1 Pojam funkcije više promjenljivih
Neka su SX ⊂ Rn i SY ⊂ Rm proizvoljni skupovi.
Definicija 1.1. Ako jednoj taˇcki X ∈ SX po nekom zakonu ili pravilu f dodijeljujemo
taˇcno jednu taˇcku Y ∈ SY , kažemo da je sa f definisano preslikavanje ili funkcija sa
SX u SY .
Definicija 1.2. Pod realnom funkcijom n promjenljivih podrazumijevamo svako preslikavanje f : SX → R, gdje je SX ⊂ Rn . Pri tome za proizvoljno X(x1 , x2 , ..., xn ) ∈
SX pišemo
f (x1 , x2 , ..., xn ) = y ili f (X) = y .
Kako uredjena n-torka oznaˇcava taˇcku u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru, to
c´ emo cˇ esto funkciju f zvati funkcija taˇcke.
Skup SX nazivamo domenom funkcije f , a realne brojeve x1 , x2 , ..., xn nazivamo nezavisne varijable, argumenti ili promjenljive funkcije f .
p
Primjer. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 ; f : SX → R, x i y su varijable, a domen je
SX = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}.
Ovdje c´ emo izuˇcavati funkcije f : Rn → R, tj. funkcije koje kao ulaz imaju vektor, a
kao izlaz daju skalar.
Funkcija koja svakoj taˇcki trodimenzionalnog prostora dodjeljuje temperaturu u toj
taˇcki, primjer je takve funkcije, ili funkcija koja prikazuje bruto nacionalni dohodak
neke države. U prvom sluˇcaju, domen funkcije je trodimenzionalan, dok je u drugom sluˇcaju on višedimenzionalana (npr. hiljadu). Bez obzira što c´ emo mi govoriti o
proizvoljnom n-dimenzionalnom prostoru, naši primjeri c´ e najˇceš´ce biti u dvije ili tri
dimenzije.
U grafiˇckom predstavljanju funkcija više varijabli, uobiˇcajena su dva naˇcina, pomo´cu
nivo linija i pomo´cu grafa.
Definicija 1.3. Za datu funkciju f : Rn → R i realan broj c, skup
L = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | f (x1 , x2 , ..., xn ) = c}
nazivamo nivo skup funkcije f za nivo c. Za n = 2, L nazivamo nivo kriva funkcije f ,
a za n = 3, kažemo da je L nivo površ funkcije f . Crtanje koje prikazuje nivo skupove
za razliˇcite nivoe nazivamo konturno crtanje funkcije.
Naprimjer, kod funkcije dvije promjenljive z = f (x, y), drže´ci z fiksnim, tj. stavljaju´ci
f (x, y) = c, vršimo presjecanje površi f (x, y) sa ravni z = c. Presjeˇcnu liniju te ravni
i površi, projektujemo u xOy ravan ili gledamo iz taˇcke na z-osi. Rade´ci taj postupak
za razne c, dobijamo konturnu sliku grafa.
Primjer. Neka je f : R2 → R, zadata sa f (x, y) = 4 − 2x2 − y 2 . Za zadato c ∈ R,
skup taˇcaka koje zadovoljavaju jednakost 4 − 2x2 − y 2 = c predstavlja nivo skup
funkcije f . Jasno, ako je c > 4, taj skup je prazan; za c = 4 on se sastoji samo od
jedne taˇcke, (0, 0); za c < 4 taj skup je elipsa sa centrom u koordinatnom poˇcetku, tj.
za svako c < 4 nivo linija je elipsa, za nekoliko razliˇcitih nivoa.
1
y
c = −2
c = −1
c=0
c=1
z
Slika 1:
x
b
(lijevo) Slika ??, pogled sa z-ose, (desno) nivo linije funkcije f (x, y) = 4 − 2x2 − y 2
Primjer. Neka je f : R2 → R, zadata sa
p
sin x2 + y 2
.
f (x, y) = p
x2 + y 2
Za proizvoljnu taˇcku (x, y) na centralnoj kružnici polupreˇcnika r > 0 (x2 + y 2 = r2 ),
funkcija f (x, y) ima konstantnu vrijednost
sin r
,
r
pa c´ e nivo linije ove funkcije, biti koncentriˇcni krugovi sa centrom u koordinatnom
poˇcetku.
2
1
−3
−2
−1
1
2
−1
−2
√
−3
sin x2 +y 2
Slika 2: Nivo linije funkcije f (x, y) = √ 2 2
x +y
Primjer nivo linija imamo u kartografiji. Naime, kada na karti, koja je dvodimenzionalni prikaz terena, želimo prikazati planinu, onda to upravo cˇ inimo prikazom punom
linijom onih taˇcaka te planine koje su na istoj nadmorskoj visini. Takodje imamo izobare (podruˇcja sa istim pritiskom), izoterme (podruˇcja sa istom temperaturom)
2
Primjer. Posmatrajmo funkciju f : R3 → R, zadatu sa f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 .
Jedna nivo površ ove funkcije zadata je jednaˇcinom
x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 ,
što predstavlja jednaˇcinu elipsoida. Primjetimo da ako u gornjoj jednaˇcini fiksiramo
z = z0 , dobijamo jednaˇcinu
x2 + 2y 2 = 1 − 3z02 ,
a to su elipse u xy-ravni, što opravdava cˇ injenicu da su nivo površi funkcije f elipsoidi
(sliˇcno smo mogli fiksirati i varijable x i y i dobiti da su projekcije u yz-ravan i u
xz-ravan takodje elipse).
z
y
x
Slika 3: Nivo površi funkcije f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 (elipsoidi)
Kod prouˇcavanja funkcije jedne promjenljive, y = f (x), svakom smo paru (x, y) pridruživali jednu taˇcku M (x, y) u realnoj ravni. Skup svih takvih taˇcaka M , predstavljao
je grafik funkcije f i on je bio izražen kao kriva linija u ravni.
U sluˇcaju kada posmatramo funkciju dvije promjenljive z = f (x, y), grafik funkcije c´ e
biti izražen taˇckama M (x, y, z), dakle u 3-dimenzionalnom prostoru. Pri tome vrijedi
1◦ Svaka taˇcka grafika, M (x, y, z), ima apscisu (po x-osi ) i ordinatu (po y-osi)
koje predstavljaju koordinate neke taˇcke X(x, y) iz domena funkcije, i aplikatu
(po z-osi) koja je jednaka vrijednosti funkcije u taˇcki X(x, y).
2◦ Svaka taˇcka M (x, y, z) prostora za koju taˇcka X(x, y) pripada domenu funkcije,
a aplikata z je jednaka vrijednosti funkcije u taˇcki X, pripada grafiku funkcije
3
z
b
M
y
Na osnovu reˇcenog zakljuˇcujemo da je graX
fik funkcije slika njene oblasti definisanosti.
Ako je z = f (x, y) definisana u oblasti
D, njen grafik predstavlja površ u prostoru R3 , cˇ ija je projekcija na xy-ravan upravo
x
oblast D.
b
Definicija 1.4. Posmatrajmo proizvoljnu funkciju f : Rn → R. Skup
G = {(x1 , x2 , ..., xn , xn+1 )| xn+1 = f (x1 , x2 , ..., xn )}
nazivamo graf funkcije f .
Primjetimo da je graf G funkcije f : Rn → R u prostoru Rn+1 , pa kao posljedicu toga
imamo da smo u mogu´cnosti geometrijski predstavljati samo sluˇcajeve kada je n = 1
i tada imamo krivu koja predstavlja funkciju jedne varijable, i kada je n = 2 u kom
sluˇcaju je graf površ u trodimenzionalnom prostoru.
Šta bi bila geometrijska interpretacija grafika funkcije 3 i više promjenljivih za sada
nam je nemogu´ce re´ci, s obzirom da nemamo naˇcin da prikažemo uredjene cˇ etvorke,
petorke itd.
Primjer. Graf funkcije f (x, y) = 2x2 + y 2 , f : R2 → R, prestavlja skup uredjenih
trojki (x, y, z) ∈ R3 , koje zadovoljavaju jednakost
z = 2x2 + y 2 .
Da bi smo predstavili graf ove funkcije u R3 , koristimo ideju da predstavljamo dijelove
tog grafa koji leže iznad mreže linija paralelnih osama u xy-ravni. Npr., za jedno
fiksirano x = x0 , skup taˇcaka koje zadovoljavaju jednaˇcinu
z = 2x20 + y 2 ,
predstavlja parabolu koja leži iznad linije x = x0 u xy-ravni.
Na isti naˇcin, ako fiksiramo y = y0 , skup taˇcaka koje zadovoljavaju jednaˇcinu z =
2x2 + y02 , je parabola koja leži iznad linije y = y0 . Ako istovremeno nacrtamo više tih
parabola za razne x = x0 i y = y0 , dobijamo mrežnu predstavu te površi (grafa) i u
ovom sluˇcaju ta površ je paraboloid.
Primjer. Mada se za grafove mnogih funkcija možemo poslužiti idejom mreže, izloženom u gornjem primjeru, za ve´cinu funkcija dobra slika njihovih grafova zahtjeva
4
z
y
x
Slika 4: Paraboloid; Graf funkcije z = 2x2 + y 2
upotrebu raˇcunarske grafike ili eventualno mnogo umjetniˇcke vještine. Tako naprimjer,
za predstavljanje grafa funkcije
p
sin x2 + y 2
p
,
f (x, y) =
x2 + y 2
možemo se poslužiti konturnim crtanjem i zakljuˇciti da graf funkcije osciluje ukoliko
se pomjeramo od koordinatnog poˇcetka, taˇcnije, da nivo krugovi iz konturnog crtanja
p
sin r
rastu i opadaju sa oscilacijom
, gdje je r = x2 + y 2 .
r
Ekvivalentno, dijelovi grafa funkcije f iznad proizvoljne linije u xy-ravni koja prolazi
kroz koordinatni poˇcetak, predstavljeni su funkcijom
z=
sin r
.
r
Ovo zaista jeste dobra ideja za predstavljanje grafa funkcije f , ali iskreno govore´ci
mnogi ne bi bili u stanju produkovati sliku tog grafa. Primjetimo takodje da naša
funkcija nije definisana u taˇcki (0, 0) ali da ona teži ka vrijednosti 1, kada taˇcka (x, y)
teži ka (0, 0), što je opravdano cˇ injenicom
lim
r→0
sin r
=1.
r
Ovdje treba otkloniti i nedoumicu oko funkcija oblika z = sin x (Slika 6 lijevo) ili z =
y 2 (Slika 6 desno). Naime, u oba sluˇcaja podrazumijevamo da je z = z(x, y) pa grafici predstavljaju površi u prostoru, a nepojavljivanje neke od varijabli znaˇci njenu pro-
5
z
y
x
√
sin x2 +y 2
Slika 5: Graf funkcije f (x, y) = √ 2 2
x +y
z
z
izvoljnost u definisanosti funkcije.
x
y
x
z
f (x, y) = (4 − x2 − y 2 )e−(x
2
+y 2 )
z
f (x, y) = 10 x3 + xy 4 −
y
y
x
x
Slika 6:
(lijevo) z = sin x, (desno) z = y 2
2 Diferencijabilnost funkcije više promjenljivih
Diferencijabilnost
6
x
5
e−(x
2
+y 2 )
+ e−((x−1
U ovoj sekciji govorit c´ emo o drugoj važnoj osobini proizvoljnog preslikavanja, o diferencijabilnosti. Ovdje c´ emo pretpostavljati uvijek ako drugaˇcije nije naglašeno, da
svaka taˇcka domena Df posmatranog preslikavanja, pripada tom skupu zajedno sa nekom svojom okolinom, tj. pretpostavljat c´ emo da je skup Df otvoren.
U nekim razmatranjima bit c´ e neophodna i osobina povezanosti (koneksnosti) tog
skupa. Za takav skup (otvoren i povezan) re´ci c´ emo da je oblast u prostoru Rn .
2.1 Izvod u pravcu
Izvod u pravcu
Za funkciju φ : R → R, izvod u taˇcki x0 ∈ Dφ definisali smo sa
φ(x0 + h) − φ(x0 )
,
h→0
h
φ′ (x0 ) = lim
(1)
i geometrijski, predstavljao je nagib tangente (tj. najbolju linearnu aproksimaciju) na
krivu φ u taˇcki (x0 , φ(x0 )) ili trenutnu mjeru promjene funkcije φ(x) u odnosu na
varijablu x, kada je x = x0 .
Kao uvod za nalaženje ovakve "najbolje linearne aproksimacije" za funkciju f : Rn →
R, pokušat c´ emo iskoristiti, tj. generalizovati (1) da bi realizovali ideju "nagiba" i
"mjere promjene" za ovakvo preslikavanje. Posmatrajmo funkciju f : R2 → R,
definisanu sa
f (x, y) = 4 − 2x2 − y 2 .
Ukoliko želimo da vizualiziramo kretanje po ovom grafu (površi), nagib puta po kome
se kre´cemo ovisi od polazne taˇcke ali i od pravca našeg kretanja.
Na primjer, neka je startna taˇcka (1, 1, 1) na površi i neka je pravac kretanja odredjen
vektorom v~′ = (−1, −1, 3). Ovo c´ e uzrokovati kretanje direktno ka vrhu grafa i jasno
je da je "mjera promjene" rastu´ca. Medjutim, ako se iz iste taˇcke kre´cemo u pravcu
vektora −v~′ , onda "silazimo niz graf", tj. "mjera promjene" je opadaju´ca. Obje ove
mogu´cnosti naznaˇcene su na slici crvenom bojom.
~ ′ = (−1, 2, 0), vidimo da je putanja
Ako iz iste taˇcke krenemo u pravcu vektora w
kretanja po elipsi
2x2 + y 2 = 3 ,
tj. "obilazimo" oko grafa, pa je "nagib" bez promjene, a time i "mjera promjene" je 0.
Ova mogu´cnost kretanja je na slici prikazana zelenom bojom. Dakle, govoriti o "nagibu" na graf funkcije f u taˇcki, zahtijeva specificirati pravac kretanja.
Kretanju
na grafu iz taˇcke (1, 1, 1), u pravcu vektora v~′ , odgovara kretanje u domenu funkcije,
~′ ,
iz taˇcke c u pravcu vektora ~v = (−1, −1). Analogno kretanju u pravcu vektora w
odgovara kretanje iz c u pravcu w
~ = (−1, 2).
Dakle, ukoliko se kre´cemo iz taˇcke c = (1, 1) u pravcu vektora
~u =
tada izraz
1
~v
= − √ (1, 1) ,
||~v ||
2
f (c + h~u) − f (c)
,
h
7
z
v~′
b
~v
x
c
~′
w
w
~
y
Slika 7: Izvod u pravcu
za proizvoljno h > 0, c´ e predstavljati aproksimaciju nagiba na graf funkcije f u taˇcki
c u pravcu ~u.
Kao što smo to radili sa funkcijama jedne varijable, puštaju´ci sada da h teži ka 0, dobili
bi smo egzaktan nagib na graf, u taˇcki c, u pravcu ~u.
h
h
− f (1, 1)
f (c + h~u) − f (c) = f 1 − √ , 1 − √
2
2
2
2 h
h
= 4−2 1− √
−1
− 1− √
2
2
√
h2
= 3 − 3 1 − 2h +
2
2
√
√
3h
3h
= 3 2−
.
=h 3 2−
2
2
Odavdje je sada
√
√
f (c + h~u) − f (c)
3h
=3 2.
= lim 3 2 −
h→0
h→0
h
2
√
taˇcke (1, 1), u pravcu vektora
Dakle, naš graf ima nagib od 3 2 ukoliko startujemo iz√
~u. Sliˇcnim raˇcunom bi dobili da je u pravcu −~u nagib −3 2, odnosno u pravcu vektora
w
~
√1 (−1, 2) nagib je 0.
||w||
~ =
5
lim
8
Definicija 2.1. Neka je funkcija f : Rn → R definisana u nekoj otvorenoj kugli oko
taˇcke c. Za dati vektor ~u, izraz
Du f (c) = lim
h→0
f (c + h~u) − f (c)
,
h
(2)
ukoliko limes postoji, nazivamo izvod u pravcu, funkcije f , u pravcu vektora ~u, u taˇcki
c.
Primjer. Prema gornjem razmatranju, za funkciju f (x, y) = 4 − 2x2 − y 2 je
√
√
Du f (1, 1) = 3 2 , D−u f (1, 1) = −3 2 , Dw f (1, 1) = 0 .
3 Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal
Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal
Kao što smo vidjeli iz gornjeg, za funkciju više varijabli nemožemo jednostavno govoriti o izvodu te funkcije, tj. možemo govoriti o izvodu ali pri tome moramo znati
pravac kretanja, i tada ustvari govorimo o izvodu u pravcu.
Pravac u kome nalazimo izvod funkcije više varijabli može biti proizvoljan, ali pravci
odredjeni baznim vektorima prostora domena su od posebne važnosti. Neka su e1 , e2 , ..., en
standardni vektori baze prostora Rn , tj.
e1 = (1, 0, 0, ..., 0) , e2 = (0, 1, 0, ..., 0) · · · en = (0, 0, 0, ..., 1) .
Posmatrajmo funkciju f : Rn → R
f (X) = f (x1 , x2 , ..., xn ) ,
koja je definisana u nekoj okolini UA taˇcke A(a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn . Razmotrimo za
trenutak funkciju g : R → R, uvedenu na sljede´ci naˇcin
g(t) = f (t, x2 , x3 , ..., xn ) ,
tj. definišemo je preko funkcije f , tako što poˇcev od druge, sve varijable držimo fiksnim
(ne mjenjamo ih), a samo prvu shvatimo kao varijablu.
Dakle, tada je g funkcija jedne varijable pa na nju možemo primjeniti jednakost (1),
g ′ (x) = lim
h→0
g(x + h) − g(x)
.
h
Ali tada imamo
g ′ (x1 )
=
=
=
=
=
g(x1 + h) − g(x1 )
h
f (x1 + h, x2 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn )
lim
h→0
h
f ((x1 , x2 , ..., xn ) + (h, 0, ..., 0)) − f (x1 , x2 , ..., xn )
lim
h→0
h
f (X + he1 ) − f (X)
lim
h→0
h
De1 f (X) .
lim
h→0
9
Vidimo da je izvod funkcije g u taˇcki x1 ustvari izvod u pravcu funkcije f u taˇcki X, u
pravcu vektora e1 . Na isti naˇcin smo mogli fiksirati k-tu promjenljivu (k = 1, 2, ..., n)
funkcije f i zakljuˇciti da bi vrijedilo
g ′ (xk ) = Dek f (X) .
Definicija 3.1. Neka je funkcija f : Rn → R definisana u nekoj okolini taˇcke A i neka
je ek (k ∈ {1, 2, ..., n}) k-ti vektor standardne baze u Rn . Ukoliko postoji, izvod u
pravcu Dek f (A), nazivamo parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj xk , u taˇcki A.
U razliˇcitim knjigama matematiˇcke analize nalazimo razne oznake za parcijalne izvode,
kao npr.
∂f
fx′ k ; fxk ;
i sl. .
∂xk
∂f
Mi c´ emo najˇceš´ce koristiti oznaku ∂x
, zato primjetimo da ovdje nismo koristili ozk
df
. Tehnika
naˇcavanje koje smo imali kod funkcije jedne promjenljive, tj. oznaku dx
odredjivanja parcijalnog izvoda se ni u cˇ emu ne razlikuje od tehnike izraˇcunavanja
izvoda funkcije jedne promjenljive.
Pri nalaženju parcijalnog izvoda po promjenljivoj xk , sve ostale promjenljive shvatamo
kao konstante, a nalazimo izvod po xk , koriste´ci pravila i tablicu izvoda funkcija jedne
promjenljive.
Primjer. Za funkciju f : R2 → R, zadatu sa f (x, y) = xy, parcijalni izvodi su
∂f
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
(x + ∆x)y − xy
(x, y) = lim
= lim
= y.
∆x→0
∆x→0
∂x
∆x
∆x
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
x(y + ∆y) − xy
∂f
(x, y) = lim
= lim
= x.
∆y→0
∆y→0
∂y
∆y
∆y
Primjer. f (x, y) = sin(xy − y).
∂f
(x, y)
∂x
∂
sin(xy − y)
∂x
∂
= cos(xy − y) (xy − y)
∂x
∂
∂
= cos(xy − y)
(xy) −
y
∂x
∂x
= y cos(xy − y) .
=
∂f
(x, y) =?
∂y
Primjer. Posmatrajmo funkciju f : R3 → R, f (x, y, z) = ln(x + yz).
∂
∂
1
1
∂f
(x, y, z) =
ln(x + zy) =
(x + zy) =
,
∂x
∂x
x + zy ∂x
x + yz
10
∂f
∂
∂
1
z
(x, y, z) =
ln(x + yz) =
(x + yz) =
,
∂y
∂y
x + yz ∂y
x + yz
∂
∂
1
y
∂f
(x, y, z) =
ln(x + yz) =
(x + yz) =
.
∂z
∂z
x + yz ∂z
x + yz
Parcijalni izvodi u konkretnoj taˇcki, npr. A(1, 1, 2) bili bi
1 ∂f
2 ∂f
1
∂f
(1, 1, 2) = ,
(1, 1, 2) = ,
(1, 1, 2) = .
∂x
3 ∂y
3 ∂z
3
x
Primjer. f (x, y) = .
y
y ∂ x−x ∂ y
y−0
1
∂f
= ,
= ∂x 2 ∂x =
2
∂x
y
y
y
∂
∂
x − x ∂y
y
y ∂y
∂f
0−x
x
=
=− 2 .
=
2
2
∂y
y
y
y
Kod funkcije jedne varijable y = f (x), ako je x = g(t), imali smo pravilo izvoda
složene funkcije (pravilo kompozicije) y = f (g(t)), koje glasi
dy dx
dy
=
.
dt
dx dt
Pravilo kompozicije moramo takodje imati i kod funkcija više varijabli. Pokazat c´ emo
to pravilo za funkciju dvije varijable, a ono se lako prenosi na funkcije sa n varijabli.
Neka je z = f (x, y) i neka su i x i y funkcije nekog parametra t, tj. x = x(t) i
y = y(t). Tada je funkcija z = f (x(t), y(t)), ustvari funkcija jedne varijable (t) i pri
tome imamo:
Ako su funkcije x(t) i y(t) diferencijabilne u t i ako je funkcija f diferencijabilna u
taˇcki (x(t), y(t)), tada vrijedi
z
∂z
∂y
∂z
∂x
∂z dx ∂z dy
dz
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
y
x
dx
dt
dy
dt
t
Primjer. Neka je f (x, y) = sin x + cos(xy) i neka su x = t2 i y = t3 . Tada prema
pravilu kompozicije imamo
df
dt
=
=
=
∂f dx ∂f dy
+
∂x dt
∂y dt
(cos x − sin(xy)y)2t + (− sin(xy)x)3t2
(cos t2 − t3 sin t5 )2t − 3t4 sin t5 .
11
Ukoliko su x i y zavisne od dvije varijable, tj. x = x(t, s) i y = y(t, s), tada pravilo
kompozicije glasi: Ako funkcije x i y imaju parcijalne izvode prvog reda u taˇcki (t, s)
i ako je funkcija z = f (x, y) diferencijabilna u taˇcki (x(t, s), y(t, s)), tada vrijedi
z
∂z
∂y
∂z
∂x
x
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
,
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
y
∂y
∂t
∂x
∂s
∂x
∂t
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
.
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂y
∂s
s
t
3.1 Gradijent
Gradijent
Definicija 3.2. Neka je funkcija f : Rn → R definisana u okolini UA taˇcke A i neka
∂f
(A) za sve k = 1, 2, ..., n. Vektor
postoje ∂x
k
∇f (A) =
∂f
∂f
∂f
(A),
(A), ...,
(A) ,
∂x1
∂x2
∂xn
nazivamo gradijent funkcije f u taˇcki A.
Primjer. Na osnovu Primjera 41, gradijent funkcije f (x, y) = xy je
∇f (x, y) = (y, x) ,
odnosno u konkretnoj taˇcki je, npr. ∇f (−2, 7) = (7, −2).
Primjer. Iz Primjera 43 imamo
∇f (1, 1, 2) =
1 2 1
, ,
3 3 3
.
Primjer. Za funkciju f (x, y) = 4 − 2x2 − y 2 imamo
∂f
∂f
(x, y) = −4x ,
(x, y) = −2y ,
∂x
∂y
pa je gradijent dat sa
∇f (x, y) = (−4x, 2y) .
Konkretno u taˇcki O(0, 0) je ∇f (0, 0) = (0, 0) .
12
Korisno je primjetiti jednu stvar, a to je da za funkciju f : Rn → R, njen gradijent
je funkcija ∇f : Rn → Rn , tj. gradijent je funkcija cˇ iji je ulaz n-dimenzionalna
veliˇcina (vektor), a izlazna je takodje n-dimenzionalni vektor. Ovakve funkcije uobicˇ ajeno nazivamo vektorsko polje, a sa cˇ ime c´ emo se susresti u narednim matematiˇckim
izuˇcavanjima.
Nije teško pokazati da za gradijent vrijede sljede´ca pravila:
1. ∇(kf ) = k∇f , (k = const. ).
2. ∇(f ± g) = ∇f ± ∇g.
3. ∇(f g) = g∇f + f ∇g.
f
g∇f − f ∇g
4. ∇
=
.
g
g2
13
© Copyright 2024 Paperzz
