Σεραφείµ Καραµπογιάς 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA – ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ∆ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού σήµατος διακριτού χρόνου. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού σήµατος διακριτού χρόνου, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. ∆ώσουµε τη φυσική σηµασία του αναπτύγµατος σε σειρά Fourier και του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Εφαρµόσουµε το παραπάνω ανάπτυγµα/µετασχηµατισµό σε περιπτώσεις βασικών σηµάτων διακριτού χρόνου. Σεραφείµ Καραµπογιάς Θα αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier µερικών βασικών συναρτήσεων. Θα περιγράψουµε τη λειτουργία της δειγµατοληψίας. . Θα ορίσουµε το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier και θα αναφέρουµε τις ιδιότητές του. Θα περιγράψουµε τον ταχύ µετασχηµατισµό Fourier. Θα αναφέρουµε σηµαντικές εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-2 Σεραφείµ Καραµπογιάς ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ - ΣΕΙRA FOURIER Υπάρχουν Ν το πλήθος διαφορετικά µιγαδικά εκθετικά σήµατα διακριτού χρόνου τα οποία σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο, δηλαδή, είναι ανά δύο ορθογώνια. N −1 N , k = m = N δ ( k − m) e j k Ω 0 n , e j m Ω 0 n = ∑n = 0 e j ( k − m ) Ω 0 n =   0, k ≠ m Τα περιοδικά σήµατα διακριτού χρόνου παριστάνονται µε πεπερασµένα αθροίσµατα. N −1 x (n) = 1 ak = N ak e ∑ k =0 N −1 jk x (n) ⋅ e ∑ n=0 2π n N −jk 2π n N εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Το ζεύγος των εξισώσεων αυτών ορίζουν τη σειρά Fourier διακριτού χρόνου (discrete time Fourier series (DTFS)) του περιοδικού σήµατος διακριτού χρόνου x(n). Οι συντελεστέc ak καλούνται συντελεστές Fourier ή όπως θα δούµε φασµατικές γραµµές. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-3 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να βρεθεί η παράσταση σε σειρά Fourier του σήµατος διακριτού χρόνου x(n) = sin(Ω0n) Απάντηση 1) Το σήµα είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο Ν και Ω0 = 2π/N. akN +1 = 1 2j και akN −1 = − 1 2j k = 0, ±1, ±2, … 2) Αν 2π/Ω0 = N/m, δηλαδή, ρητός αριθµός, τότε Ω0 = (2πm)/N. Υποθέτουµε ότι τα m και Ν δεν έχουν κοινό παράγοντα έτσι το x(n) έχει θεµελιώδη περίοδο ίση µε Ν. am = 1 1 , am = − και ak = 0 για την υπόλοιπη περίοδο 2j 2j 3) Όταν το σήµα είναι µη περιοδικό δεν αναπτύσσεται σε σειρά Fourier διακριτού χρόνου. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-4 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να βρεθεί η παράσταση σε σειρά Fourier διακριτού χρόνου του περιοδικού ορθογώνιου κύµατος 1, x(n) =  0, n ≤ N1 N1 < n < N 2 1 ⋯ −N ⋯ − N1 0 N 1 N n Απάντηση sin [k 2Nπ (N 1 + N ⋅ ak = sin (k 22πN ) ak = 2 N1 + 1 N 1 2 )] k = 1, 2, ⋯ , N − 1 ή k ≠ 0, ± N , ± 2 N , ⋯ k = 0, ± N , ± 2 N , … Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-5 Σεραφείµ Καραµπογιάς Na 0 Na1 N = 10 N1 = 2 2π N 0 Na 0 Περιβάλλουσα π 2π π 2π π 2π Na1 N = 20 N1 = 2 0 Na 0 2π N Na1 N = 40 N1 = 2 0 2π N Το περιοδικό ορθογώνιο κύµα και το γινόµενο των συντελεστών της σειράς Fourier διακριτού χρόνου επί το πλήθος των δειγµάτων του περιοδικού ορθογώνιου κύµατος για N1 = 2 και N = 10, 20 και 40. Η συνάρτηση sin[(2 N + 1)(Ω / 2)] sin(Ω / 2) είναι η περιβάλλουσα των συντελεστών της σειράς Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-6 Σεραφείµ Καραµπογιάς ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ∆ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Οι εξισώσεις σύνθεσης και ανάλυσης για το µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου (discrete time Fourier transform (DTFT)) x( n ) = 1 2π X (Ω ) = ∫2π X ( Ω )e jΩ n d Ω ∞ ∑ n = −∞ x( n ) e − j Ω n εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Η εξισώση εκφράζει την ανάλυση του σήµατος διακριτού χρόνου x(n) σε εκθετικά σήµατα ejΩn τα οποία εκτείνονται σε ένα συνεχές φάσµα κυκλικών συχνοτήτων Ω περιορισµένο στο διάστηµα 0 ≤ Ω < 2π. Η συνάρτηση X(Ω) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου συχνά αναφέρεται και ως φάσµα του x(n) γιατί περιέχει την πληροφορία πως το x(n) συντίθεται από εκθετικά σήµατα διαφορετικών συχνοτήτων. Το φασµατικό περιεχόµενο στο απειροστό διάστηµα συχνοτήτων [Ω, Ω + dΩ] είναι X(Ω) και η συνεισφορά των συχνοτήτων [Ω, Ω + dΩ] έχει πλάτος X(Ω)(dΩ/2π). Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-7 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου έχει δύο διαφορές από το µετασχηµατισµό Fourier συνεχούς χρόνου οι οποίες οφείλονται στο γεγονός ότι τα εκθετικά σήµατα διακριτού χρόνου είναι περιοδικά µε περίοδο 2π. Ο X(Ω) είναι περιοδικός ενώ ο X(ω) όχι. Έτσι το ολοκλήρωµα στην εξίσωση σύνθεσης έχει πεπερασµένο διάστηµα ολοκλήρωσης. Στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, οι χαµηλές συχνότητες περιγράφονται από διαστήµατα µικρού εύρους κεντραρισµένα στην αρχή των συντεταγµένων, ενώ οι υψηλές συχνότητες είναι τοποθετηµένες µακριά από την αρχή των αξόνων προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά του άξονα συχνοτήτων. Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου η περιοδικότητα του µετασχηµατισµού Fourier επιβάλλει µία διαφορετική εικόνα. Οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν µε διαστήµατα γύρω από τη θέση Ω = 0, ή λόγω της περιοδικότητας γύρω από τις θέσεις Ω = ± 2k π. Οι υψηλές συχνότητες τοποθετούνται κοντά σε περιοχές όπου Ω = ± π ή Ω = ±(2k + 1)π. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-8 Σεραφείµ Καραµπογιάς Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου η περιοδικότητα του µετασχηµατισµού Fourier επιβάλλει µία διαφορετική εικόνα. Οι χαµηλές συχνότητες αντιστοιχούν µε διαστήµατα γύρω από τη θέση Ω = 0, ή λόγω της περιοδικότητας γύρω από τις θέσεις Ω = ± 2 k π. x1 ( n ) 0 Οι υψηλές ±(2k + 1)π. X 1 (Ω ) n − 3π − 2π − π 0 π 2π 3π Ω συχνότητες τοποθετούνται κοντά σε περιοχές όπου Ω = ± π ή Ω = x2 ( n ) 0 X 2 (Ω ) n − 3π − 2π − π 0 π 2π 3π Ω Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-9 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου x (n) = a n u (n) a < 1 a ∈C Απάντηση 1 X (Ω) = 1 − a e− j Ω X (Ω ) x(n) −4 0<a <1 0 4 8 12 n 1 1− a − 2π −π x (n ) 4 8 π 2π Ω π 2π Ω 1 1+ a n 0 0 X (Ω ) −1 < a < 0 −4 1 1+ a 1 1− a 12 − 2π −π 0 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-10 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου x(n) = a| n | , | a | <1 και α ∈ R Απάντηση 1− a2 X (Ω ) = 1 + a 2 − 2a cos(Ω) X (Ω ) 1+ a 1− a x (n ) 8 6 4 2 0 2 4 6 8 n − 2π −π 0 π 2π Ω Η ακολουθία x(n) = a|n| όταν a είναι πραγµατικός αριθµός < 1 και το φάσµα της. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-11 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του τετραγωνικού παλµού διακριτού χρόνου x (n ) 1, | n | ≤ N1 x (n) =  0, | n | > N1 1 ⋯ − N1 0 Απάντηση ⋯ N1 n sin [Ω (Ν1 + 1 2)] X (Ω) = sin [Ω (1 2) ] X (Ω ) 2 N1 + 1 2π 2 N1 + 1 −2π −π 0 π 2π Ω Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-12 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα διακριτού χρόνου x(n), του οποίου ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου είναι ορθογώνιο περιοδικό κύµα. X (Ω ) |Ω|≤ W 1, X (Ω ) =  0, W < | Ω | ≤ π 1 −2π −π −W 0 W π 2π Ω Απάντηση sin (W n) x ( n) = πn x (n ) W π − Wπ 0 π W n Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-13 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ιδιότητες του ΜF διακριτού χρόνου Γραµµικότητα a x1 (n) + b x2 (n) DTFT a X 1 (Ω ) + b X 2 (Ω ) DTFT e − j Ω n X (Ω ) DTFT X (Ω − Ω 0 ) DTFT 1 1− e − j Ω DTFT 1 2π Χρονική µετατόπιση x (n − n0 ) Ολίσθηση συχνότητας e j Ω n x(n) Άθροισµα ∞ ∑m=−∞ x(m) ∞ X (Ω ) + π X (0 )∑ k = −∞ δ (Ω − 2 π k ) ∆ιαµόρφωση x ( n) ⋅ y ( n) ∫2 π X (Ω − θ )Y (θ ) dθ Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-14 Σεραφείµ Καραµπογιάς Συνέλιξη x ( n) ∗ y ( n ) DTFT X ( Ω ) ⋅ Y (Ω ) DTFT 1 M Αποδεκάτιση xM ( n) = x ( M n) M −1 ∑ k =0 X ( Ω M − 2kπ M ) ∆ιαφόριση στο πεδίο συχνότητας ( − j ) k n k x ( n) DTFT d k X (Ω ) dΩ k DTFT (1 − e − j Ω )X (Ω ) DTFT X (M Ω ) DTFT Ex = ∆ιαφορά x(n) − x(n − 1) Παρεµβολή xM (n) = x( Mn ) Θεώρηµα Parseval ∞ E x = ∑n= −∞ | x(n) |2 ∫ 1 |X 2π 2π (Ω )|2 dΩ Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-15 Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετατροπή Σήµατος από Αναλογικό σε Ψηφιακό Τα περισσότερα σήµατα που παρουσιάζουν πρακτικό ενδιαφέρον είναι αναλογικά. Για να επεξεργαστούµε αναλογικά σήµατα µε ψηφιακά µέσα απαιτείται η µετατροπή αυτών σε ψηφιακή µορφή, δηλαδή, η µετατροπή τους σε ακολουθία αριθµών πεπερασµένης ακρίβειας. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-16 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παλµοκωδική ∆ιαµόρφωση (PCM) Η Παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulation (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ ∆ειγµατολήπτης x (t ) PC M Κβαντιστής x (n) Κωδικοποιητής x (n) 111 110 0 t 0 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 11 12 13 n 0 011 4 5 6 7 8 9 1 2 3 10 11 12 13 n 111 111 110 011⋯ 001 000 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-17 Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων περιορισµένου εύρους-ζώνης x a (t ) −T S Το σήµα xα(t) είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα, και το κύριο φασµατικό περιεχόµενό του βρίσκεται στις χαµηλές συχνότητες 0 TS 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T S 8T S t x a (t ) −T S Το σήµα xα(t) είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές οι οποίες οφείλονται στην παρουσία συνιστωσών σε υψηλές συχνότητες 0 TS 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T S 8T S t Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-18 Σεραφείµ Καραµπογιάς Αναλογική και Ψηφιακή συχνότητα – Συχνότητα ∆ειγµατοληψίας Έστω xs(n) είναι η ακολουθία η οποία προέρχεται από τη δειγµατοληψία του συνηµιτονοειδούς αναλογικού σήµατος xα(t) = A cos(ωt + θ) µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts. x s ( n ) = x a ( nT s ) = A cos (ω nT s + θ ) = A cos (ω Ts n + θ ) Αν Ω0 είναι η ψηφιακή κυκλική συχνότητα τότε xs(n) = A cos(Ω n + θ). Συγκρίνωντας τις δύο εκφράσεις του xs(n) έχουµε τις σχέσεις µεταξύ αναλογικών και ψηφιακών συχνότητων Ω = ω ⋅ Ts και f F = fs Παρατηρούµε ότι η συχνότητα F είναι µία κανονικοποιηµέµη ή σχετική συχνότητα. Η αναλογική συχνότητα f έχει µονάδα µέτρησης Hz ή c/sec ενώ η διακριτή F δεν έχει διαστάσεις. Επίσης η αναλογική κυκλική συχνότητα ω έχει µονάδα µέτρησης rad/sec ενώ η διακριτή Ω έχει µονάδα µέτρησης rad. Για να προσδιορίστει η ψηφιακή συχνότητα F όταν δίνεται η αναλογική συχνότητα f πρέπει να είναι γνωστή η συχνότητα δειγµατοληψίας fs. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-19 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένου εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα συνεχούς χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι 0≤ω < ∞ και 0≤ f <∞ Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα διακριτού χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι −π ≤ Ω < π και − 1 1 ≤F < 2 2 Παρατηρούµε ότι η συχνότητα του συνηµιτονοειδούς σήµατος το οποίο δειγµατοληπτούµε πρέπει να βρίσκεται στην περιοχή − π = −π f ≤ ω < π f = π s s Ts Ts και − f f 1 1 =− s ≤ f < s = 2T s 2 2 2T s Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-20 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η περιοδική δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος συνεχούς χρόνου οδηγεί στην απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής των αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένη εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων. Η µέγιστη αναλογική συχνότητα που µπορεί να δειγµατοληπτηθεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας fs είναι ωmax < π Ts και f max < fs 2 Θεώρηµα δειγµατοληψίας ή Θεώρηµα του Shannon Η συχνότητα fs µε την οποία λαµβάνονται τα δείγµατα ενός αναλογικού σήµατος, πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη υψηλότερη αναλογική συχνότητα fmax που περιέχεται στο σήµα, δηλαδή, f s ≥ 2 ⋅ f max Για να µη χαθεί πληροφορία θα πρέπει να παίρνουµε τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά περίοδο της µεγαλύτερης συχνότητας του αναλογικού σήµατος. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-21 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο συνεχούς χρόνου µετασχηµατισµός Fourier (CTFT), Xa(ω), ή το φάσµα ενός αναλογικού σήµατος xa(t) είναι +∞ X a (ω ) = − jω t x ( t ) e dt ∫ −∞ Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier είναι 1 xa (t ) = 2π +∞ jω t X ( ω ) e dω a ∫ −∞ Αν το αναλογικό σήµα xa(t) δειγµατοληπτηθεί µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts παράγεται το σήµα διακριτού χρόνου. x s ( n ) ≡ x a ( n Ts ) Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT), Xs(Ω), του σήµατος διακριτού χρόνου xs(n) είναι ∞ X s (Ω ) = − jΩ n x ( n ) e ∑ n = −∞ Ο αντίστροφος διακριτού χρόνου µετασχηµατισµός Fourier είναι xs ( n ) = 1 2π π jΩ n X ( Ω ) e dΩ ∫ s −π Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-22 Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Xs(Ω) του δειγµατοληπτηµένου xs(n) σήµατος διακριτού χρόνου είναι ένα άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourier Xa(ω) του αρχικού αναλογικού σήµατος xa(t) µετατοπισµένων κατά 1/Ts και πολλαπλασιασµένων επίσης µε 1/Ts, δηλαδή, ∞ 1 Ω 2π  X S (Ω ) = Xa + k  ∑ TS k =−∞  TS TS  Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-23 Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων ∞ 1 2π  Ω X S ( Ω) = Xa + k  ∑ TS k =−∞  TS TS  ∞ ∞ 1 2π   X S (ωTS ) = X a ω + k  ∑ TS k =−∞  TS  1 n   XS ( f )= Xa f +  ∑ TS n=−∞  TS  1 Ts X a (ω ) 1 xa (t ) ω0 t 2 s 1 Ts ω0 0 ω ω0 2 Ts 2 Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος Το αναλογικό σήµα xa(t). Xa ω T 0 ω0 2 Ts ω Ο όρος του φάσµατος του δειγµατοληπτηµένου σήµατος για k = 0 X s (Ω ) xs (n) 1 Ts 0 Ts < ω2 π max Το διακριτό σήµα xs(n). n 2π −π ω0 2 Ts 0 ω0 2 Ts π 2π 2π ω Το φάσµας του δειγµατοληπτηµένου σήµατος για fs > 2 fmax Το φάσµα του αναλογικού σήµατος διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-24 Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων xa (t ) 1 Ts X a (ω ) 1 ω0 t 2 Το αναλογικό σήµα xa(t). Xa ω T s 1 Ts 0 ω0 ω ω0 2 Ts 2 Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος 0 ω0 ω 2 Ts Ο όρος του φάσµατος του δειγµατοληπτηµένου σήµατος για k = 0 X s (Ω ) xs (n) 1 Ts 0 Ts < ω2 π max Το διακριτό σήµα xs(n). n − 4π − 2π −π ω0 2 Ts 0 π 2π ω0 4π 6π ω 2 Ts Το φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος για fs < 2 fmax Έχουµε το φαινόµενο της φασµατικής επικάληψης ή του χαµηλού ρυθµού δειγµατοληψίας Το φάσµα του αναλογικού σήµατος δε διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως δεν είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-25 Σεραφείµ Καραµπογιάς Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου µε απόκριση συχνότητας H ( F ) = TS ⋅ Π ( ) F 2B όπου −π ≤ B < π H (F ) TS −B 0 B F είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος µε τη βοήθεια της xˆ a (t ) = ∞  t − nT S  ( ) x nT sinc   ∑ S T   S n = −∞ Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-26 Σεραφείµ Καραµπογιάς Γραφική ερµηνεία της ανακατασκευής του αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του x (t ) = ∑ x a ( nT S ) sinc (Tt ∞ TS 2TS ( t TS ∑ x a ( 2nW )sinc (2W (t − 2nW )) −n = S n = −∞ x (t ) = x a (T S )sinc ) ∞ n = −∞ ) −1 + x a ( 2 T S )sinc 3T S 4TS 5T S ( t TS 6TS ) − 2 + x a ( 3 T S )sinc 7TS 8T S ( t TS −3 ) +… 9TS Παρατηρούµε ότι για t ακέραιο πολλαπλάσιο του nTs, n = 0, ±1, ±2, … µόνο µία sinc συνεισφέρει µε πλάτος xa(nTs), ενώ για t ≠ nTs σεινεισφέρουν όλες. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-27 Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ίνεται το αναλογικό σήµα x a (t ) = e −1000|t | Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier του διακριτού σήµατος x (n ) το οποίο προκύπτει από το αναλογικό σήµα µε δειγµατοληψία στις συχνότητες FS =5000 δείγµατα/sec και FS =1000 δείγµατα/sec . % Αναλογικό σήµα Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = exp(-1000*abs(t)); % Μετασχηµατισµός Fourier συνεχούς χρόνου Wmax = 2*pi*2000; K = 500; k = 0:1:K; W = k*Wmax/K; Xa = xa * exp(-j*t'*W) * Dt; Xa = real(Xa); W = [-fliplr(W), W(2:501)]; % Συχνότητα από Wmax to Wmax Xa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t σε msec.'); ylabel('xa(t)') title('Analog Signal') subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000); xlabel('Συχνότητα σε KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000') title('Μετασχηµατισµός Fourier συνεχούς χρόνου ') % Αναλογικό σήµα Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = exp(-1000*abs(t)); % ∆ιακριτό σήµα Ts = 0.001; n = -5:1:5; x = exp(-1000*abs(n*Ts)); % ∆ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier K = 500; k = 0:1:K; w = pi*k/K; X = x * exp(-j*n'*w); X = real(X); w = [-fliplr(w), w(2:K+1)]; X = [fliplr(X), X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t σε msec.'); ylabel('xa(t)') title('∆ιακρτιτό Σήµα'); hold on stem(n*Ts*1000,x); gtext('Ts=1 msec'); hold off subplot(2,1,2);plot(w/pi,X); xlabel('Συχνότητα σε KHz'); ylabel('X(w)') title ('∆ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier') Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-28 Σεραφείµ Καραµπογιάς xa (t ) X a (ω ) ⋅ 1000 1 0.8 1.5 0.6 1 0.4 0.2 -5 -4 -3 -2 -1 0.5 0 1 2 3 4 t σε msec. -2 -1.5 -1 Αναλογικό σήµα 0 0 -0.5 0.5 1 1.5 Συχνότητα σε KHz Μετασχηµατισµός Fourier συνεχούς χρόνου X S (Ω) x (n ) 10 8 TS = 0,2 msec 6 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t σε msec. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Συχνότητα σε µονάδες π x (n ) X S (Ω ) 2 TS = 1 msec 1.5 1 0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Συχνότητα σε µονάδες π ∆ιακριτό σήµα Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-29 Σεραφείµ Καραµπογιάς D/A µετατροπείς Zero-order-hold (ZOH) παρεµβολή Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι figure(1); clf % Σήµα διακριτού χρόνου x (n) : Ts = 0.0002 Ts = 0.0002; n = -25:1:25; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Ανακατασκευή σήµατος µε ZOH παρεµβολή subplot(2,1,1); stairs(nTs*1000,x); xlabel('t σε msec.'); ylabel('xa(t)') title('Ανακατασκευή σήµατος x (n) χρησιµοποιώντας ZOH'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off xˆ a (t ) = x ( n ), n TS ≤ n < (n + 1) TS 1, 0 ≤ t ≤ TS h0 (t ) =  0, αλλιωɺς xˆ a (t ) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. Ανακατασκευή σήµατος x (n) χρησιµοποιώντας ZOH First-order-hold (FOH) παρεµβολή Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι 1 + t , 0 ≤ t ≤ T S  TS  t , TS ≤ t ≤ 2TS h1 (t ) = 1 − TS  αλλιώς  0, Σειρά  – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-30 Σεραφείµ Καραµπογιάς Cubic spline παρεµβολή xˆ a (t ) = α 0 ( n ) + α1 ( n )(t − n TS ) + α 2 ( n )(t − n TS ) 2 + α 3 ( n )(t − n TS ) 3 , n TS ≤ n < ( n + 1) TS x a (t ) 0.8 0.6 Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας cubic splines παρεµβολή figure(1); clf Ts = 0.0002; n = -25:1:25; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Ανακατασκευή αναλογικού σήµατος Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = spline(nTs,x,t); % Έλεγχος error = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t)))) subplot(2,1,1); plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Ανακατασκευή του σήµατος από τα δείγµατά του x(n) χρησιµοποιώντας cubic splines παρεµβολή'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off 0.4 0.2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. xˆ a (t ) FS = 5000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.0317 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. xˆ a (t ) FS = 1000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.1679 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας cubic splines παρεµβολή Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-31 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση δειγµατολειψίας x a (t ) %Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση sinc % % Σήµα διακριτού χρόνου x(n) Ts = 0.0002; Fs = 1/Ts; n = -25:1:25; nTs = n*Ts; x = exp(-1000*abs(nTs)); % Ανακατασκευή αναλογικού σήµατος Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005; xa = x * sinc(Fs*(ones(length(nTs),1)*tnTs'*ones(1,length(t)))); % Έλεγχος error = max(abs(xa - exp(-1000*abs(t)))) subplot(1,1,1) subplot(2,1,2); plot(t*1000,xa); xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)') title('Ανακατασκευή σήµατος από τα x(n) χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση sinc'); hold on stem(n*Ts*1000,x); hold off 0.8 0.6 0.4 0.2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. xˆ a (t ) FS = 5000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.0363 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. xˆ a (t ) FS = 1000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.1852 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 t σε msec. Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση sinc Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-32 Σεραφείµ Καραµπογιάς x a (t ) -5 -4 -3 -2 x a (t ) 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 -1 0 1 2 3 -5 t σε msec. -4 -3 -2 xˆ a (t ) -4 -3 -2 1 2 3 t σε msec. 0 1 2 3 FS = 5000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.0363 FS = 5000 δείγµατα/sec -1 0 xˆ a (t ) Σφάλµα 0.0317 -5 -1 t σε msec. xˆ a (t ) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 xˆ a (t ) -5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 FS = 1000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.1852 FS = 1000 δείγµατα/sec Σφάλµα 0.1679 -4 -3 -2 t σε msec. -1 0 1 2 3 t σε msec. t σε msec. Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας cubic splines παρεµβολή Ανακατασκευή σήµατος από τα δείγµατά του χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση sinc Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-33 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Το αναλογικό σήµα x(t) = cos(4π t) δειγµατοληπτείται µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts = 0,2 sec. x (t ) X (ω ) π δ (ω + 4π ) π δ (ω − 4π ) ••• − ω0 0 ω0 = 4π ω ••• 0 Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) = cos (ω0 t). T0 2T0 Το σήµα x(t) = cos (ω0 t). x (t ) X (ω ) ••• −ω s −ω0 −ω s − ω0 0 t 3T0 ω0 ωs 2 ω s =10π ω s +ω0 ω = 5π Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος. ••• 0 T0 2T0 3T0 Το δειγµατοληπτηµένο σήµα. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-34 t Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Το αναλογικό σήµα x(t) = cos(4π t) δειγµατοληπτείται µε περίοδο δειγµατοληψίας Ts = 1/3 sec. x (t ) X (ω ) π δ (ω + 4π ) π δ (ω − 4π ) ••• − ω0 ω0 = 4π 0 ω ••• 0 Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) = cos (ω0 t). T0 2T0 Το σήµα x(t) = cos (ω0 t). x (t ) X (ω ) ••• −ω s −ω0 −ω s − ω0 0 t 3T0 ωs 2 ω0 ω s =6π ω s +ω0 ω ••• 0 T0 2T0 3T0 = 3π Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος. Το δειγµατοληπτηµένο σήµα. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-35 t Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ειγµατοληψία στο πεδίο συχνότητας αναλογικού σήµατος +∞ − j 2π f t x ( t ) e dt ∫ a F xa (t ) ←→ Xa( f ) = −∞ Αν δειγµατοληπτήσουµε οµοιόµορφα το φάσµα Xa( f ) µε περίοδο TS = +∞ X a (kδ f ) = ∫ xa (t ) e − j 2π k δf t +TS 2 dt = ∫ −TS 2 −∞ [∑ 1 δf έχουµε ] +∞ − j 2π k δf t x ( t − n T ) e dt a s n = −∞ ∞ Το σήµα x p (t ) = ∑ n = −∞ x a (t − nTs ) είναι περιοδικό έτσι αναπτύσσεται σε σειρά Fourier x p (t ) = +∞ ∑ ck e cn = jk 2 πδ f t k = −∞ παρατηρούµε ότι c k = 1 TS x p (t ) = 1 TS − jk 2 π x ( t ) e ∫ f 0t dt TS X a ( k δ f ) = δ f X a ( k δ f ), k = 0 , ± 1, ± 2, ... εποµένως +∞ ∑ xa (t − nTs ) = n = −∞ ∞ ∑ X a ( k δ f ) e jk 2π δf t k = −∞ Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-36 Σεραφείµ Καραµπογιάς Αν xa(t) = 0 για | t | > τ και επιλέξουµε Ts > 2τ τότε δεν έχουµε χρονική αλλοίωση και το φάσµα του σήµατος Xa( f ) µπορεί επιτυχώς να ανακατασκευαστεί από τα δείγµατα του Xa( k δf ) µε τη βοήθεια της σχέσης: Xa( f ) = ∑ X a ( kδ f )sinc [δπf ( f − kδ f )] +∞ k = −∞ Το αιτιατό εκθετικό σήµα συνεχούς χρόνου xα(t) = e -at u(t) έχει µετασχηµατισµό Fourier Xa( f ) = 1 a + j 2π f Αν δειγµατοληπτήσουµε οµοιόµορφα το φάσµα Xa( f ) µε περίοδο Ts θα έχουµε Xa( f ) x (t ) 1 a 1 1 a2 0 Το αιτιατό εκθετικό σήµα x(t). t a 2π 0 a 2π f Το πλάτος του MF του σήµατος x(t). Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-37 Σεραφείµ Καραµπογιάς xp (t) x p (t ) = 1 0 xp (t) 1 2 +∞ xa (t) x a (t − nTs ) ∑ n = −∞ 3 t 0 xa (t) t 0 xa (t) 1 2 3 t 0 xa (t) 1 2 3 Ts = 2 0 xp (t) 1 0 xp (t) 1 0 2 3 Ts = 1 2 3 Ts = 1 2 3 Ts = 4 1 t 1 2 1 t 3 2 t t 1 Σειρά –0Μετασχηµατισµός 5-38 1 Fourier2 διακριτού χρόνου 3 t Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ειγµατοληψία στο πεδίο συχνότητας διακριτού σήµατος F x (n) ←→ X (F ) = +∞ ∑ x(n) e − j2π F n n = −∞ Αν δειγµατοληπτήσουµε οµοιόµορφα το φάσµα X(Ω) σε Ν σηµεία στο διάστηµα 0 ≤ Ω < 2π, δηλαδή, δΩ = 2π/Ν έχουµε για k = 0, 1, 2, …, N – 1 2π +∞ −jk  2π  N X k = ∑ x (n) e  N  n =−∞ Το σήµα n N −1 =∑ n =0 [∑ +∞ l = −∞ ] x(n − l N ) e − jk 2π n N ∞ x p (n) = ∑l =−∞ x( n − l N ) είναι περιοδικό έτσι αναπτύσσεται σε σειρά Fourier N −1 x p ( n ) = ∑ ck e j k 2Nπ n k =0 παρατηρούµε ότι ck = 1 N 1 ck = N N −1 ∑ x p ( n) e − j k 2Nπ n n =0 X a (k 2Nπ ), k = 0, ± 1, ± 2, ... εποµένως ∞ 1 x p (n) = ∑ x(n − l N ) = N l = −∞ N −1 ∑ 2π 2π  jk N n  X k  e N  n=0 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-39 Σεραφείµ Καραµπογιάς Μπορούµε λοιπόν να ανακατασκευάσουµε το σήµα x(n) από το σήµα xp(n) ως x(n) = x p (n) για 0 ≤ n ≤ N − 1 ή  x p (n), 0 ≤ n ≤ N-1 x ( n) = x p ( n ) R N ( n ) =  αλλιώς  0, όπου R N (n) είναι ένα τετραγωνικό παράθυρο µήκους N 1, 0 ≤ n ≤ N-1 R N ( n) =  αλλιώς 0, Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-40 Σεραφείµ Καραµπογιάς Εφαρµογή Έστω x(n) =0,7n u(n). Να δειγµατοληπτηθεί ο X(Ω) σε N = 5, 10, και 20 ισαπέχοντα σηµεία στο διάστηµα 0 ≤ Ω < 2π. Να ανακατασκευαστεί από τα δείγµατα X ( 2Νπ k ) το σήµα xp(n). Να βρεθεί το σήµα xp(n)·RN(n). Ποιες είναι οι παρατηρήσεις σας; Γνωρίζουµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου του σήµατος x(n) είναι 1 e jΩ X (Ω) = = 1 − 0,7 e − jΩ e jΩ − 0,7 % Υπολογίζονται τα N ισαπέχοντα δείγµατα του X(Ω) του σήµατος x(n). N = 5; k = 0:1:N-1; wk = 2*pi*k/N; zk = exp(j*wk); Xk = (zk)./(zk-0.7); % Προσδιορίζεται το περιοδικό σήµα xp(n) από τα N δείγµατα X(k) µε IDFS xn = real(idfs(Xk,N)); xtilde = xn'* ones(1,8); xtilde = (xtilde(:))'; subplot(2,1,1); stem(0:39,xtilde)΄΄ axis([0,40,-0.1,1.5]) Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-41 Σεραφείµ Καραµπογιάς Το τετραγωνικό παράθυρο R5(n) 1 1 0 10 20 30 40 0 ˜ 10 20 30 40 ˜ Η περιοδική ακολουθία x(n) η οποία βρίσκεται από N = 5 δείγµατα του X(z) µε IDFS. Το σήµα x(n)·R5(n) ≈ x(n). Το τετραγωνικό παράθυρο R10(n) 1 1 0 10 20 30 40 0 ˜ 10 20 30 40 ˜ Η περιοδική ακολουθία x(n) η οποία βρίσκεται από N = 10 δείγµατα του X(z) µε IDFS. Το σήµα x(n)·R10(n) ≈ x(n). Το τετραγωνικό παράθυρο R20(n) 1 1 0 10 20 ˜ 30 Η περιοδική ακολουθία x(n) η οποία βρίσκεται από N = 20 δείγµατα του X(z) µε IDFS. 40 0 10 20 30 40 ˜ Το σήµα x(n)·R20(n) = x(n). Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-42 Σεραφείµ Καραµπογιάς ∆ίνεται το σήµα x(n) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις του µέτρου και της φάσης. Να βρεθεί ο DFT 4σηµείων του x(n). 1, 0 ≤ n ≤ 3 x (n) =  0, αλλιώς x = [1,1,1,1,zeros(1,N-4)]; w = [0:1:500]*2*pi/500; [X] = freqz(x,1,w); magX = abs(X); phaX = angle(X); x = [1,1,1,1,zeros(1,N-4)]; X = dft(x,N); magX = abs(X); phaX = angle(X)*180/pi 4 N=4 4 2 0 N=8 N=16 2 0.4 0.8 1.2 1.6 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 100 100 0 0 -100 0 -100 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-43 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο ∆ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση µε περίοδο 2π. Για να επεξεργαστούµε το µετασχηµατισµό Fourier µε ψηφιακά µέσα απαιτείται η µετατροπή του σε ακολουθία αριθµών πεπερασµένης ακρίβειας. Θα πρέπει λοιπόν να δειγµατοληπτηθεί κατάλληλα ο µετασχηµατισµός Fourier έτσι ώστε να είναι δυνατή η ανακατασκευή του από τα δείγµατά του. ∆ίνεται η πεπερασµένου µήκους N ακολουθία x(n), δηλαδή, η x(n) = 0 για n ≥ N. Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας x(n) όπως είναι γνωστό είναι N −1 X (Ω ) = ∑ x ( n ) e − j Ω n , 0 ≤ Ω < 2 π n =0 Εάν δειγµατοληπτήσουµε τη συνεχή συνάρτηση X(Ω) σε M διακριτές κυκλικές συχνότητες που είναι πολλαπλάσιες της Ωs στο διάστηµα 0 ≤ Ω < 2π παίρνουµε τα δείγµατα N −1 X M ( k ) = X (Ω ) Ω = k Ω = s ∑ x(n) e − j kΩs n , k = 0,1, ..., M − 1 n =0 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-44 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο αριθµός των δειγµάτων που θα ληφθούν θα πρέπει να είναι κατάλληλος έτσι ώστε αφενός να είναι δυνατή η ανάκτηση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου για κάθε τιµή της κυκλικής συχνότητας Ω αφετέρου να µην αυξηθούν η απαιτούµενη µνήµη και η ταχύτητα επεξεργασίας. Το θεώρηµα δειγµατοληψίας στο πεδίο συχνοτήτων αναφέρει ότι ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου µπορεί να ανακτηθεί από τα δείγµατά του XM(k), k = 0, 1, ..., M-1 αρκεί το σήµα διακριτού χρόνου x(n) να είναι πεπερασµένης διάρκειας N και να ισχύει M ≥ N. στην περίπτωση αυτή ισχύει η συνθήκη Nyquist, δηλαδή, Ωs ≤ Για την οριακή περίπτωση όπου συχνότητες Ωk = k ⋅ Ωs = k 2π N Ωs = 2π N 2π N , δηλαδή, όταν ο X(Ω) δειγµατοληπτείται στις , k = 0, 1, ..., N-1 έχουµε το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier (Disctete Fourier Transform, DFT) της ακολουθίας x(n). X ( k ) = X N ( k ) = X (Ω ) Ω = k 2 π N 2π = X  k  N N −1 jk  = x ( n ) e ∑  n =0 2π n N , k = 0,1, ..., N − 1 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-45 Σεραφείµ Καραµπογιάς Αποδεικνύεται ότι µπορούµε να ανακατασκευάσουµε την ακολουθία x(n) από τα δείγµατα XN(k) του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου µε την 1 x( n) = N N −1 X N (k ) e ∑ n=0 − jk 2π n N , n = 0,1, ..., N − 1 Η εξίσωση αυτή αποτελεί τον αντίστροφο διακριτό µετασχηµατισµό Foureir (inverse DFT, IDFT). Οι δύο τελευταίες εξισώσεις αποτελούν του ζεύγος διακριτού µετασχηµατισµού Fourier Nσηµείων. Οι ακολουθίες x(n) και XΝ(k) έχουν ίδιο µήκος N και είναι περιοδικές µε περίοδο N. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-46 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα ∆ίνεται η 4-σηµείων ακολουθία x(n) 1, 0 ≤ n ≤ 3 x ( n) =  0, αλλιώς Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου X(Ω) και να γίνει η γραφική παράσταση του µέτρου του σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα Ω. Να βρεθεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier 4-σηµείων της ακολουθίας x(n). Απάντηση Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας είναι sin(2Ω) − j 32Ω X ( Ω) = e sin(Ω / 2) Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier 4-σηµείων της ακολουθίας x(n) είναι X 4 ( k ) = {4, 0, 0, 0} | X (Ω) | | X 4 (k ) | 4 0 4 π 2π Ω 0 1 2 3 4 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-47 k Σεραφείµ Καραµπογιάς Κυκλική ανάκλαση ακολουθίας Η κυκλική ανάκλαση µιας ακολουθίας µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των υπολοίπων (modulo) ως x((-n))N όπου ο συµβολισµός ((m))N διαβάζεται ως m modulo N και σηµαίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του m δια του N και είναι n=0  x(0), x((− n)) N =   x( N − n), 1 ≤ n ≤ N − 1 x (n ) H ακολουθία 11-σηµείων x(n) = an όπου 0 ≤ n ≤ 10 και 0 < a < 1 − 10 −5 5 0 10 n x( − n) η ανάκλασή της η οποία δεν είναι ακολουθία 11-σηµείων − 10 −5 0 5 10 n x((−n))11 η κυκλική ανάκλασή της η οποία είναι ακολουθία 11-σηµείων. − 10 −5 0 5 10 n Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-48 Σεραφείµ Καραµπογιάς Κυκλική ολίσθηση ακολουθίαc Η περιοδική επέκταση ανά N δείγµατα της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας x(n) που έχει N δείγµατα στο διάστηµα 0, 1, 2, ..., N-1 είναι η περιοδική ακολουθία ~ x (n) = ∞ x(n − kN ) ∑ k = −∞ x(n) − 10 −5 0 5 10 15 20 n H ακολουθία 11-σηµείων x(n) = an όπου 0 ≤ n ≤ 10 και 0 < a < 1 ~ x ( n ) = x (( n ))11 − 10 −5 0 5 10 15 20 n Η περιοδική επέκταση ανά 11 δείγµατα της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας x(n) Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-49 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η ολίσθηση (µετατόπιση) της περιοδικής ακολουθίας x(n) κατά m δείγµατα προς τα δεξιά δίνει την επίσης περιοδική ακολουθία x(n – m). ~ x ( n − m) = ∞ x(n − m − kN ) ∑ k = −∞ ~ x ( n ) = x (( n ))11 − 10 −5 0 5 10 15 20 n Η περιοδική επέκταση ανά 11 δείγµατα της πεπερασµένου µήκους ακολουθίας x(n) ~ x ( n − 3) − 10 −5 0 5 10 15 20 n Η γραµµική ολίσθηση κατά 3 δείγµατα προς τα αριστερά της περιοδικής επέκτασης ανά 11 δείγµατα της ακολουθίας x(n). Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-50 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η πεπερασµένου µήκους ακολουθία ~ x (n − m), 0 ≤ n ≤ N − 1  ~ x ( n − m) RN ( n ) =  αλλιώς  0, όπου RN(n) είναι το ορθογώνιο παράθυρο µήκους N, δηλαδή, 1, 0 ≤ n ≤ N − 1 RN ( n) =  αλλιώς 0, αποτελεί την κυκλική ολίσθηση M-σηµείων της ακολουθίας x(n). ~ x ( n − 3) − 10 −5 RN (n) 0 5 10 15 20 n Η γραµµική ολίσθηση κατά 3 δείγµατα προς τα αριστερά της περιοδικής επέκτασης ανά 11 δείγµατα της ακολουθίας x(n). Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-51 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η πεπερασµένου µήκους ακολουθία ~ x (n − m), 0 ≤ n ≤ N − 1  ~ x ( n − m) RN ( n ) =  αλλιώς  0, όπου RN(n) είναι το ορθογώνιο παράθυρο µήκους N, δηλαδή, 1, 0 ≤ n ≤ N − 1 RN ( n) =  αλλιώς 0, αποτελεί την κυκλική ολίσθηση M-σηµείων της ακολουθίας x(n). x (( n − 3))11 R11 ( n ) − 10 −5 0 5 10 15 20 n Η κυκλικά ολισθηµένη ακολουθία κατά 3 δείγµατα προς τα αριστερά. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-52 Σεραφείµ Καραµπογιάς Κυκλική συνέλιξη Η κυκλική συνέλιξη δύο ακολουθιών x1(n) και x2(n), n = 0, 1, … N-1 ορίζεται από τη σχέση y (n) = x1 (n) N x2 (n) = N −1 x1 (m) x2 ((n − m)) N , ∑ m =0 0 ≤ n ≤ N −1 Η κυκλική συνέλιξη y(n) έχει την ίδια µορφή µε τη γραµµική συνέλιξη έχει όµως µήκος N, όσο δηλαδή και το µήκος καθεµιάς από τις αρχικές ακολουθίες, και όχι µήκος 2N-1 όπως συµβαίνει στην περίπτωση της γραµµικής συνέλιξης των δύο αυτών ακολουθιών. Η κυκλική συνέλιξη ονοµάζεται επίσης και κυκλική συνέλιξη Ν-σηµείων. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-53 Σεραφείµ Καραµπογιάς Τα βήµατα για τον υπολογισµό της κυκλικής συνέλιξης δύο ακολουθιών είναι 1. κυκλική ανάκλαση (κατοπτρισµός) της µιας ακολουθίας, 2. κυκλική ολίσθηση (µετατόπιση) της κατοπτρικής ακολουθίας, 3. πολλαπλασιασµός της µετατοπισµένης κατοπτρικής ακολουθίας µε τη άλλη ακολουθία σηµείο προς σηµείο και 4. άθροιση των γινοµένων. Τα βήµατα αυτά επαναλαµβάνονται. Παράδειγµα Να προσδιοριστεί η κυκλική συνέλιξη 4-σηµείων για τις ακολουθίες x1 (n) = {3, 2,1} x2 (n) = {1, 2, 3, 4} Απάντηση y (n) = {14,12,14, 20} Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-54 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier Μερικές ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier είναι ανάλογες µε τις αντίστοιχες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Υπάρχουν όµως και διαφορετικές ιδιότητες οι οποίες οφείλονται στο πεπερασµένο µήκος που έχουν τόσο όσο οι ακολουθίες όσο και ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier τους a x1 (n) + b x2 (n) Γραµµικότητα a X 1 (k ) + b X 2 (k ) Κυκλική ολίσθηση στο χρόνο Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα x ((n − n0 )) N Κυκλική συνέλιξη x ( n) ⊗ y ( n) Πολλαπλασιασµός x1 (n) ⋅ x2 ( n) 1 N Θεώρηµα Parseval E x = ∑ n = 0 | x ( n ) |2 N −1 Ex = e j k0 2π N n e − jk 2π N n0 X (−k ) X ((k − k 0 ))N x(n) X 1 ( k ) ⋅ X 2 (k ) X 1 (k ) ⊗ X 2 (k ) 1 N N −1 ∑ k = 0 | X ( k ) |2 2 Η ποσότητα | X ( k ) | ονοµάζεται φασµατική πυκνότητα ενέργειας της ακολουθίας πεπεραN σµένης διάρκειας. Για περιοδική ακολουθία ονοµάζεται φασµατική πυκνότητα ισχύος. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-55 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Με τη βοήθεια της ιδιότητας της κυκλικής συνέλιξης να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη 4σηµείων των ακολουθιών x1 (n) = [3, 2,1] x2 (n) = [1, 2, 3, 4] Λύση N −1 X ( k ) = ∑n = 0 x ( n ) e − j N k n 2π [ π π DFT x1 (n) = {3, 2,1, 0} ← → X 1 (k ) = [6, 2 − j ⋅ 2, 2, 2 + j ⋅ 2] = 6, 2 2e − j 4 , 2, 2 2e j 4 [ 3π ] π DFT x2 (n) = {1, 2, 3, 4} ← → X 2 (k ) = [10, − 2+ 2 j , − 2, − 2− 2 j ] = 10, 2 2e − j 4 , − 2, 2 2e − j 4 ] π π −j k −j   − j π X (k ) = X 1 (k ) ⋅ X 2 (k ) = 60 + 8 ⋅ e 2 + 4 ⋅ e + 8 ⋅ e 2  = [60, j ⋅ 8, − 4, − j ⋅ 8]   x ( n) = 1 N N −1 ∑k = 0 X ( k ) e j 2Nπ k n x(n) = [14,12,14, 20] Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-56 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η γραµµική συνέλιξη µε τη βοήθεια του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier x1 (n) h1 (n) X 1 (Ω) H 1 ( Ω) y (n) = h1 (n) ∗ x1 (n) = k =∞ x1 (k ) ⋅ h1 (n − k ) ∑ k = −∞ −1 F Y (Ω) = H1 (Ω) ⋅ X 1 (Ω) ← → y (n) = h1 (n) ∗ x1 (n) Αν η εισόδου είναι ακολουθία N1-σηµείων και η κρουστική απόκριση είναι ακολουθία N2σηµείων τότε η έξοδος του συστήµατος είναι ακολουθία (N1 + N2 - 1)-σηµείων. Οι ακολουθίες x(n) και h(n) σχηµατίζονται από τις ακολουθίες x1(n) και h1(n) προσθέτοντας στοιχεία µηδενικής τιµής σε κάθε µία από αυτές, έτσι ώστε το µήκος τους να γίνει ίσο µε N ≥ N1 + N2 – 1. X (k ) H (k ) y ( n ) = h ( n) N F x (n) ←→ H (k ) ⋅ X (k ) Η κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών x(n) και h(n) είναι ισοδύναµη µε τη γραµµική συνέλιξη των ακολουθιών x1(n) και h1(n). Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-57 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι h1(n) = [3, 2, 1]. Με τη βοήθεια του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier να υπολογίσετε την έξοδο του συστήµατος όταν η είσοδος είναι το σήµα x1(n) = [1, 2, 3, 4]. Απάντηση y (n) = [3, 8,14, 20,11, 4] Παρατηρήσεις Αν προσδιορίσουµε την έξοδο του συστήµατος χρησιµοποιώντας κυκλική συνέλιξη 5σηµείων προσδιορίζεται η ακολουθία [7, 8, 14, 20, 11]. Η ακολουθία αυτή έχει προέλθει από την [3, 8, 14, 20, 11,4] µε αναδίπλωση του στοιχείου 4, δηλαδή, [7, 8, 14, 20, 11] = [3+4, 8, 14, 20, 11]. Αν προσδιορίσουµε την έξοδο του συστήµατος χρησιµοποιώντας κυκλική συνέλιξη 4σηµείων προσδιορίζεται η ακολουθία [14, 12, 14, 20]. Η ακολουθία αυτή έχει προέλθει από την [3, 8, 14, 20, 11, 4] µε αναδίπλωση των στοιχείων 11 και 4, δηλαδή, [14, 12, 14, 20] = [3+11, 8+4, 14, 20]. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-58 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier σε µορφή πινάκων Αν εφαρµόσουµε την εξίσωση ανάλυσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier N −1 X N ( k ) = DFT[x ( n)] = ∑ n =0 x ( n) e − jk 2Nπ n , k = 0, 1, … , N − 1 για k = 0, 1, 2, ..., N-1 έχουµε τις εξισώσεις X N (0) = e 0 x(0) + e0 x(1) + e 0 x(2) = e 0 x(0) 2π X N (1) + e − j N x(1) + e − j N 2 x ( 2) 2π 2π ⋯ + e 0 x( N − 1) ⋯ + e − j N ( N −1) x( N − 1) 2π 2π 2π X N (2) = e 0 x(0) + e − j 2 N x(1) + e − j 2 N 2 x(2) ⋯ + e − j 2 N ( N −1) x( N − 1) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2π 2π 2π X N ( N − 1) = e 0 x(0) + e − j ( N −1) N x(1) + e − j ( N −1) N 2 x(2) ⋯ + e − j ( N −1) N ( N −1) x( N − 1) ή µε µορφή πινάκων X N (0) e0 X N (1) e0 X N (2) ⋮ e0 ⋮ X N ( N − 1) e0 e0 e− j e0 2π N e− j 2 ⋮ e− j 2π N e − j ( N −1) 2π N e− j 2 ⋮ 2π N e0 ⋯ 2 2π N e − j ( N −1) ⋯ 2 2π N ⋯ ⋱ 2 e− j 2π N e− j 2 ( N −1) 2π N ( N −1) ⋮ 2π ⋯ e − j ( N −1) N ( N −1) x (0) x(1) x(2) ⋮ x( N − 1) Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-59 Σεραφείµ Καραµπογιάς X N (0) e0 X N (1) e0 X N (2) ⋮ X N ( N − 1) e0 e− j 2 ⋮ e0 e − j ( N −1) N αν WN = e −j 2π N ⋮ e0 e− j e0 2π N e− j 2π N 2π N e− j 2 ⋮ 2π e0 ⋯ 2 2π N ⋯ e− j 2π N ( N −1) 2π N ⋯ e − j 2 ( N −1) ⋱ ⋮ 2π ⋯ e − j ( N −1) N ( N −1) 2 2π e − j ( N −1) N 2 x (0) x(1) x(2) ⋮ x( N − 1) είναι η Nοστη ρίζα της µονάδας τότε N −1 X N ( k ) = DFT[x (t )] = ∑ n =0 x (n) WNkn , k = 0, 1, … , N − 1 και X N (0) X N (1) X N (2) ⋮ X N ( N − 1) ή µε τη µορφή πινάκων 1 1 1 1 WN WN2 1 WN2 WN4 ⋮ ⋮ ⋮ 1 WN( N −1) WN2( N −1) ⋯ 1 ⋯ WNN −1 ⋯ WN2( N −1) ⋱ ⋮ ⋯ WN( N −1)( N −1) x(0) x(1) x(2) ⋮ x( N − 1) X = WN ⋅ x Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-60 Σεραφείµ Καραµπογιάς X N (0) X N (1) X N (2) ⋮ X N ( N − 1) 1 1 1 1 WN WN2 1 WN2 WN4 ⋮ ⋮ ⋮ 1 WN( N −1) WN2( N −1) ή µε τη µορφή πινάκων ⋯ 1 ⋯ WNN −1 ⋯ WN2( N −1) ⋱ ⋮ ⋯ WN( N −1)( N −1) x(0) x(1) x(2) ⋮ x( N − 1) X = WN ⋅ x Ο πίνακας WN δίνεται από τη σχέση n→ … 1 1  1 ( N −1)  1 W 1 W … N N  WN ≡ WNk n , 0 ≤ k , n ≤ N − 1 = k  ⋮ ⋱ ⋮  ↓ ⋮  ( N −1) ( N −1) 2  … WN 1 WN  [ ] ο πίνακας WN είναι ένας τετραγωνικός πίνακας και ονοµάζεται πίνακας DFΤ Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-61 Σεραφείµ Καραµπογιάς X N (0) X N (1) X N (2) ⋮ X N ( N − 1) 1 1 1 1 WN WN2 1 WN2 WN4 ⋮ ⋮ ⋮ 1 WN( N −1) WN2( N −1) 1 ⋯ ⋯ WNN −1 ⋯ WN2( N −1) ⋱ ⋮ ⋯ WN( N −1)( N −1) x(0) x(1) x(2) ⋮ x( N − 1) n→ 0 0 X N (0) X N (1) X N (2) ⋮ X N ( N − 1) k ↓ 0 ⋮ 0 0 1 0 2 ⋯ ⋯ 0 N −1 2 4 ⋯ 2( N − 1) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ N − 1 2( N − 1) ⋯ ( N − 1) 2 WN x(0) x(1) x ( 2) ⋮ x( N − 1) Η τελευταία σχέση πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια του MATLAB χρησιµοποιώντας γινόµενο πίνακα επί διάνυσµα X = x* ( exp (-j * pi / M ) ). ^ ( n’ * k ) ; >> n = 0:1:2; >> k = 0:1:2; >> n'*k ans = 0 0 0 0 1 2 0 2 4 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-62 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier σε µορφή πινάκων Αν εφαρµόσουµε την εξίσωση σύνθεσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier x ( n) = IDFT[ X N ( k )] = N −1 ∑k =0 X N (k ) e 1 N jk 2Nπ n N −1 ∑k =0 X N (k )WN− kn , = 1 N 0 ≤ n ≤ N −1 για n = 0, 1, 2, ..., N-1 έχουµε x(0) x(1) x(2) ⋮ x( N − 1) e0 e0 e0 ⋮ e0 e0 ej e0 2π N e j2 ⋮ ej 2π N e j ( N −1) 2π N 2 2π N 2π N e0 ⋯ e j2 ⋮ 2 e j ( N −1) 2π N ⋯ ⋯ ⋱ 2 ej 2π N e j2 ( N −1) 2π N ( N −1) ⋮ 2π ⋯ e j ( N −1) N ( N −1) X N (0) X N (1) X N (2) ⋮ X N ( N − 1) ή x = 1 WN* ⋅ X N Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-63 Σεραφείµ Καραµπογιάς Ταχύς µετασχηµατισµός Fourier Ο πίνακας W ο οποίος χρησιµοποιείται κατά τον υπολογισµό του διακριτού µετασχηµατισµού Foureir είναι συµµετρικός. Αξιοποιώντας τη συµµετρία και τη περιοδικότητα των τιµών του πίνακα καταλήγουµε σε µεθόδους υπολογισµού του διακριτού µετασχηµατισµού Foureir µε αρκετά λιγότερες πράξεις. Έχουν αναπτυχθεί ένα πλήθος από διαφορετικούς αλγόριθµους που επιτυγχάνουν το σκοπό αυτό. Οι διαφορές τους βρίσκονται στο πλήθος και το είδος των πράξεων καθώς και στο µέγεθος της απαιτούµενης µνήµης. Θα αναφέρουµε τον αλγόριθµο των Cooley-Tukey, ο οποίο προτάθηκε το 1965. Ο αλγόριθµος αυτός µπορεί να εφαρµοστεί σε ακολουθίες N = 2n-σηµείων. Με το παράδειγµα που ακολουθεί θα παρουσιαστεί η δυνατότητα περιορισµού των απαιτούµενων πράξεων λόγω των ιδιοτήτων της συµµετρίας και της περιοδικότητας που παρουσιάζει ο πίνακας W. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-64 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα Να βρεθεί ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier 4-σηµείων της ακολουθίας x(n) = [x(0), x(1), x(2), x(3)] Λύση Αν εφαρµόσουµε την εξίσωση ανάλυσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier X N (k ) = ∑ N −1 nk x ( n ) W 4 , n =0 0 ≤ k ≤ 3, W4 = e −j 2π 4 =−j για k = 0, 1, 2 και 3 και εκφράσουµε τιc εξισώσεις σε µορφή πινάκων έχουµε  X 4 (0)  W40 W40  X (1)  W 0 W 1 4  4 = 4  X 4 (2) W40 W42    0 3 X ( 3 )  4  W4 W4 W40 W40  W42 W43   4 6 W4 W4   W46 W49   x ( 0)   x(1)     x(2)    x (3)  Επειδή W40 = W44 = 1, W41 = W49 = − j , W42 = W46 = −1 και W43 = j έχουµε 1 1   x (0)   X 4 (0)  1 1  X (1)  1 − j − 1 j   x(1)   4 =    X 4 (2) 1 − 1 1 − 1   x(2)      X ( 3 ) j j x 1 − 1 − ( 3 )      4  Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-65 Σεραφείµ Καραµπογιάς 1 1   x (0)   X 4 (0)  1 1  X (1)  1 − j − 1 j   x(1)   4 =    X 4 (2) 1 − 1 1 − 1   x(2)      X ( 3 )  4  1 j − 1 − j   x(3)  Εκµεταλλευόµενοι τη συµµετρία έχουµε X 4 (0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = [ x(0) + x(2)] + [ x(1) + x(3)] g1 g2 X 4 (1) = x(0) − jx(1) − x(2) + jx(3) = [ x(0) − x(2)] − j[ x(1) − x(3)] h1 h2 X 4 (2) = x(0) − x(1) + x(2) − x(3) = [ x(0) + x(2)] − j[ x(1) − x(3)] g1 g2 X 4 (3) = x(0) + jx(1) − x(2) − jx(3) = [ x(0) − x(2)] + j[ x(1) − x(3)] h1 h2 Οι σχέσεις αυτές οδηγούν σε ένα αποτελεσµατικό αλγόριθµο που έχει δύο βήµατα 1 βήµα g1 = x (0) + x (2) g 2 = x (1) + x (3) h 1 = x ( 0) − x ( 2) h 2 = x (1) − x (3) 2 βήµα X (0) = g1 + g 2 X (1) = h1 − j h 2 X (2) = g1 − g 2 X (3) = h1 + j h 2 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-66 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η ακολουθία 4-σηµείων x(n) διαιρείται σε δύο ακολουθίες 2-σηµείων µε τις οποίες σχηµατίζονται δύο διανύσµατα στήλες ως  x (0)   x (2) x (1) x (3)   x (0) x (1)  =    x ( 2 ) x ( 3 )    προσδιορίζεται ο DFT 2-σηµείων για κάθε στήλη  x (0) x (1)  1 1  W2  =  x ( 2 ) x ( 3 )   1 − 1  x (0) x (1)   x (0) + x (2) x (1) + x(3)   g1  =  = h − − x ( 2 ) x ( 3 ) x ( 0 ) x ( 2 ) x ( 1 ) x ( 3 )      1 κάθε στοιχείο του πίνακα πολλαπλασιάζεται µε g2   h 2  {W } pq 4 q→  g1 1 1    ⋅ ∗ ↓p  h 1 − j  1   g 2   g1 g2  =  h 2   h1 − j h 2  και τέλος προσδιορίζεται ο DFT 2-σηµείων για κάθε γραµµή g2  g 2  1 1   g1 + g 2  g1  g1   W2 =    = h − j h − − h j h h j h 1 − 1 2 2 2  1  1   1   g1 − g 2   X (0) = h1 + j h 2   X (1) X (2)  X (3)  Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-67 Σεραφείµ Καραµπογιάς 1 βήµα g1 = x (0) + x (2) g 2 = x (1) + x (3) h 1 = x ( 0) − x ( 2) h 2 = x (1) − x (3) x (0) x (2) X (0) g1 −1 x (1) x (3) 2 βήµα X (0) = g1 + g 2 X (1) = h1 − j h 2 X (2) = g1 − g 2 X (3) = h1 + j h 2 −j h1 g2 −1 h2 −1 j X (1) X (2) X (3) ∆ιάγραµµα ροής διακριτού µετασχηµατισµού Fourier τεσσάρων σηµείων Η διάταξη των δειγµάτων του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier στην έξοδο είναι κανονική, δηλαδή, X(0), X(1), X(2) και Χ(3), σε αντίθεση η διάταξη των δειγµάτων εισόδου είναι µη κανονική, x(0), x(2), x(1) και x(3). Η διάταξη αυτή προκύπτει από τη κανονική διάταξη των δειγµάτων µε αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση των δεικτών (bit reversal). Από το σχήµα παρατηρούµε ότι σε κάθε στάδιο οι έξοδοι µπορούν να αποθηκεύονται στις ίδιες θέσεις µνήµης, που ήταν αποθηκευµένες οι αντίστοιχες είσοδοι του σταδίου. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-68 Σεραφείµ Καραµπογιάς Στη συνέχεια θα γενικεύσουµε τα συµπεράσµατα του παραδείγµατος Αρχικά, η ακολουθία των N όρων x(n) χωρίζεται σε δύο ακολουθίες µήκους N/2 η κάθε µία, τις g1(n) = x(2n) και g2(n) = x(2n+1), για n = 0, 1, ...,(N/2-1) οι οποίες αποτελούνται από τους όρους µε άρτιους και περιττούς δείκτες αντίστοιχα. Η εξίσωση ανάλυσης του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier γράφεται N −1 X N (k ) = ∑n =0 x (n) WNn k =∑ =∑ Επειδή WN2 n k =e −j 2π N 2nk =e N −1 2 2n k x ( 2 n ) W N n =0 N −1 2 2n k x ( 2 n ) W N n =0 2π − j N /2 nk N −1 2 + ∑n=0 x (2n + 1) WN( 2 n+1) k + WNk N −1 2 ∑n=0 x (2n + 1)WN2n k = WN2 n/ 2k έχουµε N −1 2 X (k ) = ∑ 2n k x ( 2 n ) W N n =0 G1 ( k ) + WNk N −1 2 nk x ( 2 n + 1 ) W ∑ N /2 n = 0 G2 ( k ) X (k ) = G1 (k ) + WNk G2 (k ), k = 0,1, ..., N − 1 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-69 Σεραφείµ Καραµπογιάς Επιπλέον επειδή k + N2 WN και αν k = k + N 2 =e −j 2π N (k + N2 ) = e − j π e − j 2Nπ k = −W k , k = 0,1, ..., N N 2 έχουµε X (k ) = X (k + N 2 ) = G1 (k ) + WNk G2 (k ), k = 0,1, ..., N2 − 1 Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός του X(k) έχει εκφραστεί µε τη βοήθεια δύο διακριτών µετασχηµατισµών Fourier µε πλήθος σηµείων N/2 ο καθένας. Η διαδικασία ανάλυσης που ακολουθήθηκε προηγουµένως µπορεί να συνεχιστεί και για τον υπολογισµό των δύο νέων διακριτών µετασχηµατισµών Fourier G1(k) και G2(k). Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται µέχρι να φτάσουµε σε διακριτό µετασχηµατισµό Foureir 2σηµείων που είναι εύκολο να υπολογιστεί. Σηµειώνεται ότι ο ταχύς µετασχηµατισµός Fourier δεν αποτελεί νέο µετασχηµατισµό Fourier αλλά αποτελεί µία αποδοτική αλγοριθµική µέθοδο µε την έννοια ότι ελαττώνει την υπολογιστική πολυπλοκότητα, δηλαδή, το συνολικό πλήθος πράξεων (πολλαπλασιασµών και προσθέσεων). Πράγµατι, η υπολογιστική πολυπλοκότητα του ταχύ µετασχηµατισµού Fourier είναι της τάξεως N log2N και όχι N2 του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-70 Σεραφείµ Καραµπογιάς x (0) X (0) WN0 x (4) WN4 WN4 X (2) WN2 WN6 WN0 WN4 WN2 x (3) WN4 WN0 WN4 WN6 X (3) WN3 x (1) x (7) WN1 WN4 WN0 x (5) X (1) WN2 x (2) x (8) WN0 WN4 WN5 WN6 WN7 X (4) X (5) X (6) X (7 ) ∆ιάγραµµα ροής διακριτού µετασχηµατισµού Fourier οκτώ σηµείων Η διάταξη των δειγµάτων του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier στην έξοδο είναι κανονική, δηλαδή, X(0), X(1), X(2), …, X(7). Σε αντίθεση η διάταξη των δειγµάτων εισόδου είναι µη κανονική, δηλαδή, x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7). Η διάταξη αυτή προκύπτει από την κανονική διάταξη των δειγµάτων µε αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση των δεικτών (bit reversal) Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-71 Σεραφείµ Καραµπογιάς ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ∆ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Με τη βοήθεια της ιδιότητας της συνέλιξης µπορούµε να υπολογίσουµε την έξοδο y(n) ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου το οποίο έχει κρουστική απόκριση h(n), όταν γνωρίζουµε την είσοδό του x(n). Παράδειγµα ∆ίνεται το γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα το οποίο έχει κρουστική απόκριση h(n) = a n u(n) Αν η είσοδος του συστήµατος είναι το σήµα: x(n) = β n u(n) Να προσδιοριστεί η έξοδος του συστήµατος. Απάντηση Αν a ≠ β η είσοδος του συστήµατος είναι y ( n) = 1 a −b [a n+1 − β n+1 ]u (n) Αν a = β η είσοδος του συστήµατος είναι y ( n) = ( n + 1) a n u (n) Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-72 Σεραφείµ Καραµπογιάς Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x (n) h (n) y (n) Το σήµα εισόδου x(n) και το σήµα εξόδου y(n) ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου ικανοποιούν µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής N M ak y(n − k ) = ∑ bk x(n − k ) ∑ k =0 k =0 µε a0 = 1 Το σήµα εισόδου, x(n), και το σήµα εξόδου, y(n), ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το άθροισµα της συνέλιξης. y ( n) = k =∞ x (k ) ⋅ h (n − k ) ∑ k = −∞ Η απόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήµατος είναι −jkΩ b e ∑ K =0 k H (Ω) = M ∑ K = 0 ak e − j k Ω M Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-73 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα (σύστηµα πρώτης τάξης) ∆ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεµία, και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών y(n) - a y(n-1) = x(n) µε |a| < 1 Να βρεθούν η απόκριση συχνότητας, η κρουστική απόκριση του συστήµατος και η απόκριση του συστήµατος στο µοναδιαίο βήµα. Απάντηση Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H (Ω ) = 1 1 − ae − j Ω Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h ( n) = a n u ( n ) Η απόκριση του συστήµατος στο µοναδιαίο βήµα είναι 1 − a n +1 y ( n) = u ( n) 1− a Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-74 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα ∆ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε ηρεµία, και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών y (n) − 34 y (n − 1) + 18 y (n − 2) = 2 x(n) Να βρεθούν η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Αν η είσοδος του συστήµατος είναι n x(n) = ( 14 ) u (n) Να βρεθεί το σήµα εξόδου του συστήµατος. Απάντηση Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H (Ω ) = 2 1 − 34 e − j Ω + 18 e − j 2Ω Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h(n) = 4( 12 ) u (n) − 2( 14 ) u (n) n n Το σήµα εξόδου του συστήµατος είναι y (n) = −4( 14 ) u (n) − 2(n + 1)( 14 ) u (n) + 8( 12 ) u (n) n n n Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-75 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα ∆ίνεται σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου εξόδου περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y (n) = 12 x(n) + 12 x(n − 1) Να βρεθεί η κρουστική απόκριση, η απόκριση συχνότητας του συστήµατος και να γίνει η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους. Απάντηση Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h(n) = 1 1 δ ( n ) + δ (n − 1) 2 2 Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι H (Ω) = 1 2 + 12 e − j Ω = e − j 2 cos( Ω2 ) Ω Η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους του συστήµατος είναι | H (Ω ) | 1 −π 0 π Ω Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-76 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα ∆ίνεται σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου εξόδου περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y (n) = x (n) + a x(n − 1) Να βρεθεί η κρουστική απόκριση, η απόκριση συχνότητας του συστήµατος και να γίνει η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους. Απάντηση Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι h(n) = δ (n) + a δ (n − 1) H (Ω) = 1+ | a | e − j (Ω −arg{a}) Η γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους του συστήµατος είναι | H (Ω ) | 2 1,5 a = 0,5 e | H (Ω ) | 2 1,5 j π3 0 π Ω 1 0,5 1 0,5 −π a = 0,9 e j 23π π Ω −π 0 Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-77 Σεραφείµ Καραµπογιάς Σε πολλές εφαρµογές πραγµατικού χρόνου, η ακολουθία εισόδου ενός FIR φίλτρου έχει µεγάλο µήκος, παραδείγµατος χάριν η ακολουθία που προέρχεται από σήµα οµιλίας ενός µικροφώνου, η οποία µπορεί να θεωρηθεί ως µία ακολουθία απείρου µήκους. Η έξοδος του φίλτρου υπολογίζεται µε τη βοήθεια γραµµικής συνέλιξης χρησιµοποιώντας ταχύ µετασχηµατισµό Fourier ο οποίος θα έχει φυσικά µεγάλο µήκος. Επιπλέον δεν είναι δυνατός ο υπολογισµός της εξόδου πριν επεξεργαστούµε όλα τα δείγµατα της εισόδου, και αυτό δηµιουργεί µεγάλη καθυστέρηση. Στις περιπτώσεις αυτές υπολογίζεται η επιµέρους έξοδοι του συστήµατος όταν είναι γνωστό ένα τµήµα (µπλοκ) της ακολουθίας εισόδου µε τη βοήθεια ταχύ µετασχηµατισµού Fourier που τώρα έχει µικρό µήκος. Στη συνέχεια υπολογίζεται η έξοδος του φίλτρου µε τη βοήθεια των επιµέρους εξόδων του φίλτρου. Τα παραπάνω επεξηγούνται µε το παράδειγµα που ακολουθεί. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-78 Σεραφείµ Καραµπογιάς Παράδειγµα ∆ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου που έχει κρουστική απόκριση h(n) = [1, 0, − 1] Αν η είσοδος του συστήµατος είναι η ακολουθία x(n) = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10] να βρεθεί η έξοδος του συστήµατος µε τη βοήθεια κυκλικής συνέλιξης 6-σηµείων. Λύση: Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι ακολουθία N2 = 3-σηµείων. Αν η ακολουθία εισόδου κατατµηθεί σε ακολουθίες N1 = 6-σηµείων τότε είναι γνωστό ότι η γραµµική συνέλιξη κάθε υποακολουθίας µε την κρουστική απόκριση θα είναι ακολουθία N1 + N2 -1= 8-σηµείων. Αν χρησιµοποιηθεί κυκλική συνέλιξη N = 6-σηµείων τότε τα πρώτα Ν1 +Ν2 +1- Ν= 2 στοιχεία κάθε ακολουθίας θα είναι εσφαλµένα λόγω του φαινοµένου της επικάλυψης.  x1 (n) = [0, 0,1, 2, 3, 4]  x(n) = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10] ⇒  x2 (n) = [3, 4, 5, 6, 7, 8]  x (n) = [7, 8, 9,10, 0, 0]  3 Κάθε υποακολουθία επικαλύπτεται µε την προηγούµενή της στους δύο πρώτους όρους. Στην τελευταία υποακολουθία έχουν προστεθεί µηδενικά ώστε να γίνει ακολουθία 6σηµείων. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-79 Σεραφείµ Καραµπογιάς Η κυκλική συνέλιξη 6-σηµείων κάθε υποακολουθίας xk(n), k = 1, 2 και 3 µε την κρουστική απόκριση του συστήµατος δίνει τις ακολουθίες y1 (n) = x1 (n) 4 h(n) = [−3, − 4,1, 2, 2, 2] y 2 ( n ) = x2 ( n ) 4 h(n) = [−4, − 4, 2, 2, 2, 2] y3 (n) = x3 (n) 4 h(n) = [7, 8, 2, 2, − 9, − 10] Από τις ακολουθίες yk(n), k = 1, 2 και 3 διαγράφουµε τους δύο πρώτους όρους οι οποίοι λόγω της επικάλυψης είναι εσφαλµένοι και σχηµατίζεται η ακολουθία y (n) = x(n) ∗ h(n) = [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,−9, − 10] Η ακολουθία αυτή είναι ίση µε την γραµµική συνέλιξη. Σειρά – Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου 5-80