Sadržaj Skup Relacija . INŽINJERSKA MATEMATIKA I . Skupovi. Relacije. dr Špiro Gopčević [email protected] .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija 1. Skup Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova 2. Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sadržaj 1. Skup Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova 2. Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . O skupovima Skup je osnovni matematički pojam pa se ne definiše. Skup je uzet za osnovni matematički pojam jer je intuitivnio jasan . Primer . Svima je jasno šta predstavljaju Skup studenata nekog fakulteta. Skup parnih prirodnih brojeva. . Skup rešenja jednačine 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . O skupovima . Primer . Primeri skupova i njihovi elementi: Skup boja duge: crvena, narandžasta, žuta, zelena, plava, ljubičasta Skup stanja materije: čvrsto, tečno, gasovito, plazma Skup koji sadrži raznorodne elemente: 3, a, crveno, Srbija . Skup nekoliko selektovanih realnih brojeva: 2.1, π, 0, -6.32, e .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Pripadnost elementa skupu Osnovni odnos između elemenata i skupova je pripadanje. Izraz ”a pripada 𝐴” se simboličkim matematičkim jezikom piše 𝑎∈𝐴 Kaže se i da je a element skupa 𝐴, ili da je a sadržan u 𝐴. . Primer . Primer pripadnosti elementa skupu: . 4 ∈ {1, 2, 3, 4} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Elemenat ne pripada skupu Izraz ”a ne pripada skupu 𝐴”, odnosno negacija formule 𝑎 ∈ 𝐴, se simbolički označava sa a 𝑎∉𝐴 . Primer . Primer nepripadnosti elementa skupu: . 7 ∉ {1, 2, 3, 4} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Označavanje skupova Za simboličko označavanje skupova najčešće koristimo slova latiničnog alfabeta Skupove obično označavamo velikim italic slovima: 𝐴, 𝐵, 𝐶 Elemente skupova označavamo malim italic slovima: a, x, y .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Podskup skupa Često sami skupovi jesu elementi drugih skupova. . Primer . Prava, kao skup tačaka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni . Nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu svih nacija .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Zadavanje skupa . Načini zadavanja skupova . Analitički - navođenjem elemenata skupa između velikih zagrada Sintetički - navođenjem svojstava koje elementi zadovoljavaju Venovim dijagramima . Zadavanje skupa preko rekurzivne (induktivne) definicije skupa .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Zadavanje skupa Pri zadavanju skupa: Svi elemenati skupa moraju biti sasvim dobro definisani Pripadanje, a takođe i nepripadanje, nekog elemenata skupu mora se odrediti bez ikakve dvosmislenosti .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Analitički način zadavanja skupa Navođenjem svih elemenata skupa između vitičastih zagrada {3, 6, 7} {1, 2, ..., 𝑛} {2, 4, 6, 8, ...} ℕ = {1, 2, 3, ...} Konačan skup, sa elementima 3, 6 i 7. Ovakav način zadavanja skupova koristi se za konačne skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je tehnički moguće sve navesti Konačan skup sa većim brojem elemenata koje tehnički nije moguće sve navesti, zbog čega stavljamo tri tačke ”. . .” koje znače ”i tako dalje, po istom obrascu”. Odgovarajući obrazac mora da bude očigledan. Skup svih parnih brojeva. Ovaj skup je beskonačan. Skup svih prirodnih brojeva .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Analitički način zadavanja skupa . Zadatak . Razmotrimo skup 𝐶 = {3, 5, 7, …}. Koji je sledeći elemenat ? . . Rešenje . Ako je to skup svih neparnih brojeva većih od 2, to je 9 . Ako je to skup svih prostih brojeva veći od 2, to je 11 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Analitički način zadavanja skupa . Zadatak . Razmotrimo skup 𝐶 = {3, 5, 7, …}. Koji je sledeći elemenat ? . . Rešenje . Ako je to skup svih neparnih brojeva većih od 2, to je 9 . Ako je to skup svih prostih brojeva veći od 2, to je 11 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Analitički način zadavanja skupa Redosled elemenata skupa pri navođenju nije od značaja. Elemente skupa najčešće pišemo u redosledu jer tako napisani su čoveku lakši za razumevanje . Primer . {1, . 2, 3, 4, 5} je ekvivalentan sa {3, 5, 2, 4, 1} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Analitički način zadavanja skupa Skupovi ne sadrže duple elemente . Primer . Skup samoglasnika u abecedi: Nema smisla navoditi kao {a, a, a, e, i, o, o, o, o, o, u} . Ono što stvarno želimo je samo {a, e, i, o, u} . Primer . Lista studenata u razredu: . Nema smisla navoditi jednoga studenta dva puta .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa Često nije moguće navesti sve elemente nekog skupa Skupovi se zapisuju u sledećem obliku 𝐴 = {𝑥|𝑥 ima svojstvo 𝑃 (𝑥)} ili 𝐴 = {𝑥|𝑃 (𝑥)} 𝑃 (𝑥) označava svojstvo koje elemenat skupa može imati. Čita se: Skup svih elemenata 𝑥 za koje važi 𝑃 (𝑥) Skup svih elemenata 𝑥 koji imaju svojstvo 𝑃 (𝑥) Skup svih elemenata 𝑥 takvih da je 𝑃 (𝑥) zadovoljeno Zajedničko svojstvo objedinjuje u skup sve elemente sa tim svojstvom. .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa . Primer . 𝐴 = {𝑎 ∈ ℤ||𝑎| < 3} = {−2, −1, 0, 1, 2} . 𝐵 = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥2 = 2} = ∅ .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa Generalno, skup se zadaje na sledeći način 𝐴 = {𝑓 (𝑥)|𝑃 (𝑥)} 𝑓 (𝑥) je elemenat skupa zadat u obliku izraza koji zavisi od 𝑥. Čita se: Skup svih elemenata 𝑓 (𝑥) za koje važi 𝑃 (𝑥) Skup svih elemenata 𝑓 (𝑥) koji imaju svojstvo 𝑃 (𝑥) Skup svih elemenata 𝑓 (𝑥) takvih da je 𝑃 (𝑥) zadovoljeno .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa . Zadatak . Kako može da se zada skup svih parnih prirodnih brojeva ? . . Rešenje . Različiti načini zadavanja skupa svih parnih prirodnih brojeva 𝑆 𝑆 = {2𝑥|𝑥 je prirodan broj } 𝑆 = {2𝑥|𝑥 ∈ ℕ} U . gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa . Zadatak . Kako može da se zada skup svih parnih prirodnih brojeva ? . . Rešenje . Različiti načini zadavanja skupa svih parnih prirodnih brojeva 𝑆 𝑆 = {2𝑥|𝑥 je prirodan broj } 𝑆 = {2𝑥|𝑥 ∈ ℕ} U . gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa . Zadatak . .Napišite skup svih prirodnih brojeva manjih od 7. . Rešenje . 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 7} U . gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) jednako 𝑥 ∈ ℕ .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Sintetički način zadavanja skupa . Zadatak . .Napišite skup svih prirodnih brojeva manjih od 7. . Rešenje . 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 7} U . gornjem izrazu je 𝑓 (𝑥) jednako 𝑥 ∈ ℕ .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Venovi dijagrami Skupove grafički najčešće zadajemo pomoću Venovih dijagrama Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tačaka izvesnih geometrijskih figura u ravni (krugovi ili elipse), i oblasti u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura. .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Rekurzivna (induktivna) definicija skupa . Definicija . Skup 𝐴 se može definisati rekurzivno (induktivno) na sledeći način: 1. Zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa 𝐴; . Određuje se način na koji se, pomoću određenih operacija, iz prethodno definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa 𝐴; 3. Kaže se da skupu 𝐴 mogu pripadati oni i samo oni elementi koji 2 . se mogu dobiti primenom pravila (1) i (2) konačan broj puta .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Kardinalni broj skupa Broj elemenata skupa može da bude konačan ili beskonačan . Definicija . Broj elemenata konačnog skupa 𝐴 nazivamo kardinalni broj skupa 𝐴 i obeležavamo ga sa card(𝐴) ili sa |𝐴| . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Kardinalni broj skupa . Zadatak . Odrediti kardinalni broj sledećih skupova: 1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4} . 𝐵 = {} 3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}} 2 . . Rešenje . 1. |𝐴| = 4 2. |𝐵| = 0 . |𝐶| = 4 3 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Kardinalni broj skupa . Zadatak . Odrediti kardinalni broj sledećih skupova: 1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4} . 𝐵 = {} 3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}} 2 . . Rešenje . 1. |𝐴| = 4 2. |𝐵| = 0 . |𝐶| = 4 3 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Kardinalni broj skupa . Zadatak . Odrediti kardinalni broj sledećih skupova: 1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4} . 𝐵 = {} 3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}} 2 . . Rešenje . 1. |𝐴| = 4 2. |𝐵| = 0 . |𝐶| = 4 3 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Kardinalni broj skupa . Zadatak . Odrediti kardinalni broj sledećih skupova: 1. 𝐴 = {1, 2, 3, 4} . 𝐵 = {} 3. 𝐶 = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {4, 5}} 2 . . Rešenje . 1. |𝐴| = 4 2. |𝐵| = 0 . |𝐶| = 4 3 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Jednakost skupova . Definicija . Dva skupa 𝐴 i 𝐵 su jednaka, u oznaci 𝐴 = 𝐵, ako imaju iste elemente . 𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵) Negacija gornje formule označava se sa 𝐴 ≠ 𝐵 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Jednakost skupova . Primer . Primeri jednakih skupova: {𝑥, 𝑥} = {𝑥} {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦, 𝑥} {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦, 𝑥, 𝑥} Jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti skupova. . Mogu se uočiti dva pravila koja se tiču zadavanja skupova navođenjem njegovih elemenata: Nije bitan redosled po kome se elementi navode Svaki element se navodi samo jednom. .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Jednakost skupova . Primer . Primeri nejednakih skupova: {𝑥, 𝑦} ≠ {𝑥} . {𝑥, 𝑦, 𝑛} ≠ {𝑧, 𝑦, 𝑥} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Podskup . Definicija . Skup 𝐴 je podskup skupa 𝐵, u oznaci 𝐴 ⊆ 𝐵, ako su svi elementi skupa 𝐴 sadržani u 𝐵, tj 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) Odnos ⊆ zove se inkluzija . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Pravi podskup . Definicija . Ako je 𝐴 ⊆ 𝐵 i 𝐴 ≠ 𝐵, onda se kaže da je 𝐴 pravi podskup skupa 𝐵, u oznaci 𝐴 ⊂ 𝐵 tj. . 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Podskup i pravi podskup . Primer . Primeri inkluzije: ℕ ⊆ ℤ - skup prirodnih brojeva je podskup skupa celih brojeva (i to pravi podskup) . {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ {𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑓 } .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Primer . Primeri u kojima su elementi skupa skupovi 𝑆 = {{1} , {2} , {3}} 𝑇 = {{1} , {{2}} , {{{3}}}} . 𝑉 = {{1} , {{2}} , {{{3}}} , {{1} , {{2}} , {{{3}}}}} . Napomena . Imajte u vidu da je 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}} . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Primer . Primeri u kojima su elementi skupa skupovi 𝑆 = {{1} , {2} , {3}} 𝑇 = {{1} , {{2}} , {{{3}}}} . 𝑉 = {{1} , {{2}} , {{{3}}} , {{1} , {{2}} , {{{3}}}}} . Napomena . Imajte u vidu da je 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}} . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Da li su sledeća tvrđenja tačna: 1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐} 2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}} . . Rešenje . 1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐 .2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste . elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Da li su sledeća tvrđenja tačna: 1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐} 2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}} . . Rešenje . 1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐 .2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste . elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Da li su sledeća tvrđenja tačna: 1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐} 2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}} . . Rešenje . 1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐 .2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste . elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Da li su sledeća tvrđenja tačna: 1. {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏} , 𝑐} 2. {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2} , 3, {1, 2, 3}} . . Rešenje . 1. Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Elementi skupa na levoj strani su 𝑎 i {𝑏, 𝑐}, elementi skupa na desnoj strani su {𝑎, 𝑏} i 𝑐 .2 Nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste . elemente. Elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Skup kao podskup skupa . Zadatak . Odrediti broj elemenata sledećih skupova: 1. {{1, {1}}} . {1, 2, 3, {𝑎, {𝑏}}} 3. {1, {2} , 3, {4, {5}}} 2 4. {1, 1, 1, {1, {1}}} . . Rešenje . 1. Ima 1 element, skup {1, {1}} 2. Ima 4 elementa: 1, 2 3 i skup {4, {5}} . Ima 4 elementa: 1, skup {2}, 3 i skup {4, {5}} 4. Ima 2 elementa: 1 (tri puta zapisana) i skup {1, {1}} 3 .. . Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svojstva jednakosti skupova . Svojstva jednakosti skupova . Za skupove 𝐴, 𝐵, 𝐶 važi 𝐴 = 𝐴 (refleksivnost) 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 𝐴 (simetričnost) . 𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐵 = 𝐶 ⇒ 𝐴 = 𝐶 (tranzitivnost) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svojstva inkluzije skupova . Svojstva inkluzije skupova . Za skupove 𝐴, 𝐵, 𝐶 važi 𝐴 ⊆ 𝐴 (refleksivnost) 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ⇒ 𝐴 = 𝐵 (antisimetričnost) . 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⊆ 𝐶 (tranzitivnost) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup Antisimetričnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada se dokazuje jednakost skupova 𝐴 = 𝐵, tako što dokazujemo da je 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Razlika skupova . Definicija . Razlika skupova 𝐴 i 𝐵, u oznaci 𝐴\𝐵, je skup koji sadrži elemente skupa 𝐴 koji ne pripadaju skupu 𝐵 B A 𝐴\𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 } ili . 𝐴\𝐵 (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴\𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Razlika skupova-nula skup . Definicija . Prazan skup, u oznaci ∅, definišemo kao skup 𝑋\𝑋 , gde je 𝑋 .proizvoljan skup. . Definicija . Prazan skup je skup koji nema elemenata. . Druga oznaka za prazan skup je ∅ = {} Ako vas zbunjuje oznaka za prazan skup ∅, u vašem problemu, zamenite je sa {} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Razlika skupova-nula skup Pošto je i prazan skup skup, on takođe može da bude elemenat drugog skupa . Primer . {∅, . 1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Razlika skupova-nula skup . Primer . Uočite da ∅ ≠ {∅} Skup sa leve strane nejednakosti je skup od nula elemenata Skup sa desne strane nejednakosti je skup od jednog elementa (taj jedan elemenat je prazan skup) Ovu nejednakost možemo da napišemo i kao {} ≠ {{}} . odakle može lakše da se vidi da ta dva skupa nisu jednaka .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Definicija . Presek skupova 𝐴 i 𝐵, u oznaci 𝐴 ∩ 𝐵, je skup svih elemenata koji pripadaju i skupu 𝐴 i skupu 𝐵. B A 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 } ili . 𝐴∩𝐵 (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵? . . Rešenje . .{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵? . . Rešenje . .{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Definicija . .Dva skupa su disjunktna ako im je presek prazan skup. B A .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . . Rešenje . {1, . 2, 3} ∩ {4, 5} = {} te su 𝐴 i 𝐵 disjunktni skupovi .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . . Rešenje . {1, . 2, 3} ∩ {4, 5} = {} te su 𝐴 i 𝐵 disjunktni skupovi .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Rešenje . {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . ∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . Napomena . Presek svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Rešenje . {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . ∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . Napomena . Presek svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Rešenje . {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . ∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . Napomena . Presek svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Rešenje . {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . ∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . Napomena . Presek svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Presek skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Ako je 𝐴 = ∅ i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∩ 𝐵 . Rešenje . {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . ∅ ∩ ∅ = ∅ - 𝐴 i 𝐵 su disjunktni skupovi . Napomena . Presek svakog skupa sa praznim skupom je prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Unija skupova . Definicija . Unija skupova 𝐴 i 𝐵, u oznaci 𝐴 ∪ 𝐵, je skup svih elemenata koji pripadaju bar jednom od skup ova 𝐴 i 𝐵. 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 } B A 𝐴∪𝐵 ili . (∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Unija skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵 . . Rešenje . .{1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Unija skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = {3, 4, 5} čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵 . . Rešenje . .{1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Unija skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵 . . Rešenje . .{1, 2, 3} ∪ {} = {1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Unija skupova . Zadatak . Ako je 𝐴 = {1, 2, 3} i 𝐵 = ∅ čemu je jednako 𝐴 ∪ 𝐵 . . Rešenje . .{1, 2, 3} ∪ {} = {1, 2, 3} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Komplement skupa . Definicija . Ako je 𝐵 ⊆ 𝐴, onda se razlika 𝐴\𝐵 zove komplement skupa 𝐵 u odnosu na 𝐴 i označava sa 𝐶𝐴 (𝐵) 𝐶𝐴 (𝐵) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵, 𝐵 ⊆ 𝐴} A ili B 𝐶𝐴 (𝐵) .(∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝐶𝐴 (𝐵) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵, 𝐵 ⊆ 𝐴) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Komplement skupa - univerzalni skup Često se posmatraju isključivo podskupovi nekog unapred datog skupa 𝑈 , koji se zove univerzalni skup Tada za 𝐵 ⊆ 𝑈 , 𝐶𝑈 (𝐵) se označava sa 𝐵 i zove se samo komplement skupa 𝐵: U ¯ B B 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∉ 𝐵} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svojstva skupovnih operacija Neka je 𝑈 skup i 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊆ 𝑈 . Tada važi: (1) Komutativnost 𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 (2) Asocijativnost 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 (3) Distributivnost 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) (4) Apsortivnost 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svojstva skupovnih operacija (5) Idepotentnost 𝐴∩𝐴=𝐴 𝐴∪𝐴=𝐴 (6) De Morganovi zakoni (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵 (7) 𝐴∩𝐴=∅ 𝐴∪𝐴=𝑈 (8) 𝐴∩𝑈 =𝐴 𝐴∪𝑈 =𝑈 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svojstva skupovnih operacija (9) 𝐴∩∅=∅ 𝐴∪∅=𝐴 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Binomni koeficijenat 𝑛 označava binomni koeficijenat ( 𝑘 ) 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑛 = ( 𝑘 ) 𝑘(𝑘 − 1) ⋯ 2 ⋅ 1 Posebne vrednosti binomnih koeficijenata 𝑛 𝑛 𝑛 = 1, = 𝑛, =1 ( 0 ) ( 1 ) ( 𝑛 ) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Šta je partitivni skup? . Definicija . Partitivni skup od 𝐴 je skup svih podskupova od 𝐴, u oznaci 𝑃 (𝐴). (∅ ∈ 𝑃 (𝐴)) 𝑃 (𝐴) = {𝑆 |𝑆 ⊆ 𝐴 } . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Treba imati u vidu da: . Prazan skup je elemenat svakog partitivnog skupa Skup 𝐴 je elemenat svoga partitivnog skupa 𝑃 (𝐴) Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata, njegov partitivni skup je jednočlan (jednoelementan): 𝑃 (∅) = {∅} . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Broj elemenata partitivnog skupa . Neka skup 𝐴 ima 𝑛 elemenata. Tada 𝑛 𝐴 ima podskupova sa 𝑘 elemenata (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) ( 𝑘 ) 𝑃 (𝐴) ima 2𝑛 elemenata . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Zadatak . Odrediti sve podskupove skupa 𝐴 = {𝑎, 2, 5, 𝑏}. . . Rešenje . Br.elem. 0 1 2 3 4 podskup Br.podsk. {} {𝑎}, {2}, {5}, {𝑏} {𝑎, 2}, {𝑎, 5}, {𝑎, 𝑏}, {2, 5}, {2, 𝑏}, {5, 𝑏} {𝑎, 2, 5}, {𝑎, 2, 𝑏}, {𝑎, 5, 𝑏}, {2, 5, 𝑏} 𝐴 1 4 6 4 1 ∑ = 16 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Zadatak . Odrediti sve podskupove skupa 𝐴 = {𝑎, 2, 5, 𝑏}. . . Rešenje . Br.elem. 0 1 2 3 4 podskup Br.podsk. {} {𝑎}, {2}, {5}, {𝑏} {𝑎, 2}, {𝑎, 5}, {𝑎, 𝑏}, {2, 5}, {2, 𝑏}, {5, 𝑏} {𝑎, 2, 5}, {𝑎, 2, 𝑏}, {𝑎, 5, 𝑏}, {2, 5, 𝑏} 𝐴 1 4 6 4 1 ∑ = 16 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Zadatak . Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i kardinalni broj partitivnog skupa: 1. 𝐴 = {0, 1} . 𝐵 = {0, 1, 2} 3. 𝐶 = {} 2 . . Rešenje . 1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4 2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}}, |𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8 . 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1 3 . Š.Gopčević .. . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Zadatak . Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i kardinalni broj partitivnog skupa: 1. 𝐴 = {0, 1} . 𝐵 = {0, 1, 2} 3. 𝐶 = {} 2 . . Rešenje . 1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4 2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}}, |𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8 . 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1 3 . Š.Gopčević .. . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Zadatak . Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i kardinalni broj partitivnog skupa: 1. 𝐴 = {0, 1} . 𝐵 = {0, 1, 2} 3. 𝐶 = {} 2 . . Rešenje . 1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4 2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}}, |𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8 . 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1 3 . Š.Gopčević .. . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Partitivni skup . Zadatak . Za date skupove odredite: partitivni skup, kardinalni broj skupa i kardinalni broj partitivnog skupa: 1. 𝐴 = {0, 1} . 𝐵 = {0, 1, 2} 3. 𝐶 = {} 2 . . Rešenje . 1. 𝑃 (𝐴) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}, |𝐴| = 2, |𝑃 (𝐴)| = 22 = 4 2. 𝑃 (𝐵) = {∅, {0} , {1} , {2} , {0, 1} , {0, 2} , {1, 2} , {0, 1, 2}}, |𝐵| = 3, |𝑃 (𝐵)| = 23 = 8 . 𝑃 (𝐶) = {∅}, |𝐶| = 0, |𝑃 (𝐶)| = 20 = 1 3 . Š.Gopčević .. . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Uređeni par {𝑥, 𝑦} označava skup koji sadrži elemente 𝑥 i 𝑦, pri čemu je {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥} tj., nije nije bitan redosled po kome navodimo elemente 𝑥 i 𝑦 Skup {𝑥, 𝑦} se ponekad naziva i neuređeni par elemenata 𝑥 i 𝑦 Često se nameće potreba da istaknemo koji je element prvi, a koji drugi u paru Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (𝑥, 𝑦) i kažemo da je (𝑥, 𝑦) uređeni par elemenata 𝑥 i 𝑦 Za 𝑥 kažemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za 𝑦 da je druga komponenta ili druga koordinata uređenog para (𝑥, 𝑦) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Primer uređenog para Svaka tačka u ravni može se predstaviti uređenim parom (𝑎, 𝑏) realnih brojeva, pri čemu za 𝑎 kažemo da je njena 𝑥-koordinata, a za 𝑏 da je njena 𝑦-koordinata. Kao što vidimo na slici, uređeni par (1, 3) nije isto što i uređni par (3, 1) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Definicija uređene 𝑛-torke Uopštenjem pojma uređenog para sa 𝑛 = 2 na bilo koji prirodan broj 𝑛 dolazimo do pojma uređene 𝑛-torke . Definicija . Uređena 𝑛-torka (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ), 𝑛 ≥ 1, elemenata 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , definiše se induktivno, na sledeći način: def 𝑛 = 1 ∶ (𝑎1 ) ==== 𝑎1 def 𝑛 ≥ 2 ∶ (𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ) ==== ((𝑎1 , … 𝑎𝑛−1 ), 𝑎𝑛 ) gde se elemenat 𝑎𝑖 , 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛} zove 𝑖-ta komponenta (koordinata) uređene 𝑛-torke (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ). . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Uređena 𝑛-torka . Primer . Za skupove važi {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1} dok je za uređene 𝑛-torke elemenata . (1, 1, 2, 2, 2) ≠ (1, 2) (1, 2) ≠ (2, 1) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Uređena 𝑛-torka . Jednakost uređenih parova . Uređeni parovi (𝑎, 𝑏) i (𝑐, 𝑑) su jednaki ako i samo ako je 𝑎 = 𝑐 i 𝑏 = 𝑑. . (𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) ∨ (𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑) . Jednakost uređenih 𝑛-torki . (𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑎𝑛 ) = (𝑏1 , 𝑏2 , … 𝑏𝑛 ) ⇔ (𝑎1 = 𝑏1 ∧ 𝑎2 = 𝑏2 ∧ … ∧ 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ) ∨ (𝑎1 = 𝑎2 = … = 𝑎𝑛 ) . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod Ako su 𝐴 i 𝐵 skupovi, onda se skup svih uređenih parova sa prvom koordinatom iz 𝐴, a drugom iz 𝐵 naziva Dekartov, Kartezijev ili direktan proizvod skupova 𝐴 i 𝐵, i označava se sa 𝐴 × 𝐵 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵} ili (∀(𝑎, 𝑏))((𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 ⇔ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod Dekartov kvadrat skupa 𝐴 je Dekartov proizvod 𝐴 × 𝐴 skupa 𝐴 sa samim sobom i označava se sa 𝐴2 . Primer . Ako je 𝐴 = {0, 1} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} onda je 𝐴 × 𝐵 = {(0, 𝑥), (0, 𝑦), (0, 𝑧), (1, 𝑥), (1, 𝑦), (1, 𝑧)} . 𝐴2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} Dekartov proizvod skupova sa 𝑚 i 𝑛 elemenata ima 𝑚𝑛 elemenata .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod . Zadatak . Ako je 𝐴 = {0, 1} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐵 × 𝐴 . . Rešenje . 𝐵 × 𝐴 = {(𝑥, 0), (𝑥, 1), (𝑦, 0), (𝑦, 1), (𝑧, 0), (𝑧, 1)} Vidi se da, vodeći računa o predhodnom primeru u opštem slučaju 𝐴 . ×𝐵 ≠𝐵×𝐴 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod . Zadatak . Ako je 𝐴 = {0, 1} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐵 × 𝐴 . . Rešenje . 𝐵 × 𝐴 = {(𝑥, 0), (𝑥, 1), (𝑦, 0), (𝑦, 1), (𝑧, 0), (𝑧, 1)} Vidi se da, vodeći računa o predhodnom primeru u opštem slučaju 𝐴 . ×𝐵 ≠𝐵×𝐴 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod . Zadatak . Neka je 𝐴 = {1, 2, 3, 4} i 𝐵 = {𝑎, 𝑏}. Grafički prikazati Dekartov proizvod 𝐴×𝐵 . . Rešenje . . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod . Zadatak . Neka je 𝐴 = {1, 2, 3, 4} i 𝐵 = {𝑎, 𝑏}. Grafički prikazati Dekartov proizvod 𝐴×𝐵 . . Rešenje . . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod . Zadatak . Ako je 𝐴 = {} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐴 × 𝐵 . . Rešenje . 𝐴 × 𝐵 = {} Ako se desi da je barem jedan od skupova u proizvodu prazan skup onda je i proizvod prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod . Zadatak . Ako je 𝐴 = {} i 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}, naći 𝐴 × 𝐵 . . Rešenje . 𝐴 × 𝐵 = {} Ako se desi da je barem jedan od skupova u proizvodu prazan skup onda je i proizvod prazan skup . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod 𝑛 skupova Dekartov proizvod 𝑛 skupova 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 , 𝑛 ≥ 1, se definiše na sledeći način 𝐴1 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1 , … , 𝑎𝑛 )|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛} Ako je bilo koji od skupova 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 prazan, onda je po definiciji prazan i skup 𝐴1 × … × 𝐴𝑛 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod primenom granastog dijagrama . Primer . Neka imamo tri skupa 𝐴 = {1, 2, 3}, 𝐵 = {𝑥, 𝑦} i 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Izračunati Dekartov proizvod 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov proizvod primenom granastog dijagrama . Rešenje . Dekartov proizvod može da se odredi pomoću granastog dijagrama . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Dekartov 𝑛-ti stepen Dekartov 𝑛-ti stepen skupa 𝐴, u oznaci 𝐴𝑛 (𝑛 ∈ {0, 1, 2, …}), je {∅} , 𝑛 = 0; ⎧ ⎪ 𝐴 , 𝑛 = 1; 𝐴 =⎨ ⎪ (𝑎 , … , 𝑎 )|𝑎 ∈ 𝐴 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 } , 𝑛 ≥ 2. ⎩ { 1 𝑛 𝑖 𝑖 𝑛 U ovoj definiciji je najbitnije da je 𝐴0 jednoelementan skup .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Načini dokazivanja identiteta skupova Dokaz jednakosti skupova 𝐴 i 𝐵 primenom tablice istinitosti (za razliku od tablice istinitosti za logičke izraze umesto simbola ⊤ i ⊥ pišu siboli ∈ i ∉) svođenjem na tautologiju - skupovi su jednaki onda i samo onda kada je formula (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵) tautologija preko dokaza tačnosti inkluzija: 𝐴 ⊆ 𝐵 i 𝐵 ⊆ 𝐴 što je ekvivalentno sa dokazom tačnosti implikacija: (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) (tj. 𝐴 ⊆ 𝐵) (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴) (tj. 𝐵 ⊆ 𝐴) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Tablice istinitosti . Primer . Dokazati sledeći identitet 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) primenom tablica istinitosti. . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Tablice istinitosti Tabela : Tablica istinitosti za 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ 𝐵 ∈ ∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ 𝐶 ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉ 𝐴∪𝐵 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ 𝐴∪𝐶 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∈ ∉ 𝐵∩𝐶 ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉ ∉ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I 𝐹 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svođenjem na tautologiju . Primer . Dokazati sledeći identitet 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) svođenjem na tautologiju. . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svođenjem na tautologiju . Primer . Treba dokazati da je: 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)) ⇔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)) 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) Ako uzmemo da je: 𝑝 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑞 ∶ 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑟 ∶ 𝑥 ∈ 𝐶 gornji izraz glasi 𝐹 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⇔ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) Potrebno je da dokažemo da je gornja formula tautologija . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Svođenjem na tautologiju . Primer . Tabela : Istinitosna tablica za formulu 𝐹 𝑝 1 1 1 1 0 0 0 0 𝑞 1 1 0 0 1 1 0 0 𝑟 1 0 1 0 1 0 1 0 𝑝∨𝑞 1 1 1 1 1 1 0 0 𝑝∨𝑟 1 1 1 1 1 0 1 0 𝑞∧𝑟 1 0 0 0 1 0 0 0 (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 1 1 1 1 1 0 0 0 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 1 1 1 1 1 0 0 0 . .. . .. . tj. ⊧ 𝐹 .Znači, gornja formula je tautologija Š.Gopčević Inžinjerska matematika I .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 𝐹 1 1 1 1 1 1 1 1 . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Preko dokaza tačnosti inkluzije . Primer . Za skupove 𝐴 i 𝐵 dokazati da je 𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵 .koristeći antisimetričnost inkluzije .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Preko dokaza tačnosti inkluzije . Primer . Prvo ćemo dokazati . 𝐴∩𝐵 ⊆𝐴∪𝐵 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Preko dokaza tačnosti inkluzije . Primer . Prvo ćemo dokazati 𝐴∩𝐵 ⊆𝐴∪𝐵 𝑥∈𝐴∩𝐵 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ . 𝑥∉𝐴∩𝐵 ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ¬(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ ¬(𝑥 ∈ 𝐵) 𝑥∉𝐴∨𝑥∉𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ̄ ∨ 𝑥 ∈ 𝐵̄ 𝑥 ∈ 𝐴 ̄ ∪ 𝐵̄ (def. komplementa) (def. preseka) (De Morganov zakon kod logike) (def. negacije) (def. kompletnosti) (def. unije) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Preko dokaza tačnosti inkluzije . Primer . Zatim ćemo dokazati . 𝐴∪𝐵 ⊆𝐴∩𝐵 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Preko dokaza tačnosti inkluzije . Primer . Zatim ćemo dokazati 𝐴∪𝐵 ⊆𝐴∩𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ̄ ∪ 𝐵 ̄ ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ . (𝑥 ∈ 𝐴)̄ ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)̄ (𝑥 ∉ 𝐴) ∨ (𝑥 ∉ 𝐵) ¬(𝑥 ∈ 𝐴) ∨ ¬(𝑥 ∈ 𝐵) ¬((𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)) ¬(𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵) 𝑥∈𝐴∩𝐵 (def. unije) (def. kompletnosti) (def. negacije) (De Morganov zakon iz logike) (def. preseka) (def. komplementa) .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova . Preko dokaza tačnosti inkluzije . Primer . Iz antisimetričnosti inkluzije sledi da su skupovi jednaki . ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ (𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⇒ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Sadržaj 1. Skup Zadavanje skupova Jednakost skupova. Podskup Operacije sa skupovima Partitivni skup Dekartov proizvod skupova Dokazivanje identiteta skupova 2. Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Šta je relacija? Često se javlja potreba da se između izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. . Primer . Javlja se potreba da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu, da se poređaju u skladu sa nekim pravilom, da se odrede izvesne sličnosti između objekata, i da se oni grupišu u . grupe međusobno sličnih objekata, itd. U matematici se sve ovo može uraditi korišćenjem matematičkog pojma relacije .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Šta je relacija? Relacija ukazuje na određene odnose među matematičkim objektima . Primer . Pretpostavimo da imamo dva neprazna skupa 𝐴 i 𝐵. Relacija se može posmatrati kao povezivanje elemenata skupa 𝐴 sa elementima skupa 𝐵 gde je važno da se zna koji elementi skupa 𝐴 su u vezi, u relaciji, sa kojim elementima skupa 𝐵. . Relacija razdvaja one uređene parove elemenata skupova 𝐴 i 𝐵 za koje se kaže da jesu od onih za koje se kaže da nisu u toj relaciji. .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Binarna relacija . Definicija . Bilo koji neprazan podskup 𝜌 Dekartovog proizvoda 𝑋1 × 𝑋2 (𝑋𝑘 ≠ ∅, 𝑘 = 1, 2) (𝜌 ⊆ 𝑋1 × 𝑋2 ) nazivamo binarna relacija u tom proizvodu. Za elemente 𝑥1 ∈ 𝑋1 , 𝑥2 ∈ 𝑋2 kažemo da su u relaciji 𝜌 , .ako i samo ako (𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ 𝜌 Neprazan podskup 𝜌 skupa 𝑋 2 zove se binarna relacija u 𝑋. Ako je (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌, tada se kaže da je 𝑥 u relaciji 𝜌 sa 𝑦 i piše se 𝜌 (𝑥, 𝑦) ili 𝑥𝜌𝑦 Skup uređenih parova (𝑥, 𝑦) ⊂ 𝑋 × 𝑌 koji su u relaciji 𝜌 piše se 𝜌 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌 |𝑥𝜌𝑦} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Binarna relacija . Primer . Neka je 𝑋 = {1, 4, 5} i 𝑌 = {2, 6}. Tada je 𝑋 × 𝑌 = {(1, 2), (1, 6), (4, 2), (4, 6), (5, 2), (5, 6)} Neka je, na primer, relacija 𝜌 = {(1, 6), (4, 2), (5, 6)} Relacija će predstavljati i bilo koji drugi podskup 𝑋 × 𝑌 kao na primer 𝜌 = {(1, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 6)} .ili neki drugi podskup. .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Binarna relacija . Zadatak . Napisati relaciju 𝜌 definisanu sa 𝜌 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 = 8; 𝑥, 𝑦 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}} . . Rešenje . Pravilo glasi: od uređenih parova skupa {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 9), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 9), ..., (9, 1), (9, 2), ..., (9, 9)} formirati skup uređenih parova takvih da zbir njihove prve i druge komponente bude 8, pri čemu se obe komponente uzimaju iz skupa {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} 𝜌 . = {(1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Binarna relacija . Zadatak . Napisati relaciju 𝜌 definisanu sa 𝜌 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 = 8; 𝑥, 𝑦 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}} . . Rešenje . Pravilo glasi: od uređenih parova skupa {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 9), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 9), ..., (9, 1), (9, 2), ..., (9, 9)} formirati skup uređenih parova takvih da zbir njihove prve i druge komponente bude 8, pri čemu se obe komponente uzimaju iz skupa {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} 𝜌 . = {(1, 7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)} .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . 𝑛-arna relacija . Definicija . Bilo koji neprazan podskup 𝜌 Dekartovog proizvoda 𝑋1 × … × 𝑋𝑛 (𝑋𝑘 ≠ ∅, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛) (𝜌 ⊆ 𝑋1 × … × 𝑋𝑛 ) nazivamo 𝑛-arna relacija u tom proizvodu. Za elemente 𝑥1 ∈ 𝑋1 , 𝑥2 ∈ 𝑋2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋𝑛 kažemo da su u relaciji 𝜌 , ako i samo ako (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝜌 . Broj 𝑛 se naziva arnost ili dužina relacije Relacije: arnosti 1 nazivamo unarne relacije arnosti 2 su upravo binarne relacije arnosti 3 nazivamo ternarne relacije .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . 𝑛-arna relacija . Primer . Primer ternarne relacije definisane sa . 𝜌 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 } .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Grafičko predstavljanje relacija . Primer . Dekartov kvadrat 𝐴2 skupa 𝐴 se grafički predstavlja kvadratom čija donja i leva ivica predstavljaju skup 𝐴 Binarne relacije na 𝐴 se u tom slučaju predstavljaju kao skupovi tačaka sa odgovarajućim koordinatama u tom kvadratu U ovom primeru je (𝑎, 𝑏) ∈ 𝜌, što pišemo 𝑎𝜌𝑏, dok (𝑐, 𝑑) ∉ 𝜌 . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Grafičko predstavljanje relacija . Primer . Ako je 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, relaciju 𝜌 = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑑, 𝑎), (𝑑, 𝑑)} prikazati grafički. Posto je skup 𝐴 konačan i diskretan, onda 𝐴2 predstavljaju tačke čvorova mreže dobijene u presecima horizontalnih i vertikalnih pravih povučenih kroz tačke skupova 𝐴 i 𝐴. Relaciju 𝜌 ⊆ 𝐴2 predstavljamo tako što parove tačaka iz 𝜌 u toj mreži označavamo malim kružićima. . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . Sadržaj Skup Relacija Binarna relacija 𝑛-arna relacija . Grafičko predstavljanje relacija . Primer . . .. Š.Gopčević . .. . .. . Inžinjerska matematika I . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .
© Copyright 2024 Paperzz
