KVANTNA TEORIJA POLJA II
Prvi deo
Funkcionalni formalizam u teoriji polja
Voja Radovanovi´c
Beograd, 2013.
2
Contents
1 Path integrals in quantum mechanics
1.1 Generiˇsu´ci funkcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vacuum-Vacuum transition amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
10
15
2 Funkcionalni izvod i integral
17
3 Funkcionalni integral u kvantnoj teoriji polja: skalarno
3.1 Slobodno skalarno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Grinove funkcije za slobodno skalarno polje . . . . . . .
3.3 Interakciona teorija skalarnog polja-ϕ4 teorija . . . . . .
3.4 Povezane Grinove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
19
23
26
27
31
4 Efektivno dejstvo i verteksne funkcije
4.1 Background field method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Veza izmedju povezanih i 1P I Grinovih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
35
36
ˇ
5 Svinger-Dajsonove
jednaˇ
cine
39
6 Vordovi identiteti
41
7 Funkcionalni integral za fermionsko polje
7.1 Grasmanovi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Slobodno Dirakovo polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
48
8 Funkcionalni formalizam: Gauge
8.1 Kratak podsetnik . . . . . . . .
8.2 Kvantovanje kalibracionih polja
8.3 Fadejev-Popovljeva metoda . .
8.4 Fajnmanova pravila . . . . . . .
51
51
53
54
57
teorije
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
polje
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ˇ
9 Dodatak: Sredingerova,
Hajzenbergova i Dirakova slika
61
10 Dodatak: S matrica
65
3
4
CONTENTS
Literatura:
1. M. Peskin and D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison Wesley,
1995
2. D. Bailin and A. Love, Introduction to Gauge Field Theory, Bristol, 1986
3. M. Srednicki, Quantum Field Theory, CUP, 2007
4. V. Radovanovi´c, Problem Book in Quantum Field Theory, Springer, Berlin, 2008
5. L. Ryder, Quantum Field Theory, CUP, 1985
6. P. Ramond, Field Theory: Modern Primer, Addison-Wesley, Reedwood City, Ca, 1989.
Chapter 1
Path integrals in quantum mechanics
Na kursu kvantne mehanike sistemi se kvantuju tzv. kanonskim kvantovanjem. Klasiˇcne veliˇcine,
po principu korespondencije postaju operatori u Hilbertovom prostoru. U ovoj glavi predstavi´cemo funkcionalno kvantovanju kvantno mehaniˇckih sistema. Ovakav naˇcin kvantovanja
potiˇce od Fajnmana.
1.1
Generiˇ
su´
ci funkcional
Neka je L = L(q, q,
˙ t) lagranˇzijan a H = H(q, p, t) hamiltonijan klasiˇcnog sistema sa jednim
ˆ odnosno impulsa Pˆ .
stepenom slobode. U kvantnoj teoriji q i p postaju operatori koordinate Q
Oni zadovoljavaju komutacionu relaciju
ˆ Pˆ ] = iℏ.
[Q,
(1.1.1)
Svojstvene jednaˇcine ovih operatora su
Pˆ |p⟩ = p|p⟩,
ˆ = q|q⟩,
Q|q⟩
(1.1.2)
gde su |q⟩ odnosno |p⟩ svojstveni vektori operatora koordinate odnosno impulsa. Oni zadovoljavaju relacije kompletnosti:
∫
∫
dq|q⟩⟨q| = 1,
dp|p⟩⟨p| = 1 ,
(1.1.3)
i normirani su prema
⟨q|q ′ ⟩ = δ(q − q ′ ), ⟨p|p′ ⟩ = δ(p − p′ ).
ˇ
Evoluciju sistema odredjuje Sredingerova
jednaˇcina
iℏ
∂ψ
ˆ ,
= Hψ
∂t
(1.1.4)
(1.1.5)
ˆ hamiltonijan. Ukoliko je u trenutku t0 vektor stanja |ψ(t0 )⟩ onda je u trenutku t stanje
gde je H
sistema dato sa
|ψ(t)⟩ = U (t, t0 )|ψ(t0 )⟩ ,
(1.1.6)
5
6
CHAPTER 1. PATH INTEGRALS IN QUANTUM MECHANICS
gde je
U (t, t0 ) = T e
− ℏi
∫t
t0
ˆ ′)
dt′ H(t
(1.1.7)
tzv. evolucioni operator (propagator). U daljem ´cemo pretpostaviti da hamiltonijan ne zavisi
eksplicitno od vremena, tj. da je sistem konzervativan. Tada se evolucioni operator svodi na
U (t, t0 ) = e− ℏ H(t−t0 ) .
i
ˆ
(1.1.8)
U Hajzenbergovoj slici operator koordinate je
ˆ ˆ − i Ht
ˆ
ˆ H (t) = e ℏi Ht
Qe ℏ ,
Q
(1.1.9)
ˇ
Sredingerovim
stanjima |q⟩ odgovaraju stanja
i
ˆ
|q, t⟩H = e ℏ Ht |q⟩
(1.1.10)
u Hajzenbergovoj slici. Ona su svojstveni vektori operatora koordinate u Hajzenbergovoj slici
ˆ H (t):
Q
ˆ H (t)|q, t⟩ = q|q, t⟩ .
Q
(1.1.11)
Hajzenbergova stanja |q, t⟩H zadovoljavaju relacije kompletnosti:
∫
∫
i ˆ
i ˆ
dq|q, t⟩⟨q, t| = dqe ℏ Ht |q⟩⟨q|e− ℏ Ht = 1 ,
(1.1.12)
i ortonormiranosti:
⟨q, t|q ′ , t⟩ = ⟨q|e− ℏ Ht e ℏ Ht |q ′ ⟩ = ⟨q|q ′ ⟩ = δ(q − q ′ ).
i
ˆ
i
ˆ
(1.1.13)
Amplituda verovatno´ce da ˇcestica iz poloˇzja qi u trenutku ti predje u poloˇzaj qf u trenutku tf je
⟨qf |e− ℏ H(tf −ti ) |qi ⟩
i
ˆ
(1.1.14)
ˇsto je evolucioni operator. Moˇzemo ga prepisati i u Hajzenbergovoj slici
⟨qf |e− ℏ H(tf −ti ) |qi ⟩ = ⟨qf , tf |qi , ti ⟩ .
i
ˆ
(1.1.15)
Talasna funkcija u trenutku t je
ψ(q, t) = ⟨q|ψ(t)⟩S = ⟨q, t|ψ⟩H
∫
=
dq ′ ⟨q|U (t, t0 )|q ′ ⟩⟨q ′ |ψ(t0 )⟩
∫
=
dq ′ ⟨q, t|q ′ , t0 ⟩⟨q ′ , t0 |ψ⟩H
∫
=
dq ′ ⟨q, t|q ′ , t0 ⟩ψ(q ′ , t0 ) .
(1.1.16)
Podintegralni izraz je proizvod evolucionog operatora i talasne funkcije u poˇcetnom trenutku.
ˇ CI
´ FUNKCIONAL
1.1. GENERISU
q
7
6
.
(qf , tf )
qf .
qn .
.
.
A
q2 .
A
q1 .
. δt. δt.
qi .
. (qi , ti )
. . . . . . . . . .0
ti t1 t2 tn−1 tn tf
t
Figure 1.1: The splitting of time interval and the corresponding path
Podelimo interval tf − ti na n + 1 intervala takvih da je
tf − ti = (n + 1)△t,
tk+1 − tk = △t,
t i = t0
tf = tn+1 .
(1.1.17)
∫
Uvedimo n relacija kompletnosti 1 = dqk |qk , tk ⟩⟨qk , tk | u izraz za amplitudu prelaza
∫ ∞
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ =
dq1 . . . dqn ⟨qf , tf |qn , tn ⟩⟨qn , tn |qn−1 , tn−1 ⟩ . . . ⟨q1 , t1 |qi , ti ⟩.
(1.1.18)
−∞
Treba da nadjemo
⟨qj+1 , tj+1 |qj , tj ⟩ = ⟨qj+1 |e− ℏ H(tj+1 −tj) |qj ⟩
i
ˆ
= ⟨qj+1 |e− ℏ H△t |qj ⟩
i
ˆ j ⟩ + O((△t)2 )
= ⟨qj+1 |qj ⟩ − △t⟨qj+1 |H|q
ℏ
i
ˆ j ⟩ + O((△t)2 ) .
= δ(qj+1 − qj ) − △t⟨qj+1 |H|q
ℏ
i
ˆ
(1.1.19)
Neka Hamiltonijan ima jednostavan oblik
ˆ2
ˆ = P + Vˆ (Q).
ˆ
H
2m
(1.1.20)
Lako se vidi da je
∫
⟨qj+1 |Pˆ 2 |qj ⟩ =
∞
∫−∞
∞
=
∫−∞
∞
=
−∞
dpj ⟨qj+1 |Pˆ 2 |pj ⟩⟨pj |qj ⟩
dpj ⟨qj+1 |p2j |pj ⟩⟨pj |qj ⟩
dpj p2j ⟨qj+1 |pj ⟩⟨pj |qj ⟩.
(1.1.21)
8
CHAPTER 1. PATH INTEGRALS IN QUANTUM MECHANICS
Kako je
i
1
⟨q|p⟩ = √
e ℏ pq
2πℏ
to dobijamo
1
⟨qj+1 |Pˆ 2 |qj ⟩ =
2πℏ
∫
∞
−∞
(1.1.22)
dpj p2j e ℏ pj (qj+1 −qj ) .
i
(1.1.23)
Matriˇcni element potencijala je
( qj+1 + qj )
δ(qj+1 − qj ) = V (¯
qj )
⟨qj+1 |Vˆ (ˆ
q )|qj ⟩ = V
2
∫
dpj i pj (qj+1 −qj )
eℏ
,
2πℏ
(1.1.24)
gde je q¯j = (qj+1 + qj )/2 . Izabrali smo da umesto qj ili qj+1 u argumentu klasiˇcnog potencijala
piˇsemo njihovu srednju vrednost ˇsto odgovara simetriˇcnom uredjenju operatora. Dakle
ˆ
− ℏi H△t
⟨qj+1 |e
∫
)
)
dpj i pj (qj+1 −qj ) (
i ( p2j
eℏ
1 − △t
+ V (¯
qj ) + O((△t)2 )
ℏ
2m
−∞ 2πℏ
∫
( p2
)
dpj i pj (qj+1 −qj ) − ℏi △t 2mj +V (¯qj )
ℏ
e
=
e
2πℏ
∫ ∞
(
)
p2
j
dpj ℏi △t pj qj+1△t−qj − 2m
−V (¯
qj )
=
e
.
(1.1.25)
−∞ 2πℏ
|qj ⟩ =
∞
Kako je klasiˇcni Hamiltonijan
p2j
H(pj , q¯j ) =
+ V (¯
qj ).
2m
(1.1.26)
to (1.1.25) postaje
ˆ
− ℏi H△t
⟨qj+1 |e
∫
|qj ⟩ =
∞
−∞
dpj ℏi
e
2πℏ
(
)
pj (qj+1 −qj )−H(pj ,¯
qj )△t
.
(1.1.27)
Klasiˇcni hamiltonijan ne mora biti oblika
H=
p2
+ V (q)
2m
ve´c moˇze biti komplikovanija funkcija koordinate i impulsa, npr.
∑
H=
cmn q m pn ,
(1.1.28)
m,n
gde su cmn koeficijenti. Kvantno mehaniˇcki analogon gornjeg hamiltonijana nije jednoznaˇcno
ˆ jer npr. Q
ˆ Pˆ Q
ˆ ̸= Pˆ Q
ˆQ
ˆ . Mi ´cemo
odredjen. Moramo definisati uredjenje operatora Pˆ i Q
koristiti Weyl-ovo (simetriˇcno) uredjenje definisano sa
∫
∫
dx dk ixPˆ +ikQˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
dpdqe−ixp−ikq H(p, q) .
(1.1.29)
H(P , Q) =
2π 2π
ˇ CI
´ FUNKCIONAL
1.1. GENERISU
9
U ovom sluˇcaju rezultat (1.1.27) ostaje nepromenjen. Ovo uredjenje se naziva simetriˇcnim jer
postoji slede´ca koresondencija
1 ˆˆ ˆˆ
(QP + P Q)
2
1 ˆ2 ˆ
ˆ Pˆ Q
ˆ + Pˆ Q
ˆ 2) .
q2p →
(Q P + 2 Q
4
qp →
(1.1.30)
Iz (1.1.18) i (1.1.27) sledi da je ampiltuda prelaza
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ =
∫ ∏
n
dqi
∫ ∏
n
i=1
dpj
j=0
i ∑n
1
j=0 △t
ℏ
e
(2πℏ)n+1
(
pj
qj+1 −qj
△t
−H(pj ,¯
qj )
)
.
(1.1.31)
Ako uzmemo limes n → ∞ i △t → 0 ali tako da je njihov proizvod n△t konaˇcan (2n +
1)−struki integral posta´ce integral po trajektorijama (path integral ili funkcionalni integral).
Mera integracije je proizvod
DqDp
gde je
lim
n→∞
n
∏
∏n
dqi = Dq,
j=0
lim
dpj
= Dp.
n→∞ (2πℏ)n+1
i=1
(1.1.32)
U ovom limesu imamo joˇs i
qj+1 − qj
lim
= q,
˙
△t→0
△t
pa je
∫
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ =
lim
△t→0
n
∑
△t =
i
Dp e ℏ
tf
dt.
(1.1.33)
ti
j=0
∫
Dq
∫
∫ tf
ti
dt(pq−H(p,q))
˙
,
(1.1.34)
uz graniˇcni uslov
q(ti ) = qi ,
q(tf ) = qf .
(1.1.35)
Rezultat (1.1.34) je fazni integral po trajektorijama. U sluˇcaju kad je Hamiltonijan dat sa
ˆ2
ˆ = P + Vˆ (Q)
ˆ
H
2m
moˇzemo integraliti po impulsima u (1.1.34). Podjimo od izraza
∫
∫
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ =
dq1 . . . dqn
i primenimo Gausov integral
∫
dp0 . . . dpn ℏi ∑nj=0 △t
e
(2πℏ)n+1
√
+∞
dxe
−∞
−αx2 +βx
=
(
pj
π β2
e 4α
α
qj+1 −qj
△t
p2
)
j
− 2m
−V (¯
qj )
.
(1.1.36)
(1.1.37)
10
CHAPTER 1. PATH INTEGRALS IN QUANTUM MECHANICS
koji je definisan za Re α > 0. U naˇsem sluˇcaju parametar α je imaginaran pa ´cemo △t zameniti
sa
(1 − iδ)△t ,
(1.1.38)
gde je δ mali pozitivan broj. Tako dobijamo da su integracije po impulsima Gausove
√
∫ ∞
−qj )2
i△t(1−iδ) 2 i
2mℏπ − m(qj+1
− 2mℏ pj + ℏ pj (qj+1 −qj )
2iℏ△t
dpj e
=
e
.
i△t
−∞
Amplituda prelaza je onda
∫
( (q −q )2
)
j
m j+1
i ∑n
dq1 . . . dqn ( 2mπℏ ) n+1
2
−V (¯
qj )
2
j=0 △t 2
ℏ
△t
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ =
e
(2πℏ)n+1
i△t
( (q −q )2
)
∫
( m ) n+1
j
i ∑n
m j+1
2
−V (¯
qj )
2
j=0 △t 2
ℏ
(△t)
=
dq1 . . . dqn e
.
2πℏi△t
U limesu n → ∞ i △t → 0 ali tako da je njihov proizvod konaˇcan uz oznaku
( m ) n+1
2
N=
→ ∞.
2πℏi△t
dobijamo
∫
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ = N
Dqe
i
ℏ
∫ tf
ti
dt
(
m 2
q˙ −V
2
(1.1.39)
(1.1.40)
(1.1.41)
)
(q)
.
(1.1.42)
U eksponentu podintegralne funkcije figuriˇse klasiˇcno dejstvo
∫ tf
S=
dt L(q, q)
˙ .
ti
Konfiguracioni path integral je
∫
⟨qf , tf |qi , ti ⟩ = N
i
Dqe ℏ S[q]
(1.1.43)
Path integral je suma preko svih mogu´cih trajektorija (uz odgovataju´ci graniˇcni uslov) oteˇzinjena
i
sa faznim faktorom e ℏ S[q] . U klasiˇcnoj mehanici ˇcestica se kre´ce po jednoj, tzv. klasiˇcnoj
trajektoriji, dok u kvantnoj mehanici su mogu´ce sve trajektorije. U limesu ℏ ≪ S najve´ci
doprinos amplitudi prelaza daje klasiˇcna trajektorija. To je klasiˇcan limes.
Recimo na kraju da funkcionalni formalizam potiˇce od Fajnmana.
1.2
Vacuum-Vacuum transition amplitude
Uveˇs´cemo pomo´cnu veliˇcinu J(t) koja se naziva izvorom. Pretpostavi´cemo da je ona oblika kao
na slici, tj. da je izvor nenulti u oblasti t− < t < t+ . Amplituda prelaza u prisustvu izvora je
∫
∫
∫
i tf
˙
⟨qf , tf |qi , ti ⟩J = Dq Dp e ℏ ti dt(pq−H(p,q)+Jq)
.
(1.2.44)
1.2. VACUUM-VACUUM TRANSITION AMPLITUDE
q
6
11
(qf , tf )
qf .
qi .
(qi , ti )
.
. 0
ti
tf
t
Figure 1.2: The integration over all possible paths
J(t)6
. .
. .
−∞ ti t−
0
t+ tf +∞ t
Figure 1.3: The source current: ti < t− < t+ < tf limt→±∞ J(t) = 0
Vidimo da je hamiltonijan
H ’preˇsao’ u H∫ − Jq . Zadnji ˇclan je kapling izvora sa koordinatom.
∫
Primenom 1 = dq− |q− , t− ⟩⟨q− , t− | i 1 = dq+ |q+ , t+ ⟩⟨q+ , t+ | dobijamo
∫
⟨qf , tf |qi , ti ⟩J = dq− dq+ ⟨qf , tf |q+ , t+ ⟩⟨q+ , t+ |q− , t− ⟩J ⟨q− , t− |qi , ti ⟩
(1.2.45)
Svojsvtvena jednaˇcina Hamiltonijana je
ˆ
H|n⟩
= En |n⟩
(1.2.46)
ψn (q) = ⟨q|n⟩
(1.2.47)
dok su
svojstvena stanja u koordinatnoj reprezentaciji. Ubacivanjem kompletnog skupa energetskih
stanja imamo
∑
∑
i ˆ
i ˆ
⟨qf , tf |q+ , t+ ⟩ =
⟨qf , tf |n⟩⟨n|q+ , t+ ⟩ =
⟨qf |e− ℏ Htf |n⟩⟨n|e ℏ Ht+ |q+ ⟩
n
=
∑
n
e
− ℏi En (tf −t+ )
ψn (qf )ψn∗ (q+ )
(1.2.48)
n
i sliˇcno
⟨q− , t− |qi , ti ⟩ =
∑
ψn (q− )e ℏ En (ti −t− ) ψn∗ (qi ).
i
(1.2.49)
n
ˇ
Zelimo
da inicijalno i finalno stanje budu osnovna stanja u ti → −∞ odnosno tf → ∞. Izrazi
(1.2.48) i (1.2.49) u ovim limesima nisu dobro definisani. Opet nam nedostaje mali imaginarni
12
CHAPTER 1. PATH INTEGRALS IN QUANTUM MECHANICS
deo u eksonentima u ovim izrazima. Moˇzemo Hamiltonijan zameniti sa H ′ = H(1 − iδ) ili uzeti
limes
{
ti → −∞(1 − iδ) = −∞e−iδ ,
(1.2.50)
tf → ∞(1 − iδ) = ∞e−iδ .
U zadnjoj formuli 0 < δ < π2 . Gornji limesi odgovaraju smeni t → te−iδ ˇsto je integracija po
liniji zarotiranoj za ugao δ kao na slici. U ovim limesima najsporije opada doprinos osnovnog
6
Im t
|t
HH
HH
t. f Re-t
.δ HHH
ti
0 H δ
HH
HH
Figure 1.4: The rotation of time axis by an angle δ in the complex plane
stanja pa dobijamo
⟨qf , tf |q+ , t+ ⟩ →
⟨q− , t− |qi , ti ⟩ →
lim
e− ℏ E0 tf ψ0 (qf )ψ0∗ (q+ , t+ ),
(1.2.51)
lim
e ℏ E0 ti ψ0∗ (qi )ψ0 (q− , t− ).
(1.2.52)
dq+ dq− ψ0∗ (q+ , t+ )⟨q+ , t+ |q− , t− ⟩J ψ0 (q− , t− )
(1.2.53)
tf
→∞e−iδ
ti →−∞e−iδ
i
i
Veliˇcina
lim
→∞e−iδ
tf
ti →−∞e−iδ
⟨qf , tf |qi , ti ⟩J
=
ψ0 (qf , tf )ψ0∗ (qi , ti )
∫
je amplituda verovatno´ce da sistem u osnovnom stanju u trenutku t− ostane u osnovnom stanju
u trenutku t+ . Ako uzmem da perturbacija deluje sve vreme t− → −∞, t+ → ∞ dobijamo
amplitudu verovatno´ce da sistem ostane u osnovnom stanju u prisustvu izvora
Z[J] = ⟨Ω|Ω⟩J =
∫
Dakle
Z[J] = N
lim
tt →∞e−iδ
ti →−∞e−iδ
∫
Dq
i
Dp e ℏ
⟨qf , tf |qi , ti ⟩J
.
∗
ψ0 (qf , tf )ψ0 (qi , ti )
∫ +∞
−∞
dt(pq−H(p,q)+Jq)
˙
Normalizacija je odredjena zahtevom Z[0] = 1 pa je
∫
∫
∫
i +∞
˙
−1
.
N = Dq Dp e ℏ −∞ dt(pq−H(p,q))
.
(1.2.54)
(1.2.55)
(1.2.56)
1.2. VACUUM-VACUUM TRANSITION AMPLITUDE
Dakle
∫
Z[J] =
13
∫
∫
i +∞
˙
Dq Dp e ℏ −∞ dt(pq−H(p,q)+Jq)
.
∫
∫
∫
i +∞
˙
Dq Dp e ℏ −∞ dt(pq−H(p,q))
(1.2.57)
Gornja amplituda ne zavisi od izbora graniˇcnih uslova
lim q(t) = qi ,
lim q(t) = qf .
ti →−∞
Ako je H =
p2
2m
(1.2.58)
tf →∞
+ V (q) onda je
Z[J] = N
′
∫
i
Dqe ℏ
∫ +∞
−∞
dt(L(q,q)+Jq)
˙
.
(1.2.59)
Generalno govore´ci funkcionalni (path) integral nije dobro definisan. Veliˇcina
∫ tf
1
S=
dt( mq˙2 − V (q))
2
ti
je realna pa je podintegralna funkcija u path integralu oscilatorna.
Da bi dobili dobro definisan integral moˇzemo uvesti euklidsko vreme1 τ = it . Prelazak
na euklidsko vreme se naziva Vikovom rotacijom. Analitiˇcko produˇzenje na imaginarno vreme
zasnovano na ˇcinjenici da u oblasti integracije sa slike 1.5 nema singulariteta pa je za T → ∞
∫ T
∫ iT
dtf (t) +
d(iy)f (iy) = 0
(1.2.60)
−T
−iT
odnosno
∫
∫
T
−T
dtf (t) = −
iT
d(iy)f (iy)
−iT
∫ T
= −i
(1.2.61)
d(τ )f (−iτ ) ,
−T
gde smo uveli smenu y = −τ .
Dakle, potrebno je da napravimo zamenu t = −iτ u dejstvu i da integralimo od −∞ do ∞
po euklidskom vremenu τ . Lako se dobija
∫ tf [
]
( dq )2
1 ( dq )2
2
, iS = −
+ V (q) = −SE
(1.2.62)
q˙ = −
dτ m
dτ
2
dτ
ti
pa je euklidski path integral
∫
ZE [J] = NE
1
U ovom sluˇcaju δ =
π
2.
1
Dqe ℏ
∫ +∞
−∞
dq
)+Jq)
dτ (L(q,i dτ
.
(1.2.63)
14
CHAPTER 1. PATH INTEGRALS IN QUANTUM MECHANICS
Figure 1.5:
Drugi, ekvivalentni pristup je da pomnoˇzimo Hamiltonijan sa 1 − iδ pa je
∫
∫∞
˙
.
Z[J] = DpDqei −∞ dt(pq−(1−iδ)H+Jq)
Neka je
p2 ω 2 q 2
+
.
2
2
Mnoˇzenje Hamiltonijana sa 1 − iδ je ekvivalentno sa smenom
H=
ω 2 → ω 2 (1 − iδ) = ω 2 − iδ
u faznom funkcionalnom integralu. Mogli smo i da dodamo ˇclan −iδq 2 /2, (δ → 0) u Hamiltonijan. Analogno dodavanjem iδq 2 /2 u Lagranˇzijan daje konvergenciju konfiguracionog funkcionalnog
integrala
∫
∫
Z[J] = N
Dq
i
eℏ
∫ +∞
−∞
i
dt(L(q,q)+Jq+
˙
δq 2 )
2
.
(1.2.64)
Sve bi ovo dovelo do konvergentnog integrala. Path intregral se onda definiˇse na ovaj naˇcin.
Generalizacija na sisteme sa viˇse stepeni slobode je pravolinijska. Generiˇsu´ci funkcional za
sisteme sa n stepeni slobode je Dakle
∫
Z[J] =
∫
∫
i +∞
Dq Dp e ℏ −∞ dt(pi q˙i −H(p,q)+Ji qi )
.
∫
∫
∫
i +∞
Dq Dp e ℏ −∞ dt(pi q˙i −H(p,q))
gde su qi i pi generalisane koordinate odnosno generalisani impulsi. Takodje je
∏
∏
Dq =
Dqi , Dp =
Dpi .
i
i
(1.2.65)
(1.2.66)
1.3. GREEN FUNCTIONS
1.3
15
Green functions
Nadjimo
ˆ H (tb )Q
ˆ H (ta )|qi , ti ⟩
⟨qf , tf |Q
za tb > ta . Dele´ci interval tf − ti kao u prvoj sekciji primenjuju´ci relacije kompletnosti imamo
∫
ˆ
ˆ
⟨qf , tf |QH (tb )QH (ta )|qi , ti ⟩ = dq1 . . . dqn ⟨qf , tf |qn , tn ⟩⟨qn , tn | . . . |qb+1 , tb+1 ⟩
ˆ H (tb )|qb , tb ⟩⟨qb , tb |
× ⟨qb+1 , tb+1 |Q
ˆ H (ta )|qa , ta ⟩ . . . ⟨q1 , t1 |qi , ti ⟩
. . . |qa+1 , ta+1 ⟩⟨qa+1 , ta+1 |Q
∫
= dq1 . . . dqn qb qa ⟨qf , tf |qn , tn ⟩ . . . ⟨q1 , t1 |qi , ti ⟩
∫
∫
∫
i tf
˙
= Dq Dp q(tb )q(ta )e ℏ ti dt(pq−H(p,q))
.
Vremensko uredjenje dva operatora je definisano sa
{
ˆ H (tb )Q
ˆ H (ta ), tb > ta
Q
ˆ
ˆ
T (QH (tb )QH (ta )) =
ˆ H (ta )Q
ˆ H (tb ), ta > tb .
Q
(1.3.67)
(1.3.68)
Onda je
ˆ (t ) . . . Q
ˆ H (tn ))|qi , ti ⟩
⟨qf , tf |T (Q
∫
∫ H 1
∫
i tf
˙
.
= Dq Dp q(t1 ) . . . q(tn )e ℏ ti dt(pq−H(p,q))
(1.3.69)
Vakumska oˇcekivana vredenost vremenskog urednja operatora koordinate se dobija uzimanjem
limesa ti → −∞e−iδ and tf → ∞e−iδ . Ovi limesi izdvajaju osnovna stanja u dalekoj proˇslosti
odnosno budu´cnosti pa je
ˆ H (t1 ) . . . Q
ˆ H (tn ))|Ω⟩
⟨Ω|T (Q
∫
∫
∫
i tf
˙
Dq Dp q(t1 ) . . . q(tn )e ℏ ti dt(pq−H(p,q))
=
lim
∫
∫
∫
i tf
dt(pq−H(p,q))
˙
tf →∞e−iδ
ℏ ti
Dq
Dp
e
ti →−∞e−iδ
∫
∫
∫
i ∞
˙
( ℏ )n
Dq Dp e ℏ −∞ dt(pq−H(p,q)+Jq)
δn
∫
=
∫
∫
i ∞
dt(p
q−H(p,q))
˙
i δJ(t1 ) . . . δJ(tn )
J=0
−∞
Dq Dp e ℏ
( ℏ )n
δ n Z[J]
=
i δJ(t1 ) . . . δJ(tn ) J=0
Ova vakuumska oˇcekivana vrednost je n taˇckasta Grinova funkcija (korelator)
( ℏ )n
δ n Z[J]
(n)
ˆ
ˆ
G (t1 , . . . , tn ) = ⟨Ω|T (QH (t1 ) . . . QH (tn ))|Ω⟩ =
.
i δJ(t1 ) . . . δJ(tn ) J=0
(1.3.70)
(1.3.71)
16
CHAPTER 1. PATH INTEGRALS IN QUANTUM MECHANICS
Chapter 2
Funkcionalni izvod i integral
Funkcija viˇse promenljivih g = g(x1 , . . . , xn ) je preslikavanje iz Rn u R. Funkcional F [f (x)]
preslikava funkcije u brojeve F : f (x) → R. Diferencijal funkcije g = g(x1 , . . . , xn ) je
n
∑
∂g
dg =
dxi
∂x
i
i=1
(2.0.1)
ˇ
Zelimo
da definiˇsemo funkcionalni
∫ Ako diskretne nezavisno promenljive x1 , . . . , xn prelaze
∑izvod.
u kontinualnu promenljivu x, a
→ to (2.0.1) prelazi u
∫
δF [f (x)]
δF [f (x)] = dy
δf (y) ,
δf (y)
Izraz
δF [f (x)]
δf (y)
je funkcionalni izvod. Dosta formalnije funkcionalni izvod se definiˇse prema
δF [f (x)]
F [f (x) + ϵδ(x − y)] − F [f (x)]
= lim
.
ϵ→0
δf (y)
ϵ
Funkcionalni integral je generalizacija Gausovog integrala
√
∫ ∞
2π
− a2 y 2
dye
=
, Rea > 0 ,
a
−∞
(2.0.2)
(2.0.3)
Gausov jednodimenzioni integral se lako generaliˇse na viˇsedimenzioni. Ako uzmemo da je Y =
(y1 . . . yn )T , ρ = (ρ1 . . . ρn )T i A je n × n simetriˇcna matrica onda
∫ ∞
1 T −1
1 T
1
T
−n
dy1 . . . dyn e− 2 Y AY +ρ Y = √
e2ρ A ρ .
(2.0.4)
(2π) 2
det A
−∞
U slede´cem koraku gornji izraz generalizujemo na funkcionalni integral
∫
∫
∫
∫
1
1
1
−1
Dφe− 2 dxdyφ(x)A(x,y)φ(y)+ dxρ(x)φ(x) = √
e 2 dxdyρ(x)A (x,y)ρ(y) ,
det A
17
(2.0.5)
18
CHAPTER 2. FUNKCIONALNI IZVOD I INTEGRAL
gde je sada A beskonaˇcno dimenziona matrica.
Uvode´ci kompleksne promenljive
z = x + iy
z¯ = x − iy ,
(2.0.6)
dzd¯
z ≡ 2dxdy
(2.0.7)
uz
Gausov integral je
∫
dzd¯
ze
−¯
z az
∫
∫
∞
∞
dx
=2
−∞
dye−a(x
2 +y 2 )
=
−∞
2π
.
a
Neka je Z = (z1 . . . zn )T i Z¯ = (¯
z1 . . . z¯n )T i neka je A hermitska matrica onda
∫
∫
1
¯T
−n/2
(2π)
dz1 d¯
z1 . . . dzn d¯
zn e−Z AZ =
.
det A
Generalizacijom dobijamo slede´ci funkcionalni integral
∫
∫
∗
DϕDϕ∗ e− dxdyϕ (x)A(x,y)ϕ(y) =
odnosno
∫
DϕDϕ∗ e−
∫
∫
dxdyϕ∗ (x)A(x,y)ϕ(y)+ dx(Jϕ∗ +J ∗ ϕ)
=
1
det A
1 ∫ d4 xd4 yJ ∗ (x)A−1 (x,y)J(y)
e
.
det A
(2.0.8)
(2.0.9)
(2.0.10)
(2.0.11)
Chapter 3
Funkcionalni integral u kvantnoj teoriji
polja: skalarno polje
Skalarno polje
ϕ(x) ≡ ϕx (t)
(3.0.1)
je sistem sa beskonaˇcno puno stepeni slobode. Veza izmedju operatora skalarnog polja u
ˆ x) i u Hajzenbergovoj slici, ϕ(t,
ˆ x) je standardna
ˇ
Sredingerovoj,
ϕ(0,
ˆ ˆ
ˆ
ˆ x) = eiHt
ϕ(t,
ϕ(0, x)e−iHt .
(3.0.2)
Po analogiji sa relacijom (1.1.11) imamo
ˆ x)|ϕ(x), t⟩ = ϕ(x)|ϕ(x), t⟩ .
ϕ(t,
(3.0.3)
Amplituda za prelazak iz poˇcetne konfiguracije ϕ′ (x) u trenutku ti u finalnu konfiguraciju ϕ′′ (x)
u trenutku tf je
∫
∫t
∫
˙
i t f dt d3 x(π ϕ−H(π,ϕ))
′′
′
i
⟨ϕ (x), tf |ϕ (x), ti ⟩ =
DϕDπe
,
(3.0.4)
′′
ϕ(tf ,x)=ϕ (x)
ϕ(ti ,x)=ϕ′ (x)
gde je π generalisani impuls, a H(π, ϕ) gustina hamiltonijana.
U limesu ti → −∞e−iδ , tf → ∞e−iδ dobijamo vakuum-vakuum amplitudu prelaza
∫
∫ 4
˙
Z[J] = ⟨Ω|Ω⟩J = N DϕDπei d x(πϕ−H(π,ϕ)+Jϕ) ,
(3.0.5)
gde smo uveli i interakciju polja sa spoljnim izvorom J. Ako je podintegralna funkcija kvadratna
po impulsima onda se po impulsima lako integrali pa dobijamo
∫
∫ 4
i
Z[J] = ⟨Ω|Ω⟩J = N Dϕe ℏ d x(L+Jϕ) .
(3.0.6)
Totalni Hamiltonijan je zbir ’pravog’ Hamiltonijana H = H0 + Hint i ˇclana Jφ:
∫
HT = H0 + Hint − d4 xJ φˆ .
19
20CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
Osnovno stanje totalnog Hamiltonijana je |Ω⟩J , a pravog Hamiltonijana (J = 0) je |Ω⟩ . Amplituda prelaza iz vakuuma u vakuum u prisustvu izvora je
⟨Ω|Ω⟩J = ⟨Ω|T ei
∫
d4 xJ ϕˆ
|Ω⟩
(3.0.7)
gde je ϕˆ operator polja ’prave’ teorije u Hajzenbergovoj slici. On je na osnovu (9.0.6 ) operator
skalarnog polja u interakcionoj slici totalnog Hamiltonijana
ϕ(x) = eiH(t−t0 ) ϕS (0, x)e−iH(t−t0 ) ,
(3.0.8)
jer je sada H0 zapravo H = H0 + Hint .
Funkcional Z[J] je vakuum-vakuum amplituda prelaza u prisustvu izvora
∫
4
ˆ
Z[J] =J ⟨Ω|Ω⟩J = ⟨Ω|T ei d xJ ϕ |Ω⟩
∞ n ∫
∑
i
ˆ 1 ) . . . ϕ(x
ˆ n )|Ω⟩J(x1 ) . . . J(xn ).
=
dx1 . . . dxn ⟨Ω|T ϕ(x
n!
n=0
(3.0.9)
U gornjem izrazu operatori i stanja su u Hajzenbergovoj slici, dok je n− taˇckasta Grinova
funkcija (korelator)
ˆ 1 ) . . . ϕ(x
ˆ n ))|Ω⟩ .
G(n) (x1 , . . . , xn ) = ⟨Ω|T (ϕ(x
(3.0.10)
Funkcional Z[J] moˇzemo razviti u funkcionalni red
∫
∞
∑
1
δ (n) Z[J]
Z[J] =
dx1 . . . dxn
J(x1 ) . . . J(xn ) .
n!
δJ(xn ) . . . δJ(x1 ) J=0
n=0
(3.0.11)
Poredjenjem (3.0.11) i (3.0.9) sledi
δ (n) Z[J]
1
n
i δJ(xn ) . . . δJ(x1 ) J=0
∫ 4
∫
i
Dϕϕ(x1 ) . . . ϕ(xn )e ℏ d xL
∫
.
=
∫
i
4
Dϕe ℏ d xL
G(n) (x1 , . . . , xn ) =
Dakle
Z[J] =
(3.0.12)
∞ ( )
∑
i n 1 (n)
G (x1 , . . . , xn )J(x1 ) . . . J(xn ) .
ℏ
n!
n=0
(3.0.13)
Naglasimo joˇs jednom da je
∫
ˆ 1 ) . . . ϕ(x
ˆ n )|Ω⟩ =
⟨Ω|T ϕ(x
i
Dϕϕ(x1 ) . . . ϕ(xn )e ℏ
∫
∫
i
4
Dϕe ℏ d xL
∫
d4 xL
.
(3.0.14)
U operatorskom formalizmu za n-taˇckastu Grinovu funkciju dobija se (Gell-Mann-Low jednaˇcina)
∫
4
⟨0|T ϕˆI (x1 ) . . . ϕˆI (xn )e−i d xHI |0⟩
ˆ
ˆ
∫
,
⟨Ω|T ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn )|Ω⟩ =
4
⟨0|T e−i d xHI |0⟩
(3.0.15)
21
gde su operatori ϕI u interakcionoj slici, HI je gustina Hamiltonijana interakcije u interakcionoj
slici a |0⟩ vakuum slobodne teorije.
Ako gustina Lagranˇzijana ima oblik
1
1
L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − V (ϕ) ,
2
2
genereralisani impuls je π = ϕ˙ pa je
∫
∫ 4 1
i
1 2 2
µ
Z[J] = N Dϕe ℏ d x( 2 ∂µ ϕ∂ ϕ− 2 m ϕ −V (ϕ)+Jϕ)
(3.0.16)
(3.0.17)
Ovaj integral nije dobro definisan jer je podintegralna funkcija oscilatorna. Postoje dva naˇcina
da se on uˇcini konvergentnim i na taj naˇcin definiˇse. Prvi je prelazak na euklidski prostor
Vikovom rotacijom. Euklidske koordinate obeleˇzava´cemo sa crtom:
¯ ) = (ix0 , x)
(¯
x0 , x
¯ ) = (−ip0 , p)
(¯
p0 , p
(∂0 ϕ)2 − (∂i ϕ)2 = −(∂¯0 ϕ)2 − (∂¯i ϕ)2 = −(∂¯µ ϕ)2
−id4 x¯
−¯
p2
−¯
x2
¯ ·x
¯
p0 x0 − p · x = p¯0 x¯0 − p
0 0
0 0
¯ ·x
¯ =p x +p·x
p¯ x¯ + p
∫
iS = i d4 xL = −SE
x¯
p¯
(∂µ ϕ)2
d4 x
p2
x2
pµ xµ
p¯ · x¯
=
=
=
=
=
=
=
=
(3.0.18)
Vikova rotacija u koordinatnom i u impulsnom prostoru vrˇse se na suprotne strane. Euklidski
generiˇsu´ci funkcional je
∫
∫ 4
1
1
1 2 2
µ
ZE [J] = NE Dϕe ℏ d x¯(− 2 ∂µ ϕ∂ ϕ− 2 m ϕ −V (ϕ)+Jϕ)
∫
∫ 4
1
= NE Dϕe− ℏ (SE − d x¯Jϕ) .
(3.0.19)
U integralu se po euklidskom vremenu x¯0 integrali od −∞ do ∞. Bez gubitka opˇstosti zbog
stabilnosti teorije moˇzemo uzeti V (ϕ) ≥ 0 pa je SE > 0. Euklidske Grinove funkcije su
δ (n) ZE [J]
(n)
.
(3.0.20)
GE (¯
x1 , . . . , x¯n ) =
δJ(¯
xn ) . . . δJ(¯
x1 ) J=0
Drugi naˇcin da se funkcionalni integral definiˇse je da se gustini Lagranˇzijana doda imaginaran
ˇclan +iϵϕ2 /2 . Generiˇsu´ci funkcional je onda
∫
∫ 4 1
i
1
µ
2
2
Z[J] = N Dϕe ℏ d x( 2 ∂µ ϕ∂ ϕ− 2 (m −iϵ)ϕ −V (ϕ)+Jϕ) .
(3.0.21)
Ovaj integral viˇse nije oscilatoran i dobro je definisan.
22CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
Im t
Re t
Im p
0
Re p
0
Figure 3.1:
3.1. SLOBODNO SKALARNO POLJE
3.1
23
Slobodno skalarno polje
Generiˇsu´ci funkcional slobodnog skalarnog polja je
∫
∫ 4 1
i
1
µ
2
2
Z0 [J] = N Dϕe ℏ d x( 2 ∂µ ϕ∂ ϕ− 2 (m −iϵ)ϕ +Jϕ) .
∫
∫
(
)
1
4
2
SJ =
d xϕ(x) − □ − (m − iϵ) ϕ(x) + d4 xJ(x)ϕ(x) .
2
Klasiˇcno polje ϕc je reˇsenje klasiˇcne jednaˇcine kretanja (u prisustvu izvora)
(3.1.22)
Uvedimo
(□ + m2 − iϵ)ϕc = J .
Lako se vidi da je
(3.1.23)
(3.1.24)
∫
ϕc (x) = −
d4 y∆F (x − y)J(y) ,
(3.1.25)
gde je
(□x + m2 − iϵ)∆F (x − y) = −δ (4) (x − y)
(3.1.26)
ϕ(x) = ϕc (x) + η(x)
(3.1.27)
Smenom
funkcional Z0 postaje
∫
Z0 [J] = N
Dηe
= N ei
∫
= N√
= e− 2
i
∫
i
∫
)
(
d4 x(φc +η) − 12 □− 12 (m2 −iϵ) (ϕc +η)
d4 x 12 ϕc J
∫
Dηe
i
2
∫
(
ei
∫
d4 x(ϕc +η)J
)
d4 xη −□−(m2 −iϵ) η
1
i
det(−□ − (m2 − iϵ))
d4 xd4 yJ(x)∆F (x−y)J(y)
e− 2
∫
d4 xd4 yJ(x)∆F (x−y)J(y)
.
(3.1.28)
Do istog rezultata moˇzemo do´ci primenom (2.0.5): ρ = iJ i
A(x, y) = i(□x + m2 − iϵ)δ (4) (x − y) .
(3.1.29)
Inverzni operator A−1 (x, y) operatora A(x, y) definisan je preko
∫
d4 zA(x, z)A−1 (z, y) = δ (4) (x − y) .
(3.1.30)
Pre´ci´cemo u impulsni prostor
∫
∫ 4 4 ∫
d pd q
−ip·x
−iq·y
4
4
˜
˜
d4 xd4 y ϕ(p)e
A(x, y)ϕ(q)e
d xd yϕ(x)A(x, y)ϕ(y) =
(2π)8
∫ 4 4
∫
)
d pd q ˜ (
4
4
−ip·x
−iq·y ˜
=
ϕ(p)
d xd ye
A(x, y)e
ϕ(q)
(2π)8
∫ 4 4
d pd q ˜ ˜
˜
ϕ(p)A(−p, −q)ϕ(q)
.
=
(3.1.31)
(2π)8
24CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
U naˇsem sluˇcaju
∫
˜
A(−p,
−q) =
d4 xd4 ye−ip·x A(x, y)e−iq·y
= i(2π)4 (−p2 + m2 − iϵ)δ (4) (p + q) .
(3.1.32)
Operator A u impulsnom prostoru nije diferencijalan operator. Inverzni operator A−1 u impulsnom prostoru je
1
−1 (p, q) = i(2π)4
g
A
δ (4) (p + q) ,
(3.1.33)
2
2
p − m + iϵ
jer iz (3.1.30) sledi
∫
−1 (−q, k) = (2π)8 δ (4) (p + k) .
g
˜ q)A
d4 q A(p,
(3.1.34)
Inverzni operator se u koordinatnom prostoru lako dobija Furijeovom transformacijom
∫
1
−1 (p, q)e−ip·x−iq·y
g
d4 pd4 q A
(2π)8
∫
i
d4 p
e−ip·(x−y)
4
2
(2π) p − m2 + iϵ
1
−i
δ (4) (x − y)
□x + m2 − iϵ
i∆F (x − y) .
−1
A (x, y) =
=
=
=
(3.1.35)
Onda se lako ponovo dobija (3.1.28).
Uradimo isti raˇcun u euklidkom prostoru. Generiˇsu´ci euklidski funkcional je
∫
∫
¯
¯
Z0E [J] = NE Dϕe− d x¯( 2 ∂µ φ∂µ ϕ+ 2 m ϕ −Jϕ)
∫
∫ 4 4
∫ 4
1
2 (4)
= NE Dϕe− 2 d x¯d y¯ϕ(¯x)(−□x +m )δ (¯x−¯y)ϕ(¯y)+ d x¯Jϕ .
4
1
1
2 2
(3.1.36)
Sada je
A(¯
x, y¯) = (−□x + m2 )δ (4) (¯
x − y¯)
Inverzni operator se nalazi analogno Minkovskijevom sluˇcaju
−1
A (¯
x, y¯) =
∫
d4 p¯ e−i¯p·(¯y−¯x)
= ∆E (¯
y − x¯) ;
(2π)4 p¯2 + m2
(3.1.37)
i on je dobro definisan jer podintegralna funkcija nema polova na realnoj osi p¯0 . Takodje
2
(−□E
y − x¯) = δ (4) (¯
y − x¯) .
x + m )∆E (¯
(3.1.38)
3.1. SLOBODNO SKALARNO POLJE
25
Im p 0
CF
Re p0
Figure 3.2:
Euklidski propagator moˇzemo analitiˇcki produˇziti.
∫ +i∞
∫
0 0
0
d3 p e−i[p (y −x )+p·(y−x)]
0
dp
∆E → −i
(2π)4
−p2 + m2
−i∞
∫ +i∞
∫
d3 p e−ip·(y−x)
0
= i
dp
(2π)4 p2 − m2
−i∞
∫
d4 p
i
=
e−ip·(y−x)
4
2
(2π) p − m2 + iϵ
= i∆F (y − x) ,
(3.1.39)
gde smu u drugom koraku napravili smenu p → −p a zatim smo konturu integracije rotirali
kao na slici 3.2. Dakle
∫ 4 4
1
Z0E = e 2 d x¯d y¯J(¯x)∆E (¯x−¯y)J(¯y) .
(3.1.40)
U prethodnim lekcijama smo generiˇsu´ci funkcional uveli na primeru jednog skalarnog polja.
Generalizacija na sluˇcaj viˇse skalarnih polja je prirodna. Ako sa ϕa (x), a = 1, . . . n obeleˇzimo
skup polja a sa J a (x) skup izvora onda je generiˇsu´ci funkcional
∫
∫ 4 a
Z[J] = N DϕeiS(ϕ)+ d xJ ϕa .
(3.1.41)
gde je
Dϕ =
∏
Dϕa .
a
Ako imamo n slobodnih skalarnih polja
∫
1
S=
dxdyϕa (x)Kab (x, y)ϕb (y)
2
onda je
Z[J] = e− 2
i
∫
−1
(x,y)J b (y)
dxdyJ a (x)Kab
.
(3.1.42)
(3.1.43)
26CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
1
2
Figure 3.3: Dvotaˇckasta Grinova funkcija
1
2
3
4
1
3
2
4
+
1
4
2
3
+
ˇ
Figure 3.4: Cetrvorotaˇ
ckasta Grinova funkcija
3.2
Grinove funkcije za slobodno skalarno polje
Dvo-taˇckasta Grinova funkcija je
1
δ 2 Z[J]
G (x1 , x2 ) = 2
i δJ(x1 )δJ(x2 ) J=0
= i∆F (x1 − x2 )
ˆ 1 )ϕ(x
ˆ 2 )|0⟩ .
= ⟨0|T ϕ(x
(2)
(3.2.44)
Tro-taˇckasta Grinova funkcija je
G(3) (x1 , x2 , x3 ) = 0 ,
(3.2.45)
dok je ˇcetvorotaˇckasta
G(4) (x1 , x2 , x3 , x4 ) =
+
=
+
+
=
−(∆F (x1 − x2 )∆F (x3 − x4 )
∆F (x1 − x3 )∆F (x2 − x4 ) + ∆F (x1 − x4 )∆F (x2 − x3 ))
ˆ 1 )ϕ(x
ˆ 2 )|0⟩⟨0|T ϕ(x
ˆ 3 )ϕ(x
ˆ 4 )|0⟩
⟨0|T ϕ(x
ˆ 1 )ϕ(x
ˆ 3 )|0⟩⟨0|T ϕ(x
ˆ 2 )ϕ(x
ˆ 4 )|0⟩
⟨0|T ϕ(x
ˆ 1 )φ(x
ˆ 3 )ϕ(x
ˆ 2 )|0⟩
⟨0|T ϕ(x
ˆ 4 )|0⟩⟨0|T ϕ(x
ˆ 1 )ϕ(x
ˆ 2 )ϕ(x
ˆ 3 )ϕ(x
ˆ 4 )|0⟩ .
⟨0|T ϕ(x
(3.2.46)
˜ (n) (p1 , . . . pn )
Dobili smo Vikovu teoremu. Grinova n−taˇckasta funkcije u impulsnom prostoru G
se definiˇsu prema
˜ (n) (p1 , . . . pn )
(2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn )G
∫
= d4 x1 . . . d4 xn ei(p1 ·x1 +···+pn ·xn ) G(n) (x1 , . . . xn ) .
(3.2.47)
δ− funkcija u prethodnom izrazu odraˇzava homogenost prostor-vremena. Lako se nalazi
˜ (2) (p, −p) =
G
p2
i
.
− m2 + iϵ
(3.2.48)
3.3. INTERAKCIONA TEORIJA SKALARNOG POLJA-ϕ4 TEORIJA
27
ˇ
Figure 3.5: Cetrvorotaˇ
ckasta Grinova funkcija
3.3
Interakciona teorija skalarnog polja-ϕ4 teorija
Vakuum-vakuum amplituda prelaza u prisustvu izvora Z[J] =J ⟨Ω|Ω⟩J je
∫
∫ 4
Z[J] = N Dϕei d x(L0 +Lint +Jϕ) .
Kako je
∫
∫
δ
ei dyJϕ = iϕ(x)ei dyJϕ
δJ(x)
to je
Z[J] = N e
i
∫
(
)
δ
d4 xLint −i δJ(x)
odnosno
i
∫
e
Z[J] =
e
i
∫
∫
Dϕei
(
∫
(3.3.49)
(3.3.50)
d4 x(L0 +Jϕ)
(3.3.51)
)
δ
d4 xLint −i δJ(x)
Z0 [J]
Z0 [J]
)
(
δ
d4 xLint −i δJ(x)
.
(3.3.52)
J=0
Ova formula nam omogu´cava da nadjemo generiˇsu´ci funkcional preko funkcionala za slobodnu
teoriju polja.
Gustina Lagranˇzijana interakcije ϕ4 teorije je
λ
Lint = − ϕ4 .
4!
(3.3.53)
Odredimo generiˇsu´ci funkcional Z[J] primenom (3.3.52). Smatra´cemo da je konstanta interakcije, λ mala i na´ci´cemo Z perturbativno. Brojilac je
(
)4
−i λ
∫
d4 x
1
δ
∫
i δJ(x)
Brojilac = e 4!
e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
∫
(
( 1 δ )4
) i∫ 4 4
λ
= 1−i
d4 x
+ . . . e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2 ,
4!
i δJ(x)
i
4
4
gde smo koristili skra´cenice J1 = J(x1 ), ∆12 = ∆(x1 − x2 ) i J2 = J(x2 ) .
(3.3.54)
28CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
Funkcionalni izvodi:
∫ 4
i
1 δ
4
e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
i δJ(x)
∫
∫ 4
i
4
= − d4 x2 ∆(x − x2 )J(x2 )e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
( 1 δ )2 i ∫ 4 4
•
e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
i δJ(x)
[∫
] i∫ 4 4
= ( d4 x2 ∆(x − x2 )J(x2 ))2 + i∆(0) e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
( 1 δ )3 i ∫ 4 4
•
e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
i δJ(x)
∫
[
= − ( d4 x2 ∆(x − x2 )J(x2 ))3
∫
] i∫ 4 4
−3i∆(0) d4 x2 ∆(x − x2 )J(x2 ) e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
( 1 δ )4 i ∫ 4 4
•
e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
i δJ(x)
∫
[
2
= − 3(∆(0)) + ( d4 x2 ∆(x − x2 )J(x2 ))4
∫
] i∫ 4 4
+6i∆(0)( d4 x2 ∆(x − x2 )J(x2 ))2 e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2 .
•
(3.3.55)
Prema tome
∫
∫
[
iλ
4
2
d x[3(i∆(0)) + 6i∆(0)( d4 x2 i∆(x − x2 )iJ(x2 ))2
Brojilac = 1 −
4!
∫
] i∫ 4 4
+ ( d4 x2 i∆(x − x2 )iJ(x2 ))4 ] e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2 .
(3.3.56)
Prvi ˇclan proporcionalan sa konstantom interakcije je tzv. vakuumski dijagram, dok preostali
imaju izvore na krajevima. Imenilac je
∫
iλ
Imenilac = 1 −
d4 x3(i∆(0))2 .
(3.3.57)
4!
Normalizacija uklanja vakuumski dijagram. Ovo vaˇzi generalno.
Generiˇsu´ci funkcional je onda
∫
∫
[
(
iλ
4
Z[J] = 1 −
d x 6i∆F (0)( dy2 i∆(x − y2 )iJ(y2 ))2
4!
∫
)] i ∫ 4 4
+ ( dy2 i∆(x − y2 )iJ(y2 ))4 e− 2 d x1 d x2 J1 ∆12 J2
Fajnmanova pravila ϕ4 teorije u koordinatnom prostoru su:
(3.3.58)
3.3. INTERAKCIONA TEORIJA SKALARNOG POLJA-ϕ4 TEORIJA
29
Figure 3.6: Generiˇsu´ci funkcional Z[J]
x1
x2
Figure 3.7: Dvotaˇckasta Grinova funkcija
Generiˇsu´ci funkcional je grafiˇcki predstavljen na slici 3.6.
Diferenciranjem Z[J] dobijamo Grinove funkcije
1
δ 2 Z[J]
G (x1 , x2 ) = 2
= i∆F (x1 − x2 )
i δJ(x1 )δJ(x2 ) J=0
∫
λ
∆F (0) d4 x∆F (x − x1 )∆F (x − x2 ) + O(λ2 )
−
2
(2)
4−taˇckasta Grinova funkcija je definisana sa
G(4) (x1 , x2 , x3 , x4 ) =
1
δ 4 Z[J]
.
i4 δJ(x1 )δJ(x2 )δJ(x3 )δJ(x4 ) J=0
(3.3.59)
Ova funkcija je prikazana na slici 3.8.
Dvo-taˇckasta Grinova funkcija u impulsnom prostoru je
i
− m2 + iϵ
∫
)2
iλ
d4 k (
i
i
−
.
4
2
2
2
2
(2π) p − m + iϵ k − m2 + iϵ
˜ (2) (p, −p) =
G
p2
(3.3.60)
30CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
ˇ
Figure 3.8: Cetvorotaˇ
ckasta Grinova funkcija
Figure 3.9: Dvotaˇckasta Grinova funkcija u impulsnom prostoru
Dvo-taˇckasta Grinova funkcija u impulsnom prostoru prikazana je na slici 3.9. Fajnmanaova
pravila u impulsnom prostoru data su na slici
Faktor simetrije dijagrama oznaˇcava broj ekvivalentnih naˇcina da se izvrˇsi data kontrakcija. Ti
faktori nam se pojavljuju pri diferenciranju generiˇsu´ceg funkcionala po struji.
Odredimo faktor simetrije za dijagrame sa slike 3.10.
Prvi dijagram se dobija iz ˇclana prvog reda
∫
iλ
−
d4 x⟨0|T ϕ(x1 )ϕ(x2 )ϕ4 (x)|0⟩ .
(3.3.61)
4!
Faktor simetrije je
S −1 =
1
1
4·3= .
4!
2
Figure 3.10: Faktor simetrije
(3.3.62)
3.4. POVEZANE GRINOVE FUNKCIJE
31
Drugi dijagram se dobija iz
1 ( −iλ )2
−
2 4!
∫
dxdy⟨0|T ϕ(x1 )ϕ(x2 )ϕ4 (x)ϕ4 (y)|0⟩ .
Faktor simetrije je
S −1 =
3.4
( 1 )2
4!
4·4·3·2=
1
.
6
(3.3.63)
(3.3.64)
Povezane Grinove funkcije
Dijagrami u prva tri reda na slici 3.8 su nepovezani dok je poslednji dijagram povezan. Sliˇcno
dijagrami na slici 3.7 su povezani. Nepovezni dijagrami su sastavljeni od povezanih. Povezani
dijagrami su relevantni za odredjivanje amplituda prelaza u procesima.
Generiˇsu´ci funkcional za povezane Grinove funkcije W [J] je definisan sa
Z[J] = eiW [J] .
(3.4.65)
(n)
Povezane Grinove funkcije Gc (x1 , . . . , xn ) raˇcunaju prema
G(n)
c (x1 , . . . , xn )
1
δ (n) iW [J]
= n
i δJ(xn ) . . . δJ(x1 ) J=0
ˆ 1 ) . . . ϕ(x
ˆ n )|Ω⟩c .
= ⟨Ω|T ϕ(x
Za slobodno skalarno polje generiˇsu´ci funkcional povezanih Grinovih funkcija je
∫
i
iW0 [J] = −
d4 xd4 yJ(x)∆F (x − y)J(y)
2
(3.4.66)
(3.4.67)
pa je
G(2)
c (x1 , x2 ) = i∆F (x1 − x2 )
dok su ostale povezane Grinove funkcije jednake nuli.
(3.4.68)
32CHAPTER 3. FUNKCIONALNI INTEGRAL U KVANTNOJ TEORIJI POLJA: SKALARNO POLJE
Chapter 4
Efektivno dejstvo i verteksne funkcije
Klasiˇcno (ili srednje) polje definiˇsemo prema
φc (x) =
δW [J]
.
δJ(x)
(4.0.1)
Dalje je
φc (x) =
δW [J]
1 δlnZ[J]
=
δJ(x)
i δJ(x)
1 1 δZ[J]
=
i Z[J] δJ(x)
∫ 4
∫
Dϕϕei d x(L+Jϕ)
∫
= ∫
4
Dϕei d x(L+Jϕ)
ˆ
⟨Ω|ϕ(x)|Ω⟩
J
=
.
⟨Ω|Ω⟩J
(4.0.2)
Dakle klasiˇcno polje je vakuumska oˇcekivana vrednost operatora polja ϕˆ u prisustvu izvora i ono
je istovremeno i polje i funkcional
φc = φc (x, J(x)] .
(4.0.3)
Ova relacija se moˇze invertovati tj. moˇzemo struju da izrazimo preko klasiˇcnog polja J = J(φc ).
Efektivno dejstvo je Leˇzandrova transformacija funkcionala povezanih Grinovih funkcija
∫
Γ[φc ] = W [J] − d4 xJ(x)φc (x) ,
(4.0.4)
gde je J izraˇzeno preko klasiˇcnog polja. Drugim reˇcima δΓ[φc ]/δJ = 0 , tj. efektivno dejstvo
zavisi od klasiˇcnog polja. Lako se vidi da je
∫
δΓ[φc ]
δW [J]
δJ(x)
=
− d4 x
φc (x) − J(y)
δφc (y)
δφc (y)
δφc (y)
∫
δW [J]
δJ(x) δW [J]
=
− d4 x
− J(y)
δφc (y)
δφc (y) δJ(x)
= −J(y) .
(4.0.5)
33
34
CHAPTER 4. EFEKTIVNO DEJSTVO I VERTEKSNE FUNKCIJE
Figure 4.1: Prvi dijagram jeste 1PI, dok drugi to nije
Nadjimo efektivno dejstvo za slobodnu teoriju skalarnog polja. Klasiˇcno polje je
∫
δW0 [J]
φc (x) =
= − d4 y∆F (x − y)J(y)
δJ(x)
(4.0.6)
i ono zadovoljava klasiˇcnu jednaˇcinu kretanja
(□x + m2 )φc (x) = J(x) .
(4.0.7)
∫
∫
1
4
4
Γ[φc ] = −
d xd yJ(x)∆F (x − y)J(y) − d4 xJφc
2
∫
1
d4 xφc (□x + m2 )φc
= −
2
= S.
(4.0.8)
Efektivno dejstvo je
Efektivno dejstvo za slobodnu teoriju poklapa se sa klasiˇcnim dejstvom. U interakcionoj teorije
efektivno dejstvo
Γ = S + kvantne popravke
je generalizacija klasiˇcnog dejstva; zato se joˇs naziva i kvantno dejstvo. Jednoˇcestiˇcni ireducibilni (1PI) dijagrami su povezani dijagrami koji se presecanjem jedne unutraˇsnje linije ne
mogu podeliti na dva dijagrama. Efektivno dejstvo je generiˇsu´ci funkcional za jednoˇcestiˇcne
ireducibilne dijagrame (1PI)
∑ 1 ∫
Γ[φc ] =
d4 x1 . . . d4 xn Γ(n) (x1 , . . . xn )φc (x1 ) . . . φc (xn ) .
(4.0.9)
n!
n
1PI dijagrami sa n spoljaˇsnjih linija su
(n)
Γ
δ n Γ[φ]
.
(x1 , . . . xn ) =
δφc (x1 ) . . . δφc (xn ) φ=0
(4.0.10)
4.1. BACKGROUND FIELD METHOD
35
Furijeovom transformacijom dobijamo 1PI dijagrame u impulsnom prostoru
=
˜ (n) (p1 , . . . pn )
(2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn )Γ
∫
d4 x1 . . . d4 xn ei(p1 ·x1 +···+pn ·xn ) Γ(n) (x1 , . . . xn ) .
(4.0.11)
Dijagrami bez petlji nisu (1PI) dok jednoˇcestiˇcni ireducibilni dijagrami za n > 2 se nazivaju
verteksnim dijagramima.
Za slobodnu teoriju skalarnog polja je
4.1
Γ(2) (x1 , x2 ) = −(□ + m2 + iϵ)δ (4) (x1 − x2 )
(4.0.12)
˜ (2) (p, −p) = p2 − m2 + iϵ .
Γ
(4.0.13)
Background field method
Neka je ϕa skup polja a J a odgovaraju´ci izvori. Vakuum-vakuum amplituda prelaza u prisustvu
izvora je
∫
∫ 4 a
iW [J]
Z[J] = e
= N Dϕa eiS(ϕ)+i d xJ ϕa .
(4.1.14)
Koriste´ci definiciju efektivnog dejstva imamo
i
i
∫
a
[J]− dxJ φa )
e ℏ Γ[φ] = e ℏ (W
∫
∫
i
a
= N Dϕa e ℏ (S[ϕ]+ dxJ (ϕa −φa ))
(4.1.15)
Klasiˇcna polje obeleˇzeli smo sa φa . Klasiˇcno dejstvo ´cemo razviti oko klasiˇcne konfiguracije:
∫
δS S(ϕ) = S(φ) + dx
(4.1.16)
(ϕa − φa )
δϕa φ
∫
δ2S
1
dxdy
+
(4.1.17)
(ϕa (x) − φa (x))(ϕb (y) − φb (y)) + . . .
2
δϕa (x)ϕb (y) φ
Jednaˇcina (ovo je kvantna jednaˇcina kretanja)
δΓ[φ]
= −J a (x)
δφa (x)
(4.1.18)
δS[φ]
= −J a (x) .
δφa (x)
(4.1.19)
se u najniˇzem redu svodi na
Zamenom (4.1.19) i (4.1.16) u (4.1.15) imamo
∫
∫
i
i
i
Γ[φ]
S[φ]
= eℏ
Dφ˜a e 2ℏ dxdyφ˜a (x)Sab (x,y)φ˜b (y)
eℏ
(4.1.20)
36
CHAPTER 4. EFEKTIVNO DEJSTVO I VERTEKSNE FUNKCIJE
gde je
δ2S
Sab (x, y) =
.
δϕa (x)ϕb (y) φ
(4.1.21)
Polazna polja ϕa smo dekomponovali na klasiˇcna polja φa (background field) i kvantna polja φ˜a
tj.
ϕa = φa + φ˜a .
(4.1.22)
U funkcionalnom integralu integralimo po kvantnim poljima. Jakobijan transformacije je 1.
Uvode´ci smenu
√
φ′a = ℏφ˜a
(4.1.23)
dobijamo
iℏ
trlnSab + . . . .
(4.1.24)
2
Prvi ˇclan je klasiˇcno dejstvo; naredni ˇclan je one-loop kvantna korekcija efektivnog dejstva. Ona
je reda ℏ. Slede´ci ˇclan bi bio reda ℏ2 i bio bi two-loops. Razvoj po petljama je razvoj po
stepenima ℏ.
Plankova konstanta ℏ meri kvantnu prirodu dijagrama. Sada ´cemo vratiti Plankovu konstantu u raˇcun. Gustina Lagranˇzijana ima oblik
Γ[φ] = S[φ] +
L = ϕi ∆−1
ij ϕj + Lint .
(4.1.25)
Jasno je da se verteksi mnoˇze sa 1/ℏ a propagatori sa ℏ. Broj petlji dijagrama (broj nezavisnih
impulsa po kojima integralimo) je
L=I −V +1 ,
gde je I broj unutraˇsnjih linija a V broj verteksa. Ukupni ℏ faktor 1P I dijagrama je ℏI−V =
ℏL−1 . Razvoj po stepenima ℏ je razvoj po petljama. ℏ faktor dijagrama povezanih Grinovih
funkcija Gc je ℏE+I−V = ℏE ℏL−1 , gde je E broj spoljnih linija dijagrama. Za dijagram sa slike
4.2 je E = 4, I = 4 i V = 3.
4.2
Veza izmedju povezanih i 1P I Grinovih funkcija
Lako se vidi da je
δφc (x1 )
δφ (x )
∫ c 2
δφc (x1 ) δJ(x)
=
d4 x
δJ(x) δφc (x2 )
∫
δ 2 W [J]
δ 2 Γ[φc ]
= − d4 x
.
δJ(x1 )δJ(x) δφc (x)δφ(x2 )
δ (4) (x1 − x2 ) =
(4.2.26)
Iz ovog izraza vidimo da je
( δ 2 Γ[φ ] )−1
δ 2 W [J]
c
=−
.
δJ(x1 )δJ(x)
δφc (x)δφ(x2 )
(4.2.27)
4.2. VEZA IZMEDJU POVEZANIH I 1P I GRINOVIH FUNKCIJA
37
Figure 4.2:
Ako uzmemo da je J = 0 i ukoliko nema spontanog naruˇsenja simetrije onda je φc = 0 pa
dobijamo
∫
(2)
(4)
− d4 xiG(2)
(4.2.28)
c (x1 , x)Γ (x, x2 ) = δ (x1 − x2 ) .
Dakle,
−1
Γ(2) (x1 , x2 ) = i(G(2)
=
c (x1 , x2 ))
(4.2.29)
Diferenciranjem (4.2.26) po J(x3 ) dobijamo
∫
δ
δ 2 Γ[φc ]
δ 2 W [J]
0 =
d4 x
δJ(x3 )
δJ(x1 )δJ(x) δφc (x)δφ(x′2 )
∫
δ 2 Γ[φc ]
δ 3 W [J]
=
d4 x
δJ(x3 )δJ(x1 )δJ(x) δφc (x)δφ(x′2 )
∫
∫
δ 2 W [J]
δ 3 Γ[φc ]
δφc (x′3 )
4 ′
+
d x1 d4 x′3
.
δJ(x1 )δJ(x′1 ) δφc (x′3 )δφc (x′1 )δφc (x′2 ) δJ(x3 )
Mnoˇzenjem poslednje relacije sa
δ 2 W [J]
δJ(x′2 )δJ(x2 )
(4.2.30)
i integracijom po x′2 dobijamo
δ 3 W [J]
δJ(x3 )δJ(x2 )δJ(x1 )
∫
δ 2 W [J]
=
d4 x′1 d4 x′2 d4 x′3
δJ(x1 )δJ(x′1 )
δ 2 W [J]
δ 2 W [J]
δ 3 Γ[φc ]
.
×
δJ(x2 )δJ(x′2 ) δJ(x3 )δJ(x′3 ) δφc (x′1 )δφc (x′2 )δφc (x′3 )
(4.2.31)
38
CHAPTER 4. EFEKTIVNO DEJSTVO I VERTEKSNE FUNKCIJE
U limesu J → 0 i φc → 0 dobijamo
∫
G(3)
c (x1 , x2 , x3 )
= i
′
(2)
′
d4 x′1 d4 x′2 d4 x′3 G(2)
c (x1 , x1 )Gc (x2 , x2 )
′
(3) ′
′
′
× G(2)
c (x3 , x3 )Γ (x1 , x2 , x3 ) .
(4.2.32)
Grafiˇcki
Dodavanjem jednog propagatora na svaku spoljnju nogu verteksne funkcije dobijamo povezanu
3−taˇckastu Grinovu funkciju. Sliˇcno se dobija i inverzna relacija
∫
Γ (x1 , x2 , x3 ) = −i
(3)
′ −1
(2)
′ −1
d4 x′1 d4 x′2 d4 x′3 (G(2)
c (x1 , x1 )) (Gc (x2 , x2 ))
′ −1 (3) ′
′
′
× (G(2)
c (x3 , x3 )) Gc (x1 , x2 , x3 ) .
(4.2.33)
Grafiˇcki
Amputiranjem (uklanjanjem spoljnjih propagatora tj. mnoˇzenjem sa inverznim propagatorima) povezane 3-taˇckaste Grinove funkcije dobija se 3-taˇckasta verteksna funkcija.
Sliˇcno se dobija
Chapter 5
ˇ
Svinger-Dajsonove
jednaˇ
cine
Klasiˇcne jednaˇcine kretanja dobijamo iz stacionarnosti dejstva pri infinitezimalnim transformacijama
ϕa (x) → ϕ′a (x) = ϕa (x) + δϕa (x) .
(5.0.1)
U kvantnoj teoriji ´cemo ispitati kako ove transformacije menjaju generiˇsu´ci funkcional
∫
∫ 4 a
Z[J] = N DϕeiS(ϕ)+ d xJ ϕa .
gde je
Dϕ =
∏
(5.0.2)
Dϕa .
a
Smena (5.0.1) ne menja meru integracije
Dϕ′ = Dϕ
pa je
∫
′ iS[ϕ′ ]+i
Dϕ e
odakle je
∫
d4 xJ a ϕ′a
∫
∫
∫
4
(5.0.3)
δS
∫
4
a
Dϕei(S[ϕ]+ d x δϕa δϕa +... )+i d xJ (ϕa +δϕa )
∫
∫
[
( δS
) ]
∫ 4 a
=
Dϕ 1 + i d4 x
+ Ja δϕa eiS[ϕ]+i d xJ ϕa
δϕa
=
(5.0.4)
∫
)
( δS
∫ 4 a
+ Ja δϕa eiS[ϕ]+i d xJ ϕa = 0 .
d4 x
δϕa
Kako su varijacije δϕa proizvoljne to je
∫
( δS
)
∫ 4 a
Dϕ
+ Ja eiS[ϕ]+i d xJ ϕa = 0 .
δϕa
Dϕ
(5.0.5)
(5.0.6)
Iz (5.0.6) vidimo da klasiˇcne jednaˇcine kretanja vaˇze kao vakumske oˇcekivane vrednosti. (5.0.6)
moˇzemo prepisati u obliku
)
( δS + Ja Z[J] = 0
(5.0.7)
δϕa ϕa = 1i δJδa
39
ˇ
ˇ
CHAPTER 5. SVINGER-DAJSONOVE
JEDNACINE
40
ˇ
(5.0.5), (5.0.6) i (5.0.7) su Svinger-Dajsonove
jednaˇcine. Diferenciranjem (5.0.5) po Ja1 (x1 ) i
uzimanjem J = 0 dobijamo
∫
∫
δS
iS
Dϕ
iϕa (x1 )e = − Dϕδaa1 δ (4) (x − x1 )eiS
(5.0.8)
δϕa 1
tj.
δS
(5.0.9)
⟨T
ϕa (x1 )⟩∗ = iδaa1 δ (4) (x − x1 ) ,
δϕa 1
gde ∗ znaˇci da svi prostorno vremenski izvodi su van vremenskog uredjenja. Za slobodno skalarno
polje
∫
1
S=−
d4 xϕ(□ + m2 )ϕ
(5.0.10)
2
dobijamo
ˆ ϕ(x
ˆ 1 )|0⟩ = −iδ (4) (x − x1 ) .
(□x + m2 )⟨0|T ϕ(x)
(5.0.11)
Ukoliko je prisutna interakcija
1
S=−
2
∫
∫
d xϕ(□ + m )ϕ −
4
2
d4 xV (ϕ)
(5.0.12)
onda dobijamo
ˆ ϕ(x
ˆ 1 )|Ω⟩ = −⟨Ω|T V ′ (ϕ(x))
ˆ
ˆ 1 )|Ω⟩ − iδ (4) (x − x1 )
(□x + m2 )⟨Ω|T ϕ(x)
ϕ(x
(5.0.13)
ˆ ϕ(x
ˆ 1 )|Ω⟩ = ⟨Ω|T (□x + m2 )ϕ(x)
ˆ ϕ(x
ˆ 1 )|Ω⟩ − iδ (4) (x − x1 )
(□x + m2 )⟨Ω|T ϕ(x)
(5.0.14)
odnosno
Vremensko uredjenje definisano funkcionalnim formalizmom
∫
DϕF(ϕ)eiS
⟨T F(ϕ)⟩ = ∫
DϕeiS
(5.0.15)
je kovarijantno i ne poklapa se uvek sa vremenskim uredjenjem definisanim operatorskim formalizmom. Daljim diferenciranjem dolazimo do
δS
⟨T
ϕa (x1 ) . . . ϕan (xn )⟩
δϕa 1
n
∑
(5.0.16)
= i
⟨Ω|T ϕa1 (x1 ) . . . δaaj δ (4) (x − xj ) . . . ϕan (xn )|Ω⟩ .
j=1
ˇ
ˇ
Ovaj izraz je takodje poznat kao Svinger-Dajsonova
jednaˇcina. Clanovi
sa delta funkcijama
su tzv. kontaktni ˇclanovi. Vidimo da klasiˇcne jednaˇcine vaˇze sa kvantnim poljima unutar
korelacionih funkcija ali samo u kada se koordinata x ne poklapa sa koordinatama x1 , . . . , xn .
Iste rezultate dobijamo polaze´ci od (5.0.7). Diferenciranjem ove jednaˇcine po Ja1 i uzimanjum
J = 0 dobijamo (5.0.9). Diferenciranjem po Ja1 i Ja1 i uzimanjum J = 0 dobijamo
δS
ϕa (x1 )ϕa2 (x2 )⟩ = i⟨Ω|ϕa2 (x2 )|Ω⟩δaa1 δ (4) (x − x1 )
⟨T
δϕa 1
+ i⟨Ω|ϕa1 (x1 )|Ω⟩δaa2 δ (4) (x − x2 ) ,
(5.0.17)
ˇsto je specijalnio sluˇcaj (5.0.16).
Chapter 6
Vordovi identiteti
U ovoj lekciji govori´cemo o kvantnoj generalizaciji Neter teoreme koju smo pokazali na KTP1.
Koordinate i polja se pri infinitezimalnim kontinualnim transformacijama menjaju prema
Varijacija forme polja je
xµ → x′µ = xµ + δxµ
ϕa (x) → ϕ′a (x′ ) = ϕa (x) + δϕa (x) .
(6.0.1)
δ0 ϕa (x) = ϕ′a (x) − ϕa (x)
(6.0.2)
δ0 ϕa (x) = δϕa (x) − δxµ ∂µ ϕa (x) .
(6.0.3)
i vaˇzi
Promena dejstva pri ovim transformacijama je
∫
∫
4 ′
′ ′
′ ′ ′
δS =
d x L(ϕ (x ), ∂µ ϕ (x )) − d4 xL(ϕ(x), ∂µ ϕ(x))
∫
=
d4 x(δ0 L + ∂µ (Lδxµ ))
∫
]
[
( ∂L
∂L )
4
µ
δ0 ϕa ,
=
d x ∂µ j +
− ∂µ
∂ϕa
∂(∂µ ϕa )
(6.0.4)
gde je Neterina struja
jµ =
∂L
δ0 ϕa + Lδxµ .
∂(∂µ ϕa )
(6.0.5)
Ukoliko je teorija klasiˇcno invarijantna na transformacije (6.0.1), tj. δS = 0 tada dobijamo da
je
∂µ j µ = 0
(6.0.6)
ukoliko vaˇze jednaˇcine kretanja. Iz Neterine struje se odredjuju naelektrisanja koja su konstante
kretanja. Ako parametre transformacije obeleˇzimo sa ϵs onda je
δxµ = ϵs λµs
δ0 ϕa = ϵs Ωas (ϕ, ∂ϕ) .
41
(6.0.7)
42
CHAPTER 6. VORDOVI IDENTITETI
Npr. pri Lorencovim transformacijama
δxµ = ω µν xν
1
δ0 ϕ = − ω µν (xν ∂µ − xν ∂ν )ϕ .
2
(6.0.8)
Pretpostavimo joˇs da parametri transformacije ϵs nisu konstante ve´c zavise od x. Tada je
promena dejstva
∫
∫
[
]
∂L
∂L
4
µ
− ∂µ
δS = d x ∂µ js + (
)Ωas ϵs + d4 xjsµ ∂µ ϵs ,
(6.0.9)
∂ϕa
∂(∂µ ϕa )
gde je
jsµ =
∂L
Ωas + Lλµs .
∂(∂µ ϕa )
Po pretpostavci klasiˇcno dejstvo je invarijantno pa je
∫
δS = − d4 xϵs ∂µ jsµ .
(6.0.10)
(6.0.11)
Invarijantnost kvantne teorije, tj. generiˇsu´ceg funkcionala Z[J] znaˇci da su i klasiˇcno dejstvo ali
i mera integracije invarijntni
Dϕ′ = Dϕ .
(6.0.12)
Ako mera integracije nije invarijantna klasiˇcna simetrija je kvantno naruˇsena. Za takve simetrije
koje vaˇze klasiˇcno a kvantno su naruˇsene kaˇzemo da su anomalne.
Kvantna simetrija daje
∫
∫
[
]
∫ 4 a
4
Dϕ δS + d xJa δ0 ϕa eiS[ϕ]+i d xJ ϕa = 0
(6.0.13)
odnosno
∫
[
Dϕ −
∫
∫
d
4
xϵs ∂µ jsµ
+
]
∫ 4 a
d4 xJa δ0 ϕa eiS[ϕ]+i d xJ ϕa = 0 .
(6.0.14)
Diferenciranjem dva puta po J a , uzimanjem da J = 0 i da su ϵs konstantne dobijamo
∂
⟨Ω|T j µ (x)ϕa1 (x1 )ϕa2 (x2 )|Ω⟩
∂xµ
= −iδ(x − x1 )δaa1 ⟨Ω|T δ0 ϕa (x1 )ϕa2 (x2 ))|Ω⟩
−iδ(x − x2 )δaa2 ⟨Ω|T ϕa1 (x1 )δ0 ϕa (x2 ))|Ω⟩ .
Simetrija name´ce uslove na korelacione funkcije.
(6.0.15)
Chapter 7
Funkcionalni integral za fermionsko
polje
7.1
Grasmanovi brojevi
Za razliku od obiˇcnih brojeva Grasmanovi brojevi medjusobno antikomutiraju
θχ = −χθ ,
(7.1.1)
dok komutiraju sa obiˇcnim brojevima. U matematiˇckom smislu oni formiraju algebru. Algebra
A je vektorski prostor u kome je definisana bilinearna operacija mnoˇzenja elemenata algebre
A × A → A. Ovo mnoˇzenje je asocijativno i pored toga distributivno prema sabiranju u
vektorskom prostoru. Neka su θi , i = 1, . . . , n antikomutiraju´ci generatori Grasmanove algebre.
{θi , θj } = 0 .
(7.1.2)
Njihovim medjusobnim mnoˇzenjem dobijamo druge ˇclanove algebre, npr. ˇclan θ1 θ2 θ3 . Element
θ2 θ1 θ3 nije nezavisan od prethodnog jer je
θ2 θ1 θ3 = −θ1 θ2 θ3 .
Proizvoljan element algebre je suma proizvoda generatora
1
1
g = a1 + bi θi + cij θi θj + · · · + di1 ...in θi1 . . . θin ,
2
n!
(7.1.3)
gde su koeficijenti kompleksni brojevi. Koeficijenti su antisimetriˇcni, npr. cij = −cji . Neki
sabirci su parni (komutiraju´ci) a neki neparni (antikomutiraju´ci). Npr. θ1 θ2 je paran jer komutira
sa Grasmanovim brojevima
(θ1 θ2 )θi = θi (θ1 θ2 ) .
(7.1.4)
Podela elemenata algbre na komutiraju´ce i antikomutiraju´ce naziva se gradiranjem algebre.
Standardni izbor baze vektorskog prostora je da uredimo indekse sa leva na desno:
1, θi , . . . , θi θj . . . θk (i < j < · · · < k), . . . .
43
(7.1.5)
44
CHAPTER 7. FUNKCIONALNI INTEGRAL ZA FERMIONSKO POLJE
Za Grasmanovu algebru sa n generatora dimenzija vektorskog prostora je 2n . Ako je n = 1 tada
je
g(θ) = a + bθ ,
(7.1.6)
dok za n = 2 je
g(θ1 , θ2 ) = a + θ1 b + θ2 c + dθ1 θ2 .
(7.1.7)
Ako ˇzelimo da
1
1
g = a + θi βi + cij θi θj + · · · + di1 ...in θi1 . . . θin ,
(7.1.8)
2
n!
bude komutiraju´ca observabla onda je a takodje komutiraju´ca a βi su antikomutiraju´ce itd.
Jasno je da je tada Grasmanova algebra utopljena u neku ve´cu Grasmanovu algebru.
Diferenciranje po grasmanovim promenljivima moˇze biti levo i desno. Levi izvod je definisano
prema
dθi
= δij
(7.1.9)
dθj
d
(θ1 θ2 ) = θ2
dθ1
d
(θ1 θ2 ) = −θ1 .
dθ2
Diferencijal funkcije moˇzemo da napiˇsemo preko levih izvoda
dg = dθi
(7.1.10)
(7.1.11)
dg
dθi
ali moˇzemo da ga napiˇsemo i preko desnih izvoda
←−
d
dg = g
dθi .
dθi
Nekoliko primera za desni izvod su
←−−
d
= −θ2
(θ1 θ2 )
dθ1
←−−
d
(θ1 )
=1
dθ1
←−−
d
(θ1 θ2 )
= θ1
dθ2
Diferenciranje zadovoljava super-Lajbnicovo pravilo.
Kako je
( d )2
=0
dθ
to se integracija mora paˇzljivo definisati. Za n = 1 definiˇsemo
∫
dθ1 = 0
(7.1.12)
(7.1.13)
(7.1.14)
(7.1.15)
7.1. GRASMANOVI BROJEVI
45
∫
dθθ = 1
pa je
∫
(7.1.16)
∫
g(θ) =
dθθβ = β .
Integral je translaciono invarijantan tj.
∫
∫
∫
dθg(θ + θ0 ) = dθ(a + (θ + θ0 )β) = dθg(θ) .
(7.1.17)
(7.1.18)
Translacionu invarijantnost obezbedjuje integral (7.1.15), dok je (7.1.16) normalizacija. Generalno, u algebri sa n generatora vaˇzi
∫
dθi = 0
(7.1.19)
∫
dθi θi = 1 .
(7.1.20)
U poslednjem izrazu ne sumiramo po i. Oˇcigledno je
∫
dθ2 dθ1 dθ3 θ3 θ1 θ2 = 1 .
(7.1.21)
Koeficijent di1 ...ιn u izrazu (7.1.3) je kompletno antisimetriˇcan pa je
di1 ...ιn = dϵi1 ...ιn .
Onda je
∫
(7.1.22)
∫
dθn . . . dθ1 g =
dθn . . . dθ1 θ1 . . . θn d = d .
(7.1.23)
Razmotrimo ˇsta se deˇsava ako napravimo linearnu smenu promenljivih
θi = Kij θj′ ,
(7.1.24)
gde je K nesingularna matrica komutiraju´cih brojeva. Tada je
1
Ki j . . . Kin jn θj′ 1 . . . θj′ n ϵi1 ...in d
n! 1 1
1
= a + · · · + det Kθj′ 1 . . . θj′ n ϵj1 ...jn d .
n!
g = a + ··· +
Ako uzmemo
(7.1.25)
dθn . . . dθ1 = Jdθn′ . . . dθ1′ ,
gde J treba da odredimo. Prema tome
∫
∫
d =
dθn . . . dθ1 g(θ) = dθn′ . . . dθ1′ Jg(θ′ )
= Jd det K
(7.1.26)
46
CHAPTER 7. FUNKCIONALNI INTEGRAL ZA FERMIONSKO POLJE
odakle je
J=
1
1
= .
∂θ
det K
∂θ
′
(7.1.27)
Dakle, kod Grasmanovog integrala mera integracije se transformiˇse prema
∂θ′ dθn . . . dθ1 = dθn′ . . . dθ1′ .
∂θ
(7.1.28)
To je suprotno od obiˇcnog viˇsestrukog integrala
∂x dxn . . . dx1 = ′ dx′n . . . dx′1 .
∂x
Gausov integral Grasmanovih promenljivih (M je antisimetriˇcna matrica) je
∫
√
1 T
In (M ) = dθn . . . dθ1 e− 2 θ M θ = (−1)n/2 det M ,
(7.1.29)
za n = 2k dok je za n = 2k + 1 gornji integral jednak nuli. Poˇsto je M antisimetriˇcna matrica
onda je iM hermitska pa je moˇzemo dijagonalizovati
Md = U (iM )U † .
Matrica U je unitarna, a Md dijagonalna. Neka je λ svojstvena vrednost matrice iM
det(iM − λI) = 0 .
Transponovanjem gornje jednaˇcine dobijamo det(iM +
vrednost od iM pa je
λ1
0
0
0
0 −λ1 0
0
0
0
λ
0
3
Md =
0
0
0 −λ3
Ako je
1
R2 = √
2
onda je
λI) = 0 . Dakle i −λ je svojstvena
0
0
0
0
0
0
0
0
..
.
)
i 1
1 i
(7.1.30)
(
(
)
(
)
1 0
0 i
†
R2
R2 =
0 −1
−i 0
(7.1.31)
(7.1.32)
pa ako uvedemo blok dijagonalnu matricu
R=
R2
R2
..
.
(7.1.33)
7.1. GRASMANOVI BROJEVI
47
imamo
0 λ1 0 0
−λ1 0
0 0 λ3
M ′ = −iRMd R† = RU M (RU )† = 0
0
0 λ3 0
0
0
0
0
0
..
.
(7.1.34)
.
Matrica RU je ortogonalna. Napravimo smenu θ′ = RU θ
1 T
1
′
θn′
θ M θ = θ′T M ′ θ′ = λ1 θ1′ θ2′ + λ3 θ3′ θ4′ + . . . λn−1 θn−1
2
2
(7.1.35)
pa je
∫
In (M ) =
∫
′ ′
′ ′
′
′
dθn′ . . . dθ1′ e−(λ1 θ1 θ2 +λ3 θ3 θ4 +···+λn−1 θn−1 θn )
′ ′
′
′
dθn′ . . . dθ1′ e−λ1 θ1 θ2 . . . e−λn−1 θn−1 θn
∫
n/2
= (−) (λ1 λ3 . . . λn−1 ) dθn′ . . . dθ1′ θ1′ . . . θn′
=
= (−)n/2 (λ1 λ3 . . . λn−1 )
√
= (−)n/2 det M .
Generalizacija integrala (7.1.29) je
∫
√
1 T
1 T
T
−1
In (M, χ) = dθn . . . dθ1 e− 2 θ M θ+χ θ = (−)n/2 det M e− 2 χ M χ .
(7.1.36)
(7.1.37)
Ako su θ′ i θ′′ realni Grasmanovi brojevi onda su
θ′ + iθ′′
√
2
θ′ − iθ′′
√
η¯ =
2
η =
(7.1.38)
kompleksni Grasmanovi brojevi. Lako se vidi da je
dθ′′ dθ′ = idηd¯
η
pa je
∫
∫
(7.1.39)
idθ′′ dθ′ (−iθ′ θ′′ ) = 1 .
(7.1.40)
Gausov integral sa kompleksnim Grasmanovim promenljivim je
∫
d¯
ηn dηn . . . d¯
η1 dη1 e−¯ηM η = det M .
(7.1.41)
d¯
η dηη η¯ =
48
CHAPTER 7. FUNKCIONALNI INTEGRAL ZA FERMIONSKO POLJE
Pokaˇzimo poslednju formulu
∫
d¯
ηn dηn . . . d¯
η1 dη1 e−¯ηM η
∫
(−1)n
=
d¯
ηn dηn . . . d¯
η1 dη1
η¯i1 ηj1 η¯i2 ηj2 . . . η¯in ηjn mi1 j1 . . . min jn
n!
∫
=
d¯
ηn dηn . . . d¯
η1 dη1 (−1)n η¯1 ηj1 η¯2 ηj2 . . . η¯n ηjn m1j1 . . . mnjn
∫
=
dηn . . . dη1 ηj1 ηj2 . . . ηjn m1j1 . . . mnjn
∫
=
dηn . . . dη1 η1 η2 . . . ηn ϵj1 ...jn m1j1 . . . mnjn
(7.1.42)
= det M .
Generalizacija Gausovog integrala je
∫
−1
d¯
ηn dηn . . . d¯
η1 dη1 e−¯ηM η+¯ηρ+¯ρη = det M eρ¯M ρ .
(7.1.43)
Beskonaˇcno dimenziona Grasmanova algebra se dobija zamenom diskretnog indeksa i kontinualnim x:
θi → θ(x) .
Pri tome se gornje formulre lako generalizuju
{θ(x), θ(y)} = 0
∫
dθ = 0
∫
dθθ = 1
∫
7.2
¯ −
DψDψe
∫
∫
¯
¯ η ψ)
dxdy ψ(y)A(y,x)ψ(x)+
dx(ψη+¯
(7.1.44)
(7.1.45)
(7.1.46)
∫
= det Ae
dxdy η¯(y)A−1 (y,x)η(x)
.
(7.1.47)
Slobodno Dirakovo polje
Generiˇsu´ci funkcional za slobodno Dirakovo polja je
∫
∫
∫
¯ /
¯
∂ −m+iϵ)ψ)+i dx(¯
η ψ+ψη)
¯ i dxψ(i
Z0 [η, η¯] = N DψDψe
∫
odnosno
Z0 [η, η¯] = N
¯ −
DψDψe
∫
¯
dxdy ψ(y)A(y,x)ψ(x))+i
∫
gde je
A(y, x) = i(i/∂x + m − iϵ)δ (4) (y − x) .
¯
dx(¯
η ψ+ψη)
(7.2.48)
(7.2.49)
7.2. SLOBODNO DIRAKOVO POLJE
49
Furijeovom transformacijom polja ψ i ψ¯ imamo
∫
∫
∫
1
¯
˜
˜
¯
dpdq ψ(q) dxdyA(y, x)eiq·y−ip·x ψ(p)
dxdy ψ(y)A(y, x)ψ(x) =
8
(2π)
∫
1
¯˜ A(q,
˜
˜ −p)ψ(p)
=
dpdq ψ(q)
8
(2π)
(7.2.50)
gde je
∫
˜ −p) =
A(q,
∫
Iz
dxdy(−/∂x + im + ϵ)δ (4) (y − x)eiq·y−ip·x
= −i(2π)4 (/p − m + iϵ)δ (4) (p + q) .
(7.2.51)
dq ˜
−1 (−q, k) = (2π)4 δ(p + k)
g
A(p, q)A
(2π)4
(7.2.52)
sledi
−1 (p, q) = i(2π)4
g
A
1
δ (4) (p + q)
/p − m + iϵ
(7.2.53)
pa je
−1
∫
dpdk g
A−1 (p, k)e−ip·y−ik·x
8
(2π)
∫
dp
i
=
e−ip·(y−x)
4
(2π) /p − m + iϵ
i
δ(y − x)
=
i/∂y − m + iϵ
= iSF (y − x) .
A (y, x) =
(7.2.54)
Prema tome primenom (7.1.47) imamo
Z0 [η, η¯] = e−
∫
dxdy η¯(y)iSF (y−x)η(x)
.
(7.2.55)
Grinove funkcije su vakuumske oˇcekivane vrednosti vremenskog uredjenja proizvoda polja
ˆ¯ ) . . . ψ(y
ˆ¯ )|0⟩ ,
ˆ 1 ) . . . ψ(x
ˆ n )ψ(y
G(2n) (x1 , . . . xn , y1 . . . yn ) = ⟨0|T ψ(x
1
n
(7.2.56)
odnosno
∫
(2n)
G
iS
¯
¯
¯
DψDψψ(x
1 ) . . . ψ(xn )ψ(y1 ) . . . ψ(yn )e
∫
¯ iS
DψDψe
δ (2n) Z[η, η¯]
.
=
δ η¯(x1 ) . . . δ η¯(xn )δη(y1 ) . . . δη(yn ) η=¯η=0
(x1 , . . . xn , y1 . . . yn ) =
(7.2.57)
50
CHAPTER 7. FUNKCIONALNI INTEGRAL ZA FERMIONSKO POLJE
Primetimo da smo koristili slede´cu ’smenu’
δ
ψ¯ → i
δη
ψ → −i
δ
.
δ η¯
(7.2.58)
Vremensko uredjenje je definisano vode´ci raˇcuna da su operatori ψˆ i ψˆ¯ antikomutiraju´ci.
Lako se nalazi da je dvotaˇckasta Grinova funkcija Fajnmanov propagator za Dirakovo polje
G(2) (x1 , y1 ) = iSF ab (x1 − y1 ) = ⟨0|T ψa (x1 )ψ¯b (y1 )|0⟩
= θ(x01 − y10 )⟨0|ψa (x1 )ψ¯b (y1 )|0⟩ − θ(y10 − x01 )⟨0|ψ¯b (y1 )ψa (x1 )|0⟩ . (7.2.59)
Na KTP1 je pokazano da on opisuje kreiranje elektrona u taˇcki y1 koji propagira do taˇcke
x1 ako je x01 > y10 . Sa druge strane ako je x01 < y10 on odgovara kreiranju pozitrona u x1 , njegovu
propagaciju do y1 gde se on anahilira.
ˇ
Cetvorotaˇ
ckasta Grinova funkcija je
G(4) (x1 , x2 , y1 , y2 ) = (SF (x1 − y1 )SF (x2 − y2 ) − SF (x1 − y2 )SF (x2 − y1 ))
ˆ¯ )ψ(y
ˆ¯ )|0⟩.
ˆ 1 )ψ(x
ˆ 2 )ψ(y
= ⟨0|T ψ(x
1
2
Rezultat je poznat i na osnovu Vikove teoreme.
(7.2.60)
Chapter 8
Funkcionalni formalizam: Gauge teorije
8.1
Kratak podsetnik
Neka je G prosta grupa simetrije a ψ(x) multiplet polja koji se transformiˇse po fundamentalnoj
reprezentaciji grupe G
a
ψi′ (x) = e−ıTij θa ψj (x).
θa su parametri a T a generatori grupe. Npr. za SU (n) grupu i = 1, . . . , n, a = 1, . . . , n2 − 1.
Lagranˇzijan materije
µ
¯
L0 = ψ(x)(ıγ
∂µ − m)ψ(x),
(8.1.1)
je invarijantan na globalne transformacije
ψ ′ (x) = e−ıTa θa ψ(x),
ıTa θa
¯
ψ¯′ (x) = ψ(x)e
.
Kovarijantni izvod je definsan sa
Dµ ψ=(∂µ + ıgT a Aaµ )ψ,
(8.1.2)
ˇ
gde je g konstanta interakcije, a Aaµ gauge polja. Zelimo
da konstruiˇsemo teoriju koja je invarijantna na lokalne transformacije
ψ ′ (x) = e−ıTa θa (x) ψ(x) .
Kovarijantni izvod Dµ ψ se mora transformisati pri lokalnim (kalibracionim, gauge) transformacijama na isti naˇcin kao polja materije ψ:
[Dµ ψ]′ = e−ıTa θa (x) [Dµ ψ].
(8.1.3)
Iz ovog uslova sledi zakon transformacije gauge polja Aµ
ı
A′µ = U (x)(Aµ − ∂µ )U −1 (x)
g
51
(8.1.4)
52
CHAPTER 8. FUNKCIONALNI FORMALIZAM: GAUGE TEORIJE
gde je Aµ = Aaµ T a i U (x)=e−ıT
a θ a (x)
. U komponentnoj notaciji
1
1
a
a
abc c
θ (x)Abµ = Aaµ + (Dµ θ)a ,
A′a
µ = Aµ + ∂µ θ (x) − f
g
g
(8.1.5)
gde su fabc strukturne konstante algebre su(n)
[Ta , Tb ] = ıfabc Tc .
(8.1.6)
ı
Fµν = − [Dµ , Dν ].
g
(8.1.7)
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ıg[Aµ , Aν ],
(8.1.8)
Tenzor jaˇcine polja je definisan sa
Iz prethodne relacije sledi
a
Fµν
=
∂µ Aaν
−
∂ν Aaµ
−
gfabc Abµ Acν .
(8.1.9)
Pri gauge transformacijama tenzor jaˇcine polja se menja po
′
Fµν
= U Fµν U −1 .
(8.1.10)
Yang Mills-ov lagranˇzijan je
¯ µ Dµ − m)ψ −
L = ψ(ıγ
1 ∑ a µν
F F .
4 a µν a
(8.1.11)
Neka je G poluprosta grupa; T a (r) su generatori u ireducibilnoj reprezentaciji r normirani
prema
tr(T a (r)T b (r)) = C(r)δ ab .
(8.1.12)
U pridruˇzenoj (adjoint) reprezentaciji (r = G)
(T b )ac = if abc .
ˇ
T a (r)T a (r) je Kazimirov operator i po Surovoj
lemi
T a (r)T a (r) = C2 (r)I ,
gde je I jediniˇcna matrica formata d(r) × d(r) . U pridruˇzenoj reprezentaciji je
T a (G)T a (G) = C2 (G)I .
Mnoˇzenjem (8.1.12) sa δ ab imamo
tr(T a (r)T a (r)) = d(G)C(r)
odnosno
C2 (r)d(r) = d(G)C(r) .
Za fundamentalnu reprezentaciju SU (N ) grupe je
1
2
N2 − 1
C2 (N ) =
2N
dok je u pridruˇzenoj reprezentaciji C(G) = C2 (G) = N .
C(N ) =
(8.1.13)
8.2. KVANTOVANJE KALIBRACIONIH POLJA
8.2
53
Kvantovanje kalibracionih polja
Lagranˇzijan YM teorije (bez materije) je
1
1 a µνa
L = − tr(Fµν F µν ) = − Fµν
F
.
2
4
Napisa´cemo ga kao zbir kinetiˇckog L0 i interakcionog dela, Lint :
(8.2.1)
L = L0 + Lint ,
(8.2.2)
1
L0 = − (∂ν Aaµ ∂ ν Aµa − ∂ν Aaµ ∂ µ Aνa ),
2
(8.2.3)
gde je
a
g
g2
Lint = f abc (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )Aµb Aνc − f abc f ade Abµ Acν Aµd Aνe .
2
4
Propagator za gauge polje raˇcunamo iz dela lagranˇzijana kvadratnog po poljima
∫
1
a
S0 [Aµ ] =
d4 xAaµ [g µν □ − ∂ µ ∂ ν ]Aaν
2
∫
1
d4 xd4 yAaµ (x)[g µν □ − ∂ µ ∂ ν ]δ(x − y)Aaν (y)
=
2
∫
1
=
d4 xd4 yAaµ (x)K µa,νb (x, y)Aaν (y) .
2
(8.2.4)
(8.2.5)
(8.2.6)
(8.2.7)
U impulsnom prostoru operator K je
K µa,νb (p, k) = (2π)4 (−k 2 g µν + k µ k ν )δ(p + k)δ ab .
Inverzni operator
(8.2.8)
−1
Kµa,νb
= (Agµν + Bkµ kν )δab δ(p + k)
ne postoji jer je operator K µa,νb (x, y) singularan. Razlog za ovu singularnost je gauge simetrija.
U path integralu treba da integralimo po nezavisnim stepenima slobode a ne po svim potencijalima.
Generalisani impulsi su
∂L
a
πµa =
= Fµ0
.
(8.2.9)
∂ A˙ µa
Odmah vidimo da je π0a = 0. Ovo je tzv. primarna veza. Zbog ove veze Poasonova zagrada
{Aµa (t, ⃗x), πνb (t, ⃗y )} = iδνµ δ ab δ (3) (⃗x − ⃗y )
ne moˇze biti primenjena za µ = ν = 0. Sistemi sa vezama se analiziraju u okviru tzv. Dirakovog
formalizma ˇsto ne´cemo ovde raditi. Pored primarne veze postoji joˇs jedna (sekundarna) veza
Di π ia = 0
koja je Gausova teorema. Zbog postojanja veza u teoriji nisu svi potencijali i generealisani
impulsi nezavisni; broj nezavisnih stepeni slobode je manji nego skup faznih promenljivih Aaµ , πµa .
Zato je potrebno u funkcionalnom integralu izdvojiti prave, fiziˇcke stepene slobode.
54
8.3
CHAPTER 8. FUNKCIONALNI FORMALIZAM: GAUGE TEORIJE
Fadejev-Popovljeva metoda
Sa AUaµ oznaˇcimo potencijal Aaµ posle lokalne transformacije. U funkcionalnom integralu
∫
µ
DAµ eıS[A ]
treba da integralimo samo po neekvivalentnim potencijalima. Naime potencijali AUaµ i Aaµ opisuju
istu konfiguraciju polja. Zato moramo sa svake trajektorije (gauge ekvivalentni potencijali) izdvojiti po jednog predstavnika. Cilj je izdvajanje funkcionalnog integrala
∫ po lokalnim transformacijama (elementima grupe simetrije). Taj integral ´cemo obeleˇziti sa DU . Moˇze se definisati
funkcionalni integral po lokalnim transformacijama tako da za svaki funkcional f [U ] i fiksnu
lokalnu transformaciju U ′ (x) vaˇzi
∫
∫
DU f [U ] = DU f [U U ′ ].
(8.3.10)
Taˇcnost prethodne relacije se lako dokazuje kada je oblast integracije infinitezimalna. Tada
moˇzemo da uzmemo
∏
DU =
Dθa .
(8.3.11)
a
′
′′
Neka su U , U i U tri infinitezimalne lokalne transformacije za koje vaˇzi
U ′′ = U U ′ .
(8.3.12)
1 − ıTa θa′′ = (1 − ıTa θa )(1 − ıTb θb′ ).
(8.3.13)
θa′′ = θa + θa′ + O(θ2 )
(8.3.14)
Iz prethodne jednaˇcine imamo
Odavde imamo
i
( ∂θ′′ )
a
= 1 + O(θ2 )
∂θb
Da bismo dokazali relaciju (8.3.10) dovoljno je da izvrˇsimo smenu promenljivih
∫
∫
( ∂θ′′ ) ∫
a
′′
′′
′′
DU f [U ] = DU f [U ] det
= DU f [U U ′ ].
∂θb
det
(8.3.15)
(8.3.16)
Da bismo integralili samo po predstavnicima orbite u funkcionalnom integralu moramo da
uvedemo uslove kojima se biraju predstavnici, tzv. uslove koji fiksiraju gauge. Te uslove zadajemo skupom jednaˇcina
(8.3.17)
Fa (Aaµ ) = 0,
gde su Fa funkcije kalibracionih polja i njihovih izvoda. Lorencob kalibracioni uslov je
Fa (Aµ ) = ∂µ Aµa .
(8.3.18)
8.3. FADEJEV-POPOVLJEVA METODA
Uvedimo lokalno invarijantan funkcional
∫
∆[Aµ ] = DU δ (n) [Fa (AUµ )],
gde je δ (n) [Fa ] =
pokazuje
55
(8.3.19)
∏
δ[Fa ] funkcionalna delta funkcija. Lokalna invarijantnost (8.3.19) se lako
∫
∫
U′
(n)
UU′
∆[Aaµ ] = DU δ [Fa (Aaµ )] = DU δ (n) [Fa (AUaµ )] = ∆[Aaµ ].
(8.3.20)
a
Sada moˇzemo generiˇsu´ci funkcional da napiˇsemo kao
∫
∫
∫
µ
µ ıS[Aµ ]
µ −1
µ
DA e
= DA ∆ [A ] DU δ (n) [Fa (AUµ )]eıS[A ] .
(8.3.21)
Uzevˇsi u obzir i lokalnu invarijantnost funkcionala ∆[Aaµ ] imamo
∫
∫
∫
U
ıS[Aµ ]
DAµ e
= DU DAUµ ∆−1 [AUµ ]δ[Fa (AUµ )]eıS[Aµ ] .
(8.3.22)
Ako izvrˇsimo smenu AUaµ → Aaµ dobijamo
∫
∫
∫
ıS[Aµ ]
DAµ e
= DU DAµ ∆−1 [Aµ ]δ[Fa (Aµ )]eıS[Aµ ] .
(8.3.23)
∫
Ovim smo uspeli da izdvojimo integraciju po lokalnim transformacijama. Integral DU
predstavlja beskonaˇcnu konstantu koja ulazi u normalizaciju, pa imamo
∫
∫
ıS[Aµ ]
DAµ e
= DAµ ∆−1 [Aµ ]δ (n) [Fa (Aµ )]eıS[Aµ ] .
(8.3.24)
∏
Potrebno je izraˇcunati ∆−1 [Aaµ ]. U (8.3.19) izvrˇsimo smenu promenljivih sa DU na a DFa ,
koriste´ci (8.3.11)
∫
∆[Aaµ ] =
DU δ (n) [Fa (AUµ )]
(8.3.25)
∫ ∏
=
Dθb δ (n) [Fa (Aθaµ )]
(8.3.26)
b
∫ ∏
( δθ (x) )
b
=
DFc det
δ (n) [Fa (Aθµ )]
δFc (y)
c
( δθ (x) )
b
= det
δFc (y) Fa =0
(8.3.27)
(8.3.28)
Koriˇs´cenje (8.3.11) je opravdano jer funkcionalna delta funkcija u (8.3.19) ograniˇcava DU na
infinitezimalnu oblast oko jediniˇcne transformacije. Sa Fa (x) smo oznaˇcili Fa [Aθaµ (x)].
Iz (8.3.25) dobijamo
( δF (x) )
a
−1
.
(8.3.29)
∆[Aaµ ] = det
′
δθb (x ) Fa =0
56
CHAPTER 8. FUNKCIONALNI FORMALIZAM: GAUGE TEORIJE
Ovo je tzv. Fadeev-Popovljeva determinanta. Zamenom (8.3.29) u (8.3.24) dobijamo
∫
( δF (x) )
a µa
a
µ
Z[J ] = N DAµ det
δ (n) [Fa (Aµ )]eıS[Aaµ ]+Jµ A .
(8.3.30)
′
δθb (x )
Nadjimo Fadeev–Popovljevu determinantu u sluˇcaju Lorencovog gauga
F a [A] = ∂µ Aµa .
Variranjem
1
F a [Aθ ] = ∂µ (Aµa + ∂ µ θa − f abc θc Aµb )
g
(8.3.31)
po parametrima gauge grupe imamo
δFa (x)
1 ab
=
δ □x δ(x − y) − f acb ∂µx (Aµc (x)δ(x − y))
δθb (y)
g
1 ab
=
[δ □x − gf acb Aµc (y)∂µx ]δ(x − y) ,
g
gde smo iskoristili Lorencov kalibracioni uslov.
Determinantu moˇzemo da napiˇsemo kao integral po Grasmanovim poljima ca i c¯a
∫
∫ 4 ∫ 4 ′ a
ab
′
′
D¯
cDce−ı d x d x c¯ (x)M (x,x )cb (x ) = det(Mab ),
gde je D¯
cDc =
∏
a
(8.3.33)
D¯
ca Dca . Ako uzmemo da je
Mab (x, x′ ) =
vaˇzi
(8.3.32)
δFa (x)
δθb (x′ )
∫
∫
( δF (x) ) ∫
δF (x)
−ı d4 x d4 x′ c¯a (x) δθ a(x′ ) cb (x′ )
a
b
=
D¯
c
Dce
det
.
δθb (x′ )
U sluˇcaju Lorentz-ovog gauga imamo
∫
( δF (x) )
∫
∫
y
b
a
− g1 ı d4 x d4 y¯
ca (x)[□y δ ab −gf abc Aµ
c (y)∂µ ]δ(x−y)c (y)
det
=
D¯
c
Dce
′
δθb (x )
∫
∫ 4
µ
a
µ a
=
DcD¯
ceı d x∂µ c¯ (x)(∂ c (x)−gfacb Ac cb (x))
∫
∫ 4
=
DcD¯
ceı d xLgh .
(8.3.34)
(8.3.35)
(8.3.36)
Izraz u eksonentu je tzv. dejstvo za duhovima (ghost dejstvo). Gostovi su skalari u odnosu na
Lorencove transformacije. Sa druge strane oni su antikomutiraju´ce (Grasmanove) veliˇcine. Oni
ne mogu biti spoljaˇsnje linije u dijagramima jer nisu opservabilni.
8.4. FAJNMANOVA PRAVILA
57
Gauge uslove ´cemo generalisati na slede´ci naˇcin
Fa = ∂µ Aµa − f a (x) .
Funkcije f a (x) ne utiˇcu na Z i moˇzemo da integralimo po njima sa Gausovom teˇzinom
∫ ∏
∫ 4 2
−ı
( Dfc )e 2ξ d xfa (x) .
(8.3.37)
c
Kako je
∫ ∏
∫ 4 2
∫ 4
−ı
i
µa 2
( Dfc )e 2ξ d xfa (x) δ (n) [∂µ Aµa − f a (x)) = e− 2ξ d x(∂µ A )
(8.3.38)
c
to dobijamo
∫
Z[Jµa ]
=N
DA
aµ
( δF (x) ) ∫ 4
µ
1
a µ
2
a
ı d x(LY M (Aa
µ )+Jµ Aa − 2ξ (∂µ Aa (x)) )
e
det
.
δθb (x′ )
(8.3.39)
odnosno
∫
Z[Jµa ]
=N
DAaµ DcD¯
ceı
∫
1
2
a µ
(∂µ Aµ
d4 x(LY M −¯
ca M ab cb − 2ξ
a (x)) +Jµ Aa )
.
(8.3.40)
Prvi ˇclan u eksponentu je Yang Millsovo dejstvo, drugi je ˇclan sa ghostovima dok je tre´ci ˇclan
tzv. gauge fiksing ˇclan.
Parametar ξ je proizvoljan i fiziˇcke veliˇcine ne zavise od njega. ξ = 0 je Landauvljev ’gauge’,
a ξ = 1 Fajnmanov ’gauge’. Koristili smo navodnike jer reˇc gauge nije adekvatna; sve je to
Lorencov gauge. Gauge teorije se mogu kvantovati i sa drugim kalibracionim uslovom. Npr.
Aa3 = 0− aksijalni gauge, ∂i Aia = 0− Kulonov gauge.
8.4
Fajnmanova pravila
Efektivni lagranˇzijan koji se pojavljuje u izrazu za generiˇsu´ci funkcional je
(
1 a [ µν
1) µ ν]
Aµ g □ − 1 −
∂ ∂ Aνa − c¯a □ca + ψ¯i (i/∂ − m)ψi
2
ξ
g2
g abc
f (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )Aµb Aνc − f abc f ade Abµ Acν Aµd Aνe
+
2
4
abc
a µb c
µ a µa
¯
− gf ∂µ c¯ A c − g ψi γ Tij A ψj ,
L =
(8.4.41)
gde smo ukljuˇcili i materiju. Prvi red je kvadratan po poljima i on nam daje propagatore. Drugi
i tre´ci red su interakcioni ˇclanovi.
Generiˇsu´ci funkcional za slobodnu teoriju je
∫
∫ 4
a µ ¯
a a
a a
a
¯
Z0 [Jµ , σ
¯a , σa , η, η¯] = DAaµ DψDψD¯
cDceı d x(L0 +Jµ Aa +ψη+¯ηψ+¯c σ +¯σ c ) ,
(8.4.42)
58
CHAPTER 8. FUNKCIONALNI FORMALIZAM: GAUGE TEORIJE
gde je
(
1 [
1) µ ν]
L0 = Aaµ g µν □ − 1 −
∂ ∂ Aνa − c¯a □ca + ψ¯i (i/∂ − m)ψi .
2
ξ
Rezultat integracije je
Z0 = e− 2
i
× e−i
∫
∫
(8.4.43)
dxdyJµa (x)(K −1 )µνab (x,y)Jνb (y)
dxdy η¯(y)[i/
∂y −m+iϵ]−1 δ(y−x)η(x)+i
∫
dxdy¯
σ a (y)□−1 δ(y−x)σ a (x)
.
(8.4.44)
Odredimo inverzni operator od
K
µνab
[
(
1) µ ν]
(x, y) = g □ − 1 −
∂ ∂ δ(x − y)δ ab .
ξ
x
µν
(8.4.45)
Lako se nalazi
[
(
)
]
˜ µνab (p, q) = (2π)4 − p2 g µν + 1 − 1 pµ pν δ ab δ(p + q) .
K
ξ
Inverzni nalazimo iz uslova
∫
8 a
µ
−1 )
^
˜ µνab (p, q)(K
d4 q K
νρbc (−q, r) = (2π) δc δ(p + r)δρ
(8.4.46)
(8.4.47)
Pretpostavljaju´ci reˇsenje u obliku
[
]
4
−1 )
^
(K
(−q,
r)
=
(2π)
A(q)g
+
Bq
q
νρ
ν ρ δ(q − r)δbc
νρbc
(8.4.48)
lako nalazimo
[
4
−1
^
(K )νρbc (−q, r) = (2π) −
1
qν qρ 1 ]
δ(q − r)δbc .
gνρ + (1 − ξ) 2 2
q 2 + iϵ
q q + iϵ
(8.4.49)
Dvo-taˇckasta Grinova funkcija za gauge polja je
G(2) (x1 , x2 ) = ⟨0|T Adρ Acσ
−
δ 2 Z0
d
c
δJρ (x2 )δJσ (x1 ) J=0
= i(K −1 )σρcd (x1 , x2 ) .
U impulsnom prostoru ona se dobija iz
∫
dx1 dx2 G(2) (x1 , x2 )eipx1 +iqx2
[
pσ pρ 1 ]
1
g σρ + (1 − ξ) 2 2
= i(2π)4 δ(p + q)δcd − 2
p + iϵ
p p + iϵ
Propagator za gauge polja u impulsnom prostoru je
[
1
qν qρ 1 ]
i − 2
gνρ + (1 − ξ) 2 2
δcd .
q + iϵ
q q + iϵ
(8.4.50)
(8.4.51)
(8.4.52)
8.4. FAJNMANOVA PRAVILA
59
Propagator duhova u koordinatnom prostoru je
∫
δ2
i dxdy¯
σ a (y)□−1 δ(y−x)σ a (x) e
δ¯
σ a (x1 )δσ b (x2 )
σ=¯
σ =0
−1
ab
= −i□ δ(x1 − x2 )δ
∫
d4 p e−ip·(x1 −x2 ) ab
= i
δ .
(2π)4 p2 + iϵ
⟨0|T ca (x1 )¯
cb (x2 )|0⟩ =
(8.4.53)
U impulsnom prostoru on je
iδ ab
.
p2 + iϵ
(8.4.54)
iδij
.
/p − m + iϵ
(8.4.55)
gfabc (gαγ (p1 − p3 )β + gαβ (p2 − p1 )γ + gβγ (p3 − p2 )α )
(8.4.56)
Fermionski propagator je
Verteksi su
ı 2
g (fabc fade (gλν gµρ − gλρ gµν )
4
+ fadc fabe (gνλ gµρ − gνρ gµλ )
+ fabd face (gλµ gνρ − gλρ gνµ )),
−
(8.4.57)
uz
p + q + r + s = 0.
(8.4.58)
60
CHAPTER 8. FUNKCIONALNI FORMALIZAM: GAUGE TEORIJE
Interakcija gostova sa gauge poljima je −gfabc pµ , a fermiona sa gauge poljima −igγµ Tjia .
Chapter 9
ˇ
Dodatak: Sredingerova,
Hajzenbergova
i Dirakova slika
ˇ
ˇ
Stanja u Sredingerovoj
slici zadovoljavaju Sredingerovu
jednaˇcinu
i
∂|ψ(t)⟩S
= H|ψ(t)⟩S ,
∂t
(9.0.1)
odakle je
|ψ(t)⟩S = US (t, t0 )|ψ(t0 )⟩S
(9.0.2)
ˇ
gde je US (t, t0 ) evolucioni operator u Sredingerovoj
slici. Ako je Hamiltonijan nezavistan od
vremena (zatvoren sistem) onda je evolucioni operator
US (t, t0 ) = e−iH(t−t0 ) .
(9.0.3)
Dalje ´cemo uzeti da je Hamiltonijan nezavistan od vremena.
U Hajzenbergovoj slici vektori stanja ne zavise od vremena; operatori nose vremensku evoluciju. Vektor stanja u Hajzenbergovoj slici je
|ψ⟩H = |ψ(t0 )⟩S = eiH(t−t0 ) |ψ(t)⟩S ,
(9.0.4)
gde je t0 referentna taˇcka. Matriˇcni elementi operatora su isti u obe slike
S ⟨ψ(t)|OS |ψ(t)⟩S
pa je
=
H ⟨ψ|OH (t)|ψ⟩H
OH (t) = eiH(t−t0 ) OS (t0 )e−iH(t−t0 ) .
(9.0.5)
Hamiltonijan celog sistema H rastavi´cemo u zbir slobodnog Hamiltonijana H0 i male perturbacije (interakcioni ˇclan) Hint :
H = H0 + Hint .
Operator u interakcionoj slici se definiˇse analogno sa Hajzenbergovom slikom samo se umesto H
uzima H0
OI (t) = eiH0 (t−t0 ) OS (t0 )e−iH0 (t−t0 )
(9.0.6)
61
ˇ
62CHAPTER 9. DODATAK: SREDINGEROVA,
HAJZENBERGOVA I DIRAKOVA SLIKA
odnosno
OI (t) = U (t, t0 )OH (t)U −1 (t, t0 )
(9.0.7)
U (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 )
(9.0.8)
gde je
evolucioni operator. Za vektore stanja u interakcionoj slici dobija se
|ψ(t)⟩I =
=
=
=
eiH0 (t−t0 ) |ψ(t)⟩S
eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 ) |ψ⟩H
U (t, t0 )|ψ⟩H
U (t, t0 )|ψ(t0 )⟩I .
(9.0.9)
(9.0.10)
U (t, t0 ) je evolucioni operator (propagator) u interakcionoj slici. U referentnoj taˇcki sve tri slike
se poklapaju:
|ψ(t0 )⟩I = |ψ(t0 )⟩S = |ψ⟩H
OI (t0 ) = OH (t0 ) = OS .
(9.0.11)
Najˇceˇs´ce se uzima da je t0 = 0 . Diferenciranjem (9.0.9) po vremenu dobijamo jednaˇcinu kretanja
za stanja u interakcionoj slici
∂|ψ(t)⟩I
i
= (Hint )I |ψ(t)⟩I ,
(9.0.12)
∂t
gde je
(Hint )I = eiH0 (t−t0 ) (Hint )e−iH0 (t−t0 )
(9.0.13)
hamiltonijan interakcije u interakcionoj slici. Diferenciranjem (9.0.6) po vremenu dobijamo
diferencijalnu jednaˇcinu za operatore u interakcionoj slici
i
dOI (t)
= [OI (t), H0 ].
dt
(9.0.14)
Operatori u interakcionoj slici evoluiraju po slobodnom Hamiltonijanu.
Vaˇzan rezultat (Dajsonova formula) je da je evolucioni operator u interakcionoj slici (QFT
1)
∫
−i
U (t, t0 ) = T e
t
t0
dτ (Hint )I (τ )
,
(9.0.15)
gde je (Hint )I (t) = eiH0 (t−t0 ) Hint (t0 )e−iH0 (t−t0 ) interakcioni hamiltonijan u interakcionoj slici.
Operatori u interakcionoj slici zadovoljavaju slobodne jednaˇcine kretanja, tj. njihova dinamika
je odredjena sa H0 . Evolucija vektora stanja u interakcionoj slici je
|ψ(t)⟩I = U (t, t′ )|ψ(t′ )⟩I ,
(9.0.16)
gde je evolucioni operator u interakcionoj slici
′
′
U (t, t′ ) = eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t ) e−iH0 (t −t0 )
(9.0.17)
63
odnosno
U (t, t′ ) = T e−i
∫t
t′
dτ (Hint )I (τ )
,
(9.0.18)
Osobine evolucionog operatora:
1. U (t1 , t2 )U (t2 , t3 ) = U (t1 , t3 )
2. U (t1 , t2 )−1 = U (t2 , t1 ) .
(9.0.19)
ˇ
64CHAPTER 9. DODATAK: SREDINGEROVA,
HAJZENBERGOVA I DIRAKOVA SLIKA
Chapter 10
Dodatak: S matrica
U procesu rasejanja ˇcestice dolaze iz daleke proˇslosti, zatim intereaguju i u dalekoj budu´cnosti
dobijamo finalno stanje. U eksperimentu se odredjuje verovatno´ca da inicijalno stanje predje u
neko zadato finalno stanje. Incijalna konfiguracija predstavlja skup skoro izolovanih ˇcestica u
dalekoj proˇslosti. Finalna konfiguracija je takodje sastavljena od skoro neintereaguju´cih ˇcestica
u dalekoj budu´cnosti. Osnovna ideja teorije rasejanje je da smatramo da je interakcija iskljuˇcena
u dalekoj proˇslosti i u budu´cnosti. To je mogu´ce za kratkodometne interakcije ali u teoriji polja
to je nemogu´ce, jer npr. elektron intereaguje sa virtuelnim fotonima. Zahvaljuju´ci toj interakciji
on ima fiziˇcku masu m a ne golu masu m0 . Takodje mogu se javiti i vezana stanja, koja ´cemo
ignorisati.
In i out stanja su Hajzenbergova svojstvena stanja ukupnog Hamiltonijana H u dalekoj
proˇslosti odnosno budu´cnosti, koja u datim limesima teˇze stanjima slobodne teorije. To su
asimptotska stanja i oni su direktni proizvod jednoˇcestiˇcnih stanja. Neka je φ(0) stanje u
trenutku t = 0 koje evoluira po ’slobodnom’ Hamiltonijanu, dok je ψin (0) stanje komletnog
65
66
CHAPTER 10. DODATAK: S MATRICA
hamiltonijana H u trenutku t = 0 koje evoluira po hamiltonijanu H. Dakle
ψin (0) =
φ(0) =
lim eiHt ψ(t)
t→−∞
lim eiH0 t φ(t)
t→−∞
(10.0.1)
odnosno
lim e−iHt ψin (0) = lim e−iH0 t φ(0) .
t→−∞
t→−∞
(10.0.2)
ˇ
Stanja u gornjoj formuli su u Sredingerovoj
slici. Uze´cemo da je t = 0 trenutak u kome se sve
tri slike poklapaju. Onda je in stanje ψin = ψin (0) Hajzenbergovo stanje odredjeno sa
ψin = lim eiHt e−iH0 t φ(0) = Ω+ φ .
t→−∞
(10.0.3)
Ω+ je Mollerov operator. On prevodi stanje slobodnog hamiltonijana u stanje ukupnog Hamiltonijana. Sliˇcno se definiˇsu i out stanja. Iz asimptotskog ponaˇsanja
lim e−iHt ψout (0) = lim e−iH0 t φ(0)
(10.0.4)
ψout = lim eiHt e−iH0 t φ(0) = Ω− φ .
(10.0.5)
|ψα , in⟩ = Ω+ |φα ⟩
|ψβ , out⟩ = Ω− |φβ ⟩ .
(10.0.6)
Ω± = lim U (0, t) .
(10.0.7)
t→∞
t→−∞
sledi
t→∞
Ω− je Mollerov operator.
Dakle
Primetimo da je
t→∓∞
67
Iz (9.0.16) sledi
|ψα (0)⟩I = U (0, −∞)|ψα (−∞)⟩I .
(10.0.8)
Sa druge strane je |ψα , in⟩ = |ψα (0)⟩I jer se Hajzenbergova i interakciona slika poklapaju u
referentnoj taˇcki t0 = 0. Odavde se vidi i da je
|ψα (−∞)⟩I = |φα ⟩ .
(10.0.9)
Sliˇcno se dobija i za out stanje. U procesu rasejanja odredjujemo verovatno´cu da in stanje predje
u out stanje pa je matriˇ
nin element S matrice
Sβα =
=
=
=
⟨ψβ , out|ψα , in⟩ = ⟨φβ |Ω−1
− Ω+ |φα ⟩
⟨φβ |U (∞, 0)U (0, −∞)|φα ⟩
⟨φβ |U (∞, −∞)|φα ⟩
⟨φβ |S|φα ⟩.
S matrica je dakle
S = U (∞, −∞) = T ei
∫
d4 xLint (φI )
.
(10.0.10)
To je centralni rezultat ove analize. Dobili smo matricu rasejanja u interakcionoj slici. Interakciona slika je pogodna jer u njoj polja zadovoljavaju slobodne jednaˇcine kretanja.
© Copyright 2024 Paperzz
