1.1
1.1.1
Neodredeni
integral
¯
Površinski problem
Uvod u površinski problem
Iako ve´cina razmišlja o integralu iskljuˇcivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog
raˇcuna sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena. Jedan od velikih problema
više matematike je:
Definicija 1.1. Ako je data realna funkcija f koja je neprekidna i nenegativna na intervalu [a, b], nadjite površinu koja se nalazi izmedu
¯ grafa funkcije f i intervala [a, b] na
x-osi.
Uvod u površinski problem
Uvod u površinski problem
Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, poligoni i krugovi idu nazad do najranijih matematiˇckih zapisa. Prvi pravi napredak od
najprimitivnih pokušaja je napravio starogrˇcki matematiˇcar Arhimed (‘Aρχιµηδης),
koji je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zove tehnika iscrpljenja, kako
bi našao površine regija koje su ograniˇcene parabolama, spiralama i raznim drugim
krivim.
Do 17-og stolje´ca mnogi su matematiˇcari otkrili naˇcine kako izraˇcunati ove površine koriste´ci limese. Medutim,
svim ovim metodama je nedostajala generalnost.
¯
1
Uvod u površinski problem
Veliki napredak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibnitz, koji
su otkrili da se površine mogu dobiti obr´cu´ci proces diferencijacije. Newtonov rad De
Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas izdat 1711 se smatra poˇcetkom
više matematike.
Sir Isaac Newton FRS
Gottfried Wilhelm Leibniz
Poˇcetak moderne matematike
2
Posmatrajmo funkciju y = cos2 x. Onda znamo da je izvod ove funkcije y 0 =
−2 cos x sin x = sin 2x.
No šta ako moramo raditi unatrag, odnosno da nam je data funkcija y 0 = −2 sin 2x
i iz nje trebamo prona´ci originalnu funkciju?
Oˇcito, u ovom sluˇcaju je y = cos2 x, ali smo to ve´c unaprijed znali. U op´cem
sluˇcaju, to nije tako jednostavno i zahtjeva poseban pristup.
Neodredeni
integral
¯
Definicija 1.2. Funkciju F definisanu na intervalu I, nazivamo primitivom ili primitivnom funkcijom ili prim funkcijom ili anti-izvodom ili integralom funkcije f (x), ako
je na tom intervalu f (x) izvod funkcije F (x), tj. ako vrijedi relacija
F 0 (x) = f (x),
∀x ∈ I.
(1)
Definicija 1.2 se može formulisati tako da umjesto termina “izvod” koristimo termin “diferencijal” i tada vrijedi
d F 0 (x) = F 0 (x)dx = f (x)dx,
∀x ∈ I.
(2)
Primitiv
Primjer. Funkcija 31 x3 je primitiv funkcije f (x) = x2 na intervalu (−∞, ∞), zato što
je za svako x ∈ (−∞, ∞)
d 1 3
F 0 (x) =
x = x2 = f (x).
dx 3
3
Primjetite da ovo nije jedini primitiv funkcije f na ovom intervalu. Ako dodamo
bilo koju konstantu C na 31 x3 , onda je funkcija F (x) = 31 x3 + C takoder
¯ primitiv
funkcije f (x) = x2 , jer je ∀x ∈ (−∞, ∞)
1
1
F 0 (x) = ( x3 + C)0 = (x3 )0 + C 0 = x2 .
3
3
Primitiv
Teorem 1.1. Neka je F (x), na intervalu I, primitiv funkcije f (x). Tada je i funkcija
F (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta, takoder
¯ primitiv funkcije f (x).
Teorem 1.2. Neka su F (x) i Φ(x) razliˇciti primitivi funkcije f (x) na intervalu I. Tada
je
Φ(x) = F (x) + C, C ∈ R.
(3)
Primitiv
Dokaz. Na osnovu pretpostavke teoreme je
F 0 (x) = f (x),
Φ0 (x) = f (x),
odakle slijedi da je
Φ0 (x) − F 0 (x) = [Φ(x) − F [x]]0 = 0,
odnosno, vrijedi
Φ(x) − F (x) = C ⇒ Φ(x) = F (x) + C.
Proces nalaženja primitiva nazivamo anti-izvodenjem
ili, poznatije, integracijom.
¯
Funkciju F (x) + C nazivamo neodredeni
¯ integral funkcije f (x) i oznaˇcavamo je sa
Z
f (x)dx = F (x) + C,
gdje je C proizvoljna konstanta.
Produženo S koje se pojavljuje s lijeve strane definicije neodredenog
integrala se
¯
zove znak integracije, što je notacija koju je izumio Leibnitz 1675 godine. Funkcija
f (x) se zove integrand ili podintegralni izraz. C se naziva konstanta integracije.
Pridjev “neodreden”
se odnosi na cˇ injenicu da integracija ne daje jednu, odredenu
¯
¯
funkciju, ve´c cˇ itav snop funkcija (zbog konstante integracije).
R
2
Primjer. Provjeriti da je lnxx dx = ln2 x + C. Kako je
d ln2 x
ln x 1
ln x
+C =2
· =
,
dx
2
2 x
x
to je prema definicije neodredenog
integrala funkcija
¯
funkcije lnxx .
4
ln2 x
2
+ C neodredeni
integral
¯
Neke osobine neodredenog
integrala
¯
Iz definicije neodredenog
integrala direktno slijedi
¯
0
Z
= [F (x) + C]0 = F 0 (x) = f (x),
f (x)dx
Z
d f (x)dx = d[F (x) + C] = F 0 (x)dx = f (x)dx,
Z
Z
Z
0
dF (x) =
F (x)dx = f (x)dx = F (x) + C,
Z
Z
F 0 (x)dx =
f (x)dx = F (x) + C.
(4)
(5)
(6)
(7)
Jednostavnija pravila integracije
Pravilo 1. Neka je a ∈ R konstanta. Tada vrijedi
Z
Z
af (x)dx = a f (x)dx
R
Pravilo 2. Ako postoje fi (x)dx, i = 1, 2, . . . , n, tada vrijedi
Z
Z
Z
Z
(f1 + f2 + . . . + fn )(x)dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx + . . . fn (x)dx.
(8)
(9)
Jednostavnija pravila integracije
Pravilo 3. Neka je
R
f (t)dt = F (t) + C. Tada je
Z
1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C.
a
Dokaz. Kako je
dF (t)
= F 0 (t) = f (t),
dt
d
F (ax + b) = a · F 0 (ax + b) = a · f (ax + b),
dt
imamo da je
d 1
1
F (ax + b) = a · F 0 (ax + b) = F 0 (ax + b) = f (ax + b).
dt a
a
5
(10)
1.1.2
Tablica osnovnih integrala
Tablica osnovnih integrala
Integracija je u osnovi cˇ isto pogadanje
- no obrazovano pogadanje!
Mi u osnovi
¯
¯
pokušavamo da pogodimo šta je funkcija iz njenog izvoda. Veliki broj integrala možemo riješiti koriste´ci se nekim, osnovnim integralima standardnih funkcija. Ovdje
c´ emo navesti neke od njih.
Tablica osnovnih integrala
1.
Z
Z
0 · dx = C;
2.
Z
xa dx =
dx = x + C,
1
xa+1 + C,
a+1
3.
Z
a 6= 0, −1, a ∈ R,
1
dx = ln |x| + C,
x
Tablica osnovnih integrala
4.
5.
Z
Z
−1
dx = arc ctg x + C,
1 + x2
1
dx = arc tg x + C;
1 + x2
Z
1
dx = arcsin x + C;
1 − x2
Z
√
6.
Z
ax dx =
ax
+ C,
ln a
√
Z
−1
dx = arccos x + C,
1 − x2
ex dx = ex + C,
Tablica osnovnih integrala
7.
Z
Z
sin xdx = − cos x + C;
8.
9.
Z
1
dx = tg x + C;
cos2 x
Z
√
cos xdx = sin x + C,
Z
1
dx = − ctg x + C,
sin2 x
p
1
dx ln x + x2 ± a2 + C.
x2 ± a2
6
Tablica osnovnih integrala
10.
Z
Z
csc x ctg xdx = − csc x + C,
sec x tan xdx = sec x + C;
Primjeri
Primjer.
Z
(x3 + 2x − 5)dx.
Primjer.
Z
√
xdx.
Primjer.
Z
sin(mx)dx.
Primjeri
Primjer.
Z
1
dx.
x+3
Primjer.
Z
x2
2x + 5
dx.
+ 5x + 1
Primjer.
Z
tg2 xdx.
Primjeri
Primjer.
Z
x · ex
2
+1
dx.
Primjer.
Z
dx
dx.
x ln x
Z
2dx
dx.
sin 2x
Primjer.
7
Primjeri
Primjer.
Z
cos x
dx =
sin2 x
Z
1 cos x
dx =
sin x sin x
Z
csc x ctg xdx = − csc x + C
Primjer.
Z
t2 − 2t4
dt =
t4
=
1.1.3
Z Z
Z
1
−2
− 2 = t dt + (−2)dt
t2
t−1
1
− 2t + C = − − 2t + C.
−1
t
Integracija metodom smjene
Integracija smjenom
U dosadašnjim primjerima smo se samo koristili osnovnim pravilima i tablicama
integrala. Takvi sluˇcajevi su rijetki i u nekim sluˇcajevima uvodenjem
smjene nezavisne
¯
promjenljive podintegralne funkcije možemo svesti integral na tabliˇcni sluˇcaj. Neka
trebamo izraˇcunati
Z
f (x)dx.
(11)
Umjesto nezavisne promjenljive x uvedimo novu promjenljivu t, i neka je
x = g(t),
dx = g 0 (t)dt.
(12)
Integracija smjenom
Tada integral (11) glasi
Z
f [g(t)]g 0 (t)dt.
(13)
Teorem 1.3. Neka su J1 i J2 otvoreni integrali u skupu R. Neka je f : J2 7→ R, ∀x ∈
J2 , neprekidna funkcija na J2 i neka funkcija g : J1 7→ J2 ima neprekidne izvode na
J1 . Tada za svako t ∈ J1 i svako x = g(t) ∈ J2 vrijedi
Z
Z
f (x)dx = f [g(t)]g 0 (t)dt.
(14)
Integracija smjenom
Taˇcnost tvrdnje prati na osnovu definicije izvoda posredne funkcije i definicije neodredenog
integrala.
¯
8
Primjer.
Z
sin3 x cos xdx.
Uvodimo smjenu sin x = t, cos xdx = dt. Tada posmatrani integral glasi
Z
Z
1
1
sin3 x cos xdx = t3 dt = t4 + C = sin4 x + C.
4
4
Integracija smjenom
Primjer.
Z
2
xex dx.
Primjer.
Z
dx
dx.
1 + 4x
Integracija smjenom
Primjer.
Z
√
dx
dx.
1+x
Primjer.
Z
cos x
dx.
1 + sin2 x
Primjer.
Z
1.1.4
sin3 xdx.
Metoda parcijalne integracije
Parcijalna integracija
Neka su u = f (x) i v = g(x) funkcije promjenljive x i neka imaju izvode u0 =
f (x) i v 0 = g 0 (x). Tada je po pravilu diferenciranja proizvoda
0
d(u · v) = u dv + v du,
odakle slijedi
u dv = d(u · v) − v du
odnosno
v du = d(u · v) − u dv.
Iz prethodnih jednakosti integracijom dobivamo
9
Parcijalna integracija
Z
Z
u dv = u v −
v du
(15)
u dv.
(16)
odnosno
Z
Z
v du = u v −
Gornje relacije daju pravila parcijalne integracije.
Primjeri
Primjer. Neka treba na´ci
R
xe2x dx. Uzmimo da je
2x
u = x, du = dx, dv = e
Z
⇒v=
e2x dx =
1 2x
e .
2
Tada je prema relaciji (15)
Z
Z
x
1
x
1
xe2x dx = e2x −
e2x dx = e2x − e2x + C.
2
2
2
4
Primjeri
Primjer.
Z
=
u = ln x ⇒ du = dx
x
x ln x = dv = x2 dx ⇒ v = 31 x3
2
x3 ln x 1
−
3
3
Z
x3 ·
=
dx
x3 ln x 1
=
−
x
3
3
Z
x2 · dx
x3 ln x x9
−
+ C.
3
9
Primjeri
Primjer. Izraˇcunati
Z
eax cos(bx)dx.
Oznaˇcimo dati integral sa J i neka je
u = eax , dv = cos(bx)dx.
Tada je prema relaciji (15)
Z
J = eax cos(bx)dx = u = eax ⇒ du = aeax dx
1
dv = cos(bx)dx ⇒ v = b sin(bx) 10
Primjeri
Z
1 ax
a
= e sin(bx) −
eax sin(bx)dx.
b
b
R
Ako se za izraˇcunavanje eax sin(bx)dx uzme
1
ax
ax
u = e (du = ae dx), dv = sin(bx)dx v = − cos(bx) ,
b
tada slijedi
J=
Z
1 ax
a
1
a
eax cos(bx)dx ,
e sin(bx) −
− eax cos(bx) +
b
b
b
b
Primjeri
a
a2
1 ax
e sin(bx) + 2 eax cos(bx) − 2 J.
b
b
b
Rješavanjem prethodne jednaˇcine po J dobijamo
J=
J=
ili
Z
b sin(bx) + a cos(bx) ax
·e ,
a2 + b2
eax cos(bx)dx =
b sin(bx) + a cos(bx) ax
· e + C.
a2 + b2
Primjeri
Primjer.
Z
(x2
dx
,
+ a2 )n
n ∈ N.
Primjer. Izraˇcunati
J=
1.1.5
Z p
x2 + a2 dx.
Integracija racionalnih funkcija
Integracija racionalnih funkcija
Racionalna funkcija je funkcija oblika:
R(x) =
Pn (x)
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
=
Qn (x)
bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
11
Ako je
1. n ≥ m tada je funkcija R(x) neprava racionalna funkcija;
2. n < m tada je funkcija R(x) prava racionalna funkcija.
U prvom sluˇcaju, prvo polinome Pn (x) i Qm (x) podijelimo, tj.
R(x) =
Pn (x)
R1 (x)
= Λn−m (x) +
.
Qn (x)
Qm (x)
Drugi dio desne strane ove jednakosti je onda prava racionalna funkcija.
Primjer.
27x − 2
2x3 − x2 + x + 5
= 2x + 7 + 2
.
2
x − 4x + 1
x − 4x + 1
Izraˇcunavanje integrala racionalne funkcije svodi se na izraˇcunavanje prave racionalne funkcije.
No, prije toga moramo pravu racionalnu funkciju razložiti na prostije racionalne
funkcije, tzv. parcijalne razlomke, a zatim raˇcunati integrale za svaki od tih parcijalnih
razlomaka.
Rastavljanje prave racionalne funkcije
Prostim racionalnim funkcijama zovemo racionalne funkcije oblika
A
(x − α)k
(k ∈ N )
(17)
gdje su A ia realni brojevi, odnosno
Mx + N
(x2
k
+ px + q)
k ∈ N ; p2 − 4 q < 0 ,
(2.26∗ )
gdje su M, N, p i q realni brojevi. Svaku pravu racionalnu funkciju možemo predstaviti
u obliku (prema fundamentalnoj teoremi algebre):
Pn (x)
Pn (x)
=
, ki , li ∈ N, M +N = m
Qm (x)
(x − a1 )k1 · · · (x − aM )kM (x2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x2 + pN x + qN )lN
Pri tome je p2 − 4q < 0, tj. x2 + px + q se ne može dalje rastaviti na proste realne
faktore (nema nula u R). Tada racionalnu funkciju možemo izraziti kao:
(x −
A1
A2
Ak
+
+ ... +
+
2
+
x − a (x − a)
(x − a)k
M1 x + N1
M2 x + N2
M l x + Nl
+ 2
+
+ ... + 2
x + px + q (x2 + px + q)2
(x + px + q)l .
Pn (x)
k
a) (x2 + px
q)l
=
12
A1 , A2 , . . . , An , M1 , M2 , . . . , Ml , N1 , N2 , . . . , Nl su nepoznati koeficijenti koje treba
odrediti. Onda integral
Z
Pn (x)
Qn (x)
se u stvari pretvara u k + l integrala koje ve´c možemo riješiti standardnim putem!
Primjer.
3x2 − x + 2
(x − 1)2 (x2 + 1)
Z
Z
Z
1
1
1
1
1−x
=2
dx
+
dx
dx
+
(x − 1)2
2
x−1
2
1 + x2
Z
=−
1
1
1
2
+ ln(x − 1) + arctan x − ln(x2 + 1) + C.
x−1 2
2
4
Napomena: U opštem sluˇcaju, integral oblika
Z
Z
Mx + N
Mx + N
dx =
2
x + px + q
(x + p/2)2 + a2
p
2
rješavamo pomo´cu smjene x +
1.2
1.2.1
= at.
Odredeni
inetgral
¯
Odredeni
integral
¯
Odredjeni integral
Neka je funkcija nam je data funkcija f (x) i neka procesom izraˇcunavanja neodredenog
integrala možemo na´ci njen primitiv F (x).
¯
U ovoj sekciji c´ emo se baviti pojmom tzv. odredenog
integrala, ali ne teoretskim,
¯
ve´c samo primjenjenim putem. Dakle, ne´cemo formalno definisati odredeni
integral,
¯
ve´c samo pomo´cu njegove veze sa neodredenim
integralom.
¯
Odredeni
¯ integral funkcije f integrabilne na segmentu [a, b] oznaˇcavamo sa
Z b
f (x)dx
a
Ispostavlja se da je
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)!
a
Ova formula se po dogovoru zapisuje kao
Z b
f (x)dx = F (x)|ba .
a
13
Ova formula se naziva Newton-Leibnitzova formula! Vidimo da nam odredeni
inte¯
gral vra´ca konkretnu vrijednost, pa stoga i njegovo ime! Osobinu da postoji odredeni
¯
integral funkije na segmentu [a, b] c´ emo oznaˇcavati sa f ∈ I[a, b].
Osobine odredenog
integrala
¯
Neka je f ∈ I[a,b] . Tada je, po definiciji,
Ra
f (x)dx = −
Rb
Rλ
f (x)dxi
a
b
f (x)dx =0, λ ∈ [a, b].
λ
Lema 1.1. Ako je f ∈ I[a,b] i a ≤ α < β ≤ b, tada je f integrabilna na segmentu
[α, β] .
Lema 1.2. Neka je a < c < b i neka je funkcija f integrabilna na [a, b]. Tada vrijedi
Zc
Zb
f (x)dx =
a
Zb
f (x)dx+
a
f (x)dx.
(18)
c
Teorem 1.4. Neka f, g ∈ I[a,b] . Tada su funkcije f + g, f − g, λ · g integrabilne na
segmentu [a, b], gdje je λ ∈ R ; pri tome vrijedi
Rb
Rb
Rb
(a) (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx,
a
a
a
Rb
Rb
(b) (λf (x)) dx = λ f (x)dx.
a
a
Teorem 1.5. Neka su f, g ∈ I[a,b] takve da je f (x) ≤ g(x) za svako x ∈ [a, b] , tada
vrijedi
Zb
Zb
f (x)dx ≤ g(x)dx.
(19)
a
a
Teorem 1.6. Ako je f integrabilna funkcija na segmentu [a, b], tada su integrabilne i
funkcije f + i |f | ; osim toga, vrijedi nejednakost
b
Z
Zb
f (x)dx ≤ |f (x)| dx.
(20)
a
a
Teorem 1.7. Ako je f ∈ C[a,b] , tada je f ∈ I[a,b] .
√
Primjer. Izraˇcunati integral
R3
−1
dx
1+x2 .
√
Z3
.
dx
1+x2
√
√
= arctgx −1 3 = arctg( 3) − arctg(−1) =
−1
14
π
3
− (− π4 ) =
7π
12 ./
Glavni metodi izraˇcunavanja neodredenog
integrala, metod smjene promjenljive i
¯
metod parcijalne integracije, mogu se primijeniti i kod izraˇcunavanja odredenog
inte¯
grala.
Teorem 1.8. Neka su funkcije u(x) i v(x) glatke na segmentu [a, b]. Tada vrijedi
jednakost
Zb
Zb
b
(21)
u(x)dv(x) = u(x)v(x) a − v(x)du(x).
a
a
Primjer. Izraˇcunati odredeni
¯ integral
Z
e
x2 ln xdx.
1
Teorem 1.9. Neka je f : [A, B] → R neprekidna, a funkcija
φ : [α0 , β0 ] → [A, B]
ima neprekidnu derivaciju φ0 (t). Ako je
α, β ∈ [α0 , β0 ] , a = φ(α), b = φ(β),
tada vrijedi jednakost
Zβ
Zb
f (x)dx =
a
f (φ(t)) φ0 (t)dt.
(22)
α
Primjer. Izraˇcunati
Z
1
p
1 − x2 dx.
0
Primjer. Ako se u izraˇcunavanju integrala
2π
R
0
=
π
4
dx
4−3 cos x ,
uvede smjena t = tg x2 , tada se
polazni integral transformira u
Z2π
dx
4−3 cos x
0
Z0
=
1
1+t2
·
0
2dt
1−t2
4−3 1+t2
= 0.
Sa druge strane, f (x) = 4−31cos x je pozitivna i neprekidna funkcija na [0, 2π], zato
njen integral mora biti pozitivan (v. teorem 10). Dakle, negdje je nastala greška.
(Smjena t = tg x2 nije korektna, jer za x = π ∈ [0, 2π], nije ni definirana.)
1.2.2
Primjena odredenog
integrala
¯
Primjena odredenog
integrala
¯
15
Teorem 1.10. Neka je za y = f (x), x ∈ [a, b] prva derivacija f 0 (x) neprekidna funkcija na [a, b] i Γ = (x, f (x)) , x ∈ [a, b]. Tada se otvorena kriva y = f (x), x ∈ [a, b]
može rektificirati i dužina krive Γ
L(f ; a, b), izražava formulom
Zb q
2
1 + (f 0 (x)) dx.
L(f ; a, b) =
(23)
a
Teorem 1.11. Neka su ϕ(t)iψ(t), α ≤ t ≤ β, funkcije cˇ ije su prve derivacije neprekidne funkcije na [α, β]. Tada se kriva Γ, odredena
jednaˇcinama x = ϕ(t), y =
¯
ψ(t), α ≤ t ≤ β može rektificirati. Još više, ako je ϕ(α) = ai ϕ(β) = b, tj.
ϕ ([α, β]) = [a, b] ⊂ R+ ∪ {0}, njena dužina s(Γ) iznosi
s(Γ) =
Zβ p
ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt.
α
Primjer. Na´ci obim jediniˇcnog kruga centriranog u nuli.
Površinski problem
Sada se konaˇcno možemo vratiti i našem antiˇckom problemu površine ispod krive!
Naime površina ispod neke nenegativne krive (do x-ose) na intervalu [a, b] je jednaka
odredenom
integralu :
¯
Z b
P =
f (x)dx!
a
Ukoliko se kriva nalazi ispod x ose, onda je površina iznad te krive na intervalu [a, b]
jednaka
Z b
P =−
f (x)dx.
a
Površinski problem
Primjer. Izraˇcunati površinu lika omedenog
krivim y = −x2 + 4x + 5 i y = x − 5.
¯
1.2.3
Nesvojstveni integral
Nesvojstveni integral
Nesvojstveni (ili nepravi) integral je graniˇcna vrijednost odredenog
integrala, kada
¯
se jedna graniˇcna taˇcka (ili obje graniˇcne taˇcke) intervala integracije približava/ju bilo
nekom odredenom
realnom broju ili +∞ ili −∞.
¯
16
17
Slika 1: Nesvjostveni integral u beskonaˇcnosti
Prvi sluˇcaj je kada je desni kraj intervala integracije jednak +∞ (sliˇcno i kada je
lijevi kraj intervala jednak −∞:
+∞
Z
b
Z
f (x)dx = lim [F (b) − F (a)]
f (x)dx = lim
b→+∞
a
Z
a
b→+∞
a
a
Z
f (x)dx = lim [F (a) − F (b)]
f (x)dx = lim
b→−∞
−∞
b→−∞
b
Druga mogu´cnost je kada funkcija ima prekid u taˇcki x = c. Tada posmatramo
Z
b
c
Z
Z
f (x)dx =
a
b
f (x)dx +
a
f (x)dx.
c
No kako posmatrati te individualne integrale? U sluˇcaju prvog integrala:
b
Z
b
Z
= lim
c
f (x)dx,
ε→0
c+ε
a u sluˇcaju drugog
Z
c
c−ε
Z
= lim
a
f (x)dx
ε→0
a
Primjer.
Z
1
−1
dx
x2
18
Slika 2: Nesvjostveni integral sa prekidom
1.3
Primjena integrala u ekonomiji
Primjena integrala u ekonomiji
Sjetimo se graniˇcnih funkcija (prihoda, troškova, dobiti, itd). One su bile definisane
kao izvodi originalnih funkcija.
Koriste´ci se integralima, možemo na´ci ukupnu funkciju iz graniˇcne funkcije!
Z
ukupna funkcija = graniˇcna funkcija
Primjer. Zadana je funkcija graniˇcnih troškova GT (Q) = Q(2 − Q)e−Q+10 i fiksni
ukupni troškovi su nula F T = 0. ODrediti funkciju prosjeˇcnih troškova.
Primjer. Zadana je funkcija graniˇcnih troškova GT (Q) = 8(Q − 2), fiksni troškovi
su 10, dok je funkcija potražnje data kao funkcija cijene Q = −p + 2. Izvesti funkciju
ukupne dobiti.
19
© Copyright 2024 Paperzz
