οικονομικες-μαθηματικες σημειωσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015
ΤΜΗΜΑ. ∆ΕΟ 13 ΙΩΑΝ2
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Στις σηµειώσεις αυτές θα βρείτε υλικό για τις πλέον βασικές οικονοµικές συναρτήσεις και έννοιες. Η
µελάτη του θα σας βοηθήσει στην επίλυση των ασκήσεων των δυο πρώτων γραπτών εργασιών, και
θα συµβάλλει αποφασιστικά στην επιτυχία σας στις τελικές εξετάσεις.
Πρίν προχωρήσουµε στην παρουσίαση των οικονοµικών συναρτήσεων θα υπενθυµίσουµε
µερικά θέµατα που αφορούν το δευτεροβάθµιο τριώνυµο.
Το τριώνυµο του 2ου βαθµού
Η συνάρτηση f (x) = ax 2 + bx + g καλείται και τριώνυµο 2ου βαθµού ή δευτεροβάθµιο
τριώνυµο ή και απλώς τριώνυµο. Το a είναι ο συντελεστής του δευτεροβάθµιου όρου του
τριωνύµου.
Στην συνέχεια θα δούµε δυο ανισότητες που παρουσιάζονται συχνά και θα παρουσιάσουµε τα
σχετικά µε την επίλυση αυτών. Αυτές βασίζονται στο τριώνυµο και είναι οι:
f (x) = ax 2 + bx + g ≥ 0
f (x) = ax 2 + bx + g ≤ 0
Η λεκτική διατύπωση της πρώτης ανισότητας είναι η εξής. Για ποιες τιµές της µεταβλητής x,
το τριώνυµο είναι θετικό (µεγαλύτερο ή ίσο µε το µηδέν). Και οµοίως της δεύτερης, για ποιες
τιµές του x to τριώνυµο είναι αρνητικό (µικρότερο ή ίσο µε το µηδέν).,
Το πρόσηµο του τριωνύµου
Αν για κάποια τιµή x0 του x η τιµή του τριώνυµου έχει το ίδιο πρόσηµο µε αυτό του
συντελεστή a, τότε λέµε πως, το τριώνυµο είναι οµόσηµο του a. Αν έχει πρόσηµο αντίθετο
µε αυτό του a, τότε λέµε πως, το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του a.
Παράδειγµα: Έστω το τριώνυµο f ( x ) = x 2 − 50 x + 400 . Για x=20 έχουµε
f (20) =202-50x20+400=-200<0, δηλαδή για x=20 το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του a=1>0.
Για x=5, f (5) =52-50x5+400=+175>0, δηλαδή για x=5 το τριώνυµο είναι οµόσηµο του a=1>0.
Η διακρίνουσα του τριωνύµου.
Η Ποσότητα ∆= b 2 − 4ag καλείται διακρίνουσα του τριωνύµου και παίζει σηµαντικό ρόλο
στην µελέτη του.
Οι ρίζες του τριωνύµου
Οι ρίζες της εξίσωσης f (x) = ax 2 + bx + g = 0 , αναφέρονται και ως ρίζες του τριωνύµου και
δίδονται πάντα από τον τύπο.
x1,2
− b ± b 2 − 4ag
=
2a
Παραγοντοποίηση τριωνύµου, πρόσηµο του τριωνύµου
Για τις ρίζες του τριωνύµου διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις.
1. Δ<0.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 1 από 28
Σε αυτή την περίπτωση, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες (έχει δυο μιγαδικές ρίζες). Το
τριώνυμο είναι πάντα ομόσημο του a, δηλαδή για οποιαδήποτε τιμή του x η τιμή του είναι
αριθμός με πρόσημο ίδιο με το πρόσημο του a.
Η περίπτωση αυτή δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον η στις οικονομικές εφαρμογές.
2. Δ=0.
Σε αυτή την περίπτωση, το τριώνυμο έχει ίσες ρίζες ή όπως συνήθως λέμε έχει μια ρίζα
διπλή ή και πιο απλά έχει μια ρίζα.
Αν x 0 είναι η διπλή ρίζα του τριωνύμου αυτό γράφεται ως εξής.
f (x) = ax 2 + bx + g = a(x − x 0 )2
Επειδή (x − x 0 ) 2 ≥ 0 , από την σχέση αυτή είναι προφανές ότι το τριώνυμο είναι πάντα
ομόσημο του a, εκτός όταν x=x0 οπότε μηδενίζεται.
3. Δ>0.
Σε αυτή την περίπτωση, το τριώνυμο έχει δυο πραγματικές ρίζες.
Έστω ότι οι δυο πραγματικές ρίζες είναι οι x1 , x 2 , και έστω ότι x1 < x 2 .
Το τριώνυμο γράφεται-αναλύεται ως γινόμενο παραγόντων ως εξής.
f (x) = ax 2 + bx + g = a(x − x1 )(x − x 2 )
Τα διαστήματα Ι1= ( −∞, x1 ) , Ι2=( x 2 , +∞) ) είναι γνωστά (ονομάζονται-αναφέρονται) ως τα
διαστήματα εκτός των ριζών του τριωνύμου, ενώ το διάστημα Ι3=( x1 , x 2 ,) είναι γνωστό
(ονομάζεται- αναφέρεται) ως το διάστημα εντός των ριζών του τριωνύμου.
Τα διαστήματα αυτά είναι σημαντικά καθώς:
Για τιμές του x εκτός του διαστήματος των ριζών του τριωνύμου, δηλαδή για τιμές του x στα
διαστήματα Ι1,Ι2, το τριώνυμο είναι πάντα ομόσημο του a.
Για τιμές του x εντός του διαστήματος των ριζών του τριωνύμου, δηλαδή για τιμές του x στο
διάστημα Ι3, το τριώνυμο είναι ετερόσημο του a.
Αυτά προκύπτουν με απλή παρατήρηση του προσήμου των παραγόντων και του προσήμου του
γινομένου (x − x1 ), (x − x 2 ) στην έκφραση f (x) = a(x − x1 )(x − x 2 )
Είναι προφανές ότι για να λύσουμε μια από τις ανισότητες που διατυπώσαμε πρέπει πρώτα να
βρούμε την διακρίνουσα του τριωνύμου, και στη συνέχεια να βρούμε τις ρίζες του τριωνύμου (αν
υπάρχουν) και να εφαρμόσουμε τα παραπάνω. Αυτά θα δούμε στα παραδείγματα που ακολουθούν.
Παραδείγματα
1. Το τριώνυμο f ( x ) = 2 x 2 + 10 x + 25 έχει ∆ = 102 − 4 ⋅ 2 ⋅ 25 = −100 < 0
και συνεπώς δεν
έχει πραγματικές ρίζες. Άρα για οποιαδήποτε τιμή του x αυτό είναι ομόσημο του a=2>0,
δηλαδή είναι πάντα θετικό. Έτσι για όλες τις τιμές του x επαληθεύεται η ανισότητα
2 x 2 + 10 x + 25 ≥ 0 , ενώ δεν υπάρχει καμία τιμή του x που να επαληθεύει την ανισότητα
2 x 2 + 10 x + 25 ≤ 0 .
2. Το τριώνυμο f ( x ) = − x 2 + 10 x − 25 έχει ∆ = 102 − 4 ⋅ 25 = 0 και a=-1<0. Συνεπώς έχει μια
διπλή ρίζα την x=5.
Αυτό γράφεται και ως
f ( x ) = ( −1)( x − 5)2 και είναι πάντα ομόσημο του a=-1<0, δηλαδή
αρνητικό.
Έτσι για κάθε τιμή του x επαληθεύεται η ανισότητα f ( x ) = − x 2 + 10 x − 25 ≤ 0 ,
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 2 από 28
και δεν υπάρχει τιμή του x που να επαληθεύει την ανισότητα f ( x ) = − x 2 + 10 x − 25 > 0 .
3. Το τριώνυμο
f ( x ) = x 2 − 50 x + 400
έχει ∆ = 50 2 − 4 ⋅ 400 = 900 >0 . Συνεπώς έχει δυο
50 ± 502 − 4 ⋅ 400
ή x1 = 40 , x2 = 10 .
2
Τα δυο διαστήματα Ι1= ( −∞,10) Ι2=( 40, +∞) είναι τα διαστήματα εκτός των ριζών του
πραγματικές ρίζες, x1,2 =
τριωνύμου, ενώ το διάστημα Ι3=(10,40,) είναι το διάστημα εντός των ριζών του τριωνύμου.
Για τιμές του x στα διαστήματα Ι1= ( −∞,10)
Ι2=( 40, +∞) (διαστήματα εκτός των ριζών) το
τριώνυμο είναι ομόσημο του a=1>0, δηλαδή θετικό. Άρα για τιμές του x στα διαστήματα Ι1 ,
Ι2 επαληθεύεται η ανισότητα f ( x ) = x 2 − 50 x + 400 > 0 ..
Για τιμές του x στο διάστημα Ι3=(10,40,), (είναι το διάστημα εντός των ριζών) το τριώνυμο
είναι ετερόσημο του a=1>0 δηλαδή αρνητικό. Άρα για τιμές του x στο διάστημα Ι3
επαληθεύεται η ανισότητα f ( x ) = x 2 − 50 x + 400 < 0 .
4. Το τριώνυμο f ( x ) = − x 2 + 3 x + 40 έχει ∆ = 32 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 40 = 9 + 160 = 169 και συνεπώς
έχει δυο πραγματικές ρίζες x1,2 =
−3 ± 169
ή x1 = −5 , x2 = 8 .
2 ⋅ ⋅( −1)
Ο συντελεστής του x2 είναι a=-1<0, αρνητικός. Στα διαστήματα Ι1= ( −∞, −5)
Ι2=( 8, +∞) ,
εκτός των ριζών του τριωνύμου, το τριώνυμο είναι ομόσημο του a<0, δηλαδή αρνητικό, άρα
σε αυτά επαληθεύεται η ανισότητα − x 2 + 3 x + 40 < 0 .
Στο διάστημα Ι3=(-5,8), εντός των ριζών του τριωνύμου, το τριώνυμο είναι ετερόσημο του a=1<0 δηλαδή θετικό, άρα σε αυτό επαληθεύεται η ανισότητα − x 2 + 3 x + 40 > 0 .
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 3 από 28
Μοντέλα ζήτησης και προσφοράς προϊόντος σε πλήρως ανταγωνιστική αγορά
Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής).
Μια συναρτησιακή σχέση που συνδέει την ζητούµενη (ή απλά την ζήτηση) από τους καταναλωτές
ποσότητα Qd ή Q ή q d ή q (συµβολισµοί ισοδύναµοι) ενός προϊόντος όταν η τιµή µε την οποία
αυτό διατίθεται στην αγορά είναι Pd ή Ρ ή pd ή p (συµβολισµοί ισοδύναµοι) ονοµάζεται συνάρτηση
ζήτησης του καταναλωτή ή απλά συνάρτηση ζήτησης. Αυτή η συνάρτηση γράφεται µε δυο τρόπους
ανάλογα µε τις ανάγκες ανάλυσης που υπάρχουν. Έτσι µπορεί να την βρούµε στις µορφές.
Η ζήτηση Qd να εκφράζεται σαν συνάρτηση της τιµής Pd δηλαδή
Q d = Q d (Pd )
Σηµείωση. Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης µπορούµε να γράψουµε τη συνάρτηση αυτή µε
απλούστερες µορφές εγκαταλείποντας τους πολλούς δείκτες και τα κεφαλαία γράµµατα Έτσι αυτή
µπορεί να γραφτεί και στις µορφές
Q d = Q d (P) , Q d = Q(P) , Q = Q d (P) , Q = Q(P) , q = q d (p) ή q = q(p) , q = f (p)
Οι µορφές Q = Q(P) , q = f (p) είναι και οι πλέον συνηθισµένες
H τιµή Pd να εκφράζεται σαν συνάρτηση της ζήτησης Qd δηλαδή
Pd = Pd (Q d )
ή και στις ισοδύναµες απλούστερες, όπως παραπάνω µορφές,
Pd = Pd (Q) , Pd = P(Q) , P = P(Q) , p = p(q d ) , p = p(q) , p = f (q)
Οι µορφές P = P(Q) p = f (q) είναι και οι πλέον συνηθισµένες
Παραδείγµατα (i) p = 18 − 2q , µε 0 ≤ q ≤ 9
(iii) q = 9 − 0.5p µε 0 ≤ p ≤ 18
Οι (iii), (iv)
(ii) q = 9 − p 2 , µε 0 ≤ p ≤ 3
(iv) p = 9 − q µε 0 ≤ q ≤ 9
προκύπτουν από τις (i), (ii) µε επίλυση ως προς q και p αντίστοιχα.
Παρατήρηση. Η συνάρτηση της ζήτησης στη µορφή p = f (q) , όπου η τιµή p εκφράζεται σαν
συνάρτηση της ποσότητας q (η ποσότητα είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή), φαίνεται λίγο αταίριαστη, µε
την έννοια που έχουµε για τη συνάρτηση, διότι απλά ο καταναλωτής πρώτα κοιτάζει την τιµή και µετά
αποφασίζει τι ποσότητα θα αγοράσει, δηλαδή η έκφραση q = g(p) µας έρχεται πιο φυσιολογική. Εν
τούτοις για ιστορικούς λόγους έχει επικρατήσει στις τάξεις των οικονοµολόγων και είναι πιο δηµοφιλής
η έκφραση p = f (q) . Έτσι,έχει παγιωθεί η κατάσταση. όταν φτιάχνουµε το γράφηµα µιας συνάρτησης
ζήτησης στον οριζόντιο άξονα να τοποθετούµε πάντα την ποσότητα q και στο κάθετο την τιµή p.
Συνάρτηση προσφοράς (προµηθευτής -παραγωγός).
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 4 από 28
Μια συναρτησιακή σχέση που συνδέει την ποσότητα Qs , q s , Q, q (συµβολισµοί ισοδύναµοι) ενός
προϊόντος που διαθέτουν οι προµηθευτές (παραγωγοί- suppliers ) στην αγορά όταν παρατηρούν ότι η
τιµή διάθεσης του προϊόντος στην αγορά είναι Ps , P ,
ps p (ισοδύναµοι συµβολισµοί) ονοµάζεται
συνάρτηση προσφοράς του προµηθευτή ή και απλά συνάρτηση προσφοράς..
Η συνάρτηση αυτή γράφεται σαν
Qs = Qs (Ps ) , ή Ps = Qs (Qs )
Και για αυτή τη συνάρτηση έχουµε απλούστερες µορφές απαλλαγµένες από τους δείκτες ανάλογα µε
τις ανάγκες ανάλυσης
π.χ. Qs = Q(P) , Q = Qs (P) ή q = f (p) , Q = Q(Ps ) ή
P = P(Qs )
P = Qs (Q) ή p = f (q) κ.λ.π.
Σηµ Ο δείκτης s είναι το αρχικό της λέξης supplier =προµηθευτής.
Αντί του Qs συχνά χρησιµοποιείται και το σύµβολο S (από το αρχικό της λέξης supply) για τον
προµηθευτή οπότε έχουµε τη συνάρτηση µε τον συµβολισµό S = S(P) ή P = S(S)
Σχόλιο. Αρκετές φορές αναφερόµαστε σε συνάρτηση ζήτησης χωρίς να κάνουµε διάκριση αν
πρόκειται για καταναλωτή ή προµηθευτή1. Αυτό είναι δυνατόν να δηµιουργήσει σύγχυση. Έτσι, όπου
είναι δυνατόν να υπάρξει σύγχυση, είναι χρήσιµο να επιλέγουµε τον κατάλληλο συµβολισµό, και τη
χρήση δεικτών (δείκτες s,d) και να χαρακτηρίζουµε τη συνάρτηση µε το πλήρες ονοµά της.
Ίδιο σχόλιο ισχύει και για την συνάρτηση προσφοράς.
∆ηµιουργία των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς
Ποια είναι η λογική µε την οποία
οι καταναλωτές και παραγωγοί ενεργούν και κατά συνέπεια
δηµιουργούν τις συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς
Αγοραστές (καταναλωτές).
Αυτοί παρατηρούν την τιµή P του προϊόντος στην αγορά και ανάλογα αποφασίζουν για την ποσότητα Q
που θα αγοράσουν, δηµιουργώντας έτσι τη δική τους συνάρτηση ζήτησης. Αν η τιµή είναι χαµηλή
αγοράζουν µεγάλη ποσότητα ενώ αν είναι υψηλή αγοράζουν µικρότερη ποσότητα. Σαν συνέπεια αυτής
της συµπεριφοράς έχουµε το εξής αποτέλεσµα.
Η συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή είναι φθίνουσα.
Ποιο συγκεκριµένα, όταν δίδεται στη µορφή Q = Q d (P) είναι φθίνουσα ως προς την τιµή P του
προϊόντος, δηλαδή καθώς αυξάνει η τιµή P ο καταναλωτής αγοράζει όλο και λιγότερη ποσότητα Q.
Όταν δίδεται στη µορφή Pd = P(Q) είναι φθίνουσα ως προς την ποσότητα Q του προϊόντος, δηλαδή
όταν ο καταναλωτής αυξάνει την ποσότητα Q που αγοράζει αυτό σηµαίνει ότι η τιµή P του προϊόντος
µειώνεται.
1
Όπως θα δούµε παρακάτω, απο τις ιδιότητες, αύξουσα ή φθίνουσα, αντιλαµβανόµαστε αν πρόκειται για
συνάρτηση ζήτησης ή συνάρτηση προσφοράς
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 5 από 28
Προµηθευτές (παραγωγοί).
Αυτοί ενεργούν ακριβώς ανάποδα. Παρατηρούν την τιµή του προϊόντος στην αγορά, και αν αυτή είναι
χαµηλή διαθέτουν (ρίχνουν στην αγορά) µικρή ποσότητα του προϊόντος ενώ αν αυτή είναι υψηλή
διαθέτουν (ρίχνουν στην αγορά) µεγαλύτερη ποσότητα.
Έτσι η συνάρτηση προσφοράς (για τους προµηθευτές παραγωγούς) είναι αύξουσα.
Συγκεκριµένα, όταν δίδεται στην µορφή Q = f (P) είναι αύξουσα ως προς την τιµή P του προϊόντος
ενώ όταν δίδεται στην µορφή P = f (Q) είναι αύξουσα ως προς την ποσότητα Q του προϊόντος.
Παρατηρήσεις
•
Πιο συγκεκριµένα οι παραγωγοί- προµηθευτές-πωλητές όταν δηµιουργούν την συνάρτηση
προσφοράς παρατηρούν, όχι τι εισπράττουν, αλλά τι βάζουν στην τσέπη τους από την πώληση
µιας µονάδας του προϊόντος που διαθέτουν, και αυτό διότι ενδέχεται να υπάρχουν και φόροι
που επιβάλλονται στην τιµή του προϊόντος
•
Όταν υπάρχει φορολογία
t χρηµατικών µονάδων στην τιµή p πώλησης της µονάδας του
προϊόντος την οποία το κράτος εισπράτει από τον παραγωγό τότε o παραγωγός-προµηθευτής από
την τιµή p που εισπράττει πληρώνει φόρο t και έτσι βάζει στην τσέπη του p-t χρηµατικές µονάδες.
Σαν συνέπεια της φορολογίας η συνάρτηση προσφοράς γίνεται q = f (p − t) αν είναι στην
µορφή q = f (p) ή p − t = h(q) αν είναι στην µορφή
•
p − t = h(q) .
Η συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής) παραµένει αµετάβλητη όταν επιβάλλεται φορολογία
στην τιµή του προϊόντος την οποία το κράτος εισπράττει από τον παραγωγό. Αυτό συµβαίνει διότι
ο καταναλωτής για να διαµορφώσει την συνάρτηση ζήτησης, κοιτάζει µόνο την τιµή p στην οποία
αγοράζει το προϊόν και δεν τον ενδιαφέρει αν αυτή περιέχει φόρους ή και όποιες άλλες
επιβαρύνσεις.
Πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών των (οικονοµικών) συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς.
Όταν γράφουµε οποιαδήποτε από τις δυο αυτές συναρτήσεις είναι απαραίτητο να δίδουµε το πεδίο
ορισµού αυτών. Επίσης είναι χρήσιµο να µπορούµε να βρούµε και το πεδίο τιµών αυτών. Πως όµως
µπορούµε να τα υπολογίσουµε-εντοπίσουµε αυτά; Αυτό γίνεται βασιζόµενοι στις ιδιότητες που πρέπει
να έχουν αυτές οι συναρτήσεις και τα µεγέθη που παριστάνουν. Η ανάλυση απαιτεί την χρήση
στοιχειωδών µαθηµατικών, που συνήθως συνίστανται στην επίλυση πολύ απλών ανισοτήτων, όπως θα
δούµε και στα παραδείγµατα που ακολουθούν.
Πεδίο ορισµού και τιµών της συνάρτησης ζήτησης
Αν Qd = f (p) είναι η συνάρτηση ζήτησης τότε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών αυτής ευρίσκονται
µε την επίλυση, και την εύρεση του διαστήµατος (ή των διαστηµάτων αν υπάρχουν περισσότερα από
ένα) στα οποία συναληθεύουν. οι παρακάτω ανισότητες.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 6 από 28
Qd ≥ 0 , p ≥ 0
df (p)
≤0
dp
Οι δυο πρώτες ανισότητες εκφράζουν το γεγονός ότι τα φυσικά µεγέθη Qd , p δεν µπορούν να πάρουν
αρνητικές τιµές, ενώ η τελευταία εξασφαλίζει ότι η συνάρτηση Qd = f (p) είναι φθίνουσα, όπως πρέπει
να είναι κάθε συνάρτηση ζήτησης.
Πεδίο ορισµού και τιµών της συνάρτησης προσφοράς
Για την συνάρτηση προσφοράς Qs = g(p) πρέπει να λύσουµε και να βρούµε που συναληθεύουν οι
ανισότητες.
Qs ≥ 0 , p ≥ 0
dg(p)
≥0
dp
η τελευταία εξασφαλίζει ότι η συνάρτηση Qs = g(p) είναι αύξουσα, όπως πρέπει να είναι κάθε
συνάρτηση προσφοράς.
Μονότονες Συναρτήσεις (αύξουσα, φθίνουσα), Κυρτές, Κοίλες Συναρτήσεις.
Όταν σε ένα διάστηµα Ι η πρώτη παράγωγος µιας συνάρτησης είναι αρνητική (θετική) η συνάρτηση
σε αυτό το διάστηµα είναι φθίνουσα (αύξουσα)
Όταν σε ένα διάστηµα Ι η δεύτερη παράγωγος µιας συνάρτησης είναι θετική η συνάρτηση είναι κυρτή,
ενώ αν είναι αρνητική η συνάρτηση είναι κοίλη
Συνοπτικά
Μονότονη Συνάρτηση Αύξουσα ή Φθίνουσα
Αν για κάθε, x ∈ I
f ( x )′ ≥ 0
→
Μορφές που µπορεί να έχει το γράφηµα
f(x) ↑
Α’υξουσα
Αν για κάθε, x ∈ I
f ( x )′ ≤ 0
→
f(x) ↓
φθίνουσα
Μορφές που µπορεί να έχει το γράφηµα
Συνάρτηση Κυρτή ή Κοίλη,
Αν για κάθε, x ∈ I
f ( x )′′ ≥ 0
→
Κυρτή
Αν για κάθε, x ∈ I
f ( x )′′ ≤ 0
→
Κοίλη
Παρατήρηση 1. Η προτεινόµενη προσέγγιση για την εύρεση του πεδίου ορισµού και τιµών είναι πολύ
γενική, και ανάλογα µε το πρόβληµα και την εµπειρία µας είναι δυνατόν να φθάσουµε στο ζητούµενο
µε απλούστερες προσεγγίσεις, ακόµη και µε µια απλή παρατήρηση.
Παρατήρηση 2. Για γραµµικές συναρτήσεις η εύρεση του πεδίου ορισµού και τιµών είναι πολύ απλή
διαδικασία, διότι αυτές είναι µονότονες, αύξουσες ή φθίνουσες
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 7 από 28
Παράδειγµα (γραµµικές συναρτήσεις)
Οι p = 10 − 2q , q = 20 − 0.5p είναι συναρτήσεις ζήτησης (καταναλωτής) γιατί είναι φθίνουσες ως
προς q ή p αντίστοιχα.
Οι p = −2 + 2q , q = 1 + 2.5p είναι συναρτήσεις προσφοράς (του παραγωγού), γιατί είναι αύξουσες
ως προς q ή p αντίστοιχα.
Για την συνάρτηση p = 10 − 2q το πεδίο ορισµού βρίσκεται αν λύσουµε την ανισότητα p ≥ 0 δηλαδή
την 10 − 2q ≥ 0 από την οποία προκύπτει q ≤ 5 και επειδή πρέπει να έχουµε και q ≥ 0 ,
προκύπτει ότι 0 ≤ q ≤ 5 δηλαδή το πεδίο ορισµού είναι το διάστηµα [0,5]
Για να βρούµε το πεδίο τιµών παίρνουµε τις τιµές της p = 10 − 2q για q =5 και q =0 που είναι p =0
και p =10, αντίστοιχα, οπότε το πεδίο τιµών είναι το διάστηµα [0,10].
Εναλλακτικά µπορούµε να λύσουµε την p = 10 − 2q ως προς q οπότε παίρνουµε q = 5 − 0.5p και
στην συνέχεια λύνουµε την ανισότητα q ≥ 0 , οπότε προκύπτει p ≤ 10 . Αυτό το συνδυάζουµε µε
την απαίτηση p ≥ 0 και προκύπτει το πεδίο τιµών που είναι το διάστηµα.
Σχόλιο. Για τις οικονοµικές συναρτήσεις δεν δίνουµε ιδιαίτερη σηµασία αν το διάστηµα είναι κλειστό
κλειστό [α,β] ανοικτό (α,β), ανοικτό αριστερά κλειστό δεξιά (α,β], κλειστό αριστερά ανοικτό δεξιά
[α,β).
Παράδειγµα (µη γραµµικές συναρτήσεις)
Για τη συνάρτηση p = q 2 − 5q + 4 να βρεθούν, το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών αυτής, ώστε αυτή
να είναι συνάρτηση ζήτησης.
Λύση
Η παράγωγος αυτής είναι {p(q)}' = 2q − 5 και είναι αρνητική όταν 2q − 5 < 0 ή q < 2.5 .
Άρα η p = q 2 − 5q + 4 είναι φθίνουσα στο διάστηµα q < 2.5 και αύξουσα στο q > 2.5
Ακόµη θα πρέπει να έχουµε p ≥ 0 ή q 2 − 5q + 4 ≥ 0 . Για να επιλύσουµε αυτή την ανισότητα
βρίσκουµε τις ρίζες της εξίσωσης q 2 − 5q + 4 = 0 , που είναι
οι q1 = 1 και q 2 = 4 . Ο
συντελεστής του q 2 στο τριώνυµο f(q)= q 2 − 5q + 4 είναι το α=1>0.
Άρα η p = q 2 − 5q + 4 είναι θετική (οµόσηµη µε το α) στα διαστήµατα q ≤ 1 ή1 q ≥ 4, διαστήµατα
εκτός των ριζών (και αρνητική στο διάστηµα 1 < q < 4 ,εντός των ριζών). Οι ανισότητες q ≥ 0 ,
q < 2.5 και q ≤ 1 συναληθεύουν όταν 0 ≤ q ≤ 1 .
1
Εδώ έχουµε δυο ξένα διαστήµατα στα οποία επαληθεύεται η ανισότητα
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
q 2 − 5q + 4 ≥ 0 .
Σελ. 8 από 28
Έτσι καταλήγουµε ότι για να είναι η p = q 2 − 5q + 4 συνάρτηση ζήτησης πρέπει 0 ≤ q ≤ 1 δηλαδή το
πεδίο ορισµού της να είναι το σύνολο q ∈ [0,1] στο οποία αυτή είναι θετική και φθίνουσα
Εύκολα προκύπτει ότι το πεδίο τιµών της είναι το σύνολο p ∈ [0,4]
Σχόλιο. Τυπικά Θα πρέπει να ασχοληθούµε και µε το δεύτερο διάστηµα q ≥ 4 δούµε αν συναληθεύουν
και οι ανισότητες q ≥ 0 , q < 2.5 , q ≥ 4. Αυτές όµως δεν συναληθεύουν.
Υπόδειξη. Η ίδια συνάρτηση p = q 2 − 5q + 4 µπορεί να σταθεί και σν συνάρτηση προσφοράς, αν
ορισθεί κατάλληλα το πεδίο ορισµού της. Για να κατανοήσετε βαθύτερα και µια για πάντα το θέµα,
πεδίο ορισµού και τιµών σε σχέση µε τις οικονοµικές συναρτήσεις για την συνάρτηση αυτού του
παραδείγµατος προσδιορίστε το πεδίο ορισµού ώστε αυτή να είναι συνάρτηση προσφοράς και βρέστε
και το πεδίο τιµών αυτής.
Επιβεβαιώστε τα παραπάνω αποτελέσµατα µε αναφορά στο γράφηµα της p = q 2 − 5q + 4 , που δίδεται
στην συνέχεια
P
p = q 2 − 5q + 4
4
Φθίνουσα (καταναλωτής)
3
p = q 2 − 5q + 4
2
Αύξουσα (παραγωγός )
1
Ο
1
2 2.5 3
4
Q
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 9 από 28
ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ή ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ)
Η ισορροπία (ή ευστάθεια) είναι µια γενικότερη έννοια που υπάρχει σε πάρα πολλές επιστηµονικές
περιοχές. Σε κάθε µια από αυτές ορίζεται λίγο διαφορετικά και φαίνεται να έχει µια διαφορετική
σηµασία αν και κατά βάση σχεδόν παντού σηµαίνει το ίδιο. Εµείς εδώ θα επικεντρωθούµε στην έννοια
της ισορροπίας (ευστάθειας ) οικονοµικών συστηµάτων η οποία εκφράζεται µε σχετικές εξισώσεις
ανάλογα µε το είδος της αγοράς στην οποία αναφερόµαστε, π.χ. αγορά προϊόντων, αγορά χρήµατος,
αγορά εργατικού δυναµικού κ.λ.π.
Γενικά θα µπορούσε να πούµε ότι µια πλήρως ανταγωνιστική1 αγορά για την οποία
η ζήτηση ενός αγαθού = µε την προσφερόµενη ποσότητα του αγαθού
(1)
βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (ευστάθειας)2.
Ο όρος αγαθό εδώ είναι συµβατικός και µπορεί να σηµαίνει: ένα συγκεκριµένο καταναλωτικό προϊόν
π.χ. παπούτσια που ζητούν οι καταναλωτές και προσφέρουν οι κατασκευαστές κεφάλαια που ζητούνται
για επενδύσεις και προσφέρονται από τις αγορές χρήµατος, εργατικό δυναµικό που ζητείται για εργασία
και εργάτες που προσφέρονται να εργασθούν, (ακόµη και τιµές), κ.λ.π.
Η στατική ανάλυση ασχολείται µε το προσδιορισµό των τιµών των µεταβλητών του οικονοµικού
µοντέλου για τις οποίες ισχύει η συνθήκη ευστάθειας (1)
Ισορροπία στην αγορά προϊόντων (Goods market equilibrium)
Μια πλήρως ανταγωνιστική αγορά είναι σε ισορροπία σε µια τιµή p όταν η ποσότητα Qd που οι
αγοραστές αγοράζουν σε αυτή την τιµή είναι ίση µε την ποσότητα Qs που οι προµηθευτές είναι πρόθυµοι
να διαθέτουν στην αγορά..
Η µαθηµατική διατύπωση της ισορροπίας δίδεται από την παρακάτω εξίσωση.
Qs = Q d
Η συνθήκη ισορροπίας στην τιµή p (εξισώνει τις ποσότητες)
Στον παραπάνω ορισµό προκαταβολικά δηλώσαµε την τιµή της αγοράς να είναι στο p. Αυτό σιωπηρά
σηµαίνει ότι η τιµή διάθεσης του προϊόντος από τους προµηθευτές είναι ίδια µε αυτή που οι
καταναλωτές πληρώνουν για να το αγοράσουν.
Αν έχουµε τις εξισώσεις
ζήτησης
Qd = Qd (Pd ) και προσφοράς Qs = Qs (Ps ) τότε η ισορροπία
ορίζεται από τις δυο συνθήκες
Qd = Qs Συνθήκη ισορροπίας (εξισώνει την ζήτηση και την προσφορά)
Ps = Pd
Συνθήκη ισορροπίας (εξισώνει τις τιµές ζήτησης και προσφοράς)
Οι τιµές των µεταβλητών Q και P ή q και p, που προσδιορίζονται από την παραπάνω συνθήκη(ες)
ονοµάζονται αντίστοιχα, ποσότητα ισορροπίας και τιµή ισορροπίας
Παράδειγµα. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς είναι
1
2
Για την έννοια της ανταγωνιστικής αγοράς.∆ες Λουκάκης Τόµος Α σελ 570
Η ευστάθεια ενός συστήµατος µπορεί να απαιτεί περισσότερες από µια εξισώσεις (συνθήκες) για να περιγραφεί.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 10 από 28
Qd = 10 − 2p
Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής)
Qs = −5 + 3p
Συνάρτηση προσφοράς (προµηθευτής)
Για αυτή την αγορά να βρεθούν.
1. Τα πεδία ορισµού και τιµών των συναρτήσεων Qd ,Qs καθώς και το κοινό πεδίου ορισµού και
τιµών της αγοράς.
2. Οι τιµές ισορροπίας της τιµής και της ποσότητας της αγοράς του προϊόντος.
Λύση.
Εύκολα βρίσκουµε ότι η Qd έχει πεδίο ορισµού το Ι1=[0,5] και πεδίο τιµών το Ι2=[0,10]
5
Και η Qs έχει πεδίο ορισµού το Ι3= [ , ∞) και [πεδίο τιµών το Ι4= [0, ∞) .
3
Από αυτό φαίνεται ότι οι παραγωγοί δεν διαθέτουν το προϊόν τους σε αυτή την αγορά αν η
προσφερόµενη τιµή είναι µικρότερη από 5/3
5
Το κοινό πεδίο ορισµού των δυο συναρτήσεων είναι η τοµή των Ι1,Ι3 και είναι το p ∈ [ ,5]
3
και το κοινό πεδίο τιµών των δυο συναρτήσεων είναι η τοµή των Ι2,Ι4 και είναι το Q ∈ [0,10]
Αφού η αγορά είναι σε ισορροπία Qs = Q d από την οποία προκύπτει p* = 3 και Q* = Qs = Qd = 4 .
Παρατηρήσεις.
Η Q d = 10 − 2p είναι φθίνουσα ως προς p ενώ η Qs = −5 + 3p είναι αύξουσα. Αυτό επιβεβαιώνει τη
συµπεριφορά που σηµειώσαµε παραπάνω για τον καταναλωτή και τον προµηθευτή.
5
3
Οι τιµές ισορροπίας της αγορά p* = 3 και Q* = 4 είναι µέσα στα κοινά πεδία ορισµού, , p ∈ [ ,5] και
τιµών, Q ∈ [0,10] , των δυο συναρτήσεων και έτσι η αγορά µπορεί να ισορροπήσει.
Προσοχή στην ‘έννοια του κοινού πεδίου ορισµού και τιµών των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς
µιας αγοράς
Άσκηση προτεινόµενη για επίλυση προς εξάσκηση
1. Σε μια αγορά η γραμμική συνάρτηση ζήτησης ενός προϊόντος είναι P = 40 − 4Q = β + α x . Να
βρεθούν αλγεβρικά τα σημεία στα οποία η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες Q, P, και να
σχεδιασθεί η ευθεία. Από το γράφημα αυτό να προσδιορίσετε τα πεδία ορισμού και τιμών της
συνάρτησης. Σε αυτή την συνάρτηση τι παριστάνουν οι τιμές β = 40 και α =-4.
2. Να απαντήσετε στα ίδια ερωτήματα για την συνάρτηση προσφοράς P = 5 + Q = β + α Q
3. Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας σε αυτή την αγορά. (Απ. Qe =7, Pe =12).
4. Αν στην τιμή πώλησης επιβληθεί κρατικός φόρος 2 νομισματικών μονάδων ποιο είναι (αν υπάρχει)
το νέο σημείο ισορροπίας της αγορά;
5. Σε μια αγορά κάποιου προϊόντος με γραμμική συνάρτηση ζήτησης ο καταναλωτής διαπίστωσε ότι
αν αγοράσει 2 κιλά η τιμή μονάδας θα είναι 8 ενώ αν αγοράσει 3 κιλά η τιμή μονάδας θα είναι 6
ευρώ. Να βρεθεί η συνάρτηση ζήτησης της αγοράς. (Απ. P = 12 − 2Q
6.
Σε μια αγορά κάποιου προϊόντος με γραμμική συνάρτηση προσφοράς ο πωλητής διαθέτει στην
αγορά 2 κιλά όταν η προσφερόμενη τιμή είναι 4 ευρώ, ενώ διαθέτει τρία κιλά όταν η
προσφερόμενη τιμή είναι 5.6 Να βρεθεί η συνάρτηση προσφοράς Απ. P = 1,6Q + 0,8
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 11 από 28
Μη γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης-προσφοράς
Παράδειγµα. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς είναι
Pd = Q 2d − 10Qd + 25
Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής)
Ps = Qs2 + 6Qs + 9
Συνάρτηση προσφοράς (προµηθευτής)
1. Να βρεθούν η ποσότητα και η τιµή του προϊόντος όταν η αγορά είναι σε ισορροπία.
2. Να γίνουν τα γραφήµατα των συναρτήσεων και να επαληθευτεί γραφικά η απάντηση στο (1)
3. Στο σηµείο ισορροπίας να βρεθούν: το πλεόνασµα του καταναλωτή και το πλεόνασµα του
προµηθευτή.
4. Να βρεθούν το πεδίο ορισµού και τιµών της Pd = Q 2d − 10Qd + 25
Σηµ. Το ερώτηµα 3 αποτελεί µια εφαρµογή των ολοκληρωµάτων. Αν στις εξετάσεις τεθεί ένα τέτοιο
θέµα,(πράγµα σπάνιο, όχι όµως και παντελώς απίθανο) δίδεται πάντα ένα σχήµα στο οποίο
σηµειώνεται ποιο είναι το πλεόνασµα του καταναλωτή και ποιο του παραγωγού.
Λύση.
1. Αφού η αγορά είναι σε ισορροπία πρέπει Qs = Q d και Ps = Pd . Από τις σχέσεις αυτές έχουµε
Q2 + 6Q + 9 = Q 2 − 10Q + 25 από την οποία παίρνουµε Qe =1 και συνεπώς Pe =16. Άρα το σηµείο
ισορροπίας είναι το ( Q e , Pe ) =(1,16)
2. Γραφήµατα
Πλεόνασµα καταναλωτή (CS)
Οριζόντια γραµµοσκιασµένο Εµβαδόν
P
Ps = Qs2 + 6Qs + 9
Αύξουσα (παραγωγός )
25
Σηµείο Ισορροπίας (market equilibrium)
Β
16
Πλεόνασµα παραγωγού (PS) κάθετα
γραµµοσκιασµένο Εµβαδόν
Α
Pd = Q 2d − 10Q d + 25
9
Ο
Φθίνουσα (καταναλωτής)
Γ
1
2
3
4
5
Q
Το γράφηµα δείχνει το σηµείο ισορροπίας Α και οι συντεταγµένες του επιβεβαιώνουν τις τιµές που
βρέθηκαν στο ερώτηµα (1).
Για τους ορισµούς και την κατανόηση των εννοιών των πλεονασµάτων θα πρέπει να ανατρέξετε σε
κάποιο βιβλίο Μικροοικονοµίας ή Μαθηµατικών για οικονοµολόγους
∫
1
3. Πλεόνασµα καταναλωτή= CS = { PD (Q)dQ} − {(OΓ)x(ΟΒ)}
0
= CS =
1
∫ (Q
0
2
− 10Q + 25)dQ − (16 − 1)x(1 − 0)
∫
1
Πλεόνασµα προµηθευτή = PS = {(ΟΓ)x(ΟΒ)} − { PS (Q)dQ}
0
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 12 από 28
= PS = (16 − 0)x(1 − 0) −
1
∫ (Q
2
0
+ 6Q + 9)dQ
Σηµαντική Παρατήρηση
Στο παραπάνω σχήµα οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς δίδονται στη µορφή Ps = P(Q) , Pd = P(Q)
(δηλαδή η τιµή P είναι συνάρτηση της ποσότητας Q. Σε αυτή την περίπτωση η ολοκλήρωση γίνεται ως
προς Q δηλαδή είναι ολοκλήρωση πάνω στον οριζόντιο άξονα Οx.
Αν οι συναρτήσεις ζήτησης δίδονται στη µορφή Qs = Q(P) , Qs = Q(P) (δηλαδή η ποσότητα Q είναι
συνάρτηση της τιµής, P), τότε η ολοκλήρωση όπως παραπάνω δεν έχει νόηµα και η ολοκλήρωση µπορεί
να γίνει µόνο ως προς P δηλαδή είναι ολοκλήρωση ως προς τον κάθετο άξονα Οy όπως υποδεικνύεται
παρακάτω
Πλεόνασµα καταναλωτή (CS)
Γραµµοσκιασµένο Εµβαδόν
P
Qs = Qs (p) Αύξουσα (παραγωγός )
25
Σηµείο Iισορροπίας (market
equilibrium)
16 Β
Πλεόνασµα παραγωγού (PS)
Γραµµοσκιασµένο Εµβαδόν
Α
Qd = Qd (p) , φθίνουσα (καταναλωτής)
9
Ο
Γ
1
2
3
4
5
Q
Σε αυτή την περίπτωση έχουµε
∫
Πλεόνασµα καταναλωτή= CS = {
Πλεόνασµα προµηθευτή = PS =
25
16
∫
16
9
Qd (p)dp}
Qs (p)dp
Συµπέρασµα. Αν είµαστε σε αυτή την περίπτωση τα πράγµατα είναι, όπως φαίνεται, πιο εύκολα αλλά
η ολοκλήρωση γίνεται ως προς τον κάθετο άξονα συνεπώς
προσοχή
στα διαστήµατα
ολοκλήρωσης..
4. Το πεδίο ορισµού για την συνάρτηση Pd = Q 2d − 10Qd + 25 θα βρεθεί αν λάβουµε υπόψη µας ότι:
Αυτή πρέπει να είναι θετική και ταυτόχρονα φθίνουσα ως προς Qd, και ότι Qd ≥ 0
Για να βρούµε που είναι θετική θα πρέπει να επιλύσουµε την ανισότητα Pd ≥ 0 δηλαδή την
Q2d − 10Qd + 25 ≥ 0
Οι ρίζες της εξίσωσης
Q2d − 10Qd + 25 = 0
10 ∓ 102 − 4 × 25
δηλαδή έχει µια ρίζα διπλή την Q0 = 5 και επειδή α=1>0 το
2 ×1
τριώνυµο είναι θετικό για όλες τις τιµές του Qd, δηλαδή η συνθήκη θετικότητας
ικανοποιείται στο διάστηµα Ι1= ( −∞, +∞) .
είναι Q1,2 =
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 13 από 28
Για να βρούµε που η Pd = Q 2d − 10Qd + 25 είναι φθίνουσα θα πρέπει να µελετήσουµε την πρώτη
της παράγωγο και να βρούµε που αυτή είναι αρνητική. Η πρώτη παράγωγος είναι (Pd )′ = 2Q d − 10
και είναι αρνητική όταν 2Q d − 10 ≤ 0 ή Q d ≤ 5 δηλαδή στο διάστηµα το Ι2= ( −∞,5] . Όµως
πρέπει και Q d ≥ 0 . Οι τρείς ανισότητες συναληθεύουν στο διάστηµα [0,5], (η τοµή των
Ι1,Ι2, και της Q d ≥ 0 ) και έτσι το πεδίο ορισµού της Pd που είναι το σύνολο (διάστηµα) ,
Q ∈ [0,5] .
Το πεδίο τιµών είναι το διάστηµα [0,25] , του οποίου τα άκρα αντιστοιχούν στις τιµές που
Pd (5) και Pd (0) που παίρνει η συνάρτηση Pd = Q 2d − 10Qd + 25 όταν Qd = 5 ή Qd = 0 . Στα
παραπάνω σχήµατα µπορείτε να επιβεβαιώσετε αυτά τα αποτελέσµατα.
ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ
Συχνά ακούµε εκφράσεις του τύπου
“ Οι τιµές των αυτοκινήτων αυξάνονται κατά 5% ”
“ Οι τιµές των διαµερισµάτων αυξάνονται κατά 15% ”
“ Οι τιµές των υπολογιστών µειώνονται κατά 10% ”
Το ερώτηµα που αµέσως εγείρεται στους ανθρώπους της αγοράς, είναι τι θα συµβεί µε τη ζήτηση των
αντιστοίχων προϊόντων. Το ενδιαφέρον τους δεν επικεντρώνεται στο πόσες λιγότερες η περισσότερες
µονάδες θα διαθέσουν, στην αγορά από το αντίστοιχο προϊόν τους, π.χ αν θα πουλήσουν 10 αυτοκίνητα
λιγότερα ή πέντε υπολογιστές περισσότερους, αλλά ποια θα είναι η ποσοστιαία µεταβολή (αύξηση ή
µείωση) των πωλήσεων που θα επέλθει ως αντίδραση της αγοράς, στη µεταβολή της τιµής. Αν αυτό
είναι γνωστό τότε ο κάθε έµπορος µπορεί να υπολογίσει τι θα συµβεί µε τις πωλήσεις στην δική του
επιχείρηση. Η ανάγκη αυτή οδήγησε στην εισαγωγή του µέτρου της ελαστικότητας.
Ένα µέτρο (µια συνάρτηση) µε το οποίο αποτιµάται αυτή η µεταβολή ορίζεται ως εξής.
Έστω ότι έχουµε την συνάρτηση y = f(x) όπου το x είναι η ανεξάρτητος µεταβλητή (π.χ. τιµή) και το
y η εξηρτηµένη (π.χ. ζήτηση).
Αν η τιµή του x αυξηθεί από το x στο x + ∆x δηλαδή µεταβληθεί κατά ∆x , τότε η σχετική µεταβολή
στην τιµή του x είναι
(x + ∆x) - x ∆x
∆x
=
και εκφρασµένη σε ποσοστιαία % µεταβολή είναι
⋅ 100 %
x
x
x
(Υπενθύµιση. Αν το µέγεθος Α µεταβάλλεται σε Β τότε η σχετική του µεταβολή του Α, είναι
και η ποσοστιαία µεταβολή είναι
B- A
A
B- A
⋅ 100 % εκατοστά. Έτσι αν π.χ. Α=100 Β=250 τότε
A
B- A
= 2.5 ,που σηµαίνει ότι η τιµή του Α µεγάλωσε κατά 2.5 φορές, (250=100x2.5) και η ποσοστιαία
A
µεταβολή του Α είναι
B- A
250 - 200
⋅ 100 % =
⋅ 100% = 250 % , αν Α=180 , Β=140 τότε, η ποσοστιαία
A
200
µεταβολή του Α είναι
140 -180
⋅ 100 % = −22.2 % )
180
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 14 από 28
Η αντίστοιχη ποσοστιαία µεταβολή στο y είναι
∆y
⋅ 100 %, όπου ∆y = f(x + ∆x) - f(x) .
y
Ένα µέτρο µε το οποίο εκτιµάται η ζητούµενη µεταβολή ονοµάζεται ελαστικότητα της συνάρτησης y,
συνήθως συµβολίζεται µε ε y ή ηy ή και µε άλλα σύµβολα, και ορίζεται ως εξής.
Ορισµός ελαστικότητας
∆y
⋅ 100
ποσοστιαία µεταβολή του y
y
ε y = ηy =
=
=
ποσοστιαία µεταβολή του x ∆x ⋅ 100
x
∆y
x ∆y
y
=
∆x y ∆x
x
(1)
Η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναµα και σαν
∆y
ε y = ηy = ∆x
y
x
(2)
∆y
∆x
= εy ⋅
y
x
(3)
και σε πιο συµπαγή µορφή
∆y(%) = ε y ⋅ ∆x(%)
(4)
Η τελευταία διαβάζεται ως:
(ποσοστιαία µεταβολή του y) = (ελαστικότητα του y)x (ποσοστιαία µεταβολή του x)
Οι εκφράσεις 3 και 4 είναι πολύ χρήσιµες όταν θέλουµε να υπολογίσουµε τις συνέπειες µεταβολών στα
µεγέθη x, y όταν είναι γνωστή η ελαστικότητα και να δώσουµε την οικονοµική τους ερµηνεία.
Περαιτέρω:
Όταν η συνάρτηση f(x) έχει παράγωγο και το ∆x είναι πολύ µικρό, απειροστό dx (οριακά κοντά στο
µηδέν) η οριακή µορφή της σχέσης (1) δίδει.
dy
f ′(x) οριακο µεγεθος x
ε y = ηy = dx =
=
= f ′(x)
y
y
µεσο µεγεθος
y
x
x
ε y = ηy =
x
f ′(x)
y
(5)
Παρατήρηση 1. Η ελαστικότητα δεν εξαρτάται από τις µονάδες µε τις οποίες µετρούνται τα µεγέθη x,y
καθώς είναι το πηλίκον δυο αδιάστατων αριθµών (ποσοστών), και αυτός είναι ένας από τους λόγους της
µεγάλης δηµοφιλίας αυτού του µέτρου.
Παρατήρηση 2. Όταν η συνάρτηση f(x) είναι γνωστή και έχει παράγωγο η ελαστικότητα, σχεδόν
πάντα, υπολογίζεται από την σχέση (5) σε κάθε σηµείο x=x0, και ονοµάζεται ελαστικότητα της y στο
σηµείο x0, ή απλά σηµειακή ελαστικότητα στο x0 .
Παρατήρηση 3. Όταν δεν είναι γνωστή η συνάρτηση f(x), αλλά δίδονται στοιχεία µεταβολών για τα
µεγέθη x,y. π.χ. για το x µεταβολή από το x1 στο x 2 και για το y µεταβολή από το y1 στο y 2 η
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 15 από 28
ελαστικότητα υπολογίζεται από την σχέση (1) την οποία ξαναγράφουµε στην παρακάτω πιο εύχρηστη
µορφή.
y 2 - y1
y1
εy =
x 2 - x1
x1
(6)
Παρατήρηση 4. Όταν έχει υπολογισθεί η ελαστικότητα από την (5), ή την (6) ή και αν µας έχει δοθεί η
τιµή της, και στην συνέχεια η τιµή αυτή χρησιµοποιείται να συσχετισθούν ποσοστιαίες µεταβολές
µεταξύ των x,y τότε καταφεύγουµε στην (4) ή την (3). Οι τιµές που προκύπτουν είναι προσεγγιστικές
και όχι ακριβείς, εκτός αν η συνάρτηση f(x) που συνδέει τα µεγέθη x,y (που µπορεί να είναι και
άγνωστη) είναι γραµµική.
Παρατήρηση 5. Είναι αυτονόητο ότι όταν οι ποσοστιαίες µεταβολές της µιας µεταβλητής, π.χ. της
ανεξάρτητης µεταβλητής, είναι µικρές οι αντίστοιχα υπολογιζόµενες ποσοστιαίες µεταβολές της άλλης,
της εξαρτηµένης µεταβλητής, είναι πολύ καλές προσεγγίσεις. Οι προσεγγίσεις χειροτερεύουν όταν οι
ποσοστιαίες µεταβολές στην µία µεταβλητή µεγαλώνουν.
Όλα αυτά θα τα δούµε στα παραδείγµατα που ακολουθούν.
Παράδειγµα 1.
∆ίδεται ότι η συνάρτηση ζήτησης για υπολογιστές είναι P = 2400 − 0.5Q , όπου P η τιµή και Q η
ποσότητα.
1. Να βρεθούν τα πεδία, ορισµού και τιµών της συνάρτησης.
2. Να υπολογισθεί η ελαστικότητα της ζήτησης (ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή) σε κάθε µια
από τις περιπτώσεις (i) P =1.800, (ii) P =1200, (iii) P =600.
3. Αν η τιµή των υπολογιστών αυξηθεί1 κατά 1 %, ή µειωθεί κατά 1 %, να υπολογισθεί η ποσοστιαία
µεταβολή της ζήτησης σε κάθε µια από τις περιπτώσεις (i) P =1.800, (ii) P =1200, (iii) P =600.
4. Αν η τιµή των υπολογιστών αυξηθεί κατά 12 %, να υπολογισθεί η ποσοστιαία µεταβολή της ζήτησης
για κάθε µία από τις τιµές (i) P =1.800, (ii) P =1200, (iii) P =600.
Λύση.
1. Λόγω της φυσικής σηµασίας των P , Q πρέπει P ≥ 0 και Q ≥ 0 .
Επειδή P ≥ 0 και P = 2400 − 0.5Q καταλήγουµε στην ανισότητα 2400 − 0.5Q > 0 . Με επίλυση
αυτής προκύπτει ότι Q ≤ 4.800 . Άρα το πεδίο ορισµού είναι το 0 ≤ Q ≤ 4.800 .
Για το πεδίο τιµών αντικαθιστούµε στην P = 2400 − 0.5Q τις τιµές Q=0 και Q= 4.800 και βρίσκουµε
τις αντίστοιχες τιµές P =2400 και P =2400, οπότε το πεδίο τιµών είναι το διάστηµα [0,2400].
Εναλλακτικά, επιλύουµε την P = 2400 − 0.5Q ως προς Q και παίρνουµε Q = 4.800 − 2P . Επειδή
Q≥0 →
4.800 − 2P ≥ 0
οµοίως προκύπτει ότι P ≤ 2.400 . Άρα το πεδίο τιµών είναι
0 ≤ P ≤ 2.400 .
1
Πρόκειται για ποσοστιαία µεταβολή.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 16 από 28
2. Λύνοντας ως προς Q την P = 2400 − 0.5Q παίρνουµε Q = 4800 − 2P δηλαδή παίρνουµε την ζήτηση
σαν συνάρτηση της τιµής. Αυτό είναι απαραίτητο (όχι απολύτως αλλά διευκολύνει) να γίνει διότι
ζητάµε την ελαστικότητα της ζήτησης. Η παράγωγος της Q
ως προς P είναι Q′ = −2
και µε
αναφορά στην σχέση (5) που δίδει την ελαστικότητα παίρνουµε, την γενική έκφραση της
ελαστικότητας της ζήτησης,
εd =
P
2P
( −2.0) = −
Q
4800 − 2P
(7)
Με αντικατάσταση των (i) P =1.800, (ii) P =1200, (iii) P =600, (στην σχέση (7) προκύπτουν οι
σηµειακές ελαστικότητες της ζήτησης που αντίστοιχα είναι ε1 = −3 , ε 2 = −1 , ε3 = −0.33 .
Έτσι επειδή
ε1 = 3 > 1 , η ζήτηση είναι ελαστική, στο επίπεδο τιµής P =1.800
ε 2 = 1 , η ζήτηση είναι µοναδιαίας ελαστικότητας, στο επίπεδο τιµής P =1200
ε3 = 0.33 < 1 . η ζήτηση είναι ανελαστική, στο επίπεδο τιµής P =600.
3. Έχοντας υπολογίσει τις ελαστικότητες µέσω της σχέσης (5), καταφεύγουµε τώρα στην σχέση (4) ή
την (3) για να υπολογίσουµε τις ζητούµενες µεταβολές (βλέπε παρατήρηση 4). Μια αύξηση της
τιµής κατά 1% από τα επίπεδα 1800, 1200, 600, θα προκαλέσει µεταβολή (µείωση ) στην ζήτηση
κατά -3%, -1% ,-0.33 % αντίστοιχα, ενώ µια µείωση της τιµής κατά 1% (µεταβολή -1 %) από τα
επίπεδα 1800, 1200, 600, θα προκαλέσει µεταβολή (αύξηση) στην ζήτηση κατά +3%, +1% +0.33.
Μια µεταβολή (αύξηση) της τιµής κατά 12% από τα επίπεδα 1800, 1200, 600, θα προκαλέσει
µεταβολή (µείωση)κατά -33%, -12% ,-3.96 στην ζήτηση.
Τα παραπάνω προκύπτουν από την σχέση (4) ή την (3) αντικαθιστώντας διαδοχικά τις τιµές των
πλαστικοτήτων ε1 = −3 ,
ε 2 = −1 , ε3 = −0.33 . Που βρέθηκαν από την (5) και των αντίστοιχων
ποσοστιαίων µεταβολών 1%, 12% της τιµής p.
Σχόλιο. Οι υπολογισθείσες µεταβολές της ζήτησης είναι ακριβείς (και όχι προσεγγιστικές) διότι η
συνάρτηση ζήτησης P = 2400 − 0.5Q είναι γραµµική ( παρατήρηση 4 σελ. 13).
ΑΛΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Συνάρτηση µέσου µεγέθους
Αν y = f (x) είναι µια συνάρτηση µε βάση αυτή ορίζουµε τη συνάρτηση µέσου µεγέθους που
συνήθως συµβολίζεται µε AVf(x) ή και απλά AV ορίζεται ως
Συνάρτηση µέσου µεγέθους
h(x) = AVf (x) = AV =
f (x)
x
Οι ελαστικότητες εf ε h , των δυο συναρτήσεων ολικού µεγέθους f (x) , και µέσου µεγέθους h(x)
συνδέονται µε την πολύ βασική σχέση:
εf ( x ) = ε h ( x ) + 1
Παρακάτω δίδονται και όλες οι συναρτήσεις που θα συναντήσετε στις εργασίες σας.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 17 από 28
Θα πρέπει να εξοικειωθείτε µε τις έννοιες των συναρτήσεων αυτών καθώς και ιδιαίτερα µε το
συµβολισµό τους, που στο συνολό του είναι διεθνής.
Συνάρτηση οριακού µεγέθους
Αν y = f (x) είναι µια οποιαδήποτε συνάρτηση
από αυτήν παράγεται η συνάρτηση οριακού
µεγέθους που ορίζεται ως η παράγωγος y′ = f ′(x) της συνάρτησης και συµβολίζεται µε MPf(x) ;ή
απλά MP.
Συνάρτηση οριακού µεγέθους
MP= MPf(x)= f ′(x)
Είναι φανερό ότι αν ξέρουµε την συνάρτηση οριακού µεγέθους MPf(x) µπορούµε να βρούµε
την συνάρτηση ολικού µεγέθους y = f (x) µε ολοκλήρωση
f (x) = ∫ MP(x)dx
Παρακάτω θα δούµε παραδείγµατα τέτοιων περιπτώσεων
Σχόλιο. Η λέξη οριακό µέγεθος µας παραπέµπει πάντα στην παράγωγο.
Συνάρτηση παραγωγής (production function)
Η συνάρτηση παραγωγής (production function) µετασχηµατίζει τους πόρους παραγωγής
(εισόδους-inputs) σε παραγόµενες µονάδες( έξοδο-output). Αυτή µπορεί να είναι της µορφής
Q = f (L, K, R, Te ,S,...) όπου οι µεταβλητές L, K, R, Te ,S,... παριστάνουν, την εργασία L, το
φυσικό κεφάλαιο (κτήρια, µηχανές, κ.λπ.) ή το πραγµατικό κεφάλαιο K, την πρώτη ύλη R, την
τεχνολογία Te , τη γη S , κ.λ.π. Εµείς εδώ θα υποθέσουµε ότι το Q είναι συνάρτηση ενός µόνο
πόρου του x και έτσι γράφουµε Q = f (x) .
Από την Q = f (x) (που ονοµάζεται και συνάρτηση ολικής παραγωγής) παράγονται οι συναρτήσεις που
δίδονται στον παρακάτω πίνακα.
1
2
3
Συνάρτηση
Ολικής παραγωγής
(ή Ολικού προϊόντος)
(ή Ολικού µεγέθους)
Οριακού προϊόντος
(ή οριακού µεγέθους
Μέσου Προϊόντος
ή µέσου µεγέθους
Τύπος
Αγγλικός όρος
Production function (or Total
production function)
Q = f (x)
MP = MPf (x) = f ′(x)
AV = AVf (x) =
f (x)
x
Marginal product
Average product
Η f ′(x) παριστά την παράγωγο της συνάρτησης f (x)
Όταν εξειδικεύσουµε την φύση του x, δηλαδή όταν προσδιορίσουµε τι αυτό παριστάνει τότε
εξε3ιδικεύουµε και το όνοµα της συνάρτησης παραγωγής
Έτσι αν Q = f (L) µιλάµε για συνάρτηση ολικού προϊόντος της εργασίας.
Το MPf (L) = f ′(L) λέγεται οριακό προϊόν της εργασίας (Marginal product of labour-ΜPL).
Το AVf (L) =
f (L)
λέγεται µέσο προϊόν της εργασίας (Average product of labour-APL).
L
Ανάλογες διατυπώσεις έχουµε όταν το x εκφράζει άλλες µεταβλητές π.χ. κεφάλαιο.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 18 από 28
Συνάρτηση Κόστους.
Η συνάρτηση κόστους (Cost function), εκφράζει το κόστος που συνεπάγεται η παραγωγή q µονάδων
ενός προϊόντος και έχει τον συµβολισµό TC = C(q) η και TC(q) = C(q)
Από αυτήν παράγονται οι συναρτήσεις που δίδονται στον παρακάτω πίνακα.
1
Όνοµα Συνάρτησης
Συνάρτηση Ολικού κόστους
TC = C = C(q)
2
Συνάρτηση Οριακού κόστους
MC = MC(q) = C′(q)
3
Συνάρτηση Μέσου ολικού
κόστους
4
Συνάρτηση Ολικού σταθερού
κόστους
Συνάρτηση Μέσου
σταθερού κόστους
5
6
7
8
Συνάρτηση Ολικού
µεταβλητού κόστους
Συνάρτηση Οριακού
µεταβλητού κόστους
Τύπος
ATC = ATC(q) =
C(q)
q
TFC = C(0)
Total fixed cost
TFC C(0)
=
q
q
TVC(q) = TC(q) − TFC = C(q) − C(0)
Average fixed
cost
AFC(q) =
MVC(q) =
Συνάρτηση Μέσου
µεταβλητού κόστους
Αγγλικός όρος
Total cost
function
Marginal cost
function
Average total
cost function
d(TVC) d(TC(q) − TFC)
=
dq
dq
AVC(q) =
TVC(q) TC(q) − TFC
=
q
q
Total variable
cost function
Marginal
variable cost
function
Average variable
cost function
Με τις συναρτήσεις του παραπάνω πίνακα, καθώς και όλες τις οικονοµικές συναρτήσεις, θα
πρέπει να εξοικειωθείτε γιατί θα τις βρίσκεται πολύ συχνά µπροστά σας και είναι βέβαιο πως
στις εξετάσεις θα έχετε να επιλύσετε προβλήµατα στα οποί αυτές θα εµπλέκονται
Συνάρτηση ολικών Εσόδων
Από τη συνάρτηση ζήτησης p = D(q) παράγεται η συνάρτηση ολικών εσόδων (Total Revenue)
TR = TR(q) = R(q) = qp = qD(q)
σαν συνάρτηση του προϊόντος q.
Είναι προφανές ότι η TR(q) µπορεί να εκφρασθεί και σαν συνάρτηση της τιµής p. Αυτό
απαιτεί να λύσουµε τη συνάρτηση ζήτησης p = D(q) ως προς q . Αν η λύση είναι q = Q(p)
τότε η συνάρτηση ολικών εσόδων ως συνάρτηση του p γίνεται
TR = TR(p) = R(p) = qp = pQ(p)
Από την TR(p) παράγονται οι συναρτήσεις που δίδονται στον παρακάτω πίνακα.
1
2
3
Συνάρτηση
Ολικών εσόδων
Οριακών εσόδων
Μέσων εσόδων
Τύπος
TR = TR(q) ή TR = TR(p)
MP(q) = TR ′(q)
TR(q)
ATR(q) =
q
Αγγλικός όρος
Total Revenue
Marginal Revenue
Average Revenue
Προσοχή και στις συναρτήσεις αυτού του πίνακα
Αντίστοιχες εκφράσεις υπάρχουν όταν η TR είναι συνάρτηση του p.
Τέλος έχουµε τη συνάρτηση κερδών που είναι.
Ολικά κέρδη= Ολικές εισπράξεις –Ολικό κόστος
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 19 από 28
π = TP(q) = TR(q) − TC(q)
Από αυτή παράγονται άλλες συναρτήσεις όπως και στις άλλες περιπτώσεις, π.χ. οριακό κέρδος, κ.λ.π.
Παράδειγµα 2.
Η συνάρτηση συνολικού κόστους (TC) µιας επιχείρησης δίνεται από την εξίσωση, TC = Q 3 , όπου Q
είναι η ποσότητα του αγαθού. Η συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι P = 110 − Q , όπου P είναι η
τιµή του αγαθού και Q η ζητούµενη ποσότητα.
1. Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις. Συνολικού εσόδου (TR),οριακού εσόδου ΜR, κέρδους (Π)
οριακού κέρδους ΜΠ. Οριακού κόστους της επιχείρησης.
2. Υπολογίστε για ποιες ποσότητες αγαθού (Q) τα κέρδη της επιχείρησης είναι µηδέν.
3. Να προσδιορίσετε τις παραγόµενες ποσότητες Q (ή διαστήµατα ποσοτήτων) του αγαθού (Q) για
τις οποίες η επιχείρηση έχει: (i) Μηδενικό κέρδος, (ii) πραγµατικό κέρδος (iii) ζηµιά.
4. Να γίνουν τα γραφήµατα αυτών των συναρτήσεων, µε χρήση του Excel.
Λύση
1. Συνολικού εσόδου TR= TR(Q) =
PQ = (110 − Q ) Q = 110Q − Q2
(110Q − Q2 )′ = 110 − 2Q
Π(Q) = TR − TC = (110Q − Q2 ) − Q3 = 110Q − Q2 − Q3
Οριακού εσόδου: MR= ΜR(Q)=
Π=
Kέρδους:
Οριακού Kέρδους: MΠ=ΜΠ(Q)= (110Q − Q
Οριακό κόστος:
MC=MC(Q)=
2
− Q3 )′ =110 − 2Q − 3Q2
(Q3 )′ = 3Q2
(
)
2. Π (Q ) = 0 ⇒ 110Q − Q 2 − Q 3 = 0 ⇒ Q 110 − Q − Q 2 = 0
Από αυτήν έχουµε Q=0 ή 110 − Q − Q = 0 .Η λύση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης µας δίνει
Q=10 και Q=-11. Η αρνητική τιµή απορρίπτεται και συνεπώς οι ποσότητες που µηδενίζουν το
κέρδος είναι Q=0 και Q=10.
3. Μηδενικό κέρδος αντιστοιχεί στις ποσότητες Q=0 και Q=10.(δεν υπάρχουν διαστήµατα τιµών του Q
µε µηδενικό κέρδος)
Πραγµατικό κέρδος προκύπτει για ποσότητες 0<Q<10, (λύση της ανισότητας Π (Q ) >0)
Ζηµιά προκύπτει για ποσότητες Q>10, (λύση της ανισότητας Π (Q ) <0)
4.
2
ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ TC, TR, Π
2000
1500
TC, TR, Π
1000
TC
TR
500
Π
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
-500
-1000
Q
Βλέπουµε ότι οι απαντήσεις µας στην ερώτηση 3 επαληθεύονται από το πιο πάνω διάγραµµα.
Σηµ. Η κλίµακα στο οριζόντιο άξονα είναι 1=10, 2=20 κ.λ.π
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 20 από 28
Παράδειγµα.3.
Η ακόλουθη συνάρτηση συνδέει το συνολικό κόστος TC(q) µε την παραγόµενη ποσότητα q:
TC (q ) = 2000 + 10q + 3q 2 .
1. Γράψτε τις συναρτήσεις του Οριακού Κόστους (Marginal Cost - MC), του Μέσου Συνολικού
Κόστους (Average Total Cost- ΑTC), και του Μέσου Σταθερού Κόστους (Average Fixed Cost AFC).
2. Βρείτε την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το ATC. Υπολογίστε το ATC και το MC σε αυτή την
ποσότητα.
3. Τι παρατηρείτε; Σχολιάστε.
Απαντήσεις
1.
TC
FC
MC= dTC =10+6q, ATC=
= 2000 + 10 +3q, AFC=
=
q
q
q
dq
2000
q
2. Για να βρούµε την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το ΑΤC παίρνουµε την πρώτη παράγωγο ως προς q
και την θέτουµε ίση µε το µηδέν (ΚΠΠ).
dATC
dATC 2000
=0 ⇒
=- 2 +3=0 ⇒ 2000 =3 ⇒ q2 = 2000 =666.7 ⇒ q=25.8
3
dq
dq
q
q2
Για να βεβαιώσουµε ότι σε αυτή την ποσότητα ελαχιστοποιείται το ATC παίρνουµε την δεύτερη
παράγωγο ως προς την ποσότητα και ελέγχουµε αν είναι θετική (Κ∆Π) .
d2 ATC 2000
=2 3 >0
dq2
q
∆ιότι q>0. Με αντικατάσταση q=25.8, βρίσκουµε ATC=164,9
MC=164,9 .
3. Παρατηρούµε ότι στο ελάχιστο σηµείο του ATC το MC=ATC. Αυτό επαληθεύει γνωστό θεώρηµα
το οποίο αποδεικνύεται πάρα πολύ εύκολα.
Προσοχή: Το παράδειγµα που ακολουθεί θέλει προσεκτική µελέτη, έχει σηµαντικές δυσκολίες και µάλλον
θα πρέπει να παραληφθεί σε µια πρώτη ανάγνωση ).
Παράδειγµα 4.
Στην αγορά ενός προϊόντος υπάρχουν δύο καταναλωτές Α και Β µε τις ακόλουθες συναρτήσεις
ζήτησης:
p = 150 − 2 q A
p = 68 − 0, 5qB
όπου p η τιµή του προϊόντος και q A και qB η ζήτηση του προϊόντος από τους καταναλωτές Α, Β
αντίστοιχα.
Η συνάρτηση συνολικής προσφοράς του προϊόντος είναι: p = Q 2 − 50Q + 400 , όπου Q η συνολική
ποσότητα που προσφέρεται από τους παραγωγούς στους δύο καταναλωτές.
1. Να προσδιορισθούν τα πεδία ορισµού και τιµών των δύο συναρτήσεων ζήτησης.
2. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση συνολικής ζήτησης του προϊόντος και τα πεδία ορισµού και τιµών
της. (Η συνολική ζήτηση του προϊόντος στην αγορά προκύπτει από την άθροιση της ζήτησης των
δύο καταναλωτών, (πχ. Q = q A + qB ).
3. Να προσδιοριστούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων συνολικής ζήτησης και προσφοράς
4. Να βρεθεί η τιµή και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος
5. Να υπολογισθεί και ερµηνευθεί η ελαστικότητα ζήτησης του προϊόντος στο σηµείο Q=42
Λύση
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 21 από 28
1. Για
τον
150 − 2q A ≥ 0 ⇒ q A ≤ 75 ,
και
p
≥ 0 ⇒ p ≤ 150 . Άρα 0 ≤ p ≤150 και 0 ≤ qA ≤75
2
καταναλωτή B ισχύει
οπότε
p≥0
68 − 0, 5qB ≥ 0 ⇒ qB ≤ 136
και
καταναλωτή
Α
ισχύει
p ≥ 0,
οπότε
q A ≥ 0 ⇒ 75 −
Για
τον
q B ≥ 0 ⇒ 136 − 2 p ≥ 0 ⇒ p ≤ 68 . Άρα 0 ≤ p ≤ 68 και 0 ≤ qB ≤ 136
Έτσι οι συναρτήσεις ζήτησης γίνονται
p = 150 − 2 q A , 0 ≤ q A ≤ 75
p = 68 − 0, 5qB , 0 ≤ qB ≤ 136
Αν λύσουµε τις συναρτήσεις αυτές ως προς q A , qB παίρνουµε,
q A = 75 − 0.5 p, 0 ≤ p ≤ 150
q B = 68 − 2 p ,
0 ≤ p ≤ 68
(1)
(2)
2. Από τα πεδία τιµών του p στις συναρτήσεις ζήτησης των δύο καταναλωτών προκύπτει ότι η ανώτατη
τιµή για τον καταναλωτή Α είναι οι 150 ν.µ., ενώ για τον καταναλωτή Β οι 68 ν.µ. Έτσι για τιµές
µικρότερες των 68 ν.µ. αγοράζουν και οι δύο καταναλωτές, και άρα η συνολική ζήτηση είναι
Q = q A + qB = 211 − 2,5 p , όταν 0 ≤ p ≤ 68
(3)
Το πεδίο τιµών αυτής της συνάρτησης είναι
41 ≤ Q ≤ 211 . Αν λύσουµε την (3) ως προς p
παίρνουµε
p = 84.4 − 0.4Q , µε 41 ≤ Q ≤ 211
(4)
Για τιµές από 68 ν.µ. έως 150 αγοράζει µόνο ο καταναλωτής Α και άρα η συνολική ζήτηση είναι
Q = q A = 75 − 0.5 p, 68 ≤ p ≤ 150
(5)
Το πεδίο τιµών αυτής της συνάρτησης είναι 0 ≤ Q ≤ 41 . Αν λύσουµε την (5) ως προς p παίρνουµε
p = 150 − 2Q,
0 ≤ Q ≤ 41
(6)
Συνδυάζοντας τις (3) και (5) καταλήγουµε στην ακόλουθη συνάρτηση συνολικής ζήτησης
εκφρασµένη ως συνάρτηση του p.
211 − 2, 5 p, όταν 0 ≤ p ≤ 68
Q=
,
75 − 0.5 p, όταν 68 ≤ p ≤ 150
(7)
Συνδυάζοντας τις (4) και (6) καταλήγουµε στην ακόλουθη συνάρτηση συνολικής ζήτησης
εκφρασµένη ως συνάρτηση του Q.
150 − 2Q ,
p = pd = 
84, 4 − 0, 4Q ,
0 ≤ Q ≤ 41
41 < Q ≤ 211
(8)
Αυτή είναι η ζητούµενη συνάρτηση και είναι µια συνάρτηση δυο κλάδων.
3. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης συνολικής ζήτησης βρέθηκε από την προηγούµενη ερώτηση και
είναι: 0 ≤ Q ≤ 211 ενώ αντίστοιχα το πεδίο τιµών της είναι 0 ≤ p ≤ 150
Η συνάρτηση συνολικής προσφοράς (συνάρτηση προµηθευτή-παραγωγού) αν την δούµε σαν
Q = g ( p ) είναι αύξουσα ως προς p (όταν οι τιµές είναι υψηλές οι παραγωγοί διαθέτουν µεγάλες
ποσότητες).
Αν τι δούµε σαν p = f (Q ) είναι γνωστό ότι είναι αύξουσα ως προς Q (οι παραγωγοί διαθέτουν
µεγάλες ποσότητες όταν οι τιµές είναι υψηλές.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 22 από 28
Η καµπύλη p = ps = ps (Q ) = Q 2 − 50Q + 400
1
τέµνει τον οριζόντιο άξονα στα σηµεία: που
είναι λύσεις της ps (Q ) = 0 . Αυτά είναι.
Q1,2 =
50 ± 2500 − 1600
ή Q1 = 10, Q2 = 40
2
Στο διάστηµα 0 ≤ Q ≤ 10 η συνάρτηση παίρνει µη αρνητικές τιµές αλλά είναι φθίνουσα και στο
διάστηµα
10 < Q < 40 είναι µεν αύξουσα, αλλά παίρνει αρνητικές τιµές. Άρα σε αυτά τα
διαστήµατα η δοθείσα συνάρτηση δεν µπορεί να παριστά συνάρτηση προσφοράς. Τέλος στο
διάστηµα 40 ≤ Q < ∞ παίρνει µη αρνητικές τιµές και είναι αύξουσα, και εποµένως σε αυτό η
δοθείσα συνάρτηση µπορεί να παριστά συνάρτηση προσφοράς και αυτό είναι το πεδίο ορισµού
της. Το πεδίο τιµών είναι το 0 ≤ p < ∞
4. Η ποσότητα ισορροπίας της αγοράς προκύπτει από την εξίσωση της συνολικής ζήτησης µε την
προσφοράς δηλαδή ps = pd . (αντίστοιχα θα είναι Qs = Qd . Αυτό οδηγεί στην εξίσωση.
{Q
2
150 − 2Q ,
− 48Q + 400, 40 ≤ Q<∞} = 
84, 4 − 0, 4Q ,
0 ≤ Q ≤ 41 

41 < Q ≤ 211
Η επίληση αυτής της εξίσωσης θέλει προσοχή, γιατί πρέπει να διακρίνουµε περιπτώσεις.
Η εξίσωση µε τον πρώτο κλάδο συνεπάγεται
Q 2 − 50Q + 400 = 150 − 2Q
και αυτή είναι έγκυρη όταν 40 ≤ Q ≤ 41
ή Q 2 − 48Q + 250 = 0 για κάθε q µε 40 ≤ Q ≤ 41
Οι λύσεις της δευτεροβάθµιας εξίσωσης είναι
Q1,2 =
48 ± 2304 − 1000 Q1 ≈ 5,94
=
2
Q2 ≈ 42, 06
Και οι δυο ρίζες απορρίπτονται διότι είναι έξω από το διάστηµα . 40 ≤ Q ≤ 41 (Από αυτές η
Q1 ≈ 5,94 απορρίπτεται γιατί είναι έξω από το πεδίο ορισµού της
ps = Q 2 − 50Q + 400 και η
δεύτερη Q2 ≈ 42, 06 απορρίπτεται γιατί είναι έξω από το πεδίο ορισµού του κλάδου 150 − 2Q της
pd )
Έτσι η παραπάνω εξίσωση δεν έχει αποδεκτή λύση και δεν δίδει σηµείο ισορροπίας.
Στο διάστηµα 41 ≤ Q ≤ 211, υπάρχει ισορροπία αν η εξίσωση
84, 4 − 0, 4Q = Q 2 − 50Q + 400 ή Q 2 − 49, 6Q + 315, 6 = 0
έχει λύση σε αυτό το διάστηµα. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
Q1 ≈ 42,1 και Q2 ≈ 7,5 . Αποδεκτή
είναι η Q* = Q1 ≈ 42,1 που είναι και η ποσότητα ισορροπίας.
Η τιµή ισορροπίας είναι p* = 84, 4 − 0, 4(42,1) = 67, 56 . (Αν το Q* =42,1 αντικατασταθεί στην
συνάρτηση προσφοράς προκύπτει p* = (42,1) 2 − 50(42,1) + 400 ≈ 67, 41 . Η διαφορά από το 67.56
οφείλεται στις στρογγυλοποιήσεις)
5. Στο σηµείο ισορροπίας Q* =42,1 η συνάρτηση ζήτησης δίδεται από το δεύτερο κλάδο και είναι :
p = 84, 4 − 0,4Q µε 41 < Q ≤ 211
1
Για καλύτερη κατανόηση έχω επισηµάνει µε
ps και pd τις συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 23 από 28
Αν αυτή την λύσουµε ως προς Q παίρνουµε
Q=
84, 4 1
−
p = 211 − 2,5 p
0, 4 0, 4
Η ελαστικότητα ζήτησης βρίσκεται από τον τύπο:
εd =
p dQ 67, 56
=
(−2, 5) ≈ −4
Q dp
42,1
Εποµένως (µε αναφορά στην σχέση ) αύξηση της τιµής κατά 1% προκαλεί µείωση της ζητούµενης
ποσότητας κατά 4% και αντίστροφα µείωση της τιµής κατά 1% προκαλεί αύξηση της ζητούµενης
ποσότητας κατά
Παράδειγµα .5.
Εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων διαπιστώνει ότι η ζήτηση ενοικίασης αυτοκινήτων δίδεται από την
σχέση q(p)=2530-50p, όπου q ο αριθµός των ενοικιαζόµενων αυτοκινήτων ανά ηµέρα και p η τιµή
ενοικίασης.
1. Να ευρεθεί ο αριθµός ενοικίασης αυτοκινήτων από τους ενοικιαστές όταν p=50 και στη συνέχεια να
προσδιοριστεί η ελαστικότητα ζήτησης για τη συγκεκριµένη τιµή.
2. Να βρεθεί η τιµή του p για την οποία η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση µε -1 και να δοθεί η ερµηνεία
της. Χρησιµοποιώντας την ερµηνεία της ελαστικότητας υπολογίστε τη µεταβολή της ζήτησης αν η
τιµή ενοικίασης των αυτοκινήτων αυξηθεί από την τιµή που βρήκατε στα 30 ευρώ. Υπολογίστε
επίσης την ζήτηση µε βάση την συνάρτηση ζήτησης. Εξηγήστε τις διαφορές που προκύπτουν µεταξύ
των δύο υπολογισµών.
3. Να προσδιοριστεί η τιµή του p η οποία µεγιστοποιεί τη συνάρτηση συνολικών εσόδων ΤR(p). Τι
παρατηρείτε; Στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο Excel την συνάρτηση συνολικών εσόδων και να
επιβεβαιώσετε γραφικά την µέγιστη τιµή της.
4. Να αποδείξετε αλγεβρικά ότι τα έσοδα µεγιστοποιούνται στο σηµείο όπου η ελαστικότητα ζήτησης
είναι ίση µε -1.
Απαντήσεις
1 Για p=50 έχουµε :
q(50)=2530-50x50=30
οπότε 30 αυτοκίνητα ενοικιάζονται την ηµέρα µε την τιµή των 50€.
Η ελαστικότητα ζήτησης βρίσκεται από τον τύπο:
εd =
dq p
p
50
−2500
= −50
= −50
=
= −83, 33
2530 − 50 p
2530 − 2500
30
dp q
2 Για εd(p)=-1 έχουµε:
50p
= 1 ⇒ 50p = 2530 − 50p ⇒ p = 25, 3
2530 − 50p
Όταν λοιπόν η τιµή είναι p=25.3 ο λόγος της ποσοστιαίας µεταβολής στην ποσότητα προς την
ποσοστιαία µεταβολή στην τιµή είναι -1.
Για p = 25,3 η ζήτηση είναι q=2530-50(25,3)=1265 αυτοκίνητα.
Η µεταβολή της τιµής από 25,3 ευρώ σε 30 ευρώ αντιστοιχεί σε ποσοστιαία αύξηση
30 − 25,3
= 18,58% .
25,3
Εποµένως η ζήτηση θα µειωθεί επίσης κατά 18,58% δηλαδή κατά 1265x0.1858=235,04 αυτοκίνητα
και θα είναι 1265-235,04=1029,96 αυτοκίνητα.
Με βάση τη συνάρτηση ζήτησης ο αριθµός των αυτοκινήτων που θα ενοικιασθούν όταν η τιµή είναι
30 ευρώ ανέρχεται σε q=2530-50(30)=1030 αυτοκίνητα.
Επισήµανση. Παρατηρούµε ότι το προσεγγιστικό αποτέλεσµα που βρέθηκε µε χρήση της
ελαστικότητας ζήτησης που υπολογίστηκε από την σχέση (5) και στην συνέχεια χρησιµοποιήθηκε
στην (4) για να βρούµε την µεταβολή διαφέρει από την ακριβή τιµή της µεταβολής που
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 24 από 28
υπολογίστηκε µε βάση τη συνάρτηση ζήτησης αλλά η διαφορά είναι πολύ µικρή (βλέπε παρατηρήση,
5 σελίδα 13).
3 R(p)=p.q=p.(2530-50p)=2530p-50p2.
Κριτήριο πρώτης παραγώγου : ΤR΄(p)=2530-100p=0 => p=25,3
Κριτήριο δεύτερης παραγώγου : ΤR΄΄(p)=-100<0 εποµένως στο σηµείο p=25,3 η συνάρτηση
συνολικών εσόδων έχει µέγιστο.
Το σηµείο στο οποίο η συνάρτηση συνολικών εσόδων έχει µέγιστο είναι το σηµείο στο οποίο η
ελαστικότητα είναι ίση µε 1.
p dq(p)
.
.
q(p) dp
Όµως TR(p) = p.q(p) και παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση ως προς p έχουµε.
dTR(p)
dq(p) dp
dq(p)
p dq(p)
= p.
+ .q(p) = p.
+ q(p) = q(p).(
.
+ 1) = q(p).{ε(p) + 1}
dp
dp
dp
dp
q(p) dp
4. Η ελαστικότητα της ζήτησης δίδεται από την ε(p) =
Σύµφωνα µε το ΚΠΠ για να υπάρχει ακρότατο πρέπει:
dTR(p)
=0
dp
q(p).{ε(p) + 1} = 0 ⇒ ε(p) + 1 = 0 ⇒ ε(p) = −1
Παράδειγµα 6.
2
H συνάρτηση οριακού κόστους MC µιας επιχείρησης είναι MC = 10 + 3Q . Το συνολικό
κόστος TC(3) για παραγωγή 3 µονάδων είναι 56.
Να βρεθεί η συνάρτηση TC(q) του ολικού κόστους παραγωγής.
H συνάρτηση του συνολικού κόστους µας δίνεται από το ολοκλήρωµα της συνάρτησης του οριακού
κόστους, δηλαδή:
q3
+ k = 10q + q 3 + k
3
Για q=2 το συνολικό κόστος είναι TC (2) =10x2+23+k=30
TC(q) = ∫ MC(q)dq = TC(q) = ∫ (10 + 3q 2 )dq = 10q + 3
Από αυτήν προσδιορίζεται η σταθερά k=2 και η συνάρτηση γίνεται TC(q) = 10q + q 3 + k
Επισήµανση
Ίδια διαδικασία, δηλαδή ολοκλήρωση, θα ακολουθήσετε αν σας δινόταν π.χ. το οριακό κέρδος
MP, τα οριακά έσοδα MR και γενικά οπουδήποτε οριακό µέγεθος και σας ζητούσαν να βρείτε το
ολικό µέγεθος
Πριν κλείσουµε αυτή την ενότητα θα πρέπει να επισηµάνουµε ότι σε κάθε οικονοµική συνάρτηση οι
µεταβλητοί παράγοντες (µεταβλητές) που µπορεί να υπάρχουν στο οικονοµικό περιβάλλον και να
επηρεάζουν το µέγεθος που µελετάµε αλλά δεν υπεισέρχονται σε αυτήν θεωρούνται σταθεροί.
Προτεινόµενες Ασκήσεις
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 25 από 28
1. Να βρεθεί η ελαστικότητα της συνάρτησης, y = α
1
x x
, x>0
καθώς και τα διαστήµατα τιµών
του x (αν υπάρχουν) για τα οποία η συνάρτηση είναι ελαστική, ανελαστική, έχει µοναδιαία
ελαστικότητα.
2. Για τις παρακάτω συναρτήσεις ζήτησης να βρεθεί η ελαστικότητα της ζήτησης (ως προς την τιµή)
(price elasticity of supply) για P=3 και P=5
α) Q=-2+0.8P.
Απαν. 6 και 2. Και για τις δυο τιµές η ζήτηση είναι ελαστική.
β) Q-1.5P+3=0. Απαν. 3 και 7/2. Και για τις δυο τιµές η ζήτηση είναι ελαστική.
γ) Με αναφορά στο (α) να απαντήσετε τι θα συµβεί στην ζήτηση αν η τιµή αυξηθεί κατά 1%, 2% ,
10% πάνω από την τιµή Ρ=6.
3. Η συνάρτηση ζήτησης ενός προϊόντος είναι q = D ( p ) = 8.000 p -1,5 (p η τιµή µονάδος του
προϊόντος).
α) Να υπολογισθεί η εq και να ερµηνευθεί.
β) Με χρήση της ελαστικότητας να βρεθεί η ποσοστιαία µεταβολή στην ζητούµενη ποσότητα όταν
η τιµή αυξάνεται κατά 1% ή 2% από την τιµή p=4 και να συγκριθεί µε την ακριβή ποσοστιαία
µεταβολή που θα υπολογίσετε από την σχέση P[x,x +dx] =
Απάντηση: α) εq=-1.5,
f (x + dx) − f (x)
⋅ 100
f (x)
β) Η µεταβολή (προσεγγιστική) που υπολογίζεται µέσω της
ελαστικότητας είναι -1.481% .
4. Μία µελέτη των οικονοµικών της µεταφοράς χρησιµοποιεί τη σχέση Τ=0.4 Κ1.06 όπου Κ είναι η
δαπάνη που διατίθεται για την κατασκευή δρόµων και Τ είναι ένα µέτρο κυκλοφοριακού φόρτου
(traffic volume).
α) Να βρεθεί η ελαστικότητα του κυκλοφοριακού φόρτου Τ ως προς τη δαπάνη Κ.
β) Σε αυτό το µοντέλο, κατά ποιο ποσοστό (προσεγγιστικά) αυξάνει ο κυκλοφοριακός όγκος, εάν
η δαπάνη Κ αυξάνεται κατά 1%, 2%, 10%
5. Η ζήτηση D για µήλα στις Ηνωµένες Πολιτείες την περίοδο 1927-1941 εκτιµήθηκε ως D(r)=A r1.23,
όπου r είναι το εισόδηµα Να υπολογισθεί και να ερµηνευθεί η ελαστικότητα της ζήτησης (ως προς
το εισόδηµα) [Engel elasticity] .
6. Ας θεωρήσουµε την ακόλουθη συνάρτηση ζήτησης q = 27 - p 2 (q η ζήτηση και p η τιµή)
α. Να βρεθούν το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης.
β. Να βρεθούν οι τιµές του p (αν υπάρχουν) για τις οποίες η ζήτηση είναι ελαστική, ανελαστική,
µοναδιαίας ελαστικότητας.
γ. Να περιγράψετε τα συνολικά έσοδα TR(p) ως συνάρτηση της τιµής.
δ. Να βρεθεί η τιµή του p που µεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα.
Υπόδειξη ∆οκιµάστε να βρείτε τα πεδία ορισµού και τιµών.
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 26 από 28
Θα δώσουµε εδώ τη λύση για το ερώτηµα β που παρουσιάζει κάποιες δυσκολίες.
µπορούµε να δούµε ότι ε q =
Εύκολα
p
−2 p 2
(
−
2
p
)
=
.
27 - p 2
27 - p 2
Για µοναδιαία ελαστικότητα πρέπει να λύσουµε την εξίσωση ε q = 1 . Αυτή οδηγεί στις δυο
εξισώσεις
−2 p 2
−2 p 2
=
1
ή
= −1 . Η πρώτη δίδει την εξίσωση − p 2 = 9 που είναι αδύνατη.
2
2
27 - p
27 - p
Η δεύτερη δίδει p 2 = 9 , που έχει λύσεις p1 = 3 , p2 = −3 . Άρα για p1 = 3 ή p2 = −3 η ζήτηση
είναι µοναδιαίας ελαστικότητας.
Για ανελαστικότητα πρέπει να λύσουµε την ανισότητα
−1 < ε q < 1 και µε αντικατάσταση στην −1 <
ανισώσεις
−2 p 2
<1
27 - p 2
και
−1 <
ε q < 1 που είναι ισοδύναµη µε την
−2 p 2
< 1 . Η διπλή αυτή ανισότητα οδηγεί στις δυο
27 - p 2
−2 p 2
− p 2 − 27
Η
πρώτη
δίδει
< 0 που ισοδύναµα γίνεται
.
27 - p 2
27 - p 2
p 2 + 27
< 0 . Επειδή ο αριθµητής είναι θετικός αυτή θα αληθεύει όταν p 2 − 27 < 0 , πράγµα που
p 2 − 27
συµβαίνει για −3 3 < p < 3 3 . Η δεύτερη δίδει
ισοδύναµη µε την
1
3 p 2 − 27
> 0 . Αυτή η κλασµατική ανισότητα είναι
p 2 − 27
(3 p 2 − 27)( p 2 − 27) > 0 . Οι ρίζες των δυο εξισώσεων 3 p 2 − 27 = 0 και
p 2 − 27 = 0 είναι p1 = 3 , p2 = −3 και p3 = 3 3 p4 = −3 3 αντίστοιχα και η ανισότητα αληθεύει
στα διαστήµατα p > 3 3 ή −3 < p < +3 ή p < −3 3 (φτιάξτε τον άξονα και επαληθεύστε αυτό το
αποτέλεσµα. Τελικά η διπλή ανισότητα αληθεύει στο −3 < p < +3 και για αυτές τις τιµές του
έχουµε ανελαστική ζήτηση.
Κάντε τώρα µια προσπάθεια να επαληθεύσετε ότι για −3 3 < p < −3 ή +3 < p < +3 3 θα έχουµε
ελαστική ζήτηση.
7. Η συνάρτηση ζήτησης q1 = 50 - p1 (q1 η ζήτηση και p1 η τιµή) τέµνει µια άλλη συνάρτηση ζήτησης
της µορφής q 2 = a + bp 2 στο σηµείο p=10. Η ελαστικότητα της q1 στο σηµείο p=10 είναι 6 φορές
µεγαλύτερη από εκείνη της q2 στο ίδιο σηµείο.
Να βρεθεί η συνάρτηση ζήτησης. Απ. q 2 = 100 - 6p 2
8. Έστω η ακόλουθη συνάρτηση ολικού κόστους TC (total cost function)
C(q) = 200 + 60q - 4q 2 + 0,1q 3
όπου q η παραγόµενη ποσότητα.
Να παραχθούν οι συναρτήσεις: Ολικού σταθερού κόστους TFC (total fixed cost), Ολικού
µεταβλητού κόστους TVC (Total variable cost), Μέσου κόστους AC (average cost), Μέσου
1
Αυτό δεν προκύπτει ως αποτέλεσµα απαλοιφής παρονοµαστών
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 27 από 28
σταθερού κόστους AFC (average fixed cost), Μέσου µεταβλητού κόστους AVC (average
variable cost), Oριακού κόστους MC (marginal cost) και να υπολογισθούν στο σηµείο q=1.
Σηµ. Θα πρέπει να επιχειρήσετε οπωσδήποτε την άσκηση αυτή διότι θα σας αναγκάσει να
εξοικειωθείτε µε τις ορολογίες των διαφόρων συναρτήσεων.
9. ∆ίδονται η συνάρτηση ζήτησης Q - 90 + 2P = 0 (καταναλωτής) και η συνάρτηση µέσου κόστους
AC(Q)= Q2 - 39.5Q +120 + (125/Q)
Να βρεθεί το επίπεδο Q που
α) Μεγιστοποιεί τα ολικά έσοδα.
Απ. Q=45
β) Ελαχιστοποιεί το οριακό κόστος. Απ. Q=79/6
γ) Μεγιστοποιεί τα καθαρά κέρδη.
Απ. Q=25
(s-e 4.11)
10. Έστω η συνάρτηση παραγωγής ΤP (ή συνάρτηση ολικού προϊόντος) (totall production function)
TP = q(L) = -3L3 + 270L2 + 60L , όπου L η εργασία
α) Να βρεθεί το οριακό προϊόν για L=3.
β) Να βρεθούν τα ακρότατά της.
β) Να βρεθούν τα ακρότατα του µέσου (ανά µονάδα εργασίας) προϊόντος.
11. Οι συναρτήσεις ζήτησης του προϊόντος µιας βιοµηχανίας και παραγωγής δίδονται από τις σχέσεις
p = 520 ( q + 3)
q = 10L2 /(L2 + 8)1/2
( p, q η τιµή και ζήτηση και L η απαιτούµενη για την παραγωγή εργασία)
Να βρείτε τη συνάρτηση ολικών εσόδων TR (total revenue) σαν συνάρτηση του L και να
υπολογίσετε το οριακό έσοδο MR (marginal revenue) του προϊόντος για L=5.
12. Αν η ζήτηση ενός αγαθού περιγράφεται από τη συνάρτηση q=10-0,5p (q η ζήτηση και p η τιµή)
και το συνολικό κόστος παραγωγής του TC, από τη συνάρτηση TC(q) = 0,5q 2 + 5q +100
α) Να βρεθεί το επίπεδο παραγωγής που µεγιστοποιεί τα συνολικά έσοδα TR (απ. q0=5)
β) Να βρεθεί το επίπεδο παραγωγής που ελαχιστοποιεί το µέσο κόστος (απ. q0=14.14) και να
επαληθευτεί η πρόταση TC' (q 0 ) =
TC(q 0 )
(κάθε ένα από αυτά είναι 19.19 προσεγγιστικά)
q0
γ) Να βρεθεί το µέσο σταθερό κόστος AFC που αντιστοιχεί στο επίπεδο παραγωγής (β)
δ) Να βρεθεί το επίπεδο παραγωγής που µεγιστοποιεί το κέρδος TP (total profit).
Οικονοµικές συναρτήσεις, Ελαστικότητα, Εφαρµογές.
Σελ. 28 από 28

Download Report