rješenja zadataka sa prijemnog ispita

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sarajevo, 08.07. 2013.
Rješenja zadataka s prijemnog ispita za upis studenata u prvu godinu
prvog ciklusa studija na FSK održanog 08.07.2013. godine
Zad. 1. (Grupa A)
1 
 2x  3 2x  3   1


:
.
 2x  3 2x  3   2x  3 2x  3 
Zadan je izraz A(x) relacijom A( x)  
a) Odrediti definiciono područje izraza A(x) .
b) Uprostiti (što je moguće više) zadani izraz, te nacrtati grafik funkcije y  A(x) .
Rješenje: a) Izraz A(x) je definisan akko vrijedi
1 
 1
2x  3  0  2x  3  0  

  0.
 2x  3 2x  3 
Dakle, skup na kome je izraz A(x) definisan je:
3
3

D   x  R | x   x   .
2
2

[3 boda]
b)
1 
 2x  3 2x  3   1
A( x)  


:

 2x  3 2x  3   2x  3 2x  3 
(2 x  3) 2  (2 x  3) 2 2 x  3  (2 x  3) 4 x 2  12 x  9  4 x 2  12 x  9 (2 x  3)  (2 x  3)

:


(2 x  3)  (2 x  3) (2 x  3)  (2 x  3)
(2 x  3)  (2 x  3)
6
24 x
3

 4 x, ( x   ).
6
2
[5 bodova]
10
y=4x
5
0
-3
-1,5
0
1,5
3
-5
-10
-15
Grafik funkcije y  A(x)
[2 boda]
Zad. 2. (Grupa A)
Riješiti (u skupu R realnih brojeva) sljedeće nejednačine:
a)  x  5x  6  0 ;
2
b)
3  5x
 2.
2x  1
Rješenje:
a) Imamo da vrijedi:
 x 2  5x  6  0  x 2  5x  6  0  ( x  2)( x  3)  0  x  2,3.
[5 bodova]
b) Zadana nejednačina je definirana za sve realne brojeve x za koje je 2 x  1  0  x 
1
.
2
Imamo da vrijedi:
3  5x
3  5x
3  5x  4 x  2
5  9x
2
20
0
 0.
2x  1
2x  1
2x  1
2x  1
-∞
5-9x
2x-1
Q(x)
5
9
1
2
∞+
+
-
-
+
+
-
+
-
 1 5


Zbog definicionog područja vidimo da je rješenje zadane nejednačine svaki realni broj x   ,  .
2 9
[5 bodova]
Zad. 3. (Grupa A)
a) Ako je cos 
3
,   0,   , izračunati sin  .
5
b) Zadana je jednačina 2 x 2  2 x  cos(t )  0 po nepoznatoj x . Naći t pod uslovom da je
1 1
4
i dokazati da je tada x12  x22  1,9 .
 
x1 x2
3
Rješenje:
a) Prema osnovnom trigonometrijskom identitetu imamo da vrijedi sin   cos   1. Kako je
2
2
sin   0 (zbog uslova   0,   ), to dobijemo da je:
2
4
 3
sin   1  cos   1     .
5
5
2
[5 bodova]
b) Vrijedi:
b
 1
a
c cos(t )
x1  x 2  
a
2
x1  x 2  
5

t1  6  2k ,
x 2  x1
1
1
4
4
2
4
3






 cos(t )  

(k Z)
7
x1 x 2
x1  x 2
cos(t )
2
3
3
3
t 2 
 2k .
6

Sada zadana jednačina izgleda ovako:
2x 2  2x 
3
 0.
2
Za njena rješenja vrijedi
x1  x 2  1 / 2
x12  x 22  1  2 x1  x 2  1  (
što je i trebalo dokazati.
3
)  1  0,86  1,86  1,9,
2
[5 bodova]
Zad.4. (Grupa A)
Na pravcu
odrediti tačku koja je jednako udaljena od pravaca
Pri tome i nacrtati zadane pravce
i .
Rješenje: Neka je
tačka na pravoj
Kako je, općenito, rastojanje
koja je podjednako udaljena od oba pravca:
tačke
od prave p, čija je jednačina:
zadan formulom
=
|
|
√
to je:
=
|
=
Iz uslova
|
|
√
|
|
|
√
|
|
√
|
|
|
|
√
dobijemo relaciju:
|
|
|
|
odnosno uslove
Na osnovu uslova
, imamo
, slijedi da je
Dakle, dobiju se dvije tačke
(
. Iz uslova
.
)
[9 bodova]
3
p3
p2
2
1
-3
-2
-1
y=x-1
0
0
M1
p1
M2
0
1
2
3
-1
y=3/4x+1/4
y=-4/3x
-2
-3
-4
[1 bod]
Zad. 1. (Grupa B)
1 
 x  3 x  3  1


:
.
 x  3 x  3  x  3 x  3
a) Odrediti definiciono područje izraza B(x) .
Zadan je izraz B(x) relacijom B( x)  
b) Uprostiti (što je moguće više) zadani izraz, te nacrtati grafik funkcije y  B(x) .
Rješenje: a) Izraz B(x) je definisan akko vrijedi
1 
 1
x  3  0  x  3  0 

  0.
 x  3 x  3
Dakle, skup na kome je izraz B(x) definisan je :
D  x  R | x   3  x  3.
[3 boda]
b)
1   ( x  3) 2  ( x  3) 2
 x  3 x  3  1
B( x)  


:
  
 x  3 x  3   x  3 x  3   ( x  3)  ( x  3)
  x  3  x  3) 
 : 
 
  ( x  3)  ( x  3) 
 x 2  6 x  9  x 2  6 x  9   ( x  3)  ( x  3)   12 x
  
 
 2 x, ( x   3).

(
x

3
)

(
x

3
)
6
6


 
[5 bodova]
10
8
y=-2x
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
4
5
-4
-6
-8
-10
Graf funkcije y  B(x)
[2 boda]
Zad. 2. (Grupa B)
2
a) Riješiti (u skupu R realnih brojeva) nejednačinu  x  5x  6  0.
b) Izračunati vrijednost izraza x12  x22 ako su x1 i x 2 dva rješenja jednačine
9x  3
x 1
x
.
Rješenje:
a) Imamo da vrijedi:
 x 2  5x  6  0  x 2  5x  6  0  ( x  2)( x  3)  0  x  2,3.
[5 bodova]
b) Zadana eksponencijalna jednačina je definirana za sve realne brojeve x za koje je
x  0.
Imamo da vrijedi:
9x  3
x 1
x
 32 x  3
x 1
x
 2x 
x 1
 2 x 2  x  1  0 , ( x  0)
x
1
1
2 x 2  x  1  0  ( x  )( x  1)  0  x1   x 2  1 ,
2
2
x12  x 22 
5
.
4
[5 bodova]
Zad. 3. (Grupa B)
a) Ako je sin   
4
,
5

 3

, 2   , izračunati cos  .
   
 2


b) Odrediti znak rješenja jednačine 2 x 2  2 x  cos (t )  0 po nepoznatoj x ako je
t  0, 2 .
Rješenje:
a ) Prema osnovnom trigonometrijskom identitetu imamo da vrijedi sin   cos   1. Kako je
2
2
 3

cos   0 (zbog uslova   
, 2  ), to dobijemo da je:
 2

2
3
 4
cos   1  sin 2   1      .
5
 5
[5 bodova]
b ) Označima sa D diskriminantu zadane kvadratne jednačine. Tada , uz uslov u zadatku da je
1
  5 
t (0, 2 ) , imamo da je D  0 za cos t  , t (0, 2 ) , tj. D  0 za sve t  ,  .
2
3 3 
Otuda imamo da vrijedi :
1. Rješenja su istog znaka (i to negativna ) ako je:
1

1 D  0  b 2  4ac  0 4  8 cos(t )  0 cos(t )  
2











c
cos(t )




2 x1  x 2  0
0
 0  cos(t )  0 


a
2



2.

3
t


2
3
5
t 
2
3
Rješenja su suprotnog znaka ako je:
1

1 D  0  b 2  4ac  0 4  8 cos(t )  0 cos(t )  
2 
3







.



 t 
2
2
c
cos(t )





2 x1  x 2  0
cos(t )  0
0
0 


a
2


Ako je t 

2
ili
t
3
, onda je jedno rješenje - 1 a drugo 0.
2
[5 bodova]
Zad. 4. (Grupa B)
U trougao čiji su vrhovi A(3, 2), B(2,  3), C (2,5) upisana je kružnica k. Izračunati površinu
zadanog trougla i poluprečnik kružnice k. Pri tome i nacrtati zadani trougao i kružnicu k.
[9 + 1 bodova]
Rješenje: Površina traženog trougla iznosi:
P
1
1
3(3  5)  2(5  2)  (2)(2  3)   28  14 .
2
2
Da bismo izračunali poluprečnik zadane kružnice, trebamo najprije izračunati dužine stranica zadanog
trougla. Imamo:
AB  (3  2) 2  (2  3) 2  26 ,
BC  (2  2) 2  (3  5) 2  80  4 5 ,
CA  (2  3) 2  (5  2) 2  34 ,
pa obim trougla ABC iznosi O= 26  4 5  34 .
Poluobim trougla ABC iznosi s 
r
P

s
26  4 5  34
, pa poluprečnik zadane kružnice iznosi
2
14
28

.
26  4 5  34
26  4 5  34
2
Komisija za pripremu, pregled i ocjenu
radova kandidata s Prijemnog ispita na
Fakultetu za saobraćaj i komunikacije
Univerziteta u Sarajevu,
akademske 2013/2014. godine

Download Report