ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Επισκόπηση ∆ειγµατικών και ∆ιερευνητικών
Μεθόδων για την επίλυση Αντίστροφων
Προβληµάτων Σκέδασης
Μορφοπούλου Αντωνία-Ελένη
Επιβλέπων Καθηγητής :
Στρατής Ιωάννης
Αθήνα ,
Μάρτιος , 2007
Αφιερωµένη
στην οικογένεια µου και
στα αγαπηµένα µου πρόσωπα
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ :
Σ΄αυτό το σηµείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν
στην διεκπεραίωση αυτής της ∆ιπλωµατικής Εργασίας που σηµατοδοτεί
το πέρας των Μεταπτυχιακών µου Σπουδών .
Θερµές ευχές οφείλω στον επιβλέποντα καθηγητή µου , κ. Ι.Στρατή ,
για το ενδιαφέρον του , για την εύρεση ενός θέµατος που θα διέγειρε
την ερευνητική µου διάθεση και την πρόθυµη και έµπρακτη
επιστηµονική και ηθική υποστήριξή του στη συνέχεια .
Ευχαριστώ , επίσης , τον κ. Roland Potthast για την καθοδήγηση και
την πολύτιµη συµβολή του στη δοµή αλλά και τα αριθµητικά
παραδείγµατα που προσέφερε κατά τη διάρκεια εκπόνησης της
εργασίας αυτής .
Ακόµα , ευχαριστώ το Τµήµα Μαθηµατικών ,και ειδικότερα τον Τοµέα
Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών , για τη γενικότερη στήριξη που µου
παρείχαν .
Τέλος , ένα µεγάλο ευχαριστώ από τα βάθη της καρδιάς µου στα
µέλη της οικογένειάς µου και στα αγαπηµένα µου πρόσωπα για την
αγάπη τους και την εµπιστοσύνη τους που µε στήριξε και µε
ενθάρρυνε καθ’ όλη τη διάρκεια των σπουδών µου .
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ :
1.
Ευθέα Προβλήµατα Σκέδασης Ακουστικών Κυµάτων……………………..4
§ 1 . Προβλήµατα Σκέδασης Ακουστικών Κυµάτων…………………………….7
§ 2 . Εξωτερική Ολοκληρωτική Αναπαράσταση………………………………….9
§ 3 . Πλάτος Σκέδασης………………………………………………………………11
2.
Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα……………………………………………………...12
§ 1 . Συνοριακές Συνθήκες και Συνθήκες Ακτινοβολίας……………………..14
§ 2 . Ευθέα Προβλήµατα Σκέδασης για Η/Μ Κύµατα………………………..15
§ 3 . Πλάτος Σκέδασης………………………………………………………………18
3.
Αντίστροφα Προβλήµατα…………………………………………………………19
§ 1 . Προσεγγίσεις για την Αναγνώριση Σχήµατος και Υλικού………………26
§ 2 . Έννοιες ∆ειγµατοληψίας……………………………………………………..31
§ 3 . Εισαγωγή Μεθόδων……………………………………………………………33
4.
Μέθοδος Σηµειακής Πηγής…………………………………………………….37
§
§
§
§
§
5.
1
2
3
4
5
.Υπέρθεση Προσπιπτόντων Κυµάτων………………………………………...37
. Χρησιµότητα……………………………………………………………………38
. Μέθοδος Σηµειακής Πηγής για Αναπαραστάσεις Πεδίου……………...38
. Γενική ∆οµή…………………………………………………………………….40
. Εφαρµογές………………………………………………………………………42
Μέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών για Ανακατασκευή Σχήµατος (SSM)…..43
§ 1 . Γενική ∆οµή για την SSM……………………………………………………45
§ 2 . Εφαρµογές………………………………………………………………………46
6.
∆ιερευνητική Μέθοδος για Ανακατασκευή Σχήµατος (PM)…………….47
§ 1 .Ερευνώντας µε Σηµειακές Πηγές-Ένα Ενεργειακό Συναρτησοειδές…………………………………………..47
§ 2 . Εφαρµογές………………………………………………………………………52
7.
Γραµµική ∆ειγµατοληπτική Μέθοδος (LSM) και
Μέθοδος Παραγοντοποίησης (FM)……………………………………………..54
§ 1 . Μέθοδος Παραγοντοποίησης………………………………………………..54
§ 2 . Εφαρµογές………………………………………………………………………57
§ 3 . Γραµµική ∆ειγµατοληπτική Μέθοδος……………………………………..58
§ 4 . Εφαρµογές……………………………………………………………………..60
8.
Κριτήριο Πεδίου Τιµών (RT)…………………………………………………….62
§
§
§
§
9.
1
2
3
4
.
.
.
.
Κριτήριο Πεδίου Τιµών µε ένα κύµα (One-wave RT)…………………..63
Φορέας Σκέδασης……………………………………………………………..64
Αριθµητικά Αποτελέσµατα…………………………………………………..66
Εφαρµογές………………………………………………………………………71
Κριτήριο Μη-Απόκρισης (NRT)………………………………………………….72
§ 1 . Κριτήριο Μη-Απόκρισης µε ένα κύµα (One-wave NRT)……………….72
§ 2 . Εφαρµογές………………………………………………………………………81
10 .
Μέθοδος Εγκλεισµού (ΕΜ) και
Ταλαντευόµενες-Φθίνουσες Συναρτήσεις………………………………….82
§ 1 . Ταλαντευόµενες-Φθίνουσες Λύσεις…………………………………………82
§ 2 . Αναλυτική Προσέγγιση Fourier στη Μέθοδο Εγκλεισµού……………..84
§ 3 .Εφαρµογές……………………………………………………………………….90
ΣΥΝΟΨΗ
Η
σκέδαση ακουστικών και ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων
παίζει σηµαντικό ρόλο σε διάφορα πεδία των εφαρµοσµένων
επιστηµών . Τα ακουστικά και τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα
χρησιµοποιούνται και µελετώνται σε τόσους διαφορετικούς τοµείς
όπως στην ιατρική απεικόνιση , στην υπερηχητική τοµογραφία , στην
επιστήµη των υλικών , στον µη-καταστρεπτικό έλεγχο , στα ραντάρ ,
στην αεροναυπηγική και στη σεισµική έρευνα .
Σκοπός
της
εργασίας
αυτής
είναι
να
µελετήσουµε
προβλήµατα σκέδασης , και συγκεκριµένα «Αντίστροφα Προβλήµατα
Σκέδασης» , αναπτύσσοντας κάποιες µεθόδους επίλυσής τους .
Μελετάµε τις έννοιες και τα αναλυτικά αποτελέσµατα διαφόρων
πρόσφατων δειγµατοληπτικών και διερευνητικών µεθόδων και
δίνουµε µια εισαγωγή στη βασική ιδέα πίσω από κάθε µέθοδο ,
χρησιµοποιώντας ένα απλό µοντέλο προβλήµατος και προσπαθώντας
εν συνεχεία να παρέχουµε ένα γενικό τύπο .
Ακολουθούµε σε µεγάλο βαθµό την πρόσφατη εργασία
επισκόπησης του Potthast: “A survey on sampling and probe
methods for inverse problems”, [79] . Συγκεκριµένα , παρουσιάζουµε
τη διερευνητική µέθοδο (Probe method , Ikehata) , τη γραµµική
δειγµατοληπτική µέθοδο (Linear Sampling method , Colton-Kirsch) ,
τη µέθοδο παραγοντοποίησης (Factorization method , Kirsch) , τη
µέθοδο ιδιοµόρφων πηγών (Singular Sources method , Potthast) , το
κριτήριο µη-απόκρισης (No-Response Test , Luke-Potthast) , το
κριτήριο πεδίου τιµών (Range Test , Kusiak-Potthast-Sylvester) και
τη µέθοδο εγκλεισµού (Enclosure method , Ikehata) για την επίλυση
των αντίστροφων ακουστικών και ηλεκτροµαγνητικών προβληµάτων
σκέδασης . Καθώς και τις κύριες ιδέες , τις προσεγγίσεις και τη
σύγκλιση των µεθόδων αυτών µαζί µε κάποιες εφαρµογές τους σε
διαφορετικές περιπτώσεις .
1
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η κυµατική διάδοση αποτελεί µία από τις θεµελιώδεις φυσικές
διεργασίες µε εφαρµογές και παραδείγµατα γνωστά σε όλους µας .
Με τη λέξη « κύµα » εννοούµε ένα αναγνωρίσιµο σήµα ή
διαταραχή , που διαδίδεται µε την πάροδο του χρόνου σ΄ένα µέσο ,
µεταφέροντας ενέργεια . Γνωστά κύµατα είναι τα ηχητικά , τα
ηλεκτροµαγνητικά , τα κύµατα επιφανείας στο νερό , καθώς και τα
ελαστικά κύµατα στα στερεά που δηµιουργούνται π.χ. σ’ έναν
σεισµό . Ένα κύµα δεν µεταφέρει αναγκαστικά ύλη αλλά αυτό που
διαδίδεται είναι η διαταραχή η οποία ουσιαστικά µεταφέρει
ενέργεια .
Κάθε κύµα είναι λύση της κυµατικής εξίσωσης
wtt - c02 wxx = 0
όπου
(1)
c0 : φυσική σταθερά
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η µελέτη των µεταβολών που
υφίσταται ένα κυµατικό πεδίο όταν στο χώρο διάδοσής
υπάρχει
ένα εµπόδιο , δηλαδή ο σκεδαστής D .
Eάν
utot είναι το ολικό κύµα ,
uinc είναι το προσπίπτον κύµα ,
usc είναι το σκεδασµένο κύµα
τότε ισχύει ότι utot = uinc + usc
Όταν είναι γνωστό το προσπίπτον σ’ έναν σκεδαστή κύµα καθώς
επίσης και οι φυσικές ιδιότητες του σκεδαστή (συνοριακές
συνθήκες) και αναζητούµε το σκεδασµένο κυµατικό πεδίο , έχουµε
ένα ευθύ πρόβληµα σκέδασης .
2
Όταν πάλι γνωρίζουµε το προσπίπτον και το σκεδασµένο κυµατικό
πεδίο και θέλουµε να προσδιορίσουµε τις φυσικές και γεωµετρικές
ιδιότητες του σκεδαστή , έχουµε ένα αντίστροφο πρόβληµα
σκέδασης.
3
1 . ΕΥΘΕΑ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ
ΚΥΜΑΤΩΝ
Από µαθηµατικής άποψης το ευθύ πρόβληµα σκέδασης είναι ένα
πρόβληµα αρχικών-συνοριακών τιµών για την κυµατική εξίσωση
(υπερβολικού τύπου) . Θεωρώντας προβλήµατα µε Αρµονική Χρονική
Εξάρτηση , δηλαδή κύµατα της µορφής :
w(x , t) = u(x) e-iωt
όπου
(1.1)
ω>0 : κυκλική συχνότητα ,
απαλείφεται ο χρόνος και έχουµε εξωτερικό πρόβληµα συνοριακών
τιµών για την εξίσωση Helmholtz (ελλειπτικού τύπου) .
Πράγµατι , µε αντικατάσταση της (1.1) στην (1) θα έχουµε :
wt = u (-iω) e-iωt
⇒
wtt = u (-iω)2 e-iωt = -u ω2 e-iωt = - ω2 w
και
wxx = uxx e-iωt
οπότε -u ω2 e-iωt = c02 uxx e-iωt
⇒
⇒
∆u +
ω2
u=0
c02
⇒
∆u + k2 u = 0
(1.2)
ΕΞΙΣΩΣΗ HELMHOLTZ
όπου k = ω/c0 : κυµατικός αριθµός
Για την « καλή τοποθέτηση » του µαθηµατικού προβλήµατος
σκέδασης πρέπει να γνωρίζουµε τόσο τις συνοριακές συνθήκες που
ισχύουν πάνω στην επιφάνεια του σκεδαστή όσο και µια συνθήκη
στο άπειρο , την λεγόµενη Συνθήκη Ακτινοβολίας , η οποία πρέπει
να εξασφαλίζει για το σκεδασµένο πεδίο δύο απαιτήσεις :
• Να έχει την απαραίτητη ασυµπτωτική τάξη εξασθένησης µε
την απόσταση από τον σκεδαστή και
• Να διαδίδεται από τον σκεδαστή προς το άπειρο . ∆ηλαδή ο
σκεδαστής να δρά σαν πηγή .
4
Συγκεκριµένα , αναφέρουµε
συνοριακών συνθηκών :
i
µερικές
χαρακτηριστικές
περιπτώσεις
Ηχητικά Μαλακός Σκεδαστής
στο S = ∂D
utot = 0
ΣΥΝΘΗΚΗ DIRICHLET
ii
Ηχητικά Σκληρός Σκεδαστής
∂u tot
∂n
=0
στην S
ΣΥΝΘΗΚΗ NEUMANN
όπου
∂
: η παράγωγος κατά τη διεύθυνση του εξωτερικού
∂n
µοναδιαίου κάθετου στην S διανύσµατος .
iii
Ανθεκτικός Σκεδαστής
∂u tot
∂n
+ λu
tot
=0
στην S
λ :εν γένει µιγαδική συνάρτηση
ΣΥΝΘΗΚΗ ROBIN
5
iv
∆ιαπερατός Σκεδαστής
u+ = u−
1 ∂u +
1 ∂u −
= −
+
ρ ∂n ρ ∂n
στην S
ΣΥΝΘΗΚΕΣ ∆ΙΑΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑΣ
Ή ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΕΤΑ∆ΟΣΗΣ
(Transmission Conditions)
Ως συνθήκη ακτινοβολίας συνήθως χρησιµοποιούµε αυτή του
Sommerfeld :
x
⋅ grad usc(x) - ik usc(x) = O
x
1
  , x → ∞
x
οµοιόµορφα προς όλες τις διευθύνσεις
ή θεωρώντας r = x , rˆ =
x
, παίρνουµε :
x
1
rˆ ⋅ gradusc –ikusc = O   , r → ∞
r
6
§ 1 . ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ
ΚΥΜΑΤΩΝ
Έστω D ένας σκεδαστής , δηλαδή ένα φραγµένο υποσύνολο του
R3 µε C2-σύνορο και έστω uinc το προσπίπτον κύµα σε αυτόν ,
λύση της εξίσωσης Helmholtz : ∆u + k2 u = 0
Τότε το ευθύ πρόβληµα σκέδασης διατυπώνεται ως εξής :
Να βρεθεί σκεδασµένο πεδίο uscє C2 (R3 \ D ) ∩ C(R3 \D) :
∆usc + k2 usc = 0
utot = uinc + usc
στο R3 \ D
στο R3 \D
x
⋅ grad usc(x) - ik usc(x) = O
x
1
  , x → ∞
x
οµοιόµορφα προς όλες τις διευθύνσεις
και επιπλέον το ολικό πεδίο utot να ικανοποιεί τη συνοριακή
συνθήκη
του
σκεδαστή (Μαλακού , Σκληρού , Ανθεκτικού ,
∆ιαπερατού) . ∆ηλαδή έχουµε τα εξωτερικά προβλήµατα Dirichlet,
Neumann , Robin αντίστοιχα , καθώς επίσης και το ∆ιαπερατό
πρόβληµα .
Το προσπίπτον κύµα µπορεί να είναι είτε επίπεδο είτε σφαιρικό
Ένα επίπεδο ακουστικό κύµα έχει τη µορφή :
ikdˆ ⋅ x
uinc (x ; dˆ ) = e
όπου dˆ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση διάδοσης
του κύµατος και k ο κυµατικός αριθµός .
Ένα σφαιρικό ακουστικό κύµα , που παράγεται
σηµειακή πηγή στη θέση χ0 , έχει τη µορφή :
από
µια
ik x - x
0
e
u (x) = A
x -x0
inc
x0
7
όπου Αє C σταθερά που
απαιτήσεις του προβλήµατος
προσδιορίζεται
ανάλογα
µε
τις
Από το uinc απαιτούµε να ικανοποιεί δύο ιδιότητες :
inc
I. lim u x0 (xo) = u
inc
x 0 →∞
(x ; − xˆ 0 ) ≡ e− ik xˆ 0 ⋅x
∆ηλαδή το σφαιρικό κύµα γίνεται
διάδοσης από την πηγή προς τα εµάς
II. − xˆ 0 I x0 (0) = − xˆ 0 I
inc
όπου
inc
επίπεδο
µε
διεύθυνση
(0 ; − xˆ 0 )
inc
I inc
είναι οι προσπίπτουσες ενεργειακές ροές του
x0 , I
σφαιρικού και του αντίστοιχου επίπεδου κύµατος
∆ηλαδή το σφαιρικό κύµα να µεταφέρει την ίδια ποσότητα
ενέργειας από τη θέση χ0 στην αρχή των αξόνων κατά τη
διεύθυνση − xˆ 0 , την οποία µεταφέρει το αντίστοιχο επίπεδο
κύµα
Η σταθερά Α για το προσπίπτον σφαιρικό κύµα που ικανοποιεί
τις δύο παραπάνω απαιτήσεις είναι :
Α = χ0 e
ik ⋅ x
Και έτσι η µορφή που
σφαιρικά κύµατα είναι :
συνήθως
χρησιµοποιείται
για
τα
ik x - x
inc
x0
u (x) = x 0e
− ik ⋅x 0
0
e
x -x0
8
§2.
ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Κύρια εργαλεία για την µελέτη και την εύρεση λύσης στα
ευθέα προβλήµατα σκέδασης είναι τα θεωρήµατα Green καθώς
επίσης και η ολοκληρωτική αναπαράσταση των λύσεων της
εξίσωσης Helmholtz που προκύπτει από αυτά .
Συγκεκριµένα , έστω D ένα φραγµένο πεδίο του R3 κλάσης C1
και έστω uє C1 ( D ) , vє C2( D ) τότε ισχύει το 1ο Θεώρηµα
Green:
∫ ( u ∆v + gradu ⋅gradv ) dx = ∫
∂D
D
u
∂v
ds
∂n
και για u , v є C2( D ) ισχύει το 2ο Θεώρηµα Green :
∫D ( u∆v − v∆u )
dx
=
∂u 
 ∂v
u
−
v

∫∂D  ∂n ∂n  ds
Έστω τώρα D ⊆ R3 φραγµένο και ανοιχτό και R3 \ D κλάσης
C2 . Αν u є C2(R3 \ D) είναι µια λύση της εξίσωσης Helmholtz
που ικανοποιεί τη συνθήκη ακτινοβολίας Sommerfeld τότε
u(r) =
∫
∂D
[u(r′)
∂Φ (r , r′)
∂u(r′)
+ Φ (r , r′)
]ds(r′)
∂n
∂n
r′∈ R3 \ D
είναι η λεγόµενη Εξωτερική
για την εξίσωση Helmholtz
Ολοκληρωτική
Αναπαράσταση
9
ik r-r′
και
1 e
Φ ( r , r′ ) =
4π r − r′
είναι η Θεµελιώδης Λύση αυτής .
Εφόσον το σκεδασµένο πεδίο είναι λύση της εξίσωσης Helmholtz
που ικανοποιεί τη συνθήκη ακτινοβολίας , θα έχει την ίδια
ολοκληρωτική αναπαράσταση .
10
§3.
ΠΛΑΤΟΣ
ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
Μια µέθοδος για τη µελέτη της ύπαρξης και µοναδικότητας της
λύσης του προβλήµατος σκέδασης είναι η αναγωγή του
αντίστοιχου Προβλήµατος Συνοριακών Τιµών (ΠΣΤ) σε µία
συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση , η οποία µελετάται µε τη
θεωρία Riesz-Fredholm για συµπαγείς τελεστές .
Την ασυµπτωτική συµπεριφορά της λύσης τη µελετάµε µέσω
του Πλάτους Σκέδασης (Scattering Amplitude , Far Field
Pattern) που είναι µία από τις σηµαντικότερες συναρτήσεις στη
Θεωρία Σκέδασης και έχει κεντρικό ρόλο στην επίλυση του
Αντίστροφου Προβλήµατος Σκέδασης .
Σχετικά ισχύει το επόµενο Θεώρηµα :
ΘΕΩΡΗΜΑ : Κάθε λύση της εξίσωσης Helmholtz , που ικανοποιεί
τη συνθήκη ακτινοβολίας Sommerfeld έχει την
ασυµπτωτική συµπεριφορά :
1
, r→∞
2 
r 
usc (r) = h(kr) u ∞ ( rˆ ) + O 
οµοιόµορφα προς όλες τις διευθύνσεις
eik r
όπου
h(kr) =
: σφαιρική συνάρτηση Hankel
ikr
και η u ∞
λέγεται Πλάτος Σκέδασης ή Μακρινό Πεδίο ,
ορίζεται στην µοναδιαία σφαίρα S2 και δίνεται από τον τύπο :
ik
ˆ =
u ∞ (r)
4π
 sc
∂e− ik ˆr ⋅r′
∫∂D  u (r′) ∂n
−e
− ik ˆr ⋅r′
∂u sc (r′) 
ds(r′)
∂n 
Εκφράζει δε την ενέργεια που σκεδάζεται στη διεύθυνση rˆ για
επίπεδη πρόσπτωση στη διεύθυνση pˆ ( u00 ( rˆ , pˆ ) )
11
2 . ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ
ΚΥΜΑΤΑ
Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο παράγεται
ηλεκτρικού ρεύµατος και φορτίου .
Αν θεωρήσουµε
από
µια
κατανοµή
E (r , t) : ένταση ηλεκτρικού πεδίου
H (r , t) : ένταση µαγνητικού πεδίου
D (r , t) : ηλεκτρική διέγερση
B (r , t) : µαγνητική επαγωγή
Τότε ισχύουν οι Εξισώσεις Maxwell :
div D = ρ
div B = 0
∂B
∂t
∂D
curl H =
+J
∂t
curl E = -
όπου ρ : πυκνότητα φορτίου
J : πυκνότητα ρεύµατος
Θεωρούµε τις Καταστατικές Εξισώσεις :
D (r , t) = ε E (r , t)
B (r , t) = µ H (r , t)
όπου ε : διηλεκτρική σταθερά
µ : µαγνητική διαπερατότητα
σταθερές που εξαρτώνται από το υλικό και τη θέση
Όταν ε , µ є R µπορεί κανείς να έχει :
i. ε > 0 , µ > 0 (ισοτροπικά διηλεκτρικά , δεξιόστροφα
υλικά)
ii. ε > 0 , µ < 0 (φερρίτες)
iii. ε < 0 , µ > 0 (πλάσµα)
iv. ε < 0 , µ < 0 (υλικά Veselago , αριστερόστροφα υλικά)
12
Πολύ πρόσφατα , µάλιστα , τα αριστερόστροφα υλικά έχουν
εξαιρετικά
µεγάλο
τεχνολογικό
ενδιαφέρον (π.χ. στη
νανοτεχνολογία)
ΑΝΗΓΜΕΝΕΣ
MAXWELL
(
ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ
Θεωρούµε ρ = 0 και J = 0 (οµογενής Maxwell)
χρονική εξάρτηση των πεδίων . ∆ηλαδή
E (r) e-iωt
H (r , t) = H (r) e-iωt
)
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
και αρµονική
Ε (r , t) =
ω > 0 : κυκλική συχνότητα
Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις Maxwell , απλοποιείται ο χρόνος
οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις Maxwell µε Αρµονική
Χρονική Εξάρτηση :
div E = 0
div H = 0
curl E = iωµ H
curl
H
= iωε E
Θεωρώντας τον µετασχηµατισµό :
E
H
ο οποίος οδηγεί στις
εξισώσεις Maxwell :
Ανηγµένες
1
=
Ε
ε
1
=
µ
ή
Η
Συµµετρικοποιηµένες
curl Ε = ikH
curl Η = ikΕ
όπου k = ω
εµ : κυµατικός αριθµός , ω > 0 : κυκλική συχνότητα
Επιπλέον , έχουµε ότι : div Ε = 0
div Η = 0
13
§1.
ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ
Όπως και στην περίπτωση των ακουστικών κυµάτων ,
εξετάζουµε τις περιπτώσεις διαπερατών και µη-διαπερατών
σκεδαστών .
Συγκεκριµένα , στην περίπτωση του Τέλειου Αγωγού :
nˆ × Ε = 0
στο ∂D
(εφαπτοµενική συνιστώσα µηδέν)
ενώ στην περίπτωση του ∆ιηλεκτρικού :
nˆ × Ε1 = nˆ × Ε2
nˆ × Η1 = nˆ × Η2
στο
∂D 2
Τόσο το ηλεκτρικό όσο και το µαγνητικό πεδίο ικανοποιούν
τις συνθήκες ακτινοβολίας Silver-Müller :
lim [r × curl E + ikrE] = 0
r →∞
lim [r × curl H + ikrH ] = 0
r →∞
οµοιόµορφα προς όλες τις διευθύνσεις .
14
§ 2 . ΕΥΘΕΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΓΙΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ
Από τις εξισώσεις Maxwell
παίρνουµε : (απαλοιφή του Η)
µε
ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
αρµονική
χρονική
εξάρτηση
curlcurlE = iωµ curlH = iωµ (-iωε)E = ω2εµE ⇒
⇒ curlcurlE = k2 E
Αλλά curlcurlE = graddivE – ∆E
και
⇒ ∆Ε + k2 E = 0
divE = 0
∆ιανυσµατική Εξίσωση
Helmholtz
Κάθε συνιστώσα του Ε είναι λύση της βαθµωτής Helmholtz !
Επιπλέον , το προσπίπτον επίπεδο ηλεκτρικό πεδίο είναι της
µορφής :
ikdˆ ⋅r
Εinc (r ; dˆ ; p) = p e
µε dˆ ⋅ p = 0
και οµοίως το προσπίπτον επίπεδο µαγνητικό :
ikdˆ ⋅r
Hinc (r ; dˆ ; q) = q e
µε
dˆ ⋅ q = 0
Τα dˆ , p , q : αποτελούν ένα τρισορθογώνιο σύστηµα
Όπoυ
dˆ : διεύθυνση διάδοσης του κύµατος
p : διάνυσµα πόλωσης ηλεκτρικού πεδίου
q : διάνυσµα πόλωσης µαγνητικού πεδίου
15
ΟΡΙΣΜΟΣ : Θεωρούµε ένα προσπίπτον ηλεκτρικό πεδίο Εinc
(απαλοιφή του Η) και έστω D ένα φραγµένο χωρίο
µε C2-σύνορο , τότε το Ευθύ Ηλεκτρικό Πρόβληµα
Σκέδασης διατυπώνεται ως εξής :
Να βρεθεί σκεδασµένο ηλεκτρικό πεδίο Εinc :
curlE – ikH = 0
ή curlE = k2E
στο R3\ D
στο R3\ D
Εtot = Einc + Esc
στο R3\ D
lim [r × curl E + ikrE] = 0
r →∞
οµοιόµορφα προς όλες τις διευθύνσεις
και επιπλέον το ολικό πεδίο Εtot , να ικανοποιεί τη
συνοριακή συνθήκη του τέλειου αγωγού :
nˆ × Ε = 0
στο ∂D
ή του διηλεκτρικού :
nˆ × Ε1 = nˆ × Ε2
1
1
nˆ × curlΕ1 = nˆ × curlΕ2
µ1
µ2
όπως προκύπτει απ’ την nˆ × Ε = iωµΗ
αντικαθιστώντας στην nˆ × Η1 = nˆ × Η2
Όπως και στην περίπτωση των ακουστικών προβληµάτων
σκέδασης , τα
θεωρήµατα
Green
και
η
ολοκληρωτική
αναπαράσταση σε διανυσµατική µορφή τώρα , παίζουν σηµαντικό
ρόλο
στην
επίλυση
των
ευθέων
και
των
αντιστρόφων
προβληµάτων για τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα .
Συγκεκριµένα , έστω D : φραγµένο χωρίο κλάσης C1 και έστω nˆ
το εξωτερικό µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο ∂D . Τότε , για
PєC1( D ) και Q єC2( D ) , έχουµε το 1ο ∆ιανυσµατικό Θεώρηµα
Green :
16
∫
[P ∆Q + curlPcurlQ + divPdivQ] dv =
D
=
∫
∂D
[( nˆ × P) curlQ + ( nˆ ⋅ P) divQ] ds
ενώ για P , Q єC2(D) , έχουµε το 2ο ∆ιανυσµατικό Θεώρηµα
Green :
∫
D
∫
∂D
[P ∆Q – Q ∆P] dv =
[( nˆ × P) curlQ + ( nˆ ⋅ P) divQ - ( nˆ × Q) curlP + ( nˆ ⋅ Q) divP] ds
Για τα διανυσµατικά πεδία Ε , Η є C1 (R3 \ D ) ∩ C (R3 \ D)
λύσεις των εξισώσεων Maxwell , ισχύουν οι τύποι των StrattonChu :
E(r) = curl
-
∫
∂D
[ nˆ (r′) × E( r′ )] Φ(r , r′ ) ds(r′) -
1
curlcurl
ik
∫
∂D
[ nˆ (r′) × H( r′ )] Φ(r , r′ ) ds(r′)
και
H(r) = curl
+
∫
∂D
[ nˆ (r′) × H( r′ )] Φ(r , r′ ) ds(r′) +
1
curlcurl
ik
∫
∂D
[ nˆ (r′) × E( r′ )] Φ(r , r′ ) ds(r′)
17
§3.
ΠΛΑΤΟΣ
ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
Κάθε λύση Ε , Η των εξισώσεων Maxwell που ικανοποιεί µία
από
τις
συνθήκες
ακτινοβολίας
Silver-Müller , έχει
την
ασυµπτωτική συµπεριφορά :
E(r) = h(kr) E∞ ( rˆ ) + O(
1
) , r→ ∞
r2
H(r) = h(kr) H ∞ ( rˆ ) + O(
1
) , r→ ∞
r2
οµοιόµορφα προς όλες τις διευθύνσεις
και H ∞ ορίζονται στην µοναδιαία σφαίρα
όπου E∞
καλούνται Πλάτος Σκέδασης του Ε , Η αντιστοίχως .
και
Ισχύει δε ότι :
H ∞ = nˆ × Ε∞
nˆ ⋅ Ε∞ = nˆ ⋅ Η ∞ = 0
και
Επίσης , από τους τύπους Stratton-Chu για τα πλάτη σκέδασης ,
προκύπτει :
ˆ = ik curl
Ε∞ (r)
-
∫
ˆ ′
∂D
k
curlcurl
i
− ik r ⋅r
[ nˆ (r′) × E( r′ )] e
ds(r′) -
∫
∂D
[ nˆ (r′) × H( r′ )] e
− ik ˆr ⋅r ′
ds(r′)
r є R3 \ D
και
ˆ = ik curl
H ∞ (r)
+
∫
∂D
k
curlcurl
i
[ nˆ (r′) × H( r′ )] e
∫
∂D
− ik ˆr ⋅r ′
[ nˆ (r′) × E( r′ )] e
ds(r′) +
− ik ˆr ⋅r ′
ds(r′)
r є R3 \ D
18
3 . ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
Η ανάπτυξη των υπολογιστικών µεθόδων τα τελευταία χρόνια
επηρέασε σηµαντικά την περιοχή τόσο των ευθέων όσο και των
αντίστροφων
προβληµάτων
σκέδασης . Με
χρήση
των
ηλεκτρονικών
υπολογιστών
επιτεύχθηκε
η
υπολογιστική
προσοµοίωση
της
διαδικασίας
της
σκέδασης
και
έτσι
εµφανίστηκε το πεδίο των αντίστροφων προβληµάτων σκέδασης .
Η θεωρία των αντίστροφων προβληµάτων ασχολείται µε την
αναπαράσταση/εύρεση του σκεδαστή και τον προσδιορισµό των
ιδιοτήτων
αυτού , δεδοµένων
των
τριών
τύπων
κυµάτων
(προσπίπτον , διερχόµενο , ανακλώµενο) .
Σύµφωνα µε τον Keller , δύο προβλήµατα λέγονται µεταξύ τους
«αντίστροφα» αν η διατύπωση του ενός απαιτεί πλήρη ή µερική
γνώση του άλλου . Ως προς αυτόν τον ορισµό , είναι αυθαίρετο
το ποιό πρόβληµα θα χαρακτηρίσουµε ως « ευθύ » και ποιό ως
« αντίστροφο » . Συνήθως , έχει προηγηθεί η µελέτη του ενός
προβλήµατος (και µάλιστα µε περισσότερες λεπτοµέρειες) . Αυτό
καλείται ευθύ , ενώ το άλλο αντίστροφο πρόβληµα .
Ωστόσο , υφίσταται συχνά µια άλλη , πολύ σηµαντική διαφορά
µεταξύ των δύο προβληµάτων . Ο Hadamard εισήγαγε την έννοια
του
« καλώς
τοποθετηµένου
προβλήµατος »
(well-posed) ,
ξεκινώντας από τη θέση ότι το µαθηµατικό µοντέλο ενός
φυσικού προβλήµατος οφείλει να έχει τις ιδιότητες της ύπαρξης
, της µοναδικότητας και της ευστάθειας της λύσης . Αν δεν
ικανοποιείται µία από αυτές τις ιδιότητες , το πρόβληµα λέγεται
«µη-καλως τοθετηµένο » (ill-posed) .
Πολλά σηµαντικά προβλήµατα διαφόρων επιστηµών συµβαίνει να
οδηγούν
σε
µη-καλως
τοθετηµένα
προβλήµατα , ενώ
τα
αντίστοιχα ευθέα προβλήµατα είναι καλώς τοποθετηµένα !
Η αντίστροφη σκέδαση σχετίζεται µε την εύρεση πληροφοριών
για ένα µέσο , και τα αντικείµενα που πιθανόν βρίσκονται µέσα
σ’ αυτό , το οποίο έχει υποστεί διέγερση από κάποια ακουστικά
ή ηλεκτροµαγνητικά πεδία και έχουµε µετρήσει το τελικό πεδίο.
Ένα απ’ τα βασικά προβλήµατα είναι ο καθορισµός της θέσης
και του σχήµατος σκεδαστών , οι οποίοι είναι είτε θαµµένοι είτε
τοποθετηµένοι σε κάποια απρόσιτη περιοχή ενός µέσου .
Αντίστροφα προβλήµατα εµφανίζονται πολύ συχνά σε διάφορες
εφαρµογές των εφαρµοσµένων επιστηµών .
Παραδείγµατος χάριν ,
στη θεωρία του ραντάρ ή του σόναρ γνωρίζουµε τις ιδιότητες
του προσπίπτοντος κύµατος και χρησιµοποιούµε µετρήσεις των
ιδιοτήτων του ανακλώµενου κύµατος για να ανιχνεύσουµε την
19
ύπαρξη ή τα χαρακτηριστικά ενός αεροπλάνου ή ενός
υποβρύχιου αντικειµένου .
Στην Τοµογραφία χρησιµοποιούµε ακτίνες Χ ή ηχητικά κύµατα
για να προσδιορίσουµε την ύπαρξη ή τη σύσταση ενός
καρκινικού όγκου , ανιχνεύοντας π.χ. µεταβολές της πυκνότητας .
Σε γεωφυσικές διερευνήσεις του υπεδάφους προκαλούµε µια
έκρηξη στην επιφάνεια της γης παράγοντας ελαστικά κύµατα . Η
µελέτη αυτών των κύµάτων που ανακλώνται από διάφορα
στρώµατα του υπεδάφους µπορεί να µας υποδείξει την ύπαρξη
κοιτασµάτων πετρελαίου ή κάποιου άλλου σχηµατισµού που
παρουσιάζει ενδιαφέρον από γεωλογικής πλευράς όπως η
σεισµική δραστηριότητα µιας περιοχής .
Λόγω όλων αυτών των εφαρµογών , η θεωρία της αντίστροφης
σκέδασης είναι µία περιοχή µεγάλου ερευνητικού ενδιαφέροντος
στα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά .
Παρακάτω παρουσιάζουµε µερικά
που είναι αντίστροφα µεταξύ τους :
παραδείγµατα
προβληµάτων
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ :
1. Ευθύ πρόβληµα :
∆ίνεται ο αναγωγικός τύπος µιας ακολουθίας . Να βρεθούν οι
όροι της .
Αντίστροφο πρόβληµα :
∆ίνονται οι όροι α0 = 0 , α1 = 2 , α2 = 4 , α3 = 6 µιας
ακολουθίας φυσικών αριθµών . Να βρεθεί ο α4 .
2 . Ευθύ πρόβληµα :
Να βρεθούν οι ρίζες χ1 , χ2 , ... , χn ενός πολυωνύµου pn (x) .
Αντίστροφο πρόβληµα :
Να βρεθεί ένα πολυώνυµο pn (x) από τις ρίζες του
χ1 , χ2 , ... , χn
3 . (Παρεµβολή Lagrange)
Ευθύ πρόβληµα :
Nα υπολογιστούν οι τιµές ενός πολυωνύµου pn (x) στα σηµεία
ξn .
Αντίστροφο πρόβληµα :
Να βρεθεί πολυώνυµο pn (x) που παίρνει δεδοµένες τιµές y1 ,
y2 , … , yn є R , σε δεδοµένα σηµεία ξ1 , ... , ξn є R ,
αντιστοίχως.
4 . Έστω Α є Rnxn συµµετρικός πίνακας και D є Rnxn διαγώνιος
πίνακας .
Ευθύ πρόβληµα :
Να υπολογιστούν οι ιδιοτιµές του Α + D .
20
Αντίστροφο πρόβληµα :
∆οθέντος του Α και n πραγµατικών αριθµών λ1 , ... , λn , να
βρεθεί πίνακας D , ώστε ο Α + D να έχει ιδιοτιµές τις λ1 , ... ,
λn .
5 . Γεωλογικός εντοπισµός
Πρόκειται
για
το
πρόβληµα
του
εντοπισµού , του
προσδιορισµού του σχήµατος και/ή κάποιων παραµέτρων
(όπως η αγωγιµότητα) γεωλογικών ανωµαλιών στο εσωτερικό
της γης από µετρήσεις στην επιφάνειά της .
6 . Οπισθοδροµική Εξίσωση της Θερµότητας
Θεωρούµε την µονοδιάστατη εξίσωση της θερµότητας :
∂u(x,t) ∂ 2 u(x,t)
=
∂t
∂x 2
µε συνοριακές συνθήκες
u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 ,
u(x,0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ π .
και αρχική συνθήκη
Με χωρισµό µεταβλητών , παίρνουµε τη λύση
∞
u(x, t) = ∑ α n e − n t sin(nx)
2
n =1
αn =
2 π
u 0 (y)sin(ny)dy
π ∫0
Το Ευθύ πρόβληµα συνίσταται στην επίλυση του κλασικού
προβλήµατος αρχικών συνοριακών τιµών : δεδοµένων της
αρχικής κατανοµής θερµοκρασίας u0 και του τελικού χρόνου
Τ , να προσδιοριστεί η u(. , T) .
Στο Αντίστροφο πρόβληµα επιχειρείται ο προσδιορισµός της
θερµοκρασίας σε χρόνο t < T (π.χ. της αρχικής θερµοκρασίας
u (. , 0) ) από
τη
µέτρηση
της
τελικής
κατανοµής
θερµοκρασίας u(. , T) .
7 . Πρόβληµα Ιδιοτιµών Sturm-Liouville
Θεωρούµε µια χορδή µήκους L και πυκνότητας µάζας ρ =
ρ(χ) > 0 , 0 < χ ≤ L , που είναι στερεωµένη στα άκρα της χ = 0
και χ = L . Έστω v (x , t) , 0 ≤ x ≤ L , t > 0 , η µετατόπιση στο
σηµείο χ κατά τη χρονική στιγµή t . Η µετατόπιση ικανοποιεί
21
την κυµατική εξίσωση :
∂ 2 v(x, t) ∂ 2 v(x, t)
ρ(x)
=
,0<χ<L,t>0,
∂t 2
∂x 2
µε συνοριακές συνθήκες v (0 , t) = v (L , t) = 0 , t > 0 .
Μια περιοδική µετατόπιση
v(x, t) = u(x)[α cos(ωt) + b sin(ωt)]
συχνότητας ω > 0 , είναι λύση του παραπάνω προβλήµατος
συνοριακών τιµών τότε και µόνο τότε αν τα u , ω
ικανοποιούν το πρόβληµα ιδιοτιµών Sturm-Liouville
u′′(x) + ω2ρ(x)u(x) = 0 , 0 < χ < L ,
u(0) = u(L) = 0 .
Το
Ευθύ
πρόβληµα
συνίσταται
στην
εύρεση
των
ιδιοσυχνοτήτων ω και των αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων για
γνωστή συνάρτηση ρ .
Στο Αντίστροφο πρόβληµα επιχειρείται ο προσδιορισµός της
πυκνότητας µάζας ρ από ένα πλήθος µετρήσεων συχνοτήτων
ω.
8 . Υπολογιστική Τοµογραφία
Η πλέον εντυπωσιακή εφαρµογή του µετασχηµατισµού Radon
εµφανίζεται στην ιατρική απεικόνιση . Π.χ. θεωρούµε µια
συγκεκριµένα επίπεδη τοµή του ανθρώπινου σώµατος . Έστω
ρ(χ , y) η µεταβολή της πυκνότητας στο σηµείο (χ , y) και
έστω L τυχούσα ευθεία σ’ αυτό το επίπεδο . Κατευθύνουµε µια
λεπτή δέσµη ακτίνων Χ στο σώµα κατά µήκος της L και
µετράµε πόσο απορροφάται η ένταση κατά τη διέλευση από
το σώµα .
22
Παραµετρικοποιούµε την L µε (s , δ) , sє R , δ є [0 , π) . Η
ακτίνα Ls,δ έχει συντεταγµένες seiδ + iueiδ є C , u єR (έχουµε
ταυτίσει το C µε το R2) . Η απορρόφηση της έντασης Ι
περιγράφεται προσεγγιστικά ως dI = -γρΙ , όπου γ : σταθερά .
Ολοκληρώνοντας κατά µήκος της ακτίνας , παίρνουµε :
u
ln I(u) = − γ ∫ ρ(seiδ + iueiδ )du
u0
ή , υποθέτοντας ότι η ρ έχει συµπαγή
απώλεια έντασης δίνεται από τη σχέση :
φορέα , η
σχετική
∞
ln I(∞) = − γ ∫ ρ(seiδ + iueiδ )du
−∞
Θεωρητικά , από τους παράγοντες απορρόφησης µπορούµε να
υπολογίσουµε όλα τα ολοκληρώµατα :
∞
R Ρ (s, δ) := ∫ ρ(seiδ + iueiδ )du
−∞
Το Rρ λέγεται µετασχηµατισµός Radon της ρ .
Το Ευθύ πρόβληµα συνίσταται στον υπολογισµό του Rρ όταν
είναι γνωστή η ρ .
Το Αντίστροφο πρόβληµα είναι ο προσδιορισµός της ρ για ένα
δεδοµένο Rρ (δηλ. από µετρήσεις όλων των ολοκληρωµάτων) .
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ :
Σε
όλα
τα
προηγούµενα
παραδείγµατα , µπορούµε
να
διατυπώσουµε το ευθύ πρόβληµα ως τον προσδιορισµό ενός
τελεστή Κ που δρά επί ενός γνωστού ‘µοντέλου’ χ σ’ ένα χώρο
µοντέλων Χ και το αντίστροφο πρόβληµα ως λύση της εξίσωσης
Κ(χ) = y :
Ευθύ Πρόβληµα : δεδοµένου του y (και του Κ) να προσδιοριστεί το
Κ(χ) .
Αντίστροφο Πρόβληµα : δεδοµένου του y (και του Κ) να λυθεί η
Κ(χ) = y ως προς χ .
Εκτός από την Υπολογιστικη Τοµογραφία , άλλες
ιατρικής απεικόνισης είναι οι ακόλουθες :
µέθοδοι
I. Κλασικό Υπερηχογράφηµα
Χρησιµοποιούνται ακουστικά κύµατα συχνότητας 1-15 ΜΗz
(ακουστικοί ήχοι : 20 Ηz – 20 kHz) . Η εκπεµπόµενη
υπερηχητική
δέσµη
ανακλάται
στις
διαχωριστικές
23
επιφάνειες ιστών που χαρακτηρίζονται από διαφορετικές
ακουστικές ιδιότητες (εµπέδηση) , οι οποίες εξαρτώνται από
µηχανικά χαρακτηριστικά των ιστών (ελαστικότητα) . Η
λαµβανόµενη εικόνα του υπό εξέταση οργάνου του
σώµατος κωδικοποιεί σε κλίµακα του γκρι την ένταση των
ανακλώµενων ηχητικών κυµάτων (στα οστά η υπερηχητική
δέσµη ανακλάται πλήρως) .
II. Υπερηχογράφηµα Doppler
Χρησιµοποιούνται ακουστικά κύµατα συχνότητας 2-10
MHz. Απεικονίζεται σε έγχρωµη κλίµακα (µπλε-κόκκινο) και
εκτιµάται η αιµατική ροή . Τα ερυθροκύτταρα του αίµατος
δρούν ως κινούµενες δευτερογενείς πηγές της υπερηχητικής
δέσµης . Η επιστρέφουσα δέσµη έχει διαφορετική µέση
συχνότητα από την εκπεµπόµενη . ∆εν παρατηρείται το
φαινόµενο Doppler όταν η δέσµη είναι κάθετη στη
διεύθυνση ροής του αίµατος .
III. Αξονική Τοµογραφία
Χρησιµοποιούνται ακτίνες Χ ενέργειας 100-300 kV . Η
βασική περιγραφή είναι όπως και στην υπολογιστική
τοµογραφία που αναφέραµε παραπάνω . Απεικονίζονται σε
κλίµακα του γκρι οι συντελεστές εξασθένησης της
ακτινοβολίας Χ που χαρακτηρίζουν τις διάφορες δοµές
στην υπό εξέταση τοµή του σώµατος .
IV. Μαγνητική Τοµογραφία
Χρησιµοποιούνται µαγνητικά πεδία έντασης 1.5-2.0 Τ . Οι
πυρήνες υδρογόνου (που περιέχονται στο υπό εξέταση
όργανο ή σωµατικό ιστό) συµπεριφέρονται ως µαγνητικά
δίπολα
και
προσανατολίζονται
στη
διεύθυνση
του
µαγνητικού πεδίου . Ένα δεύτερο µαγνητικό πεδίο , κάθετο
στο προηγούµενο , προκαλεί απόκλιση των πυρήνων
υδρογόνου . Όταν το δεύτερο αυτό πεδίο διακοπεί , οι
πυρήνες υδρογόνου επιστρέφουν στην αρχική τους θέση .
Μετράται ουσιαστικά ο χρόνος επιστροφής σ’ αυτή τη
θέση, ο οποίος κωδικοποιείται σε κλίµακα του γκρι .Ο
χρόνος επιστροφής είναι χαρακτηριστικός κάθε οργάνου ή
ιστού και εξαρτάται από την πυκνότητα των πυρήνων
υδρογόνου σ’ αυτό .
V. Σπινθηρογράφηµα
Αποτελεί τη βασική διαγνωστική µέθοδο της Πυρηνικής
Ιατρικής . Χρησιµοποιούνται ραδιοϊσότοπα που εκπέµπουν
ακτίνες γ (το πλέον διαδεδοµένο ραδιοϊσότοπο είναι το Τc
99m(τεχνήτιο) µε ακτίνα γ ενέργειας 140 keV) . Το
ραδιοϊσότοπο εκχύεται , συνήθως ενδοφλεβίως (µετά από
κατάλληλη διαδικασία ‘σήµανσης’ ) και συγκεντρώνεται στο
24
υπό εξέταση σωµατικό όργανο . Οι εκπεµπόµενες ακτίνες γ
ανιχνεύονται από κατάλληλο σύστηµα (γ-κάµερα) . Στη
λαµβανόµενη εικόνα κωδικοποιείται , σε έγχρωµες ή
ασπρόµαυρες κλίµακες , το πλήθος των φωτονίων σε
διάφορες περιοχές του υπό εξέταση οργάνου .
Στη συνέχεια , θα αναφερθούµε σε διάφορες προσεγγίσεις για
την επίλυση των αντίστροφων προβληµάτων σκέδασης καθώς και
σε κάποιες δειγµατοληπτικές έννοιες που έχουν χρησιµοποιηθεί
κατά καιρούς στις διερευνητικές και δειγµατοληπτικές µεθόδους .
Κατόπιν , θα παρουσιάσουµε διάφορες µεθόδους επίλυσης
αντίστροφων προβληµάτων σκέδασης .
25
§ 1 . ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ
ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΟΥ
Χωρίζουµε τους αλγόριθµους ανακατασκευής σε τρεις κύριες
κατηγορίες : Επαναληπτικές (Iterative) , ∆ιάσπασης (Decomposition)
και ∆ειγµατοληπτικές/∆ιερευνητικές (Sampling/Probe) .
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ
Ι
II
III
Όπου
LSM
ΜΕΘΟ∆ΟΙ
Επαναληπτικές
Newton
Landweber Scheme
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων
Μέθοδος Συζυγούς Κλίσης
∆ιάσπασης
Colton-Monk/dual space method
Kirsch-Kress
Potthast /point-source method
∆ειγµατοληπτικές+∆ιερευνητικές
Colton-Kirsch / LSM
Kirsch / FM
Potthast / SSM
Ikehata / PM
Ikehata / EM
Luke-Potthast / NRT
:
Γραµµική
∆ειγµατοληπτική Μέθοδος (Linear
Sampling Method)
FM :
Μέθοδος
Παραγοντοποίησης
(Factorization
Method)
SSM : Μέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών (Singular Sources
Method)
PM :
∆ιερευνητική Μέθοδος (Probe Method)
EM :
Μέθοδος Εγκλεισµού (Enclosure Method)
NRT :
Κριτήριο µη-απόκρισης (No Response Test)
26
1.1 : Επαναληπτικές Μέθοδοι Ανακατασκευής
Αρχικά , οι Επαναληπτικές Μέθοδοι Ανακατασκευής διατυπώνουν
το αντίστροφο πρόβληµα σαν µια εξίσωση τελεστών :
F (p) = 0
σε κάποιο χώρο Banach ή µετρικό χώρο όπου
περιλαµβάνει δεδοµένα που έχουν µετρηθεί και
p την άγνωστη ποσότητα .
Οπότε , κάθε γνωστή µέθοδος για επίλυση
εξισώσεων τελεστών µπορεί να χρησιµοποιηθεί για
οµάδα παραµέτρων p τέτοια ώστε να ικανοποιείται
(1.11)
ο τελεστής F
η παράµετρος
µη-γραµµικών
να βρεθεί µια
η (1.11) .
Οι Επαναληπτικές Μέθοδοι Ανακατασκευής χρησιµοποιούν όλες
τις διαθέσιµες γνώσεις για το κάθε φορά υπό εξέταση πρόβληµα
και τις συνδυάζουν ώστε να προσδιοριστεί ο τελεστής F .
Επιδιώκεται να χρησιµοποιηθούν µόνο τα ελάχιστα δεδοµένα , τα
οποία είναι απαραίτητα ώστε να εξασφαλιστεί η µοναδικότητα
της λύσης . Για τα αντίστροφα προβλήµατα λειτουργούν όταν ένα
µόνο χρονοεξαρτώµενο κύµα προσπίπτει στον σκεδαστή .
Αν και
οι
µέθοδοι
αυτές
παρέχουν
υψηλής
ποιότητας
ανακατασκευές όταν υπάρχουν επαρκώς καλά δεδοµένα , γενικά
έχουν τα µειονεκτήµατα πρώτον ότι το εµφανιζόµενο µηγραµµικό συναρτησοειδές βελτιστοποίησης έχει τοπικά ελάχιστα
και δεύτερον ότι συνήθως χρειάζεται να λυθεί το ευθύ
πρόβληµα τουλάχιστον µία φορά σε κάθε βήµα επανάληψης .
Ακόµα , συνήθως χρειάζεται ο επαναπροσδιορισµός όλων των
παραµέτρων p ή των ιδιοτήτων του σκεδαστή προκειµένου να
επιτευχθεί
σύγκλιση . ∆εν
παρέχουν
την
δυνατότητα
επαναπροσδιορισµού τµήµατος του σκεδαστή ή των ιδιοτήτων
του .
1.2 : Μέθοδοι ∆ιάσπασης ή Μέθοδοι Αναλυτικής
Συνέχισης
Οι
Μέθοδοι
∆ιάσπασης
ή
Αναλυτικής
Συνέχισης
επαναπροσδιορίζουν το σκεδασµένο πεδίο , usc ή Esc , από τον
τελεστή µακρινού πεδίου και εν συνεχεία χρησιµοποιούν τη
27
συνοριακή συνθήκη για να βρούν το άγνωστο σχήµα του
σκεδαστή . ∆υο γνωστές αναλυτικές µέθοδοι είναι η Μέθοδος
Συναρµογής ∆υναµικού (Potential Fit) των Kirsch-Kress [24] και η
Μέθοδος Σηµειακής Πηγής (Point-Source Method) [70].
Έχουν το πλεονέκτηµα ότι δεν χρειάζεται να λυθεί το ευθύ
πρόβληµα για ανακατασκευές , καθώς επίσης µπορούν να
επαναπροσδιοριστούν κάποια τµήµατα του σκεδαστή ενώ άλλα
να αγνοηθούν . Η πλήρης µη-καλή τοποθέτηση του αντίστροφου
προβλήµατος µπαίνει στην ανακατασκευή του σκεδασµένου
πεδίου , και το µη-γραµµικό πρόβληµα της εύρεσης του
συνόρου είναι « καλώς τοποθετηµένο » .
Βασικά , µ’ ένα κατάλληλο επιχείρηµα , οι µέθοδοι αυτές
µπορούν να δώσουν υψηλής ποιότητας ανακατασκευές για τους
σκεδαστές. Οι περιορισµοί των µεθόδων αυτών είναι λίγο πολύ
παρόµοιοι
µ’ αυτών
των
Επαναληπτικών
Μεθόδων
που
αναφέραµε παραπάνω : χρειάζεται να γνωρίζουµε τις συνοριακές
συνθήκες των άγνωστων αντικειµένων και εποµένως χρειαζόµαστε
λεπτοµερείς πληροφορίες , οι οποίες όµως µπορεί να µην είναι
διαθέσιµες για σηµαντικές εφαρµογές που εµφανίζονται στον
πραγµατικό κόσµο .
Αν και δεν µπορούν να εφαρµοστούν άµεσα για την επίλυση
κάποιων αντίστροφων προβληµάτων , πολλές ∆ειγµατοληπτικές και
∆ιερευνητικές Μέθοδοι εκµεταλλεύονται κλασικές Αναλυτικές
Μεθόδους στην πιο πρόσφατη µορφή τους .
1.3 : ∆ειγµατοληπτικές και ∆ιερευνητικές Μέθοδοι
Οι µέθοδοι αυτές συνήθως δεν λύνουν το ευθύ πρόβληµα για
ανακατασκευές αλλά ορίζουν µια δείκτρια συνάρτηση , η οποία
παρέχει πληροφορίες για την θέση , το σχήµα και τις ιδιότητες
του άγνωστου αντικειµένου .
28
ΕΙΚΟΝΑ 1
Η εικόνα δείχνει την περίπτωση που ερευνάται µε τον έναν ή τον άλλον τρόπο από όλες τις
δειγµατοληπτικές µεθόδους . Μια δείκτρια συνάρτηση υπολογίζεται η οποία µπορεί να
χρησιµοποιηθεί για να ανακατασκευαστεί το σχήµα του άγνωστου σκεδαστή . Για παράδειγµα ,
φαίνεται κάποιο ελλειψοειδές µε µια «τοµή» (cut) στο κέντρο του , η οποία τέµνει τα σύνορά του
στο 3 και στο 7 . Η δείκτρια συνάρτηση σ’ αυτή την «τοµή» απεικονίζεται στο σχήµα . Γίνεται
άπειρη στο σύνορο του σκεδαστή . Ωστόσο, αριθµητικά αυτή η συνάρτηση προσεγγίζεται από
κάποια φραγµένη καµπύλη . Η φραγµένη καµπύλη είναι µεγάλη στο εσωτερικό του ελλειψοειδούς .
Το σύνορο µπορεί να βρεθεί µε επαρκή γνώση του µεγέθους της συνάρτησης αποκοπής (cut
function) στο σύνορο όπως φαίνεται από την διακεκοµµένη οριζόντια γραµµή .
Η συνάρτηση αυτή και το πεδίο στο οποίο ορίζεται είναι ένα
βασικό κριτήριο που διαχωρίζει της διάφορες ∆ιερευνητικές
Μεθόδους .
Ένα
ιδιαίτερο
χαρακτηριστικό
αυτών
είναι
ότι
συνήθως
δουλεύουν χωρίς να είναι γνωστές οι συνοριακές συνθήκες ή οι
φυσικές ιδιότητες του σκεδαστή , σε αντίθεση µε τις Αναλυτικές
Μεθόδους . Ωστόσο , αν θεωρήσουµε σαν δείκτρια συνάρτηση το
σκεδασµένο ή το ολικό πεδίο τότε η συνοριακή συνθήκη
χρειάζεται για να προσδιορίσουµε το σχήµα του σκεδαστή .
1.4 :
Ευθείες
Μέθοδοι
Οι Ευθείες Μέθοδοι υπολογίζουν το άγνωστο σχήµα ή τον
άγνωστο δείκτη διάθλασης ή την αγωγιµότητα αντίστοιχα , µε τη
βοήθεια ενός αριθµού βηµάτων από τα γνωστά δεδοµένα .
Συνήθως , αυτά τα βήµατα δεν είναι µία επανάληψη µε την
έννοια ότι βελτιώνουν κάποια δεδοµένη προσέγγιση ούτε µια
29
δειγµατοληψία
συνάρτηση ή
ιδιότητες .
1.5 :
µε την έννοια ότι υπολογίζουν µια δείκτρια
ελέγχουν κάποια περιοχή για συγκεκριµένες
Τοπικές
Μέθοδοι
Υπάρχουν
µέθοδοι
που
συνδέουν
τις
Ευθείες
µε
τις
∆ειγµατοληπτικές Μεθόδους και εξαρτώνται από τα συγκεκριµένα
γεωµετρικά
δεδοµένα
του
αντίστροφου
προβλήµατος . Οι
Nakamura , Siltanen , Tanuma και Wang [65,66] παρέχουν
κάποιες τοπικές ανακατασκευές της αγωγιµότητας σε δεδοµένο
περιβάλλον χρησιµοποιώντας ειδικές παρεµβολές .
Με τη βοήθεια ταλαντευόµενων-ασθενών λύσεων , ανακατασκευές
τις αγωγιµότητας σ (χ0) σε κάποιο σηµείο του συνόρου χ0 є ∂Ω
κατασκευάζονται από την απεικόνιση Dirichlet-σε-Neumann Λ
της εξίσωσης :
div(σ gradu) = 0
στο Ω
Σχετίζεται µε τη Μέθοδο Εγκλεισµού , την ∆ιερευνητική Μέθοδο
και τη Μέθοδο Ιδιόµορφων Πηγών .
Ένα
άλλο
είδος
Τοπικής
Μεθόδου
είναι
η
Μέθοδος
Γραµµικοποίησης σε οµογενές περιβάλλον . Παραδείγµατος χάρη ,
για να βρούµε το σχήµα ενός µη-οµογενούς σώµατος µπορεί να
χρησιµοποιήσουµε το πρώτο βήµα µιας Επαναληπτικής Μεθόδου
ξεκινώντας µε ένα οµογενές µέσο σαν µια προσέγγιση για το
σχήµα του σκεδαστή [7,31,34,80] .
Παρόµοια ιδέα είναι αυτή κατά την οποία ελέγχεται η
ευαισθησία της συνάρτησης σφάλµατος σε σχέση µε τη
δηµιουργία µιας απείρως µικρής κοιλότητας ή σκεδαστή .
Αριθµητικά πειράµατα επιβεβαιώνουν ότι η ευαισθησία είναι
µεγαλύτερη στο εσωτερικό ενός σκεδαστή απ’ ότι στο εξωτερικό
του , έτσι υπολογίζοντας τις τοπολογικές παραγώγους της
συνάρτησης σφάλµατος , προκύπτει ένα είδος ∆ειγµατοληπτικής
Μεθόδου για ανακατασκευή σχήµατος .
30
§2.
EΝΝΟΙΕΣ
∆ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ
∆ιάφορες Έννοιες ∆ειγµατοληψίας έχουν προταθεί κατά καιρούς
από διάφορους συγγραφείς . Στη συνέχεια , παραθέτουµε κάποιες
από αυτές , σχολιάζοντας της οµοιότητες και τις διαφορές τους .
2.1 :
Σηµειακή
∆ειγµατοληψία
Η πιο απλή έννοια ∆ειγµατοληψίας χρησιµοποιήθηκε απ’ τους
Colton και Kirsch για τη Γραµµική ∆ειγµατοληπτική Μέθοδο
και συνεχίζει να χρησιµοποιείται από τότε για διαφορετικές
εκδοχές της Μεθόδου Παραγοντοποίησης (Factorization Method)
του Kirsch και των συνεργατών του . Η κεντρική ιδέα της
∆ειγµατοληπτικής αυτής µεθόδου είναι να επιλεγεί ένα σηµείο
zє Rm και να δοθεί µια διαδικασία ώστε να αποφασιστεί αν το
σηµείο αυτό ανήκει στο εσωτερικό του άγνωστου σκεδαστή .
Καλούµε αυτό Σηµειακή ∆ειγµατοληψία και µας επιτρέπει να
ανακατασκευάσουµε σκεδαστές που αποτελούνται από άγνωστο
αριθµό διαφορετικών συστατικών ή που δεν είναι απλά
συνεκτικοί .
2.2 .
Προσέγγιση
Κώνου και Ακίδας
Υπάρχει ένας αριθµός µεθόδων που βασίζονται στην τεχνική της
υπέρθεσης . Εδώ , µια απλή Σηµειακή ∆ειγµατοληψία δεν είναι
εφικτή εφόσον η προσέγγιση µιας απλής λύσης της εξίσωσης
Helmholtz ή σχετικών µερικών διαφορικών εξισώσεων είναι
δυνατή µόνο στην περιοχή G (σχήµα 2)
όπου η λύση είναι οµαλή και η µοναδικότητα ορίζεται στο
συµπλήρωµα Rm \ G .
Έτσι , οδηγούµαστε στην Προσέγγιση Κώνου ή Ακίδας . Η ιδέα
των µεθόδων αυτών έγκειται στον εντοπισµό της µοναδικότητας
κάποιων σηµειακών πηγών ή κάποιων ιδιόµορφων λύσεων στην
άκρη κάποιου κώνου ή ακίδας . Η προσεγγιστική περιοχή
επιλέγεται ως υπόχωρος του συµπληρώµατος του κώνου ή της
ακίδας . Τότε κάποιος µπορεί να χρησιµοποιήσει τον κώνο ή την
ακίδα , αντίστοιχα , για να ερευνήσει την περιοχή που θέλει .
31
∆ιάφορες στρατηγικές αναπτύσσονται στο πώς θα επιλέγουµε και
θα τροποποιούµε τους κώνους και τις ακίδες ώστε να πάρουµε
έναν ικανοποιητικό αλγόριθµο ανακατασκευής . Η Προσέγγιση
Κώνου
σχεδιάστηκε
στο
να
ταιριάζει
µε
αριθµητικούς
υπολογισµούς ενώ η Προσέγγιση Ακίδας είναι περισσότερο
προσαρµόσιµη ώστε να δίνει άριστα θεωρητικά αποτελέσµατα .
EIKONA 2
Στην εικόνα φαίνεται µια προσεγγιστική περιοχή G στην οποία περιέχεται κάποιος ελλειπτικός
σκεδαστής . Στην περιοχή αυτή , ιδιόµορφες πηγές προσεγγίζονται µε τη µέθοδο της υπέρθεσης .
Η άκρη της ακίδας δείχνει τη θέση της ιδιοµορφίας . Η προσέγγιση της ακίδας ψάχνει µια
προσέγγιση της ιδιόµορφης πηγής σ’ όλο το εξωτερικό της ακίδας . Η χρήση των προσεγγιστικών
περιοχών , όπως φαίνονται στο σχήµα , ταιριάζει περισσότερο για αριθµητικές υλοποιήσεις της
µεθόδου, όπου µία σειρά προσεγγιστικών περιοχών επιλέγεται για να γεµίσει το εξωτερικό της
ακίδας .
2.3 .
∆ειγµατοληψία
Χωρίου
Πολλές πρόσφατες ∆ειγµατοληπτικές Μέθοδοι χρησιµοποιούν µια
πιο γενική τεχνική , την λεγόµενη ∆ειγµατοληψία Χωρίου . Η
βασική ιδέα της µεθόδου αυτής είναι να εξετάσουµε αν κάποια
επιθυµητή ποσότητα υπάρχει στο εσωτερικό µιας περιοχής G
και καλούµε αυτές Θετικές Περιοχές Εξέτασης . Τότε , η
ποσότητα που ερευνούµε µπορεί να βρεθεί παίρνοντας τις τοµές
των Θετικών ως προς δοκιµασία Τόπων (περιοχών) . Η τεχνική
αυτή έχει χρησιµοποιηθεί απ’ τη ∆οκιµασία µη-απόκρισης (no-
32
response Test) των Luke και Potthast και απ’ το Κριτήριο
Πεδίου Τιµών (Range Test) των Kussiak , Potthast και Sylvester
[59] για να βρεθεί ο κυρτός φορέας σκέδασης κάποιου
σκεδασµένου πεδίου και εµφανίζεται ως προσέγγιση χειρισµού
συνόλων για τις ∆ειγµατοληπτικές Μεθόδους [71] .
2.4 .
Ασυµπτωτικοί
Τύποι
Ο Nakamura και ο Ikehata χρησιµοποίησαν τους τύπους
αυτούς αντί της ∆ειγµατοληψίας Τόπου για να υπολογίσουν
απευθείας ελάχιστα ηµιεπίπεδα ή ηµιχώρους αντίστοιχα , τα
οποία περιλαµβάνουν το άγνωστο σχήµα .
§ 3 . EΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟ∆ΩΝ
Ένας σκεδαστής καθορίζεται απ’ τον φορέα του Ω ⊂ Rm (m=2 ή 3),
όπου Ω είναι φραγµένο σύνολο .
n(x0) είναι το εξωτερικό µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα του Ω
στο σηµείο χ0 ∈ ∂Ω , δηλαδή n(x0 ) =1 και (y-x0 , n(x0 )) ≤ 0 για κάθε
y∈Ω .
Έστω utot , usc : Rm → C και u ∞ : S2 → C είναι το ολικό , το
σκεδασµένο και το πλάτος σκέδασης αντίστοιχα , δεδοµένης
διέγερσης από ένα απλό προσπίπτον κύµα uinc , και k > 0 :
ορισµένος κυµατικός αριθµός .
2
m
Εδώ , S := {x ∈ R , x = 1} : µοναδιαία σφαίρα .
Παραµετρικοποιούµε
πρόσπτωσης
αυτά
τα
πεδία
µε
την
διεύθυνση
ˆ
dˆ του προσπίπτοντος κύµατος u (x,dˆ ) := eik x⋅d ,
x ∈ R m , dˆ ∈ S 2 , όπου
inc
i = −1
ˆ
µοναδιαίο παράγοντα , δηλαδή x:=
και
το
“ ^ „
δείχνει
τον
x
.
x
Όταν τα στοιχεία του πλάτους σκέδασης είναι γνωστά µόνο σ’
έναν ανοιχτό υπόχωρο Γ της S2 , τότε αυτά λέγονται στοιχεία
περιορισµένου ανοίγµατος .
33
ΜΕΘΟ∆ΟΙ
ΠΛΑΤΟΣ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ
Colton-kirsch /LSM
ˆ ˆ ) ∀x,y
ˆ ˆ ∈ Γ ⊂ S2
u ∞ (x,y
ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ
ΦΥΣΗ ΤΟΥ
ΣΚΕ∆ΑΣΤΗ
καµία
Kirsch / FM
ˆ ˆ ) ∀x,y
ˆ ˆ ∈ S2
u ∞ (x,y
καµία
Potthast / SSM
ˆ ˆ ) ∀x,y
ˆ ˆ ∈ Γ ⊂ S2
u ∞ (x,y
καµία
Ikehata / PM
ˆ ˆ ) ∀x,y
ˆ ˆ ∈ S2
u ∞ (x,y
καµία
Ikehata / EM
ˆ ˆ ) ∀xˆ∈ S 2 , yˆ ∈ S 2
u ∞ (x,y
ˆ ˆ)
u ∞ (x,y
καµία
Luke-Potthast / NRT
∀xˆ∈ Γ ⊂ S , yˆ ∈ S
2
καµία
2
H Γραµµική ∆ειγµατοληπτική Μέθοδος (LSM) των Colton και
Kirsch χαρακτηρίζει την περιοχή του άγνωστου σκεδαστή από
τη συµπεριφορά της λύσης της ολοκληρωτικής εξίσωσης 1ου
είδους :
∫
S2
ˆ ˆ )g(dˆ )ds(dˆ ) = eik x⋅z , για xˆ ∈ S 2
u ∞ (x,d
Εδώ , υπολογίζεται µια κανονικοποιηµένη λύση g για όλα τα
σηµεία z στο δειγµατοληπτικό πλέγµα G . Το άγνωστο σύνορο
βρίσκεται όπου η νόρµα
g(z )
είναι µη–φραγµένη .
Ο Kirsch πρότεινε µια τροποποίηση της µεθόδου
κατασκευάζοντας µια φασµατική ανάλυση του τελεστή
αυτής ,
ˆ ˆ )g(dˆ )ds(dˆ ) , xˆ ∈ S 2
(Fg)(xˆ ) := ∫ 2 u ∞ (x,d
S
Πρότεινε να λυθεί η εξίσωση :
1
(F*F) 4 g(xˆ ) = eik xˆ ⋅z
, xˆ ∈ S , για κάθε z ∈ G
2
και έδειξε ότι η εξίσωση αυτή έχει λύση αν και µόνο αν το z
ανήκει στο εσωτερικό του άγνωστου σκεδαστή .
Η µέθοδος αυτή του Kirsch είναι γνωστή ως Τροποποιηµένη
Γραµµική
∆ειγµατοληπτική
Μέθοδος
ή
Μέθοδος
Παραγοντοποίησης (modified LSM / FM) .
Οι Ikehata και Potthast πρότειναν δυο στενά συνδεδεµένους
αλγόριθµους , την ∆ιερευνητική Μέθοδο (PM) και την Μέθοδο
Ιδιόµορφων Πηγών (SSM) αντίστοιχα . Αυτές οι µέθοδοι διαφέρουν
από τις παραπάνω (LSM) , στο ότι χρησιµοποιούν διαφορετικές
34
ποσότητες οι οποίες εκρήγνυνται όταν πλησιάζουν το σύνορο
κάποιου σκεδαστή .
Η ∆ιερευνητική Μέθοδος του Ikehata χρησιµοποιεί τον τύπο του
Green για να προσδιορίσει µια δείκτρια συνάρτηση η οποία
εκρήγνυται όταν η υποθετική πηγή αγγίξει το άγνωστο
αντικείµενο . Έστω Λ ο τελεστής Dirichlet-σε-Neumann για το
συνοριακό πρόβληµα τιµών σε µια περιοχή Β µε την άγνωστη
περιοχή Ω ⊂ Β και Λ0 ο τελεστής Dirichlet-σε-Neumann για την
Β χωρίς την ύπαρξη της Ω . Τότε , ο Ikehata πρότεινε , τη
θεώρηση του
Ι(z,f ) := ∫ (Λ − Λ 0 )f fds
∂B
για ειδικά κατασκευασµένες συναρτήσεις f .
Μπορεί να δειχθεί ότι η Ι(z,f) τείνει στο άπειρο , αν το z τείνει
στο σύνορο της άγνωστης περιοχής .
(Οι τελεστές Dirichlet-σε-Neumann µπορούν να υπολογιστούν
ˆ ˆ ) , για κάθε x,d
ˆ ˆ ∈S )
από τα πλάτη σκέδασης u ∞ ( x,d
2
Η Μέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών (SSM) του Potthast , χρησιµοποιεί
ένα διαφορετικό συναρτησοειδές το οποίο επίσης εκρήγνυται στο
σύνορο του αντικειµένου . Το συναρτησοειδές αυτό καθορίζεται
ως το µέγεθος του σκεδασµένου πεδίου Ψsc(z,z) ιδιόµορφων
πηγών Ψ(z,z) και υπολογίζεται από οπισθοδροµική προβολή του
ˆ ˆ )g(x,y
ˆ )g(− y,z
ˆ )ds(yˆ )ds(xˆ )
Ψ sc (y,z ) ≈ ∫ ∫ u ∞ (x,y
S 2 S2
για ειδικά κατασκευασµένους πυρήνες g(.,.) , y,z ∈ R m \ Ω .
Όλες οι Γραµµικές ∆ειγµατοληπτικές και ∆ιερευνητικές Μέθοδοι
έχουν το πλεονέκτηµα ότι δεν χρειάζεται γνώση της συνοριακής
συνθήκης του άγνωστου σκεδαστή . Αν εξαιρέσουµε την Μέθοδο
Παραγοντοποίησης του Kirsch , όλες αυτές οι µέθοδοι ισχύουν
και στην περίπτωση του περιορισµένου ανοίγµατος , όπου το
πλάτος σκέδασης δεν είναι γνωστό σ’ ολόκληρη τη µοναδιαία
σφαίρα αλλά µόνο σ’ έναν ανοιχτό υποσύνολό της Γ ⊂ S 2 .
Βασικό µειονέκτηµά τους είναι ότι απαιτούν γνώση του πλάτους
σκέδασης για ένα µεγάλο αριθµό απλών προσπιπτόντων κυµάτων
κι αυτό ακριβώς προσπαθούµε να αλλάξουµε στους αλγόριθµους
αυτούς .
Η πρόσφατη δουλειά του Ikehata έκανε σηµαντική πρόοδο για
την
ανάπτυξη
τέτοιων
αλγόριθµων
ανακατασκευής , που
χρησιµοποιούν πολύ περιορισµένα δεδοµένα .
35
Η Μέθοδος Εγκλεισµού (EM) του , επιτρέπει την εύρεση του
φορέα κυρτών πολυγώνων µε τη γνώση ενός µετρηµένου πεδίου.
Ο Ikehata χρησιµοποιεί ένα ειδικό αρµονικό προσπίπτον πεδίο ,
v = eτx⋅(ω+iω
⊥
)
,
για να κατασκευάσει την παρακάτω δείκτρια συνάρτηση
Ι ω (τ, x) = e− τ t {
∂u
∂n
,v
∂G
∂G
−
∂v
∂n
,u
∂G
} , τ>0 , t ∈ R
∂G
όπου ω ∈ S 2 : διεύθυνση , u είναι η άγνωστη , ασθενής λύση του
σκεδασµένου προβλήµατος , και G : περιοχή που περιέχει τον
άγνωστο σκεδαστή , Ω ⊂ εσωτ.G .
Ο Ikehata δείχνει ότι στις γωνίες των πολυγωνικών σκεδαστών η
δείκτρια αυτή συνάρτηση είναι µη-φραγµένη και χρησιµοποιεί
αυτήν την ιδιότητα για να ανακατασκευάσει µοναδικά τον
σκεδαστή .
Μια άλλη µέθοδος που βασίζεται σε ένα προσπίπτον κύµα είναι
το Κριτήριο µη-Απόκρισης (ΝRΤ) του Potthast . Τόσο το κριτήριο
αυτό όσο και η µέθοδος Εγκλεισµού δεν χρειάζονται a priori
γνώση των ιδιοτήτων του υλικού του άγνωστου σκεδαστή .
Ωστόσο, η δείκτρια συνάρτηση του κριτηρίου µη-απόκρισης είναι
διαφορετική στα δεδοµένα µετρήσεων σε σχέση µε αυτή του
Ikehata .Επιπλέον , δεν
χρησιµοποιούµε
ούτε
βάζουµε
περιορισµούς στις γεωµετρικές ιδιότητες του σκεδαστή .
Μπορούµε να δείξουµε ότι ένα σύνολο (που εξαρτάται από
κάποια περιοχή δοκιµής Ω0t ) που περιβάλλει τον άγνωστο
σκεδαστή , και καλείται « στεφάνι » (corona) του , καθορίζεται
µοναδικά από το πλάτος σκέδασης ενός κύµατος ανεξάρτητα των
συνοριακών συνθηκών .
36
4.
ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΣΗΜΕΙΑΚΗΣ
ΠΗΓΗΣ
(Point-source Method)
Ένα βασικό στοιχείο για διάφορες ∆ιερευνητικές Μεθόδους είναι
η ακόλουθη τεχνική της Υπέρθεσης
§1.
ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΠΡΟΣΠΙΠΤΟΝΤΩΝ
ΚΥΜΑΤΩΝ
Θεωρούµε το ακουστικό πρόβληµα σκέδασης :
∆usc + k2usc = 0
στο D
utot = uinc + usc
r . c . Sommerfeld
u=0
στο ∂D
όπου
(ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ι)
r.c. : συνθήκη ακτινοβολίας
Η ιδέα της τεχνικής της υπέρθεσης είναι να παραχθούν ειδικά
προσπίπτοντα κύµατα µέσω µιας υπέρθεσης απλών κυµάτων .
Π.χ. της µορφής
v(r) =
∫
Λ
ˆ
ˆ
ˆ
eik r⋅d g(d)ds(d)
(4.1.1)
r є R3 , g є L2(Λ)
και Λ υπόχωρος της µοναδιαίας σφαίρας (Λ ⊆ S2)
Κάτω από κατάλληλες συνθήκες µπορεί να αποδειχθεί ότι το
v│ ∂G , όπου ∂G το σύνορο µιας προσεγγιστικής περιοχής G
είναι πυκνό στον L2 ( ∂G ) και το εσωτερικό πρόβληµα Dirichlet
για την G έχει µοναδική λύση . Οπότε , µια αυθαίρετη λύση ω
της εξίσωσης Helmholtz στο D µπορεί να προσεγγιστεί από µια
συνάρτηση της µορφής (4.1.1) µε την έννοια ότι έχουµε
οµοιόµορφη σύκλιση της συνάρτησης και των παραγώγων της σε
συµπαγή υπόχωρο της G .
37
ΕΙΚΟΝΑ 3
Μέγεθος (modulus) της σηµειακής πηγής Φ(.,z) για την τρισδιάστατη ακουστική περίπτωση και η
προσέγγιση από κάποια κυµατική συνάρτηση Herglotz σε κάποια προσεγγιστική περιοχή G . Έξω
από την περιοχή αυτή παρατηρούµε µεγάλες αυξοµειώσεις της προσεγγιστική συνάρτησης .
§ 2 . ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ
Η τεχνική της υπέρθεσης έχει δύο κύριες εφαρµογές :
i. Χρησιµοποιώντας την υπέρθεση µιας οικογένειας δοσµένων
διεγέρσεων µπορούµε να κατασκευάσουµε την απόκριση για µια
συγκεκριµένη διέγερση .
ii. Η υπέρθεση των παρατηρήσεων µπορεί να χρησιµοποιηθεί για
να κατασκευάσουµε το πεδίο αποκρίσεων σε κάποιο
συγκεκριµένο σηµείο του Ω \ D . Αυτό µας οδηγεί στην Μέθοδο
Σηµειακής Πηγής , η οποία αποτελεί συστατικό µέρος διάφορων
∆ειγµατοληπτικών µεθόδων .
§ 3 . Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΣΗΜΕΙΑΚΗΣ ΠΗΓΗΣ
ΓΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΕ∆ΙΟΥ
Η µέθοδος Σηµειακής Πηγής βασίζεται στον τύπο του Green
38

∂u sc (r′)
u (r ) = ∫  Φ (r, r′)
∂D
∂n

sc
− u sc (r′)
∂Φ (r, r′) 
ds(r′)
∂n 
(4.3.1)
r є Rm \ D
 − ik ˆr ⋅r′ ∂u sc (r′)
ˆ = γ ∫ e
u ∞ (r)
∂D
∂n

∂e − ik ˆr ⋅r′ 
− u (r ′ )
ds(r′)
∂n 
sc
(4.3.2)
ˆr є S2
όπου




γ := 



iπ
e 4
8πk
,m = 2
(4.3.2’)
1
4π
,m = 3
και το κάθετο διάνυσµα n έχει κατεύθυνση προς το εξωτερικό
του σκεδαστή .
Χρησιµοποιούµε µια προσέγγιση Φ (. , z) της σηµειακής πηγής
στο z σαν ένα προσπίπτον πεδίο µε την έννοια
Φ(r , z) ≈
∫
Λ
eik r⋅ξ g z (ξ )ds(ξ )
, r є Gz
(4.3.3)
σε κάποια προσεγγιστική περιοχή Gz µε D ⊂ Gz , z∉
∉ G z και
Λ ⊂ S2 .
Βάζοντας την (4.3.3) στην (4.3.1) και µε τη βοήθεια της (4.3.2)
καταλήγουµε στην προσέγγιση :
usc(z) ≈
1
γ
∫
Λ
ˆ z (r)ds(r)
ˆ
ˆ
u ∞ (− r)g
(4.3.4)
για το σκεδασµένο πεδίο .
Αυτό ισχύει εφόσον D ⊂ Gz .
39
Τρισδιάστατες ανακατασκευές µέσω της (4.3.4) φαίνονται στην
εικόνα 4 .Το σχήµα του συνόρου ∂D µπορεί να βρεθεί
αναζητώντας τα σηµεία µηδενισµού του ολικού πεδίου utot (= uinc
+ usc) για τη συνοριακή συνθήκη Dirichlet [28,54,60,67,68,70] .
EIKONA 4
Βλέπουµε το αρχικό και το ανακατασκευασµένο ολικό πεδίο για σκέδαση από έναν ηχητικά µαλακό
ακουστικό σκεδαστή στις τρείς διαστάσεις δια µέσου της µεθόδου σηµειακής πηγής .
§ 4 . ΓΕΝΙΚΗ ∆ΟΜΗ
Θεωρούµε ότι για κάποια µερική διαφορική εξίσωση Ε στον
Rm \ D , µαζί µε µια κατάλληλη συνθήκη ακτινοβολίας . Η
γενική µορφή του τύπου Green είναι η :
n
ω(r) =
∑ ∫
j=1
∂G
B1j Φ(r , r′ ) (B2j ω)( r′ )ds( r′ )
(4.4.1)
r є Rm \ G
όπου Β1j , B2j , j=1 , 2 , … , n : συνοριακοί διαφορικοί τελεστές για
όλες τις περιοχές G µε D ⊂ G µε επαρκώς λείο σύνορο και Φ
υποθέτουµε ότι είναι συµµετρική συνάρτηση .
Ακόµη θεωρούµε για ότι κάποιο ανοιχτό σύνολο Λ ⊂ Rm\ D η
οικογένεια συναρτήσεων :
ℑ := { Φ (ξ , .) : ξєΛ }
(4.4.2)
40
είναι πλήρης για κάθε περιοχή G για την οποία η µερική
διαφορική εξίσωση και η αντίστοιχη συνοριακή συνθήκη δεν
έχει ιδιοτιµές .
Έστω τώρα προσεγγίσεις της µορφής :
Φ(r , r′ ) ≈
∫
Λ
Φ (ξ , r′) g r (ξ )dµ(ξ )
(4.4.3)
σε κάποια περιοχή Gr µε r ∉ Gr , και µ : µέτρο στο Λ
Λόγω της πληρότητας της ℑ , η προσέγγιση είναι πιθανή για
κάθε δοσµένο επίπεδο σφάλµατος ε .
Εισάγοντας την (4.4.3) στην (4.4.1) και αλλάζοντας τη σειρά
ολοκλήρωσης , παίρνουµε :
n
ω(r) =
∑
B1j Φ(r , r′ ) (B2j ω)( r′ ) ds( r′ )
≈
j=1
n
≈
∑ ∫
j=1
∂D
B1j
( ∫ Φ(ξ , r′)g (ξ)dµ(ξ) ) (B
Λ
r
2j
ω)( r′ ) ds( r′ )
 n

B1j Φ(ξ , r′)(B2 j ω)(r′)ds(r′)  g r (ξ )dµ(ξ )

∫Λ  ∑
∫
j=1

≈
≈
(4.4.4)
Παρατηρούµε ότι για χ = ξ , ο όρος Τ1 εµφανίζεται και στη
σχέση (4.4.1) . Αν πάρουµε µετρήσεις του ω στον Λ , βρίσκουµε
µια προσέγγιση για το ω(r) µέσω της (4.4.4) της µορφής :
ω(r) ≈
∫
Λ
ω(ξ )g(ξ )dµ(ξ )
(4.4.5)
Η συνάρτηση πυρήνας gr(.) µπορεί να υπολογιστεί ανεξάρτητα
από τα δεδοµένα ω [28] .
41
§ 5 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η µέθοδος Σηµειακής Πηγής έχει χρησιµοποιηθεί σε µια σειρά
εργασιών .
Στην περίπτωση του δισδιάστατου ακουστικού προβλήµατος για
φραγµένη περιοχή µε συνοριακές συνθήκες Dirichlet , Neumann
[67] .
Έχει µεταφερθεί , απ’ τους Akduman και Potthast , σε
διστρωµατικό ακουστικό µέσο στις δύο διαστάσεις [1] .
ένα
Ακόµα και στην τοµογραφία ηλεκτρικής εµπέδησης (electrical
impedance tomography) όπου οι Erhard και Potthast ελέγχουν
τη µέθοδο Σηµειακής Πηγής και παρέχουν µια αριθµητική
µελέτη στην ανακατασκευή πεδίου και σχήµατος [28] .
Πιο πρόσφατα , η µέθοδος αυτή έχει χρησιµοποιηθεί για
ανακατασκευές πεδίου στην µαγνητική τοµογραφία απ’ τον Kühn
[58] καθώς επίσης για ανακατασκευές πεδίου και σχήµατος για
µη-φραγµένες περιοχές απ’ τους Chandler-Wilde και Lines , οι
οποίοι επιπλέον ανέπτυξαν µια εκδοχή στο πεδίο του χρόνου
του θέµατος χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό Fourier [14] .
Τέλος , ο Luke παρουσίασε µια πολυ-στατική εκδοχή (multi-static
version) της µεθόδου Σηµειακής Πηγής και τη συνέδεσε µε το
Θεώρηµα Αναπτύγµατος σε Γενικευµένες Ιδιοσυναρτήσεις [62] .
42
5 . ΜΕΘΟ∆ΟΣ
Ι∆ΙΟΜΟΡΦΩΝ
ΠΗΓΩΝ
ΓΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ
(Singular Sources Method - SSM)
Η ιδέα της µεθόδου αυτής έγκειται στην ανακατασκευή του
σκεδασµένου πεδίου Ψsc (z , z) για µια διέγερση Ψ (. , z) η
οποία είναι µοναδική στο σηµείο z (σηµείο πηγής) . Κάτω από
κατάλληλες υποθέσεις για τον εν λόγω σκεδαστή και την
µοναδικότητα , µπορεί να δειχθεί η ιδιότητα της έκρηξης :
Ψ sc (z , z ) → ∞
(5.1)
Τότε , ερευνώντας την περιοχή στην οποία ο σκεδαστής µπορεί
να εντοπιστεί , τόσο η θέση όσο και το σχήµα αυτού µπορούν
να κατασκευαστούν .
Για ανακατασκευή του Ψsc (z , z) από τα πλάτη σκέδασης
χρησιµοποιούµε τη µέθοδο Σηµειακής Πηγής .
Για κατασκευή κατά προσέγγιση του πλάτους σκέδασης κάποιων
υποθετικών ιδιόµορφων πηγών , χρησιµοποιούµε την τεχνική της
Υπέρθεσης (βλ. Κεφ. 4 , §1) .
εµπόδια , στα
ακουστικά
και
στα
Για
µη-διαπερατά
ηλεκτροµαγνητικά κύµατα , έχει δειχθεί [70] µε τη βοήθεια της
συνοριακής συνθήκης ότι η ιδιότητα της έκρηξης (5.1) µπορεί
να προκύψει για την περίπτωση µιας απλής σηµειακής πηγής
∆ηλαδή έχουµε :
Ψ (x , y) := Φ (x , y)
Φ sc (z , z ) → ∞ , z → ∂D
(5.2)
για έναν ηχητικά µαλακό ή σκληρό σκεδαστή D .
Για να κατανοήσουµε καλύτερα τα κύρια µέρη της µεθόδου ,
θεωρούµε το πρόβληµα :
∆u + k2u = 0
στο D
tot
inc
sc
u =u +u
r . c . Sommerfeld
u=0
στο ∂D
43
Υποθέτουµε ότι τα πλάτη σκέδασης u ∞ (- xˆ , d) δίνονται για όλα
τα - xˆ , d є Λ ⊂ S2 , d : διεύθυνση προσπίπτοντος .
Τότε , εφαρµόζοντας την τεχνική της υπέρθεσης (4.3.3) στο Φ (. ,z)
έχουµε την προσέγγιση :
ˆ z ) ≈ ∫ u ∞ (x,d)g
ˆ
Φ (x,
z (d)ds(d)
,
Λ
xˆ є -Λ
(5.3)
µε gz : πυκνότητα που δίνεται από (4.3.3) .
Εδώ , η προσέγγιση “ ≈ „ σηµαίνει ότι δοθέντος ε υπάρχει gz
πυκνότητα τέτοια ώστε το µέτρο της διαφοράς µεταξύ αριστερής
και της δεξιάς πλευράς της (5.3) είναι µικρότερο του ε .
Τώρα , εφαρµόζοντας τη µέθοδο Σηµειακής Πηγής (4.3.4) στο
µακρινό πεδίο Φ ∞ και στο δεξί µέρος της (5.3) , παίρνουµε την
προσέγγιση :
Φ sc (z, z ) ≈
1
γ ∫Λ
(∫ u
Λ
∞
)
′
ˆ
ˆ
(− x,d)g
z (d)ds(d) g z (d)ds(x)
(5.4)
g′z є L2(Λ) : πυκνότητα , z є R3 \ D
Τελικά , σύµφωνα µε την (5.2) , το άγνωστο σχήµα βρίσκεται ως
το σύνολο των σηµείων z όπου η προσέγγιση (5.4) γίνεται
µεγάλη .
EIKONA 5
Ανακατασκευή για µια περιοχή σχήµατος Τ και ενός δακτυλίου (torus) από τη µέθοδο ιδιόµορφων
πηγών .
44
§ 1 . ΓΕΝΙΚΗ ∆ΟΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ SSM
Βασικό µέρος της µεθόδου των Ιδιόµορφων Πηγών είναι η
προσέγγιση των αποτελεσµάτων για ειδικά προσπίπτοντα πεδία
(για παράδειγµα , ιδιόµορφες πηγές Φ(. , z) ) δεδοµένων των
αποτελεσµάτων δοθέντων προσπιπτόντων πεδίων uinc (γνωστά) .Οι
ειδικές πηγές χρειάζεται να έχουν κατάλληλες ιδιότητες και το
σύνολο των προσπιπτόντων κυµάτων πρέπει να είναι αρκετά
µεγάλο (πλούσιο) .
ΟΡΙΣΜΟΣ : (Οικογένεια κυµάτων µε την ιδιότητα της έκρηξης)
Ένα καλά τοποθετηµένο ευθύ πρόβληµα λέµε ότι
έχει µια οικογένεια κυµάτων µε την ιδιότητα της
έκρηξης , αν ο παρακάτω ισχυρισµός είναι αληθής :
Υπάρχει µια οικογένεια προσπιπτόντων κυµάτων
Ψ(. , z) , που εξαρτώνται απ’ τα z є Rm , τέτοια ώστε η
λύση Ψsc (. , z) µε διέγερση Ψ (. , z) να ικανοποιεί
την ιδιότητα της έκρηξης (5.1) . Επιπλέον , για τη
διέγερση υποθέτουµε τα άνω φράγµατα :
BΓ Ψ (., z )
C s ( ∂D)
≤
c
d(z , ∂D) t
,zє D
(5.1.1)
όπου c > 0 : σταθερά και s , t є N0 .
Χρειαζόµαστε , ακόµη , δύο ιδιότητες :
Πρώτον , θεωρούµε ότι για ένα επαρκώς µεγάλο (πλούσιο) σύνολο
περιοχών G ⊂ Rm έχουµε πληρότητα για µια οικογένεια
διεγέρσεων
V := { uinc (. , ξ) : ξ є Χ }
Και
∆εύτερον , θα µετρήσουµε τα σκεδασµένα πεδία usc σε κάποιο
ανοιχτό σύνολο Λ ⊂ Rm . Αυτές οι µετρήσεις πρέπει να είναι
“πλήρεις„ µε την έννοια ότι το σκεδασµένο πεδίο ορίζεται
µοναδικά από αυτές .
∆ηλαδή
usc│Λ = 0 ⇒ usc ≡ 0
(5.1.2)
Για τα τυπικά προβλήµατα σκέδασης αυτό εξασφαλίζεται απ’ την
“ Αρχή Μονοσήµαντης Συνέχισης „ .
Γενικά , η πληρότητα αυτή περιλαµβάνει εργαλεία , όπως το
Θεώρηµα του Rellich , τα οποία εξασφαλίζουν ότι η γνώση του
45
πλάτους σκέδασης προσδιορίζει µοναδικά το σκεδασµένο πεδίο
για το υπό συζήτηση πρόβληµα .
§ 2 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η µέθοδος αυτή προτάθηκε αρχικά απ’ τον Potthast για το
δισδιάστατο και τρισδιάστατο ακουστικό πρόβληµα σκέδασης µε
συνοριακές
συνθήκες
Dirichlet
και
Neumann
και
ηλεκτροµαγνητική σκέδαση από τέλειο αγωγό [69,70] .
Οι Potthast και Στρατής εφάρµοσαν τη µέθοδο Ιδιόµορφων
Πηγών σ’ ένα αντίστροφο ακουστικό πρόβληµα µεταφοράς . Εδώ ,
ο δείκτης διάθλασης επιλέχθηκε να είναι ο ίδιος στον σκεδαστή
D και έξω από αυτόν , αλλά υπάρχουν κάποιες µεταβατικές
συνοριακές συνθήκες που περιέχουν µια συνάρτηση λ . Έχει
δειχθεί ότι η µέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών (SSM) µπορεί να
χρησιµοποιηθεί τόσο για την ανακατασκευή του D όσο και για
την εκτίµηση των αριθµητικών τιµών της λ [76] .
Ο Potthast , ακόµα , χρησιµοποίησε τη µέθοδο αυτή (SSM) για
ανακατασκευή ενός κατά τµήµατα σταθερού δείκτη διάθλασης
ενός µη-οµογενούς µέσου και έδειξε πώς να εφαρµοστεί η
µέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών για ένα γνωστό κατά τµήµατα
σταθερό υλικό υποβάθρου [74] .
Τέλος , µπορούµε ν’ αναφέρουµε ότι κάποιες ∆ειγµατοληπτικές
ιδέες µε ιδιόµορφες συναρτήσεις χρησιµοποιούνται στην BC
µέθοδο του Belishev [6] .
46
6.
∆ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ
ΜΕΘΟ∆ΟΣ
ΓΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ
(The Probe Method - PM)
Η ∆ιερευνητική Μέθοδος προτάθηκε αρχικά απ’ τον Ikehata
[37,40] και υλοποιήθηκε αριθµητικά απ’ τους Erhard και
Potthast [29] . Η ιδέα είναι παρόµοια µε αυτή της µεθόδου
Ιδιόµορφων Πηγών αλλά το συναρτησοειδές το οποίο αξιολογείται
για την εύρεση του άγνωστου σχήµατος είναι διαφορετικό στις
περισσότερες περιπτώσεις . Θα εξετάσουµε τη µέθοδο αυτή ,
θεωρώντας το πρόβληµα :
∆u + k2u = 0
στο D
utot = uinc + usc
r . c . Sommerfeld
u=0
στο ∂D
§ 1 . ΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΠΗΓΕΣ –
- ΕΝΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ∆ΕΣ
Αντί της συνάρτησης Φsc (z , z) που χρησιµοποιούµε στην
µέθοδο Ιδιόµορφων Πηγών (SSM) , ο Ikehata ακολούθησε τις
ιδέες του Isakov ο οποίος χρησιµοποίησε τον τύπο του Green
και κάποιο Ενεργειακό Συναρτησοειδές .
Θεωρούµε µια περιοχή Ω η οποία περιέχει τον άγνωστο
σκεδαστή D και µια κυµατική συνάρτηση Herglotz v[z] , η
οποία προσεγγίζει τη σηµειακή πηγή Φ (. , z) όπως στη (4.3.3)
και το σκεδασµένο της πεδίο vsc [z] µέχρι ένα επίπεδο
σφάλµατος ε στο . C 1 (D) . Με τη µέθοδο της Υπέρθεσης
sc
( u ′ ( x) ≈
∫
Λ
u sc (x , d)g(d)ds(d) , x є R3 \ D )
το σκεδασµένο πεδίο vsc [z] µπορεί να υπολογιστεί απ’ τα
σκεδασµένα πεδία usc (x , d) για d є Λ , χ є ∂Ω και το ίδιο
ισχύει για τις αντίστοιχες κανονικές παραγώγους στο ∂Ω .
47
Το πεδίο usc (x , d) και οι παράγωγοι µπορούν να υπολογιστούν
απ’ το u ∞ . Γνωρίζουµε ,ακόµη [72,Λήµµα 2.5], ότι για την
δείκτρια συνάρτηση :
 ∂vsc [z ](x)
∂v[z ](x) 
′
I (z ) = ∫ 
v[z ](x) − vsc [z ](x)
 ds(x)
∂Ω
∂n
∂n 

(6.1.1)
ισχύει :
I′ (z ) → ∞ ,
z → ∂D
(6.1.2)
Η βασική ιδέα της µεθόδου αυτής του Ikehata έγκειται στον
υπολογισµό της δείκτριας συνάρτησης Ι δοθέντος του u ∞ (- xˆ , d),
- xˆ , d є Λ , µε την βοήθεια , επιπλέον , της (6.1.2) για τον
προσδιορισµό του σχήµατος του άγνωστου αντικειµένου .
Παρατηρούµε ότι για το συνοριακό πρόβληµα , αυτό το
Ενεργειακό Συναρτησοειδές συνδέεται στενά µε το
συναρτησοειδές των Ιδιόµορφων Πηγών (5.2) αλλά και µια
διαφορετική συνάρτηση . Για το πρόβληµα σκέδασης , η (6.1.1)
προσεγγίζει την Φsc (z , z) δηλαδή η ∆ιερευνητική Μέθοδος και
η Μέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών συµπίπτουν !
Αρχικά , ο Ikehata ανέπτυξε τη µέθοδό του στη δοµή
προβληµάτων συνοριακών τιµών , όπου χρησιµοποίησε το
συναρτησοειδές :
I(f ) :=
∫
∂Ω
(Λ − Λ 0 )f (y) f(y)ds(y)
(6.1.3)
όπου Λ : τελεστής Dirichlet-σε-Neumann για το πρόβληµα :
∆u + k2u = 0
στο Ω \ D
u│ ∂D = g
(6.1.4)
u│ ∂Ω = f
και g ≡ 0 ,Λ0 : τελεστής Dirichlet-σε-Neumann για το πρόβληµα :
∆u + k2u = 0
u│ ∂Ω = f
στο Ω
(6.1.5)
48
Eδώ , θεωρούµε ότι τα προβλήµατα είναι επιλύσιµα κατά
µοναδικό τρόπο δηλαδή το k δεν είναι εσωτερική ιδιοτιµή
Dirichlet στο Ω και στο Ω \ D . Η συνάρτηση f επιλέχθηκε να
είναι οι συνοριακές τιµές f := vn│ ∂Ω κάποιας προσέγγισης vn
στη σηµειακή πηγή Φ (. , z) όπως δίνεται στην εξίσωση (4.3.3) .
Το παρακάτω αποτέλεσµα , εξηγεί τη συµπεριφορά της δείκτριας
συνάρτησης στο εσωτερικό της άγνωστης περιοχής .
ΕΙΚΟΝΑ 6
Αποτελέσµατα της δείκτριας συνάρτησης Ι(fn) της διερευνητικής µεθόδου µε σηµειακό τυχαίο
σφάλµα 0% , 5% , 15% και 30% για τον τελεστή Dirichlet-σε-Neumann .
Εδώ , χρησιµοποιούµε το Ν(z) ως “ ακίδα „ µε άκρη z δηλαδή
µια λεία “1-1„ καµπύλη η οποία συνδέει τα ∂Ω και z .
49
ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω vn συναρτήσεις στο Ω οι οποίες
προσεγγίζουν τη συνάρτηση Φ (. , z) σε συµπαγείς υποχώρους
του προσεγγιστικού χωρίου G := Ω \ Ν(z) µε την έννοια ότι :
Φ (. , z ) − v n
C 1 (M)
→0 , n → ∞
(6.1.6)
για όλους τους συµπαγείς υποχώρους Μ του G .
Αν D ⊂ G (και έτσι z є Ω \ D ) , τότε έχουµε
I(v n ) ≤ c < ∞
, για κάθε n є N , c : σταθερά
Αν D ⊄ G (και έτσι z є D ) και k
(συγκεκριµένα ck2 < 1 , c : σταθερά) , τότε
ικανοποιητικά
lim I(v n ) = ∞
(6.1.7)
µικρό
(6.1.8)
n →∞
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ :
Η σχέση (6.1.7) δίνεται από το ΘΕΩΡΗΜΑ 1 που βρίσκουµε
στην εργασία των Potthast και Erhard [29] , σύµφωνα µε το
οποίο:
∉ G(z) , για κάποιο z ∈ Ω τότε το
Αν έχουµε D ⊂ G(z) , z∉
lim Ι(fn,z) =: ˆI(z )
υπάρχει ,
n →∞
και έστω zj είναι µια ακολουθία σηµείων τέτοια ώστε D ⊂ G(zj) ,
zj ∉ G(zj) , για j ∈ N και zj → ∂D καθώς j → ∞ .
Re ˆI(z ) → ∞ , j → ∞
Τότε , έχουµε :
όπου fn,z := vn,z│ ∂Ω
Τώρα απ’ το ΛΗΜΜΑ 4 της ίδιας εργασίας , έχουµε ότι το
συναρτησοειδές του Ιkehata για έναν ηχητικά – µαλακό σκεδαστή
δίνεται απ’ τη σχέση :
Ι(f n ) = ∫
Ω \D
( ∇ωn − k 2 ωn )dx + ∫ ( ∇v n − k 2 v n )dx
2
2
2
D
(6.1.9)
όπου ωn := un – vn και un είναι η λύση του συνοριακού
προβλήµατος τιµών (6.1.4) , µε συνοριακή τιµή fn := vn│ ∂Ω .
50
Για z ∈ D , το ολοκλήρωµα :
∫
D
2
∇v n dx
δεν µπορεί να είναι φραγµένο για n → ∞ , εφ’ όσον το vn τείνει
2
στο Φ(. , z) και το ∇Φ(., z ) δεν είναι ολοκληρώσιµο πάνω στο
D για z ∈ D .
Για να αποδείξουµε το ΘΕΩΡΗΜΑ χρειάζεται να υπολογίσουµε
2
2
τα ολοκληρώµατα των ωn
και v n
πάνω στο Ω\ D ή D ,
αντίστοιχα .
Θα δώσουµε µία σκιαγράφηση των κύριων ισχυρισµών .
Αρχικά , παρατηρούµε ότι το vn τείνει στο Φ(. , z) σε συµπαγής
υποχώρους D \ Nh(z) για όλα τα h>0 . Έτσι , αυτό το µέρος του
ολοκληρώµατος είναι φραγµένο . Για επαρκώς µικρό h>0 , τα
2
ολοκληρώµατα
του ∇v n
πάνω στο
D ∩ Nh(z) θα είναι
µεγαλύτερα απ’ τα ολοκληρώµατα του
το vn(x) είναι
vn(x) , χ ∈ Νh(z)
του χ . Έτσι ,
2
∇v n
κλίσης
του k 2 v n
2
vn
2
, αφού λόγω του ότι
φραγµένο στο D \ Nh(z) , µια µεγάλη τιµή του
υπονοεί κλίση µεγέθους vn(x)/h σε µια περιοχή
για επαρκώς µικρό h>0 , το ολοκλήρωµα της
θα είναι πάντα µεγαλύτερο απ’ το ολοκλήρωµα
. Αυτό υπολογίζει το 2ο µέρος της (6.1.9) .
Για να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα του
ωn
2
, χρησιµοποιούµε
τη σχέση :
∫
Ω \D
2
ωn dx ≤ c ∫
Ω \D
2
∇ωn dx
µε κάποια σταθερά c , η οποία ισχύει λόγω της συνοριακής
συνθήκης ωn = 0 στο ∂Ω .
Για ck2 < 1 , αυτό αποδεικνύει τον 2ο ισχυρισµό (6.1.8) .
□
Η εικόνα 9 δείχνει τα αποτελέσµατα της ∆ιερευνητικής Μεθόδου
όπου έχουµε προσθέσει σηµειακό τυχαίο θόρυβο στον τελεστή
Dirichlet-σε-Neumann . Εδώ , έχουµε διαλέξει µπάλα κέντρου cz
σαν προσεγγιστική περιοχή G(z) , όπου το cz επιλέχθηκε σε µία
διαδικασία πολλών βηµάτων . Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι οι
ανακατασκευές είναι πιθανές µε τυχαίο σφάλµα µέχρι 30 % .
Βέβαια , µε συστηµατικό σφάλµα τα σφάλµατα ανακατασκευής
θα ήταν µεγαλύτερα , αλλά εδώ οι αριθµοί δείχνουν ότι το
τυχαίο σφάλµα εξοµαλύνεται από την ολοκλήρωση η οποία είναι
µέρος του υπολογισµού του Ι( f ) .
51
Η συµπεριφορά της δείκτριας συνάρτησης εξηγείται πλήρως απ’
το παραπάνω Θεώρηµα .
Για z εξωτερικό του D , η συνάρτηση προσεγγίζει τα
ολοκληρώµατα :
∫
Ω \D
+
∫
D
( gradω(. , z)
( gradΦ(. , z)
2
2
− k 2 ω(. , z )
− k 2 Φ (. , z )
2
2
) dx
) dx
+
(6.1.10)
όπου ω(. , z) : λύση της (6.1.4) µε συνοριακές τιµές g = Φ (. , z)
στο ∂D και f = 0 στο ∂Ω .
Τα ολοκληρώµατα αυτά είναι φραγµένα . Για z є D (από
προηγούµενο Θεώρηµα) η δείκτρια συνάρτηση Ι( fn ) → ∞ για
n → ∞ . ∆ηλαδή
είναι
µεγάλη
για
ικανοποιητικά
καλές
προσεγγίσεις (4.3.3) της σηµειακής πηγής .
§ 2 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η ανακατασκευή σχήµατος µιας ανοµοιογένειας σε κάποια
περιοχή αγωγιµότητας από τον τελεστή Dirichlet-σε-Neumann
µέσω της ∆ιερευνητικής Μεθόδου προτάθηκε αρχικά απ’ τον
Ikehata , καθώς
επίσης
και
το
τρισδιάστατο
αντίστροφο
πρόβληµα σκέδασης [37,36] .
Για το αντίστροφο πρόβληµα αγωγιµότητας , η ∆ιερευνητική
Μέθοδος για έναν τοπικοποιηµένο τελεστή Dirichlet-σε-Neumann,
έδειξε ότι όχι µόνο µπορεί να ανακατασκευαστεί το σύνορο
κάποιας ασυνέχειας αλλά µπορεί να καθοριστεί και το µέγεθος
της αγωγιµότητας µε τη βοήθεια της µεθόδου του Nachmann
και µια ανακατασκευή του τελεστή Dirichlet-σε-Neumann στο
∂D [45] .
Οι Ikehata και Nakamura εφάρµοσαν , ακόµα , τη µέθοδο αυτή
για να ανακατασκευάσουν ρωγµές σε αγώγιµο µέσο και σε
ελαστικό µέσο , καθώς επίσης για ανακατασκευή του σχήµατος
ενός ανισοτροπικού αγώγιµου µέσου µε µεικτές συνοριακές
συνθήκες από τον τελεστή Dirichlet-σε-Neumann [48,26] .
52
Πιο πρόσφατα , οι ίδιοι έδειξαν πώς µπορεί να ανακατασκευαστεί
το µέγεθος µιας ασυνέχειας σφάλµατος κάποιου αγώγιµου µέσου
χρησιµοποιώντας την ∆ιερευνητική Μέθοδο [49] .
53
7 . ΓΡΑΜΜΙΚΗ ∆ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ
ΚΑΙ ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
(Linear Sampling – LSM
and Factorization Method - FM)
Η Γραµµική ∆ειγµατοληπτική Μέθοδος (που προτάθηκε αρχικά
απ’ τους Colton και Kirsch) και η Μέθοδος Παραγοντοποίησης
του Kirsch συνδέονται στενά . Εδώ , θα παρουσιάσουµε αρχικά
παραγοντοποίηση του τελεστή µακρινού πεδίου και έπειτα θα
συζητήσουµε τις δυο µεθόδους για ανακατασκευή σχήµατος .
§ 1 . ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
Θεωρούµε το ακουστικό πρόβληµα σκέδασης µε τη συνοριακή
συνθήκη Dirichlet . Σαν προσπίπτον πεδίο uinc ερευνούµε µια
υπέρθεση απλών κυµάτων , την οποία τώρα θεωρούµε ως ένα
τελεστή Η απ’ τον L2 (S2) στον L2 ( ∂D )
(Hg)(x) :=
∫
Λ
eik x⋅ξ g(ξ )ds(ξ )
, x є ∂D
(7.1.1)
Αναζητούµε την λύση του σκεδασµένου προβλήµατος στη µορφή
∆υναµικού Απλού Στρώµατος :
∫
∂D
Φ(x , y ) φ( y )ds( y )
,
x є Rm \ ∂D , φ ∈ C(∂D)
(7.1.2)
Το ∆υναµικό Απλού Στρώµατος είναι συνεχές στον Rm [19] και
οι συνοριακές του τιµές στο ∂D δίνονται απ’ τον τύπο :
(Sφ) (x) :=
∫
∂D
Φ(x , y ) φ( y )ds( y )
(7.1.3)
54
ενώ το πλάτος σκέδασης από :
( S∞ φ) (x) := γ ∫ e− ik xˆ ⋅y φ( y )ds( y )
(7.1.4)
∂D
όπου γ : σταθερά
Η συνοριακή
εξίσωση :
( βλ. (4.3.2’ ) ) .
συνθήκη
Sψ = - Hg
Dirichlet
οδηγεί
στο ∂D
στην
ολοκληρωτική
(7.1.5)
Αν το οµογενές εσωτερικό πρόβληµα Dirichlet για το D έχει
µόνο την τετριµµένη λύση , τότε η εξίσωση (7.1.5) έχει µοναδική
λύση για κάθε g є L2 (S2) [25,ΘΕΩΡ. 3.30] . Τότε , το πλάτος
u ∞ για το προσπίπτον πεδίο Ηg µπορεί να
σκέδασης
υπολογιστεί από
u ∞ = Fg
µε
Fg := -γH*S-1Hg
(7.1.6)
Ο τελεστής F µπορεί να γραφεί στη µορφή :
ˆ = ∫ 2 u ∞ (xˆ , d)g(d)ds(d)
(Fg)(x)
S
(7.1.7)
και καλείται τελεστής µακρινού πεδίου (far-field operator) .
Συµβολίζουµε τον τελεστή που καθορίζει το προσπίπτον πεδίο
uinc│ ∂D πάνω στο πλάτος σκέδασης , µε F . Έτσι , σύµφωνα µε
τους παραπάνω ισχυρισµούς έχουµε :
F = - γH* S-1
Πολλαπλασιάζοντας εκ δεξιών µε S και παίρνοντας τον συζυγή ,
υπολογίζουµε το :
γH = -S* F *
55
οπότε και οδηγούµαστε στο :
Fg = - (1/γ)F S* F*g
(7.1.8)
Αυτή η παραγοντοποίηση είναι η αρχή για τον χαρακτηρισµό
του σχήµατος του σκεδαστή για τη µέθοδο Παραγοντοποίησης
του Kirsch .
Για να δούµε τη βασική ιδέα της µεθόδου αυτής σε µια απλή
περίπτωση , θεωρούµε µια εξίσωση τύπου (7.1.8) όπου S :
αυτοσυζυγής , δηλαδή S* = S και θετικά ορισµένος . Τότε ,
χρησιµοποιώντας τις πραγµατικές του ιδιοτιµές και ένα πλήρες
σύνολο ορθοκανονικών ιδιοδιανυσµάτων του , µπορούµε να
υπολογίσουµε την τετραγωνική ρίζα S1/2 . Έτσι , η εξίσωση (7.1.8)
µπορεί να γραφτεί στη µορφή :
Fg = - (1/γ) (F S1/2) (F S1/2)* g
(7.1.9)
Έστω (µn , φn , gn) ένα ιδιόµορφο σύστηµα του (F S1/2)* δηλαδή
οι ιδιάζουσες τιµές µn είναι οι τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιµών
του αυτοσυζυγή τελεστή (F S1/2) (S1/2 F)* και [31,ΘΕΩΡ.4.7]
F S1/2 gn = µn φn
, n = 1,2,…
(7.1.10)
Ένα στοιχείο f είναι στο πεδίο τιµών του F S1/2 αν και µόνο
αν
∞
1
∑µ
n =1
│(f , φn)│2 < ∞
2
n
(7.1.11)
Τώρα , θεωρούµε τις ιδιάζουσες τιµές σn του -γF . Απ’ την
παραπάνω παραγοντοποίηση , δίνονται απ’ τον τύπο :
σn = µn2
Αυτό οδηγεί στο κριτήριο πεδίου τιµών (range criterion)
∞
1
∑σ
n =1
│(f , φn)│2 < ∞
(7.1.12)
n
Από την άποψη του τελεστή F , παίρνουµε ότι το f είναι στο
πεδίο του F S1/2 αν και µόνο αν είναι στο πεδίο του (F* F)1/4
56
και
αυτό
είναι
το
βασικό
Παραγοντοποίησης του Kirsch .
Έστω
Φ 0∞ (xˆ , z ) = γe− ik xˆ ⋅z
συστατικό
, xˆ є S2 , z є Rm
της
µεθόδου
(7.1.13)
πλάτος σκέδασης µιας σηµειακής πηγής µε σηµείο πηγής z .
Αυτό είναι στο πεδίο του F ή F S1/2 ή (F* F)1/4 αντίστοιχα , αν
z є D και δεν είναι στο πεδίο του F ή F S1/2 ή (F* F)1/4 για
zєRm \ D .
Έτσι , η επιλυσιµότητα της εξίσωσης
∞
(F*F)1/4 g = Φ 0 (. , z )
µας παρέχει ένα δειγµατοληπτικό κριτήριο για να αποφασίσουµε
αν z є D ή z є Rm \ D .
§ 2 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η µέθοδος Παραγοντοποίησης εφαρµόστηκε στο πρόβληµα της
τοµογραφίας
εµπέδησης
(impedance
tomography)
ανακατασκευάζοντας αντικείµενα σε ένα οµογενές αγώγιµο µέσο
απ’ τους Hähner , Brühl και Hankel [35,8] .
Επέκταση της µεθόδου αυτής έγινε απ’ τον Kirsch σε
απορροφητικό µέσο ή σε περιορισµένο άνοιγµα [52] .
Η µέθοδος Παραγοντοποίησης µπορούµε να πούµε ότι είναι
επέκταση του κλασικού αλγορίθµου MUSIC από επεξεργασία
σήµατος [15,53] .
Η Grinberg εφάρµοσε την µέθοδο Παραγοντοποίησης για ένα
µεικτό συνοριακό πρόβληµα τιµών στην ακουστική όπου το
κύµα έχει τη συνοριακή συνθήκη Dirichlet στο ένα αντικείµενο
και µια συνοριακή συνθήκη εµπέδησης στο άλλο [33].
Το 2001 η µέθοδος εφαρµόστηκε απ’ τους Kress και Kühn για
αρµονικά διανυσµατικά πεδία και για ένα αντίστροφο πρόβληµα
της Θεωρίας ∆υναµικού µε συνοριακή συνθήκη Neumann
[55,56,57] .
Οι
Arens
και
Grinberg
χρησιµοποίησαν
την
µέθοδο
Παραγοντοποίησης για ανακατασκευή δισδιάστατων περιοδικών
κατασκευών από ακουστικά κύµατα µε µία συνοριακή συνθήκη
Dirichlet αλλά και µε συνοριακές συνθήκες εµπέδησης [4,3] .
57
Πρόσφατα , ερευνητές περισσότερο επηρεασµένοι απ’ τις επιστήµες
µηχανικών ξεκίνησαν να εξετάζουν τη µέθοδο στην περίπτωση
πολλών συχνοτήτων και πραγµατικών δεδοµένων [13] .
§ 3 . ΓΡΑΜΜΙΚΗ ∆ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΗ
ΜΕΘΟ∆ΟΣ
Θεωρούµε το ακουστικό πρόβληµα σκέδασης µε τη συνοριακή
συνθήκη Dirichlet . Η Γραµµικη ∆ειγµατοληπτική Μέθοδος
σχετίζεται µε την ολοκληρωτική εξίσωση 1ου είδους :
Fg = Φ ∞0 (. , z )
(7.3.1)
που ορίζεται απ’ την (7.1.6) και η συνάρτηση Φ0 δίνεται απ’ την
(7.1.13) .
Αν u ∞ ( xˆ , d) δίνεται για όλα τα xˆ , d є S2 τότε η (7.2.1) µπορεί
να λυθεί µέσω κάποιας κατάλληλης κανονικοποίησης για κάθε
z σ’ ένα πλέγµα που καλύπτει µια περιοχή Q όπου ψάχνουµε
τον άγνωστο σκεδαστή .
Για κάθε z , η µέθοδος λύνει µια γραµµική ολοκληρωτική
εξίσωση 1ου είδους . Αυτό δίνει και το όνοµα , Γραµµική
∆ειγµατοληπτική Μέθοδος , στη µέθοδο αυτή . Μπορούµε να
παρατηρήσουµε ότι γενικά , η νόρµα g z της λύσης gz για z є
Q είναι µεγάλη αν z ∉ D και µικρή αν z є D .
Για να κατανοήσουµε καλύτερα την Μέθοδο Παραγοντοποίησης ,
θεωρούµε τις παραγοντοποιήσεις (7.1.6) και (7.1.8) όταν
ψάχνουµε για µια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης (7.3.1) .
Εδώ , οι τελεστές Η , S και H* βρίσκονται στο άγνωστο σύνορο
∂D ή µεταξύ ∂D και S2 αντίστοιχα .
Όσο z є D , η εξίσωση
F φ = Φ ∞0 (. , z )
(7.3.2)
είναι επιλύσιµη και η λύση της δίνεται από τον τύπο :
φz = -Φ (. , z)│ ∂D
(7.3.3)
Αν z ∉ D, τότε η (7.3.2) δεν έχει λύση στον L2( ∂D ) .
58
Η συµπεριφορά των κανονικοποιηµένων λύσεων φz,α της (7.3.2) ,
µε α > 0 : παράµετρο κανονικοποίησης , παρέχει ένα µοναδικό
χαρακτηρισµό του D µε την έννοια ότι µπορούµε να
διαχωρίσουµε τις περιπτώσεις z є D και z ∉ D
Έχουµε :
→∞
║φz,α║
(7.3.4)
L2 ( ∂D)
≤ c
║φz,α║
2
L ( ∂D)
για α → 0
µε c : σταθερά .
Βέβαια , ο F περιλαµβάνει την περιοχή D και η (7.3.2) δεν
µπορεί να χρησιµοποιηθεί για ανακατασκευή του D !
Μια παρατήρηση κλειδί είναι ότι µε
φz,α := Ηgz,α ,
(7.3.5)
όπου gz,α : κανονικοποιηµένη λύση µε παράµετρο α > 0 ,
παίρνουµε κανονικοποιηµένη λύση της (7.3.2) [2,ΠΟΡΙΣΜΑ 3.4] .
Για τη συµπεριφορά των νορµών της gz,α παρατηρούµε ότι στην
περιπτωση όπου z ∉ D . Η συµπεριφορά ║φz,α║ → ∞ για α → 0
µεταφέρεται στην πυκνότητα gz,α . Ωστόσο , ο τελεστής Η είναι
συµπαγής και η εξίσωση (7.3.5) δεν είναι καλά τοποθετηµένη .
Συνεπώς , το ότι η φz,α είναι φραγµένη δεν συνεπάγεται ότι και
η gz,α θα είναι .
Πράγµατι , εφόσον η εξίσωση
Ηg = - Φ (. , z)
θα έχει λύσεις σε πολύ συγκεκριµένες περιπτώσεις όπου το
εσωτερικό πρόβληµα Dirichlet στο D µε συνοριακές τιµές
Φ (. , z)│ ∂D µπορεί να γραφεί στην µορφή Hg µιας κυµατικής
εξίσωσης Herglotz , γενικά για µια κανονικοποιηµένη λύση gz,α
της (7.3.1) , έχουµε ║gz,α║ → ∞ για α → 0 .
Εδώ χάνουµε τη διαχωριστική συµπεριφορά της (7.3.4) και θα
είναι απαραίτητο να µελετήσουµε το εύρος της απόκλισης της
gz,α για τις δύο περιπτώσεις : z є D και z ∉ D . Αυτό το
πρόβληµα παραµένει ανοιχτό .
∆ύο προσεγγίσεις έχουν γίνει προκειµένου να ξεπεραστεί .
Πρώτον , µε τη Μέθοδο Παραγοντοποίησης του Kirsch [51]
και
∆εύτερον , µε το Κριτήριο Πεδίου Τιµών των Schulz και
Potthast που θα δούµε στη συνέχεια [75] .
59
Τόσο η µέθοδος Παραγοντοποίησης όσο και η Γραµµική
∆ειγµατοληπτική µέθοδος µοιράζονται ένα µεγάλο ατού σε σχέση
µε άλλες δειγµατοληπτικές µεθόδους . ∆εν περιλαµβάνουν
περιοχές προσέγγισης (approximation domains) και έτσι οι
γεωµετρικές δυσκολίες που µπορεί να προκύψουν από τη
χρησιµοποίηση αυτών αποφεύγονται . Συγκεκριµένα , η Γραµµική
∆ειγµατοληπτική Μέθοδος και η Μέθοδος Παραγοντοποίησης
µπορούν εύκολα να χρησιµοποιηθούν για την αντιµετώπιση
σκεδαστών οι οποίοι αποτελούνται από πολλά ξεχωριστά
συστατικά ή τρισδιάστατων σκεδαστών οι οποίοι δεν είναι απλά
συνεκτικοί .
§ 4 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Οι
Colton
και
Kirsch
χρησιµοποίησαν
την
Γραµµική
∆ειγµατοληπτική
µέθοδο
στην
περίπτωση
µη-διαπερατών
ακουστικών σκεδαστών και στην περίπτωση ενός µη-οµογενούς
µέσου [18] .
Αργότερα , η µέθοδος αυτή εφαρµόστηκε για την ανίχνευση της
λευχαιµίας , η οποία είναι ένα πρόβληµα µη-οµογενούς µέσου
µε γνωστό µη-οµογενές υλικό υποβάθρου [20,22] .
Χρησιµοποιήθηκε , ακόµα , για την ανακατασκευή του σχήµατος
ενός ορθοτροπικού και πλήρως ανισοτροπικού µέσου (Colton Potthast) ενώ στην περίπτωση του τρισδιάστατου ακουστικού
προβλήµατος
σκέδασης
µε
συνοριακή
συνθήκη
Dirichlet
περιείχε εκτεταµένα αριθµητικά τεστ [23,16] .
Οι Colton και Piana εφάρµοσαν την Γραµµική ∆ειγµατοληπτική
µέθοδο σε ανακατασκευές για ηλεκτροµαγνητικούς σκεδαστές για
την περίπτωση των εγκάρσια ηλεκτρικών πολωµένων κυµάτων ,
καθώς
και
για
την
επίλυση
του
τρισδιάστατου
ηλεκτροµαγνητικού προβλήµατος σκέδασης [21,17] .
Χρησιµοποιήθηκε , επιπλέον , στην περίπτωση ανακατασκευής για
ένα
µερικώς
επικαλυµµένο
αντικείµενο/εµπόδιο , το οποίο
περιγράφεται από µια συνοριακή συνθήκη εµπέδησης σε κάποια
σηµεία του σκεδαστή και µια συνοριακή συνθήκη Dirichlet σε
άλλα σηµεία του σκεδαστή και για ανακατασκευές για ένα
αντίστροφο ελαστικό πρόβληµα σκέδασης στις δύο διαστάσεις
[12] .
60
Προσφάτως , οι Cakoni και Colton επεκτείναν την Γραµµική
∆ειγµατοληπτική µέθοδο στη σκέδαση από δισδιάστατες ηχητικές
µαλακές ακουστικές ρωγµές και ερεύνησαν την εφαρµογή τους
σε τέλεια αγώγιµες ηλεκτροµαγνητικές µεµβράνες [9,11] .
61
8 . ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΕ∆ΙΟΥ ΤΙΜΩΝ
ΚΑΙ
ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ RIEMANN
(Range Test – RT)
Η µέθοδος Ιδιόµορφων Πηγών , η Γραµµική ∆ειγµατοληπτική
µέθοδος και η µέθοδος Παραγοντοποίησης απαιτούν τη γνώση
του τελεστή πλάτους σκέδασης ή εναλλακτικά απαιτούν τη
µέτρηση του σκεδασµένου πεδίου για µεγάλο αριθµό διεγέρσεων.
Στις εφαρµογές όµως , τόσο µεγάλο αριθµό δεδοµένων συνήθως
δεν έχουµε διαθέσιµο , έτσι βασικό ερώτηµα για τα αντίστροφα
προβλήµατα είναι ποιές ιδιότητες των σκεδαστών µπορούµε να
ανακατασκευάσουµε αν έχουµε µετρήσεις για µία ή πολύ λίγες
διεγέρσεις .
Βέβαια , από τη µέτρηση ενός µόνο σκεδασµένου πεδίου δεν
µπορούµε να απαιτήσουµε να ανακατασκευάσουµε όλες τις
ιδιότητες ενός σκεδαστή εφόσον δεν έχουµε priori γνώσεις .
Π.χ. Αν δεν ξέρουµε τη συνοριακή συνθήκη ενός µη διαπερατού
σκεδαστή , γενικά δεν µπορούµε να την προσδιορίσουµε
µοναδικά από τον σκεδαστή για µια διέγερση .
Θεωρούµε το πρόβληµα Ι και έστω κάποιο σηµείο χ є Rm \ D
όπου u(x) ≠ 0 . Τότε σε µια περιοχή του χ , Βρ (χ) , έχουµε
u(x) ≠ 0 και για κάθε χωρίο D′ ⊂ Βρ (χ) µε επαρκώς λείο
σύνορο , µπορεί να ορίσουµε ως
λ := i
∂ u −1
u
∂n
εµπέδηση .
Τότε , το χωρίο D ∪ D′ δηµιουργεί επίσης το σκεδασµένο πεδίο
usc όταν δίνεται η διέγερση uinc . ∆ηλαδή , το αντίστροφο
πρόβληµα για ανακατασκευή του D δεν είναι µοναδικά
επιλύσιµο !
Στο παράδειγµα αυτό , το usc είναι αναλυτικό σ’ ολόκληρο τον
φορέα του αόρατου σκεδαστή D′ . Ωστόσο , αν το usc δεν είναι
αναλυτικό στον D′ τότε το πεδίο δεν µπορεί να παραχθεί από
κάποιο σκεδαστή που δεν έχει τοµή µε το D′ .
Η ιδέα του Κριτηρίου µη-απόκρισης (no-response Test) , του
Κριτηρίου Πεδίου Τιµών (Range Test) και της µεθόδου
Εγκλεισµού (Enclosure Method) είναι η εξέταση ως προς την
αναλυτική συνέχεια κάποιων σκεδασµένων πεδίων . Για µία
διέγερση οι µέθοδοι αυτές δεν παρέχουν ανακατασκευές
62
ολόκληρων
των
σκεδαστών
αλλά
ανακατασκευάζουν
επιφάνεια Riemann της µετρήσιµης συνάρτησης ω .
την
§ 1 . ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΕ∆ΙΟΥ ΤΙΜΩΝ
ΜΕ ΕΝΑ ΚΥΜΑ (One-wave RT)
Για να κατανοήσουµε την κεντρική ιδέα του Κριτηρίου Πεδίου
Τιµών µε ένα κύµα , θεωρούµε το πρόβληµα Ι και µια περιοχή
G τέτοια ώστε το οµογενές εσωτερικό πρόβληµα Dirichlet για το
G έχει µόνο την τετριµµένη λύση . Έστω το ∆υναµικό Απλού
Στρώµατος
(SGφ)( x ) =
∫
∂G
Φ(x , y ) φ( y )ds( y )
, x ∈ R3
(8.1.1)
Το πλάτος σκέδασής του δίνεται απ’ τον τύπο :
( SG∞ φ)( xˆ ) = γ ∫ e− ik xˆ ⋅y φ( y )ds( y )
∂G
(8.1.2)
όπου γ (έχει ορισθεί στην (4.3.2’ ) ) .
Εάν το σκεδασµένο πεδίο usc µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά
στον R3 \ G , τότε µπορεί να αναπαρασταθεί απ’ το δυναµικό
απλού στρώµατος SGφ µε κάποια πυκνότητα φ є L2 ( ∂G ) . Αυτό
είναι ισοδύναµο µε την επιλυσιµότητα της ολοκληρωτικής
εξίσωσης µακρινού πεδίου
SG∞ φ = u ∞
(8.1.3)
όπου u ∞ το πλάτος σκέδασης του πεδίου usc .
Εάν το πεδίο δεν µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά
R3 \ G , τότε η εξίσωση µακρινού πεδίου δεν έχει λύση .
στον
63
Συνεπώς , µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την επιλυσιµότητα της
εξίσωσης µακρινού πεδίου για να εξετάσουµε την αναλυτική
επέκταση .
Για να εξετάσουµε , τώρα , την επιλυσιµότητα µπορούµε να
χρησιµοποιήσουµε την νόρµα της λύσης Tikhonov
φα := (αΙ + SG∞ ,∗ SG∞ ) −1 SG∞ u ∞
, α> 0
(8.1.4)
Αν η (8.1.3) έχει λύση , τότε η νόρµα ║φα║
της λύσης
L2 (∂G)
Tikhonov θα είναι φραγµένη καθώς
στη νόρµα της πραγµατικής λύσης .
α → 0 και θα συγκλίνει
Αν η (8.1.3) δεν έχει λύση , τότε για α → 0 η νόρµα ║φα║
L2 (∂G)
τείνει στο άπειρο .
§ 2 . ΦΟΡΕΑΣ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ
Έστω u ∞ το πλάτος σκέδασης του σκεδασµένου πεδίου usc ,
ορισµένο στο εξωτερικό µιας σφαίρας ΒR , R>0 . Το σκεδασµένο
πεδίο είναι µια πραγµατική αναλυτική συνάρτηση στο Rm \ BR
εφ’ όσον ικανοποιεί την εξίσωση Helmholtz και έτσι µπορεί να
είναι αναλυτικά επεκτάσιµη σε µεγαλύτερα (πιθανόν) µη-φραγµένα
συνεκτικά ανοιχτά σύνολα . Επειδή αυτή η συνέχεια είναι
πραγµατικά αναλυτική (real analytic) , η επέκταση του usc είναι
λύση της εξίσωσης Helmholtz , οπουδήποτε αυτή ορίζεται .
Λέµε ότι µια περιοχή δοκιµής Ω «στηρίζει» (supports) το u ∞ , αν
το u ∞ µπορεί να επεκταθεί ώστε
Helmholtz χωρίς πηγή στο Rn \ Ω .
να
λύνει
την
εξίσωση
ΛΗΜΜΑ : Αν Ω1 και Ω2 είναι κυρτά σύνολα τα οποία στηρίζουν
το ίδιο πλάτος σκέδασης u ∞ , τότε και η τοµή Ω1 ∩ Ω 2 στηρίζει
το u ∞ .
64
ΟΡΙΣΜΟΣ : Καλούµε την τοµή όλων των κυρτών συνόλων Ω τα
οποία στηρίζουν το u ∞ Κυρτό Φορέα Σκέδασης του u ∞ ή
cSksupp u ∞ .
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ :
(1) Αν u ∞ ≠ 0 τότε ο cSksupp u ∞ δεν είναι κενός .
(2) Έστω u ∞ το πλάτος σκέδασης που παράγεται
από έναν σκεδαστή µε κυρτή θήκη Ω όταν
«φωτισθεί» από ένα προσπίπτον πεδίο uinc . Τότε
ισχύει cSksupp u ∞ ⊂ Ω .
(3) Ο κυρτός φορέας σκέδασης cSksupp u ∞ περιέχει
όλες τις ιδιοµορφίες του σκεδασµένου πεδίου στη
θήκη
της
µη-φραγµένης
συνιστώσας
του
συµπληρώµατος της κυρτής θήκης του φορέα του
σκεδαστή . Συγκεκριµένα , περιλαµβάνει όλες τις
γωνίες
των
ηχητικά
µαλακών
ή
σκληρών
σκεδαστών που βρίσκονται στο σύνορο της
κυρτής θήκης του φορέα του σκεδαστή .
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 8.1 (Range Test) :
Το Κριτήριο Πεδιου Τιµών υπολογίζει µια εκτίµηση για τον
κυρτό φορέα σκέδασης cSksupp u ∞ κάποιου πλάτους σκέδασης
u ∞ , µε τα παρακάτω βήµατα :
(1) Επίλεξε ένα σύνολο κυρτών περιοχών εξέτασης
Ν := { Gj : j∈ J }
µε σύνορο κλάσης C2 τέτοιο ώστε το οµογενές εσωτερικό
πρόβληµα Dirichlet για τα Gj , j∈ J έχει µόνο την τετριµµένη
λύση . Εδώ , J είναι ένα σύνολο δεικτών , το οποίο
αριθµητικούς λόγους χρειάζεται να είναι πεπερασµένο .
για
(2) ∆ιάλεξε α , c > 0 παραµέτρους κανονικοποίησης
(3) Για κάθε Gj∈ Ν , j ∈ J , υπολόγισε τα :
∞ .*
µ(α , Gj) := (αΙ + S
S∞ ) −1 S∞ ,* u ∞
L2 ( ∂G j )
(8.1.5)
65
(4) Υπολόγισε µια εκτίµηση Μα,c για τον cSksupp u ∞ από το :
Μα,c :=
∩
µ ( α ,G j )< c
Gj
(8.1.6)
§ 3 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Στην παράγραφο αυτή , θα δείξουµε αριθµητικά παραδείγµατα
χρησιµοποιώντας το Κριτήριο Πεδίου Τιµών για να καθορίσουµε
τον φορέα των αντικειµένων (σκεδαστών) . Περιγράφουµε
µια
αποτελεσµατική εφαρµογή της µεθόδου και των περιοχών
δοκιµής , καθώς επίσης το πώς διαλέγουµε την παράµετρο
αποκοπής (cut – off
parameter) c
για
ανακατασκευές . Ο
παρακάτω αλγόριθµος είναι η πραγµατοποίηση της µεθόδου
δεδοµένων των παρακάτω ισχυρισµών :
Πρώτον , παρατηρούµε ότι δεν
τοµή G := G1 ∩ G2 δύο περιοχών
G1 , G2 και είναι θετικά (δηλαδή
µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά
χρειάζεται να εξετάσουµε την
δοκιµής , αν έχουν εξεταστεί τα
µ(G1) < c , µ(G2) < c) . Αν το usc
στο Rm \ G1 και στο Rm \ G 2 ,
τότε µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στο Rm \ (G1 ∩ G 2 ) .Έτσι , η
εξέταση για την G1 ∩ G 2 θα είναι θετική επίσης .
∆εύτερον , αν γνωρίζουµε κάποια σύνολα τα οποία βρίσκονται
στο εξωτερικό του σκεδασµένου φορέα , τότε και η ένωση αυτών
των συνόλων θα είναι στο εξωτερικό του σκεδασµένου φορέα . Αν
το συµπλήρωµα Μ αυτής της ένωσης είναι µια αποµονωµένη
περιοχή στον Rm τότε το usc µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά
στο Μc και το Κριτήριο Πεδίου Τιµών για το Μ θα δώσει
Θετικό αποτέλεσµα , δηλαδή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το
Μ ως ένα άνω φράγµα του σκεδασµένου φορέα . Έτσι ,
παίρνοντας τοµές περιοχών G(z) ή (όπως γίνεται εδώ) ενώσεις των
υποχώρων του συµπληρώµατος του σκεδασµένου φορέα ,
κατασκευάζουµε ειδικά σύνολα Μ = Μα,c .
Αρχικά , περιγράφουµε λεπτοµέρειες της ειδικής εφαρµογής του
Κριτηρίου Πεδιου Τιµών όπως ορίσαµε στο 8.1 :
(1) Επιλέγουµε κάποιο ορθογώνιο πλέγµα δοκιµής G (sampling
grid) το οποίο καλύπτει τον άγνωστο σκεδαστή . Για κάθε
σηµείο z ∈ G , κατασκευάζουµε µια περιοχή δοκιµής από
κάποια περιοχή αναφοράς G0 µε :
66
G0 := G0 + z , z∈ G
(8.2.1)
όπου το G0 επιλέχθηκε σύµφωνα µε τις συνθήκες του 8.1 (1)
και τέτοιο ώστε 0 ∈ ∂G 0 .
∆ιαλέγοντας περιοχές δοκιµής οι οποίες προέρχονται από
µεταφορά µιας ορισµένης περιοχής (fixed domain) , παίρνουµε
ένα γρήγορο τρόπο για να υπολογίσουµε τη λύση των
αντίστοιχων ολοκληρωτικών εξισώσεων .
Γι’ αυτό , παρατηρούµε ότι :
(S∞ [Gz]φ)( xˆ ) =
∫
∂G z
eik xˆ y φ(y)ds(y) =
= eik xˆ z ∫
∂G 0
=e
ik xˆ z
eik xˆ y φ΄(y)ds(y) =
∞
( S∞ [G0]φ)( xˆ )
(8.2.2)
όπου φ΄(y) := φ(y+z) για y ∈ ∂G 0
Χρησιµοποιώντας την (8.2.2) , µπορούµε να υπολογίσουµε
ˆ
(αΙ + S∞z ,*S∞z ) −1 S∞z ,*u ∞ = (αΙ + S∞z ,*S∞z ) −1 S∞z ,* (eik xˆ z u ∞ (x))
(8.2.3)
EIKONA 7
Παρουσίαση µιας εικόνας Ιl για µια περιστροφή όπως περιγράφεται στο βήµα (3) , όπου η
περιοχή δοκιµής G0 είναι ένας κύκλος ακτίνας r=4 και κέντρου (0,4) . Η εικόνα δείχνει το
αποτέλεσµα για έναν ηχητικά µαλακό σκεδαστή Ω που δηλώνεται µε τη µαύρη καµπύλη . Τα
σηµεία z , τέτοια ώστε Ω ⊂ Gz, µπορούν να βρεθούν ευκρινώς από τη σκούρα µπλε περιοχή .
Αυτή η περιοχή είναι µέρος του εξωτερικού του άγνωστου σκεδαστή , όπου η ειδική µορφή της
περιοχής αυτής είναι συνέπεια της µορφής της περιοχής δοκιµής G(z) . Δείχνουµε τρεις
διαφορετικές εκδοχές της G(z). Για την περιστροφή που φαίνεται , το z είναι το κατώτατο
σηµείο στον κύκλο ο οποίος είναι το σύνορο της G(z) . Όσο Ω ⊂ G(z) , παίρνουµε σκούρες
µπλε (=µικρές) τιµές , αλλιώς κόκκινες (=µεγάλες) τιµές .
67
∆ηλαδή για κάθε περιοχή αναφοράς G0 , χρειάζεται να
λύσουµε µόνο µία εξίσωση µε διαφορετικά δεξιά µέρη , που
δίνονται από :
ˆ , xˆ ∈ Sm-1
(eik xˆ z u ∞ (x))
(8.2.4)
(2) Επιλέγουµε την παράµετρο κανονικοποίησης α εµπειρικά . Για
τα δικά µας παραδείγµατα , εργαζόµαστε µε α = 10-9 . Η
σταθερά c καθορίζεται χρησιµοποιώντας τον τελεστή µακρινού
∞
πεδίου u 0 για κάποια γνωστή περιοχή αναφοράς Ω0
∞
c := R α u 0∞
L2 ( ∂G z ′ )
(8.2.5)
όπου
R α := (αΙ + S∞ ,*S∞ ) −1 S∞ ,* για την περιοχή G z′ µε z′ ένα
σηµείο στο ∂Ω 0
Όλες οι εικόνες έχουν κανονικοποιηθεί πολλαπλασιάζοντας µε
1/c .
(3) Για κάθε περιοχή Gz , υπολογίζουµε τα µ(α,Gz) (βλ. 8.1.5)
Για τη δική µας απλή επιλογή περιοχών , οι εικόνες έχουν
παραχθεί ως εξής :
Επιλέγουµε το G0 να είναι ένας κύκλος ή µια έλλειψη ,
αντίστοιχα . Αυτές οι περιοχές είναι κατάλληλες µόνο για να
ανακατασκευάσουν την κυρτή θήκη των σκεδαστών , αλλά
είναι επαρκείς για να δείξουν ότι η µέθοδος είναι
λειτουργική .
Οι τιµές µ(α,Gz) χαράσσονται πάνω στο πλέγµα G µε
z → µ(α,Gz) , (όπως φαίνεται στην εικόνα 1) .
Βασικά , αυτή η εικόνα θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για
να βρεθεί ο σκεδαστής , παίρνοντας την τοµή όλων των
περιοχών Gz όπου z ανήκει στη σκούρα µπλέ περιοχή .
Ειδάλλως , επαναλαµβάνουµε τους παραπάνω υπολογισµούς µε
για l = 1,…,L της
αρκετές καινούργιες περιστροφές G (l)
0
περιοχής G0 γύρω από το µηδέν .
Για κάθε περιστροφή µια εικόνα παράγεται µε
Ιl := { min (µ(α,Gz) , c) : z ∈ G }
(8.2.6)
Βλ. εικόνα 1 , όπου η περιοχή δοκιµής G0 τοποθετείται στον
άνω ηµίχωρο .
Θα χρησιµοποιήσουµε ένα απλό τρικ για να πάρουµε αυτή
τη τοµή χρησιµοποιώντας τις άλλες εικόνες Ιl , l =1,…,L . Η
βασική ιδέα του τρικ έχει ως εξής :
Αντί να πάρουµε τη τοµή αυτών των περιοχών Gz όπου
µ(G(z)) < C , µπορούµε να πάρουµε την ένωση των
68
συµπληρωµάτων τους . Η σκούρα µπλέ περιοχή στην εικόνα
1 είναι ένας υπόχωρος αυτού του συµπληρώµατος . Έτσι ,
έχουµε µια µικρότερη εκτίµηση για το συµπλήρωµα του
άγνωστου σκεδαστή παίρνοντας την ένωση των σκούρων µπλέ
περιοχών που προκύπτουν όταν περιστρέφουµε την περιοχή
προσέγγισης . Αυτό αντιστοιχεί στο να πάρουµε το ελάχιστο
των περιοχών υπό εξέταση .
(4) Κάνουµε την πράξη (8.1.6) παίρνοντας το ελάχιστο όλων των
εικόνων Ιl , l = 1,…,L , όπου οι γωνίες περιστροφής (rotation
angles) βl επιλέγονται ως :
βl :=
2π(l − 1)
, l = 1,…,L
L
Παραδείγµατα για Ι := min { Il : l = 1,…,L}
δίνονται στις ΕΙΚΟΝΕΣ 8 και 9 .
Τέλος , κάποιες µικρές τροποποιήσεις του
παρέχουν καλύτερη σύγκριση .
Αντί του συναρτησοειδούς µ(α,G) ορίζουµε το
∞ ,* ∞ − p
∞ ,*
µ2(α,G) := (αΙ + S S ) S
u∞
L2 ( ∂G j )
(8.2.7)
(8.2.8)
Κριτηρίου
µας
(8.2.9)
για p ∈ Ν .
Για p=1 , συµπίπτει µε το µ(α,G)
Για p=2 , υπολογίζει τη νόρµα της παραγώγου
φα΄ :=
∂
φα
∂α
∞ ,∗
της φα := (αΙ + S
S∞ ) −1 S∞ ,* u ∞
Και για p µεγαλύτερο υπολογίζει την (p-1) – παράγωγο .
69
EIKONA 8
Ανακατασκευές ηχητικά µαλακών αντικειµένων (a) και (b), ηχητικά σκληρών αντικειµένων (c)
και (d) και «ενδιάµεσης σκληρότητας» σκεδαστών (e) και (f) (οι οδοντωτές καµπύλες
δηλώνουν τον φορέα του σκεδαστή) µε p=3 .
Χρησιµοποιούµε k=2 κυµατικός αριθµός, θ=1.8π άνοιγµα , α=10-9 παράµετρος κανονικοποίησης
για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση d=(-1,0) . Το πλάτος σκέδασης περιέχει σφάλµατα 12% .
70
EIKONA 9
Παρουσιάζουµε την εξάρτηση των ανακατασκευών από το µέγεθος της περιοχής
δειγµατοληψίας G0 και την παράµετρο αποκοπής c . Για τις δύο πρώτες εικόνες, επιλέγουµε
p=2 , c=1010 , L=12 , a=10-7 και θεωρούµε κύκλους ακτίνας r=4 για την (a) και r=6 για την (b)
. Οι ανακατασκευές γίνονται πιο λείες για µεγαλύτερα r αλλά δεν αλλάζουν σηµαντικά . Ωστόσο
, εάν αλλάξουµε την παράµετρο αποκοπής c από 1010 σε 109 για την (c) και 1011 για την (d) ,
αυτό αλλάζει το µέγεθος του αντικειµένου ανακατασκευής . Για c πολύ µικρό , το αντικείµενο
υπερεκτιµάται ενώ για c πολύ µεγάλο , υποεκτιµάται .
§ 4 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Στο ακουστικό πρόβληµα σκέδασης από έναν µη διαπερατό
σκεδαστή µε συνοριακή συνθήκη Dirichlet , Neumann ή
εµπέδησης και σκέδαση από ένα µη- οµογενές ακουστικό µέσο
[78,71] .
Πρόσφατα , το Κριτήριο Τιµών εφαρµόστηκε στην περίπτωση
πολλαπλών κυµάτων απ’ τους Schulz και Potthast και µπορεί
να δείξει ότι όλο το σχήµα του σκεδαστή µπορεί να
ανακατασκευαστεί [75] .
Τέλος , οι Sylvester και Potthast χρησιµοποίησαν το Κριτήριο
Πεδίου
Τιµών
για
µια
διαδικασία
διάσπασης
που
ανακατασκευάζει ξεχωριστά το σχήµα διαφορετικών συστατικών
ενός αντικειµένου το οποίο αποτελείται από διάφορα ξεχωριστά
κοµµάτια [77] .
71
9.
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΜΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ
(No - response Test – NRT)
Στο Κριτήριο µη απόκρισης εκµεταλλευόµαστε την τεχνική της
υπέρθεσης ώστε να εξετάσουµε την αναλυτική συνέχεια .
§ 1 . ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΜΗ – ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ
ΜΕ ΕΝΑ ΚΥΜΑ (One wave NRT)
Για µια εισαγωγή στην κεντρική ιδέα της δοκιµασίας µη
απόκρισης για το πρόβληµα Ι , ξεκινάµε από το πλάτος
σκέδασης u ∞ στην µορφή (4.3.2) και πολλαπλασιάζουµε µε g є
L2 (S2) και ολοκληρώνουµε στην S2 , οπότε προκύπτει :
Ι(g) :=
∫
S2
ˆ ˆ
ˆ =
u ∞ (− x)g(x)ds(x)
∂u sc
∂eik y ⋅d
ik y ⋅d
sc
= γ ∫ ∫ 2[
(y )e g(d) − u (y )
g(d)]ds(d)ds(y ) =
∂D S
∂n
∂n
∂u sc
∂v[g]
= γ ∫ (
v[g] − u sc
)ds
∂ D ∂n
∂n
(9.1.1)
όπου v[g] : κυµατική συνάρτηση Herglotz .
Η βασική ιδέα του Κριτηρίου µη απόκρισης είναι εύκολη :
Εάν η v[g] και οι παράγωγοί της είναι µικρές σε κάποια
δοκιµαστική περιοχή G και αν D ⊂ G , τότε η παραπάνω
δείκτρια συνάρτηση Ι(g) θα πρέπει να είναι µικρή (= µη
απόκριση) .
Γενικά , σύµφωνα µε την παραπάνω συνθήκη για την v[g] , δεν
θα είναι µικρή αν D ⊄ G
Έχει αποδειχθεί ότι ένα συναρτησοειδές είναι µικρό [73] , αν το
πεδίο usc µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στον R3 \ G . Αυτή η
ιδέα χρησιµοποιήθηκε απ’ τους Luke και Potthast [63] για την
κατασκευή µιας προσέγγισης ενός άγνωστου σκεδαστή D όταν
γνωρίζουµε το πλάτος σκέδασης ενός σκεδασµένου ακουστικού
κύµατος και η συνοριακή συνθήκη είναι άγνωστη .
72
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 9.1 (No – Response Test) :
•
∆ιάλεξε µια κατάλληλη περιοχή δοκιµής Ω0t (φραγµένη µε C2
σύνορο) µε
0 ∈ ∂Ω0t , η
οποία είναι
αρκετά µεγάλη
ώστε
οι
µεταφορές της Ω και οι περιστραµµένες εκδοχές , να περιέχουν
τον άγνωστο σκεδαστή .
0
t
ΕΙΚΟΝΑ 10
Ω 0t χρησιµοποιούνται στην προσοµοίωση
ανακατασκευών. Το αντικείµενο Ω στο (α) χρησιµοποιείται για Dirichlet , Neumann και
ανακατασκευές εµπέδησης . Ο σκεδαστής στο (b) χρησιµοποιείται για ανακατασκευές µηοµογενών µέσων .
Ο σκεδαστής
•
Ω και η περιοχή δοκιµής
Για τις γωνίες θl :=
2πl
0
µε l = 1,…,nr , έστω R θl Ω t η περιοχή
nr
που προκύπτει από το µηδέν µε γωνία θl . Για κάθε l=1,…,nr ,
κάνε τα παρακάτω :
Επίλεξε σήµεια yj , j = 1,…,ny , στο εσωτερικό της
R θl Ω0t και υπολόγισε την πυκνότητα gl,j από :
g l, j := (αΙ + Η *θl H θl ) −1 H*θl Φ (. , y j )
όπου H θl : κυµατική συνάρτηση Herglotz
73
( (H z g)( x) :=
που
∫e
ˆ
ik x ( − y)
Γ
αντιστοιχεί
ˆ
ˆ , x ∈ ∂Ω0t (z ) )
g(− y)ds(y)
στην
περιστραµµένη
περιοχή
R θl Ω .
0
t
Για κάθε j = 1,…,ny , υπολόγισε :
f j (z ; R θl Ω0t ) :=
∫
Γ
ˆ − x)e
ˆ ik z yˆ g l, j (− y)ds(y)
ˆ
ˆ
u ∞ (y,
για όλα τα z∈ G , το υπολογιστικό πλέγµα
(computational grid) από το πλάτος σκέδασης ενός
ˆ , yˆ ∈ Γ , Γ : ανοιχτός υπόχωρος της
κύµατος u ∞ (yˆ , − x)
S2 .
Υπολόγισε
το
maximum
πυκνότητες gl,j . ∆ηλαδή
σε
σχέση
µε
τις
µε
τις
f * (z ;R θl Ω0t ) := max f j (z ;R θl Ω0t ) , z ∈ G
j=1,...,n y
Υπολόγισε
το
minimum
περιστροφές θl . ∆ηλαδή
σε
σχέση
F(z ; Ω0t ) := min f * (R θl Ω0t ) , z ∈ G
l =1,...,n r
Επίλεξε ένα “κατώφλι„ C και υπολόγισε
Ω rec := { z ∈ G : F(z ; Ω0t ) ≥ C }
Τώρα , µια προσέγγιση για τον φορέα Ω του
άγνωστου σκεδαστή δίνεται απ’ τα στοιχεία του Ω rec
που δεν συνδέονται µε το άπειρο .
Όλες οι παραπάνω αριθµητικές διαδικασίες ανακατασκευής
βασίζονται στον ίδιο αλγόριθµο ανεξαρτήτως της συνοριακής
συνθήκης ή της φύσης του σκεδαστή . Όλες οι ανακατασκευές
χρησιµοποιούν τα δεδοµένα του µακρινού πεδίου για ένα
κύµα µόνο .
∆είχνουµε αποτελέσµατα για πλήρες και περιορισµένο άνοιγµα.
Για
να
συγκρίνουµε
διαφορετικές
ανακατασκευές
για
αντικείµενα
µε
διαφορετικές
συνοριακές
συνθήκες ,
74
χρησιµοποιήσαµε το πλάτος σκέδασης
διεύθυνση πρόσπτωσης (-1 , 0) .
Στις εικόνες
άνοιγµα και
αποκοπής .
ενός
κύµατος
µε
11 – 16 , δείχνουµε αποτελέσµατα για πλήρη
παρουσιάζουµε την επίδραση της παραµέτρου
EIKONA 11
(α) Αρχικό ολικό πεδίο για σκέδαση από αντικείµενο Dirichlet
(b) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
θ∈[0,2 π ]
*
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
(c) «Κατώφλι» της συνάρτησης F µε C=1.4 (βλ. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 9.1)
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=1.8π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης
περιέχει σφάλµατα 1-2% .
75
EIKONA 12
(α) Αρχικό ολικό πεδίο για σκέδαση από ένα αντικείµενο εµπέδησης µε λ=I .
(b) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
θ∈[0,2 π ]
*
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=1.8π , παράµετρο κανονικοποίησης
α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης περιέχει σφάλµατα 12% .
76
EIKONA 13
Διαφορετικές εκδοχές για το «Κατώφλι» ανακατασκευής για να δείξουµε την επιρροή της
παραµέτρου αποκοπής C . Ο κυµατικός αριθµός είναι k=5 , το άνοιγµα θ=1.8π , η παράµετρος
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) : δηλαδή το προσπίπτον
κύµα έρχεται απ’ την δεξιά µεριά . Το πλάτος σκέδασης περιέχει σφάλµατα 1-2% .
EIKONA 14
(α)-(b) Αρχικό ολικό πεδίο για σκέδαση από ένα αντικείµενο µε συνοριακή συνθήκη Neumann .
Δείχνουµε ένα διάγραµµα και ένα διάγραµµα περιγράµµατος του πεδίου .
(c) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
θ∈[0,2 π ]
*
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
(d) Ένα «Κατώφλι» ανακατασκευής C=2.0 .
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=1.8π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος
σκέδασης περιέχει σφάλµατα 1-2% .
77
EIKONA 15
(α) Αρχικό ολικό πεδίο για σκέδαση από ένα οµογενές διαπερατό µέσο µε n=4 στο Ω , όπου η
ανοµοιογένεια φαίνεται στην ΕΙΚΟΝΑ 1 .
(b) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
θ∈[0,2 π ]
*
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=1.8π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης
περιέχει σφάλµατα 1-2% .
EIKONA 16
(a)-(d) Δείχνουµε διαφορετικές εκδοχές για το «Κατώφλι» ανακατασκευής της συνάρτησης F
ενός µη-οµογενούς µέσου , όπου χρησιµοποιούµε C=0.1 , 0.06 , 0.06 , 0.045 .
78
Στις εικόνες 17 – 20 , περιορίζουµε τις µετρήσεις µας σε
περιορισµένο άνοιγµα . Εδώ , θέλουµε να δείξουµε ότι ακόµα
και µε περιορισµένο άνοιγµα , η µέθοδος δίνει λογικά
αποτελέσµατα .
EIKONA 17
Περιορισµένου ανοίγµατος ανακατασκευή για ένα αντικείµενο Dirichlet .
(a) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω t ) :=
0
inf f
*
θ∈[0,2 π ]
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
(b) «Κατώφλι» της συνάρτησης F
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=0.6π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης
περιέχει σφάλµατα 1-2% .
EIKONA 18
Περιορισµένου ανοίγµατος ανακατασκευή για ένα αντικείµενο Neumann .
(a) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
θ∈[0,2 π ]
*
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
(b) «Κατώφλι» της συνάρτησης F
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=0.6π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης
περιέχει σφάλµατα 1-2% .
79
EIKONA 19
Περιορισµένου ανοίγµατος ανακατασκευή για ένα αντικείµενο εµπέδησης µε λ=i .
(α) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
*
θ∈[0,2 π ]
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
(b) «Κατώφλι» της συνάρτησης F .
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=0.6π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης
περιέχει σφάλµατα 1-2% .
EIKONA 20
Περιορισµένου ανοίγµατος ανακατασκευή ενός µη-οµογενούς µέσου .
(α) Ένα διάγραµµα της συνάρτησης F(z) όπου F(z; Ω0t ) :=
inf f
θ∈[0,2 π ]
*
(z; R θ Ω 0t ) , για z ∈ G :
υπολογιστικό πλέγµα .
(b) «Κατώφλι» της συνάρτησης F
Εδώ χρησιµοποιούµε τον κυµατικό αριθµό k=5 , άνοιγµα θ=0.6π , παράµετρο
κανονικοποίησης α=10-11 για ένα προσπίπτον κύµα µε διεύθυνση (-1,0) . Το πλάτος σκέδασης
περιέχει σφάλµατα 1-2% .
Το Κριτήριο µη – Απόκρισης είναι µια νέα δειγµατοληπτική
µέθοδος για ανακατασκευή του φορέα του άγνωστου σκεδαστή .
Η µέθοδος αυτή δεν απαιτεί a priori – γνώση σχετικά µε τις
φυσικές ή γεωµετρικές ιδιότητες του άγνωστου αντικειµένου . Οι
ανακατασκευές µπορεί να προκύψουν απ’ το πλάτος σκέδασης
80
για σκέδαση από ένα απλό προσπίπτον κύµα. Φαίνεται να
είναι µια εύρωστη µέθοδος και µπορεί να χρησιµοποιηθεί και
σε πλαίσιο περιορισµένου ανοίγµατος .
§ 2 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Το κριτήριο µη απόκρισης χρησιµοποιήθηκε απ’ τους Luke και
Potthast στο ακουστικό πρόβληµα σκέδασης µε συνοριακές
συνθήκες Dirichlet ή Neumann , στο πρόβληµα ανακατασκευής
σχήµατος για ένα µη-οµογενές ακουστικό µέσο και στο
αντίστροφο ηλεκτροµαγνητικό πρόβληµα σκέδασης [63] .
Εφαρµόστηκε , ακόµα , στην
µαγνητική
τοµογραφία
όπου
περιοχές
έντονης
αγωγιµότητας
µέσα
σε
κάποιο
αγωγό
ανακατασκευάζονται από συνοριακές µετρήσεις των µαγνητικών
και ηλεκτρικών πεδίων . Για παράδειγµα , η µέθοδος µπορεί να
εφαρµοστεί για την ανίχνευση κακοτεχνιών σε στοιχεία καυσίµων
(artefacts in fuel cells) [58] .
81
10 . ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΚΑΙ
ΤΑΛΑΝΤΕΥΟΜΕΝΕΣ – ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(Enclosure Method - EM)
Χρησιµοποιήθηκε πρώτα απ’ τον Ikehata [38] , ο οποίος ανέπτυξε
τη
διερευνητική
ιδέα
χρησιµοποιώντας
συγκεκριµένες
ταλαντευόµενες – φθίνουσες συναρτήσεις και το 2ο Θεώρηµα
Green , για να κατασκευάσει µια απόκριση δοθέντων Cauchy
δεδοµένων σε κάποια επιφάνεια ∂Ω . Στη συνέχεια , τη θεωρούµε
σαν µια µέθοδο που εξετάζει την αναλυτική επεκτασιµότητα του
σκεδασµένου πεδίου , χρησιµοποιώντας ταλαντευόµενες – φθίνουσες
λύσεις . Μ’ αυτή την έννοια η µέθοδος Εγκλεισµού συνδέεται
άµεσα µε το Κριτήριο Πεδίου Τιµών και το Κριτήριο µη
απόκρισης .
Πιο γενικά , η µέθοδος Εγκλεισµού αναπτύχθηκε τόσο για την
περίπτωση που µας δίνεται ένα ζεύγος δεδοµένων Cauchy όσο
και για την περίπτωση που γνωρίζουµε πλήρως ή µερικώς τον
τελεστή Dirichlet-σε-Neumann .
Η κεντρική ιδέα έχει ως εξής :
Από το πλάτος σκέδασης u ∞ κατασκευάζουµε κάποιο τοπικό
µετασχηµατισµό Fourier του σκεδασµένου πεδίου usc στο σύνορο
∂G κάποιας ειδικής περιοχής δοκιµής G .
Αν το usc µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στον R3 \ G , τότε ο
µετασχηµατισµός
Fourier
έχει
συγκεκριµένη
φθίνουσα
συµπεριφορά .
Αν το usc δεν µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά , τότε η φθίνουσα
συµπεριφορά θα είναι διαφορετική .
Ο τοπικός µετασχηµατισµός Fourier κατασκευάζεται µέσω
ταλαντευόµενων – φθίνουσων συναρτήσεων .
§ 1 . ΤΑΛΑΝΤΕΥΟΜΕΝΕΣ – ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ
ΛΥΣΕΙΣ
Οι ταλαντευόµενες – φθίνουσες συναρτήσεις είναι
εργαλείο για ένα µεγάλο µέρος διαφορετικών
προβληµάτων .
ένα γνωστό
αντίστροφων
82
Ο Ikehata για την εξίσωση Laplace
χρησιµοποίησε
συνάρτηση για ανακατασκευή σχήµατος στη µορφή :
vτ,ω ( x ) := e
τx ⋅(ω + iω ⊥ )
τη
, x ∈ R2
µε ω є S2 ⊂ R2 και ω ⊥ : ορθογώνιο διάνυσµα του ω , ώστε να
εισάγει τη µέθοδο εγκλεισµού του .
Για την εξίσωση Helmholtz στον R2 , θα χρησιµοποιήσουµε τη
συνάρτηση :
vτ,ω,t( x ) := e
τ2 − k 2 ( x⋅ω − t)
eiτx⋅ω
⊥
,
(10.1.1)
x ∈ R2 , για τ > k και t ∈ R
ΕΙΚΟΝΑ 21
Διάγραµµα επιφανείας της συνάρτησης (10.1.1) για k=2 , t=0 , τ=3 (αριστερά) και τ=10 (δεξιά) . Η
συνάρτηση ταλαντώνεται κατά µήκος της διεύθυνσης x1 και αντίστοιχα µειώνεται ή αυξάνεται
εκθετικά , κατά µήκος της διεύθυνσης x2 .
Η ταλαντευόµενη – φθίνουσα συνάρτηση έχει δύο σηµαντικές
ιδιότητες . Ως προς την κατεύθυνση ω , µειώνεται ή αυξάνεται
εκθετικά , αντίστοιχα , και ως προς την κατεύθυνση
ω⊥
ταλαντώνεται .
Έστω µια περιοχή Ω , ένα αντικείµενο D και µια λύση usc της
εξίσωσης Helmholtz στο Ω \ D τέτοια ώστε
D ⊂ H(t, ω) µε H(t, ω) := {x : x ⋅ ω < t}
(10.1.2)
83
τότε µπορεί να χρησιµοποιήσουµε το 2ο Θεώρηµα Green
∫
∂D
(ω
∂ ω ∂ω
∂ω ∂ω
−
ω)ds = ∫ (ω
ω)ds
−
∂Ω
∂ n ∂n
∂n ∂ n
(10.1.3)
στο Ω \ Η(t,ω) ώστε να πάρουµε :
∂v τ,ω ,t sc
∂u sc
∫∂Η (t,ω )∩Ω{ ∂n vτ,ω,t − ∂n u }ds =
∂v
∂u sc
{
v τ,ω ,t − τ,ω ,t u sc }ds
= ∫
∂Ω \ Η (t,ω ) ∂n
∂n
(10.1.4)
Για το αριστερό µέρος αυτής της εξίσωσης , µπορούµε
υπολογίσουµε τη συνάρτηση v ώστε να πάρουµε :
∂u sc (y )
2
2
sc
iτ y ⋅ω ⊥
{
−
τ
−
k
u
(
y
)}e
ds(y )
∫∂Η (t,ω )∩Ω ∂n
Σύµφωνα
µε
τους
(10.1.4)
∂u
∂n
και
(10.1.5)
να
(10.1.5)
αν
γνωρίζουµε
τα
sc
δεδοµένα
Cauchy
usc ,
της
συνάρτησης
usc
στο
∂Ω ,
µπορούµε να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier (10.1.5) .
§ 2 . ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ FOURIER
ΣΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ
Ερευνούµε τη µέθοδο Εγκλεισµού όταν η δείκτρια συνάρτηση
υπολογίζεται µέσω του τύπου Green χρησιµοποιώντας µια
ταλαντευόµενη – φθίνουσα
λύση . Σκοπός
µας
είναι
να
διαµορφώσουµε µια νέα προσέγγιση για τη µέθοδο Εγκλεισµού
χρησιµοποιώντας την ανάλυση Fourier .
Εδώ , θα περιοριστούµε στο πρόβληµα Ι όπου και υποθέτουµε
ότι γνωρίζουµε τα δεδοµένα Cauchy για το πεδίο usc στο
σύνορο ∂Ω κάποιας περιοχής Ω µε D ⊂ Ω . Θεωρούµε την
ταλαντευόµενη – φθίνουσα συνάρτηση vτ,ω,t (βλ. (10.1.1) ) και τον
84
ανοιχτό υπόχωρο Η(t,ω) (βλ. (10.1.2) ) . ∆είξαµε στην (10.1.5)
πώς κάποιο συγκεκριµένο ολοκλήρωµα Fourier της συνάρτησης
usc µπορεί να υπολογιστεί στην τοµή του υποχώρου µε την
περιοχή Ω . Ωστόσο , η συµπεριφορά αυτού του ολοκληρώµατος
επηρεάζεται από τις τοµές στα άκρα όταν τ → ∞
Για να αποφύγουµε αυτό , τροποποιούµε την προσέγγιση (10.1.5)
ως εξής :
Ορίζουµε το :
∂v ( y )
∂u sc (y )
µ(τ, t, ω) := ∫ {
v τ,ω ,t (y ) − u sc (y ) τ,ω ,t }ds(y )
∂Ω
∂n
∂n
(10.2.1)
Θεωρούµε ένα σύνολο του αντικειµένου D στην περιοχή Ω ώστε
το usc να είναι αναλυτικό στην περιοχή του ∂Ω δηλαδή το D
έχει κάποια θετική απόσταση απ’ το ∂Ω .
ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν η συνάρτηση usc είναι αναλυτική στο Ω \Η(t,ω)
για t є R , ω є S2 , τότε η συνάρτηση µ(τ, t, ω)
φθίνει γρηγορότερα από κάθε άλλη δύναµη του τ
καθώς τ → ∞
Αν η συνάρτηση usc ή κάποια απ’ τις παραγώγους
της έχει ασυνέχεια σφάλµατος ή ιδιοµορφία στο
∂Η (t, ω ) , τότε η συνάρτηση µ(τ, t, ω) φθίνει το πολύ
πολυωνυµικά .
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ : Έστω Gs ⊂ Ω ένας χώρος µε σύνορο τάξης Cs
τέτοιο ώστε Gs ⊂ H(t,ω) και Γ := ∂G s ∩ ∂H(t, ω) είναι η κλειστή
θήκη ενός ανοιχτού συνόλου
85
ΕΙΚΟΝΑ 22
Η διάταξη (setting) της µεθόδου εγκλεισµού .
Υποθέτουµε ότι το Gs έχει επιλεχθεί ώστε το usc να είναι
αναλυτικό στο Ω \ G s και οι παράγωγοί του να είναι συνεχείς
πάνω στο ∂G s εκτός από ένα σύνολο µέτρου µηδέν το οποίο
είναι υπόχωρος του εσωτερικού του Γ .
Από 2ο Θεώρηµα Green , µετασχηµατίζουµε την (10.2.1) στην :
∂v ( y )
∂u sc (y )
µ(τ, t, ω) := ∫ {
v τ,ω ,t (y ) − u sc (y ) τ,ω ,t }ds(y ) =
∂Ω
∂n
∂n
∂v ( y )
∂u sc (y )
= ∫ {
v τ,ω ,t (y ) − u sc (y ) τ,ω ,t }ds(y )
∂G s
∂n
∂n
(10.2.2)
Για χάρη απλότητας , επιλέγουµε ένα ισοδύναµο σύστηµα
συντεταγµένων τέτοιο ώστε το ω να συµπίπτει µε τον 2ο ή 3ο
άξονα συντεταγµένων αντίστοιχα και t = 0 .
Για κάθε ε > 0 επαρκώς µοκρό , παρατηρούµε ότι µετά από
έναν κατάλληλο ισοδύναµο µετασχηµατισµό συντεταγµένων ,
∂G s \ ∂H(t − ε, ω) µπορεί να παραµετρικοποιηθεί από κάποια
συνάρτηση f :M → R
µε Μ : υπόχωρος του ∂Η (t, ω) της µορφής :
∂G s \ ∂H(t − ε, ω) = { (ξ , f(ξ)) : ξ∈ Μ}
86
όπου θα χρησιµοποιήσουµε χ(ξ) := (ξ , f(ξ)) για ξ є Μ
ανάλογο ορισµό για το y(ξ) .
Τότε η κανονική παράγωγος µπορεί να υπολογιστεί .
και
Για τη δισδιάστατη περίπτωση , έχουµε :
 − f (ξ) 
n(ξ ) = 

 1 
1
1 + f ′(ξ )
, ξ∈Μ
2
Η κάθετη παράγωγος του vτ,ω,t ( x(ξ) ) =
δίνεται από :
∂v τ,ω ,t (x(ξ))
τ2 − k 2 − iτf ′(ξ )
=
e
2
∂n(x)
1 + f ′(ξ )
τ2 − k 2 f ( ξ )
e
τ2 − k 2 f ( ξ ) iτξ
e
eiτξ
Το ολοκλήρωµα (10.2.2) πάνω στο ∂G s \ ∂H(t − ε, ω) γίνεται :
∫
b
a
{∂ 2 u sc (y(ξ)) − ∂1u sc (y(ξ))f ′(ξ ) −
− u sc (y(ξ))( τ2 − k 2 − iτf ′(ξ ))}
τ2 − k 2 f ( ξ ) iτξ
e
e
1 + f ′(ξ )
2
dξ
(10.2.3)
µε a , b : πραγµατικές παράµετροι .
Το ολοκλήρωµα πάνω στο ∂G s ∩ ∂H(t − ε, ω) είναι τάξης Ο(e-τ)
καθώς το τ → ∞ , εφόσον στο εσωτερικό του Η(t,ω) η συνάρτηση
v µειώνεται εκθετικά όταν τ → ∞
Χρειάζεται τώρα , να εξετάσουµε
(10.2.3) . Ονοµάζουµε :
τη
συµπεριφορά
του
όρου
87
φ(ξ) := {∂ 2 u sc (y(ξ)) − ∂1u sc (y(ξ))f ′(ξ ) −
− u sc (y(ξ))( τ2 − k 2 − iτf ′(ξ ))}
Για κάποιο s΄ є Ν , έστω
τέτοια ώστε
χ
1
1 + f ′(ξ )
2
: R → R µια συνάρτηση στον Cs΄(R)
 χ (ξ) = 1 ,αν f (ξ) ≥ −ε
2

 χ (ξ) = 0 ,αν f (ξ) ≤ −ε
Αν η φ(ξ) είναι κ-φορές συνεχώς διαφορίσιµη στο (a,b) τότε το
γινόµενο φ(ξ) χ (ξ) έχει οµαλότητα Cmin(κ,s΄) .
τ2 − k 2 f ( ξ )
Έτσι , η συνάρτηση φ(ξ) e −
χ (ξ) µπορεί να επεκταθεί σε
µια συνάρτηση µε συµπαγή φορέα στον R , µε οµαλότητα
Cmin(κ,s΄) .
Εφόσον η 1 - χ (ξ) είναι µηδέν για (ξ , f(ξ)) στο R2 \ Η (t − ε , ω)
2
ξ є (a,b) , ο όρος :
φ(ξ) e
τ2 − k 2 f ( ξ )
(1 - χ (ξ) )
φθίνει εκθετικά καθώς τ → ∞
Τελικά , αναλύουµε το (10.2.3) στο άθροισµα :
∫
b
a
+
∫
b
a
φ(ξ) e
τ2 − k 2 f ( ξ )
φ(ξ) e
τ2 − k 2 f ( ξ )
χ (ξ) eiτξ dξ
+
(1 - χ (ξ) ) eiτξ dξ
(10.2.4)
Ο δεύτερος όρος του (10.2.4) φθίνει εκθετικά για τ → ∞ . Η
εκθετική µείωση του 1ου όρου εξαρτάται από την οµαλότητα
του. ∆ηλαδή απ’ την επιλογή των κ , s΄ και s . Βασικά ,
µπορούµε να επιλέξουµε s = s΄= κ και έτσι ο 1ος όρος , που
εξαρτάται από το κ , να φθίνει πολυωνυµικά .
Αν οι όροι του usc που εµφανίζονται στην φ είναι οµαλοί µόνο
µέχρι κάποια τάξη κ , τότε το ολοκλήρωµα Fourier φθίνει το
πολύ πολυωνυµικά για τ → ∞ .
88
Αν το usc είναι αναλυτικό στο ∂G s , τότε το ολοκλήρωµα
Fourier θα φθίνει ταχύτερα από κάθε δύναµη του τ .
□
Μπορούµε
τώρα
να
σχηµατίσουµε
έναν
ανακατασκευής για τη µέθοδο Εγκλεισµού ως εξής :
αλγόριθµο
Για διαφορετικά t є R και ω є S2 , υπολογίζουµε την δείκτρια
συνάρτηση µ(τ, t, ω) για τ > 0 . Έχουµε υπέρ-αλγεβρική µείωση
της δείκτριας συνάρτησης για τ → ∞ αρκεί το πεδίο usc να
µπορεί να επεκταθεί στον Ω \ Η(t,ω) .
Αν το usc δεν µπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στον Ω \ Η (t , ω) ,
τότε η δείκτρια συνάρτηση δεν παρουσιάζει υπέρ-αλγεβρική
µείωση .
Αυτό
οδηγεί
σε
µια
δειγµατοληπτική
µέθοδο
περιοχών
δειγµατοληψίας µε υποχώρους Η(t,ω) .
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ :
• Ο Ikehata συνήθως εκτιµά τη φθίνουσα συµπεριφορά της
παραπάνω
φθίνουσας
συνάρτησης , χρησιµοποιώντας
επεκτάσεις της λύσεις της µερικής διαφορικής εξίσωσης
που εξετάζουµε στα άκρα του αντικειµένου D .
• Οι Ikehata , Nakamura et al [41,46] µελετούν την Σχέση
Εξαγωγής :
h D (ω) − t = lim
log e − τ t µ(τ, t, ω)
τ
τ→ 0
όπου h D (ω) := sup x ⋅ ω
, για ω ∈ S2
x∈D
Αυτός ο τρόπος µπορεί να χρησιµοποιηθεί
αντικατασταθεί
το
ακτινικό
µέρος
της
δειγµατοληψίας από έναν υπολογισµό .
ώστε να
περιοχής
89
§ 3 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η µέθοδος Εγκλεισµού προτάθηκε αρχικά απ’ τον Ikehata για
εντοπισµό του σχήµατος κάποιας πολυγωνικής κοιλότητας για
ένα πρόβληµα συνοριακών τιµών για το οποίο ισχύει η εξίσωση
Laplace και η συνοριακή συνθήκη Neumann , καθώς και για
τον καθορισµό του σχήµατος κάποιας περιοχής πηγής (source
region) για την εξίσωση Helmholtz [38,39].
Χρησιµοποιήθηκε αργότερα , για το αντίστροφο πρόβληµα
αγωγιµότητας (inverse conductivity problem) και το αντίστροφο
ακουστικό πρόβληµα σκέδασης µε συνοριακή συνθήκη Dirichlet
όπου
τώρα
µια
ταλαντευόµενη – φθίνουσα
συνάρτηση
χρησιµοποιείται για ανακατασκευή σχήµατος [41,42] .
Πρώτα αριθµητικά τεστ της µεθόδου έγιναν για την ανίχνευση
κάποιου αντικειµένου στην τοµογραφία εµπέδησης
ενώ ο
Ikehata χρησιµοποίησε για πρώτη φορά µια συνάρτηση Mittag –
Leffler
ως συνάρτηση – ελέγχου στη δοµή της µεθόδου
Εγκλεισµού . Οι ταλαντευόµενες φθίνουσες λύσεις είναι φραγµένες
στη γεωµετρία του υποχώρου και έτσι , µόνο η κυρτή θήκη των
σκεδαστών µπορεί να ανακατασκευαστεί . Η συνάρτηση Mittag –
Leffler µειώνεται εκθετικά στο εξωτερικό κάποιου κώνου και
αυξάνει στο εσωτερικό του . Αυτό επεκτείνει σηµαντικά το
γεωµετρικό πεδίο της µεθόδου Εγκλεισµού [8,43,44].
Ακόµα , ερευνάται
ο
εντοπισµός
του
σχήµατος
κάποιου
αντικειµένου σε ένα υλικό πολυστρωµατικού υποβάθρου όπως
επίσης και ο εντοπισµός ρωγµών [47] .
90
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1] Akduman I - Potthast R 2002 : On the reconstruction of burried objects from
surface measurements of electromagnetic fields Proc. European symposium on
Numerical Methods in Electrodynamics(Toulouse)
[2] Arens T 2004 : Why linear sampling works Inverse Problems 20 163-73
[3] Arens T-Grinberg N 2004 : A complete factorization method for scattering by periodic
surfaces Computing 75 111-32
[4] Arens T-Kirsch A 2003 : The factorization method in inverse scattering from periodic
structures Inverse Problems 19 1195-211
[5] Aθανασιάδης Χ.-Στρατής Ι.Γ. 2000 :Σηµειώσεις του µεταπτυχιακού τµήµατος
«Μαθηµατικά Μοντέλα στις φυσικές επιστήµες» , Τµ.Μαθηµατ. , ΕΚΠΑ
[6] Belishev M I 1997 : Boundary control in recostruction of manifolds and metrics(the BC
method) Inverse Problems 13 R1-45
[7] Bonnet M-Guzina B 2004 : Sounding of finite solid bodies by way of topological
derivative Int. J. Numer. Math. Eng. 61 2344-73
[8] Brühl M-Hanke M 2000 : Numerical implementation of two non-iterative methods for
locating inclusions by impedance tomography Inverse Problems 16 1029-42
[9] Cakoni F-Colton D 2003 : The linear sampling method for cracks Inverse Problems 19
279-95
[10] Cakoni F-Colton D 2006 : Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory ,Springer
Springer ,
Berlin
[11] Cakoni F-Colton D-Darrigrand E 2003 : The inverse electromagnetic scattering problem
for screens Inverse Problems 19 627-42
[12] Cakoni F-Colton D-Monk P 2001 : The direct and inverse scattering problems for
partially coated obstacles Inverse Problems 17 1997-2015
[13] Catapano I-Crocco L-Isernia T : An effective two-step approach for characterization of
burried homogenous dielectric targets Preprint
[14] Chandler-Wilde S-Lines C 2004 : A time domain point source method for inverse
scattering by rough surfaces Computing
Computing 75 157-80
[15] Cheney M 2001 : The linear sampling method and the music algorithm Inverse Problems
17 591-5
[16] Colton D-Giebermann K-Monk P 2000 : A regularized sampling method for solving
three-dimensional inverse scattering problems SIAM J. Sci. Comput.
Comput. 21 2316-30
(electronic)
[17] Colton D-Haddar H-Monk P 2002 : The linear sampling method for solving the
electromagnetic inverse scattering problem SIAM J. Sci. Comput. 24 719-31 (electronic)
[18] Colton D-Kirsch A 1996 : A simple method for solving inverse scattering problems in
the resonance region Inverse Problems 12 383-93
[19] Colton D-Kress R 1998 : Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory
(Applied Mathematical Sciences vol 93),),2
), nd edn(Berlin: Springer)
[20] Colton D-Monk P 1998 : A linear sampling method for the detection of leukemia using
microwaves SIAM J. Appl. Math. 58 926-41
[21] Colton D-Monk P 1998 : The simple method for solving the electromagnetic inverse
scattering problem : the case of TE polarized waves Inverse Problems
Problems 14 597-614
[22] Colton D-Monk P 1999 : A linear sampling method for the detection of leukemia using
microwaves II SIAM J. Appl. Math. 60 241-55
[23] Colton D-Potthast R 1999 : the inverse electromagnetic scattering problem for an
anisotropic medium Q. J.
J. Appl. Math. 52 349-72
[24] Colton D-Kress R 1983 : Integral equation methods in scattering theory Pure and
Applied Mathematics (New York : Wiley)
[25] Colton D L 1998 : A simple method for solving electromagnetic inverse scattering
problems Mathematical
Mathematical Methods in Scattering Theory and Biomedical Technology
(Metsovo , 1997) (Pitman Res. Notes Math. Ser. Vol 390)) (Harlow
: Longman)) 3-11
(
[26] Daido Y-Ikehata M-Nakamura G 2004 : Reconstruction of inclusions for the inverse
boundary value problem with mixed type boundary condition Appl. Anal. 83 109-24
[27] Dassios G-Kleinman R 1999 : Low Frequency Scattering ,Oxford University Press
[28] Erhard K-Potthast R 2003 : The point source method for reconstructive an inclusion
from boundary measurements in electrical impedance tomography and acoustic
scattering Inverse Problems 19 1139-57
[29] Erhard K-Potthast R 2006 : A numerical study of the probe method SIAM J Sci.
Comput. in press
[30] Evans L.C. 1998 : Partial Differential Equations,A.M.S.
A.M.S. , Providence,Rhode
Providence,Rhode Island
[31] Garreau S-Guillaume P-Masmoudi M 2001 : The topological asymptotic for PDE
systems : the elastic case SIAM J. Contr. Opt. 39 1756-78
[32] Griffel D.H. 1998 : Applied Functional Analysis, Ellis Horwood Ltd
[33] Grinberg N 2002 : Obstacle visualization via the factorization method for mixed
boundary value problem Inverse Problems 18 1687-704
[34] Guzina B-Bonnet M 2004 : Topological derivative for the inverse scattering of elastic
waves Q. J. Mech. Appl. Math. 57 161-79
[35] Hähner P 1999 : An inverse problem in electrostatics Inverse Problems 15 961-75
[36] Ikehata M 1998 : Reconstruction of an obstacle from the scattering amplitude at a
fixed frequency Inverse Problems 14 949-54
[37] Ikehata M 1998 : Reconstructions of the shape of the inclusion by boundary
measurements Commun. Partial Differential Eqns 23 1459-74
[38] Ikehata M 1999 :Enclosing a polygonal cavity in a tvo-dimensional bounded domain
from Cauchy data Inverse Problems 15 1231-41
[39] Ikehata M 1999 : Reconstruction of a source domain from the Cauchy data Inverse
Problems 15 637-45
[40] Ikehata M 1999 : Reconstruction of obstacle from boundary measurements Wave
Motion 30 205-23
[41] Ikehata M 2000 : On reconstruction in the inverse conductivity problem with one
measurement Inverse Problems 16 785-93
[42] Ikehata M 2000 : Reconstruction of the support function for inclusion from boundary
measurements J. Inverse IllIll-Posed Problems 8 367-78
[43] Ikehata M 2001 : On reconstruction from a partial Knowledge of the Neumann-toDirichlet operator Inverse Problems 17 45-51
[44] Ikehata M 2002 : Extraction formulae for an inverse boundary value problem for the
equation ∇ ⋅ (σ − iωε)∇u Inverse Problems 18 1281-90
[45] Ikehata M 2002 : Reconstruction of inclusion from boundary measurements J. Inverse
IllIll-Posed Problems 10 37-65
[46] Ikehata M 2002 : A regularized extraction formula in the enclosure method Inverse
Problems 18 435-40
[47] Ikehata M 2003 : Extracting the convex hull of an unknown inclusion in the
multilayered material Appl. Anal. 82 857-73
[48] Ikehata M-Nakamura G 2003 : Reconstruction formula for identifying cracks J. Elast.
71 59-72
[49] Ikehata M-Nakamura G : Pointwise reconstruction of the jump at the boundaries of
inclusions Contemp. Math. 348 2004
[50] Kirsch A : An introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer,
New York
[51] Kirsch A 1998 : Characterization of the shape of a scattering obstacle using the spectral
data of the far field operator Inverse Problems 14 1489-512
[52] Kirsch A 2000 : New characterizations of solutions in inverse scattering theory Appl.
Anal. 76 319-50
[53] Kirsch A 2002 : The music-algorithm and the factorization method in inverse scattering
theory for inhomogeneous media Inverse Problems 18 1025-40
[54] Kress R 1997 : Integral equation methods in inverse acoustic and electromagnetic
scattering Boundary Integral Formulations for Inverse Analysis (Adv. Bound. Elem.
Ser.) (Southampton : Comput. Mech.) 67-92
[55] Kress R 2002 : A sampling method for an inverse boundary value problem for harmonic
vector fields IllIll-Posed and Inverse Problems ed S Kabanikhin-V G Romanov (Utrecht :
VSP) pp 243-62
[56] Kress R 2003 : A factorization method for an inverse Neumann problem for harmonic
vector fields Georgian
Georgian Math. J. 10 549-60
[57] Kress R-Kühn L 2002 : Linear sampling methods for inverse boundary value problems
in potential theory Appl. Numer. Math. 43 161-73
[58] Kühn L 2005 : Magnetic tomography-on the nullspace of the Biot-Savart operator and
point sources for field and domain reconstructions PhD Thesis University of Göttingen
[59] Kusiak S-Sylvester J 2003 : The scattering support Commun. Pure Appl. Math. 56
1525-48
[60] Liu J.-Nakamura G-Potthast R 2006 : A new approach and improved error analysis
for reconstructing the scattering wave by the point source method at press
[61] Logan J. D. : Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά Παν. Εκδ. Κρήτης , Ηράκλειο 2002
[62] Luke D 2005 : An application of the generalized eigenfunction expansion theorem to
image synthesis for inverse obstacle scattering Computing 75 181-96
[63] Luke D-Potthast R 2003 : The no response test – a sampling method for inverse
scattering problems SIAM J. Appl. Math. 63 1292-312 (electronic)
[64] Monk P. 2003 : Finite Element Methods for Maxwell’s Equations, Clarendon Press,
Oxford
[65] Nakamura G-Siltanen S-Tanuma K-Wang S 2005 : Numerical recovery of
conductivities at the boundary from the localized Dirichlet-to-Neumann map
Computing 75 197-214
[66] Nakamura G-Tanuma K 2001 : Local determination of conductivity at the boundary
from the Dirichlet-to-Neumann map Inverse Problems 17 405-19
[67] Potthast R 1996 : A fast new method to solve inverse scattering problems Inverse
Problems 12 731-42
[68] Potthast R 1998 : A point source method for inverse acoustic and electromagnetic
obstacle scattering problems IMA J. Appl. Math. 61 119-40
[69] Potthast R 2000 : Stability estimates and reconstructions in inverse acoustic scattering
using singular sources J. Comput. Appl. Math. 114 247-74
[70] Potthast R 2001 : Point sources and Multipoles in Inverse Scattering Theory
(ChapmanRaton,FL :
(Chapman-Hall / CRC Research Notes in Mathematics vol 427)) (Boca
(
Chapman-Hall / CRC Press))
[71] Potthast R 2004 : A set-handling approach for the no response test and related methods
Math. Comput. Simul. 66 281-95
[72] Potthast R 2005 : Sampling and probe methods-an algorithmical view Computing 75
215-36
[73] Potthast R 2006 : On the convergence of the no response test SIAM J. Math. Anal. At
press
[74] Potthast R 2004 : A new non-iterative singular sources method for the reconstruction
of piecewise constant media Numer. Math. 98 703-30
[75] Potthast R –Schulz J. : A multi-wave range test for obstacle reconstruction (submitted)
[76] Potthast R-Stratis I 2005 : The singular sources method for an inverse transmission
problem Computing 75 237-55
[77] Potthast R-Sylvester J : A splitting procedure for obstacle reconstruction (in
preparation)
[78] Potthast R-Sylvester J-Kussiak S 2003 : A range test for determining scatterers with
unknown physical properties Inverse Problems 19 533-47
[79] Potthast R 2006 : A survey on sampling and probe methods for inverse problems,
Inverse Problems 22 R1-R47
[80] Sokolowski J-Zochowski A 1999 : On the topological derivative in shape optimization
SIAM J. Control Optim. 37 1251-72

3 ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ CAD.................................. 3-1

null

κειμενο

εργαστηριακες σημειωσεις στατιστικης

1.4 – 1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ℜ ∈ x

κυματικος και σ ματι∆ιακος χαρακτηρας ρεμπελακης εμμανουηλ επ

AEGL111 - course notes

Χημεία Α Λυκείου Συνοπτική Θεωρία 3ου κεφαλαίου