΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να
δώσουµε µερικούς ορισµούς.
Άρτια και περιττή συνάρτηση
Ορισµός : Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται άρτια αν για κάθε x ∈ Α
ισχύει και − x ∈ A και f ( − x ) = f ( x )
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως
προς τον άξονα y' y .
Παράδειγµα: Η f ( x) = x 2 είναι
f ( x ) = αx 2 , α > 0
άρτια γιατί έχει πεδίο ορισµού το ℜ
και για κάθε x ∈ ℜ ισχύει − x ∈ ℜ
και f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f ( x) .
Ορισµός: Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται περιττή αν για κάθε x ∈ Α
ισχύει και − x ∈ A και f ( − x ) = − f ( x )
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως
προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0).
Παράδειγµα: Η f ( x) = x 3
είναι περιττή γιατί έχει πεδίο
ορισµού το ℜ και για κάθε x ∈
f ( x ) = αx 3 , α > 0
ℜ ισχύει − x ∈ ℜ και
f ( − x) = ( − x ) 3 = − x 3 = − f ( x ) .
37
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Μονοτονία (γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα
Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα ( ↑ ) σε ένα διάστηµα ∆ του
πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ ∆ ισχύει αν x1 < x2 τότε
f ( x1 ) < f ( x2 ) .
Παράδειγµα: Η f ( x) = x 3 είναι γνησίως
αύξουσα γιατί:
x1 < x 2 ⇒ x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )
3
3
Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα (↓) σε ένα διάστηµα ∆ του
πεδίου ορισµού της , όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ ∆ ισχύει αν x1 < x2 τότε
f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
Παράδειγµα: Η g ( x ) = −2 x + 3 είναι γνησίως φθίνουσα γιατί:
x1 < x2 ⇒ −2 x1 > −2 x2 ⇒ −2 x1 + 3 > −2 x2 + 3 ⇒ g ( x1 ) > g ( x2 )
Σχόλιο: Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα λέγεται γνησίως µονότονη.
38
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Παρατηρήσεις
1. Όταν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα), η γραφική της
παράσταση «ανεβαίνει» («κατεβαίνει») όταν προχωρούµε από αριστερά προς τα
δεξιά.
2. Μπορούµε να εξετάσουµε την µονοτονία µιας συνάρτησης χρησιµοποιώντας το
λόγο µεταβολής : λ =
f ( x1 ) − f ( x 2 )
.
x1 − x 2
Αν λ > 0 τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Αν λ < 0 τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Αν λ = 0 τότε η συνάρτηση είναι σταθερή.
Εµείς στα παραδείγµατα που θα δώσουµε θα θεωρούµε ότι x1 < x2 ⇔ x 2 − x1 > 0 και
παίρνοντας τη διαφορά f ( x2 ) − f ( x1 ) θα καταλήγουµε στη µορφή λ ( x 2 − x1 ) που θα
εξαρτάται από την ποσότητα λ.
39
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Ακρότατα (Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης)
Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει ελάχιστο στο x o ,
xo ∈ A όταν για κάθε x του πεδίου ορισµού της ισχύει f ( x) ≥ f ( xo ) .
Παράδειγµα: Η f ( x) = x − 2 + 1 έχει ελάχιστο γιατί ισχύει x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ ℜ
⇒ x − 2 + 1 ≥ 1 ⇒ f ( x) ≥ 1 Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο x o το f ( xo ) = 1
⇒ xo − 2 = 0 ⇒ xo − 2 = 0 ⇒ xo = 2 . Άρα, f ( x ) ≥ f ( 2) ∀x ∈ ℜ , δηλαδή έχει
ελάχιστο στο (2, 1).
Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει µέγιστο στο x o ,
xo ∈ A όταν για κάθε x του πεδίου ορισµού της ισχύει f ( x) ≤ f ( xo ) .
Παράδειγµα: Η f ( x) = − x 2 έχει µέγιστο γιατί ισχύει x 2 ≥ 0 ∀x ∈ ℜ
⇒ − x 2 ≤ 0 ⇒ f ( x) ≤ 0 . Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο x o το f ( xo ) = 0
⇒ − xo = 0 ⇒ xo = 0 . Άρα, f ( x ) ≤ f (0) ∀x ∈ ℜ , δηλαδή έχει µέγιστο στο (0, 0).
2
40
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Όταν θέλουµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση κάνουµε διαδοχικά τα παρακάτω
1. Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της
2. Εξετάζουµε αν είναι άρτια ή περιττή
3. Εξετάζουµε τη µονοτονία της
4. Εξετάζουµε αν έχει ακρότατα
5. Εξετάζουµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης για πολύ µεγάλες ή για πολύ µικρές
τιµές του x .
6. Κάνουµε πίνακα τιµών και σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση, λαµβάνοντας
υπόψη όλα τα προηγούµενα.
41
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
f ( x ) = αx + β (εξίσωση ευθείας)
y = αx + β , α > 0
Γν. αύξουσα
y = αx + β , α < 0
Γν. φθίνουσα
y = β ,α=0
σταθερή
f ( x) = αx 2 (παραβολή)
y = αx 2 , α > 0
↓ στο (−∞,0] , ↑ στο [0,+∞ )
Ελάχιστο στο Ο(0,0)
y = αx 2 , α < 0
↑ Στο (−∞,0] , ↓ στο [0,+∞ )
Μέγιστο στο Ο(0,0)
42
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
f ( x) =
α
x
, x ≠ 0 (Υπερβολή)
Περιττή συνάρτηση
Συµµετρική ως προς το Ο(0,0)
y=
α
x
,α > 0
↓ στο (−∞,0) , ↓ στο (0,+∞ )
Ακρότατα δεν έχει
y=
α
x
,α < 0
↑ στο (−∞,0) , ↑ στο (0,+∞ )
Ακρότατα δεν έχει
43
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
1. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις
i).
f ( x) = 4 x 3 + 5 x
ii).
f ( x) =
5x 5 − 4 x 3
x2 + 7
3x 2 x
iii).
f ( x) =
iv).
f ( x) = x − 2 + x + 2
v).
f ( x) =
vi).
f ( x) = 4 x 2 + x − 1
vii).
f ( x) = 2 x 2 − 3x
viii).
− x 2 , x < 0
f ( x) = 2
x , x ≥ 0
4x +3
2x 2 + 3
x2 − 2
ΛΥΣΗ
i).
Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∀x ∈ ℜ , − x ∈ ℜ είναι
f (− x) = 4(− x) 3 + 5(− x) = −4 x 3 − 5 x = −(4 x 3 + 5 x) = − f ( x) άρα είναι περιττή.
ii).
Έχει πεδίο ορισµού το ℜ γιατί x 2 + 7 ≠ 0 ∀x ∈ ℜ . Άρα, ∀x ∈ ℜ , − x ∈ ℜ
είναι f (− x) =
5(− x) 5 − 4(− x) 3 − 5 x 5 + 4 x 3
5x 5 − 4 x 3
=
=
−
= − f ( x) άρα
(− x) 2 + 7
x2 + 7
x2 + 7
περιττή.
iii).
Έχει πεδίο ορισµού το ℜ γιατί 4 x + 3 ≠ 0 ∀x ∈ ℜ . Άρα, ∀x ∈ ℜ , − x ∈ ℜ
είναι f (− x) =
iv).
3(− x) 2 − x
4− x +3
=
3x 2 x
4x +3
= f ( x) άρα άρτια.
Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∀x ∈ ℜ , − x ∈ ℜ είναι
f (− x) = − x − 2 + − x + 2 = − ( x + 2) + − ( x − 2) = x + 2 + x − 2 = f ( x) άρα
άρτια
44
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Πρέπει x 2 − 2 ≠ 0 ⇔ x 2 ≠ 0 ⇔ x 2 ≠ 2 ⇔ x ≠ ± 2 άρα πεδίο ορισµού Α= ℜ
v).
{
}
− − 2 , 2 . Άρα, ∀x ∈ Α,− x ∈ Α είναι
f (− x) =
2( − x ) 2 + 3 2 x 2 + 3
= 2
= f ( x) άρα άρτια.
x2 − 2
x −2
Πρέπει x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . Άρα, πεδίο ορισµού Α = [1,+∞ ) για το οποίο
vi).
∀x ∈ Α,− x ∈ Α . Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή.
Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∀x ∈ ℜ , − x ∈ ℜ είναι
vii).
f (− x) = 2(− x) 2 − 3(− x) = 2 x 2 + 3 x ≠ ± f ( x) . Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια,
ούτε περιττή.
Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∀x ∈ ℜ , − x ∈ ℜ είναι
viii).
− (− x) 2 , − x < 0 x 2 , x ≤ 0
f (− x) =
=
= − f ( x) άρα περιττή.
(− x) 2 , − x > 0 − x 2 , x > 0
2. ∆ίνεται µια περιττή συνάρτηση f . Να αποδειχθεί ότι : f (0) = 0
ΛΥΣΗ
Επειδή η f περιττή, θα είναι f ( − x ) = − f ( x ) ∀x ∈ Α (όπου Α το πεδίο ορισµού). Τότε
για x = 0 έχουµε:
f ( −0) = − f (0) ⇔ f (0) = − f (0) ⇔ f (0) + f (0) = 0 ⇔ 2 f (0) = 0 ⇔ f (0) = 0
3. Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία οι συναρτήσεις
3
x2
i).
f ( x) = 1 −
ii).
f ( x ) = x ( 4 − x)
iii).
f ( x) = 2 − 3x − 1
ΛΥΣΗ
i).
Η f ορίζεται στο ℜ *= {x ∈ ℜ / x ≠ 0} και αν x1 < x 2 ⇔ x 2 − x1 > 0 έχουµε
45
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
f ( x 2 ) − f ( x1 ) = (1 −
2
=3
x 2 − x1
2
x1 x 2
2
2
=3
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
3
x2
2
) − (1 −
3
x1
2
+
( x 2 − x1 )( x 2 + x1 )
2
2
x1 x 2
) = 1−
3
x2
2
−1+
3
x1
2
=
3
x1
2
−
3
x2
2
= 3(
1
x1
2
−
1
x2
2
)
∆ηλαδή το πρόσηµο της f ( x 2 ) − f ( x1 ) εξαρτάται
+
από το x 2 + x1 .
Αν x1 < x 2 < 0 ⇒ x1 + x 2 < 0 τότε f ( x 2 ) − f ( x1 ) < 0 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) Άρα, f ↓
στο (−∞,0)
Αν 0 < x1 < x 2 ⇒ x1 + x 2 > 0 τότε f ( x 2 ) − f ( x1 ) > 0 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) Άρα, f ↑
στο (0,+∞ )
ii).
Η f ορίζεται σε όλο το ℜ (δηλ. Α= ℜ ) και αν x1 < x 2 ⇔ x 2 − x1 > 0 έχουµε
f ( x 2 ) − f ( x1 ) = x 2 ( 4 − x1 ) − x1 ( 4 − x1 ) = 4 x 2 − x 2 − 4 x1 + x1 = ( x1 − x 2 )( x1 + x 2 ) − 4( x1 − x 2 )
= ( x1 − x2 )( x1 + x 2 − 4)
2
Αν x1 < x 2 ≤ 2 ⇒ x1 < 2 και x 2 ≤ 2
προσθέτω κατά µέλη
⇒
2
x1 + x2 < 4 ⇔ x1 + x2 − 4 < 0
τότε f ( x 2 ) − f ( x1 ) > 0 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ). Άρα, f ↑ στο (−∞,2]
Αν 2 < x1 < x 2 ⇒ x1 > 2 και x2 > 2 ⇒ x1 − 2 > 0 και x 2 − 2 > 0 . Οπότε,
προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : x1 + x 2 − 4 > 0 τότε
f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ). Άρα, f ↓ στο ( 2,+∞ )
iii).
Η f ορίζεται όταν : 3 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
1
1
Άρα, Α = [ ,+∞) .
3
3
Α΄ τρόπος
Έστω
1
≤ x1 < x 2 έχουµε
3
1
3 ⋅ ≤ 3 x1 < 3 x 2 ⇔ 1 ≤ 3 x1 < 3 x 2 ⇔ 1 − 1 ≤ 3x1 − 1 < 3x 2 − 1 ⇔ 0 ≤ 3x1 − 1 < 3x 2 − 1
3
⇔ 0 ≤ 3x1 − 1 < 3x2 − 1 ⇔ 0 ≥ − 3x1 − 1 > − 3 x2 − 1 ⇔ 2 ≥ f ( x1 ) > f ( x 2 )
1
Άρα, f ↓ στο [ ,+∞ )
3
Β΄ τρόπος
46
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Έστω
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
1
≤ x1 < x 2 ⇒ x 2 − x1 > 0 έχουµε
3
f ( x2 ) − f ( x1 ) = (2 − 3x2 − 1) − (2 − 3x1 − 1) = 3x1 − 1 − 3x2 − 1
=
=
( 3 x1 − 1 − 3 x 2 − 1) ⋅ ( 3 x1 − 1 + 3 x 2 − 1)
3 x1 − 1 + 3 x 2 − 1
(3x1 − 1) − (3x 2 − 1)
3x1 − 1 + 3x 2 − 1
=
−
3( x1 − x 2 )
3x − 1 + 3x − 1
1 2
=
( 3 x1 − 1) 2 − ( 3 x 2 − 1) 2
3 x1 − 1 + 3 x 2 − 1
< 0 Άρα,
+
1
f ( x 2 ) − f ( x1 ) < 0 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) . Άρα, f ↓ στο [ ,+∞ )
3
4. Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις
i).
f ( x) = 3 x − 2 + 1
ii).
f ( x) = 2 − 1 − x
iii).
f ( x) = x 2 − 2 x + 11
ΛΥΣΗ
Όταν µας ζητούν να εξετάσουµε µια συνάρτηση για ακρότατα, ξεκινούµε από µια
ποσότητα που είναι πάντα ≥ 0 και βρίσκεται µέσα στη συνάρτηση. Τέτοιες παραστάσεις
είναι τέλεια τετράγωνα, ή απόλυτες τιµές. Σε αυτά τα παραδείγµατα θα ξεκινήσουµε
από x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ ℜ και 1 − x ≥ 0 ∀x ∈ ℜ και µετά θα σχηµατίσουµε τη συνάρτηση
f (x ) .
i). Η f ορίζεται στο ℜ (δηλ. Α= ℜ ). Ισχύει ∀x ∈ ℜ ,
3 x − 2 ≥ 0 ⇔ 3 x − 2 + 1 ≥ 1 ⇔ f ( x) ≥ 1 µε f ( xo ) = 1 ⇔ 3 xo − 2 + 1 = 1
⇔ 3 xo − 2 = 0 ⇔ xo − 2 = 0 ⇔ xo − 2 = 0 ⇔ xo = 2 . Άρα, f ( x ) ≥ f ( 2) ∀x ∈ ℜ .
Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο xo = 2 το f ( 2) = 1 .
ii). Η f ορίζεται όταν 1 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 . Άρα, Α = (−∞,1] . Εξάλλου ∀x ∈ (−∞ ,1] είναι
47
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
1 − x ≥ 0 ⇔ − 1 − x ≤ 0 ⇔ 1 − xo = 0 ⇔ x0 = 1 . Άρα,
f ( x ) ≤ f (1) ∀x ∈ Α = (−∞,1] . Άρα, η f παρουσιάζει µέγιστο στο x o = 1 το
f (1) = 2 .
iii). Η f ορίζεται στο ℜ (δηλ. Α= ℜ ). Ισχύει ∀x ∈ ℜ ,
f ( x) = x 2 − 2 x + 11 = x 2 − 2 x + 1 = 10 = ( x − 1) 2 + 10 ≥ 10 ⇔ f ( x) ≥ 10 µε
f ( x o ) = 10 ⇔ ( x o − 1) 2 + 10 = 10 ⇔ ( x o − 1) 2 = 0 ⇔ x o − 1 = 0 ⇔ x o = 1
Άρα, f ( x ) ≥ f (1) ∀x ∈ ℜ . Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x o = 1 το
f (1) = 10 .
Παρατήρηση
Στις βασικές συναρτήσεις: f ( x ) = αx + β , f ( x) = αx 2 , f ( x) =
α
x
, ( x ≠ 0) για να τις
µελετήσουµε ως προς την µονοτονία ή τα ακρότατα εξετάζουµε το α:
1.
f ( x ) = αx + β (ευθεία)
2.
f ( x ) = αx 2 (παραβολή)
3.
f ( x) =
α
x
, ( x ≠ 0) (υπερβολή)
α >0 ↑
α <0 ↓
α = 0 σταθερή
α > 0 ↓ στο (−∞,0]
↑ στο [0,+∞ )
α < 0 ↑ στο (−∞,0]
↓ στο [0,+∞ )
α > 0 ↓ στο (−∞,0)
↓ στο (0,+∞ )
α < 0 ↑ στο (−∞,0)
↑ στο (0,+∞ )
5. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση :
f ( x) = x − 4 + 3
ΛΥΣΗ
Για να µελετήσω την συνάρτηση πρέπει να βγει το απόλυτο.
•
Αν x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 τότε x − 4 = x − 4 οπότε f ( x ) = x − 4 + 3 = x − 1
•
Αν x − 4 < 0 ⇔ x < 4 τότε x − 4 = − x + 4 οπότε f ( x ) = − x + 4 = 3 = − x = 7
x − 1, x ≥ 4
Άρα, f ( x) =
− x + 7, x < 4
Μονοτονία
48
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
o Η f ( x ) = x − 1 όταν x ≥ 4 παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y = α x + β
και επειδή α = 1 > 0 είναι ↑ στο [ 4,+∞ )
o Η f ( x) = − x + 7 όταν x < 4 παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής
y = α x + β και επειδή α = −1 < 0 είναι ↓ στο (−∞,4)
Ακρότατα
Επειδή f ↓ στο (−∞,4) και f ↑ στο [ 4,+∞ ) , φανερά η f παρουσιάζει στο xo = 4
ελάχιστο το f (4) = 4 − 4 + 3 = 3 δηλ. το σηµείο µε συντεταγµένες (4, 3).
6. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση : f ( x) = (1 − λ ) x 2 .
ΛΥΣΗ
Η f ορίζεται σε όλο το ℜ (δηλ. Α= ℜ )
Η f είναι συνάρτηση παραβολής της µορφής f ( x) = αx 2 µε α = 1 − λ οπότε
•
Αν α > 0 ⇔ 1 − λ > 0 ⇔ λ < 1 ⇔ −1 < λ < 1 τότε η f ↓ στο (−∞,0] και f ↑
στο [0,+∞ )
•
Αν α < 0 ⇔ 1 − λ < 0 ⇔ λ > 1 ⇔ λ < −1 ή λ > 1 τότε η f ↑ στο (−∞,0] και f
↓ στο [0,+∞ ) .
•
Αν α = 0 ⇔ 1 − λ = 0 ⇔ λ = 1 ⇔ λ = ±1 τότε f ( x ) = 0 και η f είναι σταθερή
στο ℜ .
49
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ
− 2 x − 4, αν x < 0
7. Να µελετηθεί η συνάρτηση f ( x) = 2
αν x ≥ 0
x ,
ΛΥΣΗ
Παρατηρούµε ότι πεδίο ορισµού είναι το ℜ . (∆ηλ. Α = ℜ )
Η f ( x) = −2 x − 4 όταν x < 0 παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y = α x + β
και επειδή a = −2 < 0 είναι ↓ στο (−∞,0).
Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
0
-1
y
-4
-2
Η f ( x) = x 2 όταν x ≥ 0 παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής y = αx 2 και
επειδή α = 1 > 0 είναι ↑ στο [0,+∞ ) .
Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
0
1
2
3
y
0
1
4
9
y = −2 x − 4
y = x2
∆εν έχει ακρότατα, Α = ℜ , f ( Α) = ( −4,+∞ ) , είναι ασυνεχής!!!.
50
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
1
x , αν
x < −1
2
− x , αν − 1 ≤ x < 0
8. Να µελετηθεί η συνάρτηση: f ( x) = 2
x , αν 0 ≤ x < 1
1
x ≥1
, αν
x
ΛΥΣΗ
Παρατηρούµε ότι το πεδίο ορισµού είναι το ℜ . (∆ηλ. Α = ℜ )
Η f ( x) =
y=
α
x
1
όταν x < −1 και x ≥ 1 παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής
x
και επειδή a = 1 > 0 θα είναι f ↓ στο (−∞,−1) ∪ [1,+∞ ) .
Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
-1
1
-2
y
-1
1
−
2
1
2
1
2
Η f ( x) = x 2 όταν 0 ≤ x < 1 παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής y = αx 2
και επειδή a = 1 > 0 θα είναι f ↑ στο [0,1)
Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
0
1
y
0
1
Η f ( x) = − x 2 όταν − 1 ≤ x < 0 παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής
y = αx 2 και επειδή a = −1 < 0 θα είναι f ↓ στο [-1,0).
Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
-1
0
y
-1
0
Οπότε, η γραφική παράσταση είναι:
51
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Μέγιστο
y=−
1
x
y = −x2
(1,1)
y=
1
x
y = x2
(-1,-1)
Ελάχιστο
Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι :
•
η f (x ) έχει ακρότατα:
► Μέγιστο στο (1, 1)
► Ελάχιστο στο (-1, -1)
•
Πεδίο Ορισµού: Α = ℜ
•
Πεδίο Τιµών: f ( A) = ℜ [-1, 1]
•
Είναι συµµετρική ως προς το Ο(0,0), οπότε είναι περιττή συνάρτηση.
•
Είναι συνεχής!!
x + 1,
αν x ≤ 1
9. Να µελετηθεί η συνάρτηση: f ( x) = 2
x , αν x > 1
ΛΥΣΗ
Καταρχήν πρέπει να απλοποιήσουµε τη συνάρτηση σε συνάρτηση χωρίς απόλυτα.
− x + 1, αν − 1 ≤ x < 0
Η f ( x) = x + 1 , αν x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 γίνεται: f ( x) =
x + 1 , αν 0 ≤ x ≤ 1
2
− x , αν x < −1
2
Η f ( x) = , αν x > 1 ⇔ x < −1 ή x > 1 γίνεται: f ( x) =
x
2 , αν x > 1
x
52
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
− x + 1,
x + 1, αν − 1 ≤ x < 0
αν 0 ≤ x ≤ 1
Οπότε, η συνάρτηση γίνεται: f ( x) = − 2 ,
Άρα, Α = ℜ
x < −1
αν
x
2
x >1
αν
,
x
Η f ( x ) = − x + 1 αν − 1 ≤ x < 0 παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y = α x + β
και επειδή α = −1 < 0 θα είναι f ↓ στο [−1,0) .Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
y
-1
0
2
1
Η f ( x ) = x + 1 αν 0 ≤ x ≤ 1 παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y = α x + β
και επειδή α = 1 > 0 θα είναι f ↑ στο [0,1] .Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
0
1
y
1
2
Η f ( x) = −
2
α
αν x < −1 παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής y = και
x
x
επειδή α = −2 < 0 θα είναι f ↓ στο ( −∞,−1) . Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
y
-1
-2
2
1
Η f ( x) =
2
α
αν x > 1 παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής y = και επειδή
x
x
α = 2 > 0 θα είναι f ↓ στο (1,+∞) . Παίρνουµε µερικές τιµές:
x
1
2
y
2
1
Οπότε, η γραφική παράσταση είναι:
53
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Μέγιστο
Μέγιστο
(-1,2)
(1,2)
Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι η f (x ) έχει
•
Μέγιστο στο (1, 2) και στο (-1, 2)
•
Πεδίο Ορισµού: Α = ℜ
•
Πεδίο Τιµών: f ( Α) = (0,2]
•
Είναι συνεχής!!!
•
Παρατηρούµε επίσης ότι η f ( x ) > 0 ∀x ∈ ℜ . Αυτό φαίνεται στην γραφική
παράσταση διότι είναι πάνω από τον άξονα x' x.
•
Επίσης, από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι η f (x ) είναι συµµετρική ως
προς τον άξονα y' y , εποµένως είναι άρτια συνάρτηση.
54
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ
1. Η συνάρτηση y = f ( x ) + c, c > 0
2. Η συνάρτηση y = f ( x ) − c, c > 0
Η γραφική παράσταση της y = f ( x ) + c , όπου c
Η γραφική παράσταση της y = f ( x ) − c , όπου
σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της
c σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της
γραφικής παράστασης της y = f (x ) κατακόρυφα
γραφικής παράστασης της y = f (x )
προς τα πάνω.
κατακόρυφα προς τα κάτω.
55
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
y = 2x , y = 2x + 2 , y = 2x − 3
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
y=
1 2
1
1
x , y = x2 + 2 , y = x2 − 3
2
2
2
56
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
3. Η συνάρτηση y = f ( x + c ), c > 0
4. Η συνάρτηση y = f ( x − c ), c > 0
Η γραφική παράσταση της y = f ( x + c ) όπου c
Η γραφική παράσταση της y = f ( x − c ) όπου
σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της
c σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της
γραφικής παράστασης της y = f (x ) παράλληλα
γραφικής παράστασης της y = f (x )
προς τα αριστερά κατά c.
παράλληλα προς δεξιά κατά c.
57
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Παραδείγµατα
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
y = x 2 , y = ( x − 2) 2 , y = ( x + 3) 2 − 1
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
y=
2
2
2
, y=
, y=
−2
x
x−3
x+3
Η γραφική παράσταση της y =
2
2
− 2 προκύπτει από την y = µε µεταφορά
x+3
x
κατά 3 θέσεις αριστερά και 2 θέσεις προς τα κάτω. Πεδίο Ορισµού = ℜ − {− 3}γιατί
πρέπει x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ −3 .
58
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
5. Η συνάρτηση y = − f (x )
Η γραφική παράσταση της y = − f (x ) είναι συµµετρική της y = f (x ) ως προς τον
άξονα x' x .
6. Η συνάρτηση y = f ( − x )
Η γραφική παράσταση της y = f ( − x ) είναι συµµετρική της y = f (x ) ως προς τον
άξονα y' y
59
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Παραδείγµατα
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f ( x) = x 3 + 1 , − f ( x ) = − x 3 − 1 ,
f (− x) = (− x) 3 + 1 = − x 3 + 1
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f ( x ) = ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 ,
− f ( x ) = −( x + 1) 2 = − x 2 − 2 x + 1
f ( − x ) = ( − x + 1) 2 = x 2 − 2 x + 1
60
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
7. Η συνάρτηση y = f (x)
f ( x ) , αν f ( x ) ≥ 0
Είναι : y = f ( x) =
− f ( x ) , αν f ( x ) < 0
Η γραφική παράσταση της y = f (x) διατηρεί τα ¨µέρη¨ της γραφικής παράστασης της
y = f (x ) που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x' x και συµπληρώνεται µε τα συµµετρικά ως
προς τον x' x των µερών που βρίσκονται κάτω από τον x' x .
8. Η συνάρτηση y = f ( x )
f ( x ), αν x ≥ 0
Είναι y = f ( x ) =
f ( − x ), αν x ≤ 0
Η γραφική παράσταση της y = f ( x ) διατηρεί το ¨µέρος¨ της γραφικής παράστασης της
y = f (x ) που βρίσκεται δεξιά του y' y και αριστερά του y' y συµπληρώνεται µε το
συµµετρικό ως προς τον άξονα y' y του δεξιού µέρους.
61
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Παραδείγµατα
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
Α. f ( x ) = x − 1
Β. f ( x) = x − 1
Γ. f ( x ) = x − 1
∆. f ( x ) = x − 1
y = x −1
f ( x) = x − 1
x − 1, x ≥ 1
f ( x) = x − 1 =
− x + 1, x < 1
62
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
x − 1, x ≥ 0
f ( x ) = x −1 =
− x − 1, x < 0
x − 1 , x ≥ 0
f ( x ) = x −1 =
− x − 1 , x < 0
x − 1 , x ≥ 1
− x + 1 , 0 ≤ x < 1
=
− x − 1 , − 1 ≤ x < 0
x + 1 , x < −1
63
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΑΛΛΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
1
. Επίσης, να κάνετε τις γραφικές
x
10. Να µελετηθεί η συνάρτηση: f ( x) =
παραστάσεις των συναρτήσεων:
f ( x) =
1
,
x −1
f ( x) =
1
+2,
x
f ( x) =
1
,
x +1
f ( x) =
1
−2
x
ΛΥΣΗ
1
x , αν x > 0
Η συνάρτηση γίνεται: f ( x) =
( x ≠ 0)
− 1 , αν x < 0
x
o Αποτελείται από το τµήµα της υπερβολής y =
από το τµήµα της υπερβολής y = −
1
στο διάστηµα (0,+∞ ) και
x
1
στο διάστηµα (−∞,0) .
x
o Πεδίο ορισµού είναι το Α = ℜ ∗
o Πεδίο τιµών είναι το f ( Α) = (0,+∞ )
y=
64
1
x
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) =
1
προκύπτει από οριζόντια
x −1
µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( x) =
1
κατά µια µονάδα προς τα
x
δεξιά.
o Πεδίο ορισµού είναι το Α = ℜ − {1}
o Πεδίο τιµών είναι το f ( Α) = (0,+∞ )
1
x −1
x=1
y=
Οµοίως, η γραφική παράσταση της f ( x) =
1
προκύπτει από οριζόντια
x +1
µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( x) =
1
κατά µια µονάδα προς τα
x
αριστερά.
o Πεδίο ορισµού είναι το Α = ℜ − {− 1}
o Πεδίο τιµών είναι το f ( Α) = (0,+∞ )
x = -1
y=
65
1
x +1
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) =
1
+ 2 προκύπτει από κάθετη
x
µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( x) =
1
κατά 2 µονάδες προς τα
x
πάνω.
o Πεδίο ορισµού είναι το Α = ℜ ∗
o Πεδίο τιµών είναι το f ( Α) = ( 2,+∞ )
y=
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) =
1
+2
x
1
− 2 προκύπτει από κάθετη
x
µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( x) =
1
κατά 2 µονάδες προς τα
x
κάτω.
o Πεδίο ορισµού είναι το Α = ℜ ∗
o Πεδίο τιµών είναι το f ( Α) = ( −2,+∞ )
y=
66
1
−2
x
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
11. Να βρεθεί το µέγιστο των συναρτήσεων: f 1 ( x) = x 2 + 2 x + 1 και
f 2 ( x) = 2 x + 2
ΛΥΣΗ
Παίρνω τη διαφορά:
f 1 ( x ) − f 2 ( x ) = ( x 2 + 2 x + 1) − ( 2 x + 2) = x 2 + 2 x + 1 − 2 x − 2 = x 2 − 1
∆ιακρίνουµε περιπτώσεις:
Αν x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ≤ −1 ή x ≥ 1 τότε έχουµε:
f1 ( x) − f 2 ( x) ≥ 0 ⇔ f1 ( x) ≥ f 2 ( x)
Αν x 2 − 1 ≤ 0 ⇔ x 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 τότε έχουµε:
f1 ( x) − f 2 ( x) ≤ 0 ⇔ f1 ( x) ≤ f 2 ( x)
x ≤ −1 ή x ≥ 1
f1 ( x), αν
Άρα, max{ f 1 ( x), f 2 ( x)} =
f 2 ( x), αν − 1 ≤ x ≤ 1
Γραφικά το µέγιστο των συναρτήσεων f1 ( x) και f 2 ( x) απεικονίζεται στο διπλανό
σχήµα.
67
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
12. Στο παρακάτω σχήµα να εκφράσετε το (ΜΝ) σαν συνάρτηση του x . Να
βρείτε στη συνέχεια τη µικρότερη δυνατή τιµή του (ΜΝ).
ΛΥΣΗ
Το Μ έχει τετµηµένη x , άρα τεταγµένη
Το Ν έχει την ίδια τεταγµένη
1
.
x
1
1
, άρα τετµηµένη − . Έχουµε συνεπώς:
x
x
1
1 1
Μ ( x, ) και N ( − , ) .
x
x x
1
1 1
1
1
Άρα, (ΜΝ ) = ( x + ) 2 + ( − ) 2 = ( x + ) 2 = x +
x
x x
x
x
Αν x θετικό τότε: (ΜΝ ) = x +
1
.
x
Για να βρούµε το x ώστε η (ΜΝ ) να είναι ελάχιστη, αρκεί να βρούµε το ελάχιστο
της συνάρτησης f ( x) = x +
1
, x > 0.
x
Θα µελετήσουµε τη µονοτονία της f (x ) για x > 0 .
Έστω 0 < x1 < x 2 ⇔ x 2 − x1 > 0 τότε
x x + x1 − x 2 x1 − x 2
1
1
f ( x2 ) − f ( x1 ) = x 2 +
− x1 − = 2 1
=
x1 x 2
x2
x1
2
2
+
x1 x 2 ( x 2 − x1 ) − ( x 2 − x1 ) ( x 2 − x1 )( x1 x 2 − 1)
=
=
.
x1 x 2
x1 x 2
+
68
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Άρα, το f ( x 2 ) − f ( x1 ) εξαρτάται από το x1 x 2 − 1 .
•
Αν 0 < x1 < x 2 < 1 ⇒
0 < x1 < 1
⇒ x1 x 2 < 1 ⇔ x1 x 2 − 1 < 0 τότε
0 < x 2 < 1
f ( x 2 ) − f ( x1 ) < 0 ⇒ f ↓ στο (0, 1).
•
Αν 1 ≤ x1 < x 2 ⇒
x1 ≥ 1
⇒ x1 x 2 > 1 ⇔ x1 x 2 − 1 > 0 τότε f ( x 2 ) − f ( x1 ) > 0
x 2 > 1
⇒ f ↑ στο [1,+∞ ) .
1
Άρα έχει ελάχιστο στο 1, ίσο µε f (1) = 1 + = 2 . Άρα, το ελάχιστο µήκος του ΜΝ
1
είναι 2 και εµφανίζεται όταν x = 1 .
Β΄ τρόπος
Αυτό µπορούσαµε να το διαπιστώσουµε πιο εύκολα γιατί ισχύει: x +
διότι x +
1
≥2 , x>0
x
x >0
1
≥ 2 ⇔ x 2 + 1 ≥ 2 x ⇔ x 2 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) 2 ≥ 0 που ισχύει.
x
69
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
13. Να υπολογίσετε το εµβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις
των συναρτήσεων: f ( x) = x + 1 − 2 και g ( x) = 6 − x − 1
ΛΥΣΗ
Οι συναρτήσεις γίνονται:
− x − 3 , αν x < −1
x + 5 , αν x < 1
και g ( x) =
f ( x) =
x − 1 , αν x ≥ −1
7 − x , αν x ≥ 1
Οι γραφικές παραστάσεις είναι:
Το σχήµα ΑΒΓ∆ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο γιατί οι ευθείες ανά δυο κάθετες
µεταξύ τους. (γιατί το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης τους είναι -1).
Βρίσκουµε πρώτα τις συντεταγµένες των Α, Β, Γ, ∆. Έστω Α( x, y ) . Οι
συντεταγµένες ικανοποιούν την y = x + 5 και την y = − x − 3 άρα
y = x+5
⇒ x + 5 = − x − 3 ⇔ 2 x = −8 ⇔ x = −4
y = − x − 3
Άρα, y = x + 5 ⇔ y = −4 + 5 ⇔ y = 1
Όµοια, Γ(4, 3) , Β(-1, -2), ∆(1, 6).
Βρίσκουµε τα µήκη (ΑΒ), (ΒΓ).
( ΑΒ) = ( −1 + 4) 2 + ( −2 − 1) 2 = 3 2 + 3 2 = 18 = 2 3
(ΒΓ ) = ( 4 + 1) 2 + (3 + 2) 2 = 5 2 + 5 2 = 50 = 2 5
Άρα, Ε ΑΒΓ∆ = ( ΑΒ)(ΒΓ ) = 2 3 ⋅ 2 5 = 4 15 .
70
Άρα Α(-4,1)
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ)
Αν για την συνάρτηση f : ℜ → ℜ ισχύει για κάθε x ∈ ℜ
Α.
f ( − x ) − f ( − x ) = 0 τότε η f είναι άρτια.
Αν α < 0 η συνάρτηση f ( x) =
Β.
α
x
Σ
Λ
Σ
Λ
είναι γνησίως φθίνουσα σε
κάθε ένα από τα διαστήµατα (−∞,0) και (0,+∞ )
Γ.
Η συνάρτηση f ( x) = −5 x 2 είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞,0]
Σ
Λ
∆.
Η συνάρτηση g ( x) = −5 x 7 + x 3 είναι περιττή.
Σ
Λ
Σ
Λ
Σ
Λ
Αν η περιττή συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το ℜ τότε
Ε.
Στ.
f ( 0) = 0
Η γραφική παράσταση της g ( x) = x 3 έχει κέντρο συµµετρίας την
αρχή των αξόνων
Ζ.
Η συνάρτηση f ( x) = x + 1 + x − 1 − 2 x 2 είναι άρτια.
Σ
Λ
Η.
Η συνάρτηση f ( x ) = 1 − x είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, +∞) .
Σ
Λ
Θ.
Η συνάρτηση f ( x) = x − 3 − 2 παρουσιάζει ελάχιστο το -2.
Σ
Λ
Ι.
Αν f ↓ και η f ορίζεται στο ℜ τότε f ( −2) < f ( −1)
Σ
Λ
2. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες, περιττές ή
τίποτα.
Α.
f ( x) =
x ( x 2 − 2)
x2 + 2
Β.
f ( x) = x 4 + x 2 + 1
Γ.
f ( x) = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2
∆.
f ( x) = x − 1 + x + 1
Ε.
f ( x) = x − 5 − x − 4 + 2
ΣΤ.
f ( x) = (3 x + 2) 2 + (3 x − 2) 2
Ζ.
1
f ( x) = 2 x
x +1
Η.
f ( x) = x 2 , Α = [1,10]
x+
71
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
− 2 x + 7, x ≤ − 1
f ( x) =
− 2 x − 7, x ≥ 1
Θ.
Ι.
x2 − x + 2
,x ≤ 0
2
x + x +1
f ( x) = 2
x + x + 2 ,x > 0
x 2 − x + 1
3. Να µελετηθούν ως προς την µονοτονία οι συναρτήσεις
Α.
f ( x) = −4 x 2 + 7, x ≥ 0
Β.
f ( x) = 6 x 3 + 1
Γ.
f ( x) = 4 − 5 x 3
∆.
f ( x) = x 2 − 4 x + 3
Ε.
f ( x) =
2x − 1
x+3
ΣΤ.
f ( x) = 1 − x
Ζ.
f ( x) =
1
+3
2x3
Η.
f ( x) =
Θ.
f ( x) = 3 − 3x
2
Ι.
1
x −1
2 x 2 − 5 x + 2, x ∈ (−∞,1]
f ( x) = 2
x − 1, x ∈ [5,7]
4. Να βρεθούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων
Α.
f ( x) = x 2
Β.
f ( x) = x + 1
Γ.
f ( x) = x − 2
∆.
f ( x) =
Ε.
f ( x) = 3( x − 2) 2 − 1
ΣΤ.
1
1+ x
f ( x) = x 2 − 4
5. Με τη βοήθεια των παρακάτω γραφικών παραστάσεων να βρεθούν τα εξής:
i).
Πεδία ορισµού και πεδία τιµών
ii).
Αν είναι άρτιες ή περιττές
iii).
Τα διαστήµατα στα οποία είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ή
σταθερή
iv).
Τα ακρότατα αν υπάρχουν και που
v).
Για ποιες τιµές του x βρίσκονται πάνω από τον άξονα x' x ή από κάτω.
72
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
Να µελετηθούν οι συναρτήσεις ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και µετά
να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις. Από τις γραφικές παραστάσεις να βρεθούν
και τα πεδία τιµών.
6.
f ( x) = 2 x + 1
7.
f ( x) = − x + 3
8.
f ( x) = − x 2 , x ≤ 2
9.
f ( x) =
10.
2 x − 1, x ≤ 1
f ( x) = 2
x , x > 1
11.
73
x2 −1
x −1
3 x + 1, x ≤ 1
f ( x) =
2
− 2 x ,−1 < x < 1
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
13.
x 2 − 2x + 1
,x ≠1
f ( x) =
x −1
,x =1
1
15.
f ( x) = 3x 2
2
12.
f ( x) = x +
x
,x ≠ 0
x
f ( x) = x − 1
14.
f ( x) =
16.
1
x
18.
x, x ≥ 0
f ( x) = 1
x , x < 0
20.
− x 2 , x ≤ 0
f ( x) = x , 0 ≤ x ≤ 1
1 , x ≥ 1
x
22.
f ( x) =
17.
19.
21.
f ( x) = x − 1 − x + 1
23.
2
,x ≥2
x
1
− , x ≠ 0
f ( x) = x
0, x = 0
x
f ( x) = x
0
x , x ∈ (−∞,0) ∪ (0,+∞)
,
x=0
x 3 , x ≤ 1
f ( x) =
x , x > 1
24. Να προσδιοριστεί ο α ∈ ℜ ώστε η συνάρτηση f µε τύπο
f ( x) = α x − 1 + β x − 2 + (α + β ) x − 3 να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα
[3,+∞ ) .
25. Να προσδιοριστεί ο µ ∈ ℜ ώστε η συνάρτηση f µε τύπο
f ( x) = x + 2 + ( µ − 1) x − 3 να είναι γνησίως φθίνουσα στο ℜ .
26. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x) =
λ +3 −4
x
. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η συνάρτηση
να είναι:
i).
Γνησίως αύξουσα
ii).
Γνησίως φθίνουσα
iii).
Σταθερή
27. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: f ( x) = (2 − λ + 5 ) x 2
74
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
28. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: f ( x) = (9 − λ2 ) x + λ
29. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η συνάρτηση f ( x) = (3λ + 1) x 2 παρουσιάζει
ελάχιστο, η συνάρτηση g ( x) = (3 − λ + 2 ) x 2 να παρουσιάζει για την ίδια τιµή του x
µέγιστο.
x − 5, x < 2
30. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x) = 2
− , x ≥ 2
x
i).
Να λυθεί η εξίσωση λx − f ( − x ) = λf (0)
ii).
Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της y = 2 x − 4 µε την f αν υπάρχουν
iii).
Να γίνει η γραφική παράσταση της f .
31. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f αν η γραφική της παράσταση είναι:
75
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου
Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
32. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( x ) ≠ 0 για τον οποίο δίνεται η σχέση:
f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) f ( y ) για κάθε x, y ∈ ℜ . ∆είξτε ότι:
i).
ii).
f ( 0) = 1
Η f είναι άρτια
33. ∆ίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) για κάθε
x, y ∈ ℜ . ∆είξτε ότι:
i).
ii).
f ( 0) = 0
Η f είναι περιττή.
34. Ένα σηµείο M ( x, y ) κινείται στην πλευρά ΑΒ από το Α µέχρι το Β. Να
εκφραστούν τα εµβαδά των τριγώνων ΑΜΟ και ΒΜΟ σαν συνάρτηση του x . Να
βρεθεί για ποιες τιµές του x γίνονται ίσα.
35. Να υπολογισθεί το εµβαδό που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων: y = x και y = 4 − x .
76
© Copyright 2024 Paperzz
