PARADOKSI U MATEMATICI Vjerojatno oduvijek ljude zanimaju igre s razumom i logikom, stvari koje se čine nemogućima i same sebi protuslovnima. Takve zanimljive „pogreške“ postoje i u savršenoj matematici, a tijekom pocijesti otkrivali su ih, možda slučajno, možda tražeći ih, nadareni pojedinci. Pogledajmo neke od matematičkih paradoksa. Prvi je Zenon, filozof iz 5.st. pr. Kr., pripadnik elejske škole koja je djelovala u gradu Eleji na jugu Italije. On je pokušao dokazati da NEMA KRETANJA, odnosno da ono, kada ga analiziramo, na racionalnoj razini, ne postoji. BRZONOGI AHILEJ NIKADA NEĆE PRESTIĆI SPORU KORNJAČU. Ako ona počne trčati 10 stadija prije njega ( 1 stadij = 19,2 m ), dok on pretrči tu udaljenost, ona će prevaliti još 1 stadij, a dok on otrči još to, ona je odmakla za 0.1 stadij...i tako u beskonačnost. Znači,ona će uvijek biti ispred njega, pa dok on dođe na njezino mjesto ona će već biti drugdje. No, matematika je ovdje našla rješenje, a ono je u beskonačnom geometrijskom redu čiju je sumu moguće odrediti ( S = a1/(1-q)). Ukupno vrijeme samo je zbroj pojedinačnih vremena za koje Ahilej pretrči različite udaljenosti; vrijeme za koje pređe 10 stadija je t, 1 stadij za t/10, 0.1 stadij za t/100, itd. = BESKONAČNI GEOMETRIJSKI RED.Ukupno vrijeme je suma svih vremena, a iznosi 10/9 * t. Ukupan put koji Ahilej pređe dok ne prestigne kornjaču se isto izračuna po formuli za sumu ( 10+1+0.1+ 0.01...) i iznosi 11.1111... stadij. Zenon je na još neke naćine pokušao dokazati da kretanja nema. Jedan od njih je DIHOTOMIJA a kaže da kretanje nikad ne može ni početi jer od točke A do B subjekt prvo treba preći polovicu puta, pa polovicu te polovice i tako u beskraj. Putovanje STRJELICE također je opisivao samo kao skup položaja, točaka u kojima ona miruje. A suma mirovanja na može biti kretanje. Pogledajmo sad malo paradoksalne primjere fraktala. Fraktali su likovi čijim povećanjem otkrivamo sve veću složenost. Jedni od najzanimljivijih su Kochova pahuljica (Helge fon Koch, švedski matematičar) i Sierpinskijev trokut ( Waclaw Sierpinski, poljski matematičar). Kochova pahuljica lik je koji ima beskonačnu duljinu jer njena struktura postaje sve složenija i složenija. U prvom koraku konstrukcije imamo jedan jednakostraničan trokut na čijim stranicama se u daljnjim koracima konstruiraju novi trokuti stranica dugih trećinu prethodnih. U svakom sljedećem koraku stranica je 4 puta više...i tako u beskonačnost! ( Ln = 3* (4/3)n). Ipak, ova pahuljica ima konačnu površinu i ona iznosi 8/5!! Sierpinskijev trokut primjer je fraktala koji nema površinu! Kako je to moguće?? U početku imamo jedan jednakostraničan trokut iz kojeg u svakom koraku izrezujemo manje jednakostranične trokute (broj izrezanih trokuta jednak je broju koraka). Kad n teži nuli, niz joj također teži. Prema tome, nema površine. ( Pn = (3/4)n). Meni dva najzanimljivija paradoksa su Russellov i problem Montyja Halla. Bertrand Russell engleski je matematičar, logičar i filoof, tvorac je paradoksa u teoriji skupova. Pojednostavljeni paradoks objašnjen na primjeru glasi: U nekom gradu postoji samo jedan brijač i zakon o brijanju. Zakon kaže da svi muškarci moraju biti obrijani, a one koji se ne briju sami brije brijač. Postavlja se pitanje tko brije brijača. U tome leži paradoks, jer: ako brijač brije sam sebe, znači da ga brije osoba zadužena za brijanje samo onih koji se ne briju sami. A brijač, opet, ne može samo „otići“ kod brijača, jer bi i onda brijao sam sebe. U teoriji skupova paradoks bi išao ovako: Neka je S skup svih skupova koji ne sadržavaju sami sebe. Pripada li skup S u taj skup? Ako DA, onda po definiciji skupa koja kaže da je S skup skupova koji ne sadržavaju sami sebe, on NE sadržava sam sebe pa ne može ni pripadati tom skupu. Ako opet zaključimo da NE pripada tom skupu, po definiciji skupa on DA, pripada samom sebi. (Skup može pripadati ili ne pripadati sebi na ovaj način: skup svih ptica nije ptica, ali skup svih skupova s više elemenata i sam ima više elemenata pa pripada sam sebi, odnosno u svoju definiciju.) Problem Montyja Halla nazvan je po voditelju showa „Let`s make a deal“ koji se prikazivao u SAD-u 60-ih i 70-ih godina. Radi se o igri koja se sastoji u tome da biramo između troje vrata i nadamo se dobitku, autu. Dakle, jedna vrata skrivaju auto, a dvoje dvije koze. Igra počinje našim odabirom jednih vrata. Šansa da smo pogodili gdje je auto su je 1/3. Monty Hall onda izabire jedna vrata iza kojih je uvijek koza. Pita nas želimo li promijeniti odluku i izabrati druga od preostalih dvoje vrata ili ostati pri početnom odabiru. Paradoks je u tome što ako izaberemo druga vrata imamo veću vjerojatnos za pobjedu, iako je vjerojatnost naizgled jednaka. Ali! Nakon što smo mi u prvom koraku izabrali vrata, na ovim dvama preostalima je 2/3 vjerojatnosti da su točna. Kad su jedna od njih „otpala“, svu vjerojatnost za pobjedu „pokupila“ su ova preostala. Zaključak, šanse su nam veće promjenimo li mišljenje. I stvarnost je to potvrdila! Matematika obiluje sličnim paradoksima i problemima, zanimljivostima koje nam se u stvarnosti čine nemogućima i proturječnima jer zapravo ne razmišljamo o njima. Ali, ovo je svakako jedna od prezanimljivih područja za istraživanje. Jeste li znali da je u skupini od 23 ljudi vjerojatnost da bar dvoje ima rođendan na isti dan veća od 50%? Tko bi rekao? Vjerojatnosti se mijenjaju ovisno o malim detaljima ili kutu gledanja... A ovo je sve samo jedan mali dio matematike i obilja onoga što nudi! Savjet je da se samo malo pozabavite njome na bilo kojem od raznovrsnih područja i shvatit ćete da nije ni dosadna ni teška. Ona je jednostavno kraljica svih znanosti. Matematika! Vana Vukić
© Copyright 2024 Paperzz
