Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda

Glava 2
Odzivi u kolima prvog i drugog
reda
Prilikom modelovanja elektriˇcnih kola najˇcešeće se koriste diferencijalne
jednaˇcine da opišu elemente sa memorijoom, tj. elemente koji mogu da skladište
energiju. Rješavanjem diferencijalnih jednaˇcina uz poˇcetne uslove koji su poznati
u nekom vremenskom trenutku, može se odrediti stanje elektriˇcnog kola u bilo
kojem narednom trenutku. Od velikog praktiˇcnog znaˇcaja su elektriˇca kola prvog i
drugog reda, tj. kola koja sadrže najviše dva nezavisna elementa sa memorijom.
U ovoj glavi c´ e biti opisani metodi za analizu takvih kola, u jednostavnijim
sluˇcajevima i u sluˇcajevima eksitacije proizvoljnog vremenskom oblika.
23
2.1. UVOD
2.1 Uvod
U teoriji elektriˇcnih kola odziv prestavlja pojavu struja i napona u elektriˇcnim kolima, uslijed dejstva akumulisane energije u odredenom
trenutku ili dejstva
¯
eksitacije, tj. strujnih ili naponskih generatora. Kao što se fiziˇckim elementima
elektriˇcnih kola pridružuju matematiˇcki modeli, naponi i struje se u vremenskom
domenu analiziraju tako što im se pridruži odgovarajuća matematiˇcnka funkcija.
Analiza elektriˇcnih kola predstavlja nalaženje analitiˇckih izraza za sve napone i
struje koji se javljaju kao posljedica akumulisane energije ili djelovanja generatora.
U opštem sluˇcaju, iz Kirhofovih zakona i linearnih veza izmedu
¯ struja i napona na
elementima kola, formira se diferencijalana jednaˇcina koja daje relaciju izmedu
¯
ulaza, tj. eksitacije i izlaza koji predstavlja tražena struja ili napon u elektriˇcnom
kolu. Rješenje diferencijalne jednaˇcine, koja predstavlja relacija izmedu
¯ ulaza i
izlaza (RUI), daje analitiˇcki izraz za izlaznu veliˇcinu.
Ukoliko se analiziraju linearna i vremenski invarijantna elektriˇcna kola, što je
najˇcešći sluˇcaj u teoriji elektriˇcnih kola, odziv na akumulisanu energiju i odziv
na eksitaciju se mogu posmatrati odvojeno. Kompletan odziv predstavlja zbir odziva na akumulisanu energiju i odziva na eksitaciju. Već je napomenuto da odziv
(vremenski oblik izlaznog napona, ili izlazne struje) predstavlja rješenje diferencijalne jednaˇcine, koja predstavlja relaciju izmedu
¯ ulaza i izlaza. U opšem sluˇcaju,
radi se o nehomogenoj diferencijalnoj jednaˇcini, pa rješenje predstavlja zbir opšteg rješenja odgovarajuće homogene diferencijalne jednaˇcine, Sopstveni odziv i
jednog partikularnog rješnja nehomogene diferencijalne jednaˇcine. Praktiˇcna interpretacija, prethodno opisanog matematiˇckog rješenja, može da razdvaja odziv
na akumulisanu energiju i odziv na eksitaciju. Ukoliko tražimo odziv na akumulisanu energiju, zanemarujemo uticaj generatora, pa rješavamo samo homogenu diferencijalnu jednaˇcinu, tj. odziv na akumulisanu energiju predstavlja opšte rješenje
homogene diferencijalne jednaˇcine, koje je linearna kombinacija svih partikularnih
rješenja homogene diferencijalne jednaˇcine. Ako nemamo eksitaciju, prinudno rješenje je jednako nuli. Ukoliko posmatramo odziv na eksitaciju, pored sopstvenog
odziva, pojavljuje se i Prinudni odziv , odnosno dio koji se odnosi na partikularno
rješenje diferencijalne jednaˇcine. Sopstveni odziv predstavlja prirodnu reakciju
kola na bilo koju vrstu eksitacije. Sopstveni odziv ima isti oblik za svaku izlaznu
veliˇcinu u kolu (svaku struju ili napon), jer dio diferencijalne jednaˇcine lijevo od
znaka jednakosti, ima isti oblik za svaku izlaznu veliˇcinu. Prinudni odziv svake
izlazne veliˇcine ima isti oblik kao i eksitacija. Npr. ukoliko je eksitacija generator
istosmjernog napona, nakon prestanka prelaznog režima, svi odzivi, tj. sve struje
i naponi u kolu c´ e imati nepromjenljive vrijednosti. Ako je eksitacija prostoperiodiˇcni generator kružne uˇcestanosti ω, sve struje i naponi u kolu c´ e nakon prestanka
prelaznog režima biti prostoperiodiˇcne funkcije kružne uˇcestanosti ω.
24
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Diferencijalna jednaˇcina RUI se formira tako što se postave sve jednavcine po
prvom i drugom Kirhofovom zakonu i sve linearne veze izmedu
¯ struja i napona na
elementima kola. Iz tog skupa jednaˇcina se eliminišu sve promjenljive koje nisu
izlazna promjenljiva, izvod izlazne promjenljive prvog ili višeg reda, eksitacija
ili izvod eksitacije prvog ili višeg reda. Ukoliko se traži odziv na akumulisanu
energiju u jednaˇcini RUI se ne pojavljuje eksitacija niti izvod eksitacije. Reaktivni
elementi elektriˇcnih kola mogu da akumulišu odredenu
koliˇcinu energije, pa se
¯
nazivaju i elementi sa memorijom. Broj linearno nezavisnih reaktivnih elemenata
definiše red kola. Od velikog praktiˇcnog znaˇcaja su kola prvog i drugog reda, jer
se kola višeg reda mogu realizovati kombinacijom kola prvog i drugog reda.
2.2 Odziv na akumulisanu energiju
Zadatak 13. Za kolo sastavljeno od redne veze kondenzatora kapacitivnosti C
i otpornika provodnosti G, koje je prikazano na Slici 2.1a, odrediti sve struje i
napone za t ≥ 0. Poznat je napon na kondenzatoru u trenutku t = 0− i iznosi
uc (0− ) = U0 . Skicirati vremenske oblike svih napona i struja u kolu.
iC
iG
+
C, U0
+
C
R
(a) Paralelna veza kondenzatora i
otpornika.
u
R
(b) Paralelna veza kondenzatora
i otpornika sa usaglašenima referentnim smjerovima.
Slika 2.1
Rješenje. U skladu sa referentnim smjerovima struja i napona prikazanim na Slici
2.1b, mogu se napisati jednaˇcine po prvom i drugom Kirhofovom zakonu, kao i
veze izmedu
¯ napona i struja svih elemenata u kolu:
uC (t) = uG (t) = u(t)
(2.1a)
iC (t) + iG (t) = 0
(2.1b)
iC (t) = C
du(t)
duC (t)
=C
dt
dt
25
(2.1c)
2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENERGIJU
iG (t) = GuG (t) = Gu(t)
(2.1d)
Kombinovanjem jednaˇcina (2.1), uvrštavanjem (2.1c) i (2.1d) u (2.1b) i (2.1a),
dobija se diferencijalna jednaˇcina po naponu u(t):
du(t) G
+ u(t) = 0, ∀t ≥ 0
dt
C
(2.2)
Diferencijalne jednaˇcina (2.2) je linearna diferencijalna jednaˇcina sa konstantnim koeficijentima cˇ ije se partikularno rješenje traži u obliku:
u(t) = Kest
(2.3)
gdje je K konstanta koja se odreduje
poˇcetnim uslovima, odnosno akumulisanom
¯
−
energijom u kolu u trenutku t = 0 . Parametar s je, u opštem sluˇcaju, kompleskan
broj, koji ima dimenziju uˇcestanosti i naziva se sopstvena uˇcestanost . Rješenje
u obliku datom sa (2.3) mora da zadovolji diferencijalnu jednaˇcinu (2.2), pa se
uvrštavanjem dobija:
G
(2.4)
K sest + Kest = 0
C
što zapravo predstavlja jednaˇcinu:
s+
G
=0
C
(2.5)
Jednaˇcina (2.5) je linearna algebarska jednaˇcina koja predstavlja karakteristiˇcnu jednaˇcinu ili karakteristiˇcni polinom za dato elektriˇcno kolo. Rješenje jendnaˇcine (2.5) odreduje
¯ sopstvenu uˇcestanost elektriˇcnog kola. Sopstvena uˇcestanost
odreduje
oblik sopstvenog odziva kola. U sluˇcaju da se traži odziv na akumuli¯
sanu energiju, sopstvena uˇcestanost je parametar koji odreduje
oblik i dinamiku
¯
promjene odziva na akumulisanu energiju. Za zadano kolo, sopstvena uˇcestanost
je jednaka:
G
(2.6)
s1 = −
C
pa je rješenje diferencijalne jednaˇcine (2.2) dato sa:
G
u(t) = Ke− C t , t ≥ 0
(2.7)
Vrijednost parametra K se može odrediti iz bilo koje poznate vrijednosti napona
datog jednaˇcinom (2.7), tj. ukoliko je poznat napon za neki trenutak iz intervala
[0, +∞). U postavci zadatka je zadana vrijednost uC (0− ), ali ukoliko su ispunjeni
uslovi iz teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru, vrijednost napona u
trenutku t = 0+ ce biti ista kao i vrijednost napona u trenutku t = 0− . Napon na
26
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
kondenzatoru c´ e biti neprekidna funkcija vremena, ukoliko je struja kroz kondenzator ograniˇcena. Pošto je kondenzator redno vezan sa otpornikom, koji ograniˇcava
struju, uslov iz teoreme je ispunjen, pa je:
u(0+ ) = uC (0+ ) = uC (0− )
(2.8)
Uvrštavanjem poˇcetnog uslova (2.8) u (2.7), dobija se:
G
u(0+ ) = Ke− C 0 = K
(2.9a)
K = U0
(2.9b)
Traženi napon je:
G
u(t) = U0 e− C t , t ≥ 0
(2.10)
Kada se odredi analitiˇcki izraz za jednu izlaznu veliˇcinu, izrazi za ostale izlazne
veliˇcine se mogu odrediti preko jednaˇcina veza izmedu
¯ odgovarajućih veliˇcina.
Struja kroz kondenzator se dobija uvrštavanjem (2.10) u (2.1c), i iznosi:
G
iC (t) = −GU0 e− C t , t ≥ 0
(2.11)
Vremenska konstanta iznosi τ = C/G i predstavlja vremenski interval koji je potreban da se napon na kondenzatoru smanji na U/e. U praksi se može usvojiti da je
vrijeme potrebno za pražnnjenje ili punjenje kondenzatora jednako 3 − 5 vremenskih konstanti. Struja kroz otpornik odredena
vezom (2.1a):
¯
G
iG (t) = GU0 e− C t , t ≥ 0
(2.12)
Napon na kondenzatoru (2.10), struja kroz kondenzator (2.11) i struja kroz
otpornik (2.12) su prikazani na Slikama 2.2a, 2.2b i 2.2c, respektivno. Na Slici 2.2a
je pored talasnog oblika napona na kondenzatoru prikazana i grafiˇcka interpretacija
vremenske konstantne.
Difrencijalnu jednaˇcinu, koja predstavlja relaciju izmedu
¯ ulaza i izlaza (RUI),
je moguće postaviti i prema ostalim izlazim veliˇcinama. Npr. ukoliko se kombinovanjem (2.1c) i (2.1d) eliminiše napon, pa se rezultujuća jednaˇcina uvrsti u (2.1b),
dobija se:
diG (t) G
+ iG (t) = 0, ∀t ≥ 0
(2.13)
dt
C
Sliˇcno, ako se kombinovanjem (2.1b) i (2.1c) eliminiše struja otpornika, pa se rezultujuća jednaˇcina diferencira, uvrštavanjem (2.1d) se dobija:
diC (t) G
+ ic (t) = 0, ∀t ≥ 0
dt
C
27
(2.14)
2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENERGIJU
u(t)
iC (t)
t
U0
iG (t)
GU0
τ
t
(a) Napon na kondenzatoru.
−GU0
t
(b) Struja kroz kondenzator.
(c) Struja kroz otpornik.
Slika 2.2
Poredenjem
jednaˇcina (2.2), (2.13) i (2.14) može se zakljuˇciti da difrenecijalne
¯
jednaˇcine sopstvenog odziva, tj. odziva na akumulisanu energiju, imaju isti oblik
za svaku izlaznu promjenljivu, pa je karakteristiˇcna jednaˇcina jedinstvena za svako
elektriˇcno kolo.
Zadatak 14. Za elektriˇcno kolo, formirano od redne veze kalema induktivnosti L i
kondenzatora kapacitivnosti C, prikazano na Slici 2.3a, odrediti napone i struje za
t ≥ 0. Poznati su poˇcetni uslovi uC (0− ) = U0 i iL (0− ) = I0 .
i
+
C, U0
+
uC
L, I0
C, U0
L, I0
uL
+
iL
(a) Paralelna veza kondenzatora i kalema.
(b) Paralelna veza kondenzatora i kalema sa usaglašenima referentnim smjerovima.
Slika 2.3
Rješenje. Usvojićemo zajedniˇcku struju, kao što je prikazano na slici 2.3b, pa
zatim postaviti jednaˇcine po Kirhofovim zakonima i karakteristiˇcne jednaˇcine elemenata kola:
i(t) = iC (t) = iL (t)
(2.15a)
uL (t) + uC (t) = 0
28
(2.15b)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
diL (t)
(2.15c)
dt
duC (t)
iC (t) = C
(2.15d)
dt
Uvrštavanjem jednaˇcine (2.15d) u (2.15c), pa kombinovanjem rezultujuće jednaˇcine sa (2.15b) se dobija:
uL (t) = L
1
d2 uC (t)
+
uC (t) = 0, t ≥ 0
2
LC
dt
(2.16)
1
Uvodenjem
smjene ω20 = LC
i pretpostavkom parcijalnog rješenja homogene di¯
ferencijalne jednaˇcine u eksponencijalnom obliku (2.3), dobija se karakteristiˇcna
jendaˇcina:
(2.17)
s2 + ω20 = 0
pa su sopstvene uˇcestanosti kola jednake:
s1/2 = ± jω0
(2.18)
S obzirom da su sopstvene uˇcestanosti cˇ isto imaginarne, rješenje diferencijalne
jednaˇcine (2.16) je dato sa:
uC (t) = K1 cos (ω0 t) + K2 sin (ω0 t) , t ≥ 0
(2.19)
Opšte rješnenje homogene linearne digerencijalne jednaˇcine je linearna kombinacija svih partikularnih rješenja homogene linearne diferencijalne jednaˇcine uC (t) =
Ae jω0 t + Be− jω0 t . Primjenom Ojlerove formule e jω0 t = cos (ω0 t) + j sin (ω0 t) se
dobija izraz (2.19).
Konstante K1 i K2 se odreduju
iz poˇcetnih uslova uC (0+ ) i duC (0+ )/dt, me¯
dutim,
kako su poznate vrijednosti napona na kondenzatoru i struje kroz kalem u
¯
trenutku t = 0− , potrebno je provjeriti da li važe uslovi iz teorema o neprekidnosti
(Zadatak 6 i Zadatak 7). Pošto je struja kroz kondenzator odredena
strujom kalema,
¯
koja je ograniˇcena, napon na kondenzatoru c´ e biti neprekidna funkcija vremena, a
sliˇcno se može zakljuˇciti i da je struja kroz kalem neprekidna funkcija vremena.
Stoga, može se usvojiti da je iL (0+ ) = iL (0− ) = I0 i uC (0+ ) = uC (0− ) = U0 , što
predstavlja prvi poˇcetni uslov. Drugi poˇcetni uslov se dobija iz jednaˇcine (2.15d):
duC (0+ ) iL (0+ ) I0
duC (t) iL (t)
=
=⇒
=
=
dt
C
dt
C
C
(2.20)
Uvrštavanjem poˇcetnih uslova u jednaˇcinu (2.19) se dobija:
uC (0+ ) = K1 = U0
29
(2.21a)
2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENERGIJU
duC (0+ )
I0
= K2 ω0 =⇒ K2 =
(2.21b)
dt
ω0 C
Uvrštavanjem vrijednosti (2.21) u jednaˇcinu (2.16), dobija se vremenski oblik napona na kondenzatoru:
uC (t) = U0 cos (ω0 t) +
I0
sin (ω0 t) , t ≥ 0
ω0 C
(2.22)
Kao što vidimo iz (2.22), napon na kondenzatoru je linearna kombinacija dvije
prostoperiodiˇcne funkcije vremena, pa ga je moguće odrediti u obliku:
uC (t) = U M cos (ω0 t + θ) , t ≥ 0
(2.23)
Rastavljanjem kosinusa zbira (2.23) i poredenjem
sa (2.22) se dobija:
¯
uC (t) =
v
t
U02 +
I02
ω20C 2
cos ω0 t − arctan
I0
ω0CU0
!!
(2.24)
Iz jednaˇcina (2.15b) i (2.24) dobijamo izraz za napon na kalemu, u skladu sa
definisanim referentnim smjerom:
uL (t) =
v
t
U02
I02
I0
+ 2 2 cos ω0 t + π − arctan
ω0CU0
ω0 C
!!
(2.25)
a struja u kolu se dobija kombinacijom (2.15d) i (2.24):
i(t) = ω0C
v
t
U02 +
I02
ω20C 2
sin ω0 t + π − arctan
I0
ω0CU0
!!
(2.26)
Bilans energija. Ukupna energija u kolu zavisi od poˇcetnih uslova, tj. akumulisane energije u trenutku posmatranja odziva, i topologije kola, tj. elemenata
kola i naˇcina na koji su vezani. Trenutna koliˇcina energije koja je akumulisana u
elektriˇcnom polju kondenzatora iznosi:
1
1
2
wC (t) = CuC2 = CU M
cos2 (ω0 t + θ)
2
2
(2.27)
dok je trenutna energija akumulisana u magnetnom polju kalema jednaka:
wL (t) =
1 2 1 2 2 2
Li = Lω C U M sin2 (ω0 t + θ)
2 L 2 0
30
(2.28)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Ukupna energija u kolu je jednaka zbiru energija (2.27) i (2.28), ali korištenjem
1
smjene ω20 = LC
, izraz za ukupnu energiju se može uprostiti:
1
1
2
2
w(t) = wC (t) + wL (t) = CU M
cos2 (ω0 t + θ) + Lω20C 2 U M
sin2 (ω0 t + θ) (2.29a)
2
2


I02 
1
1  2
2
(2.29b)
w(t) = CU M = C U0 + 2 2 
2
2
ω0 C
odnosno, ukupna energija je jednaka:
1
1
w(t) = CU02 + L20
2
2
(2.30)
Dakle, energija u ovom elektriˇcnom kolu je konstantna i jednaka zbiru akumulisane energije kondenzatora i akumulisane energije kalema.
Režim kola. U ovom elektriˇcnom kolu nema eksitacija, a odzivi na akumulisanu energiju su prostoperiodiˇcni. Prostoperiodiˇcni režim nastupa jer u kolu postoji
odredena
koliˇcina energije, ali nema termogenog otpornika, koji bi vršio nepo¯
vratnu konverziju elektriˇcne u termogenu energiju. Stoga se akumulisana energija
neprestano razmjenjuje izmedu
¯ reaktivnih elemenata, kalema i kondenzatora.
Zadatak 15. Za redno RLC kolo, sa usaglašenim referentim smjerovima prikazanim na Slici 2.4, odrediti napon kondenzatora i struju u kolu za t ≥ 0, ako je
uC (0− ) = U0 i iL (0− ) = I0 .
+ uR
i
R
+ uL
L, I0
+ uC
C, U0
Slika 2.4 Redno RLC kolo sa usaglašenim referentnim smjerovima.
Rješenje. Pošto se radi o rednoj vezi elemenata kola, tj. struja je zajedniˇcka za
sve elemente kola, prema usvojenim referentnim smjerovima se mogu postaviti
sljedeće jednaˇcine:
uR (t) + uL (t) + uC (t) = 0
(2.31a)
uR (t) = Ri(t)
31
(2.31b)
2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENERGIJU
di(t)
(2.31c)
dt
duC (t)
i(t) = C
(2.31d)
dt
Kombinovanjem jednaˇcina (2.31b) i (2.31d), kao i kombinovanjem (2.31c) i (2.31d),
se dobijaju jednakosti:
uL (t) = L
uR (t) = RC
d2 uC (t)
duC (t)
i uL (t) = LC
dt
dt2
(2.32)
Uvrštavanjem jednavcine (2.32) u (2.31a) se dobija diferencijalna jednaˇcina po
naponu kondenzatora:
1
d2 uC (t) R duC (t)
+
+
uC (t) = 0, t ≥ 0
L dt
LC
dt2
(2.33)
Jednaˇcina (2.33) je linearna homogena diferencijalna jednaˇcina, drugog reda,
sa konstantnim koeficijentima. Red diferencijalne jednaˇcine je odreden
¯ brojem
nezavisnih elemenata kola sa memorijom. Uvodenjem
smjene
(2.3)
i
skra´
civanjem
¯
se dobija karakteristiˇcna jednaˇcina:
s2 +
Uvodenjem
smjena α =
¯
cˇ iji su korijeni:
R
2L
i ω20 =
1
R
s+
=0
L
LC
1
LC ,
(2.34)
jednaˇcina dobija oblik s2 + 2αs + ω20 = 0
s1/2 = −α ±
q
α2 − ω20
(2.35)
Pošto su ispunjeni uslovi o neprekidnosti struje kroz kalem i napona na kondenzatoru1 , poˇcetni uslovi se mogu odrediti sliˇcno kao u Zadatku (14) i imaju vrijednosti:
uC (0+ ) = uC (0− ) = U0
(2.36a)
duC (0+ )
duC (0+ ) I0
=⇒
=
(2.36b)
dt
dt
C
U zavisnosti od vrijednosti elemenata kola, jednaˇcina (2.34) može imati rješenja u tri moguća sluˇcaja:
i(0+ ) = C
Aperiodiˇcan režim Diskriminanta karakteristiˇcne jednaˇcine (2.34) je veća od nule,
postoje dva realna i razliˇcita korijena, pa je sopstevni odziv linearna kombinacija dvije eksponencijalne funkcije. Da bi s1 i s2 bili realni i razliˇciti, potkorijena veliˇcina u (2.35) mora biti veća od nule, tj. mora biti α2 > ω20 . Ovaj
1
Struja kroz kalem je ograniˇcena otpornikom, a napon na kalemu predstavlja algebarski zbir pada
napona na otporniku, koji je konaˇcan i napona na kondenzatoru, pa je i on ograniˇcen.
32
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
q
√
uslov je ekvivalentan izrazu: R > 2 L/C. Uvodenjem
smjene α2 − ω20 =
¯
β, dobijamo realne sopstvene vrijednosti kola:
s1 = −α + β = σ1
(2.37a)
s2 = −α − β = σ2
(2.37b)
S obzirom na (2.37) rješenje diferencijalne jednaˇcine (2.33), u aperiodiˇcnom
režimu ima oblik:
uC (t) = K1 eσ1 t + K2 eσ2 t , t ≥ 02
(2.38)
Uvrštavanjem poˇcetnih uslova (2.36) u jednaˇcinu (2.38) dobija se:
uC (0+ ) = K1 + K2 = U0
duC (0+ )
I0
= K 1 σ1 + K 2 σ2 =
dt
C
pa se sredivanjem
dobijaju se vrijednosti:
¯
I
1
0
− U 0 σ2
K1 =
σ1 − σ2 C
I
1
0
K2 =
− U 0 σ1
σ2 − σ1 C
(2.39a)
(2.39b)
(2.40a)
(2.40b)
Struja u kolu se dobija kombinovanjem jednaˇcina (2.31d) i (2.38):
i(t) = σ1CK1 eσ1 t + σ2CK2 eσ2 t , t ≥ 0
(2.41)
Aperiodiˇcan režim karakteriše postojanje velikih termogenih gubitaka, koji
sprjeˇcavaju razmjenu akumulisane energije izmedu
¯ kalema i kondenzatora.
Kritiˇcan režim: Diskriminanta karakteristiˇcne jednaˇcine (2.34) je jednaka nuli,
pa su korijeni realni i jednaki. Ovaj režim predstavlja granicu izmedu
¯ aperiodiˇcnog i pseudoperiodiˇcnog sluˇ
√caja. Da bi diskriminanta bila jednaka nuli
mora biti ispunjen uslov R = 2 L/C. Ova otpornost se ponekad obilježava
sa Rc i naziva kritiˇcna otpornost . U ovom sluˇcaju, sopstvene vrijednosti su
jednake:
s1/2 = −α = σ
(2.42)
2
Vidimo da sopstvene vrijednosti σ1 i σ2 ne mogu imati vrijednosti veće od nule, jer bi u tom
sluˇcaju sopstveni odziv eksponencijalno rastao sa vremenom.
33
2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENERGIJU
a rješenje diferencijalne jednaˇcine (2.33) ima oblik:
uC (t) = (K1 + tK2 ) eσt , t ≥ 0
(2.43)
Uvrštavanjem poˇcetnih uslova (2.36) u jednaˇcinu (2.42) dobija se:
uC (0+ ) = K1 = U0
(2.44a)
duC (0+ )
I0
= K 1 σ1 + K 2 =
dt
C
(2.44b)
Sredivanjem
se dobija:
¯
K1 = U 0
(2.45a)
I0
K2 = − U 0 σ
(2.45b)
C
Takode,
¯ struja u kolu se dobija kombinovanjem jednaˇcina (2.31d) i (2.43):
i(t) = C (K1 σ + K2 + tK2 σ) eσt , t ≥ 0
(2.46)
Pseudoperiodiˇcan režim: Diskriminanta karakteristiˇcne jednaˇcine (2.34) je manja od nule, pa njena rješenja cˇ ini par konjugovno-kompleksnih brojeva.
Vremenski oblik signala je prigušena periodiˇcna funkcija vremena. √Da bi
diskriminanta bila manja
q od nule treba da bude ispunjen uslov R < 2 L/C.
Uvodenjem
smjene
¯
jednosti:
ω20 − α2 = ω1 , dobijamo kompleksne sopstvene vris1 = −α + jω1
(2.47a)
s2 = −α − jω1
(2.47b)
pa je u ovom sluˇcaju rješenje diferencijalne jednaˇcine (2.33) se moeže svesti
na oblik:
uC (t) = K1 e−αt cos (ω1 t) + K2 e−αt sin (ω1 t) , t ≥ 0
(2.48)
Uvrštavanjem poˇcetnih uslova (2.36) u jednaˇcinu (2.48) dobija se:
uC (0+ ) = K1 = U0
(2.49a)
I0
duC (0+ )
= −αK1 + ω1 K2 =
(2.49b)
dt
C
Sredivanjem
se dobija K1 = U0 , a K2 = ωI10C + αU0 , pa se uvrštavanjem
¯
dobija napon na kondenzatoru:
!
I0
−αt
(2.50)
uC (t) = U0 e cos (ω1 t) +
+ αU0 e−αt sin (ω1 t) , t ≥ 0
ω1 C
34
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Napon na kondenzatoru se, takode,
¯ može predstaviti u obliku:
uC (t) = U M e−αt cos (ω1 t + θ)
(2.51)
Poredenjem
jednaˇcina (2.50) i (2.51) mogu se odrediti slijedeći odnosi:
¯
UM =
q
K12 + K22 , θ = − arctan
K2
K1
(2.52)
Kombinovanjem jednaˇcina (2.31d) i (2.51), dobija se izraz za struju u sluˇcaju
pseudoperiodiˇcnog režima:
ω1 i(t) = ω0CU M e−αt cos ω1 t + θ − arctan
, t≥0
α
(2.53)
Pseudoperiodiˇcan režim je odreden
¯ razmjenom energije izmedu
¯ reaktivnih
elemenata, prigušenom termogenim gubicima na otporniku. Smanjivanjem
gubitaka u kolu, ovaj režim u graniˇcnom sluˇcaju prelazi u prostoperiodiˇcan
režim.
uC (t)
uC (t)
uC (t)
U0
U0
U0
t
t
t
(a) Napon na kondenzatoru za (b) Napon na kondenzatoru za (c) Napon na kondenzatoru za
aperiodiˇcan režim.
kritiˇcan režim.
pseudoperiodiˇcan režim.
Slika 2.5
2.3 Odziv na eksitaciju
Zadatak 16. Redna veza otpornika otpornosti R i kondenzatora kapacitivnosti C
je prikljuˇcena na naponski generator ug (t) = Uh(t). U trenutku t = 0 u kolu nema
akumulisane energije. Odrediti napon na kondenzatoru i struju generatora za t ≥ 0.
Napisati izraz za indicionu funkciju napona na kondenzatoru.
35
2.3. ODZIV NA EKSITACIJU
+ uR
ug (t)
R
−
+
ug (t)
i
C
+
uC
t
(a) Serijska veza naponskog generatora, otpornika i kondezatora.
(b) Vremenski oblik naponskog generatora.
Slika 2.6
Rješenje. Postavljamo jednaˇcine Kirhofovih zakona prema usvojenim referentnim
smjerovima struja i napona (Slika 2.6a), i jednaˇcine linearnih veza izmedu
¯ napona
i struja na elementima:
ug (t) = uC (t) + uR (t)
(2.54a)
uR (t) = Ri(t)
(2.54b)
duC (t)
(2.54c)
dt
Kombinovanjem jednaˇcina (2.54) se dobijaju diferencijalne jednaˇcine koje povezuju izlazne veliˇcine i eksitacije, tj. RUI jednaˇcine. Uvrštavanjem (2.54b) u
(2.54a), diferencijarenjm dobijene jednaˇcine, pa kombinovanjem sa (2.54c) se dobija RUI jednaˇcina po struji:
i(t) = C
1
1 dug (t)
di(t)
+
i(t) =
, t≥0
dt
RC
R dt
(2.55)
Medutim,
ako uvsrtimo (2.54c) u (2.54b), pa rezultujuću jednaˇcinu u (2.54a), do¯
bija se:
duC (t)
1
1
+
uC (t) =
ug (t), t ≥ 0
(2.56)
dt
RC
RC
Poredenjem
(2.55) i (2.56), vidimo da lijeve strane jednaˇcina, što se odnosi na
¯
sopstveni odziv, imaju isti oblik. Kao što je već naglašeno, režim se odnosi na kolo,
pa lijeva strana RUI jednaˇcine mora biti ista za svaku izlaznu veliˇcinu. Medutim,
¯
desna strana (2.55) sadrži izvod funkcije ug (t), dok u jednaˇcini (2.56), tog izvoda
nema, što omogućava njeno jednostavnije rješavanje.
Bez obzira, koja se izlazna veliˇcina traži, uvijek je preporuˇcljivo postaviti i rješiti RUI jednaˇcine po naponu na kondenzatoru ili struji kroz kalem, pa zatim naći
36
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
traženu izlaznu veliˇcinu, preko jednaˇcina Kirhofovih zakona ili njihovih linearnih
kombinacija.
Rješenje nehomogene linearne diferencijalne jednaˇcine (2.56) se dobija kao
zbir opšteg rješenja homogenog djela diferencijalne jednaˇcine i jednog partikularnog rješenja. Partikularno rješenje je odredeno
oblikom eksitacije, za t > 0,
¯
tj. partikularno rješenje predstavlja prinudni odziv, koji se uspostavlja kada produ
¯
prelazni režimi odredeni
sopstvenim
odzivom.
Stoga,
napon
na
kondenzatoru
mo¯
žemo napisati u obliku
uC (t) = uCs (t) + uC p (t), t ≥ 0
(2.57)
Rješenje homogene jednaˇcine predstavlja sopstveni odziv i obilježava se sa uCs .
Partikularno rješenje homognene diferencijalne jednaˇcine se pretpostavlja u obliku
(2.3). Kada se traži odziv na akumulisanu energiju, homogena diferencijalna jednaˇcina ima isti oblik kao u sluˇcaju kada je prisutna eksitacija. Razlika je u tome
što poˇcetni uslovi nisu odredeni
akumulisanom energijom u kolu, već naponima i
¯
strujama generatora u trenutku t = 0+ . Partikularno rješenje uC p pretpostavljamo
u obliku eksitacije i predstavlja prinudni odziv kola usljed eksitacije. U ovom slucˇ aju, partikkularno rješenje pretpostavljamo u obliku konstante U p , s obzirom da
je napon generatora konstantan za t > 0. Pošto partikularno rješenje mora da zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu, uvrštavanjem uC p (t) = U p u (2.56) se dobija
U p = U. Dakle, nakon prestanka prelaznog režima, kondenzator se napunio na
napon odreden
¯ generatorom, pa nema više struje u kolu i nema pada napona na
otporniku. Na osnovu prethodne diskusije, napon na kondenzatoru je odreden
¯ sa:
t
uC (t) = Ke− RC + U, t ≥ 0
(2.58)
Pošto je struja kroz kondenzator ograniˇcena serijski vezanim otpornikom, važi
uslov iz teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru, pa je uC (0+ ) = uC (0− ) =
0. Uvrštavanjem u (2.58) se dobija:
uC (0+ ) = K + U = 0, =⇒ K = −U
(2.59)
Pošto do trenutka djelovanja generatora nije bilo akumulisane energije u kolu, napon na kondenzatoru se može analitiˇcki predstaviti kao:
t
uC (t) = U(1 − e− RC )h(t)
(2.60)
Vremenski oblik napona na kondenzatoru je prikazan na Slici 2.7a. Na osnovu
jednaˇcina (2.60) i (2.54c), struja kroz kolo se može izraziti kao:
i(t) =
U −t
e RC h(t)
R
37
(2.61)
2.3. ODZIV NA EKSITACIJU
Vremenski oblik struje u kolu je prikazan na Slici 2.7b.
Indiciona funkcija se definiše kao odnos odziva na Hevisajdovu eksitaciju i
skoka Hevisajdove eksitacije u trenutku t = 0, tj. kao odziv na jediniˇcnu Hevisajdovu eksitaciju, uz nulte poˇcetne uslove. Indiciona funkcija napona na kondenzatoru je:
t
fuC (t) = (1 − e− RC )h(t)
(2.62)
Ukoliko posmatramo linearna i vremenski invarijantna kola, poznavanje indicione
funkcije odredene
izlazne veliˇcine, moguće je odrediti odziv na eksitaciju koja se
¯
sastoji od bilo koje kombinacije vremenski pomjerenih Hevisajdovih funkcija.
u(t)
i(t)
U
U
R
τ
t
(a) Napon na kondenzatoru.
t
(b) Vremenski oblik struje u
kolu.
Slika 2.7
Zadatak 17. Za elektriˇcno kolo prikazano na Slici 2.6a odrediti Grinovu funkciju
za napon na kondenzatoru. Odrediti napon na kondenzatoru za t ≥ 0 ako je napon
generatora je ug (t) = Φδ(t). U trenutku ukljuˇcenja generatora u kolu nije bilo
akumulisane energije.
Rješenje. Prema usvojenim referentnim smjerovima, jednaˇcine Kirhofovih zakona
i linearnih veza izmedu
¯ struja i napona na elementima kola su:
ug (t) = uR (t) + uC (t)
(2.63a)
uR (t) = Ri(t)
(2.63b)
i(t) = C
duC (t)
dt
(2.63c)
Kombinovanjem jednaˇcina (2.63) se dobija RUI jednaˇcina za napon na kondenzatoru:
duC (t)
1
1
+
uC (t) =
ug (t), t ≥ 0
(2.64)
dt
RC
RC
38
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Pošto diferencijalna jednaˇcina (2.64) sadrži Dirakovu funkciju sa desne strane
znaka jednakosti3 , nije moguće naći prinudni odziv na naˇcin prikazan u Zadatku
16. Pošto je zadano elektriˇcno kolo linearno, odziv se može naći posredno, prikljucˇ ivanjem Hevisajdovog generatora i odredivanjem
indicione funkcije za izlaznu
¯
veliˇcinu. Dalje, poznata je veza izmedu
¯ indicioni i Grinove funkcije i poznato je
da je odziv na Dirakovu funkciju jaˇcine udara Φ jednak umnošku te jaˇcine udara i
Grinove funkcije, ukoliko u kolu nije bilo akumulisane energije. Kada se odrediti
vremenski oblik odgovarajuće indicione funkcije, Grinova funkcija se nade
¯ kao
izvod indicione funkcije, pa je traženi odziv jednak proizvodu jaˇcine udara Φ i
Grinove funkcije.
Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:
Pretpostavljajući da je ug (t) = Uh(t), relacija RUI c´ e biti:
duCh (t)
1
1
+
uCh (t) =
Uh(t), t ≥ 0
dt
RC
RC
(2.65)
Jednaˇcinu (2.65) možemo da rješavamo na naˇcin prikazan u Zadatku 16, odakle
se dobija napon na kondenzatoru, koji je odziv na pretpostavljenu Hevisajdovu
eksitaciju:
t
(2.66)
uCh (t) = U(1 − e− RC )h(t)
Indiciona funkcija za napon na kondenzatoru jednaka:
t
f (t) = (1 − e− RC )h(t)
(2.67)
Grinova funkcija je jednaka izvodu indicione funkcije, ali treba naglasiti da
je funkciju (2.67) treba obavezno tretirati kao prozvod dvije funkcije vremena.
Tražena Grinova funkcija je:
g(t) = f ′ (t) =
što je jednako:
t 1 −t
e RC h(t) + 1 − e− RC δ(t)
RC
(2.68)
1 −t
(2.69)
e RC h(t)
RC
S obzirom da je poznata Grinova funkcija za napon na kondenzatoru, odziv na
eksitaciju oblika ug (t) = Φδ(t) se dobija kao Φg(t):
g(t) =
uC (t) =
3
Φ −t
e RC h(t)
RC
U odredenom
vremenskom trenutku eksitacija ima beskonaˇcnu vrijednost.
¯
39
(2.70)
2.3. ODZIV NA EKSITACIJU
u(t)
i(t)
Φ
RC
Φ
RC
t
t=0
− RΦ2C
t
(a) Napon na kondenzatoru.
t=0
(b) Vremenski oblik struje u
kolu.
Slika 2.8
Neregularna komutacija. Kao što se vidi iz jednaˇcine (2.70) vrijednost napona
Φ
na kondenzatoru u trenutku t = 0+ je jednaka uC (0+ ) = RC
, pa je uC (0+ ) , uC (0− ),
što je u suprotnosti sa teoremom o neprekidnosti napona na kondenzatoru. Struja
kroz kondenzator je odredena
sa:
¯
i(t) = C
t
Φ
Φ
duC (t)
= − 2 e− RC h(t) +
δ(t)
dt
RC
RC
(2.71)
Vidimo da struja kroz kondenzator sadrži Dirakovu funkciju, tj. nije ograniˇcena,
pa nisu ispunjeni uslovi iz teoreme o kontinuitetu. Stoga, napon na kondenzatoru u
ovom sluˇcaju nije neprekidna funkcija vremena. Drugim rijeˇcima, dolazi do pojave
neregularne komutacije prilikom prikljuˇcivanja generatora.
Zadatak 18. Na krajevima redne veze otpornika otpornosti R i kalema induktivnosti L prikljuˇcen je naponski generator (Slika 2.9a) cˇ iji je vremenski oblik prikazan
na Slici 2.9b. Odrediti jaˇcinu udara impulsne eksitacije Φ, tako da u trenutku t0
struja kroz kolo poraste na dvostruku vrijednost.
Rješenje. Napon generatora se može izraziti kao ug (t) = Uh(t) + Φδ(t − T 0 ), pa se
može iskoristiti osobina linearnosti kola da se nade
¯ traženi odziv. Za poˇcetak, iako
je eksitacija kombinacija Hevisajdove i Dirakove funkcije, pretpostavlja se da je
eksitacija samo Hevisajdova funkcija. Iz odziva se mogu naći indiciona i Grinova
funkcija, pa je traženi odziv odgovarajuća linearna kombinacija te dvije funkcije.
Kompletan sistem linearnih jednaˇcina, koje opisuju kolo je dat sa:
ug (t) = uR (t) + uL (t)
(2.72a)
uR (t) = Ri(t)
di(t)
uL (t) = L
dt
(2.72b)
40
(2.72c)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
+ uR
ug (t)
i
R
−
+
ug (t)
Φ
U0
+
uL
L
T0
t
(b) Vremenski oblik naponskog generatora.
(a) Serijska veza naponskog generatora, otpornika i kalema.
Slika 2.9
Kombinovanjem jednaˇcina (2.72) se dobija diferencijalna jednaˇcina RUI za struju
kroz elektriˇcno kolo:
1
di(t) R
+ i(t) = ug (t), t ≥ 0
(2.73)
dt
L
L
Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:
Pretpostavimo da je eksitacija u obliku Uh(t), što daje odziv u obliku:
R U
(2.74)
ih (t) =
1 − e− L t h(t)
R
Indiciona funkcija za struju kroz kolo je:
R 1
f (t) =
1 − e− L t h(t)
(2.75)
R
dok je Grinova funkcija:
1 R
g(t) = e− L t h(t)
(2.76)
L
Odziv na eksitaciju ug (t) može izraziti kao:
i(t) = U f (t) + Φg(t − T 0 )
(2.77)
pa je odziv na zadanu eksitaciju:
i(t) =
R U
Φ R
1 − e− L t h(t) + e− L (t−T 0 ) h(t − T 0 )
R
L
(2.78)
koji je prikazan na Slici 2.10.
Potrebno je naći jaˇcinu udara Φ tako da intenzitet struje u trenutku t = T 0+ bude
dva puta veći nego u trenutku t = T 0− . Pošto je:
i(T 0− ) =
R −
R
U
U
1 − e− L T 0 h(T 0− ) =
1 − e− L T 0
R
R
41
(2.79)
2.3. ODZIV NA EKSITACIJU
i(t)
i(T 0+ )
i(T 0− )
T0
t
Slika 2.10 Struja kroz kolo.
R +
Φ R +
U
1 − e− L T 0 h(T 0+ ) + e− L (T 0 −T 0 ) h(T 0+ − T 0 )
R
L
Φ
R
U
i(T 0+ ) =
1 − e− L T 0 +
R
L
Iz uslova zadatka je:
i(T 0+ ) =
2
U
Φ
R
R
U
1 − e− L T 0 =
1 − e− L T 0 +
R
R
L
(2.80a)
(2.80b)
(2.81)
pa je tražena jaˇcina udara:
Φ=
R
UL 1 − e− L T 0
R
(2.82)
Zadatak 19. Na krajeve paralelne RL i RC veze je vezan naponski generator vremenskog oblika prikazanog na slici. Odrediti struju generatora za t ≥ 0.
Rješenje. S obzirom da se RL i RC grane napajaju istim naponskim generatorom,
razlika potencijala na krajevima tih grana je ista, pa struja kroz jednu granu ne
utiˇce na struju kroz drugu granu. Dakle, moguće je odrediti posebno struje kroz
dvije grane, posmatrajući ih odvojeno, pa zatim odrediti struju generatora kao zbir
struje kroz RL granu i struje kroz RC granu. Takode,
¯ treba primjetiti da je talasni oblik naponskog generatora moguće napisati kao linearnu kombinaciju dvije
Hevisajdove funkcije:
ug (t) = Uh(t) − Uh(t − T )
(2.83)
pa se tražena struja može izraˇcunati kao:
i(t) = U f (t) − U f (t − T )
42
(2.84)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
i
ug (t)
R
U
−
+
ug (t)
R
t
T0
C
L
(b) Vremenski oblik naponskog generatora.
(a) Paralelna veza RL i RC veze.
Slika 2.11
i1
i2
+
−
+
ug (t)
uR
+
L
R
ug (t)
−
+
R
+
uL
C
uR
+
uC
(b) RC grana i naponski generator.
(a) RL grana i naponski generator.
Slika 2.12
Indicionu funkciju za struju generatora c´ emo odrediti kao zbir struja i1 (t) (Slika
2.12a) i i2 (t) (Slika 2.12b), pod pretpostavkom Hevisajdove eksitacije.
Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:
Za kolo sa Slike 2.12a, kombinovanjem jednaˇcina postavljenih po Kirhofovim
zakonima se dobija diferencijalna jednaˇcina po struji i1 :
RC
dug (t)
di1 (t)
+ i1 (t) = C
,t ≥ 0
dt
dt
(2.85)
Pošto je ug (t) = Uh(t), može se pisati da je:
RC
di1 (t)
+ i1 (t) = Qδ(t)
dt
(2.86)
gdje je Q = CU. Dakle, struja i1 , kao izlazna veliˇcina vidi ulazni generator kao
impulsnu eksitaciju sa jaˇcinom udara Q. Diferencijalnu jednaˇcinu (2.86) možemo
43
2.4. KOMPLETAN ODZIV
riješiti traženjem indicione funkcije, pa zatim raˇcunanjem Grinove funkcije. Dakle,
opet pretpostavljamo Hevisajdovu kesitaciju:
RC
di1 (t)
+ i1 (t) = Ih(t)
dt
(2.87)
Dobija se Grinova funkcija za struju i1 u obliku:
g(t) =
Q −t
e RC h(t)4
RC
(2.88)
pa je struja i1 (t) jednaka:
U −t
e RC h(t)
(2.89)
R
Za kolo sa Slike 2.12b, kombinovanjem jednaˇcina postavljenih po Kirhofovim
zakonima se dobija diferencijalna jednaˇcina po struji i2 :
i1 (t) =
1
di2 (t) R
+ i2 (t) = ug (t), t ≥ 0
dt
L
L
(2.90)
cˇ ijim se rješavanjem dobija struja i2 (t):
i2 (t) =
U
R 1 − e− t
R
L
(2.91)
Na osnovu prethodne analize možemo zakljuˇciti da je indiciona funkcija koja odgovara struji generatora i(t) jednaka:
f (t) =
t R
1
1 − e− L t + e− RC h(t)
R
(2.92)
Kombinovanjem jednaˇcina (2.84) i (2.92) dobija se tražena struja generatora:
i(t) =
R
R
t t−T U
U
1 − e− L t + e− RC h(t) −
1 − e− L (t−T ) + e− RC h(t − T )
R
R
(2.93)
2.4 Kompletan odziv
Zadatak 20. U kolu prikazanom na Slici 2.13, poznata je√induktivnost kalema L,
kapacitivnost kondenzatora C, otpornost otpornika R = L/C i vremenski oblik
napona generatora ug (t) = Uh(t). Prekidaˇc P je otvoren dovoljno dugo da se uspostavi prinudni režim. U jednom od trenutaka, kada je napon na kondenzatoru
maksimalan, prekidaˇc P se zatvara. Odrediti Grinovu funkciju napona na kondenzatoru, kada je prekidaˇc otvoren, kao i struju kroz otpornik iR , ∀t.
4
Preporuˇcuje se da se struja i1 nade
¯ posredno preko napona kondenzatora.
44
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
iR
L
−
+
ug (t)
R
+
uC P
C
Slika 2.13 Elektriˇcno kolo uz primjer sa kompletnim odzivom.
Rješenje. Dok je prekidaˇc otvoren (Slika 2.14a), otpornik otpornosti R ne opterećuje generator, jer kroz njega ne protiˇce struja. Stoga, dok je prekidaˇc otvoren,
važe sljedeće jednaˇcine:
ug (t) = uL (t) + uC (t)
(2.94a)
duC (t)
(2.94b)
i(t) = C
dt
di(t)
(2.94c)
uL (t) = L
dt
+ uL
−
+
ug (t)
L
iL
+
C
uC ug (t)
(a) Kolo prije zatvaranja prekidaˇca.
−
+
i
+ uL
L
iR
iC
C
+
uC R
+
uR
(b) Kolo nakon zatvaranja prekidaˇca.
Slika 2.14
Iz jednaˇcina (2.94) se kombinovanjem dobija diferencijalna jednaˇcina RUI za
napona na kondenzatoru:
1
1
d2 uC (t)
+
u
(t)
=
ug (t), t ≥ 0
(2.95)
C
LC
LC
dt2
Rješenje diferencijalne jednaˇcine (2.95) se dobija kao zbir sopstvenog i partikularnog odziva. S obzirom da je karakteristiˇcna jednaˇcina kola oblika s2 + ω20 = 0,
gdje je ω20 = 1/(LC) sopstveni režim kola je prostoperiodiˇcan:
uCs (t) = K1 cos (ω0 t) + K2 sin (ω0 t)
45
(2.96)
2.4. KOMPLETAN ODZIV
Prinudni odziv se pretpostavlja u obliku eksitacije za t > 0, a pošto eksitacija ima
oblik Hevisajdove funkcije, pretpostavlja se da je prinudni odziv konstantan za
t ≥ 0 i iznosi npr. U p . Uvrštavanjem u (2.95), dovbija se da je U p = U, pa je
napon na kondenzatoru jednak:
uC (t) = K1 cos (ω0 t) + K2 sin (ω0 t) + U, t ≥ 0
(2.97)
Grinova funkcija se može izraˇcunati kao izvod indicione funkcije, koju je jednostavno naći s obzirom da je naponski generatora Hevisajdova funkcija. Za raˇcunanje indicione funkcije potrebno je pretpostaviti da u kolu nema akumulisane energije prilikom ukljuˇcenja generatora, tj. da je uC (0− ) = 0 i da je i(0− ) = 0. Pošto su
ispunjeni uslovi iz teorema o neprekidnosti napona na kondenzatoru i struje kroz
kalem, poˇcetni uslovi su jednaki:
uC (0+ ) = 0
(2.98a)
duC (0+ ) i(0+ )
=
=0
(2.98b)
dt
C
Kombinovanjem (2.97) i (2.98), dobija se napon na kondenzatoru prije ukljuˇcenja
otpornika u kolo:
uC (t) = U (1 − cos (ω0 t)) h(t)
(2.99)
Vidimo da je napon na kondenzatoru jednak zbiru jedne nepromjenljive komponente U, koja je posljedica dejstva generatora, i jedne naizmjeniˇcne komponente
Ucos (ω0 t), koja je posljedica razmjene energije izmedu
¯ kalema i kondenzatora,
uložene u kolo u trenutku ukljuˇcenja generatora. Indiciona funkcija napona na
generatoru je:
f (t) = (1 − cos (ω0 t)) h(t)
(2.100)
pa je tražena Grinova funkcija jednaka:
g(t) = ω0 sin (ω0 t) h(t)
(2.101)
Vidimo da je Grinova funkcija prostoperiodiˇcna funkcija vremena, što daje dodatni
argument za zakljuˇcke o režimu kola. Oblik Grinove funkcije potvrduje
da c´ e se
¯
uloženi kvant energije razmjenjivati izmedu
¯ kondenzatora i kalema.
Odredivanje
trenutka ukljuˇcenja otpornika u kolo:
¯
Od trenutka t = 0, u kolu djeluje generator nepromjenljivog napona U, a iz
jednaˇcine (2.99) c´ emo odrediti jedan od trenutaka (npr. t1 ) kada je napon na kondenzatoru maksimalan.
uC (t1 ) = Umax ⇔ cos (ω0 t1 ) = −1
46
(2.102a)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
uC (t)
2U
t1
t
Slika 2.15 Vremenski oblik napona na kondenzatoru prije ukljuˇcenja otpornika u
kolo..
ω0 t1 = (2k + 1) π, k = 0, 1, 2, . . .
(2.102b)
pa je za k = 0 jednako t1 = π/ω0 . Nakon ukljuˇcenja otpornika u kolo (Slika 2.14b),
dolazi do promjene sopstvenog režima rada kola, pa je potrebno odrediti kolika
je akumulisana energija u kolu neposredno prije zatvaranja prekidaˇca. Napon na
du (t− )
kondenzatoru je jednak uC (t1− ) = 2U, a struja kroz kalem iznosi i(t1− ) = C Cdt 1 =
0. S obzirom da su i dalje ispunjeni uslovi iz teorema o neprekidnosti napona na
kondenzatoru i struje kroz kalem, važi da je uC (t1+ ) = 2U i i(t1+ ) = 0.
Nakon ukljuˇcenja otpornika u kolo, važe sljedeće linearne jednaˇcine:
ug (t) = uL (t) + uC (t)
(2.103a)
duC (t)
dt
di(t)
uL (t) = L
dt
iL (t) = iC (t) + iR (t)
(2.103b)
iC (t) = C
(2.103c)
(2.103d)
uC (t) = RiR (t)
(2.103e)
Kombinovanjem jednaˇcina (2.103), dobija se diferencijalna jednaˇcina RUI za struju
kroz otpornik:
1
1
d2 iR (t)
1 diR (t)
+
iR (t) =
ug (t), t ≥ t1
+
2
RC
dt
LC
RLC
dt
(2.104)
Karakteristiˇcni polinom elektriˇcnog kola je s2 +2αs+ω20 = 0, gdje je α = 1/(2RC),
a ω20 = 1/LC. Pošto je L = R2C kolo je u pseudoperiodiˇcnom režimu, gdje je
√
ω1 = 3α. Kompletan odziv je:
iR (t) = K1 e−αt cos (ω1 t) + K2 e−αt sin (ω1 t) +
47
U
, t ≥ t1
R
(2.105)
2.5. SUPERPOZICIONI INTEGRAL
Poˇcetni uslovi su:
uC (t1+ ) 2U
=
(2.106a)
R
R
diR (t1+ ) 1 duC (t1+ )
1
1 +
2U
=
=
iC (t1+ ) =
iL (t1 ) − iR (t1+ ) = − 2
(2.106b)
dt
R dt
RC
RC
RC
Kombinovanjem jednaˇcina (2.104) i (2.106), dobija se struja kroz otpornik:
iR (t1+ ) =
iR (t) =
√
U
1 + e−α(t−t1 ) cos (ω1 (t − t1 )) − 3e−α(t−t1 ) sin (ω1 (t − t1 )) h(t − t1 )
R
(2.107)
Kompletan odziv se razlikuje od odziva na akumulisanu energiju i odziva na
eksitaciju po naˇcinu odredivanja
poˇcetnih uslova. Ukoliko je eksitacija Hevisaj¯
dovog talasnog oblika, kompletan odziv se može naći na naˇcin opisan u ovom zadatku. Medutim,
ukoliko imamo eksitaciju proizvoljnog talasnog oblika, odziv na
¯
eksitaciju se može naći preko suporepozicionog ili konvolucionog integrala. U tom
sluˇcaju, odziv na akumulisanu energiju treba odrediti posebno. Kompletan odziv
je zbir odziva na akumulisanu energiju i odziva na eksitaciju.
2.5 Superpozicioni integral
Superpozicioni integral se koristi da se nade
¯ odziv na eksitaciju proizvoljnog
talasnog oblika. Ukoliko sa e(t) oznaˇcimo eksitaciju, sa o(t), traženi odziv i sa
f (t) odgovarajuću indicionu funkciju, superpozicioni integral se može koristiti u
jednom od cˇ etiri oblika:
o(t) = e(0) f (t) +
Zt
e′ (τ) f (t − τ)dτ
(2.108a)
Zt
e′ (t − τ) f (τ)dτ
(2.108b)
Zt
e(τ) f ′ (t − τ)dτ
(2.108c)
Zt
e(t − τ) f ′ (τ)dτ
(2.108d)
0
o(t) = e(0) f (t) +
0
o(t) = e(t) f (0) +
0
o(t) = e(t) f (0) +
0
48
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
pri cˇ emu se strogo mora voditi raˇcuna o tome da li je funkcija cˇ iji izvod tražimo
prekidna ili neprekidna funkcija vremena.
Zadatak 21. Paralelno RC kolo se napaja strujnim generatorom, cˇ iji je talasni
oblik prikazan na Slici. Ako je T = RC, odrediti napon na krajevima generatora za
t ≥ 0. U trenutku t = 0 u kolu nije bilo akumulisane energije.
ug (t)
+
ig (t)
u R
U
C
T
(a) Paralelna Paralelno RC kolo i
strujni generator
t
(b) Vremenski oblik naponskog generatora.
Slika 2.16
Rješenje. Talasni oblik eksitacije nije pogodan za klasiˇcno rješavanje diferencijalne jednaˇcine koja daje realciju izmedu
¯ ulaza i izlaza, pošnto je eksitacija prekidna funkcija vremena i nije jednostavno pretporstaviti oblik prinudnog rješenja.
Da bismo našli traženi napon, potrebno je izraˇcunati odgovarajuću indicionu funkciju i odabrati jedan od oblika superpozicionog integrala (2.108).
Da bismo izraˇcunali indicionu funkciju, potrebno je samo pretpostaviti Hevisajdovu eksitaciju, s obzirom da su zadani nulti poˇcetni uslovi. Postavljanjem
sistema jednaˇcina po Kirhofovim zakonima i sistema jednaˇcina linearnih veza izmedu
¯ struja i napona na svim elementima kola, dobija se potpun sistem jednaˇcina,
koji je dovoljan za odredivanje
relacije izmedu
¯
¯ strujnog generatora i traženog napona:
1
1
du(t)
+
u(t) = ig (t), t ≥ 0
(2.109)
dt
RC
C
Pošto je eksitacija prekidna funkcija vremena, tj. njen talasni oblik je razliˇcit za
razliˇcite vremenske intervale, nije moguće pretpostaviti jedinstveno partikularno
rješenje, pa prvo tražimo indicionu funkciju.
Pretpostavka Hevisajdove eksitacije:
Ukoliko pretpostavimo da je ig (t) = Ih(t), difrencijalna jednaˇcina (2.109) dobija oblik:
1
I
du(t)
+
u(t) = h(t), t ≥ 0
(2.110)
dt
RC
C
49
2.5. SUPERPOZICIONI INTEGRAL
cˇ ijim se rješavanjem dobija napon:
t u(t) = RI 1 − e− RC h(t)
(2.111)
pa je indiciona funckija za napon strujnog generatora jednaka:
t f (t) = R 1 − e− RC h(t)
(2.112)
Posmatrajući sva cˇ etiri oblika superpozicionog integrala, vidimo da te formule
predstavljaju jednaˇcine za raˇcunanje trenutne vrijednosti odziva ∀t. Da bi ilustrovali znaˇcaj izbora tipa superpozicionog integrala, zadatak c´ e biti rješen na dva nacˇ ina.
Prvi naˇcin:
Ukoliko koristimo superpozicioni integral oblika (2.108c), treba da tražimo
odziv za razliˇcite intervale posebno, jer je eksitacija prekidna funkcija vremena.
Interval 0 ≤ t < T : Tokom ovog vremenskog intervala je:
R t−τ
It ′
, f (t − τ) = e− RC
T
T
pa superpozicioni integral dobija oblik:
ig (t) =
u(t) = ig (t) f (0) +
Zt
′
ig (τ) f (t − τ)dτ =
0
Zt
RIτ − t−τ
e RC dτ
T2
(2.113)
(2.114)
0
sredivanjem
se dobija:
¯
RI t
u(t) = 2 e− RC
T
Zt
τ
τe RC dτ
(2.115)
0
Integral (2.115) se rješava parcijalnom integracijom i nakon sredivanja
se
¯
dobija:
t
t
− 1 + e− RC
u(t) = IR
(2.116)
T
Interval T ≤ t < 2T : Tokom ovog vremenskog intervala je:
R t−τ
I
(t − 2T ), f ′ (t − τ) = e− RC
T
T
pa superpozicioni integral dobija oblik:
ig (t) =
u(t) =
ZT
RIτ − t−τ
e RC dτ +
T2
Zt
T
0
50
t−τ
I
(τ − 2T )e− RC dτ
2
T
(2.117)
(2.118)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Raˇcunanjem i sredivanjem
izraza (2.118) se dobija:
¯
t
t
u(t) = IR (1 + 2e) e− T + − 3
T
(2.119)
Interval t ≥ 2T : Tokom ovog vremenskog intervala je:
ig (t) = 0, f ′ (t − τ) =
R − t−τ
e RC
T
(2.120)
pa superpozicioni integral dobija oblik:
u(t) =
ZT
RIτ − t−τ
e RC dτ +
T2
Z2T
t−τ
I
(τ − 2T )e− RC dτ +
2
T
T
0
Zt
R t−τ
0 e− RC dτ
T
(2.121)
2T
Raˇcunanjem i sredivanjem
izraza (2.121) se dobija:
¯
t u(t) = IRe− T 1 + 2e − e2
(2.122)
Drugi naˇcin:
Ukoliko koristimo superpozicioni integral oblika (2.108a), potrebno je posebno
obratiti pažnju na prekidnost eksitacije s obzirom da se traži njen izvod.
Interval 0 ≤ t < T : Tokom ovog vremenskog intervala je:
i′g (t) =
t−τ I
, f (t − τ) = R 1 − e− T
T
(2.123)
pa superpozicioni integral dobija oblik:
u(t) = ig (t) f (0) +
Zt
i′g (τ) f (t
− τ)dτ =
0
Zt
0
τ−t IR 1 − e T dτ
T
(2.124)
Rješenje integrala (2.124) je:
u(t) = IR
t
T
t
− 1 + e− RC
(2.125)
Interval T ≤ t < 2T : Tokom ovog vremenskog intervala je:
i′g (t) =
t−τ I
, f (t − τ) = R 1 − e− T
T
51
(2.126)
2.6. KONVOLUCIONI INTEGRAL
Pošto funkcija ig ima prekid prve vrste u trenutku t = T pa superpozicioni
integral dobija oblik:
u(t) =
ZT
0
t
Z IR τ−t τ−t IR +
−
1 − e T dτ + ig (T ) − ig (T )
1 − e T dτ (2.127)
T
T
T
Raˇcunanjem i sredivanjem
izraza (2.127) se dobija:
¯
t
− Tt
u(t) = IR (1 + 2e) e + − 3
T
Interval t ≥ 2T : Tokom ovog vremenskog intervala je:
t−τ ig (t) = 0, f (t − τ) = R 1 − e− T
pa superpozicioni integral dobija oblik:
RT τ−t
u(t) = 0 IR
1 − e T dτ + ig (T + ) − ig (T − ) +
T
Rt
R 2T IR t−τ
τ−t
T
dτ + 2T 0R 1 − e− T dτ
T 1−e
T
Raˇcunanjem i sredivanjem
izraza (2.130) se dobija:
¯
t u(t) = IRe− T 1 + 2e − e2
(2.128)
(2.129)
(2.130)
(2.131)
Rješenja prema prvom i drugom naˇcinu rješavanja su jednaka, medutim,
vidimo
¯
da ukoliko izaberemo integral oblika (2.108a) integrali koji treba da se raˇcunaju su
jednostavniji nego kada koristimo integral oblika (2.108c).
2.6 Konvolucioni integral
Konvolucioni integral se koristi da se nade
¯ odziv na eksitaciju proizvoljnog
talasnog oblika. Ukoliko sa e(t) oznaˇcimo eksitaciju, sa o(t), traženi odziv i sa g(t)
odgovarajuću Grinovu funkciju, konvolucioni integral se može koristiti u jednom
od dva oblika:
o(t) =
Zt
e(τ)g(t − τ)dτ
(2.132a)
Zt
e(t − τ)g(τ)dτ
(2.132b)
0
o(t) =
0
52
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Zadatak 22. Na krajevima redne veze kalema induktivnosti L i otpornika otpornosti R (Slika 2.17a), prikljuˇcen je naponski generator cˇ iji je talasni oblik prikazan
na Slici 2.17b. Odrediti analitiˇcki izraz za struju kroz kolo pomoću konvolucionog
integrala. U trenutku t = 0 u kolu nije bilo akumulisane energije.
i
ug (t)
R
−
+
ug (t)
U
L
T0
(a) RL kolo i naponski generator
t
(b) Vremenski oblik naponskog generatora.
Slika 2.17
Rješenje. Postavljanjem jednaˇcina po Kirhofovim zakonima i linearnih veza izmedu
¯ napona i struja na elementima kola, može se dobiti relacija izmedu
¯ eksitacije
i odziva:
1
di(t) R
+ u(t) = ug (t), t ≥ 0
(2.133)
dt
L
L
Da bi našli odziv pomoću konvolucionog integrala potrebno je naći Grinovu
funkciju za struju. Pretpostavljanjem eksitaciju Hevisajdovog oblika, možemo naći
indicionu funkciju. Grinova funkcija se bobija kao izvod indicione funkcije:
g(t) =
1 −Rt
e L h(t)
L
(2.134)
Struju kroz kolo dobijamo rješavanjem jednog od integrala 2.132:
Interval 0 ≤ t < T : Tokom ovog intervala, napon naponskog generatora je konstantan i ima vrijednost U, pa je:
i(t) =
Zt
0
R U
U − R (t−τ)
dτ =
e L
1 − e− L t
L
R
(2.135)
Interval t ≥ T : Tokom ovog intervala, napon naponskog generatora je jednak nuli,
53
2.6. KONVOLUCIONI INTEGRAL
pa je struja jednaka:
i(t) =
ZT
0
U − R (t−τ)
U R R
dτ = e− L t e− L T − 1
e L
L
R
(2.136)
Zadatak 23. Napon na pristupnim krajevima elektriˇcnog kola sa jednim pristupom
(Slika 2.18a) se analitiˇcki može opisati sa u(t) = 2 − t [V] (Slika 2.18b). Taj
napon predstavlja odziv na impulsnu strujnu eksitaciju jaˇcine udara Φ = 1. Ako
se na pristupne krajeve tog kola prikljuˇci Hevisajdov strujni generator ih (t) = h(t),
odrediti napon na pristupnim krajevima tog kola.
u(t)
ig (t)
+
u
2
E.K.
2
(a) Kolo sa jednim pristupom istrujni generator.
t
(b) Vremenski oblik odziva na impulsnu strujnu eksitaciju.
Slika 2.18
Rješenje. Pošto je napon sa Slike 2.18b odziv na impulsnu strujnu eksitaciju jaˇcine
udara Φ = 1, ta funkcija zapravo predstavlja Grinovu funkciju za napon na ulazu
kola sa jednim pristupom. Poznavajući Grinovu funkciju izlazne veliˇcine, pomoću
konvolucionog integrala je moguće naći odziv na eksitaciju proizvoljnog talasnog
oblika.
Grafiˇcka interpretacija konvolucionog integrala:
Ukoliko posmatramo konvolucioni integral:
u(t) =
Zt
ig (τ)g(t − τ)dτ
(2.137)
0
vidimo da se trenutna vrijednost napona u(t) raˇcuna kao odredeni
integral proi¯
zvoda funkcije eksitacije i(τ) i reflektovane Grinove funkcije pomjerene u taj trenutak t, obilježene sa g(t − τ). Treba napomenuti da je vremenska osa obilježena
sa τ, dok je t fiksirani trenutak u kojem se traži odziv.
54
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
g(τ)
g(−τ)
2
2
2
τ
τ
−2
(a) Originalna Grinova funkcija.
(b) Reflektovana Grinova funkcija.
g(1 − τ)
g(2 − τ)
2
2
−1
1
τ
2
(c) Reflektovana Grinova funkcija pomjerena za t = 1.
τ
(d) Reflektovana Grinova funkcija pomjerena za t = 2.
Slika 2.19
Na Slici 2.19 vidimo kakav efekat imaju refleksija i pomjeranje na Grinovu
funkciju. Refleksija funkcije predstavlja simetriˇcno preslikavanje u odnosu na ordinatu (Slika 2.19b). Može se zakljuˇciti da funkcija g(t−τ) predstavlja reflektovanu
Grinovu funkciju pomjerenu u trenutak t.
Podintegralna funkcija u jednaˇcini (2.137) je proizvod pomjerene reflektovane
Grinove funkcije i eksitacije. Trenutna vrijednost napona u trenutku t je integral
tog proizvoda u granicama od 0 do t.
Trenutna vrijednost napona predstavljena jednaˇcinom (2.137) se raˇcuna kao
površina ispod funkcije proizvoda h(τ)g(t − τ). Pošto je Hevisajdova funkcija jednaka jedinici za τ ≥ 0, u ovom sluˇcaju trenutna vrijednost napona je jednaka integralu pomjerene reflektovane Grinove funkcije u granicama od 0 do t. Sa Slike
2.20 vidimo da c´ e se trenutna vrijednost napona u(t) povećavati sve dok je pomjeraj
u vremenu manji od t = 2. Nakon tog trenutka, proizvod h(τ)g(t − τ) je konstantan,
pa napon u(t) ima nepromjenljivu vrijednost za t ≥ 2.
Analitiˇcko rješenje konvolucionog integrala:
Da bi potvrdili prethodnu analizu, odziv c´ e biti izraˇcunat direktno rješavanjem
konvolucionog integrala.
55
2.6. KONVOLUCIONI INTEGRAL
Rt
0
τ
0.5
−1.5
0
ug (τ)g(1 − τ)dτ
1
τ
(b) Pomjerena reflektovana Grinova funkcija i eksitacija u trenutku t = 1.
Rt
ug (τ)g(1.5 − τ)dτ
1.5
−0.5
0
−1
(a) Pomjerena reflektovana Grinova funkcija i eksitacija u trenutku t = 0.5.
Rt
Rt
ug (τ)g(0.5 − τ)dτ
0
τ
ug (τ)g(2.5 − τ)dτ
0.5
(c) Pomjerena reflektovana Grinova funkcija i eksitacija u trenutku t = 1.5.
2.5τ
(d) Reflektovana Grinova funkcija pomjerena za t = 2.5.
Slika 2.20
Interval 0 ≤ t < 2: Tokom ovog interavla je:
ig (τ) = 1, g(t − τ) = 2 − t + τ
(2.138)
pa je napon jednak:
u(t) =
Zt
τ2
(2 − t + τ) dτ = 2τ − tτ +
2
0
!t
0
= 2t −
t2
2
(2.139)
Interval t ≥ 2: Tokom ovog interavla je:
ig (τ) = 1, g(t − τ) = 2 − t + τ
(2.140)
medutim,
donja granica integrala je t − 2 jer je prije tog momenta g(t − τ)
¯
jednaka nuli. U ovom sluˇcaju napon je:
u(t) =
Zt
τ2
(2 − t + τ) dτ = 2τ − tτ +
2
t−2
56
!t
t−2
=2
(2.141)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
2.7 Odziv u kolima sa kontrolisanim generatorima
Zadatak 24. U elektriˇcnom kolu prikazanom na slici je uspostavljeno stacionarno
stanje. U trenutku t = 0, otvara se prekidaˇc P. Pokazati da je moguće odrediti
transkonduktansu γ strujnog generatora kontrolisanog naponom, tako da napon
u2 (t), poslije otvaranja prekidaˇca bude prostoperiodiˇcna funkcija vremena, a zatim
odrediti napon u2 (t) za t ≥ 0.
C1
P
+
γu2 (t)
R1
R2
C2
R
u2
U
−
+
Slika 2.21 Elektriˇcno kolo sa kontrolisanim generatorom i prekidaˇcem.
Rješenje. Zadano elektiˇcno kolo sadrži naponski kontrolisan strujni generator i
prekidaˇc pomoću kojeg se u kolo može ukljuˇciti ili iskljuˇciti grana sa generatorom.
Naponski kontrolisan strujni generator može da predstavlja model MOSFET tranzistora, a pošto je potrebno odrediti parametar kontrolisanog strujnog generatora,
tako da režim kola bude prostoperiodiˇcan, zadano kolo je zapravo ekvivalentna
šema oscilatora. Za t < 0, pretpostavlja se da je proteklo dovoljno vremena da se
završe svi prelazni procesi, tj. svi kondenzatori su napunjeni i predstavljaju prekid (Slika 2.22a). Poˇcetni uslovi su naponi na krajevima kondenzatoru u trenutku
t = 0− :
R2 U
R2 U
(R1 γ − 1) , u2 (0− ) =
(2.142)
u1 (0− ) =
R + R2
R + R2
Već su izvedeni uslovi (Zadatak 14) da elektriˇcno kolo bez eksitacije bude u
prostoperiodiˇcnom režimu. Potrebno je da u nekom vremenskom trenutku kolo ima
akumulisanu energiju i da ima karakteristiˇcni polinom oblika s2 + ω20 = 0. Nakon
otvaranja prekidaˇca P, imamo elektriˇcno kolo prikazano na Slici 2.22b. Jednaˇcine
za cˇ vorove 1 i 2 postavljene po prvom Kirhofovom zakonu glase:
γu2 (t) =
C1
1
du1 (t)
(u1 (t) + u2 (t)) + C1
R1
dt
du2 (t)
du1 (t) u2 (t)
=
+ C2
dt
R2
dt
57
(2.143a)
(2.143b)
2.7. ODZIV U KOLIMA SA KONTROLISANIM GENERATORIMA
+ u1
γu2 (t)
R1
R
+
u2
R2
U
−
+
(a) Kolo prije otvaranja prekidaˇca u stacionarnom stanju.
+ u1
1
i1
γu2 (t)
2
i2
C1
R1
R2
C2
+
u2
(b) Kolo nakon zatvaranja prekidaˇca sa
oznaˇcenim referentnim smjerovima.
Slika 2.22
Kombinovnanjem jednaˇcina (2.143) dobijamo diferencijalnu jednaˇcinu po izlaznom naponu u2 (t) za t ≥ 0:
1
R1
1
d2 u2 (t)
−
R1 γ − 1 −
+
2
R1 C 1 R1 C 2
R2
dt
!!
du2 (t)
u2 (t)
+
=0
dt
R1 R2 C 1 C 2
(2.144)
Da bi prethodna jednaˇcina odgovarala opštem obliku diferencijalne jednaˇcine za
prostoperiodiˇcan režim potrebno je da realni dio sopstvene uˇcestanosti bude jednak
nuli, odnosno treba da bude:
!!
1
1
1
R1
−
α=
R1 γ − 1 −
=0
(2.145)
2 R1 C 1 R1 C 2
R2
Dakle, da bi kolo radilo kao oscilator transkonduktansa γ treba da bude:
!
1 C 2 R1
+
+1
γ=
R1 C 1 R2
58
(2.146)
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
Ukoliko je ispunjen uslov (2.146), diferencijalna jednaˇcina (2.144) se svodi na:
d2 u2 (t)
u2 (t)
+
= 0, t ≥ 0
R1 R2 C 1 C 2
dt2
(2.147)
cˇ ije opšte rješenje možemo pretpostaviti u obliku:
u2 (t) = K1 cos (ω0 t) + K2 sin (ω0 t) , t ≥ 0
(2.148)
S obzirom da su ispunjeni uslovi iz teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru, iz jednaˇcina (2.142) se dobijaju poˇcetni uslovi:
u2 (0+ ) =
R2 U
R2 + R
(2.149a)
U
du2 (0+ )
=−
(2.149b)
dt
C2 (R + R2 )
Kombinovanjem jednaˇcine (2.147) i poˇcetnih uslova (2.149) dobija se traženi napon:
U
u2 (t) =
R2 + R
s
R22 +
1
1
cos ω0 t + arctan
2
2
ω
C
ω0 C 2
0 2 R2
!
(2.150)
2.8 Teorema neprekidnosti
Odziv u vremenskom domenu se u opštem obliku traži kao rješenje diferencijalne jednaˇcine koja daje relaciju izmedu
¯ eksitacije i izlazne promjenljive. U zavisnosti od broja nezavisnih elemenata sa memorijom koji se nalaze u kolu i naˇcina
njihovog medusobnog
povezivanja, ova diferencijalne jednaˇcina c´ e imati odredeni
¯
¯
red. U prethodnim poglavljima je detaljno izloženo nekoliko metoda za nalaženje
odziva na akumulisanu energiju i eksitaciju u sluˇcaju da red RUI jednaˇcine ne prelazi dva. U sluˇcaju da ovaj uslov nije zadovoljen, direkno rješavanje diferencijalne
jednaˇcine se usložnjava. Medutim,
pošto se Teorija elektriˇcnih kola ograniˇcava na
¯
linearna i vremenski invarijantna kola, diferencijalna jednaˇcina c´ e uvijek biti sa
konstantnim pozitivnim koeficijentima. Već je pokazano da je dio diferencijalne
jednaˇcine lijevo od znaka jednakosti svojstven za kolo, pa c´ e sopstveni odziv biti
istog oblika5 bez obzira na red diferencijalne jednaˇcine. Takode,
¯ poznato je da je
prinudni odziv uvijek u obliku eksitacije, pa pošto lijeva i desna strana diferencijalne jednˇcine moraju biti izbalansirane, analitiˇcki oblik opšteg rješenja se uvijek
može pretpostaviti.
5
Linearna kombinacija partikularnih rješenja homogene diferencijalne jednaˇcine.
59
2.8. TEOREMA NEPREKIDNOSTI
Ako sa x(t) oznaˇcimo eksitaciju, sa y(t) oznaˇcimo izlaznu promjenljivu i ukoliko umjesto oznake za prvi izvod d/dt uvedemo diferencijalni operator D, opšti
oblik RUI jednaˇcine se može napisati kao:
an Dn y(t) + an−1 Dn−1 y(t) + . . . a1 Dy(t) + a0 y(t) =
bm Dm x(t) + bm−1 Dm−1 y(t) + . . . b1 Dx(t) + b0 x(t)
(2.151)
A(D)y(t) = B(D)x(t)
(2.152)
odnosno kao:
Radi lakše analize, pretpostavimo da je polinom A(D) drugog reda a da je polinom B(D) prvog reda:
(2.153)
a2 D2 + a1 D + a0 y(t) = (b1 D + b0 ) x(t)
Ukoliko eksitacija x(t) ima prekid prvog reda, tj. Hevisajdovu eksitaciju, tada
Dx(t) sadrži Dirakovu funkciju, pa Dirakova funkcija mora da se nalazi u jednom
od cˇ lanova sa lijeve strane jednaˇcine (2.153). Taj impuls je prekid najvećeg reda sa
desne strane znaka jednakosti, pa mora da bude u cˇ lanu D2 y(t). Pošto se funkcija
y(t) dobija dvostrukom integracijom D2 y(t), y(t) je sigurno neprekidna funkcija
vremena, y(t) = z(t)h(t).
Ako eksitacija x(t) sadrži Dirakovu funkciju, tada Dx(t) sadrži izvod Dirakove
funkcije, pa sliˇcnim rezonom zakljuˇcujemo da cˇ lan D2 y(t) takode
¯ sadrži izvod Dirakove funkcije. Stoga, cˇ lan Dy(t) mora da sadrži Dirakovu funkciju, a cˇ lan y(t)
Hevisajdovu funkciju. Može se zakljuˇciti da je i u ovom sluˇcaju y(t) neprekidna
funkcija vremena i da se može pretpostaviti u obliku y(t) = z(t)h(t).
Pretpostavimo da x(t) sadrži prvi izvod Dirakove funkcije, pa cˇ lan Dx(t) mora
da sadrži drugi izvod Dirakove funkcije. Takode
¯ D2 y(t) mora da sadrži drugi izvod
izvod Dirakove funkcije. Poslije integracije vidimo da cˇ lan Dy(t) sadrži prvi izvod
Dirakove funkcije, a cˇ lan y(t) ima Dirakovu funkciju. U ovom sluˇcaju y(t) nije
neprekidna funkcija vremena i mora se pretpostaviti u obliku y(t) = z(t)h(t)+Hδ(t).
U opštem sluˇcaju rješenje diferencijalne jednaˇcine pretpostavljamo u obliku:
y(t) = z(t)h(t) + H1 δ(t) + H2 δ(1) + H3 δ(2) + . . .
(2.154)
Dakle, odziv se pretpostavlja u obliku sume proizvoda neke neprekidne funkcije
z(t) i Hevisajdove funkcije h(t) i linearne kombinacije potrebnog broja izvoda Dirakove funkcije. Pretpostavljeno rješenje mora da zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu, pa se uvrštavanjem (2.154) u (2.151) dobijaju sve neophodne konstante.
Zadatak 25. U kolu bez akumulisane energije, poznatih parametara L i Cdjeluje
generator napona ug (t) = Uh(t − T ). Odrediti trenutnu vrijednost napona u(t)
otvorenog pristupa.
60
GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PRVOG I DRUGOG REDA
+ u2 (t)
C
ig (t)
+
u1 (t)
C
+
i2 (t)
L
ug (t)
L
i1 (t)
•
•
u(t)
k=1
Slika 2.23 Elektriˇcno kolo sa otvorenim pristupom.
Rješenje. Postavljanjem jednaˇcina prema Kirhofovim zakonima i u skladu sa referentnim smjerovima prikazanim na Slici 2.23 dobijamo:
ug (t) = L
di1 (t)
di2
+L
+ u1 (t)
dt
dt
di2
di1 (t)
+L
+ u1 (t)
dt
dt
du2 (t)
du1 (t)
, i2 (t) = C
i1 (t) = C
dt
dt
ug (t) = L
(2.155a)
(2.155b)
(2.155c)
Sa Slike (2.23) se može zakljuˇciti da je ig (t) = i1 (t), tj. da struja i2 (t) potiˇce
iskljuˇcivo od indukcije zbog spregnutih kalemova. Iz jednaˇcina (2.155a) i (2.155b)
slijedi da je
(2.156)
u1 (t) = u(t)
dok se kombinovanjem (2.155a) i (2.155c) dobija:
!
!
d
du1 (t)
d
du2 (t)
ug (t) = L
C
+L
−C
+ u1 (t)
dt
dt
dt
dt
(2.157)
i pošto je ug (t) = u2 (t) + u(t), uvrštavanjem u (2.157) i kombinovanjem sa (2.156)
se dobija se diferencijalna jednaˇcina koja daje relaciju izmedu
¯ ulaza i izlaza:
1 d2 ug (t)
1
1
d2 u(t)
u(t)
=
ug (t)
+
+
2LC
2 dt2
2LC
dt2
(2.158)
Rješavanjem jednaˇcine (2.158) se dobija talasni oblik izlaznog napona u(t).
Ukoliko uvedemo diferencijalni operator D = d/dt, diferencijalna jednaˇcina dobija
oblik:
!
!
1
1 2
1
2
u(t) = D +
ug (t)
(2.159)
D +
2LC
2
2LC
61
2.8. TEOREMA NEPREKIDNOSTI
Pretpostavkom eksitacije ug (t) = h(t) i primjenom teoreme kontinuiteta, indicionu
funkciju možemo da pretpostavimo u obliku:
f (t) = z(t)h(t)
(2.160)
gdje je z(t) neka neprekidna funkcija. Uzastopnim diferenciranjem (2.160) se dobija:
D f (t) = z′ (t)h(t) + z(0)δ(t)
(2.161a)
D2 f (t) = z′′ (t)h(t) + z′ (0)δ(t) + z(0)δ′ (t)
(2.161b)
Uvrštavanjem jednaˇcina (2.161) u (2.159) se dobija:
z′′ (t)h(t) + z′ (0)δ(t) + z(0)δ′ (t) +
1
1
1
z(t)h(t) = δ′ (t) +
h(t)
2LC
2
2LC
(2.162)
Da bi se dobila funkcija z(t), potrebno je balasirati cˇ lanove sa lijeve i desne strane
jednakosti u jednaˇcini (2.162), tj. izjednaˇciti vrijednosti uz h(t), δ(t) i δ′ (t):
h(t) : z′′ (t) +
1
1
z(t) =
2LC
2LC
δ(t) : z′ (0) = 0
(2.163a)
(2.163b)
1
(2.163c)
2
Funkciju z(t) dobijamo rješavanjem diferencijalne jednaˇcine (2.163a), a pošto
je diferencijalna jednaˇcina drugog reda, potrebna su dva poˇcetna uslova. Ti poˇcetni
uslovi se nalaze iz druge dvije jednaˇcine balansiranja (2.163b) i (2.163c). Rješavanjem se dobija indiciona funkcija:
!
1
f (t) = 1 − cos (ω0 t) h(t)
(2.164)
2
δ′ (t) : z(0) =
gdje je ω0 = 1/(2LC) kružne uˇcestanost neprigušenih oscilacija. Pošto je poznata
indiciona funkcija i pošto je zadana pomjerena Hevisajdova eksitacija, na osnovu
vremenske invarijantnosti, odziv je jednak:
!
1
u(t) = U 1 − cos (ω0 (t − T )) h(t − T )
2
62
(2.165)

Download Report