ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ 16/12/2012 ΘΕΜΑ Α 1) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α: α) Είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; β) Παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 ∈ A ; γ) Είναι άρτια; 2) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: α) Κάθε συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη τιμή. β) Αν η συνάρτηση f :  →  δεν είναι περιττή, τότε είναι πάντα άρτια. γ) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο , τότε f ( 3) < f ( 5 ) . δ) Αν η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης διέρχεται από το σημείο A ( −3,5 ) , τότε διέρχεται και από το σημείο B ( 3,5 ) . ε) Αν ημx = 0 τότε ισχύει πάντα ότι συνx = 1. στ) Η συνάρτηση= f ( x ) ημx , x ∈  έχει T = π. ζ) Οι συναρτήσεις f ( x ) = 2ημ3x και g ( x ) = −2ημ4x έχουν την ίδια μέγιστη τιμή. η) Η συνάρτηση f ( x ) = ημx, όταν x ∈ [ 0,2π ] είναι περιττή. (Μονάδες 9 + 16) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = ρ ⋅ ημ ( ωx ) , ρ,ω > 0. Αν π 2π 5π 7π εφ ⋅ ημ + συν ⋅ εφ 3 3 6 6 και ω= π π εφ + σφ 4 4 α) Να αποδείξετε ότι ω = π  ημ ( −θ ) ⋅ ημ  + θ  ⋅ εφ ( π + θ ) 2   ρ=2 . π  π  συν ( π − θ ) ⋅ συν  − θ  ⋅ σφ  − θ  2  2  1 και ρ = 2. 2 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . γ) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f . δ) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f . ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή. στ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε διάστημα μίας περιόδου. (Μονάδες 8 + 2 +4 + 2 + 4 + 5) ΘΕΜΑ Γ 1) Να λύσετε τα συστήματα: 3x − 5= 2 ( y + 1) − 8 2 ( x − 1) = 3 (1 − 2y ) + 9 α)  2 x − y = 3 10 3 x + 4 y = β)  2y − x 2 = 0 .  x − y =−4 γ)  (Μονάδες 5 + 5 + 5) λ λx + 2y = για τις διάφορες τιμές του λ ∈ . 2λ 8x + λy = 2) Να λύσετε το σύστημα:  (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Δ 1) Να δείξετε ότι η παρακάτω παράσταση έχει τιμή ανεξάρτητη του θ. = A εφθ 1 − συνθ − εφθ + ημθ ημ 2θ (Μονάδες 5) 2) Να λύσετε τις εξισώσεις:   5 7 α) 3  ημx +  = + ημx 6 2 β)  συνx − 2 − συνx = −2 4συνx − 1 (Μονάδες 5 + 7)   π 3) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης συν  x +  = ημx που περιέχονται στο 4   διάστημα  − π,  3π  . 2  (Μονάδες 8)