ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): α) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα ∆ έχει παράγουσα. β) ∫ f ′ ( x )dx = f ( x ) + c γ) ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx = 0 δ) 1 ∫ ηµ x dx = σφx 2 ε) ∫ ln xdx = x ln x − x + c Β. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: 1 t + t2 α) Το lim 2 ∫ dt ισούται µε: x →0 x 1 + ηµt 0 x Α: 1 2π Β: 1 π Γ: 1 2 ∆: 0 Ε: 1 x3 4 Ε: 1 x  β) Το ∫  ∫ xydy  dx ισούται µε 00  1 Α: y3 2 Β: κ γ) Αν ∫ (x 2 1 8 Γ: 1 2 ∆: Ζ: 1 4 − 1)dx = 0 µε κ > 0 τότε ο κ είναι: −κ Α: 1 Γ: 2 Β: 2 ∆: 3 Ε: 1 2 Γ. Έστω f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆ και F µια παράγουσα της. ∆είξτε ότι κάθε άλλη παράγουσα G της f είναι της µορφής F ( x ) + c . ΘΕΜΑ 2 Α. i) Έστω F ( x ) = x2 +x ∫ t + 3dt . Να δείξετε ότι η F παρουσιάζει αρνητικό ελάχιστο. 0 ii) Να βρεθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ F(x) = x2 ∫ (t 2 − 5t + 4 ) e− t dt 0 x ∫ ( ηµt − t ) dt Β. Να βρείτε το lim x →0 0 ηµx − συνx ⋅ x ΘΕΜΑ 3 Α. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα i) ∫ ηµ 2x ⋅ xdx ii) x 2 −1 ∫ x 2 − 5x + 6 dx π iii) ∫ ηµ3 x ⋅ συν 4 xdx iv) ∫ e x συν 2xdx 0 ln 2 v) ∫ 0 ex dx ex + 2 Β. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων µε f (x) = 3x 4 + x 2 και g(x) = 2x 4 + 2x 2 . ΘΕΜΑ 4 Α. Να βρείτε την συνεχή στο R συνάρτηση f και την τιµή λ, αν ισχύει x 2x 2 − ∫ f (t)dt = 8 , ∀x ∈ R λ x Β. i) Να βρεθεί συνεχής f : f (x) f (t) = 1+ ∫ dt , ∀x ∈ R . 2 1+ x 1+ t2 0 1 ii) Να υπολογιστεί: ∫ f (x)dx 0 ηµx ⋅ e x x →∞ f (x) iii) Να υπολογιστεί: lim ∆ιάρκεια 3h ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ