DISKRETNA MATEMATIKA
Literatura:
1.
2.
3.
4.
Žubrinić, D: Diskretna matematika, Element – Zagreb, 2001.
Veljan, D: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam – Zagreb, 2001.
Lugić, Dž: Diskretna matematika, FESB – Split, 2002.
Lipschutz, S, Lipson M. L: Schaum' s outline of theory and problems of discrete
mathematics, McGraw – Hill, 2007.
5. Rosen, K.H: Discrete mathematics and its applications, McGraw – Hill, 1999.
6. Haggarty, R: Discrete mathematics for computing, Addison Wesley – New York, 2002.
Ponavljanje matematičkog gradiva:
7. Bradić T, Pečarić J, Roki R, Strunje M: Matematika za tehnološke fakultete, Element –
Zagreb, 1998.
8. Jukić D, Scitovski R: Matematika 1 – Elektrotehnički fakultet, Osijek, 1998.
http://www.mathos.hr/Jukic_Scitovski.pdf
Za one koji žele znati više:
9. F. M. Bruckler, V. Čačić, M. Doko, M. Vuković: Zbirka zadataka iz teorije skupova,
Sveučilište u Zagrebu, PMF – Matematički odjel, Zagreb 2008.
http://vedgar.googlepages.com/TS-zbirka-2008.pdf
10. M. Vuković: Matematička logika 1 – skripta, Sveučilište u Zagrebu, PMF – Matematički
odjel, Zagreb 2007.
http://www.mathos.hr/logika/Logika_skripta.pdf
1
1. Skupovi.
Pojam skupa jedan je od fundamentalnih pojmova u matematici, a također i pojam s kojim smo se
do sada mnogo puta susreli. Intuitivno, skup zamišljamo kao cjelinu koja sadrži objekte koji su
nam u nekom trenutku od interesa, pa tako u svakodnevnom životu govorimo o skupu ljudi,
skupu zemalja, skupu predmeta i slično, a u matematici o skupovima brojeva, točaka, vektora,
funkcija, matrica i drugih matematičkih objekata. Skup se često zadaje navođenjem
(ispisivanjem) njegovih članova (elemenata), pri čemu koristimo vitičaste zagrade. Ako je S
skup koji sadrži elemente ∆,⊗,∗ i samo njih, pisat ćemo S = {∆,⊗,∗} .
Međutim, lako je zamisliti skupove koji imaju vrlo velik broj članova, ili ih čak imaju
beskonačno mnogo. Na primjer, ne možemo ispisati sve prirodne brojeve, pa se snalazimo tako
da skup prirodnih brojeva kratko zapisujemo = {1,2,3, K}. Skupove često zadajemo opisno,
navodeći pravilo, svojstvo po kome ćemo prepoznati pripadnike toga skupa i za svaki objekt bez
dileme utvrditi pripada li tom skupu ili ne. Skup S čiji elementi x (i samo oni) zadovoljavaju
pravilo P( x ) zapisujemo S = {x : P( x )} ili S = {x P( x )}. Svojstava koja zadaju skup može biti i
više, a skup redovito možemo zadati na različite načine.
Intuitivno, ovaj je pristup jasan i logičan. Međutim, podrobnija analiza otkriva logičke propuste –
intuitivni pristup zna dovesti do paradoksa. Pažljivijem čitatelju recimo, u prethodnom tekstu je
mogla zasmetati tvrdnja da "svojstava koja zadaju skup može biti i više" – znači li ta tvrdnja, na
primjer, da svojstava može biti beskonačno mnogo? Kako ispitati beskonačno mnogo uvjeta?
Zatim, razumljivo je i potrebno da pomoću postojećih skupova izgrađujemo nove skupove: za
zadani skup S promatrat ćemo primjerice skup svih njegovih podskupova, njegov partitivni skup
P (S ) . Ima li onda smisla definirati skup svih skupova? Paradoks je da onda taj skup kao člana
sadrži i sama sebe.
Otkriće paradoksa u zdravorazumski logičnoj definiciji nečega tako jednostavnog i prirodnog kao
što je skup dovelo je do trenutne apatije u krugovima matematičara: jesu li sami temelji logike
nelogični. Srećom po matematičare, nove generacije matematičara i filozofa aksiomatski su
uredili osnove matematičke logike i teorije skupova, pa su paradoksi izbjegnuti. Srećom po sve
ostale, aksiomatsko zadavanje skupova nije nužno za praćenje pretežnog dijela matematike.
Ni mi se u ovom kolegiju nećemo sustavno baviti aksiomima teorije skupova, upozorit ćemo
samo na osnovne detalje na koje treba paziti kod rada sa skupovima. Intuitivnu teoriju skupova
često nazivaju naivnom teorijom skupova.
2
1.1. Naivna teorija skupova
Skup je intuitivno jasan pojam koji ne definiramo. Skupove obično označavamo velikim, a
njihove elemente malim slovima abecede. Ako skup ne sadrži ni jedan element, kažemo da je
prazni skup i obično ga označavamo znakom φ . Činjenicu da je objekt a element skupa A
zapisujemo a ∈ A . Činjenicu da objekt b nije element skupa A zapisujemo b ∉ A .
Za skup A čiji je svaki element ujedno i element skupa B kažemo da je podskup skupa B , u
oznaci A ⊆ B . U tom je slučaju uobičajeno reći i da je skup B nadskup skupa A , u oznaci
B ⊇ A.
Skup A ćemo smatrati jednakim skupu B ako skup B sadrži sve elemente skupa A i samo
njih. Preciznije, skupovi A i B su jednaki ako vrijede dvije inkluzije, A ⊆ B i B ⊆ A . Ovo
često koristimo u formalnom dokazivanju da su skupovi A i B jednaki. Ako skupovi A i B
nisu jednaki, kažemo da su različiti i pišemo A ≠ B .
Ako je A ⊆ B i A ≠ B , kazat ćemo da je skup A pravi podskup skupa B , u oznaci A ⊂ B , te
da je skup B pravi nadskup skupa A , u oznaci B ⊃ A .
Skup svih podskupova nekog skupa S nazivamo partitivnim skupom skupa S i označavamo
P (S ) (katkad i 2 S ).
Neka su A i B proizvoljni skupovi.
1. Kartezijev produkt skupova A i B definiramo kao skup A × B svih uređenih parova gdje je
prvi član iz skupa A , a drugi član iz skupa B . Precizno, A × B = {(a, b ) : a ∈ A, b ∈ B}.
2. Presjek skupova A i B definiramo kao skup A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}. Za skupove A i B
kažemo da su disjunktni ako je A ∩ B = φ .
3. Uniju skupova A i B definiramo kao skup A ∪ B = {x : x ∈ A ili x ∈ B} .
4. Razliku skupova A i B definiramo kao skup A \ B = {x : x ∈ A i x ∉ B}.
5. Simetričnu razliku skupova A i B definiramo kao skup A∆B = ( A \ B ) ∪ (B \ A) .
6. Ako je U neki skup i A ⊆ U , onda je komplement skupa A (u odnosu na skup U ) skup
A c = U \ A = {x ∈ U : x ∉ A} .
U nekim slučajevima će svi promatrani skupovi biti podskupovi nekog skupa U . Tada ćemo taj
skup U zvati univerzalnim skupom.
3
Presjek, uniju, razliku, simetričnu razliku i komplement nazivamo operacijama sa skupovima.
Primjer Kako otprije znamo, skupove možemo zorno predočavati Venn – Eulerovim
dijagramima:
( A \ B) ∪ ((B \ C) \ A )
B∆( A ∪ C )
Iz slike se vidi da je ( A \ B) ∪ ((B \ C) \ A ) ≠ B∆( A ∪ C ) . Jasno je međutim da slikom ne bismo
mogli dokazati da su dva skupa jednaka. Jednakost dvaju skupova obično dokazujemo formalno,
korištenjem dviju inkluzija.
Ako dva skupa nemaju zajedničkih elemenata, tj. ako vrijedi da je A ∩ B = φ , kažemo da su
disjunktni.
Podsjetimo se: skup prirodnih brojeva {1,2,3, K} označavamo sa . Skup ∪ {0} označavamo s
. Skup racionalnih brojeva
0 . Skup cijelih brojeva {K ,−3,−2,−1,0,1,2,3, K} označavamo sa
m

 : m ∈ , n ∈  označavamo sa
n

kompleksnih brojeva s .
. Skup realnih brojeva označavamo s
, a skup
Zadatak 1. Za n ∈ , n > 2 i neprazne skupove A1 , A2 ,..., An , možemo definirati uređenu n n
torku elemenata skupova A1 , A2 ,..., An , te Kartezijev produkt
∏A
k =1
k
tih skupova. Učinite to.
Zadatak 2. Dokažite, ako je A ⊆ B , onda vrijedi:
a) A ∩ B = A ,
b) A ∪ B = B ,
c) A \ B = φ ,
d) B c ⊆ A c .
Zadatak 3. Dokažimo da iz prethodnog zadatka slijede jednakosti:
a) A ∪ ( A ∩ B ) = A ,
b)
A ∩ (A ∪ B) = A .
4
Zadatak 4. Skupovi A i B zadovoljavaju uvjete:
A ∪ B = {1,2,3,4,K ,9} , A ∩ B = {4,6,9} , A ∪ {3,4,5} = {1,3,4,5,6,8,9}, B ∪ {2,4,8} = {2,4,5,6,7,8,9}.
Odredite skupove A i B .
Teorem 1. (svojstva operacija sa skupovima) Neka je zadan univerzalni skup U i njegovi
podskupovi A , B , C . Vrijedi:
1) idempotentnost operacija presjeka i unije
A∩ A = A
2) komutativnost presjeka i unije
A∩ B = B∩ A
3) asocijativnost operacija presjeka i unije
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
4) distributivnost presjeka prema uniji i obrnuto
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
5) De Morganove formule
( A ∩ B )c = A c ∪ B c
6)
A ∩U = A
7)
A ∩φ = φ
8) svojstva komplementa
A ∩ Ac = φ
9) involutivnost
(A )
c c
10) pravila apsorpcije
A∪ A = A
A∪ B = B∪ A
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
( A ∪ B )c
= Ac ∩ B c
A ∪φ = A
A ∪U = U
A ∪ Ac = U
=A
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
Dokaz: Provodimo ga provjeravajući obje inkluzije.
Važno: operacija razlike skupova može se zgodno karakterizirati pomoću operacija presjeka i
komplementa: A\B = A ∩ B c . Provjerite i zapamtite.
Zadatak 5. Zbog svojstava asocijativnosti unije i presjeka, za proizvoljne skupove A1 , A2 ,..., An
n
možemo definirati njihovu uniju
U Ak i presjek
k =1
n
IA
k
. Učinite to.
k =1
Zadatak 6. Slijedeće identitete dokažite korištenjem a) definicije jednakosti skupova, b) svojstava
operacija sa skupovima.
a) C \ (B \ A ) = ( A ∩ C ) ∪ (C \ B) ,
c) C \ (A ∩ B) = (C \ A ) ∪ (C \ B) ,
b) (B \ A ) ∪ C = (B ∪ C ) \ ( A \ C ) ,
d) A \ B = A∆( A ∩ B ) .
5
Zadatak 7. Neka su A, B, C, D proizvoljni skupovi. Pojednostavnite izraze:
(
)
a) A ∩ A c ∪ B ,
c)
b)
(A ∩ ( A ∪ B ))
c
c
d)
( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ A c ) ,
( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ B c ) ∩ (A c ∪ B ) ∩ ( A c ∪ B c ) .
Zadatak 8. Odredite jesu li sljedeće izjave istinite i pojasnite zašto:
a) 0 ∈ {{0}, φ },
b) {0}∈ {{0}, φ },
d) {{0}, φ } = {{0}},
e) {0} ⊆ {{0},0},
c)
f)
{0} ⊆ {{0}, φ },
{{0}, φ } ⊆ {0}.
Zadatak 9. Odredite vrijedi li jednakost:
( A ∪ (B ∩ C )) \ (B c ∩ C ) = (A \ ((B ∩ C c ) ∪ (B c ∩ C c ))) ∪ (B ∩ C ) .
Zadatak 10. Ispitajte odnose među skupovima:
a) ( A ∪ B ) \ (C ∪ A ) i B \ (A ∪ C ) ,
c) ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) i (B ∩ C ) ∪ A ,
Zadatak 11. Dokažite da vrijedi:
b) ( A \ B ) \ ( A \ C ) i (A ∩ C ) \ B ,
d) ( A ∩ (B ∪ C )) \ B i (A ∩ C ) \ B .
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∩ P (B ) .
Zadatak 12. Ispitajte vrijede li tvrdnje:
a) P ( A ∪ B ) = P ( A) ∪ P (B ) ,
Zadatak 13. Odredite čemu su jednaki sljedeći skupovi:
c) {φ , {φ }} \ φ ,
d) {φ , {φ }} \ {φ } ,
b) P ( A \ B ) = P ( A) \ P (B ) .
a) φ ∩ {φ },
b) {φ } ∩ {φ } ,
e) {φ , {φ }} \ {{φ }} .
Zadatak 14. Neka je skup S = {2, {4,5},4}. Odredite koje su od sljedećih tvrdnji istinite i zašto:
a) {4,5} ⊂ S ,
b) 5 ∈ S , c) {{4,5}} ⊂ S , d) {5}∈ S , e) {5} ⊆ S ,
f) {4} ⊆ S .
Zadatak 15. Neka su zadani skupovi A = {1,2} , B = {{1,2,3}, {1,3},1,2}. Vrijedi li tvrdnja A ∈ B ?
Vrijedi li tvrdnja A ⊆ B ? Odredite skupove A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A .
6
Through the Looking Glass
by
Lewis Carroll
CHAPTER VIII
‘You are sad,’ the Knight said in an anxious tone: ‘let me
sing you a song to comfort you.’ "Is it very long?" Alice
asked, for she had heard a good deal of poetry that day.
"It's long," said the Knight, "but it's very, very beautiful.
Everybody that hears me sing it--either it brings the tears
into their eyes, or else--"
"Or else what?" said Alice, for the Knight had made a
sudden pause.
"Or else it doesn't, you know. The name of the song is
called 'Haddock's Eyes'."
"Oh, that's the name of the song, is it?" Alice said, trying
to feel interested.
"No, you don't understand," the Knight said, looking a
little vexed. "That's what the name is called. The name
really is 'The Aged Aged Man'."
"Then I ought to have said 'That's what the song is called?'" Alice corrected herself.
"No, you oughtn't: that's quite another thing! The song is called 'Ways and Means': but that's only
what it's called, you know!"
"Well, what is the song, then?" said Alice, who was by this time completely bewildered.
"I was coming to that," the Knight said. "The song really is 'A-sitting on a Gate': and the tune's
my own invention."
7
1.2. Pojam funkcije
Neka su D i K neprazni skupovi. Pravilo f koje svakom elementu skupa D pridruži točno
jedan element skupa K naziva se preslikavanje ili funkcija sa skupa D u skup K i kraće
označava f : D → K . Skup D nazivamo područje definicije ili domena funkcije f , a skup K
područje vrijednosti ili kodomena funkcije f .
Ako funkcija f elementu x ∈ D pridruži element y ∈ K , to zapisujemo formulom y = f ( x ) .
Element x nazivamo nezavisna varijabla ili argument funkcije f , a element y zavisna
varijabla funkcije f ili slika elementa x s obzirom na funkciju f .
Funkcije često prikazujemo Venn – Eulerovim dijagramima.
Primjer 1.
Graf funkcije f je skup G f = {( x, f ( x )) : x ∈ D} .
Neka su A ⊆ D i B ⊆ K .
Skup f ( A) = { f ( x ) : x ∈ A} ⊆ K nazivamo slikom skupa A s obzirom na funkciju f .
Skup f −1 (B ) = {x ∈ D : f ( x ) ∈ B} ⊆ D nazivamo praslikom skupa B s obzirom na funkciju f .
Kao i prije, skup f (D ) nazivamo slikom funkcije f i označavamo R( f ) .
Skup svih funkcija sa skupa D u skup K označavat ćemo D → K ili K D .
Zadatak 1. Neka je D = {a, b} , K = {1,2,3} . Venn – Eulerovim dijagramima prikažite sve
elemente skupa D → K .
8
Primjer 2: Koja su od ovih pravila pridruživanja funkcije?
Neka je f : D → K i A ⊂ D . Funkcija g : A → K , takva da je za sve x ∈ A , f ( x ) = g ( x ) , zove
se restrikcija ili ograničenje funkcije f na skup A . U upotrebi je oznaka g = f A . Kažemo i
da je funkcija f proširenje funkcije g na skup D .
9
Neka je f : X → Y i neka su A, B ⊆ X , C , D ⊆ Y . Dokažite da vrijedi:
f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f (B ) ,
f ( A ∩ B ) ⊆ f ( A) ∩ f (B ) i obrat ne vrijedi,
f ( A \ B ) ⊇ f ( A) \ f (B ) i obrat ne vrijedi,
d) f −1 (C ∪ D ) = f −1 (C ) ∪ f −1 (D ) ,
Zadatak 1.
a)
b)
c)
e) f −1 (C ∩ D ) = f −1 (C ) ∩ f −1 (D ) ,
f) f −1 (C \ D ) = f −1 (C ) \ f −1 (D ) .
Neka je f : A → B proizvoljna funkcija. Za funkciju f kažemo da je
– identiteta, ako je A = B i za sve x ∈ A vrijedi f ( x ) = x . Identitetu obično označavamo s
id A ili 1 A .
– konstantna funkcija, ako postoji b ∈ B tako da za sve x ∈ A vrijedi f ( x ) = b .
– niz elemenata skupa B , ako je A = .
Prisjetite se funkcija iz dosadašnjeg matematičkog školovanja: realne funkcije realne varijable,
realne funkcije više varijabli, vjerojatnost, slučajna varijabla, duljina vektora, determinanta,
površina, translacije, rotacije, osne simetrije,… Smislite primjere funkcija iz svakodnevnog
života.
Za funkciju f : D → K kažemo da je surjekcija ako za svaki y ∈ K postoji barem jedan x ∈ D
takav da je f ( x ) = y , tj. Ako je R( f ) = K .
Za funkciju f : D → K kažemo da je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje
različite elemente kodomene, tj. ako za sve x1 , x 2 ∈ D , x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) . Ovo svojstvo
možemo pisati i ovako: za sve x1 , x2 ∈ D , f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 .
Za funkciju f : D → K kažemo da je bijekcija (obostrano jednoznačna ili 1 – 1 funkcija) ako je
injekcija i surjekcija.
Ispitajte jesu li funkcije iz Primjera 1 i Primjera 2 surjekcije, injekcije, bijekcije.
Ako je funkcija f : D → K bijekcija, onda možemo definirati novu funkciju f −1 : K → D ,
tako da za svako y ∈ K stavimo f −1 ( y ) = x ⇔ f ( x ) = y . Funkciju f −1 nazivamo inverznom
funkcijom funkcije f .
Očito vrijedi
∀x ∈ D,
f −1 ( f ( x )) = x ;
∀y ∈ K ,
f ( f −1 ( y )) = y .
10
Zadatak 3 Funkcije f :
→
zadane su izrazima:
 n + 2
 .
c) f (n ) = 
 2 
Ispitajte jesu li ove funkcije bijekcije i ako jesu, odredite im inverzne funkcije.
a) f (n ) = n − 4 ,
b) f (n ) = 3n + 5 ,
Neka su zadane funkcije
f:A → B , g:B → C . Funkcija g o f:A → C
(g o f)(x) = g(f(x)) , za sve x ∈ A naziva se kompozicijom funkcija f i g .
zadana s
Općenito, kompozicija funkcija nije komutativna, g o f ≠ f o g . Međutim je asocijativna, tj. ako
su f:A → B , g:B → C i h : C → D proizvoljne funkcije, vrijedi da je (h o g ) o f = h o ( g o f ) .
Zadatak 4. Neka su f : D → K i g : K → D funkcije. Dokažite tvrdnje:
a) Ako su funkcije f i g surjekcije, onda je i funkcija g o f surjekcija.
b) Ako su funkcije f i g injekcije, onda je i funkcija g o f injekcija.
c) Ako su funkcije f i g bijekcije, onda je i funkcija g o f bijekcija.
Zadatak 5. Ako su f : D → K i g : K → D međusobno inverzne funkcije, dokažite tvrdnje:
a) f o g = id K
b) g o f = id D
Zadatak 6.
(f )
−1 −1
Neka su funkcije f : A → B i g : B → C bijekcije. Dokažite da tada vrijedi
= f i (g o f ) = f
−1
−1
o g −1 .
11
Zadatak 7
Zadane su funkcije f , g : →
a, b, c, d ∈ . Uz koji uvjet će biti g o f = f o g ?
f ( x )) = ax + b , g ( x ) = cx + d , gdje su
,
Zadatak 8. Zadani su skupovi A = [− 2,1 i B = [0,2] , te realne funkcije realne varijable
a) f ( x ) = 2 x − 3 ,
b) f ( x ) = x 2 ,
c) f ( x ) = e x ,
d) f ( x ) =
Izračunajte f ( A) , f (B ) , f −1 ( A) , f −1 (B ) .
x +1
.
x−3
Zadatak 9. Neka su f : A → B i g : B → C funkcije. Dokažite tvrdnje:
a) Ako je funkcija g o f surjekcija, onda je i funkcija g surjekcija. Mora li funkcija f biti
surjekcija?
b) Ako je funkcija g o f injekcija, onda je i funkcija f injekcija. Mora li funkcija g biti
injekcija?
Zadatak 10. Neka je zadana funkcija
f :
→ f(
),
f (x ) =
e x − e−x
. Odredite skup f (
e x + e −x
).
Dokažite da je f bijekcija i odredite joj inverznu fukciju.
Zadatak 11. Za A ≠ φ i proizvoljnu funkciju f : A → A rekurzivno definiramo funkcije
 f , n =1
f n =  n −1
. Neka za neko n ∈ vrijedi da je f n = id A . Dokažite da je funkcija f
f o f , n >1
bijekcija.
Zadatak 12. Neka je X ≠ φ . Za proizvoljni A ⊆ X definiramo funkciju χ A : X → {0,1}
1, x ∈ A
formulom f ( x ) = 
. Funkcija χ A naziva se karakterističnom funkcijom skupa A .
0, x ∉ A
Dokažite da vrijedi
a) χ A∩ B = χ A ⋅ χ B ,
b) χ A∪ B = χ A + χ B − χ A ⋅ χ B ,
c) χ Ac = 1 − χ A ,
d) χ A\ B = χ A − χ A ⋅ χ B .
Zadatak 13. Za neprazni skup A , bijekcija f : A → A se naziva permutacijom skupa A .
Dogovorimo se da permutaciju f skupa A = {a1 , a 2 ,...} pregledno zapišemo matricom
a2
...
 a
1 2 3 4 
A= 1
. Neka je zadan A = {1,2,3,4}. Za permutacije f = 

 i
 4 1 2 3
 f (a1 ) f (a 2 ) ...
1 2 3 4
−1
, odredite f −1 , g −1 i uvjerite se da je ( g o f ) = f −1 o g −1 .
g=

3 2 1 4
12
1.3. Aksiomatska teorija skupova – reference
Generalno, skup zadajemo ispisivanjem njegovih elemenata ili navođenjem svojst(a)va koja ga
potpuno karakteriziraju, A = {a P (a )}. Pokazuje se, međutim da ovaj intuitivno ispravan logički
pristup, dovodi do čitavog niza paradoksa, koji su u početku fundiranja teorije skupova (koncem
19. i početkom 20. stoljeća) uzdrmali same temelje matematike, da bi matematičari nakon toga
razvili nova i suptilna pravila klasifikacije u teoriji skupova i samoj matematičkoj logici.
Neki od povijesno važnih paradoksa vezanih za matematičku logiku i teoriju skupova su:
Russellov paradoks: Neka je S ”kolekcija” svih skupova koji ne sadrže sebe kao svoj element,
S = {A : A ∉ A}. Ako je S skup, postavlja se pitanje: je li S ∈ S ? Ako je S ∈ S , zbog definicije
skupa S slijedi S ∉ S . Ukoliko je međutim S ∉ S , opet bi slijedilo da je S ∈ S . Oboje, međutim,
ne može vrijediti. Zato zaključujemo da S ne može biti skup.
Berryjev paradoks: Promatramo sve prirodne brojeve koje je moguće opisati s manje od trinaest
riječi. Svi ostali prirodni brojevi spadaju dakle u kategoriju brojeva koje nije moguće opisati s
manje od trinaest riječi. Odredimo sada najmanji prirodni broj koji nije moguće opisati s manje
od trinaest riječi. ;-)
Paradoks brijača: Vojnom brijaču je naređeno da brije samo one vojnike u četi koji se ne briju
sami. Problem – ako se ne brije, mora se obrijati, a to ne smije kad se brije sam.
Ovo nas upozorava da bismo trebali biti pažljivi u zadavanju skupova navođenjem svojstava,
pogotovo kada je nejasno da li objekti koje promatramo uopće čine skup (svakako treba
izbjegavati nekritičke formulacije poput: ”skup svih skupova koji…”). Upravo zato, matematičari
katkad umjesto pojma skupa koriste pojam klase (”neka je C klasa svih skupova koji…”).
Većina poznatih paradoksa uglavnom je riješena aksiomatizacijom teorije skupova (postoji više
različitih sistema aksioma, ali je najčešće korištena tzv. ZFC aksiomatika, tj. sistem aksioma
Zermela i Fraenkela, s uvažavanjem tzv. aksioma izbora), tako da, iako još postoje ozbiljni
problemi i nejasnoće, oni se ne tiču goleme većine ”mainstream” matematičkih teorija i
matematičara i rezervirani su samo za istraživače u području matematičke logike.
(U aksiomatici ZFC je problem Russellova paradoksa izbjegnut aksiomom koji kaže: ako je U
skup, a P bilo kakvo svojstvo, onda je A = {a ∈ U P(a )} skup. Jedan drugi aksiom kao posljedicu
ima da skup ne može biti vlastiti element, tj. da za svaki skup A vrijedi A ∉ A , tj. da ”skup svih
skupova” ne postoji). Izlaganje teorije skupova nastavljamo provoditi ”naivno”, a zainteresirane
upućujemo na:
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiomatic_set_theory#Axioms_for_set_theory , te posebno na:
http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel_set_theory.
13
Ne mogu, doduše, odoliti, da vam ne omogućim baciti pogled na aksiome ZFC – teorije (ne skroz
formalno zapisane).
Aksiomi ZFC teorije skupova
1. Aksiom ekstenzionalnosti: Skupovi X i Y su međusobno jednaki, X = Y ako i
samo ako imaju iste elemente.
2. Aksiom praznog skupa: Postoji prazan skup.
3. Aksiom o podskupu: Za svaki skup U i svojstvo P(.) postoji podskup X skupa U
koji se sastoji od onih članova x skupa U za koje vrijedi svojstvo P( x ) .
4. Aksiom unije: Unija X ∪ Y proizvoljnih skupova X i Y je skup.
5. Aksiom partitivnog skupa: Podskupovi proizvoljnog skupa X čine skup (partitivni
skup P ( X ) skupa X ).
6. Aksiom zamjene: Slika f ( X ) skupa X s obzirom na funkciju f : X → Y je skup.
7. Aksiom beskonačnosti: Postoje beskonačni skupovi.
8. Aksiom regularnosti: Svaki neprazni skup X sadrži element disjunktan sa X .
9. Aksiom izbora: Ako je zadano proizvoljno mnogo nepraznih skupova, onda postoji
funkcija koja svakom od tih skupova pridruži jedan njegov element.
U ovom kolegiju se nećemo dalje baviti aksiomima ZFC teorije skupova. Citirao sam ih samo da
vam zadovoljim znatiželju.
Do sada smo govorili o uniji, presjeku i Kartezijevom produktu dva, tri, ili općenito
skupova. Vrijeme je da tu definiciju još proširimo.
n∈
14
Neka je U univerzalan skup i neka su za svako i ∈
( Ai , i ∈ ) ustvari je funkcija
A:
definirani skupovi Ai ⊆ U . Niz skupova
→ P (U ) . Definiramo
U A = {x x ∈ A , za barem jedan i ∈ },
I A = {x x ∈ A , za sve i ∈ },
i
i
i
i
i∈
i∈
te (ukoliko su skupovi Ai neprazni za svako i ∈ ),
∏ A = {(a , a , K) : a ∈ A , za svako i ∈ } = {a :
i
1
2
i
→ U ai ∈ Ai , za svako i ∈
i
i∈
}.
Niz skupova poseban je slučaj familije skupova. Uzmemo li za skup indeksa neki neprazan skup
I, i ako za svako i ∈ I definiramo skupove Ai ⊆ U , funkcija A : I → P (U ) naziva se familijom
skupova i označava ( Ai , i ∈ I ) .
Slično kao i u slučaju niza skupova, definiramo
U A = {x x ∈ A , za barem jedan i ∈ I },
I A = {x x ∈ A , za sve i ∈ I },
i
i
i
i
i∈I
i∈I
te (ukoliko su skupovi Ai neprazni za svako i ∈ I ),
∏ A = {a : I → U a(i ) ∈ A , za svako i ∈ I }.
i
i
i∈I
Uočimo: ako je I = , familija skupova ( Ai , i ∈ I ) je ustvari niz A1 , A2 , A3 ,... skupova. Njen
∞
Kartezijev produkt zapravo je skup
∏ A = {(a , a ,...) a ∈ A , za svako i ∈ I } svih nizova brojeva
i =1
i
1
2
i
i
iz U, kojima je za svako i ∈ , i – ta koordinata iz skupa Ai .
Particija skupa U je svaka familija ( Ai , i ∈ I ) podskupova Ai ⊆ U skupa U , za koju vrijedi:
– skupovi Ai su neprazni,
– skupovi Ai su u parovima disjunktni, tj. Ai ∩ A j = φ za sve i ≠ j ,
–
UA
i
=U .
i∈I
Primjer: Skup prirodnih brojeva može se rastaviti na parne i neparne brojeve, skup cijelih
brojeva na pozitivne cijele, nulu i negativne cijele brojeve. Pokažite da je jedna particija skupa
familija skupova ( n, n + 2], n ∈ ) . Napišite još nekoliko particija poznatih skupova.
15
1.4. Ekvipotentnost skupova
Dva ćemo skupa A i B nazvati ekvipotentnima (jednakobrojnima) i pisati A ~ B , ako postoji
bar jedna bijekcija između njih. Kažemo još da ekvipotentni skupovi imaju isti kardinalni broj.
Kardinalni broj skupa S označavamo sa S ili k (S ) .
Kardinalni broj konačnog skupa poistovjećujemo s brojem elemenata tog skupa. To ima smisla,
jer konačni skupovi su ekvipotentni ako i samo ako imaju jednak broj elemenata. Kardinalni broj
konačnog skupa je dakle broj njegovih elemenata – kardinalni broj praznog skupa je 0, kardinalni
broj skupa {1,5,8} je 3, itd.
Zadatak 1. Odredite kardinalne brojeve skupova: a) X = {x x je slovo u riječi MISSISSIPP I},
{
b) Y = n ∈
}
{
}
: n 2 + n ≤ 100 , c) Z = x ∈ : z 4 = 1, z + 1 − 2i ≤ 2 , d) D = {{φ , {2,3},44}} .
Zadatak 2. Dokažite
1) Svaki je skup ekvipotentan samom sebi.
2) Ako je skup A ekvipotentan skupu B , onda je i skup B ekvipotentan skupu A .
3) Ako je skup A ekvipotentan skupu B , a skup B ekvipotentan skupu C , onda je i
skup A ekvipotentan skupu C .
Zadatak 3. Utvrđivanjem kardinalnog broja konačnih skupova bavi se grana diskretne
matematike koja se zove kombinatorika, i o kojoj ćemo kasnije govoriti opširnije. Do tada,
dokažite
a) Ako je A ∈ i B ∈ , onda je A × B = A ⋅ B .
b) Ako su A1 , A2 ,..., An ∈ , onda je A1 × A2 × K × An = A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ An .
c) Ako je A ∈
d) Ako je A ∈
, onda je P ( A) = 2 .
A
0
i B ∈ , onda je A → B = B A = B
A
.
Ako je beskonačan skup ekvipotentan sa skupom prirodnih brojeva, kažemo da je prebrojiv ili
prebrojivo beskonačan. To posebno znači da mu elemente možemo poredati u niz. Kardinalni
broj prebrojivog skupa S označavamo sa S = ℵ0 (alef nula).
Kardinalne brojeve ćemo uspoređivati po veličini, uzimajući da je
A ≤ B ako i samo ako
postoji injekcija f : A → B .
Zadatak 4. Dokažite: ako je A ⊆ B , onda je A ≤ B .
Teorem 1 (Cantor, Schroeder, Bernstein) Ako postoji injekcija f : A → B i injekcija g : B → A ,
tada postoji bijekcija između A i B . Drugim riječima, ako je A ≤ B i B ≤ A , onda je
A= B.
Zadatak 5. Dokažite da su skupovi
i P = {2n : n ∈
} = {2,4,6,...} ekvipotentni.
16
Zadatak 6. Dokažite da su skupovi 3 = {3n : n ∈
ćete konstruirati bijekciju između njih.
Zadatak 7. Dokažite da su skupovi 3 = {3n : n ∈
ćete konstruirati bijekciju između njih.
}i
}i
2 = {2n : n ∈
} ekvipotentni tako što
5 = {5n : n ∈
} ekvipotentni tako što
Dokazati da je neki skup prebrojiv često se svodi na dokazivanje kako se njegovi elementi mogu
poredati u niz. Tako dokazujemo i naredne tvrdnje:
Teorem 2. Vrijede tvrdnje:
1. Svaki beskonačan podskup prebrojivog skupa je prebrojiv.
2. Ako su skupovi A i B prebrojivi, onda je i skup A ∪ B prebrojiv.
3. Ako su za n ∈ skupovi A1 , A2 ,K , An prebrojivi, onda je i skup A1 ∪ A2 ∪ K ∪ An prebrojiv.
Zadatak 8. Odredite kardinalni broj skupa svih prirodnih brojeva s neparno mnogo znamenaka.
Pokazuje se da su skupovi cijelih brojeva
Da su
i
i racionalnih brojeva
također prebrojivi.
jednakobrojni vidimo konstruirajući bijekciju
Ekvipotentnost
i
tako da elemente skupa
m

=  : m, n ∈  , a nju dokazujemo
n

poredamo u niz pomoću idućeg dijagrama (duplikate ignoriramo):
slijedi iz ekvipotentnosti
+
i
+
17
Postupak korišten u dokazivanju prebrojivosti skupa
možemo koristiti i u dokazima slijedećih tvrdnji:
(tzv. Cantorov dijagonalni postupak)
Teorem 3.
1. Ako su skupovi A i B prebrojivi, onda je i skup A × B prebrojiv.
2. Ako su skupovi A1 , A2 ,K prebrojivi, onda je i skup U An = A1 ∪ A2 ∪ K prebrojiv.
n∈
3. Ako su za n ∈
skupovi A1 , A2 ,K , An prebrojivi, onda je i skup A1 × A2 × K × An prebrojiv.
Što je sa skupom realnih brojeva? Razmjerno je lako dokazati ove rezultate:
Zadatak 9. Neka su a, b, c, d ∈
, a < b , c < d . Dokažite:
a) Otvoreni intervali realnih brojeva a, b i c, d su međusobno ekvipotentni.
b) Otvoreni interval realnih brojeva a, b ekvipotentan je skupu realnih brojeva
.
Intuitivno, razumno bi bilo očekivati da su sve beskonačnosti ”načelno jednake”, tj. da je
kardinalni broj svakog beskonačnog skupa također ℵ0 . To, međutim, nije slučaj, i kada je godine
1873. njemački matematičar Georg Cantor dokazao da skupovi
i
nisu ekvipotentni, u
matematici više ništa nije bilo kao prije.
Teorem 4. Skup realnih brojeva nije prebrojiv.
(Skica dokaza: zbog ekvipotentnosti
između
i
i 0,1 , dovoljno je pokazati da ne postoji bijekcija
0,1 . Za proizvoljnu funkciju (niz) a : → 0,1 , promatrajmo brojeve
a(1), a(2),... ∈ 0,1 . Odaberimo broj b1 ∈ {0,1,...,9} tako da bude različit od prve decimalne
znamenke u a(1) , broj b2 ∈ {0,1,...,9} tako da bude različit od druge decimalne znamenke u a(2) ,
itd. Ako sad definiramo broj x = 0.b1b2 ... ∈ 0,1 , lako se pokazuje da je za svako n ∈ , x ≠ a(n )
i prema tome funkcija a nije surjekcija, pa ne može biti ni bijekcija).
Posljedica: Skup iracionalnih brojeva (tj. realnih brojeva koji nisu racionalni) nije prebrojiv.
Beskonačni skup koji nije prebrojiv nazivamo neprebrojivim.
Stavljamo
= c ( c čitamo: kontinuum).
Zadatak 10. Pokažite da je partitivni skup skupa prirodnih brojeva ekvipotentan skupu realnih
brojeva, tj. P ( ) ~ .
18
Napomena Suprotno vlastitom očekivanju, Cantor je pokazao i da je skup točaka kvadrata
0,1 × 0,1 ekvipotentan skupu točaka intervala 0,1 , a tako je i sa skupom točaka kocke
0,1 × 0,1 × 0,1 . Može se dokazati da je za svako n ∈
tj.
. Ovo naravno znači i da su skupovi
i
n
skup 0,1
n
ekvipotentan skupu 0,1 ,
ekvipotentni za svako n ∈ .
Ali, to nije sve:
Teorem 5 (Osnovni Cantorov teorem) Za svaki skup A vrijedi A < P ( A) .
(Uputa: Dokažite prvo tvrdnju: Neka je A neprazan skup i neka je funkcija f : A → P ( A) .
Definirajmo skup Z = {s ∈ A : s ∉ f (s )} . Tada ne postoji z ∈ A takvo da je Z = f ( z ) .)
Posljedica: Zbog toga je
= ℵ0 < P (
)=
=c< P(
Navedimo bez dokaza i da vrijedi: Ako su skupovi
) < P (P ( )) < K
A1 , A2 ,K , An
A1 ∪ A2 ∪ K ∪ An = A1 × A2 × K × An = max { A1 , A2 , K , An } .
beskonačni, onda je
Teorem 6. Ako je A beskonačan skup, a K njegov konačan podskup, onda su skupovi A i
A \ K ekvipotentni.
(Skica dokaza)
19
Posljedica ovog teorema je ova karakterizacija beskonačnih skupova:
Teorem 7 Skup je beskonačan ako i samo je ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom.
Zadatak 11.
ekvipotentni.
Dokažite da su za a, b ∈
, a ≠ b , intervali realnih brojeva
a, b
i [a, b]
Zadatak 12. Odredite kardinalni broj skupa svih aritmetičkih nizova cijelih brojeva.
Zadatak 13. Odredite kardinalni broj skupa svih konačnih nizova cijelih brojeva.
Zadatak 14. Realni broj nazivamo algebarskim ako je nultočka nekog polinoma stupnja n ∈ s
cjelobrojnim koeficijentima. Pokažite da je skup svih algebarskih brojeva (tj. skup svih nultočki
svih polinoma stupnja n ∈ s cjelobrojnim koeficijentima) prebrojiv skup.
Zadatak 15. Realni brojevi koji nisu algebarski, nazivaju se transcendentni. Pokažite da je skup
transcendentnih brojeva neprebrojiv.
Zadatak 16. Kompjutorski program (u nekom simboličkom jeziku) je konačan niz simbola nekog
konačnog alfabeta. Dokažite da je skup svih kompjuterskih programa tog simboličkog jezika
prebrojiv.
Zadatak 17. Pokažite da je skup svih funkcija f : → {0,1,2,...,9} neprebrojiv.
Zadatak 18. Funkciju f : → nazovimo izračunjivom, ako postoji kompjuterski program koji
računa njene vrijednosti. Pokažite da postoje funkcije koje nisu izračunjive.
Zadatak 19. Odredite kardinalni broj skupa svih kvadratnih realnih matrica reda 2, čije je
determinanta jednaka 1.
Zadatak 20. Odredite kardinalni broj skupa svih simetričnih realnih matrica reda 2. (Kvadratna
matrica je simetrična ako je AT = A ).
Zadatak 21. Obrazložite je li skup svih polinoma stupnja ne većeg od 2, s koeficijentima iz skupa
prebrojiv ili neprebrojiv.
Zadatak 22. Odredite kardinalni broj skupa svih elemenata segmenta [0,1] koji u zapisu nemaju
znamenku 2.
Zadatak 23. Odredite kardinalni broj skupa svih zatvorenih segmenata realnih brojeva, čija je
duljina racionalan broj.
Zadatak 24. Odredite kardinalni broj: a) skupa svih otvorenih podskupova skupa , b) skupa
svih zatvorenih podskupova skupa , c) skupa svih podskupova skupa
koji nisu ni otvoreni ni
zatvoreni skupovi.
20
2. Uvod u matematičku logiku
U ovom poglavlju cilj nam je upoznati se s najosnovnijim pojmovima matematičke logike.
Matematička logika proučava principe ispravnog zaključivanja. Uvodi formalizirani simbolički
račun za jezgrovit zapis tvrdnji kojima se služimo u matematici, ali i drugim znanostima, te u
svakodnevnom životu. Konačno, razvija tehnike argumentiranog izvođenja (dokazivanja),
pokušavajući sagledati njihova ograničenja i domete. Matematička logika danas predstavlja i
teorijsku osnovu računarstva.
2.1. Račun sudova
Sud (iskaz) je svaka suvisla izjavna rečenica kojoj možemo utvrditi je li istinita ili lažna. Sud ne
može biti istovremeno istinit i lažan.
Sudove kraće označavamo slovima abecede.
Svakom sudu A pridružujemo vrijednost istinitosti τ ( A) = T , ako je istinit, a τ ( A) =⊥ , ako je
lažan.
Primjer 1. a) Jedan plus dva je jednako tri. (Istinit sud.)
b) Dva plus tri je jednako osam. (Lažan sud.)
c) Svi Francuzi nose brkove. (Lažan sud.)
d) Postoji bar jedan prirodan broj manji od 100. (Istinit sud.)
e) x plus pet je jednako devet. (Nije sud.)
f) Što ima za ručak? (Nije sud.)
g) Ova je rečenica neistinita. (Nije sud.)
h) Blaing bloing blipi blup. (Nije sud.)
i) Solin je djeljiv brojem pet s ostatkom dva. (Nije sud.)
j) Broj dva nije velik broj. (Nije sud.)
Kao i u svakodnevnom jeziku, sudove (rečenice) možemo negirati i povezivati veznicima, kako
bismo dobili složenije. Tako dolazimo do osnovnih logičkih (Booleovih) operacija pomoću kojih
iz jednostavnijih dobivamo složenije sudove.
Booleove operacije sa sudovima definiraju se pomoću tablica istinitosti (ili semantičkih tablica).
21
Negacija suda A je sud kojeg označavamo ¬A i čitamo "ne A " ili "non A ". Sud ¬A je istinit
samo ako je sud A lažan (i obrnuto). Pripadna tablica istinitosti je:
A
T
⊥
¬A
⊥
T
Konjunkcija sudova A i B je sud kojeg označavamo A ∧ B i čitamo " A i B ". Sud A ∧ B je
istinit samo ako su oba suda A i B istiniti. Pregledno,
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A∧ B
T
⊥
⊥
⊥
Disjunkcija (ili inkluzivna disjunkcija) sudova A i B je sud kojeg označavamo A ∨ B i čitamo
" A ili B ". Sud A ∨ B je lažan samo ako su oba suda A i B lažni. Pregledno,
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A∨ B
T
T
T
⊥
Implikacija sudova A i B je sud kojeg označavamo A ⇒ B i čitamo " A povlači B " ("ako je
A , onda je B "). Sud A ⇒ B je lažan samo ako je sud A istinit, a sud B lažan. Pregledno,
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A⇒ B
T
⊥
T
T
Ekvivalencija sudova A i B je sud kojeg označavamo A ⇔ B i čitamo " A je ekvivalentno
B " (" A je onda i samo onda kad je B ", " A je nužan i dovoljan uvjet za B "). Sud A ⇔ B je
istinit samo ako oba suda A i B imaju istu vrijednost istinitosti. Pregledno,
22
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A⇔ B
T
⊥
⊥
T
Uočite, negacija je unarna logička operacija (odnosi se na jedan sud), a ostale navedene su
binarne logičke operacije sa sudovima (odnose se na dva suda).
Kombiniranjem ovih logičkih operacija nastaju formule računa sudova (složeni sudovi).
Formalnije, neka je S1 = {A1 , A2 ,K} prebrojiv skup simbola, čije elemente nazivamo
propozicionalne varijable, neka je S 2 = {¬,∧,∨, ⇒, ⇔} skup logičkih veznika i neka je
S 3 = {), (} skup pomoćnih simbola (zagrada). Skup S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 nazivamo alfabet računa
sudova.
Formule računa sudova su riječi koje gradimo korištenjem alfabeta računa sudova. Naravno, u
građenju formula računa sudova iz simbola služimo se nekim pravilima: riječ A ⇒)) neće biti
formula. Tri su pravila za izgradnju formula računa sudova:
1. Svaka propoziciona varijabla je formula (tzv. atomarna formula).
2. Ako su p i q formule, onda su i riječi (¬p ) , ( p ∧ q ) , ( p ∨ q ) , ( p ⇒ q ) i ( p ⇔ q )
također formule.
3. Riječ alfabeta S je formula računa sudova ako i samo ako je nastala primjenom pravila 1.
i 2. u konačno mnogo koraka.
Svaku funkciju I : S1 → {T, ⊥} nazivamo interpretacijom. Tablica istinitosti neke logičke
formule predstavlja pregledan zapis njene istinitosti za svaku interpretaciju.
Kako bismo pojednostavnili pisanje, uvodimo prioritet logičkih operacija, smatrajući da najveću
snagu vezivanja ima ¬ , zatim ∧ , nakon njega ∨ i na kraju (iste snage) ⇒ i ⇔ . To nam
omogućuje da npr. umjesto (((¬A) ∧ B ) ⇒ C ) kraće pišemo ¬A ∧ B ⇒ C .
Za dvije formule p i q računa sudova kažemo da su logički ekvivalentne i pišemo p ≡ q ako
barataju istim varijablama i imaju istu tablicu istinitosti (za jednaku kombinaciju ulaza, daju iste
vrijednosti na izlazu). Formalno govoreći, formule p i q logički su ekvivalentne ako za svaku
interpretaciju I vrijedi da je I ( p ) = I (q ) .
23
Logičke operacije ¬,∧,∨, ⇒, ⇔ nisu jedine koje imaju svoje ime i simbol. Spomenut ćemo još tri
binarne logičke operacije.
Ekskluzivna disjunkcija sudova A i B je sud kojeg označavamo A∨B . Sud A∨B je istinit
ako je jedan od sudova A i B istinit, ali ne oba. Pregledno,
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A∨B
⊥
T
T
⊥
Shefferovom operacijom (NI, NAND) na sudovima A i B dobivamo sud kojeg označavamo
A ↑ B . Kao što joj ime kaže, A ↑ B ≡ ¬( A ∧ B ) . Pregledno,
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A↑ B
⊥
T
T
T
Lukasiewiczevom operacijom (NILI, NOR) od sudova A i B dobivamo sud A ↓ B . Vrijedi
A ↓ B ≡ ¬( A ∨ B ) . Pregledno,
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A↓ B
⊥
⊥
⊥
T
Zadatak 1. Koristeći tablice istinitosti, ispišite sve unarne i sve binarne operacije sa sudovima.
Zadatak 2. Neka su A, B, C sudovi zadani ovako:
AK Trokut (PQR ) je jednakokračan.
B K Trokut (PQR ) je jednakostraničan.
C K U trokutu (PQR ) su svi unutrašnji kutevi međusobno jednaki.
Iskažite sudove A ⇒ B , B ⇒ A , B ⇔ C , ( A ∧ C ) ⇒ B i ispitajte njihovu istinitost.
24
Zadatak 3. Konstruirajte tablice istinitosti za ove složene sudove:
a) A ⇒ A ∨ ( A ∧ B ) ,
e) A ∧ ( A ⇒ B ) ⇒ B ,
b) A ⇒ (B ⇒ C ) ,
f) A ∧ B ⇒ A ,
c) ( A ⇒ B ) ⇒ C ,
g) B ⇔ ¬A ∨ ¬B ,
d) ( A ⇒ B ) ⇒ (B ⇒ C ) ,
h) ( A ∨ (¬B ∧ C )) ⇒ D .
Vrijeme je da popišemo osnovna svojstva operacija ¬,∧,∨ , ⇒, ⇔ . Ovo će nam pomoći da lakše
baratamo formulama i kraće ih zapisujemo.
Teorem 1. Neka su A, B, C sudovi. Vrijedi:
1) idempotentnost konjunkcije i disjunkcije
A∧ A ≡ A
2) komutativnost konjunkcije i disjunkcije
A∧ B ≡ B∧ A
3) asocijativnost konjunkcije i disjunkcije
( A ∧ B ) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C )
4) distributivnost konjunkcije prema disjunkciji i obrnuto
A ∧ (B ∨ C ) ≡ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )
5) De Morganove formule
¬( A ∧ B ) ≡ ¬A ∨ ¬B
6)
A∧T ≡ A
7)
A∧ ⊥≡⊥
8) komplementarnost
A ∧ ¬A ≡⊥
9) pravilo dvostruke negacije
¬(¬A) ≡ A
10) pravila apsorpcije
A ∧ (A ∨ B) ≡ A
A∨ A ≡ A
A∨ B ≡ B∨ A
( A ∨ B ) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C )
A ∨ (B ∧ C ) ≡ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C )
¬( A ∨ B ) ≡ ¬A ∧ ¬B
A∨ ⊥≡ A
A∨ T ≡ T
A ∨ ¬A ≡ T
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
Zadatak 4. Dokažite teorem korištenjem tablica istinitosti.
Napomena Zbog svojstava asocijativnosti konjunkcije i disjunkcije, opravdano je u izrazima
oblika ( A ∧ B ) ∧ C ili ( A ∨ B ) ∨ C izostaviti zagrade. Iz istog razloga za sudove A1 , A2 ,K, An
n
n
i =1
i =1
možemo pisati A1 ∧ A2 ∧ K ∧ An ≡ ∧ Ai , te A1 ∨ A2 ∨ K ∨ An ≡ ∨ Ai .
Operacije implikacije i ekvivalencije također možemo opisati korištenjem negacije, konjunkcije i
disjunkcije. Vrijedi (provjerite korištenjem tablica istinitosti ili Teorema 1 i zapamtite):
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B
A∨B ≡ ¬( A ⇔ B )
¬( A ⇒ B ) ≡ A ∧ ¬B
A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A
A ⇔ B ≡ ( A ⇒ B ) ∧ (B ⇒ A)
¬( A ⇔ B ) ≡ ¬A ⇔ B
25
Zadatak 5. Provjerite, služeći se tablicama istinitosti ili svojstvima Booleovih operacija iz
Teorema 1 vrijede li tvrdnje:
a) A ∧ ¬( A ∧ ¬B ) ≡ A ∧ B , b) ¬A ⇔ B ≡ A ⇔ ¬B , c) A ⇒ (B ∧ C ) ≡ ( A ⇒ B ) ∧ ( A ⇒ C ) ,
d) A ∧ ¬(B ∧ C ) ≡ ¬( A ⇒ B ) ∨ ( A ∧ ¬C ) ,
e) A ∧ (B ∨ (C ∧ D )) ≡ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ∧ D ) ,
f) ¬( A ⇒ B ) ≡ ¬A ⇒ ¬B , g) ( A ∧ B ) ⇒ C ≡ ( A ⇒ C ) ∨ (B ⇒ C ) , h) ( A ∨ B ) ∧ C ≡ A ∨ (B ∧ C ) .
Zadatak 6. Sudovi vezani uz sud A ⇒ B :
– Sud B ⇒ A nazivamo obratom suda A ⇒ B .
– Sud ¬A ⇒ ¬B nazivamo inverz ili suprotni sud suda A ⇒ B .
– Sud ¬B ⇒ ¬A nazivamo kontrapozicija suda A ⇒ B .
Napišite obrat, inverz i kontrapoziciju suda:
a) Ako pada kiša, onda su ulice mokre.
b) Ako je četverokut (PQRS ) kvadrat, onda je četverokut (PQRS ) pravokutnik.
Uvjerite se još jednom da je A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A , B ⇒ A ≡ ¬A ⇒ ¬B .
Zadatak 7. Prema tome, u kakvoj su vezi sudovi na Grunfovoj majici?
Analogno unarnim i binarnim, za n ∈ možemo definirati i n – arne logičke operacije sa
sudovima f ( A1 , A2 , K, An ) . Očito je da postoje samo četiri unarne operacije sa sudovima, samo
n
šesnaest binarnih i samo 2 2 n – arnih logičkih operacija sa sudovima.
26
Logičke operacije možemo zadavati na dva načina: navođenjem njihove tablice istinitosti, ili
zapisivanjem u obliku neke formule računa sudova. Svaka se logička operacija tako može
zapisati korištenjem osnovnih logičkih operacija ¬,∧,∨, ⇒, ⇔ . Naravno, kako je operacije
⇒, ⇔ moguće prikazati pomoću operacija ¬,∧,∨ , izlazi da je svaku logičku operaciju moguće
izraziti preko ¬,∧,∨ .
Sustav izvodnica (generatora) računa sudova je skup Booleovih operacija računa sudova (s
proizvoljnim brojem varijabli) pomoću kojih se može prikazati bilo koja formula računa sudova.
Od interesa su baze računa sudova – minimalni sustavi izvodnica računa sudova, tj. sustavi
izvodnica čiji nikoji pravi podskup više nije sistem izvodnica. Očito je {∧,∨, ¬} sustav izvodnica
računa sudova, ali nije baza, jer su sustavi izvodnica i skupovi {∧, ¬} , {∨, ¬}. Pokažite da su ta
dva skupa baze. Može se pokazati da su {↑} i {↓} također baze računa sudova.
Zadatak 8. Dokažimo to.
Zadatak 9. Binarna logička operacija ⊗ zadana je tablicom istinitosti
A
T
T
⊥
⊥
B
T
⊥
T
⊥
A⊗B
⊥
T
⊥
⊥
Dokažite da je skup {¬,⊗} sustav izvodnica računa sudova.
Zadatak 10. Zadan je skup {∨, ⇔, ∨}. Dokažite da je taj skup sustav izvodnica računa sudova. Je
li i baza? Pomoću operacija iz skupa, prikažite formulu ( A ⇒ B ) ↑ (B ⇒ A) .
Za neku formulu p računa sudova kažemo da je tautologija i pišemo = A ako je identički
istinita, tj. p ≡ T . Ako je formula p računa sudova identički lažna, tj. p ≡⊥ , kažemo da je
kontradikcija.
Uvjerite se u ove činjenice:
1. Formula p je tautologija onda i samo onda ako je ¬p kontradikcija.
2. Za dvije formule p , q računa sudova vrijedi da je p ≡ q onda i samo onda ako je
p ⇔ q tautologija.
Kaže se da tautologije odražavaju zakonitosti ljudskog mišljenja (zaključivanja).
27
Tautologija ima beskonačno mnogo (dokažite to!). Osnovne tautologije kojima se obično
služimo:
a) zakon isključenja trećeg
= A ∨ ¬A
b) pravilo silogizma (pravilo tranzitivnosti
implikacije)
c) zakon neproturječnosti
=( A ⇒ B ) ∧ ( B ⇒ C ) ⇒ ( A ⇒ C )
d) zakon dvostruke negacije
=¬(¬A) ⇔ A
=¬( A ∧ ¬A)
=( A ⇒ B ) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
e) pravilo kontrapozicije
= A ∧ (A ∨ B) ⇔ A
f) zakoni apsorpcije (upijanja)
= A ∨ (A ∧ B) ⇔ A
= A ∧ (A ⇒ B) ⇒ B
g) pravilo modus ponens
=( A ⇒ B ) ∧ ¬B ⇒ ¬A
h) pravilo modus tollens
i) pravilo disjunktivnog hipotetskog silogizma
=( A ∨ B ) ∧ ¬B ⇒ A
=(¬A ⇒⊥ ) ⇒ A
j) pravilo kontradikcije
Zadatak 11. Dokažite da se zaista radi o tautologijama. Za svako od pravila, smislite primjere koji
ga ilustriraju.
Zadatak 12. Ispitajte jesu li iduće formule tautologije:
a) A ⇒ ( A ∨ B ) , b) (¬( A ⇒ B ) ∧ (C ⇔ D )) ⇒ (E ⇒ F ) , c) A ⇒ (B ∧ (C ∨ D )) , d) A ⇒ (B ⇒ A) ,
e) ( A ⇒ (B ⇒ C )) ⇒ (( A ⇒ B ) ⇒ ( A ⇒ C )) ,
f) [( A ⇒ B ) ∧ (C ⇒ B )] ⇔ [( A ∨ C ) ⇒ B ] ,
g) (( A ∧ ¬B ) ⇒ B ) ⇒ ( A ⇒ B ) , h) [A ⇒ (B ⇒ C )] ⇔ [( A ∧ B ) ⇒ C ] .
2.2. Booleova algebra
Pažljivijim razmatranjem, uočavamo sličnosti operacija računa sudova i skupovnih operacija
teorije skupova, kao i njihovih svojstava. U jednom slučaju radimo sa sudovima, u drugom sa
skupovima. U oba slučaja, definiramo tri osnovne operacije, jednu unarnu i dvije binarne, koje se
vrlo slično ponašaju.
Skupovi
Sudovi
Ac
¬A
A∩ B
A∧ B
A∪ B
A∨ B
A∆B
A∨B
U
T
φ
⊥
Naslućujemo da su račun sudova i teorija skupova manifestacije istih apstraktnih principa, koje
ćemo sada pokušati definirati.
28
Neka je B skup u kojem su istaknuta dva različita elementa, jedan kojeg nazivamo "nula" i
označavamo 0 i drugi kojeg nazivamo "jedinica" i označavamo 1 . Neka su zadane tri operacije
na B , jedna unarna, tzv. "komplementiranje", : B → B i dvije binarne, "množenje"
⋅ : B × B → B i "zbrajanje" + : B × B → B . Skup B s ove tri operacije naziva se Booleova
algebra i označava B, ,⋅,+,0,1 , ako su zadovoljena ova svojstva:
(
)
1) idempotentnost množenja i zbrajanja
a⋅a = a
2) komutativnost množenja i zbrajanja
a ⋅b = b⋅a
3) asocijativnost množenja i zbrajanja
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
4) distributivnost množenja prema zbrajanju i obrnuto
a ⋅ (b + c ) = (a ⋅ b ) + (a ⋅ c )
5) De Morganove formule
(a ⋅ b ) = a + b
6)
a ⋅1 = a
7)
a⋅0 = 0
8) komplementarnost
a⋅a = 0
9) involutivnost
a+a =a
a+b = b+a
(a + b ) + c = a + (b + c )
a + (b ⋅ c ) = (a + b ) ⋅ (a + c )
(a + b ) = a ⋅ b
a+0=a
a +1 = 1
a + a =1
a=a
10) pravila apsorpcije
a ⋅ (a + b ) = a
a + (a ⋅ b ) = a
Napomena Karakteristična je za Booleovu algebru dualnost operacija zbrajanja i množenja: ako
u gornjim formulama zamijenimo ⋅ ↔ + i 1 ↔ 0 dobivamo nove ispravne formule. Može se
pokazati da bi u definiciji Booleove algebre bilo dovoljno zahtijevati da vrijede svojstva 2,4,6 i 8,
jer ostala svojstva slijede iz njih.
Zadatak 1. Pokušajte za vježbu provjeriti da se svojstva 1,3,5,7,9,10 zaista mogu izvesti iz
svojstava 2,4,6,8.
Zadatak 2. U svakoj Booleovoj algebri može postojati samo jedna nula i samo jedna jedinica.
Dokažite to.
6)
2)
6)
Uputa: Pretpostavimo da postoje 01 i 0 2 . Tada bi vrijedilo 01 = 01 + 0 2 = 0 2 + 01 = 0 2 . Slično, kad
6)
2)
6)
bi postojali 11 i 12 , imali bismo 11 =11 ⋅ 12 =12 ⋅ 11 = 12 .
Zadatak 3. Izračunajte koliko je 1 + 1 , 1 + 0 , 0 + 0 , 0 ⋅ 0 , 0 ⋅ 1 , 1 ⋅1 , 0 , 1 .
8)
5)
8)
Uputa: Pokažimo na primjer da vrijedi 0 = 1 . Naime, imamo 0 =1 ⋅ 1 = 1 + 1 =1 .
29
Najjednostavniji primjer Booleove algebre je
(
)
({T, ⊥}, ¬,∧,∨, ⊥, T ) . Nadalje, ako je
S neprazan
skup, P (S ), ,∩,∪, φ , S je Booleova algebra. Ako sa S označimo skup sudova koje je moguće
izreći na našem jeziku ( S je prebrojiv), skup (S , ¬,∧,∨, ⊥, T ) je također Booleova algebra.
Primjer Booleove algebre je i algebra elektronskih sklopova.
c
(
Za dvije Booleove algebre B1 , ,⋅,+,01 ,11
) i (B ,
,⊗,⊕,0 2 ,12
2
)
kažemo da su izomorfne, ako
()
postoji bijekcija f : B1 → B2 tako da za sve a, b ∈ B1 vrijedi f (a ⋅ b ) = f (a ) ⊗ f (b ) i f a = f (a ) .
Bijekcija f tada se naziva izomorfizmom Booleovih algebri.
Zadatak 4. Provjerite da će u tom slučaju vrijediti f (a + b ) = f (a ) ⊕ f (b ) , f (01 ) = 0 2 , f (11 ) = 12 .
( ) ( ) () ()
5)
5)
Uputa: f (a + b ) = f a ⋅ b = f a ⋅ b = f a ⊗ f b = f (a ) ⊗ f (b ) = f (a ) ⊕ f (b ) . Da bismo dokazali
8)
(
)
( )
8)
drugu jednakost, uzmimo f (01 ) = f 01 ⋅ 01 = f (01 ) ⊗ f 01 = f (01 ) ⊗ f (01 ) = 0 2 .
Zadatak 5. Neka je B skup svih prirodnih djelitelja broja 30, B = {1,2,3,5,6,10,15,30} .
Definirajmo za sve a, b ∈ B operacije množenja a ⋅ b = Nzm(a, b ) , zbrajanja a + b = nzv(a, b ) i
30
komplementiranja a =
. Očito je B, ,⋅,+,1,30 Booleova algebra. Za tročlani skup S = {x, y, z}
a
promatrajmo Booleovu algebru P (S ), c ,∩,∪, φ , S . Pokažite da su ove dvije Booleove algebre
izomorfne tako što ćete konstruirati jedan izomorfizam između njih.
(
(
)
)
Napomena Moglo bi se pokazati da je svaka konačna Booleova algebra izomorfna nekoj
Booleovoj algebri skupova P (S ),c ,∩,∪, φ , S .
(
(
)
)
(
)
(B , ,⋅,+,0,1) podalgebra Booleove algebre
Ako je B, ,⋅,+,0,1 Booleova algebra i ako je za neko B1 ⊆ B , B1 , ,⋅,+,0,1 također Booleova
algebra (s obzirom na iste operacije), kažemo da je
(B,
)
1
,⋅,+,0,1 .
(
(B , ,⋅,+,0,1)
)
Zadatak 6. Neka je B, ,⋅,+,0,1 Booleova algebra i B1 ⊆ B . Pokažite da je da bismo dokazali
kako je
1
podalgebra Booleove algebre
(B,
)
,⋅,+,0,1 dovoljno za sve a, b ∈ B1
provjeriti uvjete a ⋅ b ∈ B1 i a ∈ B1 .
(
)
Zadatak 7. Neka je B, ,⋅,+,0,1 Booleova algebra. Provjerite da je
podalgebra.
(
)
({0,1},
)
,⋅,+,0,1 jedna njena
Zadatak 8. Neka je B = {1,2,3,5,6,10,15,30} i B, ,⋅,+,1,30 Booleova algebra opisana u Zadatku 4.
(
)
(
)
Ako je B1 = {1,2,15,30} , pokažite da je B1 , ,⋅,+,1,30 podalgebra Booleove algebre B, ,⋅,+,1,30 .
30
Zadatak 9. Neka su x, y elementi Booleove algebre sa svojstvom x + y = y . Pokažite da je
xy = 0 . Ako je y ≠ 0 , mora li biti x = 0 ? Obrazložite odgovor.
Uputa: Jednakost x + y = y pomnožimo s y da dobijemo xy + yy = yy , odakle je xy = 0 . Ako
je y ≠ 0 , ne mora vrijediti x = 0 : uzmimo za primjer algebru skupova u kojoj su x i y neprazni,
disjunktni skupovi.
Zadatak 10. Neka su x, y elementi Booleove algebre sa svojstvom x + y = y . Pokažite da je tada
xy = x .
10 )
Uputa: Zbog jednakosti x + y = y je xy = x( x + y ) = x .
(
)(
)(
)
Zadatak 11. U apstraktnoj Booleovoj algebri minimizirajte izraz a + bc a + b ab + cba .
(
)
Neka je B = {0,1} i B, ,⋅,+,0,1 pripadna dvočlana Booleova algebra. Booleova funkcija n
varijabli ( n – arna Booleova operacija) je bilo koja funkcija F : B n → B . Svaku Booleovu
funkciju pregledno možemo zadati tablicom svih kombinacija nula i jedinica ("ulaza") i
n
vrijednosti funkcije ("izlaza"). Očito je broj svih mogućih Booleovih funkcija n varijabli 2 2 . U
slijedećem teoremu pokazat ćemo kako se svaka Booleova funkcija može napisati u standardnom
obliku korištenje operacija ,⋅,+ .
Teorem 1.
Neka je B = {0,1} i F : B n → B Booleova funkcija n
varijabli . Za
(x1 , x2 , K , xn ) ∈ B uvedimo formalne oznake, xi = xi , xi = xi . Promotrimo skupove
J = {( x1 , x2 , K , xn ) ∈ B n : F ( x1 , x2 , K , xn ) = 1} i K = {( x1 , x2 ,K, xn ) ∈ B n : F ( x1 , x2 ,K, xn ) = 0}.
0
n
Vrijedi F ( x1 , x2 ,K, xn ) =
F ( x1 , x2 ,K, xn ) =
∑ x)
e1
1
(e1 ,e2 ,K,en ∈J
∏ ()x
e1
1
(e1 ,e2 ,K,en ∈K
e
x2 2 K xn
en
(tzv. disjunktivna normalna forma za F ),
+ x2 2 + K + xn
e
1
en
) (tzv. konjunktivna normalna forma za F ).
Primjer Neka je B = {0,1} i F : B 3 → B Booleova funkcija zadana tablicom:
x1
1
1
1
1
0
0
0
0
x2
1
1
0
0
1
1
0
0
x3
1
0
1
0
1
0
1
0
F ( x1 , x2 , x3 )
0
1
1
0
0
0
0
1
31
Uvjerite se da je u disjunktivnoj normalnoj formi
(
)(
F ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 , a u
)(
)(
)(
)
konjunktivnoj F ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 .
Zadatak 12. Odredite disjunktivnu i konjunktivnu normalnu formu Booleove funkcije F koja za
ulazne varijable a, b, c na izlazu daje 1 ako je (ab )2 + (bc )2 = (abc )2 , a 0 inače.
Zadatak 13. Odredite disjunktivnu i konjunktivnu normalnu formu Booleove funkcije F koja će
a b 
za ulazne varijable a, b, c, d na izlazu dati 1 ako je 
 regularna matrica, a 0 inače.
c d 
Zadatak 14. Odredite disjunktivnu i konjunktivnu normalnu formu Booleove funkcije F koja za
ulazne varijable a, b, c, d na izlazu daje 1 ako vrijedi (ab )2 = (cd )2 , a 0 inače.
Zadatak 15. Odredite disjunktivnu i konjunktivnu normalnu formu Booleove funkcije
F (a, b, c, d ) koja na izlazu daje 1 ako je broj (abcd )2 + (bcda )2 + (cdab )2 + (dabc )2 djeljiv sa 6, a
nije djeljiv sa 9, a 0 inače.
Često će nas zanimati minimizacija logičkih formula, radi kratkoće, ali i u cilju štednje na
komponentama (ukoliko se Booleove funkcije fizički – sklopovski projektiraju). U minimizaciji
konjunktivnih i disjunktivnih formi informatičari se katkad služe Karnaughovim dijagramima.
Zadatak 16. Odredite Booleovu funkciju koja za n – bitni ulaz (a1 , a 2 ,K , a n ) na izlazu daje 0
ako su svi ulazi jednaki, a 1 inače. Minimizirajte broj operacija od F .
Zadatak 17. Odredite Booleovu funkciju F (a, b, c, d ) koja na izlazu daje 1 ako je broj
n = (abcd )2 + (badc )2 + (cbda )2 + (dbac )2 neparan, a 0 ako je paran. Minimizirajte broj operacija
od F .
Zadatak 18. Zadana je ternarna logička operacija
(
)
( A, B, C )* = A ∧ B ∨ C .
Odredite tablicu
istinitosti za formulu ( A, B, A) , B ⇒ C , ¬C . Nađite joj disjunktivnu i konjunktivnu normalnu
formu. Minimizirajte izraz.
*
*
Napomena Pretpostavimo da F : B n → B Booleova funkcija nije zadana tablicom, nego skupom
svojstava. Tada može biti od interesa obrnuti problem, tzv. problem ispunjivosti, tj. odrediti
postoji li neka kombinacija ( x1 , x2 , K , xn ) ∈ B n tako da je F ( x1 , x2 ,K, xn ) = 1 . Ovakvi se
problemi često pojavljuju u zabavnoj matematici.
32
Zadatak 19. Policija traži maskiranog provalnika. U toku istrage ispitano je 5 sumnjivaca: Ante,
Branko, Cvito, Damir i Edo. Poznato je da je svaki od njih u iskazu jednom slagao i jednom
rekao istinu.
Ante: To nije učinio Edo. To je učinio Branko.
Branko: To nije učinio Cvito. To nije učinio Damir.
Cvito: To je učinio Edo. To nije učinio Ante.
Damir: To je učinio Cvito. To je učinio Branko.
Edo: To je učinio Damir. To nije učinio Ante.
Tko je bio maskirani provalnik?
2.3. Predikatska logika prvog reda
U matematici je vrlo važno znati se služiti tehnikama izvođenja (dokazivanja) formula iz drugih
formula, pa ćemo ostatak ovog poglavlja posvetiti toj temi.
Pretpostavimo da su F1 , F2 ,K Fn formule logike sudova. Reći ćemo da je formula F logike
sudova logička posljedica formula F1 , F2 , K , Fn i pisati F1 , F2 ,K, Fn = F ako je formula
F1 ∧ F2 ∧ K ∧ Fn ⇒ F tautologija.
Zadatak 1. Ispitajte vrijedi li:
a) p, ¬r = (q ⇒ (r ⇒ ¬p )) ,
d) p ⇒ q, p ⇒ ¬q = ¬p ,
b) p, q ⇔ r = (q ⇒ (r ⇒ ¬p )) ,
e) p ∨ q, ¬q ∨ r = p ∨ r ,
c) p ∨ q = (( p ⇒ q ) ⇒ q ) ,
f) p1 , p 2 ,K, p n = p n ,
g) p1 ⇒ p2 , p2 ⇒ p3 , K , p9 ⇒ p10 = p1 ⇒ p10 .
Intencija matematičke logike je da bude što je više moguće formalna: nju ne zanima stvarni
smisao suda – za nju bi idealna situacija bila kad bismo formule mogli izvoditi neovisno o
značenju sudova na koje se odnose. Logika sudova za to najčešće nije dovoljna. Evo primjera:
Primjer Neka su zadani sudovi:
A .............Ptice imaju krila.
B .............Vrapci su ptice.
C .............Vrapci imaju krila.
Ispitajte je li sud C logička posljedica A i B .
Intuitivno, složit ćemo se da bi sud C trebao slijediti iz sudova A i B . Međutim, lagano je
provjeriti da ne vrijedi A, B =C :
33
A
T
T
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
B
T
T
⊥
⊥
T
T
⊥
⊥
C
T
⊥
T
⊥
T
⊥
T
⊥
A∧ B
T
T
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
(A ∧ B) ⇒ C
T
⊥
T
T
T
T
T
T
(Primijetimo da je i normalno da općenito ne vrijedi A, B =C , jer bismo onda mogli iz istih A i
B zaključiti i da je C ′ .............Vrapci imaju rogove. I tko zna što još drugo.) Formalni aparat
(jezik) logike sudova pregrub je da prikaže konkretni C kao logičku posljedicu A i B , jer ne
može iskazati dodatnu informaciju sadržanu u njima – da je skup vrabaca podskup skupa ptica,
pa svojstvo koje vrijedi na skupu ptica, posebno vrijedi i na skupu vrabaca.
Kako bismo povećali izražajnost, naš logički jezik moramo proširiti i učiniti fleksibilnijim. Jezik
koji ćemo sada uvesti zvat će se (predikatska) logika prvog reda.
Suvislu izjavnu rečenicu P( x1 , x2 , K , xn ) koja se odnosi na n ∈ varijabli x1 , x2 ,K, xn nazivamo
n – mjesni predikat. Uvrštavanjem konkretnih vrijednosti za sve varijable, predikat postaje sud.
Primjer Razmotrimo iduće predikate:
A( x ) ................ x plus pet je jednako devet. (Jednomjesni predikat.)
B( x, y ) ............ x i y cijepaju drva. (Dvomjesni predikat.)
C ( x, y, z ) ........... x ∈ [ y, z ] . (Tromjesni predikat.)
D( x, y, z , t , w) ....... x , y i z su opljačkali t uz pomoć w . (Petomjesni predikat.)
Uvjerite se: A(4) je istinit, a A(5) je lažan sud, kao i C (2,3,5) .
Domena n – mjesnog predikata je neprazni skup D = D1 × D2 × K × Dn iz kojeg uvrštavamo
vrijednosti x1 ∈ D1 , x2 ∈ D2 , K , xn ∈ Dn .
Ako neku tvrdnju ( n – mjesni predikat) P( x1 , x2 , K , xn ) želimo poopćiti na sve elemente skupa
Dk , koristimo univerzalni kvantifikator ∀ , pa poopćena tvrdnja glasi ∀xk P( x1 , x2 , K , xn ) , "za
sve elemente xk ∈ Dk vrijedi tvrdnja P( x1 , x2 , K , xn ) ".
Ako neku tvrdnju ( n – mjesni predikat) P( x1 , x2 , K , xn ) želimo konkretizirati na samo neke
elemente skupa Dk , koristimo egzistencijalni kvantifikator ∃ , pa konkretizirana tvrdnja glasi
∃xk P( x1 , x2 ,K, xn ) "postoji (bar jedan) element xk ∈ Dk za kojeg vrijedi tvrdnja
34
P( x1 , x2 , K , xn ) ". Ako želimo reći da tvrdnja vrijedi samo za jedan element
koristimo oznaku ∃1 xk P( x1 , x2 ,K, xn ) ili ∃! xk P( x1 , x2 ,K, xn ) .
xk ∈ Dk , katkad
Zadatak 2. Za svaki od slijedećih sudova ispitajte je li istinit:
a) (∃x ∈ ) x 2 = 4 ,
(
b) (∀x, y ∈
c) (∀x, y ∈
)
)(x = y 2 ⇔ x = y ) ,
)(x 2 < y 2 ⇔ x < y ) .
2
Formalnije, neka je S1 = {x1 , x2 , K} prebrojiv skup simbola, čije elemente nazivamo varijable,
neka je S 2 = {¬,∧,∨, ⇒, ⇔, ∀, ∃} skup logičkih veznika, S 3 = {P1 , P2 ,K} skup relacijskih simbola
(predikata), S 4 = { f1 , f 2 , K} skup funkcijskih simbola (funkcija), S 5 = {c1 , c2 ,K} skup
konstantskih simbola (konstanti) i S 6 = {), (} skup pomoćnih simbola (zagrada). Skup
S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ S 4 ∪ S 5 ∪ S 6 nazivamo alfabet (predikatske) logike prvog reda.
Kao i kod algebre sudova, od jednostavnijih izraza poštivanjem određenih pravila dolazimo do
složenijih formula. Najjednostavnije izraze nazvat ćemo termi.
Term je riječ alfabeta S za koju vrijedi:
1. Svaka varijabla i svaki konstantski simbol je term.
2. Ako je f n – mjesni funkcijski simbol iz S i t1 , t 2 , K , t n termi, onda je i f (t1 , t 2 ,K, t n )
term.
3. Riječ alfabeta S je term ako i samo ako je nastala primjenom pravila 1. i 2. u konačno
mnogo koraka.
Atomarna formula alfabeta S je svaka riječ oblika R(t1 , t 2 ,K, t n ) , gdje su t1 , t 2 , K , t n termi, a
R je n – mjesni relacijski simbol iz S .
Formula alfabeta S je definirana ovako:
1. Svaka atomarna formula je formula.
2. Ako su p i q formule alfabeta S , onda su i riječi (¬p ) , ( p ∧ q ) , ( p ∨ q ) , ( p ⇒ q ) i
( p ⇔ q ) formule alfabeta S .
3. Ako je p formula alfabeta S i x varijabla alfabeta S , onda su riječi (∀xp ) i (∃xp )
također formule alfabeta S .
4. Riječ alfabeta S je formula alfabeta S ako i samo ako je nastala primjenom pravila 1, 2. i
3. u konačno mnogo koraka.
Radi kraćeg zapisa, zadržavamo već uvedeni prioritet logičkih operacija, uz napomenu da
najveću snagu vezivanja sada imaju ∀ i ∃ , nakon njih ¬ , i zatim kao i prije ∧ pa ∨ , te na kraju
⇒ i ⇔.
35
Ako se na neku varijablu u formuli odnosi neki od kvantifikatora, kažemo da joj je nastup vezan.
U protivnom je nastup varijable slobodan. U atomarnim formulama nastup svake varijable je
slobodan.
Napomena Kvantifikatori se u predikatskoj logici prvog reda odnose samo na varijable iz skupa
S1 = {x1 , x2 , K}. Kad bismo dozvolili kvantifikaciju po relacijskim i funkcijskim varijablama, tj
po elementima skupova S 3 i S 4 , dospjeli bismo na teren predikatske logike drugog reda. Postoje
i logike viših redova.
Izborom različitih domena i značenja relacijskih, funkcijskih i konstantskih simbola, dolazimo do
raznih interpretacija formula. U nekim interpretacijama, formula može biti istinita, a u nekima
ne.
Ako je formula istinita za neku interpretaciju, kažemo da je ispunjiva.
Ako je formula neistinita za neku interpretaciju, kažemo da je oboriva.
Ako je formula istinita za sve interpretacije, kažemo da je valjana (ili da je tautologija).
Ako je formula neistinita za sve interpretacije, kažemo da je kontradikcija.
Primjer Za neki dvomjesni predikat P( x, y ) , formulu ∀x∃yP( x, y ) možemo interpretirati kao:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Za svaki prirodni broj, postoji prirodni broj veći od njega.
Svaka kružnica ima središte.
Svaki niz realnih brojeva ima limes.
Svaka kvadratna matrica ima determinantu.
Svaki čovjek ima nos.
Svaki čovjek ima krila.
Tvrdnje 3) i 4) nisu istinite. Dakle formula ∀x∃yP( x, y ) nije ni valjana ni kontradikcija, jer je
ispunjiva i oboriva.
Zadatak 3. Uvjerite se da vrijede tvrdnje:
Formula F logike prvog reda je valjana ako i samo ako je formula ¬F kontradikcija.
Formula F logike prvog reda je ispunjiva ako i samo ako je formula ¬F oboriva.
Teorem 1 Slijedeće su formule valjane:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
¬(∀xP( x )) ⇔ ∃x¬P( x )
¬(∃xP( x )) ⇔ ∀x¬P( x )
∀x∀yP( x, y ) ⇔ ∀y∀xP( x, y )
∃x∃yP( x, y ) ⇔ ∃y∃xP( x, y )
∃x∀yP( x, y ) ⇒ ∀y∃xP( x, y )
∀x∃yP( x, y ) ⇒ ∃x∃yP( x, y )
36
Zadatak 4. Ispitajte je li ∀y∃xP( x, y ) ⇒ ∃x∀yP( x, y ) valjana formula? Izborom interpretacije,
pokažite da je formula ispunjiva i oboriva. Razmotrite tu formulu za domenu x, y ∈ i predikat
x ≤ y . Razmotrite tu formulu za domenu x, y ∈ i predikat x ≥ y . Razmotrite tu formulu za
domenu x, y ∈ i predikat x + y = 0 .
Zadatak 5. Ispitajte je li ∃x∃yP( x, y ) ⇒ ∀x∃yP( x, y ) valjana formula? Izborom interpretacije,
pokažite da je formula ispunjiva i oboriva.
Zadatak 6. Neka je funkcija f : a, b →
i x0 ∈ a, b . Koristeći kvantifikatore, zapišite
definiciju postojanja realnog limesa L u točki x0 : L = lim f ( x ) . Negirajte tvrdnju L = lim f ( x ) ?
x → x0
x → x0
r r r
Zadatak 7. Neka su zadani vektori a , b , c . Koristeći kvantifikatore, zapišite definiciju linearne
r r r
r r r
nezavisnosti vektora a , b , c . Negirajte je da dobijete definiciju linearne zavisnosti vektora a , b , c .
Napomena Reći ćemo da je formula F predikatske logike prvog reda logička posljedica
formula F1 , F2 , K , Fn i pisati F1 , F2 ,K, Fn = F , ako je za svaku interpretaciju u kojoj su formule
F1 , F2 , K , Fn istinite, istinita i formula F . Posebno, to će značiti da je F1 , F2 ,K, Fn = F ako i
samo ako je formula F1 ∧ F2 ∧ K ∧ Fn ⇒ F valjana formula. Ako je n = 1, F1 = F pisat ćemo
kao F1 ⇒ F . Za dvije formule, F i G predikatske logike prvog reda reći ćemo da su logički
ekvivalentne i pisati F ⇔ G ako vrijedi F ⇒ G i G ⇒ F . Dakle, formule F i G su logički
ekvivalentne ako i samo ako je formula F ⇔ G valjana formula.
Zadatak 8. Zapišite ove sudove jezikom predikatske logike:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Svaki prirodni broj ujedno je i racionalan broj.
Između svaka dva različita realna broja, postoji realan broj različit od njih.
Svi Bosanci dobre konje sedlaju.
Ako itko zna, Kate zna.
Neki su političari pošteni.
Sve ljude možete varati neko vrijeme, neke ljude možete varati svo vrijeme, ali ne
možete varati sve ljude svo vrijeme.
g) Svaka ptica svome jatu leti.
h) Tko je dobar nije sam, oduvijek smo znali.
Zadatak 9. Zadana je domena D = {Ana, Maja , Igor, Stjepan , Ivona, Vedran} , na kojoj
promatramo
predikat
Znamo
da
su
istiniti
Z ( x, y )........" x je zaljubljen/a u y" .
sudovi: Z (Ana, Stjepan ) , Z (Stjepan, Ivona ) , Z (Igor, Maja ) , Z (Maja, Igor ) , Z (Vedran, Ana ) .
Ispitajte istinitost slijedećih sudova i obrazložite svoje tvrdnje:
37
a) ∀x∃yZ ( x, y ) , b) ∀y∃xZ ( x, y ) , c) ∃x∀yZ ( x, y ) , d) ∃y∀xZ ( x, y ) , e) ∀x∃! yZ ( x, y ) ,
f) ∃! yZ (Stjepan , y ) ,
g) ∃xZ ( x, Vedran ) ,
h) ∃! y∀xZ ( x, y ) ,
i) ∀x∀yZ ( x, y ) ,
j) ∃x∃y∃z (Z ( x, y ) ∧ Z ( y, z )) , k) ∃! x∃! y (Z ( x, y ) ∧ Z ( y, x )) , l) ∀x∀y (Z ( x, y ) ∨ Z ( y, x )) .
Zadatak 10. Ispitajte je li formula ∀x( A( x ) ⇒ B( x )) ∧ ∀x(B( x ) ⇒ C ( x )) ⇒ ∀x( A( x ) ⇒ C ( x ))
valjana. Dajte primjere nekih interpretacija te formule.
Zadatak 11. Pokažite da formule nisu valjane, nalazeći primjer interpretacije za koju je formula
neistinita. Obrazložite.
a)
b)
c)
d)
∀x( A( x ) ⇒ B( x )) ∧ ∀x(C ( x ) ⇒ B( x )) ⇒ ∃x( A( x ) ⇒ C ( x )) ,
∀x( A( x ) ⇒ B( x )) ∧ ∃x(C ( x ) ∧ ¬A( x )) ⇒ ∃x(C ( x ) ∧ ¬B( x )) ,
∀x∃yP( x, y ) ⇒ ∃yP( y, y ) ,
∃xP( x ) ∧ ∃xQ( x ) ⇒ ∃x(P( x ) ∧ Q( x )) .
2.3. Dokazivanje u matematici
Dokazivanje tvrdnji i razvijanje teorija u matematici razlikuje se od istoga u drugim znanostima.
Eksperimentiranje i statistička analiza, koliko god bili korisni u fizici, kemiji ili medicini,
matematičaru najčešće nisu od velike pomoći. Primjerice, kad biste od fizičara zatražili da odredi
temperaturu vrenja tekućine, on bi vjerojatno uzeo lončić, kuhalo i termometar i u nekoliko
nezavisnih mjerenja eksperimentalno došao do tražene brojke. Eksperimentalna provjera u svim
prirodnim znanostima ima snagu dokaza, jedino ne u matematici. Zamislite matematičara koji bi
rješavao jednadžbu x 4 + x 3 + x − 1 = 0 nasumičnim uvrštavanjem: pronalaženje deset, sto ili
tisuću realnih brojeva koji nisu rješenja ne predstavlja argument da realnih rješenja nema. Ako
spomenuti fizičar u 100 ponavljanja pokusa grijanja vode 99 puta izmjeri da je temperatura
vrenja vode 100 o C , a jedan put dobije npr. 105o C , s punim pravom će zaključiti kako su
rezultati tog mjerenja statistička greška (možda voda nije bila potpuno čista, možda se
promijenila temperatura i tlak zraka okoline, možda se termometar pokvario, možda je u pitanju
ljudski faktor,...). S druge strane, u matematici, vjerojatnost da pri slučajnom nabadanju brojeva
na realnoj osi pogodimo racionalni broj je točno nula (jer je skup racionalnih brojeva prebrojiv, a
skup iracionalnih neprebrojiv), ali nam to ne daje za pravo da racionalne brojeve zanemarimo kao
statističku grešku.
Tehnika dokazivanja u matematici ovisi o tome što se dokazuje. Tvrdnje koje se dokazuju
matematičari obično nazivaju teoremima, naročito ako su velike i važne. Ako se radi o
jednostavnijoj tvrdnji, u upotrebi je i naziv propozicija. Tvrdnju koja će se koristiti u dokazivanju
kasnijih tvrdnji obično nazivaju lema, a tvrdnju koja je posljedica već dokazanih tvrdnji korolar.
Često je tvrdnja koja se dokazuje oblika A ⇒ B ili A ⇔ B .
38
Dokazivanje implikacija
Izravni dokaz
Pretpostavimo da treba dokazati tvrdnju oblika A ⇒ B . Izravno dokazujemo tako da polazeći od
tvrdnje A korištenjem istinitih formula i valjanih pravila izvođenja u konačno koraka dolazimo
do tvrdnje B . Ovakvi dokazi su česti u elementarnoj matematici, na primjer kad treba iz poznatih
formula izvesti novu formulu. Najčešće se pritom pozivamo na pravilo (tautologiju) silogizma.
Primjer
1.
(
Dokažite
a − b = (a − b ) a
n
n
n −1
+a
n−2
da
za
b + K + ab
sve
n−2
+b
n −1
a, b ∈
).
i
sve
n∈
vrijedi
jednakost
Primjer 2.
Polazeći od adicionih formula trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus,
sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y , cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y , koje vrijede za sve
1 + cos 2 x
.
x, y ∈ , dokažite da za svako x ∈ vrijedi cos 2 x =
2
Primjer 3. Dokažite da je kvadrat parnog cijelog broja paran broj. Dokažite da je kvadrat
neparnog cijelog broja neparan broj.
Zadatak 1. Dokažite da za svaki z ∈
Zadatak 2. Dokažite za sve n, k ∈
0
vrijedi jednakost z = z ⋅ z .
2
 n   n − 1  n − 1
 + 
 .
, k ≤ n vrijedi jednakost   = 
 k   k − 1  k 
Zadatak 3. Dokažite da je 99100 > 10099 .
Zadatak 4. Dokažite da je tg
π
12
= 2− 3.
Neizravni dokaz
U dokazivanju tvrdnje oblika A ⇒ B , katkad je zgodno poslužiti se neizravnim načinima.
39
a) Dokaz po kontrapoziciji
Koristimo se pravilom (tautologijom) kontrapozicije =( A ⇒ B ) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) , pa umjesto
tvrdnje A ⇒ B , dokazujemo tvrdnju ¬B ⇒ ¬A .
Primjer 4. Dokažite da je funkcija f :
→
, zadana izrazom f ( x ) = 2 ⋅ 31−x + 1 injekcija.
b) Dokaz iz kontradikcije
Koristimo se pravilom (tautologijom) kontradikcije, =(¬B ⇒⊥ ) ⇒ B , pa uz pretpostavku da
vrijedi tvrdnja A nastojimo pokazati kako tvrdnja ¬B dovodi do kontradikcije, odakle
zaključujemo da je istinita tvrdnja B , pa vrijedi A ⇒ B .
Primjer 5. Dokažite da je broj log 3 iracionalan.
p
, pri čemu možemo uzeti da su p, q ∈ .
q
Antilogaritmiravši, nakon potenciranja sa q dobivamo da je 3 q = 10 p , što je nemoguće, jer je
broj na lijevoj strani neparan, a broj na desnoj strani paran. Kontradikcija.
Uputa: Pretpostavite suprotno, tj. da je log 3 =
Primjer 6. Dokažite da je broj
2 iracionalan.
p
, pri čemu pri čemu uzimamo da su p, q ∈ i
q
razlomak skratimo do kraja. Nakon kvadriranja i sređivanja, dobivamo da je 2q 2 = p 2 . Broj na
lijevoj strani jednakosti je paran, pa i broj na njenoj desnoj strani mora biti paran. No, p 2 je
paran samo ako je p paran (Primjer 3), pa izlazi da je q 2 paran, dakle da je i q paran. No,
p
razlomak
smo na početku skratili do kraja. Kontradikcija.
q
Uputa: Pretpostavite suprotno, tj. da je
2=
Dokazivanje ekvivalencije
Ekvivalenciju A ⇔ B najčešće dokazujemo tako da dokažemo implikacije A ⇒ B i B ⇒ A .
Primjer 7. Dokažite da je realni broj α nultočka polinoma s realnim koeficijentima p( x ) ako i
samo ako postoji polinom s realnim koeficijentima q( x ) tako da je p( x ) = ( x − α )q( x ) .
Primjer 8. Dokažite da je prirodan broj djeljiv brojem 5 ako i samo ako završava znamenkama
0 ili 5.
40
Zadatak 5. Dokažite da je prirodan broj paran ako i samo ako je njegov kvadrat paran broj.
Zadatak 6. Dokažite da su kompleksni brojevi z1 i z 2 kompleksno konjugirani ako i samo ako
su z1 + z 2 i z1 ⋅ z 2 realni brojevi.
Zadatak 7. Dokažite da je prirodan broj djeljiv brojem 9 ako i samo ako mu je zbroj znamenaka
djeljiv sa 9.
Princip matematičke indukcije
U dokazivanju tvrdnji vezanih za prirodne i cijele brojeve često se koristi:
Princip matematičke indukcije: Neka je S ⊆
onda je S =
Primjer 9. Dokažite da za svako n ∈
Primjer 10. Dokažite da za svako n ∈
. Ako vrijedi: 1) 1 ∈ S ,
2) n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S ,
.
vrijedi 1 + 2 + K + n =
n(n + 1)
.
2
vrijedi 12 + 2 2 + K + n 2 =
Primjer 11. Dokažite matematičkom indukcijom da za svako n ∈
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
vrijedi 2 n ≥ n + 1 .
Primjer 12. Dokažite matematičkom indukcijom da je skup A1 × A2 × K × An prebrojiv ako su
skupovi A1 , A2 , K, An prebrojivi.
Primjer 13. Sjetite se, binomni teorem glasi: za sve a, b ∈ i sve n ∈ vrijedi jednakost
n
n
(a + b )n = ∑  a n−k b k . Dokažite binomni teorem matematičkom indukcijom.
k =0  k 
Ukoliko tvrdnju treba dokazati za sve n ∈ , n ≥ m , matematičku indukciju modificiramo tako
da umjesto tvrdnje 1) 1 ∈ S dokazujemo tvrdnju 1’) m ∈ S .
Zadatak 8. Dokažite da za svako n ∈ , n ≥ 4 vrijedi n!> 2 n .
Zadatak 10. Dokažite matematičkom indukcijom da za je sve n, k ∈
n
koeficijent   ∈ . (Uputa: poslužite se jednakošću
k 
0
, k ≤ n , binomni
 n   n − 1  n − 1
  = 
 + 
 ).
 k   k − 1  k 
41
Zadatak 9. Dokažite za svako n ∈
Zadatak 11. Dokažite da za sve x ∈
vrijedi 1 + 3 + K + (2n − 1) = n 2 .
i za sve n ∈
n
vrijedi jednakost
x
∏ cos 2
sin x
=
.
x
2 sin n
2
Zadatak 12. Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
2 + 16 + 56 + K + (3n − 2 ) ⋅ 2 n = 10 + (3n − 5) ⋅ 2 n+1 .
k =1
k
n
Zadatak 13. Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
n
n
− 1 + 3 − 5 + K + (− 1) ⋅ (2n − 1) = (− 1) ⋅ n .
Zadatak 14. Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
8 26
3n − 1 3n (2n − 1) + 1
.
2+ +
+ K + n−1 =
3 9
3
2 ⋅ 3n−1
Zadatak 15. Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
3 3 3
1
+ +
+K+ 3⋅ 
2 8 32
2
2 n −1
1 

= 21 − n  .
 4 
Zadatak 16. Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
1
1
1
1
n(n + 1)
+
+
+K+
=
.
1⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 ⋅ 7 5 ⋅ 7 ⋅ 9
(2n − 1) ⋅ (2n + 1) ⋅ (2n + 3) 2(2n + 1)(2n + 3)
Zadatak 17. Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
1
1
1
1
n
.
+
+
+K+
=
1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅ 10
(3n − 2) ⋅ (3n + 1) 3n + 1
Dokaz egzistencije
Za dokazivanje tvrdnje oblika ∃xP( x ) dovoljno je pronaći (konstruirati) jedan primjer x za
kojega tvrdnja vrijedi. Ako je teško ili nemoguće pronaći takav primjer, ponekad se služimo
indirektnim načinom, pa dokazujemo da nije moguće da takav x ne postoji. Razmotrimo na
primjer tvrdnju: Postoji barem jedan iracionalan broj. Konstruktivan dokaz pokazao bi na primjer
da je broj x = 2 realan, ali nije racionalan, pa bi bio iracionalan. Drugačije, indirektno, mogli
bismo se poslužiti činjenicom da je skup realnih brojeva neprebrojiv, pa bismo iz prebrojivosti
skupa racionalnih brojeva zaključili da postoji i skup iracionalnih brojeva.
Zadatak 18. Dokažite da svaki realni polinom trećeg stupnja ima bar jednu realnu nultočku.
Zadatak 19. Dokažite da je od svaka tri uzastopna prirodna broja bar jedan djeljiv sa 3.
42
Zadatak 20. Neka su zadana tri proizvoljna cijela broja. Dokažite da je bar jedna od razlika tih
brojeva paran broj.
Dokaz kontraprimjerom
Ponekad je potrebno dokazati da neka tvrdnja oblika ∀xP( x ) ne vrijedi. U tom slučaju je
dovoljno pronaći jedan x za kojega ta tvrdnja ne vrijedi (kontraprimjer). Ili, indirektno, pokazati
da nepostojanje x za kojega ta tvrdnja ne bi vrijedila vodi do proturječnosti.
Primjer 14. Dokažite da funkcija f :
→
, f ( x ) = log 3
2 ⋅ 3x + 1
nije surjekcija.
3x + 1
Zadatak 21. Ispitajte vrijedi li tvrdnja: umnožak svaka dva iracionalna broja je iracionalan broj.
Zadatak 22. Ispitajte vrijedi li tvrdnja: umnožak bilo koja tri uzastopna prirodna broja nije kub
nekog prirodnog broja.
Zadatak 23. Ispitajte vrijedi li tvrdnja: svaka neprekidna funkcija je derivabilna.
Zadatak 24. Ispitajte vrijedi li tvrdnja: ako je prva derivacija funkcije f :
strogo pozitivna, onda graf funkcije f siječe os x .
→
za sve x ∈
Dokaz jedinstvenosti
Ako dokazujemo tvrdnju oblika ∃! xP( x ) , često prvo dokažemo da ∃xP( x ) , a onda pretpostavivši
da postoje bar dva takva x , dokazujemo da oni moraju biti međusobno jednaki.
Zadatak 25. Dokažite tvrdnju: ako je kvadratna matrica A regularna (tj. ima inverznu matricu),
postoji samo jedna kvadratna matrica B takva da je AB=BA=I (gdje je I oznaka za jediničnu
matricu istog reda).
Zadatak 26. Koristeći se definicijom realnog limesa funkcije f : a, b →
u točki x0 ∈ a, b .
(Zadatak 6, str. 37), dokažite da ako postoji limes funkcije L = lim f ( x ) ∈
x → x0
, onda je on
jedinstven.
Zadatak 27. Dokažite da u svakoj Booleovoj algebri može postojati samo jedna nula i samo jedna
jedinica.
Slijedeći teorem je iz PINM, ne spada u Diskretnu matematiku, i poslužit će nam samo kao
ilustracija primjene opisanih način zaključivanja. U dokazu prvo konstruiramo polinom traženih
svojstava, a potom dokazujemo njegovu jedinstvenost, pomoću kontradikcije.
43
Teorem (samo kao primjer) Neka su zadane točke
vrijedi x 0
(x
0
, y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),..., ( x n , y n ) , tako da
< x1 < x 2 < ... < x n . Lagrangeov interpolacioni polinom (tj. polinom najmanjeg stupnja čiji graf
sadrži te točke) postoji, jedinstven je i njegov stupanj nije veći od n.
Dokaz: Da bismo izračunali Lagrangeov interpolacioni polinom, definiramo polinome:
x − xj
n
l 0 ( x) = ∏
x0 − x j
j =0
j ≠0
x − xj
n
l1 ( x) = ∏
j =0
j ≠1
x1 − x j
.
.
.
x − xj
n
l n ( x) = ∏
j =0
j≠n
xn − x j
=
( x − x1 )( x − x 2 )K ( x − x n )
( x0 − x1 )( x0 − x 2 )K ( x0 − x n )
=
( x − x0 )( x − x 2 )K ( x − x n )
( x1 − x0 )( x1 − x 2 )K ( x1 − x n )
=
( x − x0 )( x − x1 )K ( x − x n −1 )
( x n − x0 )( x n − x1 )K ( x n − x n −1 )
n
i pomoću njih polinom
Ln ( x) = ∑ y k l k ( x) = y 0 l 0 ( x) + y1l1 ( x) + ... + y n l n ( x) .
k =0
Ln (x ) je Lagrange-ov interpolacioni polinom, tj. polinom najmanjeg stupnja čiji graf
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ),..., ( xn , y n ) .
Tvrdimo: polinom
prolazi točkama
Odmah vidimo da graf polinoma Ln (x ) sadrži točke
vrijedi:
(x
0
, y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),..., ( x n , y n ) , jer
l0 ( x0 ) = 1 , l0 ( x1 ) = l0 ( x2 ) = l0 ( x3 ) = K = l0 ( xn ) = 0 ,
l1 ( x1 ) = 1 , l1 ( x0 ) = l1 ( x2 ) = l1 ( x3 ) = K = l1 ( xn ) = 0 ,
l 2 ( x2 ) = 1 , l 2 ( x0 ) = l 2 ( x1 ) = l 2 ( x3 ) = K = l 2 ( xn ) = 0 ,
...................................................................
l n ( xn ) = 1, l n ( x0 ) = l n ( x1 ) = l n ( x2 ) = K = l n ( xn −1 ) = 0 ,
n
pa je za
k = 0,1,Kn , Ln ( xk ) = ∑ y k lk ( xk ) = y0 l0 ( xk ) + y1l1 ( xk ) + ... + y n ln ( xk ) = y k .
k =0
Ovo nam pokazuje da polinom traženog svojstva postoji, i da mu stupanj nije veći od n. Pokažimo još
jedinstvenost. Kad bi postojala dva polinoma f (x) i g (x ) stupnjeva manjeg od n, čiji grafovi sadrže
točke
(x
0
, y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ),..., ( xn , y n ) ,
onda bi njihova razlika,
f ( x) − g ( x ) bio polinom
x0 < x1 < x 2 < ... < x n nultočke. Prema Osnovnom teoremu algebre,
međutim, to je moguće samo ako je polinom f ( x) − g ( x ) nul – polinom, tj. ako je f ( x) = g ( x ) .
stupnja manjeg od n, kojemu su
44
3. Binarne relacije
3.1 Relacije. Relacije ekvivalencije
Definicija Neka je X neprazan skup. Binarna relacija ρ na skupu X je bilo koji podskup
skupa X × X . Ako je uređeni par ( x, y ) ∈ ρ , kažemo da je x u relaciji sa y , i pišemo xρy .
Prazan skup je po definiciji također relacija – zovemo ga prazna relacija. Slično, skup X × X
je univerzalna relacija.
Slično, unarna, ternarna i općenito n-arna relacija na skupu X bi se definirala kao podskup
skupa X , X 3 , odnosno općenito X n . (Još općenitija definicija binarne relacije bila bi da je
podskup Kartezijevog produkta A × B proizvoljnih nepraznih skupova A i B . Kazali bismo tada
da je to relacija sa skupa A u skup B ).
Definicija Za binarnu relaciju ρ na skupu X kažemo da je
1)
2)
3)
4)
5)
refleksivna, ako vrijedi da je za svako x ∈ X , xρx ,
simetrična, ako vrijedi da je za sve x, y ∈ X , xρy ⇒ yρx ,
antisimetrična, ako vrijedi da je za sve x, y ∈ X , xρy ∧ yρx ⇒ x = y ,
tranzitivna, ako vrijedi da je za sve x, y , z ∈ X , xρy ∧ yρz ⇒ xρz ,
funkcija, ako vrijedi da za svako x ∈ X , postoji samo jedan y ∈ X , tako da je xρy .
(Preciznije, u tom slučaju relacija određuje funkciju, a graf te funkcije je relacija ρ .)
Definicija Za binarnu relaciju ρ na skupu X kažemo da je relacija ekvivalencije, ako je
refleksivna, simetrična i tranzitivna.
Definicija Neka je ρ relacija ekvivalencije na skupu X . Za svaki x ∈ X možemo definirati skup
[x] = {y ∈ X : xρy}. Ovaj skup nazivamo klasom ekvivalencije elementa x s obzirom na relaciju
ρ . Skup svih klasa ekvivalencije dotične relacije ekvivalencije ρ nazivamo kvocijentnim
skupom s obzirom na relaciju ρ i označavamo ga X / ρ . Dakle, X / ρ = {[x ] : x ∈ X } .
Teorem 1 Neka je ρ relacija ekvivalencije na skupu X . Vrijede tvrdnje:
a) Za sve x, y ∈ X je [x ] = [ y ] ako i samo ako je xρy .
b) Za sve x, y ∈ X ili je [x ] = [ y ] , ili je [x ] ∩ [ y ] = φ .
c) Kvocijentni skup X / ρ relacije ekvivalencije ρ je particija skupa X .
45
Napomena Obrnuto, ako je zadana neka particija {X i : i ∈ I } nepraznog skupa X , te ako
definiramo binarnu relaciju ρ na X tako da je za sve x, y ∈ X , xρy ako i samo ako su
x, y ∈ X i za isti i ∈ I , onda je ρ relacija ekvivalencije na skupu X , kojoj je kvocijentni skup
naša particija.
Zadatak 1. Na skupu ljudi razmotrite relacije: "je otac", "je rođak", "je prijatelj", "poznaje", "je
viši od", "je rođen isti dan kao", "ima iste inicijale kao".
Zadatak 2. Na skupu kvadratnih realnih matrica razmotrite relacije: "je jednaka", "je istog reda",
"ima istu determinantu".
Zadatak 3. Na skupu pravaca u prostoru razmotrite relacije: "je paralelan sa", "je okomit na",
"leži u istoj ravnini s".
Zadatak 4. Na skupu trokutova u ravnini razmotrite relacije: "je sukladan", "je sličan".
X = {1,2,3} zadane su relacije
S = {(1,2 ), (1,3), (2,1), (3,3)}. Odredite relacije R ∪ S , R ∩ S , R c .
Zadatak 5. Na
skupu
Zadatak 6. Na skupu realnih brojeva
zadana je particija
ekvivalencije na čiji je ta particija kvocijentni skup.
R = {(1,1), (1,2), (2,3), (3,1), (3,3)},
( n, n + 1], n ∈ ) . Odredite relaciju
Zadatak 7. Na skupu prirodnih brojeva
zadana je particija A1 = {1,4,7,10,13,16,...},
čiji je ta
A2 = {2,5,8,11,14,17,...}, A3 = {3,6,9,12,15,18,...}. Odredite relaciju ekvivalencije na
particija kvocijentni skup.
Zadatak 8. Neka su R i S relacije refleksivne na skupu X . Potvrdite ili opovrgnite: R ∩ S je
c
refleksivna; R ∪ S je refleksivna; (R \ S ) je refleksivna.
Zadatak 9. Na partitivnom skupu nekog nepraznog skupa A
ekvipotentan", "je podskup od", "je disjunktan sa".
razmotrite relacije: "je
Zadatak
10.
Neka
je
na
skupu
S = {5,6,7 ,8}
zadana
relacija
ρ = {(5,5),(5,7 ),(7 ,5),(6,6),(6,8),(7 ,7 ),(8,8),(8,6)}. Dokažite da je to relacija ekvivalencije na S , i
nađite klasu ekvivalencije elementa 8.
46
Zadatak 11. Neka je na skupu
S = {A,B,C,D,E } zadana binarna relacija
ρ = {( A, A),(C , C ),(C , D ), (C , E ), (D, C ), (D, D ), (D, E ), (E , C ), (E , D ), (E , E ), (B, B )}. Dokažite da je
to relacija ekvivalencije na S, i nađite klasu ekvivalencije elementa C.
Postoji više načina da relacije prikažemo grafički. U slučaju da je A ⊆ , binarnu relaciju ρ
možemo skicirati kao podskup ravnine. Relaciju x 2 + y 2 = 25 na skupu
tako možemo
prikazati slikom:
U slučaju relacije na konačnom skupu X uobičajeno je elemente X prikazati kao točke, a svaki
uređeni par ( x, y ) ∈ ρ predočiti usmjerenom strelicom koja spaja točke x i y. Evo kako je na
skupu X = {1,2,3,4} usmjerenim grafom (tzv. digrafom) grafički predočena relacija
R = {(1,2), (2,2 ), (2,4 ), (3,2), (3,4 ), (4,1), (4,3)}
Zadatak 12. Skicirajte usmjereni graf relacije ekvivalencije iz Zadatka 10. Što primjećujete?
47
3.2 Relacije parcijalnog uređaja
Definicija Neka je X neprazan skup. Binarna relacija ρ na skupu X je relacija parcijalnog
uređaja (poretka) na skupu X ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Kažemo i da je
skup X parcijalno uređen relacijom ρ – kraće, kažemo da je ( X , ρ ) parcijalno uređen skup.
Primjer Relacija ≤ na skupu realnih (prirodnih, cijelih, racionalnih) brojeva primjer je relacije
parcijalnog uređaja (provjerite svojstva).
Dogovorimo se da u nastavku svaku relaciju parcijalnog uređaja označavamo sa ≤ – neovisno je
li zadana na skupu brojeva ili ne.
Zadatak 1. Ako je ( X , ≤ ) parcijalno uređen skup, uvedimo relaciju ≥ , uzimajući da je
x ≥ y ⇔ y ≤ x . Pokažite da je ( X , ≥ ) također parcijalno uređen skup. Na ovaj način uvedenu
relaciju ≥ nazivamo dualnim uređajem uređaja ≤ .
Zadatak 2. Na skupu prirodnih brojeva
razmotri relacije "je manji od", "je veći od", "je strogo
manji od", "je jednak", "u decimalnom zapisu ima prvu znamenku manju od", "dijeli".
Zadatak 3. Dokažite: jedina binarna relacija na nepraznom skupu X koja je istovremeno relacija
ekvivalencije i relacija uređaja je relacija jednakosti "=".
Zadatak 4. Na partitivnom skupu skupa A razmotrimo relacije "je podskup od", "je pravi
podskup od".
Definicija Neka je ( X , ≤ ) parcijalno uređen skup i S ⊆ X . Ukoliko postoji m ∈ X , tako da je za
sve x ∈ S , m ≤ x , kažemo da je m donja međa skupa S . Skup S ⊆ X je omeđen odozdo
ukoliko ima barem jednu donju među. Ako postoji donja međa m ∈ X skupa S , tako da je za
svaku donju među m ∈ X skupa S , m ≤ m , kažemo da je m infimum skupa S , i pišemo
m = inf S . Ako je inf S ∈ S , kažemo da je inf S minimum skupa S i označavamo ga min S .
Analogno, ako postoji M ∈ X , tako da je za sve x ∈ S , x ≤ M , kažemo da je M gornja međa
skupa S . Skup S ⊆ X je omeđen odozgo ukoliko ima barem jednu gornju među. Ako postoji
gornja međa M ∈ X skupa S , tako da je za svaku gornju među M ∈ X skupa S , M ≤ M ,
kažemo da je M supremum skupa S , i pišemo M = sup S . Ako je sup S ∈ S , kažemo da je
sup S maksimum skupa S i označavamo ga max S .
Zadatak 5. Ako promatramo relaciju "je manji od" na skupu , primjećujemo da je za skup
S = 0,1 , inf S = 0 i sup S = 1 , te da ne postoje minimum ni maksimum skupa S .
48
Zadatak 6. Neka je ( X , ≤ ) parcijalno uređen skup i S ⊆ X . Pokažite da inf S i sup S ne
moraju postojati, ali ako postoje, onda su jedinstveni. Slično vrijedi za min S i max S .
Zadatak 7. Dokažite ili opovrgnite: Neka je ( X , ≤ ) konačan parcijalno uređen skup. Tada X ima
minimalan i maksimalan element.
Definicija Neka je ( X , ≤ ) parcijalno uređen skup. Kažemo da je ( X , ≤ ) totalno uređen skup (ili
lanac), ako za sve x, y ∈ X vrijedi x ≤ y ili y ≤ x (tj. svaka dva elementa su međusobno
usporediva). Relacija ≤ tada je relacija totalnog uređaja.
Definicija Neka je ( X , ≤ ) totalno uređen skup. Kažemo da je ( X , ≤ ) dobro uređen skup, ako
svaki njegov neprazni podskup ima minimalni element. Relacija ≤ tada je relacija dobrog
uređaja.
Zadatak 8. Dokažite: ako je ( X , ≤ ) dobro uređen skup, onda je minimalni element svakog
njegovog nepraznog podskupa jedinstven.
Zadatak 9. Navedite primjer parcijalno uređenog skupa koji nije totalno uređen i primjer totalno
uređenog skupa.
Zadatak 10. Navedite primjer totalno uređenog skupa koji nije dobro uređen i primjer dobro
uređenog skupa.
Zadatak 11. Koje su od do sada poznatih relacija relacije totalnog, odnosno dobrog uređaja?
Zadatak 12. Dokažite ili opovrgnite: Neka je ( X , ≤ ) konačan totalno uređen skup. Tada X ima
minimalan i maksimalan element.
U nekim situacijama je potrebno svojstvo uređenosti skupova proširiti i na njihov Kartezijev
produkt. Prirodno je postupiti ovako:
Definicija Neka su ( X 1 , ≤1 ) i ( X 2 , ≤ 2 ) parcijalno uređeni skupovi. Kartezijev produkt
parcijalno uređenih skupova je parcijalno uređen skup ( X 1 × X 2 , ≤ ) , gdje relaciju ≤ definiramo
tako da je za sve ( x1 , x 2 ), ( y1 , y 2 ) ∈ X 1 × X 2 , ( x1 , x 2 ) ≤ ( y1 , y 2 ) ⇔ x1 ≤1 y1 ∧ x 2 ≤ 2 y 2 .
Slično bismo uradili za Kartezijev produkt više parcijalno uređenih skupova. Provjerite da je
definicija dobra, tj. da je ( X 1 × X 2 , ≤ ) stvarno parcijalno uređen skup.
Zadatak 13. Navedite primjer Kartezijevog produkta dvaju totalno uređenih skupova koji nije
totalno uređen ovako definiranom relacijom uređaja.
Kartezijev produkt dvaju totalno uređenih skupova ne mora, dakle, biti totalno uređen. Kako
bismo totalno uredili Kartezijev produkt, relaciju uređaja trebamo definirati malo drugačije.
49
Definicija Neka su ( X 1 , ≤1 ) i ( X 2 , ≤ 2 ) parcijalno uređeni skupovi. Na Kartezijevu produktu
( X 1 × X 2 ) definiramo relaciju leksikografskog uređaja ≤ L , tako da je za sve
 x1 ≤1 y1 ∧ x1 ≠ y1
(x1 , x2 ), ( y1 , y 2 ) ∈ X 1 × X 2 , stavljamo (x1 , x2 ) ≤ L ( y1 , y 2 ) ⇔ 
ili
.
x = y ∧ x ≤ y
1
2
2
2
 1
Slično bismo uradili za Kartezijev produkt više parcijalno uređenih skupova. Uvjerite se da je
( X 1 × X 2 , ≤ L ) parcijalno uređen skup.
Zadatak 14. Neka su ( X 1 , ≤1 ) i ( X 2 , ≤ 2 ) totalno uređeni skupovi. Dokažite da je ( X 1 × X 2 , ≤ L )
totalno uređen skup.
Zadatak 15. Neka je ρ binarna relacija definirana na skupu
x + 2y
x, y ∈ * , xρ y ⇔
je neparan prirodni broj .
3y
*=
\ {0}, tako da je za sve
a) Ispitajte je li ρ relacija parcijalnog uređaja na * .
b) Ispitajte je li to i relacija totalnog uređaja na * .
c) Ako je zadan skup S = {1,7,13,49,91,169} , ispitajte je li (S , ρ ) totalno uređen skup. Je li
dobro uređen skup?
d) Ako postoje, odredite supremum, infinum, minimalan i maksimalan element skupa S ,
kao i supremum i infimum skupa S1 = {7,13,49,91} .
U prošloj smo točki opisali kako relaciju na konačnom skupu možemo prikazati usmjerenim
grafom (digrafom), gdje elemente predočavamo točkama, a relacijske veze strelicama
(usmjerenim bridovima). Relacijsku vezu između nekog elementa i njega samog crtamo kao
petlju.
U slučaju relacije parcijalnog uređaja ≤ na konačnom skupu X , ovaj graf možemo učiniti još
jednostavnijim:
-
-
kako je relacija parcijalnog uređaja refleksivna, dogovorimo se da izbacimo petlje,
činjenicu da je a ≤ b i a ≠ b naglašavamo tako da točku koja predstavlja a crtamo na
nižem nivou od točke koja predstavlja b ,
crtamo samo bridove (crte) između "susjednih" točki, tj. između točaka koje predstavljaju
a i b za koje je a ≤ b , a ≠ b i ne postoji c ∈ X \ {a, b} takav da je a ≤ c ≤ b , a sve
bridove koji su posljedica tranzitivnosti izostavljamo,
na kraju izostavimo i strelice, jer znamo da uvijek idu od točki nižeg do onih višeg nivoa.
Ovakav se pojednostavljeni graf naziva Hasseov dijagram relacije parcijalnog uređaja.
Zadatak 16. Nacrtaj Hasseov dijagram za relaciju "je manji od" na skupu {1,2,3,4,6,8,12} .
50
Zadatak 17. Nacrtaj Hasseov dijagram za relaciju "dijeli" na skupu {1,2,3,4,6,8,12} .
Zadatak 18. Nacrtaj Hasseov dijagram za relaciju "dijeli" na skupu {2,4,5,10,12,20,25} .
Zadatak 19. Nacrtaj Hasseov dijagram za relaciju "je podskup od" na partitivnom skupu
tročlanog skupa {a, b, c}.
Kad bismo htjeli nacrtati Hasseov dijagram za relaciju "je podskup od" na partitivnom skupu
šesteročlanog skupa {a, b, c, d , e, f }, rezultat bi izgledao ovako nekako:
51
Zadatak 20. Nacrtaj Hasseov dijagram za relaciju "dijeli" na skupu svih prirodnih djelitelja broja
105.
Uočavamo da su Hasseovi dijagrami u Zadatku 18 i Zadatku 19 u biti jednaki. Zato je prirodna
iduća definicija:
Definicija Neka su ( X 1 , ≤1 ) i ( X 2 , ≤ 2 ) parcijalno uređeni skupovi. Ako postoji bijekcija
f : X 1 → X 2 tako da je za sve a, b ∈ X 1 , a ≤1 b ⇒ f (a ) ≤ 2 f (b ) (funkcija čuva uređaj), kažemo
da su skupovi ( X 1 , ≤1 ) i ( X 2 , ≤ 2 ) uređajno izomorfni, a bijekciju f nazivamo još i uređajni
izomorfizam, ili samo izomorfizam.
Zadatak 21. Pokažite da su parcijalno uređeni skupovi iz Zadatka 18 i Zadatka 19 uređajno
izomorfni tako što ćete konstruirati uređajni izomorfizam između njih.
Zadatak 22. Binarna relacija ρ definirana je na skupu
∀x, y ∈ , xρ y ⇔ x 2 -3 xy + 2 y 2 = 0 .
na sljedeći način:
a) Ispitajte da li je ρ relacija ekvivalencije na skupu
. Ako jeste, odredite klase
ekvivalencije elemenata 0,1,2 i 6.
b) Ispitajte je li ρ relacija parcijalnog uređaja na skupu . Je li relacija totalnog, odnosno
dobrog uređaja?
c) Možete li odrediti infimum, supremum, minimalan i maksimalan element skupa ( , ρ ) ?
Zadatak 23. Binarna relacija ρ definirana na skupu
xρy ⇔ (∃k ∈ ) x + y = 2kx .
a) Ispitajte je li ρ relacija parcijalnog uređaja na skupu
, tako da za sve x, y ∈
vrijedi
.
52
b) Ispitajte je li to i relacija totalnog uređaja na . Je li relacija dobrog uređaja?
c) Ako je ρ relacija parcijalnog uređaja, odredite (ako postoje) infimum, supremum,
minimalan i maksimalan element skupa .
zadana je binarna relacija ρ uvjetom:
, xρ y ⇔ x 4 y + 1 ≤ y 4 x 2 + 1 .
Zadatak 24. Na skupovima S ⊆
∀x, y ∈
(
a) Ispitajte je li
2
) (
)
ρ relacija parcijalnog uređaja na skupovima S1 =
, S 2 = 0,+∞ ,
1 1
S 3 = [1, + ∞ , S 4 = − ∞, −  ∪  , + ∞ .
2 2
b) Za one od skupova na kojima je ρ relacija parcijalnog uređaja, ispitajte je li ρ relacija
totalnog, odnosno dobrog uređaja.
c) Za one od skupova na kojima je ρ relacija parcijalnog uređaja, odredite (ako postoje)
infimum, supremum, minimalan i maksimalan element skupa.
53

ovdje - Hrvatsko muzejsko društvo

Kratak program i sponzorske pogodnosti

Suvremena Kristalografija u Hrvatskoj

komentari

PROGRAM i PRISTUPNICA - Hrvatsko psihijatrijsko društvo

Предавања из Основа математике

PARADOKSI U MATEMATICI

Državno 2013

Pismena priprema broj 7

Internet i razredna nastava (matematike) - T-com

INŽINJERSKA MATEMATIKA I