Jedan primjer izvedbenog plana nastave Logike Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Kreˇsimir Gracin X. gimnazija ”Ivan Supek” 13. listopad 2012. Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 1 / 36 Analiza plana i programa nastave logike i prijedlog kurikuluma Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna: Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 2 / 36 Analiza plana i programa nastave logike i prijedlog kurikuluma Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna: Analizu plana i programa nastave Logike – http://kgracin.com/logika/izlaganja/ KGracinKakoorganiziratinastavulogike.pdf Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 2 / 36 Analiza plana i programa nastave logike i prijedlog kurikuluma Ovo se izlaganje oslanja na dva prethodna: Analizu plana i programa nastave Logike – http://kgracin.com/logika/izlaganja/ KGracinKakoorganiziratinastavulogike.pdf Prijedlog kurikuluma iz Logike – http://kgracin.com/logika/ izlaganja/KurikulumLogikaPrijedlog.pdf Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 2 / 36 Saˇzetak analize Velik je nedostatak plana i programa, kako je postavljen, njegova neuskladenost sa ciljevima koji su u njemu postavljeni. Ono ˇsto u planu i programu ometa ostvarivanje ciljeva jesu: Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 3 / 36 Saˇzetak analize Velik je nedostatak plana i programa, kako je postavljen, njegova neuskladenost sa ciljevima koji su u njemu postavljeni. Ono ˇsto u planu i programu ometa ostvarivanje ciljeva jesu: orijentiran je viˇse prema ”znanjima o” logiˇckim oblicima i njihovim podjelama, nego prema njegovanju vjeˇstina orijentiran je povijesno (udvostruˇcava se uˇcenje o istome tradicionalno i suvremeno) gradivo nije povezano Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 3 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. 1.O Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice koje stoje u sljede´ cim logiˇ ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od konkluzije, te uop´ ce reˇ cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih dokazati (izvesti) formalno i neformalno. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. 1.O Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice koje stoje u sljede´ cim logiˇ ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od konkluzije, te uop´ ce reˇ cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih dokazati (izvesti) formalno i neformalno. 2. O Uˇ cenik moˇze navesti sudove (reˇ cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. 1.O Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice koje stoje u sljede´ cim logiˇ ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od konkluzije, te uop´ ce reˇ cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih dokazati (izvesti) formalno i neformalno. 2. O Uˇ cenik moˇze navesti sudove (reˇ cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede. 3.O Uˇ cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ cenice nekoj zadanoj reˇ cenici, te reˇ cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. 1.O Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice koje stoje u sljede´ cim logiˇ ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od konkluzije, te uop´ ce reˇ cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih dokazati (izvesti) formalno i neformalno. 2. O Uˇ cenik moˇze navesti sudove (reˇ cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede. 3.O Uˇ cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ cenice nekoj zadanoj reˇ cenici, te reˇ cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati. 4.O (nevaljan zakljuˇ cak) Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice u kojima naizgled postoji odnos logiˇ ckog slijeda, navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostaju´ com premisom koja bi zakljuˇ cak uˇ cinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. 1.O Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice koje stoje u sljede´ cim logiˇ ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od konkluzije, te uop´ ce reˇ cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih dokazati (izvesti) formalno i neformalno. 2. O Uˇ cenik moˇze navesti sudove (reˇ cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede. 3.O Uˇ cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ cenice nekoj zadanoj reˇ cenici, te reˇ cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati. 4.O (nevaljan zakljuˇ cak) Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice u kojima naizgled postoji odnos logiˇ ckog slijeda, navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostaju´ com premisom koja bi zakljuˇ cak uˇ cinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno. 5.O (pogreˇska u dokazu) Uˇ cenik moˇze prepoznati pogreˇsku u pogreˇsnom formalnom ili neformalnom dokazu, navesti razlog pogreˇske, ispraviti ju ako je mogu´ ce, te navesti protuprimjer ako reˇ cenica nije izvediva. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kako uskladiti plan i program sa ciljevima koji su u njemu postavljeni? Jedan naˇ cin uskladivanja plana i programa s ciljevima postavljenima u njemu jest orijentirati izvedbeni plan prema ciljevima. Te ciljeve, u skladu s duhom vremena moˇzemo imenovati kao ishode – U prijedlogu kurikuluma: Ishodi 1.S Uˇ cenik moˇze uoˇ citi logiˇ cka svojstva zadanog teksta: zadovoljivost (konzistentnost), nezadovoljivost (inkonzistentnost), valjanost, nevaljanost; te izdvojiti reˇ cenice koje ga ˇ cine nezadovoljivom ako je nezadovoljiv; dati primjer koji zadovoljava reˇ cenice u tekstu ako je zadovoljiv; istaknuti zakljuˇ cak ili sud koji ga ˇ cini valjanim i to dokazati izravno i neizravno ako je tekst valjan; navesti primjer (tj. protuprimjer) koji tekst ˇ cini nevaljanim ako tekst nije valjan. 2.S Uˇ cenik moˇze navesti reˇ cenicu koja neki tekst, ako bi mu bila pridodana, moˇze uˇ ciniti nezadovoljivim ako je zadovoljiv, te izdvojiti reˇ cenicu, ili reˇ cenice, koja ga ˇ cini nezadovoljivim ako je nezadovoljiv. 1.O Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice koje stoje u sljede´ cim logiˇ ckim odnosima: slijed (razlikuje premise od konkluzije, te uop´ ce reˇ cenice koje sudjeluju u izvodu), protuslovlje, istovrijednost, suprotnost; i te odnose izmedu njih dokazati (izvesti) formalno i neformalno. 2. O Uˇ cenik moˇze navesti sudove (reˇ cenice) koji slijede iz nekih zadanih premisa, te dokazati da slijede. 3.O Uˇ cenik moˇze navesti istovrijedne, protuslovne, niti protuslovne niti istovrijedne reˇ cenice nekoj zadanoj reˇ cenici, te reˇ cenice koje iz nje slijede i iz kojih ona slijedi, i to dokazati. 4.O (nevaljan zakljuˇ cak) Uˇ cenik moˇze uoˇ citi i izdvojiti reˇ cenice u kojima naizgled postoji odnos logiˇ ckog slijeda, navodenjem protuprimjera pokazati da takav odnos ne stoji, te nadopuniti izvod nedostaju´ com premisom koja bi zakljuˇ cak uˇ cinila valjanim te to i dokazati formalno i neformalno. 5.O (pogreˇska u dokazu) Uˇ cenik moˇze prepoznati pogreˇsku u pogreˇsnom formalnom ili neformalnom dokazu, navesti razlog pogreˇske, ispraviti ju ako je mogu´ ce, te navesti protuprimjer ako reˇ cenica nije izvediva. 6.O Uˇ cenik moˇze iskazati zakljuˇ cak u obliku pogodbene reˇ cenice. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 4 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema” Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema” izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto je mogu´ce manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema” izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto je mogu´ce manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge druge sadrˇzaje mogu´ce razumjeti i na njih svoditi Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema” izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto je mogu´ce manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge druge sadrˇzaje mogu´ce razumjeti i na njih svoditi najintuitivnije, tj. najbliˇze naˇsem naˇcinu razmiˇsljanja Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema” izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto je mogu´ce manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge druge sadrˇzaje mogu´ce razumjeti i na njih svoditi najintuitivnije, tj. najbliˇze naˇsem naˇcinu razmiˇsljanja najobuhvatnije – koji mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse oblika Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima do ishoda? Izbor najboljih sredstava (metoda) za ostvarivanje ishoda trebao bi se voditi sljede´cim naˇcelima: izabrati sadrˇzaje i metode koje su najprimjenjivije, tj. one koje se mogu primijeniti u najviˇse ”logiˇckih tema” izabrati one sadrˇzaje i metode koje su najjednostavnije, tj. koje sa ˇsto je mogu´ce manje uˇcenja mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse koje su najrazumljivije, tj. oni sadrˇzaji i metode iz kojih je i mnoge druge sadrˇzaje mogu´ce razumjeti i na njih svoditi najintuitivnije, tj. najbliˇze naˇsem naˇcinu razmiˇsljanja najobuhvatnije – koji mogu opisati ˇsto je mogu´ce viˇse oblika O metodama koje zadovoljavaju ove kriterije razmatralo se u izlaganju Analiza Plana i programa nastave logike Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 5 / 36 Kojim sredstvima? Ishodi - sredstva 1.Prev Uˇ cenik moˇze prevesti zadanu reˇ cenicu iskazanu obiˇ cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te zadanu reˇ cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ cu tumaˇ cenja prevesti na obiˇ can jezik, to ukljuˇ cuje i reˇ cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´ cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ est¯ a (prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ cje) na koje se tekst odnosi (ili koje kljuˇ c tumaˇ cenja odreduje) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 6 / 36 Kojim sredstvima? Ishodi - sredstva 1.Prev Uˇ cenik moˇze prevesti zadanu reˇ cenicu iskazanu obiˇ cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te zadanu reˇ cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ cu tumaˇ cenja prevesti na obiˇ can jezik, to ukljuˇ cuje i reˇ cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´ cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ est¯ a (prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ cje) na koje se tekst odnosi (ili koje kljuˇ c tumaˇ cenja odreduje) 1.Sem Uˇ cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova) povezane ovim veznicima, te na taj naˇ cin prepoznati tipiˇ cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost, nezadovoljivost) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 6 / 36 Kojim sredstvima? Ishodi - sredstva 1.Prev Uˇ cenik moˇze prevesti zadanu reˇ cenicu iskazanu obiˇ cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te zadanu reˇ cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ cu tumaˇ cenja prevesti na obiˇ can jezik, to ukljuˇ cuje i reˇ cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´ cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ est¯ a (prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ cje) na koje se tekst odnosi (ili koje kljuˇ c tumaˇ cenja odreduje) 1.Sem Uˇ cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova) povezane ovim veznicima, te na taj naˇ cin prepoznati tipiˇ cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost, nezadovoljivost) 2.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje, umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´ ce odrediti s obzirom na neko zadano stanje. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 6 / 36 Kojim sredstvima? Ishodi - sredstva 1.Prev Uˇ cenik moˇze prevesti zadanu reˇ cenicu iskazanu obiˇ cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te zadanu reˇ cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ cu tumaˇ cenja prevesti na obiˇ can jezik, to ukljuˇ cuje i reˇ cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´ cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ est¯ a (prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ cje) na koje se tekst odnosi (ili koje kljuˇ c tumaˇ cenja odreduje) 1.Sem Uˇ cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova) povezane ovim veznicima, te na taj naˇ cin prepoznati tipiˇ cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost, nezadovoljivost) 2.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje, umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´ ce odrediti s obzirom na neko zadano stanje. 3.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti za koja je tumaˇ cenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skup sudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razliˇ citim tumaˇ cenjima elementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumaˇ cenja) 4.Sem Uˇ cenik moˇze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuˇznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,te povezati pojam o njima s pojmom o logiˇ ckom slijedu. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 6 / 36 Kojim sredstvima? Ishodi - sredstva 1.Prev Uˇ cenik moˇze prevesti zadanu reˇ cenicu iskazanu obiˇ cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te zadanu reˇ cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ cu tumaˇ cenja prevesti na obiˇ can jezik, to ukljuˇ cuje i reˇ cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´ cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ est¯ a (prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ cje) na koje se tekst odnosi (ili koje kljuˇ c tumaˇ cenja odreduje) 1.Sem Uˇ cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova) povezane ovim veznicima, te na taj naˇ cin prepoznati tipiˇ cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost, nezadovoljivost) 2.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje, umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´ ce odrediti s obzirom na neko zadano stanje. 3.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti za koja je tumaˇ cenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skup sudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razliˇ citim tumaˇ cenjima elementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumaˇ cenja) 4.Sem Uˇ cenik moˇze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuˇznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,te povezati pojam o njima s pojmom o logiˇ ckom slijedu. 5.Sem Uˇ cenik moˇze ispitati valjanost, odnosno nevaljanost zakljuˇ cka neizravnim dokazom, te sastavljanjem istinitosnih tablica. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 6 / 36 Kojim sredstvima? Ishodi - sredstva 1.Prev Uˇ cenik moˇze prevesti zadanu reˇ cenicu iskazanu obiˇ cnim jezikom na jezik logike prvoga reda i iskazne logike, te zadanu reˇ cenicu na jeziku logike prvoga reda ili iskazne logike prema zadanom kljuˇ cu tumaˇ cenja prevesti na obiˇ can jezik, to ukljuˇ cuje i reˇ cenice sa viˇse kvantifikatora i one u kojima oni stoje kao poop´ cenja trenutaka (vrijeme) i mjˆ est¯ a (prostor), osoba, ˇzivotinja, biljaka i stvari s obzirom na domenu (predmetno podruˇ cje) na koje se tekst odnosi (ili koje kljuˇ c tumaˇ cenja odreduje) 1.Sem Uˇ cenik moˇze sastaviti istinitosne tablice za ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ , Y, i za sloˇzene sudove (i skupove sudova) povezane ovim veznicima, te na taj naˇ cin prepoznati tipiˇ cne odnose (slijed, istovrijednost, protuslovlje, suprotnost) u kojima mogu stajati, odsutnost tih odnosa, te svojstva tih sudova ili skupa sudova (valjanost, nevaljanost, zadovoljivost, nezadovoljivost) 2.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti istinitosnu vrijednost nekoga suda: istinu ili neistinu s obzirom na neko zadano stanje, umije to i dokazati,te moˇze odrediti da istinitosnu vrijednost nekoga suda nije mogu´ ce odrediti s obzirom na neko zadano stanje. 3.Sem Uˇ cenik moˇze odrediti za koja je tumaˇ cenja elementarnih sudova neki sud istinit a za koja je neistinit, te skup sudova zadovoljiv, a za koja nezadovoljiv; te na temelju danih istinitosnih vrijednosti u razliˇ citim tumaˇ cenjima elementarnih sudova izraziti i prepoznati sud koji primjereno opisuje zadano stanje (skup tumaˇ cenja) 4.Sem Uˇ cenik moˇze iskazati razliku izmedju dostatnog i nuˇznog uvjeta, objasniti kontrapoziciju tima pojmovima,te povezati pojam o njima s pojmom o logiˇ ckom slijedu. 5.Sem Uˇ cenik moˇze ispitati valjanost, odnosno nevaljanost zakljuˇ cka neizravnim dokazom, te sastavljanjem istinitosnih tablica. 1.Pd Uˇ cenik moˇze izvesti dokaz prirodnom dedukcijom koriste´ ci pravila: u¬ , i¬ , u⊥, i⊥, u→ , i→ , u∨ , i∨ , u∧ , i∧ , u∃ , i∃ , u∀ , i∀ , u= , i=, te koriste´ ci teoreme: Modus tollens (M T ), Disjunktivni silogizam (DS), De Morganove zakone (DeM ) 1.Ana Ucenik moˇze razlikovati logiˇ cku od analiticke istine (tj. kondicionala), te u izvodu znade pridodati premise koje proizlaze iz posebnih svojstava predikata poput simetriˇ cnosti, refleksivnosti i tranzitivnosti; Modalnost... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 6 / 36 Ako su prvi ishodi prihvatljivi, i ako su ove metode najprimjereniji put prema ovim ishodima, onda je vaˇzno razmisliti o redoslijedu pouˇcavanja. I redoslijed nastave logike moˇze biti nelogiˇcan. Pri odluci o redoslijedu dobro je drˇzati se naˇcela: Sve prethodno potrebno je za razumijevanje potonjega, a niˇsta od potonjega nije potrebno za razumijevanje prethodnoga. Vaˇzno! Sredstva ne smiju zamraˇciti ciljeve! Komentar To nije tako lako izvedivo. Jako se lako dogodi da uˇcenici logiku poˇcnu poistovje´civati s onim ˇsto se poduˇcava kao metoda. Tako npr., ako se uˇci: S e P , dakle ne-P e S; ili figure i modusi kategoriˇckog silogizma; ili Vennovi dijagrami; ili prirodna dedukcija – uˇcenici vrlo brzo stvore upravo takvu predodˇzbu o logici. Boriti se sa time ostaje na svakom nastavniku i njegovom umije´cu. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 7 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) 2 Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) 2 Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija 3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) 2 Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija 3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka 4 Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) 2 Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija 3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka 4 1 logika sudova – pronalazak protuprimjera Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) 2 Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija 3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka 4 1 2 logika sudova – pronalazak protuprimjera logika pojmova – pronalazak protumodela Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Struktura izvedbenog plana 1 Prevodenje sa i na jezik logike sudova (Li ) i jezik logike prvoga reda (Lp ) 2 Semantika logiˇckih veznika i prirodna dedukcija 3 Zadovoljivost/nezadovoljivost, valjanost/nevaljanost Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka 4 1 2 5 logika sudova – pronalazak protuprimjera logika pojmova – pronalazak protumodela Definicija i divizija, odnosi medu pojmovima Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 8 / 36 Zaˇsto zapoˇceti sa uˇcenjem Li i Lp ? Iako stroga formalizacija ima nedostataka (ne prenose se sve obavijesti iz teksta, simbole je lako poistovjetiti s logikom, reˇcenice koje je teˇze formalizirati mogu obeshrabriti uˇcenike), joˇs ve´ce su njezine prednosti: Mnoˇstvo reˇcenica obiˇcnog jezika svodimo samo na njihovu logiˇcku strukturu. Te reˇcenice iz logiˇcke perspektive postaju jednake Zanemarujemo vanlogiˇcki sadrˇzaj reˇcenica koji nas moˇze (i zbog poznavanja i zbog nepoznavanja tog sadrˇzaja) ometati u ocjenama o logiˇckim odnosima Reˇcenice koje svojom duljinom mogu ometati u ispitivanju logiˇckih odnosa pretvaramo u kratke izraze Najvaˇznije je ˇsto nas prevodenja usmjeravaju na razumijevanje logiˇckih odnosa izmedu sudova i pojmova (ne bavimo se evaluacijom sudova(!) ve´c razotkrivanjem njihovih logiˇckih odnosa kako su iskazani!) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 9 / 36 Zaˇsto baˇs Li i Lp a ne neka druga vrsta formalizacije ? Nekoliko je naˇcina dijagramiranja reˇcenica obiˇcnog jezika: Vennovi dijagrami, prednosti..., nedostaci... Eulerovi dijagrami, prednosti..., nedostaci... tradicionalni simboli za sudove - SaP, SiP, SeP, SoP prednosti..., nedostaci... Li i Lp , prednosti ..., nedostaci... Li i Lp ponajviˇse zadovoljavaju kriterije primjenjivosti, obuhvatnosti, razumljivosti, jednostavnosti,... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 10 / 36 Zaˇsto prevodenja na Li i Lp zajedno? Sve odnose i svojstva koja u nastavi ˇzelimo ispitivati ne moˇzemo ispitati samo Li . Taj je jezik priliˇcno grub, no vaˇzan je jer je jednostavniji i jer je Lp zapravo njegova nadgradnja. Na ovaj naˇcin uˇcenicima dajemo sredstva za dvije razine analize – grublju i finiju, a svaku ´ce koristiti prema potrebama. Primjer 1 – dubine analize 1 Ako su sve jabuke na naˇsemu stolu iz vrta bake Jage, onda neke jabuke iz vrta bake Jage lijepo miriˇsu. Sve jabuke na naˇsemu stolu su iz vrta bake Jage. Dakle, neke jabuke iz vrta bake Jage lijepo miriˇsu. Za ispitati je li zakljuˇcak valjan nije potrebno ulaziti u finiju analizu. Da bismo ispitali slijed moˇzemo ga formalizirati i ovako: S → M, S Dakle, M . – modus ponens 2 Sve jabuke iz vrta bake Jage miriˇsu. Sve jabuke na naˇsemu stolu su iz vrta bake Jage. Dakle, sve jabuke na naˇsemu stolu miriˇsu. Za ispitati valjanost ovog zakljuˇcka viˇse nam nije dovoljan jezik logike sudova, jer prevode´ci ga na njega njegova valjanost ne´ce biti vidljiva: V, S Dakle, M (za ’Sve jabuke na naˇsemu stolu miriˇsu.’). Ovaj zakljuˇcak u sustavu logike sudova nije valjan, no njegova valjanost vidljiva je kada ga izrazimo jezikom logike pojmova: ∀x((J(x) ∧ Iz(x, j)) → M (x)), ∀x((Jx ∧ N a(x, s)) → Iz(x, j)). Dakle, ∀x((Jx ∧ N a(x, s)) → M (x)) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 11 / 36 Zaˇsto uop´ce poˇceti od reˇcenice? Za raspravu. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 12 / 36 Zaˇsto semantika logiˇckih veznika nakon jezika? Nakon ˇsto su uˇcenici nauˇcili jezik, trebaju nauˇciti joˇs neˇsto za logiku vaˇznije – semantiku logiˇckih veznika. Vaˇznije, jer simboli za reˇcenice, logiˇcke veznike i pojmove mogu biti svakojaki (kao ˇsto su to u povijesti logike bili), no ono ˇcime se u logici bavimo jesu logiˇcka svojstva i odnosi koji ne ovise o tipovima simbola nego o njihovom znaˇcenju (o onome ˇsto oni oznaˇcavaju). Tumaˇcenje reˇcenica (njihovu istinitost ili neistinitost) daju razliˇcite znanosti, no uvjete istinitosti i neistinitosti logiˇckih veznika iˇsˇcitava (a ponekad i propisuje) logika: za konjunkciju moˇzemo re´ci da iˇsˇcitava, za disjunkciju i jedno i drugo, za kondicional i jedno i drugo – u nekim primjerima odgovara naˇsim intuicijama u svakodnevnom govoru, dok u drugima ne) Neke su stvari u logici kao teoriji naprosto proizvod odluke (jer je obiˇcan jezik priliˇcno dvosmislen i nije ga jednostavno prenijeti u sustav koji zahtijeva precizno tumaˇcenje). (npr. hrvatski govorni ’ili’ ponekad je logiˇcki ∨ (lat. vel), ponekad Y (lat. aut), a ponekad ∧ (lat. sive)). Na kraju, svejedno je kako ´cemo neki veznik nazvati, no vaˇzno je imati pred oˇcima uvjete istinitosti i neistinitosti iskazanih sloˇzenih sudova. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 13 / 36 Zaˇsto semantika i prirodna dedukcija zajedno? Obiˇcno se, u udˇzbenicima iz logike, semantika logiˇckih veznika (istinitosne tablice) i neka sintaktiˇcka metoda (aksiomatska ili prirodna dedukcija, ili ”stabla”) izlaˇzu odvojeno. Za to postoji i (znanstveno, struˇcno) opravdanje – sintaksa i semantika odvojene su stvari i ne treba ih mijeˇsati. No, sintaktiˇcki i semantiˇcki pojmovi su zamjenjivi – npr. valjanost (semantiˇcki pojam) i izvedivost (sintaktiˇcki pojam) U ocjenama o logiˇckim svojstvima i odnosima teksta oslanjamo se i na sintaktiˇcke i na semantiˇcke pojmove (ono ˇsto ocijenimo da vrijedi za jedne vrijedi i za druge). Osim toga, sintaktiˇcke metode (npr. prirodna dedukcija) oslanjaju se na semantiku (kada bi semantika logiˇckih veznika bila drugaˇcija, drugaˇcija bi bila pravila ukljuˇcivanja i iskljuˇcivanja logiˇckih veznika) Kako je u srediˇstu ovoga prijedloga tekst, praktiˇcno je i vrijedno ukazivati na mnogostrukost naˇcina utvrdivanja njegovih svojstava. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 14 / 36 Semantika P Q P I I I N N I N N P I I N N Q I N I N Prirodna dedukcija ∧Q I N N N P ∨Q I I I N Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) 1 ... 1 ... 2 P ... 2 P ∧Q ... 3 Q ... 3 P 2/ i∧ 4 P ∧Q 2, 3/ u∧ 4 Q 2/ i∧ 1 ... 2 P ∨Q 3 P 4 ... ... pretp. 1 ... 2 P ... 5 R ... 3 P ∨Q 2/ u∨ 6 Q pretp. 7 ... 8 9 Primjer izvedbenog plana - Logika R R ... 2, 3–5, 6–8/ i∨ 13. listopad 2012. 15 / 36 Semantika P Q P I I I N N I N N P I N ¬P N I Prirodna dedukcija →Q I N I I ¬¬P I N 1 P 3 ... Q 4 5 P →Q 1 ... pretp. ... ⊥ ¬P P ... 4 Q 2, 3/ i→ ... 2–4/ u→ Q 5 P →Q 3 ... P ¬Q ... 2 ... 3 4 1 pretp. 2 6 Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) ... 2 1 ... 2 ¬¬P ... 3 P 2/ i¬ ... 3, 4/ u⊥ 2–5/ u¬ Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 16 / 36 Semantika P Q P I I I N N I N N ¬P N I P I N Prirodna dedukcija →Q I N I I ¬¬P I N 1 ... 2 P 3 ... Q 4 5 P →Q 1 ... pretp. Q ... ⊥ 6 ¬P P ... 4 Q 2, 3/ i→ ... 2–4/ u→ P 5 P →Q 3 ... 3 ¬Q ... 2 ... 2 4 1 pretp. 1 ... 2 ¬¬P ... 3 P 2/ i¬ ... 3, 4/ u⊥ 2–5/ u¬ Uoˇcite: da uˇcenici razumijevaju´ci semantiku logiˇckih veznaka odmah vjeˇzbaju i zakljuˇcivati da uˇcenici shva´caju na temelju ˇcega i pod kojim uvjetima sudove moˇzemo sastavljati i rastavljati povezuju pojam o istini i neistini sa pojmom o izvedivosti Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 16 / 36 Svodenje na druge logiˇcke veznike - razumijevanje teorema Uˇcenicima je u uoˇcavanju logiˇckih svojstava i odnosa od velike pomo´ci razumijevanje nekih teorema. Osim ˇsto njime uoˇcavaju odnose sintakse i semantike, shva´caju i meduodnose logiˇckih veznika. Evo joˇs nekoliko razloga: Shva´caju da se isto stanje stvari moˇze i drugaˇcije izraziti Primjer 2: Mirka i Slavka su iskrene ≡ Nije sluˇcaj da barem jedna od njih nije iskrena ≡ Nije sluˇcaj da ako je jedna od njih iskrena, onda da druga nije Shva´caju da su mnogi razliˇciti zakljuˇcci semantiˇcki isti – disjunktivni silogizam moˇzemo pretvoriti u modus ponens, ponens u tollens i obrnuto, ovisno o tome kojim veznikom oblikujemo jednu premisu Primjer 3: Ako je Pedro pumi, Ako je Pedro puli, Pedro nije pumi ili nije onda nije puli. puli. onda nije pumi. Pedro je pumi. Pedro je pumi. Pedro je pumi. Dakle, Pedro nije puli. Dakle, Pedro nije puli. Dakle, Pedro nije puli. modus ponens disjunktivni silogizam modus tollens Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 17 / 36 puli i pumi (a) puli Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) (b) pumi (Pedro) Slika: psi Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 18 / 36 Svodenja i razumijevanje negacije sloˇzenih sudova Im I Is I Im → Is I Im ∧ Is I Im ∨ Is I 3. (¬Im ∧ Is ) I N N I N I N N I I 4. (¬Im ∧ ¬Is ) N N I N N tumaˇ cenja 1. (Im ∧ Is ) 2. (Im ∧ ¬Is ) [Kljuˇ c tumaˇ cenja: Ix za ’x je iskren’; m za Mirku; s za Slavku; u domeni (podruˇ cju primjene) neka su nam Mirka i Slavka] (tumaˇ cenja moˇzemo shvatiti kao razliˇ cite svjetove u kojima razliˇ cite tvrdnje vrijede o Mirki i Slavki) Razumjevanje negacije i istovrijednosti (samo neki primjeri koji se mogu iˇsˇcitati): Sud Mirka je iskrena ili je iskrena Slavka neistinit je jedino u ”svijetu” (tumaˇcenju) u kojemu vrijedi da Ni Mirka ni Slavka nisu iskrene – to je onda tumaˇcenje negacija gornjega suda, a njemu istovrijedan sud je negacija njegove negacije: Nije sluˇcaj da ni Mirka ni Slavka nisu iskrene. (ova pretvorba je poznata i kao De Morganov zakon) na ovoj domeni sud Svi su iskreni poop´cenje je suda Mirka i Slavka su iskrene, a njegova je negacija Mirka nije iskrena ili to nije Slavka, odnosno, Netko nije iskren. Disjunkcijom tvrdimo da je barem jedan disjunkt istinit, ˇsto znaˇci da ako jedan nije, drugi je (Im ∨ Is ≡ ¬Im → Is ) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 19 / 36 Razumijevanje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora Vaˇzno je da znaju , na ograniˇcenim domenama pretvarati nizove sudova u kvantificirane izraze i obrnuto Svijet 1 i Svijet 2: Svatko je oraholjubac I Zagi i Bijeli´ c su oraholjupci Netko nije oraholjubac Zagi nije oraholjubac ili to nije Bijeli´ c Neke vjeverice su oraholjupci Zagi je vjeverica i oraholjubac ili je Bijeli´ c vjeverica i oraholjubac Sve su vjeverice glodavci. Zagi je glodavac ako je vjeverica, i Bijeli´ c je glodavac ako je vjeverica. Postoje dabrovi a postoje i vjeverice. Zagi je dabar ili je Bijeli´ c dabar, te je Zagi vjeverica ili je to Bijeli´ c. Nitko nije dabar ili nitko nije vjeverica Ni Zagi ni Bijeli´ c nisu dabrovi, ili ni jedan ni drugi nisu vjeverice. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 20 / 36 Valjanost, slijed, dokazivost Iako moˇzemo govoriti o valjanom i nevaljanom sudu, ove pojmove najˇceˇs´ce veˇzemo uz zakljuˇcak. Jedna je sposobnost prosuditi je li zakljuˇcak valjan ili nevaljan, no drugaˇcija je mo´ci objasniti, korak po korak, zaˇsto je neki valjan i zaˇsto je neki drugi nevaljan. Objasniti se moˇze formalno i neformalno – vaˇzno je da se u oba naˇcina uˇcenici usavrˇsavaju. Cilj je, prije svega, njegovati umije´ce neformalnog dokazivanja jer se ono dogada u obiˇcnom jeziku i znak je razumijevanja o ˇcemu se radi, te je (u neartikuliranijem obliku) pretpostavka za umije´ce gradnje formalnih dokaza. Vaˇzno sredstvo kao gornjem je ovladavanje formalnim dokazom, zbog: kratko´ce izraza nedvosmislenosti nema preskakanja u koracima (postupost) grafiˇcke preglednosti mogu´ce je izraziti sintagme neizrazive u obiˇcnom jeziku Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 21 / 36 Dokaz – formalan i neformalan. Na primjeru Primjer 4 Sve su igre na sre´cu uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´cu. [Kljuc tumacenja: Sx za 'x je igra na srecu'; U x za 'x je uzbudljiv'; Zx za 'x je skolski zadatak', p za Primjer 4; domena: svi predmeti] Neformalno: P 1 Sve su igre na sre´ cu uzbudljive. P 2 Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pretpostavimo da je Primjer 4 ˇskolski zadatak koji nije uzbudljiv. Iz toga slijedi da je Primjer 4 ˇskolski zadatak, a takoder i da nije uzbudljiv. Nadalje, prema P 1 znamo da je Primjer 4 uzbudljiv ako je igra na sre´ cu, no prema pretpstavci on nije uzbudljiv, pa stoga nije ni igra na sre´ cu. Dakle, Primjer 4 je ˇskolski zadatak i nije igra na sre´ cu. Sve ovo vrijedi pod pretpostavkom da je Primjer 4 ˇskolski zadatak koji nije uzbudljiv, no on ne mora nuˇzno biti takav. Ali prema P 2 znamo da barem jedan takav postoji. Stoga, ako se ”rijeˇsimo” Primjera 4 moˇzemo to tvrditi i bez ove pretpostavke o njemu. A njega se moˇzemo rijeˇsiti: iz zadnje tvrdnje slijedi: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´ cu Iz gornjih premisa, dakle, bez dodatnih pretpostavki, slijedi da neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´ cu. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Formalno: 1 ∀x(Sx → U x) 2 ∃x(Zx ∧ ¬U x) pretp. pretp. Zp ∧ ¬U p pretp. 4 Zp 3/ i∧ 5 ¬U p 3/ i∧ 6 Sp → U p 1/ i∀ 7 ¬Sp 5, 6/ MT 8 Zp ∧ ¬Sp 4, 7/ u∧ 9 ∃x(Zx ∧ ¬Sz) 8/ u∃ 3 10 p ∃x(Zx ∧ ¬Sz) Primjer izvedbenog plana - Logika 2, 3–9/ i∃ 13. listopad 2012. 22 / 36 Isto kao i prethodno samo semantiˇcki Primjer 4 Sve su igre na sre´cu uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´cu. Napravimo model (svijet) u kojemu ´ce premise biti zadovoljene (istinite, ili – koji ´ce biti primjer za premise)! Ako ´ce nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz zadanih premisa. No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi. Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera 4 i sino´cnje partije pokera . x je ˇskolski x je uzbud- x je igra na zadatak ljiv sre´cu Primjer 4 S ovom metodom valja biti s. partija pokera jako oprezan, jer neki zakljuˇ cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za sve zakljuˇ cke kategoriˇ ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 23 / 36 Isto kao i prethodno samo semantiˇcki Primjer 4 Sve su igre na sre´cu uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´cu. Napravimo model (svijet) u kojemu ´ce premise biti zadovoljene (istinite, ili – koji ´ce biti primjer za premise)! Ako ´ce nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz zadanih premisa. No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi. Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera 4 i sino´cnje partije pokera . x je ˇskolski x je uzbud- x je igra na zadatak ljiv sre´cu Primjer 4 S ovom metodom valja biti + – s. partija pokera jako oprezan, jer neki zakljuˇ cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za sve zakljuˇ cke kategoriˇ ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 23 / 36 Isto kao i prethodno samo semantiˇcki Primjer 4 Sve su igre na sre´cu uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´cu. Napravimo model (svijet) u kojemu ´ce premise biti zadovoljene (istinite, ili – koji ´ce biti primjer za premise)! Ako ´ce nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz zadanih premisa. No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi. Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera . x je ˇskolski x je uzbudzadatak ljiv Primjer 4 + – s. partija pokera 4 i sino´cnje partije pokera x je igra na sre´cu – S ovom metodom valja biti jako oprezan, jer neki zakljuˇ cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za sve zakljuˇ cke kategoriˇ ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 23 / 36 Isto kao i prethodno samo semantiˇcki Primjer 4 Sve su igre na sre´cu uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´cu. Napravimo model (svijet) u kojemu ´ce premise biti zadovoljene (istinite, ili – koji ´ce biti primjer za premise)! Ako ´ce nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz zadanih premisa. No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi. Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera . x je ˇskolski x je uzbudzadatak ljiv Primjer 4 + – s. partija pokera + 4 i sino´cnje partije pokera x je igra na sre´cu – S ovom metodom valja biti + jako oprezan, jer neki zakljuˇ cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za sve zakljuˇ cke kategoriˇ ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 23 / 36 Isto kao i prethodno samo semantiˇcki Primjer 4 Sve su igre na sre´cu uzbudljive. Neki ˇskolski zadaci nisu uzbudljivi. Pitamo se slijedi li iz ovih reˇcenica: Neki ˇskolski zadaci nisu igre na sre´cu. Napravimo model (svijet) u kojemu ´ce premise biti zadovoljene (istinite, ili – koji ´ce biti primjer za premise)! Ako ´ce nas gradnja takvog modela ”natjerati” da u njemu i reˇcenica za koju se u zadatku tvrdi da slijedi bude istinita, onda ta reˇcenica slijedi iz zadanih premisa. No ako u naˇsem modelu njezina istinitost ostaje otvorena – ona ne slijedi. Neka se naˇs svijet sastoji od dvije stvari – Primjera . x je ˇskolski x je uzbudzadatak ljiv Primjer 4 + – s. partija pokera – + 4 i sino´cnje partije pokera x je igra na sre´cu – S ovom metodom valja biti + jako oprezan, jer neki zakljuˇ cci npr. nemaju protumodel na domeni od dva predmeta ali imaju na domeni od tri predmeta. Za sve zakljuˇ cke kategoriˇ ckog silogizma dovoljne su domene od dva predmeta. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 23 / 36 ˇ OVAJ! Pogreˇska u neformalnom dokazu - na PRESKOCI primjeru Primjer 5 Pred vama je jedan pogreˇsan neformalni dokaz. Zaokruˇ zite mjesto na kojemu je u dokazu napravljena prva pogreˇska i kratko objasnite zaˇsto je to pogreˇska. ˇ Pretpostavimo: (1) Stogod je Hamlet prepoznao u oblaku, prepoznao je i Polonije, te (2) Hamlet u oblaku nije prepoznao vuka, no prepoznao je lasicu, a dokaˇzimo da iz njih slijedi da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu, ali ne i vuka. Dokaz: Kako je Polonije u oblaku prepoznao sve ˇsto i Hamlet, slijedi da je u oblaku prepoznao lasicu ako ju je Hamlet prepoznao. Nadalje slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao vuka ako ga je Hamlet prepoznao. Kako je Hamlet u oblaku prepoznao lasicu, ali ne i vuka, slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu i da u njemu nije prepoznao vuka. Objaˇsnjenje:...... Odgovor: ” slijedi i da je Polonije u oblaku prepoznao lasicu i da u njemu nije prepoznao vuka.” Prema pretpostavci (1) znademo da je ono ˇsto je u oblaku prepoznao Hamlet dostatan uvjet da je isto u njemu prepoznao i Polonije, no Polonije je u njemu mogao prepoznati i stvari koje Hamlet nije. Pogreˇsan korak izraˇzen formalno: 1 ∀x(P hx → P px) pretp. 2 P hl ∧ ¬P hv pretp. 3 P hl → P pl 1/ i∀ 4 P hv → P pv 1/ i∀ 5 P hl 2/ i∧ 6 ¬P hv 2/ i∧ 7 P pl 3, 5/ i→ 8 ¬P pv 4, 6/ . . . 9 P pl ∧ ¬P pv 7, 8/ u∧ Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 24 / 36 Nevaljanost (prividno zakljuˇcak) Logiˇ cke se sposobnosti ne iscrpljuju u prepoznavanju reˇ cenica koje slijede i njihovom izvodenju. Logiˇ cke sposobnosti ukljuˇ cuju i sposobnost prepoznavanja i dokazivanja da neka reˇ cenica ne slijedi Pitanje: Kako pokazati da neki zakljuˇ cak nije valjan? Od tradicionalnih sredstava imamo na raspolaganju: Moduse i figure kategoriˇ ckog silogizma – svaki zakljuˇ cak koji se sastoji iskljuˇ civo od kategoriˇ ckih sudova (kategoriˇ cki silogizam) koji se ne moˇze podvesti pod neku od figura nije valjan. Problem ovog naˇ cina: ne govori niˇsta o tome zaˇsto konkluzija ne slijedi iz premisa, govori samo da se zakljuˇ cak ne moˇze svesti na formu ve´ c unaprijed utvrdenih valjanih oblika Op´ ca pravila kategoriˇ ckog silogizma (samo neka navodimo) – (1) Nedopuˇsteno proˇsirenje (tj. neraspodjeljenost) manjeg/srednjeg/ve´ ceg pojma – najˇ ceˇs´ ce se napamet uˇ ce sudovi u kojima je koji pojam raspodijeljen/neraspodijeljen, a zaˇsto je to zapravo tako nije lako razumijeti (zaˇsto su u npr. e sudu raspodijeljeni i S i P ) (2) Iz dvije negativne premise ne slijedi niˇsta. Problem: ponekad slijedi (Neki M nisu P. Nijedan S nije M. Dakle, neki ne-S nisu P.) tipiˇ cni oblici valjanih zakljuˇ caka: ponens, tollens, HS, DS. Problem: ˇsto s valjanim zakljuˇ ccima koji nisu tipiˇ cni oblici Tipiˇ cni oblici nevaljanih zakljuˇ caka: afirmacija konzekvensa, negacija antecedensa... Problem: ˇsto s nevaljanim zakljuˇ ccima za koje ne postoje tipiˇ cni oblici Vennovi i Eulerovi dijagrami – problem nastaje kada imamo viˇse pojmova koji sudjeluju u zakljuˇ civanju (ve´ c sa ˇ cetiri pojma postaju teˇsko pregledni), osim toga uˇ cenici crtaju´ ci krugove trebaju i objasniti zaˇsto zakljuˇ cak nije valjan. Primjetite da nam nijedna od ovih metoda ne govori zaˇsto neki zakljuˇ cak nije valjan! Ne dokazuje njegovu nevaljanost!(Vennovi i Eulerovi dijagrami sami po sebi niˇsta ne govore, no pomo´ cu tumaˇ cenja slika mogli bismo dobiti dokaz) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 25 / 36 Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka – Li ? Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, trebamo odgovoriti na jedno drugo: ˇ je valjan zakljuˇcak? Sto Odgovor na ovo pitanje razlikuje se prema tome govorimo li o valjanosti na temelju samo odnosa sudova ili valjanosti i na temelju odnosa pojmova. Ako govorimo o valjanosti zakljuˇcka na temelju samo odnosa sudova, onda je valjan zakljuˇcak onaj u kojemu ne postoji tumaˇcenje (redak u istinosnoj tablici) u kojemu je skup premisa istinit, a konkluzija neistinita. Zakljuˇcak koji nije valjan, dakle, jest onaj u kojemu postoji takvo tumaˇcenje. Ako, pronademo takvo tumaˇcenje, pronaˇsli smo protuprimjer, odnosno primjer u kojemu je skup premisa istinit a konkluzija ne (semantiˇcki pojam), a to znaˇci da ona ne slijedi nuˇzno iz premisa (sintaktiˇcki pojam) Kojim sve metodama moˇzemo ispitati postoji li takvo tumaˇcenje? Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 26 / 36 Kojim sve metodama moˇzemo prona´ci protuprimjer? Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti Primjer 6: Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ? P → Q Q Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati da ne slijedi: ”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su zadovoljene (istinite), no konkluzija nije” Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije) Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer Vennovi dijagrami (kako je Mati´c pokazao) neformalno... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 27 / 36 Kojim sve metodama moˇzemo prona´ci protuprimjer? Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti Primjer 6: Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ? P → Q Q I I Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati da ne slijedi: ”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su zadovoljene (istinite), no konkluzija nije” Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije) Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer Vennovi dijagrami (kako je Mati´c pokazao) neformalno... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 27 / 36 Kojim sve metodama moˇzemo prona´ci protuprimjer? Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti Primjer 6: Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ? P → Q Q I I I Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati da ne slijedi: ”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su zadovoljene (istinite), no konkluzija nije” Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije) Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer Vennovi dijagrami (kako je Mati´c pokazao) neformalno... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 27 / 36 Kojim sve metodama moˇzemo prona´ci protuprimjer? Izravno – potpisivanjem istinosnih vrijednosti Primjer 6: Je li pod pretpostavkama P → Q i Q, nuˇzno istinit i P ? P → Q Q ? I I I Uoˇcavamo da na temelju ovih sudova ne moˇzemo zakljuˇciti niˇsta o istinitosti suda P , pa moˇzemo i navesti protuprimjer te tako pokazati da ne slijedi: ”U tumaˇcenju u kojemu je Q istinit a P neistinit, premise su zadovoljene (istinite), no konkluzija nije” Jednako moˇzemo navesti i protuprimjer tvrdnji da iz ovih premisa slijedi ¬P – protuprimjer: P, Q (premise su zadovoljene a ¬P je nije) Neizravno potpisivanjem istinosnih vrijednosti stabla - primjer - kako nalazimo protuprimjer Vennovi dijagrami (kako je Mati´c pokazao) neformalno... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 27 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Ivo je pas ili je vuk Ivo je vuk ili je Wolfsspitz (Slijedi li?)Ivo je pas ili je Wolfsspitz Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. pokazali smo da postoji interpretacija u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Ivo je pas ili je vuk Ivo je vuk ili je Wolfsspitz Nije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. pokazali smo da postoji interpretacija u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Ivo je pas ili je vuk Ivo je vuk ili je Wolfsspitz Nije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz Ivo nije pas Ivo nije Wolfsspitz Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. pokazali smo da postoji interpretacija u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Ivo je pas ili je vuk Ivo je vuk ili je Wolfsspitz Nije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz Ivo nije pas Ivo nije Wolfsspitz Ivo je pas ⊗ Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Ivo je vuk Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”stablo je ostalo otvoreno”? U ovom primjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. pokazali smo da postoji interpretacija u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, Ivo je pas ili je vuk ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. Ivo nije pas pokazali smo da postoji interpretacija Ivo nije Wolfsspitz u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti Ivo je pas Ivo je vuk je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno ⊗ Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, Ivo je pas ili je vuk ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. Ivo nije pas pokazali smo da postoji interpretacija Ivo nije Wolfsspitz u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti Ivo je pas Ivo je vuk je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno ⊗ Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa ⊗ koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, Ivo je pas ili je vuk ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. Ivo nije pas pokazali smo da postoji interpretacija Ivo nije Wolfsspitz u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti Ivo je pas Ivo je vuk je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno ⊗ Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa ⇑ ⊗ koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Primjer stabla – navesti protuprimjer Primjer 7 Metoda stabla jest jedan automatski postupak. No i nju treba razumjeti, Ivo je pas ili je vuk ˇsto znaˇci ”stablo se zatvorilo” ili ”staIvo je vuk ili je Wolfsspitz blo je ostalo otvoreno”? U ovom priNije sluˇcaj da je Ivo je pas ili je Wolfsspitz mjeru smo pronaˇsli protuprimjer za jedan mogu´ci nevaljani zakljuˇcak, tj. Ivo nije pas pokazali smo da postoji interpretacija Ivo nije Wolfsspitz u kojoj su premise istinite a konkluzija ne, a taj (protu)primjer je sluˇ caj u kojemu je Ivo vuk a nije pas niti Ivo je pas Ivo je vuk je Vuˇ cji ˇspic (Keeshond). Gotovo isto radimo kada neizravno ⊗ Ivo je vuk Ivo je Wolfsspitz nastojimo dokazati isti zakljuˇcak prikazuju´ci ga kao konjunkciju premisa ⇑ ⊗ koja implicira konkluziju pretpostavljaju´ci da je ta implikacija neistinita! Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 28 / 36 Dokaz o nevaljanosti zakljuˇcka – Lp ? Pojam zakljuˇcka u kojemu konkluzija slijedi iz odnosa pojmova malo je zahtjevniji: Valjan zakljuˇcak je onaj u kojemu je konkluzija zadovoljena kadgod su i premise zadovoljene u SVAKOM modelu, ili: Valjan je zakljuˇcak onaj u kojemu ne postoji model u kojemu su premise zadovoljene a konkluzija nije. Nevaljan je, dakle, onaj za koji postoji model u kojemu su premise zadovoljene a konkluzija nije. Kako bismo pokazali da neki takav zakljuˇcak nije valjan, trebamo izgraditi protumodel. Jedna (automatska) metoda izgradnje takvog modela je metoda stabla – no uz satnicu koju imamo ne vjerujem da se moˇze sti´ci. Vjerujem da je dovoljna jedna od sljede´cih provjera (sljede´cih naˇcina): (1)Uˇcenici su ve´c upoznati s formalnim dokazom i mogu vidjeti je li neki sud izvediv iz drugih – ukoliko vide da nije, nastoje izgraditi model ili ”svijet” u kojemu ´ce premise biti istinite, a konkluzija ne. (2) Uˇcenici mogu i odmah pokuˇsati prona´ci protuprimjer – u mislima provjeriti je li mogu´ce da je konkluzija neistinita a skup premisa istinit – ako su ga pronaˇsli, mogu ga navesti, ako nisu mogu pokuˇsati dokazati slijed. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 29 / 36 Jedan primjer gradnje protumodela Primjer 8 Kako ´cemo pokazati da iz premisa (1)’Sve vjeverice su glodavci’ i (2) ’Neki oraholjupci su glodavci’ ne slijedi konkluzija ’Neki oraholjubci su vjeverice’. Izgradimo protumodel (svijet) u kojemu ´ce premise biti istinite, a konkluzija ne! Izgradimo odmah dva svijeta: Opiˇsimo naˇse svijetove: u njima postoje dva predmeta – Zagi i Bijeli´c (skup predemta koji su u naˇsem svijetu nazivamo domenom). Uoˇcite da su u jednom od ova dva modela (svijeta) zadovoljene i premise i konkluzija, dok su u drugom zadovoljene premise ali ne i konkluzija (zato ga nazivamo protumodelom za (prividni) zakljuˇcak, prema analogiji sa protuprimjerom) Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 30 / 36 Jedan primjer gradnje protumodela Primjer 8 Kako ´cemo pokazati da iz premisa (1)’Sve vjeverice su glodavci’ i (2) ’Neki oraholjupci su glodavci’ ne slijedi konkluzija ’Neki oraholjubci su vjeverice’. Izgradimo protumodel (svijet) u kojemu ´ce premise biti istinite, a konkluzija ne! Izgradimo odmah dva svijeta: Opiˇsimo naˇse svijetove: u njima postoje dva predmeta – Zagi i Bijeli´c (skup predemta koji su u naˇsem svijetu nazivamo domenom). Uoˇcite da su u jednom od ova dva modela (svijeta) zadovoljene i premise i konkluzija, dok su u drugom zadovoljene premise ali ne i konkluzija (zato ga nazivamo protumodelom za (prividni) zakljuˇcak, prema analogiji sa protuprimjerom) Protumodel za gornji zadatak je Svijet 1: Zagi je jedina vjeverica i glodavac je (dakle, sve vjeverice su glodavci); Bijel´c je i glodavac i oraholjubac (dakle, neki glodavci su oraholjupci); no konkluzija u njemu nije istinita, jer u njemu nijedan oraholjubac nije vjeverica. Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 30 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv predavanje Lovre x je pristojan Katarina Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre Katarina Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv predavanje Lovre + Katarina + x je pristojan Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre Katarina Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre i Katarine . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv predavanje Lovre + Katarina + – x je pristojan – Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre Katarina Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre . x je hrabar x je izdrˇzao ovo predavanje Lovre + Katarina + i Katarine x je strpljiv x je pristojan + – – + Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre Katarina Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre . x je hrabar x je izdrˇzao ovo predavanje Lovre + + Katarina + + i Katarine x je strpljiv x je pristojan + – – + Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre Katarina Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre . x je hrabar x je izdrˇzao ovo predavanje Lovre + + Katarina + + i Katarine x je strpljiv x je pristojan + – – + Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre + + Katarina – – Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre . x je hrabar x je izdrˇzao ovo predavanje Lovre + + Katarina + + i Katarine x je strpljiv x je pristojan + – – + Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije i napraviti ju nezadovoljenom, pa zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo x je strpljiv x je pristojan predavanje Lovre + + + Katarina – – Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 protuprimjer - protumodel; nekoliko primjera Primjer 9 Svi koji su izdrˇzali ovo predavanje jesu strpljivi ili su pristojni. Neki hrabri ljudi nisu strpljivi. Dakle, neki hrabri ljudi nisu izdrˇzali ovo predavanje. Neka se naˇs svijet sastoji od dva predmeta – Lovre . x je hrabar x je izdrˇzao ovo predavanje Lovre + + Katarina + + i Katarine x je strpljiv x je pristojan + – – + Moˇzemo i obrnuto – krenuti od prividne konkluzije zadovoljiti premise: . x je hrabar x je izdrˇzao ovo predavanje Lovre + + Katarina – – i napraviti ju nezadovoljenom, pa Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) x je strpljiv x je pristojan + – – + Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 31 / 36 Definicija, divizija... Ako odnose medu pojmovimo onda je ovo mjesto za to. Kao i prije, odnositi se prema njima kao prema posebnim reˇcenicama koje sudjeluju u zakljuˇcku... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 32 / 36 Li i Lp Semantika i PD Zadovoljivost/ nezadovoljivost; valjanost/ nevaljanost (1) jezik Li (2) jezik Lp (3,4) Vjeˇzbe (5) ¬, ∧ i ∀, ∨ i ∃ (6) → (7) Y i ↔ (8) Svodenja veznika jednih na druge (9,10,11) Vjeˇzbe: PD i semantika (tablice i modeli) (12) Objaˇsnjenje pojmova (13,14) Vjeˇzbe Protuprimjer i protumodel ˇ (15) Sto je protuprimjer i metoda/e njegova pronalaˇzenja (16) Vjeˇzbe ˇ je protumo(17) Sto del (18,19) Vjeˇzbe Def., div. i odnosi medu pojmovima (20) Definicija, nadredeni, podredeni i ekvipolentni pojmovi (21) Divizija, ukrˇsteni, koordinirani i kontradiktorno– koordinirani pojmovi (22) Vjeˇzbe pronalaˇzenja def. i div. u tekstu, te njihovih elemenata (23,24) Vjeˇzbe dokaza u kojima su def. i div. u ulogama premise Preostalih 11 sati mogu´ ce je rasporediti kroz godinu ovako: 3 sata provjere znanja (+ 2 sata ispravaka/popravaka ocjena) i joˇs 2 sata analize pismenih radova (ako nemate pismenih radova toliko je potrebno i za usmeni odgovor) 1 sat – zakljuˇ civanje ocjena preostala 3 sata mogu se rasporediti na pouˇ cavanje o induktivnom zakljuˇ cku, objaˇsnjenju i dodatnim vjeˇzbama Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 33 / 36 ˇ bih u nastavi izbjegao i zaˇsto Sto Teorije o pojmu (op´cenito: filozofske probleme u pozadini logike), zato ˇsto... Vrste pojmova, zato ˇsto... Teorije o sudu i podjele sudova, zato ˇsto... Dijelom logiˇcki kvadrat, zato ˇsto... Figure i modusi kategoriˇckog silogizma, zato ˇsto... Pomo´cne metode indukcije, zato ˇsto... Suvremena zamisao formalne aksiomatike, zato ˇsto... Pogreˇske u argumentaciji, zato ˇsto... Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 34 / 36 Vaˇzna napomena na kraju Ovaj prijedlog nije zamiˇsljen kao propis prema kojemu bi nastavnici trebali ili morali pouˇcavati. Vjerujem da je autonomija nastavnika jedna od vrijednosti koje se ne smiju zatirati i da kvaliteta obrazovnog sustava o njoj ovisi. Ovaj prijedlog zamiˇsljen je kao pomo´c i poticaj na promiˇsljanje o nastavi logike. Nadam se da ´ce vam neke zamisli biti korisne! Kreˇsimir Gracin (X. gimnazija ”Ivan Supek”) Primjer izvedbenog plana - Logika 13. listopad 2012. 35 / 36
© Copyright 2024 Paperzz