BOOLEOVA ALGEBRA I PREKIDAČKE FUNKCIJE

BOOLEOVA ALGEBRA
I PREKIDAČKE FUNKCIJE
OSNOVI BOOLEOVE ALGEBRE
Booleova (Bulova) algebra se oslanja na: postulate, pravila, zakone, teoreme i
identitete, koje ćemo ovdje izložiti.
Promjenljiva u Booleovoj (prekidačkoj) algebri može imati vrijednosti 0 i 1.
Komplement neke promjenljive ima značenje suprotno od A.
Postulati i pravila Booleove algebre
Osnovni postulati i pravila Booleove algebre prikazani su u sljedećim tabelama.
ILI (OR)
0+
0+
1+
1+
0
1
0
1
=
=
=
=
0
1
1
1
A+0 =A
A+1 = 1
A+A=A
A+A= 1
I (AND)
0.
0.
1.
1.
0
1
0
1
=
=
=
=
0
0
0
1
A .0 = 0
A . 1 =A
A . A=A
A . A= 0
NE (NOT)
0 = 1
1 = 0
A = A
Zakoni Booleove algebre
Neki od osnovnih zakona Booleove algebre, vezani za operacije nad
promjenljivom A, prikazani su u donjoj tabeli .
zakon komutacije
zakon asocijacije
A + B = B + A
A
.
B = B
.
A + ( B + C) = ( A + B ) + C
A
.
A
(B
.
zakon apsorpcije
A + (A
A
.
.
.
C) = ( A
.
B)
C
zakon distribucije
.
B) =
A
A
(A + B) =
A
A + (B
( B + C) = ( A
.
.
B) + (A
C) = ( A + B )
.
.
C)
( A + C)
U tabeli, promjenljive B i C imaju ista svojstva kao promjenljiva A.
De Morganove teoreme
Na bazi Booleove algebre, De Morgan je formulisao dvije važne teoreme, koje,
u generalizaciji Shanona (Šenona), imaju jedinstven iskaz
Za dobijanje komplementa neke Booleove funkcije
treba sve promjenljive zamijeniti njihovim
komplementima pa zatim operacije "ILI" zamijeniti sa
"I", a operacije "I" sa "ILI“.
∑
N
i =1
Xi = Π
N
i =1
Xi i
A + B = A⋅B
i
Πi = 1X = ∑
N
i
N
i =1
Xi
A ⋅B = A + B
A
B
A+B
A
B
AB
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
Identiteti Booleove algebre
Pri radu sa funkcijama promjenljivih A, B i C u Booleovoj algebri, najčešće se javlja
potreba korišćenja identiteta, kao što su:
1) A . B + A . B = A ;
2) A . ( A + B ) = A . B ;
3) ( A + B ) . ( A + B ) = A .
Dokažimo ove identitete:
1) A ⋅ B + A ⋅ B = A ⋅ (B + B ) = A
2) A ⋅ ( A + B ) = A ⋅ A + A ⋅ B = A ⋅ B
3) ( A + B ) ⋅ ( A + B ) = A ⋅ A + A ⋅ B + A ⋅ B + B ⋅ B = A + A ⋅ (B + B ) = A + A = A
PREKIDAČKE FUNKCIJE I NJIHOVA MINIMIZACIJA
Koristeći osnovne operacije Booleove algebre, kao i prekidačke promjenljive, mogu se
formirati proizvoljne funkcije koje se, zbog karaktera promjenljivih, nazivaju prekidačke
funkcije.
Tipičan način formiranja prekidačke funkcije:
Kombinacije logičkih proizvoda povezuju u logički zbir, vodeći računa da sve
kombinacije budu formirane tako da daju logičku jedinicu.
Još jedan način predstavljanja logičkih funkcija je kao proizvod logičkih zbirova.
.
Zbirovi
promjenljivih treba da budu formirani na način kojim će biti obezbijeđena
logička nula.
f = A ⋅B ⋅ C + A ⋅B ⋅ C + A ⋅B ⋅ C
f = (A + B + C) ⋅(A + B + C) ⋅(A + B + C)
Postoji i način tzv. tabelarnog zadavanja.
A
B
C
f
A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
f = A ⋅B ⋅C + A ⋅B ⋅C + A ⋅B ⋅C
f = (A + B + C) ⋅(A + B + C) ⋅(A + B + C)
Zbir logičkih proizvoda formira se kao zbir kombinacija koje daju logičku
jedinicu, dok se proizvod logičkih zbirova formira kao proizvod kombinacija koje
daju logičku nulu.
Zapazimo da se, pri formiranju sume logičkih proizvoda, vrijednost logičke nule
neke promjenljive tretira kao njen komplement,
dok se, za slučaj proizvoda logičkih suma, vrijednost logičke jedinice tretira kao
komplement.
Minimizacija prekidačkih funkcija
Veoma često su prekidačke funkcije definisane tako da, ukoliko se upotrijebe
osnovna pravila i teoreme Booleove algebre, broj njihovih članova može biti
znatno smanjen.
Procedura svođenja prekidačkih funkcija na reduciranu formu naziva se
minimizacija prekidačkih funkcija.
Pokažimo ovo na jednom jednostavnom primjeru:
f = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + ( A + B ) ⋅ C ⋅ D + A ⋅ (B + C )
Primjenom De Morganove teoreme
slijedi
B + C = B⋅C
A + B = A ⋅B
f = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C ⋅ (D + D ) + A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ ( C + C ) = A ⋅ B
Karnaughove (Karnoove) tablice
Radi jednostavnosti minimizacije logičkih funkcija, uvedene su tzv.
Karnaughove (Karnoove) tablice.
Karnaughove tablice u sebi sadrže polja čiji je broj jednak broju kombinacija
promjenljivih od kojih zavisi neka funkcija.
Kombinacije promjenljivih za svaka dva susjedna polja tabele razlikuju se samo
za jednu promjenljivu.
Izdvajajući one dvije koje su iste, može se dobiti minimizirana forma za dva
člana koja odgovaraju tim poljima.
BC
A
0
1
00
01
11
10
0
1
3
2
4
5
7
6
Karnaughova tablica za tri promjenljive.
PRIMJER:
f = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
BC
A
00
01
0
0
1
1
10
3
1
4
1
11
2
1
7
5
1
f = AB + C
6
1
Potpuno analogna analiza može se provesti za funkcije sa četiri promjenljive. U
tom slučaju, Karnaughova tablica ima oblik kao na slici.
CD
AB
00
01
11
10
00
01
11
10
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
Karnaughova tablica za četiri promjenljive.
PRIMJER: Minimizirajmo funkciju od sedam članova na osnovu
Karnaughove tablice.
CD
AB
00
00
1
01
1
11
0
1
4
5
12
11
10
01
8
10
3
1
2
7
6
13
15
14
9
11
1
1
1
10
1
f = B ⋅D + A ⋅B ⋅D + B ⋅ C ⋅D
Postavlja se pitanje kako bi izgledala funkcija u zadnjoj tabeli ako bi bila
predstavljena u obliku proizvoda logičkih zbirova. U tom slučaju, posmatraju
kombinacije koje daju nulu (to su u našem slučaju sva polja koja nemaju
jedinicu), onda se ta polja mogu minimizirati na isti način, s tim da se vrijednosti
promjenljive 0 pišu kao neinvertovane, a vrijednosti promjenljive 1 kao
invertovane.
Za slučajeve kad se radi o funkcijama sa više od četiri promjenljive (npr. pet),
jednu promjenljivu treba izdvojiti i sačiniti jednu tablicu za sve članove iz kojih je
izdvojena njena neinvertovana vrijednost, i drugu tablicu, za članove ispred
kojih je izdvojena invertovana vrijednost odabrane promjenljive. Znači, u ovom
slučaju, vrši se minimizacija članova koji ostaju u zagradi poslije izdvajanja
neinvertovane i invertovane vrijednosti odabrane promjenljive.

Download Report