|ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 Τhe 3 Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline… Κεφ.2 | εξισώσεις – ανισώσεις | εξάσκηση-επανάληψη Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι…!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Είναι ο αριθµός που όταν µπει στη θέση του αγνώστου x επαληθεύει την εξίσωση, πχ η εξίσωση x – 1 = 0 έχει λύση ή ρίζα τον αριθµό x = 1, διότι ο αριθµός x = 1 την επαληθεύει (δηλαδή 1 – 1 = 0). Mια εξίσωση µπορεί να µην έχει καµιά λύση ή ρίζα όπως πχ η εξίσωση 0x = 4, οπότε τότε λέµε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Μπορεί όµως µια εξίσωση να έχει και άπειρες λύσεις ή ρίζες όπως πχ η εξίσωση 0x = 0, η οποία επαληθεύεται για κάθε τιµή του x οπότε λέµε ότι η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα. Εξίσωση 1ου βαθμού ax + b = 0 Γενική Μορφή : ax + b = 0 (1) Αν a ≠ 0 τότε η (1) έχει µοναδική λύση την x = Αν a = 0 τότε η (1) γράφεται ως 0 x + b = 0 b a ⇔ 0x = b (2) αν b = 0 τότε η (2) δίνει 0 x = 0 και είναι αόριστη ή ταυτότητα δηλαδή ισχύει για κάθε x αν b ≠ 0 τότε η (2) δίνει 0 x = Εξίσωση 2ου βαθμού (τριώνυμο) ax 2 + bx + γ = 0, a ≠ 0 Γενική Μορφή : b ≠ 0 και είναι αδύνατη ax 2 + bx + γ = 0, a ≠ 0 (3) ∆ιακρίνουσα: ∆ = b2 4 aγ Αν ∆ > 0 η (3) έχει 2 λύσεις άνισες Αν ∆ = 0 η (3) έχει 1 λύση διπλή Αν ∆ < 0 η (3) είναι αδύνατη στο R (δεν έχει λύσεις) Λύσεις: b± ∆ x 1, 2 = 2a www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 1 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 Ειδικές μορφές της εξίσωσης 2ου βαθμού (τριώνυμο) ax 2 + bx + γ = 0, a ≠ 0 Μορφή ax 2 + bx = 0, a ≠ 0 (το γ του τριωνύµου είναι µηδέν) Παραγοντοποιώ το 1ο µέλος, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x και µετά χρησιµοποιώ τη γνωστή σχέση: Αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 Μορφή ax 2 + γ = 0, a ≠ 0 (το β του τριωνύµου είναι µηδέν) Παραγοντοποιώ το 1ο µέλος, εφαρµόζοντας διαφορά τετραγώνων (αν γίνεται) και µετά χρησιµοποιώ τη γνωστή σχέση: Αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 Αλλιώς µπορώ να χρησιµοποιήσω την σχέση: Aν a > 0 τότε η εξίσωση x2 = a έχει 2 λύσεις τις x = ± a Αν a<0 η εξίσωση x2 = a είναι αδύνατη Μορφή ax 2 + bx + γ = 0, a ≠ 0 Ελέγχω αν κρύβεται στους όρους κάποια από τις ταυτότητες (a ± b) 2 = a 2 + b 2 ± 2ab Εφαρµόζω (αν γίνεται) την µέθοδο συµπλήρωσης τετραγώνου χρησιµοποιώντας τις ταυτότητες (a ± b) 2 = a 2 + b 2 ± 2ab ΣΧΟΛΙΟ: Κάθε εξίσωση 2ου βαθµού που δεν εντάσσεται στις παραπάνω µορφές , , λύνεται µε χρήση των τύπων b± ∆ ∆=b Παραγοντοποίηση τριωνύμου 2 4aγ , x 1, 2 = 2a Έστω η εξίσωση 2ου βαθµού (τριώνυµο) ax 2 + bx + γ = 0, a ≠ 0 µε ρίζες ρ1 , ρ 2 . Τότε ax 2 + bx + γ = a ( x ρ1 )( x ρ 2 ) Επίλυση κλασματικών εξισώσεων Περιορισµός: Πρέπει οι παρονομαστές σε όλους τους όρους να είναι διάφοροι του μηδενός. Αναλύω τους παρονοµαστές σε γινόµενο πρώτων παραγόντων και πολλαπλασιάζω κάθε όρο επί το ΕΚΠ των παρονοµαστών (απαλοιφή παρονοµαστών). Μετά κάνω τις πράξεις που προκύπτουν…Από τις λύσεις που βρίσκω δέχοµαι µόνο αυτές που ικανοποιούν τους περιορισµούς www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 2 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 Ανίσωση 1ου βαθμού ∆ιάταξη αριθµών Αν α > β τότε α – β > 0 Αν α < β τότε α – β < 0 Αν α = β τότε α – β = 0 Ιδιότητες της διάταξης Αν στα δύο µέλη µιας ανίσωσης προσθέσω ή αφαιρέσω τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά δηλαδή Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α–γ>β–γ Αν πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης µε τον ίδιο θετικό αριθµό, τότε προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά δηλαδή α β και > Αν α > β και γ > 0 τότε αγ > βγ γ γ Αν πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό, τότε προκύπτει ανίσωση µε αντίθετη φορά δηλαδή α β και < Αν α > β και γ < 0 τότε αγ < βγ γ γ Μπορώ να προσθέτω κατά µέλη ανισώσεις µε την ίδια φορά, οπότε και προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά Αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ Μπορώ να πολλαπλασιάσω κατά µέλη ανισώσεις µε την ίδια φορά και θετικά µέλη, οπότε και προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά Αν α, β, γ, δ θετικοί µε α > β και γ > δ τότε αγ > βδ Για να λύσω µια ανίσωση 1ου βαθµού, δουλεύω κατά τα γνωστά αλλά δεν ξεχνώ ότι: όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ µε αρνητικό αριθµό, αλλάζει η φορά της ανίσωσης Να θυμάσαι ≥ a 2 0 πάντα Αν ab = 0 τότε a = 0 ή b = 0 Αν a 2 + b 2 = 0 τότε a = 0 και b = 0 www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 3 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να λυθεί η εξίσωση x -1 x + 3 1 = x2 6 3 Βήµα 1 Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονοµαστών, ΕΚΠ = 6 Βήµα 2 Πολ/ζω κάθε όρο επί το ΕΚΠ=6 και κάνω τις απλοποιήσεις που προκύπτουν (απαλοιφή παρονομαστών) x -1 x +3 1 6• 6• = 6•x -6• 2 6 3 3( x - 1) ( x + 3) = 6 x - 2 Βήµα 3 Εκτελώ τις πράξεις 3x - 3 - x - 3 = 6 x - 2 2x - 6 = 6x - 2 - 6 + 2 = 6x - 2x 4x = -4 x = -1 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να λυθεί η εξίσωση (3 - x)(2x + 1) = 0 Είναι γινόµενο ίσο µε µηδέν άρα χρησιµοποιώ την σχέση: Αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 (3 - x)(2x + 1) = 0 3 - x = 0 ή 2x + 1 = 0 3 = x ή 2 x = -1 1 x=3 ή x=2 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να λυθεί η εξίσωση x 2 - 7x = 0 Παραγοντοποιώ το 1ο µέλος, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x x 2 - 7x = 0 x ( x - 7) = 0 x = 0 ή x-7 = 0 x=0 ή x=7 www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 4 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λυθεί η εξίσωση x 2 - 36 = 0 Παραγοντοποιώ το 1ο µέλος, µε χρήση της ταυτότητας α2 – β2 = (α-β)(α+β) x 2 - 36 = 0 ή x 2 - 6 2 = 0 ( x - 6)(x + 6) = 0 x-6 = 0 ή x +6 = 0 x = 6 ή x = -6 Αλλιώς x 2 - 36 = 0 x 2 = 36 x = ± 36 x = ±6 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λυθεί η εξίσωση 25x 2 + 10x + 1 = 0 Παρατηρώ ότι οι όροι της εξίσωσης εκφράζουν το ανάπτυγµα α2 + β2 + 2αβ της γνωστής ταυτότητας 25x 2 + 10x + 1 = 0 (5x ) 2 + 2 • 5x • 1 + 12 = 0 (5x + 1) 2 = 0 5x + 1 = 0 5x = -1 1 x=5 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να λυθεί η εξίσωση x 2 - 2x - 15 = 0 Παρατηρώ ότι οι όροι της εξίσωσης µπορούν να εκφράσουν το ανάπτυγµα α2 + β2 ± 2αβ οπότε εφαρµόζω τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνων x 2 - 2x - 15 = 0 x 2 - 2 • x • 1 + 12 - 12 - 15 = 0 ( x - 1) 2 - 16 = 0 ( x - 1) 2 = 16 x - 1 = ± 16 x - 1 = ±4 x - 1 = 4 , x - 1 = -4 x = 5 , x = -3 www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 5 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λυθεί η εξίσωση - 2 x 2 + x + 6 = 0 Τριώνυµο ax 2 + bx + γ = 0, a ≠ 0 µε a = -2, b = 1, γ = 6 ∆ = b 2 - 4aγ = 12 - 4(-2)6 = 1 + 48 = 49 b± ∆ x 1, 2 = 2a 1 ± 49 = 2(-2) 1± 7 = -4 ={ 6 3 =-4 2 -8 =2 -4 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση - 2 x 2 + x + 6 Η παραγοντοποίηση τριωνύµου γίνεται µε τον τύπο ax 2 + bx + γ = a ( x ρ1 )( x ρ 2 ) Οι ρίζες (λύσεις) του τριωνύµου είναι 2 και -3/2 Οπότε (από την άσκηση 7) 3 - 2 x 2 + x + 6 = -2(x - 2)(x + ) 2 ΑΣΚΗΣΗ 9 Να λυθεί η εξίσωση 1 - 1 1 - 2 =0 x x -x 1 1 - 2 =0 x x -x 1 1 1- =0 x x(x - 1) 1- Περιορισμός: x ≠0 x ≠1 Πολ/ζω κάθε όρο επί το ΕΚΠ = x(x-1) 1 1 - x(x - 1) • =0 x x(x - 1) x(x - 1) - (x - 1) - 1 = 0 x(x - 1) • 1 - x(x - 1) • x 2 - x - x +1-1 = 0 x 2 - 2x = 0 x ( x - 2) = 0 συνεπώς x = 0 (απορρίπτεται λόγω περιορισµού) ή x = 2 (δεκτή) www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 6 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 ΑΣΚΗΣΗ 10 1 2 x+4 Να λυθεί η ανίσωση 1 - (x + ) < 2 3 6 1 2 x+4 1 - (x + ) < 2 3 6 Κάνω τις πράξεις… ⇔ x 1 x+4 2 x x+4 - < - < 2 3 6 3 2 6 2 x+4 x 2 x + 4 3x 2 4x + 4 < + < + < 3 6 2 3 6 6 3 6 1- ⇔ ⇔ Πολ/ζω και τα δυο µέλη επί το ΕΚΠ=6 (θετικός) 2 4x + 4 < 6• 3 6 4 < 4x + 4 0 < 4 x δηλαδή 4x > 0 άρα x > 0 6• ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθούν οι εξισώσεις ου (εξισώσεις 1 βαθμού) 1) 2 x - 3(x - 1) = 2x + 6 4) 2(x + 1) - 2(x - 1) = 4x - 6 2) - 4( x - 1) + 3(-x + 2) = 4 - x x -1 x 5) = 3 2 - x - x +1 8) = 4 5 - 2x - 10 11) =0 2 3(-x + 1) x - 2 x -1 14) = -3 4 2 4 3(-x + 1) x - =0 4 2 x -1 10) =1 6 13) 2(-x + 3) - 2(3 - x) = 10 7) 3) 4(x - 3) - 3(x - 4) = 0 x 1 6) = 6 2 x -1 9) =0 6 - 2x - 10 x 12) = 2 3 15) 2012( x + 1) = 0 Να λυθούν οι εξισώσεις (τριώνυμα με β = 0) 2 1) 2x = 50 5) 8x 2 - 72 = 0 9) x 2 + 1 = 0 13) 9x 2 - 81 = 0 17) 3x 2 = 12 2 2) 3x = 48 6) 6 x 2 - 36 = 0 10) 5x 2 - 25 = 0 14) x 2 - 2 = 0 18) 3x 2 = 11 2 3) 4x = 100 7) 6 x 2 + 36 = 0 11) 7 x 2 - 49 = 0 15) x 2 - 4 = 0 19) x 2 + 2 = 6 2 4) 8x - 72 = 0 8) x 2 - 1 = 0 12) 10x 2 = 100 16) x 2 + 4 = 0 20) - 3x 2 - 1 = 11 www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 7 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 Να λυθούν οι εξισώσεις (τριώνυμα με γ = 0) 2 1) x + x = 0 5) - 2 x 2 + 4x = 0 9) 12 x 2 + 3x = 0 13) - 9 x ( x + 5) = 0 17) - 3x 2 = 12x 3) - 3( x - 1)( x + 2) = 0 2) ( x + 1)( x + 4) = 0 2 7) 6 x = -36 x 11) 3x ( x + 4) = 0 4) 6 x - 3x = 0 8) x 2 - x = 0 12) x ( x - 2)( x + 1) = 0 15) x 2 = 4 x 19) x 2 = -10x + 4x 2 16) x 2 + 4 x = 0 20) 3x 2 - 8x = x 2 2 6) 6 x = 36 x 10) 5x 2 - 25x = 0 14) - 3x 2 - x = 0 18) 3x 2 - x = 2 x 2 + 9 x 2 Να λυθούν οι εξισώσεις 2 1) ( x + 1) 2 = 0 2) ( x - 1) 2 = 0 3) x 2 - 2x + 1 = 0 ± 2αβ = (α ± β)2) 4) x 2 - 6 x + 9 = 0 5) x 2 - 8x + 16 = 0 9) x 2 + 8x + 16 = 0 6) x 2 + 2x + 1 = 0 10) (2 x + 1) 2 = 0 7) x 2 + 6 x + 9 = 0 11) (2 x - 1) 2 = 0 8) x 2 - 10x + 25 = 0 12) (3x - 6) 2 = 0 13) 4x 2 + 4 x + 1 = 0 14) 4x 2 - 4 x + 1 = 0 15) 25x 2 + 10x + 1 = 0 16) (3x + 6) 2 = 0 17) x 2 - 20x + 100 = 0 18) x 2 + 20x + 100 = 0 19) 9x 2 + 6x + 1 = 0 20) 9x 2 - 12 x + 4 = 0 (τριώνυμα που ανάγονται στην μορφή α +β 2 Να λυθούν οι εξισώσεις (με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου) 2 1) x - 2 x - 3 = 0 5) 4x 2 + 4x = 24 9) x 2 + 15x = 16 2 2) x + 2x - 3 = 0 6) 4x 2 - 4x = 24 10) x 2 + 16 x = 36 2 3) x - 4x - 21 = 0 7) x 2 - 10 x = 24 11) x 2 + 20x = -100 4) x 2 + 4 x = 12 8) 9x 2 + 6 x = 3 12) x 2 = 5x + 6 Να λυθούν οι εξισώσεις (με χρήση των τύπων επίλυσης τριωνύμου) 2 1) x - 2 x - 3 = 0 5) 4x 2 + 4x = 24 9) x 2 + 15x = 16 2 2) x + 2x - 3 = 0 6) 4x 2 - 4x = 24 10) x 2 + 16 x = 36 2 3) x - 4x - 21 = 0 7) x 2 - 10 x = 24 11) x 2 + 20x = -100 4) x 2 + 4 x = 12 8) 9x 2 + 6 x = 3 12) x 2 = 5x - 6 Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα (μπορείς να χρησιμοποιήσεις τις λύσεις που βρήκες παραπάνω) 2 1) x - 2 x - 3 = 0 5) 4x 2 + 4x = 24 9) x 2 + 15x = 16 2 2) x + 2x - 3 = 0 6) 4x 2 - 4x = 24 10) x 2 + 16 x = 36 3) x 2 - 4x - 21 = 0 7) x 2 - 10 x = 24 11) x 2 + 20x = -100 4) x 2 + 4 x = 12 8) 9x 2 + 6 x = 3 12) x 2 = 5x - 6 www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 8 |ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ| |Θεωρία|Μέθοδοι|Εφαρμογές|Ασκήσεις| Tel. 6977.385.358 Να λυθούν οι εξισώσεις 1) x 2 ( x + 1) - 5x(x + 1) + 6(x + 1) = 0 2) x 2 ( x - 2) - 6x(x - 2) + 8(x - 2) = 0 3) x 2 ( x + 3) - 7x(x + 3) + 10(x + 3) = 0 4) x 2 ( x - 4) - 8x(x - 4) + 12(x - 4) = 0 x 2 -1 - x - 3 + = x-2 3 5 7) x ( x 3 - 7) = -2 3 5) x 2 6x + 1 x - 2 = -2 3 4 6 8) x 2 + ( x + 2) 2 = 100 6) Να λυθούν οι εξισώσεις (κλασματικές εξισώσεις) x +5 3 = 2 x - 25 x + 5 1 x -1 x 3) 2 + =0 x x-2 x - 2x 1) 3x x+4 = 2 x - 2 x - 3x + 2 x x + 1 13 7) + = x +1 x 6 5) 1 + 9) x -1 x - 2 x - 3 x - 4 = x -3 x -4 x -5 x -6 Να λυθούν οι ανισώσεις 1) 10 - 2 x < 6 x + 1 3) 3(4 x + 5) > 4(5x - 3) 2x + 1 3x - 2 < x+ 6 3 x - 1 2x + 3 x 7) + > 2 4 6 x - 2 1 - 2x x - 4 9) + < 2 5 10 5) 2 x +5 x +5 1 = x 2 - x x -1 x 4 x 4) = 4 3 xx 2 2x - 3 2 - x 2 6) + + =0 x x - 2 x 2 - 2x 2) 3x - 1 2 2 x 2 + x - 1 8) - = x -1 x x2 - x 2x + 1 2x - 1 4x 2 - 3x + 3 10) + = +1 3x - 2 2x - 3 (3x - 2)(2x - 3) 2) 3x - 7 > 5x + 4 3 - 4x 3x 6 - x 4) > 5 10 2 x 1 x+4 6) 1 - - + < 2 3 6 x - 12 x 3 8) + > x2 2 4 2 x + 1 2x - 1 1 10) + 3 4 12 ≥ H γνώση εµπεδώνεται µέσα µας Μόνο µε τη συχνή επανάληψη… www.lazaridi.info | tel. 6977.385.358 9