3 ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ CAD.................................. 3-1 3.1 ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΤΡΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ .......................3-1 3.2 ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΤΡΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ..........................3-3 3.2.1 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΡΜΑΤΟΣ (WIREFRAME MODELS) ................................. 3-3 3.2.2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ (SURFACE MODELS)................................... 3-4 3.2.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΕΡΕΩΝ (SOLID MODELS) .............................................. 3-5 3.2.4 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (PARAMETRIC AND FEATURE BASED MODELS) .............................................. 3-6 3.3 ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ...............3-7 3.3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΩ∆Η ΣΤΕΡΕΑ (CSG) ................................................................ 3-7 3.3.2 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ (BOUNDARY REPRESENTATION) ............ 3-8 3.3.3 ΥΒΡΙ∆ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ......................................................................... 3-9 3.3.4 ΑΛΛΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ.................................................................................. 3-9 3.4 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ .......3-10 3.5 ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΟΡΙΑΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ .3-11 3.5.1 3.6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ EULER.......................................................... 3-14 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ....................................3-15 3.6.1 ΚΑΜΠΥΛΕΣ - ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ........................... 3-15 3.6.2 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ....................................................... 3-15 3.6.3 ΚΑΜΠΥΛEΣ/ΕΠΙΦΑΝΕΙEΣ BEZIER...................................................... 3-16 3.6.4 ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ/ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ BEZIER................................. 3-19 3.6.5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ / ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ B-SPLINE ................................................ 3-20 3.6.6 NURBS - NON UNIFORM RATIONAL B-SPLINES............................... 3-23 3.6.7 ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ COONS......................................................................... 3-25 3.6.8 ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ GREGORY.................................................................... 3-28 3.6.9 ΒΑΘΜΩΤΑ ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ GREGORY................................................. 3-30 3 ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ CAD 3.1 ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΤΡΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΩΝ GC SYSTEM ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΡΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ CAE SYSTEM 3D CAD CAM SYSTEM ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ Σχ. 1. Η τρισδιάστατη µοντελοποίηση αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη κάθετων εφαρµογών. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-1- ∆ιαφορετικά προγράµµατα εφαρµογών µε πολλά προβλήµατα επικοινωνίας µεταξύ τους (διαφορετικός τρόπος καταχώρησης στοιχείων στα επιµέρους συστήµατα). CAE – ηλεκτρονική/µηχανολογική ! Ηλεκτρονική-σχεδίαση/προσοµείωση λογικών κυκλωµάτων. ! Μηχανολογική-ανάλυση, υπολογισµός, βελτιστοποίηση προιόντος µε βάση τα πεπερασµένα στοιχεία. ! Aνάλυση/ δοµική, θερµική, ροική. ! 1974-SUPERTAB. Χρονοβόρος διαδικασία, αριθµητικά αποτελέσµατα, ανάλυση από ειδικούς. ! Σήµερα υπάρχουν τελικοί επεξεργαστές που δίνουν τα αποτελέσµατα σε γραφική µορφή. ! Το σύστηµα CAD δίνει το πλέγµα των πεπερασµένων στοιχείων, επικοινωνία µε IGES. CAM - αυτοµατοποίηση παραγωγής προγράµµατος ΑΕ. ! 1952-ΑΡΤ/ 1960's-EXAPT/ 1971-CAM-I APT. ! Επιλογή από το χρήστη - εργαλείων, κατεργασίας, συνθηκών κατεργασίας. ! ∆εν υπάρχει κοινή βάση δεδοµένων, συσσώρευση τεχνογνωσίας δεν είναι δυνατή. ! Επικοινωνία µε CAD µέσω IGES. CG - κινηµατική ανάλυση, εικόνες, φωτορεαλισµός, κλπ. ! Συνήθως πολυγωνική αναπαράσταση. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-2- 3.2 ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΤΡΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ 3.2.1 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΡΜΑΤΟΣ (WIREFRAME MODELS) Το αντικείµενο αναπαρίσταται από κορυφές και ακµές (ευθείες ή καµπύλες) • Ευκολία στην καταχώρηση στον υπολογιστή. • Τα περισσότερα συστήµατα παρέχουν αυτή τη δυνατότητα. • Χρησιµοποιούνται για παροχή στοιχείων σε σύστηµα πεπερασµένων στοιχείων. Μειονεκτήµατα • Μη µοναδιαία αναπαράσταση και κατανόηση του αντικειµένου • ∆εν περιέχει δεδοµένα επιφανειών • ∆εν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για υπολογισµό φυσικών ιδιοτήτων (όγκος, επιφάνεια, κέντρο βάρους) • Απόκρυψη µη ορατών γραµµών δεν είναι αυτόµατη. Σχ. 1. Μοντέλο σύρµατος που µας δίνει ανεπαρκή και µη µοναδιαία αναπαράσταση του στερεού. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-3- 3.2.2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ (SURFACE MODELS) Περιέχει επιπλέον και δεδοµένα επιφανειών. Η µαθηµατική αναπαράσταση εξαρτάται από το κάθε σύστηµα. Απλές επιφάνειες µε • Φυσικές δευτεροβάθµιες επιφάνειες (κύλινδρος, κώνος, σφαίρα, σφήνα, κλπ.). • Επιφάνειες Ελεύθερης Μορφής (free form surfaces) µε µπαλώµατα τύπου. • Bezier • Coons • NURBS (Non Uniform Rational B-Splines) • Αλλά µπαλώµατα (τριγωνικά, gregory, κλπ.) Περισσότερα συστήµατα παραγωγής (CAM>3 άξονες) βασίζονται σε µοντέλα επιφανειών. ∆υνατότητα υπολογισµού όγκου, κέντρου βάρους για κλειστά αντικείµενα Μειονέκτηµα η αδυναµία περιγραφής τοπολογίας • Περιγραφή αντικειµένου ως σύνολο µπαλωµάτων • ∆υνατότητα ύπαρξης κενού µεταξύ δυο µπαλωµάτων Σχ. 3. Τυπικά εξαρτήµατα µοντέλων επιφανειών. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-4- 3.2.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΕΡΕΩΝ (SOLID MODELS) ∆υνατότητα αναπαράστασης του χώρου. ∆ηµιουργία πλήρους µοντέλου. Αναπαράσταση µε χρήση στοιχειωδών στέρεων (CSG - Constructive Solid Geometry) ή µε βάση τις πλευρές - ακµές - κορυφές (οριακή αναπαράσταση – B-Rep, Boundary Representation). Πολύπλοκη δοµή δεδοµένων µε αποτέλεσµα οι αντίστοιχοι αλγόριθµοι να είναι χρονοβόροι. Προτερήµατα χρήσης. • ∆ηµιουργία κατασκευαστικών σχεδίων. • ∆ηµιουργία συναρµολογήσεων. • Έλεγχος παρεµβολής - κινηµατική, ροµποτική. • Υπολογισµός φυσικών ιδιοτήτων - όγκος, κέντρο βάρους, επιφάνεια, ροπές αδρανείας. • ∆ηµιουργία πλάνων παραγωγής και προγραµµάτων οδήγησης εργαλειοµηχανών ΑΕ - στερεά µοντέλα για την κίνηση του εργαλείου, υπολογισµός αποβλήτου, έλεγχος παρεµβολής. • Ανάλυση κατασκευών - αυτόµατη δηµιουργία πλέγµατος από την οριακή αναπαράσταση, µε διαίρεση οκταδικού δένδρου, κλπ. • ∆ηµιουργία πρωτότυπων (στερεολιθογραφία). Σχ. 4. Στερεό αντικείµενο και συναρµολόγηση µε στερεά αντικείµενα. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-5- 3.2.4 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (PARAMETRIC AND FEATURE BASED MODELS) Επέκταση των στερεών µοντέλων – σήµερα όλα τα συστήµατα βασίζονται σε αυτήν την αρχή λειτουργίας. Ανώτερου επιπέδου στοιχεία για τη δηµιουργία του µοντέλου. Αρχική εφαρµογή στον σχεδιασµό των κατεργασιών µε υπολογιστή (computer aided process planning) και στη σχεδίαση συναρµολογήσεων. Βασίζονται πάνω σε πυρήνες στερεάς µοντελοποίησης και ο κάθε δηµιουργός συστήµατος δηµιουργεί το δικό του περιβάλλον και εφαρµογές. • Πυρήνες - ACIS (autodesk mechanical desktop, hp, cadkey) • PARASOLID (unigraphics, solidworks, intergraph solid edge, microstation, designwave) • Pro/ENGINEER Προτερήµατα χρήσης • Όλα τα προτερήµατα χρήσης στερεού µοντέλου. • Ευκολία στη δηµιουργία οµάδας εξαρτηµάτων και αλλαγής µορφής µοντέλων. • Μεγάλη ευκολία στη δηµιουργία συναρµολογήσεων. • Ευκολία στη δηµιουργία κάθετων εφαρµογών. Τρόπος λειτουργίας • Ελεύθερη σχεδίαση, παραµετρικός ορισµός διαστάσεων, έξυπνη εισαγωγή περιορισµών. • ∆ηµιουργία χαρακτηριστικών µε συνήθεις λειτουργίες στερεάς µοντελοποίησης. Αλλαγή διαστάσεων και σχέσεων. Ευφυή ορισµό για τα συνήθη χαρακτηριστικά, οπές, αυλάκια, επίπεδα, κλπ. • Έλεγχος πληρότητας διαστάσεων για τον ορισµό των χαρακτηριστικών. Λειτουργία µοντέλων ως πλήρως ορισµένων και ως µερικώς ορισθέντων (fully constrained - under constrained) • ∆ιαχείριση µορφολογικών χαρακτηριστικών σε δοµή δένδρου. • Αυτόµατη παραγωγή των όψεων για τα κατασκευαστικά σχέδια. Αµφίδροµη συσχέτιση σχεδίου και µοντέλου • ∆ιαχείριση συναρµολογήσεων Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-6- 3.3 ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΕΡΕΩΝ 3.3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΩ∆Η ΣΤΕΡΕΑ (CSG) 1973 – TIPS (Hokkaido), τα στοιχειώδη στερεά αναπαρίστανται απο ηµίχωρους. Συνήθη στοιχειώδη στερεά, ορθογώνιο,σφαίρα, κώνος, κύλινδρος, σφήνα, σαµπρέλλα Στηρίζεται στις λειτουργίες συνόλων (ένωση, τοµή, αφαίρεση). ∆ηµιουργείται το δένδρο αναπαράστασης των στοιχειωδών στερεών και οι λειτουργίες συνόλων που εφαρµόζονται. Σχ. 5. Στοιχειώδη στερεά, οι λειτουργίες συνόλων και το δένδρο CSG. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-7- 3.3.2 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ (BOUNDARY REPRESENTATION) 1973-BUILD (Cambridge) Ένα αντικείµενο περιβάλλεται από πλευρές, που περιγράφονται από ακµές που ενώνουν δύο κορυφές. Οι κορυφές περιγράφονται από τις συντεταγµένες. Έχουν προταθεί διάφορα σχήµατα εσωτερικής αναπαράστασης της τοπολογίας, για αποδοτικότερη επεξεργασία. Σχ. 6.Στοιχεία τοπολογίας στην οριακή αναπαράσταση. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-8- 3.3.3 ΥΒΡΙ∆ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Υποστηρίζουν και τις δύο απεικονίσεις. Η δηµιουργία βασίζεται σε CSG και εσωτερικά αναπτύσσεται και η οριακή αναπαράσταση (padl-1,2/rochester, gmsolid). 3.3.4 ΑΛΛΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ Κυτταρική αποσύνθεση - τετράεδρα, ευκολία στον υπολογισµό όγκου, ροπή αδρανείας, πεπερασµένα στοιχεία. ∆ιαίρεση χώρου - χωρισµός σε κύβους κενούς (0) και πλήρεις (1) Οκταδικό δένδρο - διαφορετικού µεγέθους κύβοι Σχ. 7. Αποσύνθεση µε κυβικά στοιχεία, κυτταρική αποσύνθεση και διαίρεση οκταδικού δένδρου. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-9- 3.4 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ∆ηµιουργία καµπυλών και επιφανειών ελεύθερης µορφής Όλα τα σηµερινά συστήµατα χρησιµοποιούν βαθµωτά πολυωνυµικά µοντέλα (NURBS). Τοπικές µεταβολές - δηµιουργία, διαγραφή, µετακίνηση ακµής-κορυφής, µεταβολή επιφάνειας. Λειτουργίες συνόλων - ένωση, τοµή, αφαίρεση. Επιφάνειες ελεύθερης µορφής δεν προσεγγίζονται µε πολύγωνα (facets). Λειτουργίες δηµιουργίας στερεών και µορφολογικών χαρακτηριστικών Στρογγύλευση - δηµιουργία φιλέτων µεταξύ δυο επιφανειών Undo/redo - καταχώρηση ιστορικού σχεδίασης Φωτορεαλισµός, σκίαση, κλπ. Σχ. 8. Λειτουργία συστήµατος στερεάς µοντελοποίησης. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-10- 3.5 ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΟΡΙΑΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Βασικά τοπολογικά στοιχεία που καταχωρούνται Στερεό Κέλυφος Πλευρά Βρόγχος Ακµή Κορυφή Σχ. 9. Τα βασικά στοιχεία τοπολογίας. ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΠΛΕΥΡΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΒΡΟΓΧΟΣ ΑΚΜΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΟΡΥΦΗ ΣΗΜΕΙΟ Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-11- (Α) ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Κατάλληλη για πρισµατικά αντικείµενα ! Πολυγωνική δοµή (polygon based boundary model) Όλες οι ακµές είναι ευθύγραµµα τµήµατα Κάθε πλευρά περιγράφεται από τις κορυφές που την ορίζουν και καταχωρούνται µόνο οι συντεταγµένες των κορυφών (Β) ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ - ∆ΟΜΗ WINGED EDGE Απαιτούνται οι σχέσεις συνορίας µεταξύ των τοπολογικών στοιχείων Σχ. 10. Η δοµή winged edge. (Γ) ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ - ∆ΟΜΗ HALF EDGE Βασίζεται στα παρακάτω τοπολογικά στοιχεία: Σχ. 11. Η δοµή Half-Edge. Σύνδεση στοιχείων µε διπλή συνδεσµική λίστα. Απεικόνιση έδρας και έδρας µε οπή. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-12- (∆) ∆ΟΜΕΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ - ∆ΟΜΗ RADIAL-EDGE Οι προηγούµενες δοµές δεδοµένων µπορούν να περιγράψουν µόνο two manifold στερεά. Two manifold είναι το στερεό που ! ∆εν έχει τµήµα που µοιράζεται µόνο ακµές. ! ∆εν έχει τµήµα που µοιράζεται µόνο κορυφές. Σχ. 12. Non Manifold στερεά και η δοµή radial edge. Τα στερεα που δεν ειναι two manifold ονοµαζονται non-manifold και περιγραφονται απο τη δοµη radial-edge Νεο στοιχειο - use/χρηση Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-13- 3.5.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ EULER • Σχέση Euler που πρέπει να ικανοποιεί ένα στερεό. V - E + F = 2S (για στερεά χωρίς βρόγχους) V=κορυφές, Ε=ακµές, F=εδρες, S=στερεά V - E + F - R = 2(S - H) (για στερεά µε βρόγχους) R=βρόγχοι, H=οπές • Βασικές Λειτουργίες Euler Σχ. 13. Οι βασικές λειτουργίες EULER. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-14- 3.6 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 3.6.1 ΚΑΜΠΥΛΕΣ - ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Βασική απαίτηση στη σχεδίαση των περισσοτέρων εξαρτηµάτων. Πρέπει να µπορεί το σύστηµα να απεικονίζει την µορφή που θέλει ο σχεδιαστής. Να µπορεί να µεταβάλλει τοπικά ή γενικά τη µορφή της. Τα µπαλλώµατα να συνδέονται οµαλά µεταξύ τους. 3.6.2 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Καθε συντεταγµενη της καµπυλης ‘η της επιφανειας εκφραζεται συναρτησει µια παραµετρου ορισµου. x=x(u), y=y(u), z=z(u) P(u)=(x(u), y(u), z(u)) 0≤u≤1 x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) ή P(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 0≤u,v≤1 Σχ. 14. Η παραµετρική αναπαράσταση. Η µορφή της καµπύλης/επιφάνειας ελέγχεται από τα σηµεία ελέγχου που σχηµατίζουν το πολύγωνο ελέγχου. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-15- Η µορφή της καµπύλης δεν µεταβάλλεται µε την εφαρµογή των µετασχηµατισµών. Τυπικές καµπύλες και επιφάνειες αυτού του είδους είναι: BEZIER, B-SPLINES, NURBS, GREGORY, κα. 3.6.3 ΚΑΜΠΥΛEΣ/ΕΠΙΦΑΝΕΙEΣ BEZIER Ορίζονται από τα σηµεία ελέγχου και αποτελούν µέθοδο προσέγγισης σειράς/πίνακα σηµείων µε καµπύλη/επιφάνεια. Σχ. 15. Καµπύλες και επιφάνειες Bezier. (a) Καµπύλες διαφορετικού βαθµού, (β) Το κυρτό περίβληµα, (γ) Επιφάνεια Bezier. Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ/ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ BEZIER 1. Η µορφή εξαρτάται µόνο από τα σηµεία ελέγχου και η µορφή της προσεγγίζει αυτή των σηµείων ελέγχου. 2. Ο βαθµός εξαρτάται από τα σηµεία ελέγχου (βαθµός =αριθµός σηµείων -1). 3. Η γενική µορφή της καµπύλης/επιφανειας Bezier βαθµού n, είναι : Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-16- n r = R(u ) = ∑ PB i i ,n (u ) 0≤u≤1, i =0 n m P (u ,v ) = ∑ ∑ Pij Bi ,n (u )B j ,m (v ), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 i =0 j =0 όπου Bi,n οι συναρτήσεις µείξης και είναι τα πολυώνυµα Bernstein και Pij (ι = 0,..., n, j=0,...,m), οι διανυσµατικοί συντελεστές και είναι τα διανύσµατα θέσης των σηµείων ελέγχου. Bi ,n = C (n, i )u i (1 − u ) n−i , C(n, i) = n! i! (n - i)! 4. Καµπύλες/επιφάνειες περνάνε από τα ακραία σηµεία 5. Εφάπτονται στα ακραία τµήµατα του χαρακτηριστικού πολύγωνου. 6. Ανώτερου βαθµού παράγωγοι εξαρτώνται µόνο από τα σηµεία ελέγχου. Παράγωγος k-1 βαθµού εξαρτάται από τα k προηγούµενα (ή επόµενα) σηµεία ελέγχου. Η πρώτη παράγωγος της καµπύλης δίνεται από τη σχέση : dR(u) = n∑ Bin −1 (u)ai dt και ai = Pi+1 -Pi (0 ≤ u ≤ 1) (I=0, ... , n-1) Η δευτέρου βαθµού παράγωγος δίνεται από τη σχέση n− 2 d 2 R ( u) = n(n − 1) ∑ Bin −2 (u)bi du i =0 και bi = ai+1 - ai (i=0, ... , n-2) m βαθµού παράγωγος εκφράζεται αντίστοιχα µε βάση τα πολυώνυµα Bernstein Bin− m (u) . 7. Είναι συµµετρική ως προς u/v και (1-u)/(1-v), µε συνέπεια η αντιστροφή των σηµείων ελέγχου να µην αλλάζει τη µορφή. 8. Μεταβάλλεται αλλάζοντας τη θέση των σηµείων ελέγχου ή επιβάλλοντας πολλαπλότητα στα σηµεία ελέγχου. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-17- 9. Παράγουµε µια κλειστή καµπύλη/επιφάνεια κλείνοντας το χαρακτηριστικό πολύγωνο 10.Για κάθε τιµή του u/v το άθροισµα των συναρτήσεων bi,n είναι ίσο µε τη µονάδα, σχέση που τις καθιστά αµετάβλητες στην εφαρµογή των απλών µετασχηµατισµών (affine transformations) και είναι επίσης και µια µέθοδος ελέγχου των υπολογισµών. 11.Τα σηµεία ελέγχου της σχηµατίζουν ένα πολύπλευρο, και όλη η καµπύλη/επιφάνεια περικλείεται µέσα στο πολύπλευρο αυτό. Η ιδιότητα αυτή ονοµάζεται και ιδιότητα κυρτού περιβλήµατος (convex hull). Συνέπεια αυτού είναι : α. ∆υνατότητα δηµιουργίας ευθυγράµµου τµήµατος β. Όρια µεγέθους καµπύλης/επιφένειας, χρήσιµη στον υπολογισµό τοµής. γ. Όριο ταλάντωσης καµπύλης Συνθήκες συνέχειας µεταξύ τµηµάτων/µπαλωµάτων Bezier. • Ίδια ακραία σηµεία, συνέχεια θέσης ή C0 συνέχεια. • Ίσο εφαπτόµενο διάνυσµα στο σηµείο ένωσης, συνέχεια κλίσης, ή C1 συνέχεια. Κοινό διάνυσµα αλλά όχι ίδιου µέτρου, γεωµετρική συνέχεια πρώτου βαθµού, ή G1 συνέχεια. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-18- 3.6.4 ΒΑΘΜΩΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ/ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ BEZIER Απλές BEZIER δεν αναπαριστάνουν κωνικές τοµές και δευτεροβάθµιες επιφάνειες µε ακρίβεια Βαθµωτή BEZIER (wi(j)=βάρος σηµείου ελέγχου Pi(j)) n R (u ) = ∑B i =0 n n i ∑B i =0 n (u )w i Pi 0≤u≤1 (καµπύλη) n i m ∑ ∑B S (u ) = (u )w i i =0 j =0 n n i (u )B jn (v )w ij Pij 0≤u≤1 0≤v≤1 (επιφάνεια) m ∑ ∑B i =0 j =0 n i n j (u )B (v )w ij Σχ. 16. Βαθµωτή επιφάνεια Bezier. Μεταβάλουµε την καµπύλη/επιφάνεια, αλλάζοντας το βάρος του σηµείου ελέγχου. ! Μεγάλο βάρος σύρει την καµπύλη προς το σηµείο ελέγχου και αντίστροφα. ! Βάρος µηδέν (0) αγνοεί η καµπύλη το σηµείο ελέγχου, άπειρο βάρος συµπίπτει µε το πολύγωνο ελέγχου και αρνητικό βάρος την αποµακρύνει από το σηµείο ελέγχου. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-19- 3.6.5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ / ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ B-SPLINE ∆ΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕ BEZIER ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ∆ΕΝ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ ΟΛΗ ΤΗ ΚΑΜΠΥΛΗ/ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ. ΒΑΘΜΟΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΗΜΕΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ, ΑΛΛΑ ΠΑΝΤΟΤΕ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ. ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΤΜΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ (ΒΑΘΜΟΣ-1) Σχ. 17. Καµπύλη B-Spline, η κατανοµή των σηµείων ελέγχου και η δηµιουργία των βασικών συναστήσεων. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ n R (u ) = ∑ N i ,k (u )Pi 2≤k≤n+1 i =0 n m S (u ,v ) = ∑ ∑N i ,k (u )M j ,l (v )Pij 2≤k≤n+1 2≤l≤m+1 i =0 j =0 ΟΠΟΥ ΝI,K, MJ,L ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ B-SPLINE, ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΝΑ∆ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-20- 1, x i ≤ u ≤ x i +1 N i ,1 (u ) = 0 (u − xi ) N i ,k −1 (u ) ( x i + k − x ) N i +1, k −1 (u ) N i ,k (u ) = + xi + k −1 − xi xi + k − xi +1 k, l τάξη καµπύλης (k-1, l-1 βαθµός) Pi σηµεία ελέγχου n+1 αριθµός σηµείων ελέγχου ∆ιάνυσµα Κόµβων [ x0 x1 ... xp ] (p+1 ΤΙΜΕΣ) Ισχύει k+(n+1) = p+1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΒΑΘΜΟΥ (K-1) ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ CK-P-2, ΟΠΟΥ P Η ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΟΜΒΟΥ ΙΣΧΥΕΙ Η Ι∆ΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΥΡΤΟΥ ΠΟΛΥΕ∆ΡΟΥ ΤΟΠΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (ΕΠΗΡΕΑΖΟΝΤΑΙ K ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΗΣ B-SPLINE). ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΟΜΒΩΝ ΑΝΟΙΚΤΟ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ [0 0 0 1 2 3 3 3] (K=3) [0 0 0 0 1 1 1 1] (K=4) ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΟΜΒΩΝ = ΤΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Η ΚΑΜΠΥΛΗ ΠΕΡΝΑΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΑΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΟΜΒΩΝ=2*(ΤΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ) ΕΧΟΥΜΕ ΚΑΜΠΥΛΗ BEZIER ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ [0 1 2 3 4 5 6 7] (K=3) [ -3 -1 1 3 5 7 9 11 ] (K=4) Η ΚΑΜΠΥΛΗ ∆ΕΝ ΠΕΡΝΑΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑ ΚΟΜΒΩΝ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ∆ΥΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΙ∆Η Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-21- [ 0 1 2 3 3 4 5 6 ] (K=3) [ 0 1 2 3 4 4 4 4 ] (K=4) ΕΑΝ Η ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ ΤΟ ΒΑΘΜΟ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΓΩΝΙΑ (CUSP). ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΚΑΜΠΥΛΗΣ B-SPLINE ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ (k=4) • n+3 σηµεία ελέγχου Pi, µε τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσης ri (i = -1, 0, 1, 2, . . ., n+1) • Oρίζουµε n κυβικά τµήµατα από τις σχέσεις r = Ri (u) = • 1 1 1 1 (1− 3u + 3u 2 − u 3 ) ri − 2 + ( 4 − 6u 2 + 3u 3 ) ri −1 + (1+ 3u + 3u 2 − 3u 3 ) ri + u 3ri +1 6 6 6 6 Σηµεία ελέγχου διακριτά µεταξύ τους - συνέχεια κατεύθυνσης και καµπυλότητας µεταξύ των τµηµάτων. ∆εν περνάει από κανένα από τα σηµεία ελέγχου. • ∆ύο σηµεία ελέγχου συµπίπτουν - ασυνέχεια καµπυλότητας. • Τρία συνεχόµενα σηµεία ελέγχου συµπίπτουν - ασυνέχεια κλίσης. • Κάθε ένα από τα κυβικά τµήµατα έχει τις ιδιότητες του απλού µετασχηµατισµού και του κυρτού περιβλήµατος. • Με διαφορετικό διάνυσµα κόµβων η καµπύλη περνάει από τα ακραία σηµεία ελέγχου και έχει κλίση ίση µε τα ακραία τµήµατα. Σχ.18. Οµοιόµορφη κυβική καµπύλη B-Spline µε εννέα κυβικά τµήµατα και δώδεκα σηµεία ελέγχου. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-22- 3.6.6 NURBS - NON UNIFORM RATIONAL B-SPLINES ∆υνατότητα απεικόνισης κωνικών τοµών IGES standards 1983 n Εξίσωση ∑N i =0 n R (u ) = i ,k ∑N i =0 n i ,k (u )w i m ∑ ∑N S (u ,v ) = (u )w i Pi i =0 j = 0 n i ,k (u )M j ,l (v )w ij Pij m ∑ ∑N i = 0 j =0 i ,k (u )M j ,l (v )w ij ! βαθµός kxl, αριθµός σηµείων ελέγχου (n+1)x(m+1), wij βάρος σηµείων ελέγχου Ρij. ! διανύσµατα κόµβων [x0 x1 ... xp ] [ y0 y1 ... yq ], και ισχύει p=n+k+1 kai q=m+l+1 Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των απλών b-splines ∆υνατότητα απεικόνισης πολλών τµηµάτων σε µια καµπύλη ακόµα και µε γωνίες µεταξύ τους Ολες οι καµπύλες µπορούν να απεικονισθούν µε NURBS Αναπαράσταση κωνικών τοµών Ο κύκλος απεικονίζεται µε οκτώ σηµεία βάρους Σχ. 19. Απεικόνιση κύκλου µε τµήµατα NURBS. [w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8] = [1 1/√2 1 1/√2 1 1/√2 1 1/√2 1] Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-23- και το διάνυσµα κόµβων είναι : [0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4] Σύνδεση δυο καµπυλών Μπορούµε να συνδέσουµε δυο καµπύλες NURBS σε µια καµπύλη µε µια απλή διαδικασία (αλγόριθµος oslo). Για δυο καµπύλες Στοιχεία Α' ΚΑΜΠΥΛΗ Β' ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΝΩΣΗΣ ΤΑΞΗ =3 =3 =3 ΣΗΜΕΙΑ [0,0,1], [0,1,1/√2], [1,1,1], [2,1,1], [0,0,1], [0,1,1/√2], ΕΛΕΓΧΟΥ [1,1,1] [3,1.5,1], [3.5,2.5,1] [1,1,1], [2,1,1], [3,1.5,1], [3.5,2.5,1] [xi, yi, wi] ∆ΙΑΝΥΣΜΑ [0 0 0 1 1 1] [Ο Ο Ο 1 2 2 2] ΚΟΜΒΩΝ [0 0 0 1 1 2 3 3 3] Σηµεία ελέγχου ! το τελευταίο σηµείο ελέγχου της πρώτης καµπύλης ενώνεται µε το πρώτο της δεύτερης (εάν τα βάρη είναι ίδια, διαφορετικά πολλαπλασιάζονται µε ένα πραγµατικό αριθµό για να γίνουν ίδια. ∆ιάνυσµα κόµβων ! προσθέτουµε τη τελευταία τιµή κόµβου της πρώτης καµπύλης στη δεύτερη [0 0 0 1 1 1] [ 1 1 1 2 3 3 3] ! µειώνουµε την πολλαπλότητα του τελευταίου κόµβου στην πρώτη καµπύλη και αφαιρούµε όλη τη πολλαπλή πρώτη τιµή από τη δεύτερη [ 0 0 0 1 1] [ 2 3 3 3] Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-24- 3.6.7 ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ COONS • η πιο απλή µορφή µπαλώµατος coons περιγράφεται από τα διανύσµατα των τεσσάρων ακραίων σηµείων: • θέσης • κλίσης κατά u kai v • στρέψης Σχ. 20α. Μπάλωµα Coons. Σχ. 20β. Γενικευµένο µπάλωµα Coons. • η επιφάνεια ορίζεται από τη σχέση h0 (v ) h (v ) 1 S (u, v ) = [ h0 (u) h1 (u) h2 (u) h3 (u)] M h2 (v ) h3 (v ) όπου ho(u)=(1-u)2(2u+1), h1(u)=u2(-2u+3) h2(u)=(1-u)2u, h3(u)=u2(u-1) S (0,0) S (0,1) S v (0,0) S v (0,1) S (1,0) S (1,1) S v (1,0) S v (11 , ) και ο πίνακας M = S u (0,0) S u (0,1) S uv (0,0) S uv (0,1) S u (1,0) S u (1,1) S uv (1,0) S uv (1,1) S(0,0), S(0,1), S(1,0), S(1,1) είναι τα διανύσµατα θέσης Su(u1,v1)=∂S(u,v)/∂uu=u1,v=v1 τα διανύσµατα κλίσης κατά u Sv(u1,v1)=∂S(u,v)/∂vu=u1,v=v1 τα διανύσµατα κλίσης κατά v Su(u0,v1)=∂S(u,v)/∂u∂vu=u1,v=v1 τα διανύσµατα στρέψης Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-25- • προφανώς οι οριακές καµπύλες είναι κυβικά πολυώνυµα • η γενικευµένη επιφάνεια coons δηµιουργείται από τέσσερις οριακές καµπύλες που σχηµατίζουν ένα τετράπλευρο και τα εφαπτόµενα διανύσµατα κατά µήκος των οριακών καµπυλών (cross boundary derivatives) • ορισµοί, S(U,0), S(U,1), S(0,V) KAI S(1,V), οριακές καµπύλες SV(U,O), SV(U,1), SU(0,V) ΚΑΙ SU(1,V) τα οριακά εφαπτόµενα διανύσµατα • εξίσωση µπαλώµατος S(U,V) = SA + SB - SC Σχ. 20γ. Πρόσθεση µπαλωµάτων για την δηµιουργία µπαλώµατος Coons. όπου : SA κυβική µείξη µεταξύ S(0,V), S(1,V) SU(0,V), SU(1,V) SB κυβική µείξη µεταξύ S(U,0), S(U,1) SV(U,0), SV(V,1) SC επιφάνεια διόρθωσης • εξίσωση επιφάνειας • για την οµαλή µετάβαση από ένα µπάλωµα σε ένα άλλο απαιτείται κοινό διάνυσµα στρέψης στα τέσσερα ακραία σηµεία του µπαλώµατος. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-26- • συνήθως τα διανύσµατα στρέψης είναι ίσα µε µηδέν • υπολογισµός µε τη µέθοδο forrest, aidini, gregory. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-27- 3.6.8 ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ GREGORY • ένα δικυβικό µπάλωµα ορίζεται από 20 σηµεία ελέγχου Pijk (i=0,...,3, j=0,...,3, k=0,1) Σχ. 21α. Μπάλωµα Gregory. • εξίσωση µπαλώµατος 3 3 S (u, v ) = ∑ ∑ Bi3 (u) B 3j (v )Qij (u, v ) i =0 j = 0 Bi3 (u), B 3j (v ) βασικές συναρτήσεις bernstein τα Qij ορίζονται συναρτήσει των σηµείων ελέγχου pijk από τις σχέσεις • ΕΑΝ i≠1,2 ή j≠1,2 TOTE Qij(u,v) = Pij0 • ΕΑΝ i=1,2 KAI j=1,2, τότε uP110 + vP111 u+v uP + (1 − v ) P121 Q12 (u, v ) = 120 u + (1 − v ) (1 − u) P210 + vP211 Q21 (u, v ) = (1 − u) + v (1 − u) P220 + (1 − v ) P221 Q22 (u, v ) = (1 − u) + (1 − v ) Q11 (u, v ) = ΟΠΟΥ 0≤u,v≤1. • χαρακτηριστικά • οι οριακές καµπύλες είναι καµπύλες bezier • ισχύει η ιδιότητα του κυρτού πολύεδρου Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-28- • το µπάλωµα bezier είναι υποσύνολο του µπαλώµατος gregory, όταν τα σηµεία έλεγχου P110 KAI P111, P120 KAI P121, P210 KAI P211, P220 και P221, συµπίπτουν. • το εφαπτόµενο διάνυσµα στις ακραίες καµπύλες ορίζεται ανεξάρτητα για κάθε οριακή καµπύλη. για v=0, το εφαπτόµενο διάνυσµα είναι : 3 S (u,0) = 3∑ Bi3 (u)( Pi10 − Pi 00 ) i =0 συνεπώς για να συνδέσουµε δυο µπαλώµατα gregory πρέπει να έχουµε συνθήκες συνέχειας µόνο κατά την µια διεύθυνση, ενώ µε τα µπαλώµατα bezier πρέπει να έχουµε συνθήκες συνέχειας και στα ακραία σηµεία. Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-29- 3.6.9 ΒΑΘΜΩΤΑ ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ GREGORY • µπορούν να απεικονίσουν µε ακρίβεια κωνικές επιφάνειες • το δικυβικό βαθµωτό µπάλωµα ορίζεται από 32 σηµεία ελέγχου, pijk (i=0,...,3, j=0,...,3, k=0,1). τα σηµεία pij0 pij1 που βρίσκονται στις οριακές καµπύλες έχουν τις ίδιες συντεταγµένες άλλα διαφορετικό βάρος. Σχ. 21β. Βαθµωτό µπάλωµα Gregory. • εξίσωση δικυβικού µπαλώµατος 3 3 ∑∑ B 3 i G ( u, v ) = (u) B j3 (v )Qij (u, v ) i =0 j =0 3 3 ∑∑ B 3 i (u) B j3 (v ) wij (u, v ) i =0 j =0 Bi3 (u), B 3j (v ) βασικές συναρτήσεις bernstein τα qij και τα βάρη wij, ορίζονται συναρτήσει των σηµείων ελέγχου pijk από τις σχέσεις • ean i=0,1 και j=0,1, tote Qij (u, v ) = wij (u, v ) = u 2 Pijo wij 0 + v 2 Pij1 wij1 u2 + v2 u 2 wijo + v 2 wij1 u2 + v 2 • εάν i=2,3 kai j=0,1 τότε Qij (u, v ) = wij (u, v ) = (1 − u) 2 Pijo wij 0 + v 2 Pij1 wij1 (1 − u) 2 + v 2 (1 − u) 2 wijo + v 2 wij1 (1 − u) 2 + v 2 Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-30- • ean i=0,1 και j=2,3 tote Qij (u, v ) = wij (u, v ) = u 2 Pijo wij 0 + (1 − v ) 2 Pij1 wij1 u 2 + (1 − v ) 2 u 2 wijo + (1 − v ) 2 wij1 u 2 + (1 − v ) 2 • εάν i=2,3 kai j=2,3 τότε Qij (u, v ) = wij (u, v ) = (1 − u) 2 Pijo wij 0 + (1 − v ) 2 Pij1 wij1 (1 − u) 2 + (1 − v ) 2 (1 − u) 2 wijo + (1 − v ) 2 wij1 (1 − u) 2 + (1 − v ) 2 όπου 0≤u,v≤1. χαρακτηριστικά • οι οριακές καµπύλες είναι βαθµωτές καµπύλες bezier. • εάν τα βάρη είναι θετικά ή 0, τότε ισχύει η ιδιότητα του κλειστού πολύεδρου • η βαθµωτή επιφάνεια bezier είναι µια ειδική περίπτωση του βαθµωτού µπαλώµατος gregory, όταν τα σηµεία ελέγχου p110 kai p111, p120 kai p121, p210 kai p211, p220 kai p221, συµπίπτουν και τα αντίστοιχα βάρη είναι ίσα. • το εφαπτόµενο διάνυσµα στις ακραίες καµπύλες ορίζεται ανεξάρτητα για κάθε οριακή καµπύλη. για v=0 kai wi00=wi10 (i=0,...,3), το εφαπτόµενο διάνυσµα είναι : 3 S v (u,0) = 3∑ Bi3 (u) wi 00 ( Pi10 − Pi 00 ) i =0 3 ∑B 3 i (u) wi 00 i =0 Επισκόπηση Συστηµάτων CAD -3-31-
© Copyright 2024 Paperzz
