Glava 5 FURIJEOV RED Prilikom analize i obrade signala veoma je pogodno predstaviti složeni signal kao linearnu kombinaciju prostijih signala. Osim što ovakva predstava daje bolji uvid u prirodu signala, slijedeći princip linearnosti, obradu složenog signala možemo pojednostaviti putem obrade jednostavnih signala. Ideja razlaganja signala na prostoperiodične komponente eksponencijalnog (kosinusnog, sinusnog) oblika potiče s kraja 18. vijeka, kada je francuski matematičar, fizičar i istoričar Furije (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830), prilikom proučavanja oscilacija u fizici, tvrdio da se periodične kontinualne funkcije mogu razložiti na prostoperiodične komponente. On je svoja istraživanja pokušao da publikuje 1807. godine, ali tadašnja matematička javnost ih nije prihvatila. Rezultate istraživanja je Furije objavio 1822. godine u svojoj knjizi o prostiranju toplote (Théorie analytique de la chaleur), ali je njegova teorija priznata tek nakon formalnih dokaza koje je proveo matematičar Dirihle (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 1829. godine. Nakon toga, Furijeova teorija je našla veoma široku primjenu u mnogim oblastima nauke: teoriji brojeva, kombinatorici, numeričkoj analizi, statistici, teoriji vjerovatnoće, kriptografiji, optici, akustici, okeanografiji, a posebno u analizi i obradi signala. GLAVA 5 5.1 Razvoj kontinualnih periodičnih signala u Furijeov red Pretpostavimo da možemo izvršiti dekompoziciju periodičnog kontinualnog signala x ( t ) na jednostavne kompleksne eksponencijalne signale Ck e jk Ω t , Ck ∈ : 0 x ( t ) = ∞ Ce k jk Ω 0 t 2π , k ∈ . T0 , Ω0 = k =−∞ (5.1) Pri tome je T0 osnovni period signala, a varijabla Ω ima prirodu učestanosti. Ovakav zapis signala nazivamo razvojem signala u Furijeov red (Fourier Series – FS). Signali Ck e jkΩ t se nazivaju harmonijske komponente signala ili harmonici, a razvoj signala u Furijeov red harmonijska analiza. Osnovni ili prvi harmonici su komponente C±1e± jΩ t Furijeovog reda, dok je C0 jednosmjerna komponenta i predstavlja srednju vrijednost signala. 0 0 Da bi jednakost (5.1) bila zadovoljena, neophodno je odrediti kompleksne koeficijente Ck , koje nazivamo spektralni koeficijenti ili koeficijenti Furijeovog reda. Nakon množenja jednakosti (5.1) sa e− jlΩ t , l ∈ i integracije na jednom periodu dobijamo: 0 t0 + T0  x ( t ) e − jlΩ0t dt = t0 t0 + T0  t0 =  ∞  e − jlΩ0t   Ck e jk Ω0t  dt =  k =−∞  t0 + T0 ∞ C  k k =−∞ e j ( k − l ) Ω0t (5.2 ) dt . t0 Budući da je za k ≠ l t0 +T0  e j ( k − l ) Ω0 t t0 e( ) 0 dt = j ( k − l ) Ω0 j k −l Ω t t0 +T0 =0, (5.3) = T0 , (5.4) t0 a za k = l t0 +T0  t0 108 e j ( k − l ) Ω0 t t0 +T0 dt =  t0 t +T0 1 ⋅dt = t t0 0 Furijeov red desna strana jednakosti (5.2) jednaka je nuli za svako k , osim za k = l , pa dobijamo: t0 +T0  ∞ t0 +T0 k =−∞ t0  x ( t ) e − jk Ω0 t x ( t ) e− jlΩ0t dt = t0  Ck  e j ( k − l ) Ω0 t dt = Cl T0 , (5.5) odakle slijedi: Ck = 1 T0 t0 +T0 dt , k ∈  . (5.6) t0 Pošto je vrijednost integrala (5.6) jednaka na svakom periodu, radi lakšeg pisanja usvojićemo sljedeću notaciju pri računanju koeficijenata Furijeovog reda: Ck = 1 x ( t ) e − jk Ω0t dt , k ∈  . T0 T0 (5.7) Sljedeće dvije jednakosti: 2π , T0 (5.8) 1 x ( t ) e − jk Ω0t dt , k ∈  , T0 T0 (5.9) x ( t ) = Ck = ∞ Ce k k =−∞ jk Ω 0 t , Ω0 = predstavljaju Furijeov transformacioni par za kontinualne periodične signale. Prva jednakost transformacionog para, koja predstavlja periodičan kontinualan signal kao sumu elementarnih kompleksnih eksponencijalnih funkcija, je formula za sintezu signala, dok je druga jednakost, koja nam govori o vrijednostima koeficijenata Furijeovog reda kojima se množe elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije prilikom sinteze signala, formula za analizu signala. {C Skup k = Ck e od j arg Ck beskonačno mnogo spektralnih koeficijenata }, k ∈  koje nose informaciju o elementarnim funkcijama oblika Ck e jkΩ t na koje se razlaže kontinualan periodični signal x ( t ) , naziva se spektar signala. Spektar periodičnih signala je linijski (diskretan) jer je definisan samo u diskretnim, ekvidistantnim, tačkama Ω = k Ω 0 frekvencijske ose. 0 109 GLAVA A5 (a)) (b b) Slika 5.1 Prim mp plituudn nog i (b b) ffazn nogg sp pekttra perrioddičn nogg siggnaala. P mjerr (aa) am Mod M dul kkoeeficcijen nataa Furij F jeovvogg reedaa Ck naz o am mpllituddni spek ktar sig n zivaamo ignaala, a arggum men nataa Furi F ijeo ovogg reda r a θ k = argg Ck naz n zivaamo o faaznii sppekttar nt koe k eficiijen siggnalla. Naačin n graf g fičkke preedsttavve speektrra perriod dičn nih ko onttinuualn nih siggnaala prrikaazan n jee naa Sliici 5.1. Amp plituudn ni sp pekktarr no osi infform maccijuu o mo oduulim ma, a fazn f ni spek s ktarr o fazzam ma (p pom makuu u vrrem menuu) p pojedinaččnih h ellem menntarn nih h ko omp plekksn nih ekssponen ncijjaln nih fuunkccijaa čijjim suumirran njem m see dobiija pos p smaatraani siggnall. Kon K ncep pt sint s tezee siggnaala prreko o lin neaarnee ko om mbin naciije trig t gonom metrrijskkih fun nkccija priikazzan je na Slicci 55.2. Po osm matrrajuući izrraz za anaalizu sign nalaa (5.9),, jassno o je daa po osto oje siggnalli kooji se razlikkujuu u ko onaččno om bro ojuu izo olovvan nih sinngullariitetaa (p prekkidnih h tačakka), a iimaaju jed dnaake koeeficcijen nte Furrijeeovo og reda r a, jeer naa vrrijeddno ost inte i egraala 11 10 Furijeov red Ck = 1 x ( t ) e − jk Ω0t dt , k ∈  ne utiče konačan broj vrijednosti u izolovanim  T0 T0 tačkama. Zbog kontinualnosti kompleksne eksponencijalne funkcije e jk Ω t vrijedi da je e jkΩ t = e jkΩ t = e jkΩ t , pa dobijamo: 0 − 0 0 + 0 0 0 0 ∞ ( ) ( ) Ce x t0− + x t0+ = k jk Ω0 t0− + k =−∞ ∞ ∞  Ck e jkΩ0t0 = 2  Ck e jkΩ0t0 = 2 x ( t0 ) . + k =−∞ (5.10) k =−∞ Rekonstrukcijom signala na osnovu koeficijenata Furijeovog reda u tačkama diskontinuiteta t0 rekonstruiše se srednja vrijednost: x ( t0 ) = 1 − x t0 + x t0+  .  2 ( ) ( ) (5.11) Dakle, originalni i rekonstruisani signal se mogu razlikovati u konačnom broju diskretnih tačaka. Da bi razvoj signala u Furijeov red bio moguć, potrebno je da integral i suma, u jednakostima za analizu i sintezu signala, konvergiraju. Dovoljne uslove za egzistenciju razvoja signala u Furijeov red formulisao je njemački matematičar Dirihle, te se zato i nazivaju Dirihleovi uslovi. Prema tim uslovima, za egzistenciju Furijeovog reda neophodno je da signal: 1. bude apsolutno integrabilan na bilo kom otvorenom intervalu t0 +T0 trajanja jedne periode, tj. da je  x ( t ) dt < ∞ ; t0 2. ima konačan broj minimuma i maksimuma na bilo kom otvorenom intervalu trajanja jedne periode t0 < t < t0 + T0 ; 3. ima konačan broj diskontinuiteta (prekida prvog reda) na bilo kom otvorenom intervalu trajanja jedne periode t0 < t < t0 + T0 . 111 GLAVA A5 Ko omp pon nente: osm mjerrnaa (a)) jedno b) siin ( Ω 0 t ) (b (c)) coos ( Ω 0t ) d) siin ( 2Ω (d Ω 0t ) (e)) coos ( 2Ω Ω0t ) (f)) sin ( 3Ω 3 0t ) (g) g) coos ( 3Ω Ω0t ) p ko lineearn ne kom k mbinaacijee prrosttop periodiičniih funk f kcija: Sliika 5.22 P Prikkazz siggnaala prek dno osm mjern na kom mponeentta i (b-g) pro p osto operriod dičn ne kom mponeentte (a) jed dećo oj stran nicii); (naastaavakk naa slljed 11 12 Furijeo ov red (h) (i) (j) (k) (l) (m) ( (n) Slikaa 5..2 (naastaavakk): (h) a; (i) a+b b; (j) ( aa+b b+cc; (kk) a+b a b+cc+dd; (l) a+b+ +c+d+ +e; ((m)) a+ +b+ +c+ +d+ +e+ +f i (n n) a+b a b+cc+d d+ee+ff+g.. 113 1 GLAVA A5 S ka 55.3 Siinusoidda pro Slik omjjenlljivee učesstan nostti saa beskkonačn no mn mnogo o mini m imuumaa i maaksimuumaa unnutar jedn nogg peerio odaa. oluttnee in nteggrab biln nostti gaarantuuje da su svii čllano ovi Fuurijeeovvogg red da Uslovv aapso ko onaačnii: Ck = 1 1 1 x ( t ) e − jk Ω0t dtt ≤  x ( t ) e − jjk Ω0t dtt =  x ( t ) dt < ∞ .  T0 T0 T0 T0 T0 T0 ((5.12) U prrakksi se vrllo rrijeetko o jaavljajuu signaali kojji ispu i unjaavaaju usllov ap psoolutn ne biln pun njavvajuu jedan n ilii obba preo integgrab nostti, a nee isp p ostaala Dirihlleovva uslovaa. Prrim mjer signaala ko oji je apsoluutn no integrrabiilan n, aali ne zaadovolljavva ddru ugi hleo ov uslo ov jerr im ma bessko onaččno o mno m ogo minim mumaa i ma maksim muumaa unnuttar Dirih 2π T0 jed dno og perriod da, je x (t ) = sin p kazaan ,0 0 < t ≤ T0 ; x ( t ) = x ( t + nT T0 ) , n ∈  , prik t naa Sllici 5.33. Prrim mjer siignaala ko oji je ap psollutn no inttegrrabilan n, aali nee zado ovo oljavva treeći Dirih hleo ov uuslo ov, prrikaazan n jee na Slici S i 5..4. Posmatraajućći taj t sign nal vid dim mo da je svvakii peerio odijjeljen na besko onaačno o mno m ogo inttervvalaa, taako o daa jee prrvi od sign s nalaa po intervval jeddnaak pollovi vini peerio oda siggnaala, a svaaki nared dni dvva put p a krać k ći od o prreth hoddnogg. U svak s kom m od o tih beesko onaačnoo mno o in nterrvalla vrije v edn nostt siggnaala m ogo je konsttanttna i dva d putta man m nja u odn o nosuu nna vrije nostt u pre p etho odn nom m in nterrvallu. v edn Prrem ma to dno og peerioda siignal im ma beesko onaačn no mnnoggo omee, unuutaar jed disko ontiinuiitetta. 11 14 Furijeo ov red Slikka 5.4 Sign S nal sa bes b konnaččno dissko ontin nuiiteta unuttar jeddnog perio p odaa. 5.2 5 Fu uriijeov v re ed d re ealnih sign nalla odn no izvvedeeni izrrazii vrijeede kaako zaa reealn ne, takko i za k mpllekssne Svvi preetho z kom pak,, u praakssi see najč n češćće radi r i saa reealn nim siggnaalim ma, pa ćem mo o stogaa u siignaale.. Ip naliizi kojja slije s edi u ovo o om pooglaavljuu uves u sti takkvu prretp posttavkku. Akko je sign nal an nte Fuurijeeovvog redda: reealaan, za koeeficcijen Ck = 1 T0  x ( t ) e − jkk Ω0 t ddt , k ∈  (5.113) ddt , k ∈  , (5.114) T0 d jje: vrrijeedi da Ck* = C− k = 1 T0 1 T0  x ( t ) e jk Ω 0 t T0  x ( t ) e jkk Ω 0 t d , k ∈ . dt (5.115) T0 osti (5..14)) i (5.1 ( 15) jasnno slijedi daa je: Izz jeednaako 115 1 GLAVA 5 C− k = Ck* . (5.16) Ck* = Ck , (5.17) arg Ck* = − arg Ck , (5.18) Budući da je: zaključujemo da je amplitudni spektar realnih signala parna, a fazni spektar neparna funkcija: C− k = Ck , (5.19) arg C− k = − arg Ck . (5.20) Uvedimo oznaku θ k = arg Ck . Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra, realni dijelovi koeficijenata Furijeovog reda realnih signala: Re {Ck } = Ck cos θ k (5.21) su parni, dok su imaginarni dijelovi koeficijenata Furijeovog reda realnih signala neparni: Im {Ck } = Ck sin θ k . (5.22) Na sličan način parnost i neparnost signala u vremenskom domenu utiče na koeficijente Furijeovog reda realnih signala. Pokazaćemo sada da su koeficijenti Furijeovog reda parnih realnih signala realni, dok su koeficijenti Furijeovog reda neparnih realnih signala čisto imaginarni. Svaki signal može da se razloži na njegov parni  { x ( t )} i neparni  { x ( t )} dio: x ( t ) =  { x ( t )} +  { x ( t )} . (5.23) x ( −t ) =  { x ( t )} −  { x ( t )} , (5.24) Znajući da je: parni i neparni dijelovi signala se mogu odrediti na osnovu sljedećih izraza: 116 Furijeov red  { x ( t )} = x ( t ) + x ( −t )  { x ( t )} = 2 x ( t ) − x ( −t ) 2 , (5.25) . (5.26) Posmatrajmo sada koeficijente Furijeovog reda parnog i neparnog dijela signala: Ck = 1   { x ( t )} +  { x ( t )}  cos ( k Ω 0 t ) − j sin ( k Ω 0 t )  dt = Ckr + jCki . (5.27)  T0 T0  Koeficijenti Furijeovog reda parnog dijela signala: 1 T0 = T0 2 1 T  { x ( t )} cos ( k Ω0t ) dt − j T0 0 − 1 T0 2 T0 2   { x ( t )}sin ( k Ω t ) dt = 0 − T0 2 (5.28) T0 2   { x ( t )} cos ( k Ω t ) dt 0 − T0 2 su realni, jer je integral neparne funkcije  { x ( t )} sin ( k Ω 0 t ) na jednom periodu jednak nuli, dok su koeficijenti Furijeovog reda neparnog dijela signala čisto imaginarni: 1 T0 T0 2 1 T  { x ( t )} cos ( k Ω0t ) dt − j T0 0 − 2 =−j 1 T0 T0 2  T − 0 2 T0 2  T − 0 2  { x ( t )} sin ( k Ω0t ) dt = (5.29)  { x ( t )} sin ( k Ω0t ) dt , zbog toga što je integral neparne funkcije  { x ( t )} cos ( k Ω 0t ) na jednom periodu jednak nuli. Stoga vrijedi da je: 117 GLAVA 5 2 Ckr = T0 Cki = − j T0 2   { x ( t )} cos ( k Ω t ) dt , 0 (5.30) 0 T0 2 2 T0   { x ( t )} sin ( k Ω t ) dt , 0 (5.31) 0 što znači da parni dio signala generiše realni dio Furijeovog reda, dok neparni dio signala generiše imaginarni dio Furijeovog reda. 5.3 Trigonometrijski oblik Furijeovog reda Realne kontinualne periodične signale možemo, osim preko kompleksnog, predstaviti i preko trigonometrijskog oblika Furijeovog reda. Uz oznaku Ck = Ck e jθ , koristeći parnost amplitudnog (5.19) i neparnost faznog spektra (5.20), dobijamo: k x ( t ) = ∞ Ce k jk Ω0 t = k =−∞ −1 Ce k k =−∞ ∞ ∞ k =1 k =1 jk Ω0 t ∞ + C0 +  Ck e jk Ω0t = k =1 = C0 +  Ck e jk Ω0t +  C− k e − jk Ω0t ∞ j k Ω t +θ − j k Ω t +θ = C0 +  C k  e ( 0 k ) + e ( 0 k )  =   k =1 (5.32) ∞ = C0 + 2 Ck cos ( k Ω 0t + θ k ) . k =1 Konačan trigonometrijski oblik Furijeovog reda je: ∞ x ( t ) = a0 +  ( ak cos k Ω 0 t + bk sin k Ω 0 t ) , k =1 gdje su koeficijenti u razvoju signala dati sa: 118 (5.33) Furijeov red a0 = C0 , ak = 2 Ck cos θ k , (5.34) bk = −2 Ck sin θ k . 5.4 Za Parsevalova teorema za kontinualne periodične signale proizvoljan kompleksan signal, trenutnu snagu definišemo sa p x ( t ) = x ( t ) x ( t ) = x ( t ) 2 . Srednja snaga periodičnog signala je jednaka * integralu trenutne snage na jednom periodu: Px = 1 px ( t ) dt . Periodični T0 T0 signali imaju beskonačnu energiju, ali konačnu srednju snagu: Px = 2 1 x ( t ) dt .  T0 T0 (5.35) Pri razvoju signala u Furijeov red spektralni koeficijenti nose potpunu informaciju o signalu, jer je na osnovu njih moguće tačno rekonstruisati signal, osim eventualno u konačno mnogo izolovanih tačaka. Znajući to, za očekivati je da srednju snagu signala možemo izračunati na osnovu njegovih spektralnih koeficijenata. Polazeći od izraza za sintezu signala: x ( t ) = ∞ Ce k jk Ω0 t (5.36) k =−∞ i njegovog konjugovano kompleksnog oblika: x * ( t ) = ∞ C e k =−∞ * − jk Ω0 t k (5.37) slijedi: 119 GLAVA 5 Px = 2 1 1 1  ∞ * − jk Ω0t  *     = = x t dt x t x t dt x t ( ) ( ) ( ) ( )   Ck e  dt = T0 T0 T0 T0 T0 T0  k =−∞  ∞ ∞ 1  2 =  C k*   x ( t ) e − jk Ω0t dt  =  C k* Ck =  Ck . k =−∞ k =−∞  T0 T0  k =−∞ ∞ (5.38) Konačno imamo: Px = ∞ 2 1 2  x t dt = Ck . ( )   T0 T0 k =−∞ (5.39) Poslednja jednakost, koja se naziva Parsevalova teorema za periodične kontinualne signale, govori o održanju snage pri prelasku iz vremenskog u transformacioni (frekvencijski) domen, tako da srednju snagu signala možemo, osim u vremenskom domenu, računati sumirajući kvadrate koeficijenata amplitudnog spektra. Na osnovu Parsevalove teoreme, srednja snaga složenoperiodičnog signala je jednaka sumi snaga pojedinačnih harmonika. Posmatrajmo prostoperiodični eksponencijalni signal x ( t ) = Cm e jmΩ t . Jednostavnim poređenjem sa (5.1) zaključujemo da svi koeficijenti Ck Furijeovog reda, osim za k = m , moraju biti jednaki nuli. U spektru signala se pojavljuje samo jedna komponenta na učestanosti mΩ0 . Srednja snaga signala 0 2 je jednaka snazi te harmonijske komponente, P = Cm . Za realni prostoperiodični signal: x ( t ) = 2 Cm cos ( mΩ0t + θ m ) = Cm 1 = 2 (C e m jmΩ0 t + Cm e − jmΩ0 t e j ( mΩ0 t +θ m ) +e − j ( mΩ0 t +θ m ) 2 = (5.40) ), u spektru signala se pojavljuju dvije komponente na učestanostima ± mΩ0 , vrijednosti Cm 2 , gdje smo koristili oznaku Cm = Cm e jθ . Srednja snaga ovog m signala je jednaka: P= 120 1 1 2 2 2 Cm + Cm = Cm . 2 2 (5.41) Furijeo ov red Sllikaa 5.55 P Prim mjeer spek s ktraa sn nagge siignala.. Dist D trib buciija snaage po o spek s ktraalniim ko omp pon nentam ma zavvisii od d vrem v men nskkog nala. Sku S up freekveenccijskkih ko omp pon nen nti oblikka sign { C }, k ∈  2 k se u liteeratturi ktraalnaa guustinna snag s ge, ggusttinaa speektrra snag s ge illi kratk k ko speektaar snnagee siggnaala. nazivva spek 2 2 Za r lne siggnaale vriijed di C− k = Ck , ššto zn načii daa jee spek s ktarr snagge parrna Z real Prim mjerr guustiine speekttra sna nala dat d je j na n Slici S i 5. 5. fuunkkcijaa. P s age sign Prim P mjerr 5.1: Odr O rediiti i nacrtaati speektaar ssign nalaa x ( t ) = coos (1000π t ) . Rješe Rj enje:: Pore P eđeenjeem sa opš o štim m ob blikkom m cos dimo peri p iod siggnalla: c ( 2π F0 t ) , odrred 2π F0 = 100π  F0 = 50H Hz  T0 = 1 = 20 0ms . 50Hz (5.442) Koe nti Fur F rijeo ovo og reda r a suu daati sa: K eficiijen 121 1 GLAVA 5 Ck = 1 x ( t ) e − jk Ω0t dt , k ∈ Z ,  T0 T0 (5.43) te je: 10ms  Ck = 50Hz −10ms 10ms  = 50Hz −10ms cos (100π t ) e− jk100π t dt = (5.44) cos (100π t ) cos ( k100π t ) − j sin ( k100π t )  dt. Imaginarni dio podintegralne funkcije je neparna funkcija vremena, te je integral tog dijela na jednom periodu jednak nuli. Zbog toga je: 10ms Ck = 50Hz  −10ms cos (100π t ) ⋅ cos ( k100π t ) dt . (5.45) Ako se posmatra grafički prikaz proizvoda dvije kosinusoide učestanosti Ω0 i k Ω 0 , (na Slici 5.6 je ilustracija za k = 4 ), lako je uočiti da je površina ispod tog proizvoda na jednom periodu jednaka nuli, te je prethodni integral jednak nuli za svako k , osim za k = ±1 : 10ms C±1 = 50Hz  −10ms cos 2 (100π t ) dt = 50Hz 10ms  −10ms 1 1 = 50Hz ⋅ ⋅ 20ms = , 2 2 1 + cos ( 2 ⋅ 100π t ) 2 dt = (5.46) jer je i integral kosinusoide učestanosti 2Ω 0 na jednom periodu jednak nuli. Dakle, 1  , k = ±1 . Ck =  2  0, k ≠ ±1 (5.47) Amplitudni spektar datog prostoperiodičnog signala sa Slike 5.7(a) prikazan je na Slici 5.7(b). Signal je paran i realan, pa su njegovi koeficijenti Furijeovog reda realni, a amplitudni spektar paran. Fazni spektar je jednak nuli. 122 Furijeo ov red (a) (b) (c) oizvvodd haarm mon nijskkih ko omp pon nenti: (a) ( pro p osto opeerioodiččni sign s nal Sllikaa 5.6 Pro uččesttano ostii Ω0 ; (b) ( pro osto opeerio odiččni sign nal uččestanoostii 4Ω Ω0 i (c)) prroizzvod cos c ( Ω 0 t ) cos Ω0t ) . c ( 4Ω 123 1 GLAVA A5 (a)) (b b) Sliika 5.77 (a) ( Pro P osto operioddični sign s nal i (b b) njeg n gov am mpliituddni speektar. D ovo Do nja sm mo mo oglii doći d i jeedn nosttavn nijee, dire d ektn nim m pore p eđeenjeem og rjeešen siggnaala x ( t ) = coos (1000π t ) = e j 2π ⋅500t + e − j 2π ⋅500t 2 po omo oćuu Fuurijjeovvogg reeda x ( t ) = ∞ Ce k jk Ω0 t saa izzrazzom m za sin ntezu siggnaala mo da d je j osn o novn na . Takko zakkljuučujjem k =−∞ = raad , te daa suu svi s koeficcijen nti Fuurijeeovvogg reeda jeddnaaki s 1 nuuli, osiim zza k = ±1 , kkadaa im majuu vrrijeedno ostt . 2 uččesttano ost Ω0 = 2π ⋅ 50  12 24 Furijeo ov red Prim P mjerr 5.22: Odr O rediiti i nacrtaati speektaar ssign nalaa x ( t ) = coos Ω 0t + cos 2Ω 0 t + cos 5Ω 0t . Rješe Rj enje:: Ovaj O j slo ožeeno operriod dičn ni sign s nal je peri p ioddičan n sa osno o ovn nim m peerio odom T0 = 2π , Ω0 a sp pekktraalnee kom k mpo onen ntee siign nala suu ddeffinissan ne za diiskrretn ne učeestaano osti oefiicijeentii Fuurijeovvogg reda su jed dnakki nuli n i ossim za k = ±1, ±2, ±5 , Ω = k Ω 0 . Svii ko kadaa im majju vriijeddnost 0,55 . Am mpllituudnii spekktarr dato d og sloožen nop periioddičn nog siignaala datt je na Sliici 5.8. 5 . Faaznni sp pekktar je jjedn nakk nuuli. (a) (b) Sllikaa 5.8 (a) Slo oženopperriod dičn ni siignal i (b)) sp pekktar togg siignaala.  125 1 GLAVA A5 Prrim mjer 5.33: Odreeditti i nacr O n rtatii koe k ficiijen nte Fuurijeeovvogg reedaa povo orkke pra p avouugaaon nih im mpuulsaa priikazan ne na n SSlici 5..9. S ka 5.9 Po Slik ovo orkaa prravvouggao onih h im mpuulsaa. Rjješennje: K eficcijen Koe nti Fur F rijeo ovo og red r da: Ck = 1 1 x ( t ) e− jkj Ω0t dt =  T0 T0 T0 T  Aee − jk Ω0 t ddt ((5.4 48) −T zaa k ≠ 0 im o k: majuu oblik A e − jk Ω0t Ck = T0 − jjk Ω0 T = −T A e jkk Ω0T − e − jk Ω0T T e jk Ω0T − e − jk Ω0T = = 2A j Ω0 jk T0 j 2k Ω0T T0 n k Ω0T 2 AT 2 AT A sin 2 AT T T = = s c k Ω0T = sinc siinc k 2π . T0 k Ω0T T0 T0 T0 ((5.4 49) mo sreedn nju vrij v edn nosst siignala:: Zaa k = 0 ddobijam C0 = 12 26 1 j 0t x ( t ) e − jkΩ dt T0 T0 = k =0 1 T0 T  Addt = −T 2A AT . T0 ((5.5 50) Furijeo ov red S ka 5.10 Slik 5 0 K Koeeficcijen nti Fu urijeeovvog red da pov p vorkke prav p vouugaaoniih i pulssa sa imp s SSlike 5.9. Budu s nal paran n, nnjeggovvi koe k ficiijen nti Furrijeeovo og red da su reealn ni i B ući daa jee sign mož mo iih jeedn nostavvno priikazzatii grrafiččki,, kaao na n Slic S ci 5.10. Pood usllovo om m daa je m žem T T0 raccion nalaan brroj, nule u sp pekktruu ssign nalaa se poj p avlljujuu na nim n disskretn nosttim ma: učesstan kΩ Ω 0T = nπ  kΩ k 0= nπ , T (5.551) načee sp pekktarr neemaa nuule,, a akoo bii see naacrttalaa an nvellopa koef k ficijjenata Fuurijeeovvog in nπ ontiinualnoj osi o Ω , nuule te anv a velo opee bi bille za Ω = reedaa naa ko . T  127 1 GLAVA A5 Prrim mjer 5.44: P naćći srrednjuu sn Pron naguu siignaala sa Slikke 55.11 saadrržan nu u dijel d lu do d prv p ve nnulee u 1 4 njego ovo om sp pekttru. P Periiod d siign nala jee T0 = , a šširin na im mpuulsa 2T = Am mp plituuda im mpulsa je A = 1 . 1 . 0 20 P orkka prav p vou ugao onih h im mpulsaa. Sllikaa 5.11 Povo Rjješennje: Odnos polloviine širrinee im O mpuulsa i peri p odaa signaala je: T 1 T 1 . = . = 1 T0 110 T0 10 ((5.5 52) Osno ovn na uučesstan nosst siignaala je: Ω0 = 2π = 8π . 14 ((5.5 53) K ficijjentti Furi Koef ovogg reedaa zaa k ≠ 0 su: F ijeo Ck = 2 A T T T 1 kπ , ssincc kΩ Ω 0T = 2 A sinc s c k 2π = sinc T0 5 5 T0 T0 ((5.5 54) T 1 = . T0 5 ((5.5 55) do ok je: j C0 = 2 A 12 28 Furijeo ov red SSlikka 5.12 5 2 Koe K eficcijennti Furijeeovo og red da sign s nalaa sa Sliike 5.11. Prva P a nuula u spekktruu siignaala nasstup pa za: z kΩ Ω0 = π T k T 2π π = k = 0 =5. T0 T 2T (5.556) Na S ci 5..12 priikazzan ni suu ko oefficijentti F Furijjeovvogg reeda datogg siggnaala. N Slic Uku U upna srred dnjaa sn nagaa siggnaala je nakka: j jeedn 2 1 1 P =  x ( t ) dt d = T0 T0 T0 T  x ( t ) 2 −T dt = 4 1 40 d = 0, 2 .  1 dt 2 (5.557) 1 − 40 dnjaa sn nagaa saadržžan na u haarm nicim ma do prvve nulle u sp pekttru siggnalla jee: Sred mon ( ) P5 = C02 + 2 C12 + C22 + C32 + C42 = 2 1 1 =   + 2  5   5 ≈ 0,18 0 8. 2  π   2π s c 2   + sinc s c2  sinc 5    5   2  3π  + sinnc    5  2  4π   58)  + siinc   ≈ (5.5   5  Prim P mjettim mo da d je prib p ližn no 90% % od o uku u upn ne sred s dnjee sn nagge siign nala sad držano ou h pet p ko oefficijenaata Fuurijeeovvogg reedaa. Ako A o bism b mo zaanem prvih marili svve osttale mponen nte i rekkonstruuisaali sign nal saamo o na n osn o novvu prv p vih pet koef k ficijjenata kom Furi d ili bism b moo prribližan no obliik sign s nalaa. Ova O a čiinjeenicca se s kkoriisti F jeovogg reedaa, dobi m ko omp pressijee sign s nalaa, gdjje se, um umjesto ko om mpleetno og siggnaala u prilikkom 129 1 GLAVA 5 vremenskom ili transformacionom domenu, memoriše i prenosi samo dio koeficijenata iz transformacionog domena koji nose najviše informacija o signalu.  5.5 Generalisani Furijeov red Razvoj signala u Furijeov red predstavlja samo jedan od mogućih oblika predstavljanja signala preko elementarnih funkcija, pri čemu su te elementarne funkcije oblika ϕ k ( t ) = e jk Ω t , k ∈  . Osim preko kompleksnih eksponencijalnih funkcija različitih učestanosti, pokazaćemo da je razvoj signala moguć i preko drugih skupova ortogonalnih funkcija. 0 Posmatrajmo skup funkcija: {ϕ ( t ) , ,ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,} . −k −1 0 1 k (5.59) Ako su funkcije iz datog skupa, koje mogu biti i kompleksne, definisane na intervalu t1 ≤ t ≤ t2 i takve da na tom intervalu postoji integral umnoška ϕi ( t )ϕ *j ( t ) bilo koje dvije funkcije iz tog skupa, kažemo da je dati skup funkcija ortogonalan na intervalu t1 ≤ t ≤ t2 ako vrijedi: t2   ϕ ( t )ϕ ( t ) dt = const , 0, * j i t1 i≠ j . i= j (5.60) Ako uz to vrijedi da je const = 1 , tako da je: t2 0, i ≠ j , i= j   ϕ ( t )ϕ ( t ) dt = 1, i t1 * j (5.61) kažemo da je skup funkcija ortonormalan na intervalu t1 ≤ t ≤ t2 . Na primjer, prebrojiv skup kompleksnih eksponencijalnih funkcija: { e 130 − jk Ω 0 t } , , e − jΩ0t ,1, e jΩ0t , e jk Ω0t , , (5.62) Furijeov red na koje se vrši razvoj signala preko Furijeovog reda, je ortogonalan na intervalu 0 ≤ t ≤ T0 = 2π i svakom drugom intervalu veličine osnovnog perioda T0 . Ω0 Za skup funkcija kažemo da je kompletan ako ne egzistira niti jedna funkcija ψ ( t ) van tog skupa za koju vrijedi da je ortogonalna na sve funkcije iz datog skupa: t2 ψ ( t )ϕ ( t ) dt =0, ∀ϕ * i i  ψ (t ) = 0 . (5.63) t1 Na primjer, skup funkcija:  1, ϕi ( t ) =  0, ( i − 1) T T < t < i , i = 1, 2...N , N ∈  , N N za druge vrijednosti t (5.64) je ortogonalan na intervalu 0 ≤ t ≤ T , ali nije kompletan jer egzistira funkcija:   1,   ψ ( t ) =  −1,    0,  1T 2N T 1T , ≤t ≤ N 2N T ≤t ≤T N 0≤t ≤ (5.65) koja je ortogonalna na datom intervalu na sve funkcije iz datog skupa. Razmotrimo sada mogućnost razvoja signala preko funkcija iz prebrojivog skupa ortogonalnih funkcija: {ϕ ( t ) , ,ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,} . −k −1 0 1 k (5.66) Pretpostavimo da signal možemo predstaviti težinskom sumom ovih funkcija: x ( t ) =  + c− k ϕ − k ( t ) +  + c−1ϕ −1 ( t ) + c0ϕ 0 ( t ) + c1ϕ1 ( t ) +  + ck ϕ k ( t ) +  (5.67) Da bi to bilo moguće, potrebno je pronaći način za određivanje koeficijenata ck , k ∈  u navedenoj težinskoj sumi. S tim ciljem, pomnožimo 131 GLAVA 5 prethodnu jednakost sa funkcijom ϕ *k ( t ) i pronađimo integral na intervalu t1 ≤ t ≤ t2 , na kom su funkcije iz navedenog skupa ortogonalne: t2  x ( t )ϕ ( t ) dt = * k t1 t2 t2 t2 t1 t1 t1 (5.68) =  + ck −1  ϕ k −1 ( t )ϕ k* ( t ) dt + ck  ϕ k ( t )ϕ k* ( t ) dt + ck +1  ϕ k +1 ( t ) ϕ k* ( t ) dt +  Zbog ortogonalnosti funkcija, svi integrali s desne strane jednakosti (5.68), t2 osim  ϕk ( t )ϕk* ( t ) dt , su jednaki nuli, pa se vrijednosti koeficijenata u razvoju t1 (5.67) mogu odrediti na sljedeći način: t2  x ( t )ϕ ( t ) dt * k ck = t1 t2  ϕ ( t )ϕ ( t ) dt , k ∈ . (5.69) * k k t1 Razvoj signala preko ortogonalnih funkcija (5.67) nazivamo generalisani Furijeov red, a koeficijente tog razvoja (5.69) koeficijentima generalisanog Furijeovog reda. Specijalan slučaj ovog razvoja predstavlja razvoj preko kompleksnih eksponencijalnih funkcija ϕ k ( t ) = e jk Ω t , k ∈  , koje su 0 ortogonalne na intervalu 0 ≤ t ≤ 2π = T0 . Koeficijenti ck su tada jednaki Ω0 koeficijentima Furijeovog reda: ck = Ck = 1 x ( t ) e − jk Ω0t dt , k ∈  ,  T0 T0 (5.70) jer je:  ϕ ( t )ϕ ( t ) dt =  e k T0 * k T0 jk Ω0 t − jk Ω0 t e dt =  1 ⋅ dt = T0 , (5.71) T0 a razvoj signala preko ortogonalnih funkcija (5.67) postaje razvoj signala u Furijeov red: 132 Furijeov red x ( t ) = ∞ Ce k jk Ω 0 t , k ∈ . (5.72) k =−∞ Svaka elementarna funkcija u Furijeovom redu je periodična sa osnovnim periodom T0 , pa prema tome i signal koji se razvija u Furijeov red kao zbir ovih elementarnih funkcija mora biti periodičan sa istim osnovnim periodom. 5.6 Prekinuti razvoj signala u Furijeov red Ako se posmatra prekinuti razvoj signala u Furijeov red, uzimajući konačan broj članova Furijeovog reda u izrazu za sintezu signala (5.8): x N ( t ) = N Ce k jk Ω0 t , (5.73) k =− N umjesto originalnog signala x ( t ) , dobićemo aproksimaciju signala. Na Slici 5.13 prikazana je rekonstrukcija povorke pravougaonih impulsa na osnovu nekoliko prvih članova Furijeovog reda sa Slike 5.10. Na sličan način se definiše i prekinuti razvoj signala u generalisani Furijeov red: xN ( t ) = N  c ϕ (t ) . k k (5.74) k =− N Povećavajući broj članova Furijeovog reda, rekonstruisani signal postaje sve sličniji originalnom signalu, ali u rekonstruisanom signalu uvijek ostaju karakteristične oscilacije i premašenja čije se amplitude ne smanjuju, već se samo povećava njihova učestanost. Ova pojava nazvana je Gibsov fenomen i o njoj će biti više riječi u Glavi 6. Iako se razlika vrijednosti originalnog i rekonstruisanog signala ne smanjuje u svakom trenutku vremena zbog pojave Gibsovog fenomena, pokazaćemo da se sa povećanjem broja članova Furijeovog rada smanjuje srednjekvadratna greška definisana sa: 2 J N =  x ( t ) − xN ( t ) dt . (5.75) T0 133 GLAVA A5 (a)) (b b) (c)) (d d) Sliika 5.113 Ap pro oksiimaacijaa po ovo orke pravvouugao onih h im mpuulsaa prreki kinuutim m raazvoojem 2 . d: (aa) N = 1 ; (b)) N = 3 ; (c) N = 5 i (d) N = 25 u Furijeeov red 13 34 Furijeov red Kada se broj članova razvoja u Furijeov red neograničeno povećava, srednjekvadratna greška teži ka nuli. Jednako vrijedi za razvoj preko bilo kog skupa ortogonalnih funkcija. Dokaz: Posmatrajmo aproksimaciju signala datu konačnom težinskom sumom ortogonalnih funkcija: xN ( t ) = N  a ϕ (t ) . k (5.76) k k =− N Definišimo mjeru pogreške koju činimo pri ovakvoj aproksimaciji signala kao srednjekvadratno odstupanje aproksimacije (5.76) od originalnog signala na intervalu ortogonalnosti funkcija: t 2 1 2 J= x ( t ) − xN ( t ) dt =  t2 − t1 t1 t = 2 N 1 2 x ( t ) −  aiϕi ( t ) dt =  t2 − t1 t1 i =− N (5.77) * t N N 1 2    ϕ = x t − a t ⋅ x t − aiϕi ( t )  dt . ( ) ( ) ( )   i i     t2 − t1 t1  i =− N i =− N    Minimalna greška se dobija za takve vrijednosti koeficijenata a k u razvoju signala pri kojima je ∂J = 0 . Pri traženju izvoda iskoristićemo činjenicu da je ∂a k izvod konjugovano kompleksne funkcije jednak konjugovano kompleksnom izvodu te funkcije. Pored toga, prilikom određivanja izvoda sume ostaje samo izvod onog člana koji sadrži koeficijent po kom se računa izvod. Na taj način za izvod srednjekvadratne greške dobijamo: t ∂J 1 2 ∂ = ∂ak t2 − t1 t1 ∂ak t * N N     x t a t x t aiϕi ( t )  dt = ϕ − ⋅ − ( ) ( ) ( )   i i    i =− N i =− N     * t 2 N N 1 2     =− t ⋅ x t − a t dt + x t − aiϕi ( t )  ⋅ ϕ k* ( t ) dt. (5.78) ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) ( )   k i i      t2 − t1 t1 i =− N i =− N    t1  135 GLAVA 5 Integrali u prethodnom izrazu su međusobno konjugovano kompleksni, te je dovoljno jedan od njih izjednačiti s nulom kako bi izvod srednjekvadratne greške bio jednak nuli. Na taj način dolazimo do uslova pri kom se dobija najmanja srednjekvadratna greška: t2 t2  x ( t )ϕ ( t ) dt = a  ϕ ( t )ϕ ( t ) dt . * k k t1 * k k (5.79) t1 Ovaj uslov se, nakon operacije konjugovanja, može napisati u ekvivalentnom obliku: t2 t2 t1 t1 * * *  x ( t )ϕk ( t ) dt = ak  ϕk ( t )ϕk ( t ) dt . (5.80) Dakle, najmanja srednjekvadratna greška pri aproksimaciji signala se dobija ako su koeficijenti u težinskoj sumi jednaki koeficijentima generalisanog Furijeovog reda: t2  x ( t )ϕ ( t ) dt * k t ak = t21 = ck .  ϕ ( t )ϕ ( t ) dt k (5.81) * k t1 U slučaju ovako odabranih koeficijenata pri aproksimaciji signala dobija se minimalna vrijednost srednjekvadratne greške, odnosno, greška koja se dobija pri aproksimaciji signala prekinutim generalisanim Furijeovim redom: t t 2 N 1 2 1 * JN = x t x t dt − c ϕ k ( t ) x* ( t ) dt − ( ) ( )  k   t2 − t1 t1 t2 − t1 k =− N t1 t t 2 2 N N 1 1 − ck*  x ( t )ϕ k* ( t ) dt + ck ck*  ϕ k ( t )ϕ k* ( t ) dt .   t2 − t1 k =− N t1 t2 − t1 k =− N t1 (5.82) Pri tome je korišćena osobina ortogonalnosti funkcija. Ovaj izraz se može pojednostaviti uvrštavanjem uslova pri kome nastupa minimum: 136 Furijeov red t JN = t 2 N 2 1 2 1 * x t dt − c c ( )  k k  ϕk* ( t )ϕk ( t ) dt − t2 − t1 t1 t2 − t1 k =− N t1 t 2 N N 1 1 * * − c c ck   k k  ϕ k ( t ) ϕ k ( t ) dt + t2 − t1 k =− N t2 − t1 k =− N t1 2 (5.83) t2  ϕ (t ) k 2 dt , t1 što se svodi na: 1 JN = t2 − t1 N  t2 2   x ( t ) dt −  ck k =− N  t1 2 t2 2   ϕk ( t ) dt  .  t1 (5.84) Budući da su elementi sume uvijek pozitivni, greška aproksimacije signala preko ortogonalnih funkcija J N se smanjuje pri povećanju broja članova reda. Kada broj članova neograničeno raste, tj. kada N → ∞ , srednjekvadratna greška aproksimacije teži ka nuli i tada vrijedi: t2  x (t ) 2  ϕ (t ) 2 JN = 0  Za ϕ k ( t ) = e t2 integral k t2  c  ϕ (t ) 2 k k =−∞ t1 jk Ω 0 t dt = ∞ k 2 dt . (5.85) t1 dt je na osnovnom periodu T0 jednak T0 , te t1 je poslednji izraz, zapravo, Parsevalova teorema ze periodične kontinualne signale: Px = ∞ 2 1 2  x t dt = Ck . ( )   T0 T0 k =−∞ (5.86) Ovo razmatranje je u skladu sa ranijim primjerima kroz koje smo vidjeli da je najveći dio snage signala sadržan u prvih nekoliko harmonika Furijeovog reda i da se snaga signala, koja se računa preko Parsevalove teoreme, povećava i približava snazi originalnog signala dodavanjem članova iz spektra snage na višim učestanostima. Napomenimo još jednom da ovaj vid konvergencije u normi pri aproksimaciji signala, koji nam govori o tome da se srednja snaga aproksimiranog signala povećava pri povećanju broja članova reda i približava srednjoj snazi originalnog signala, ne znači da aproksimirani signal u svakom 137 GLAVA 5 trenutku vremena teži originalnom signalu, te ovu vrstu konvergencije ne treba miješati sa tačkastom konvergencijom: lim N →∞ N  c ϕ (t ) = f (t ) . k k (5.87) k =− N Prekinuti razvoj signala na ortogonalne funkcije ima veliku praktičnu primjenu u kompresiji signala i postao je dio JPEG, MP3 i MPEG standarda za kompresiju slike, audio i video signala. 138