sudova, zato ˇsto...
Dijelom logiˇcki kvadrat, zato ˇsto...
Figure i modusi kategoriˇckog silogizma, zato ˇsto...
Pomoćne metode indukcije, zato ˇsto...
Suvremena zamisao formalne aksiomatike, zato ˇsto...
Pogreˇske u argumentaciji, zato ˇsto...
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
34 / 36
Vaˇzna napomena na kraju
Ovaj prijedlog nije zamiˇsljen kao propis prema kojemu bi nastavnici trebali
ili morali pouˇcavati.
Vjerujem da je autonomija nastavnika jedna od vrijednosti koje se ne smiju
zatirati i da kvaliteta obrazovnog sustava o njoj ovisi.
Ovaj prijedlog zamiˇsljen je kao pomoć i poticaj na promiˇsljanje o nastavi
logike.
Nadam se da će vam neke zamisli biti korisne!
Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”)
Primjer izvedbenog plana - Logika
13. listopad 2012.
35 / 36

Download Report