Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική λύση. Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Παραδείγµατα 1) Λύση εξισώσεων Γραµµικές εξισώσεις Α) Εξίσωση µε έναν άγνωστο 2x = 6 2x 6 = 2 2 6 x= =3 2 Αλγόριθµος 1) ∆ιαίρεση και των δύο µελών µε τον συντελεστή του αγνώστου 2) Απαλοιφή του συντελεστή του αγνώστου 3) Υπολογισµός της τιµής της απάντησης Β) Εξισώσεις µε δύο αγνώστους 2 x + 3 y = 4 (1) 3x + 2 y = 8 ( 2) Χρησιµοποιούµε την µέθοδο απαλοιφής συντελεστών και όχι αντικατάστασης Εξίσωση (1) X 3 και Εξίσωση (2) X 2 3 × (2 x + 3 y = 4) (1) 2 × (3 x + 2 y = 8) ( 2) ⇒ 6 x + 9 y = 12 (1) 6 x + 4 y = 16 (2) (1) − (2) ⇒ 5 y = −4 y=− 4 5 (3) Αντικαθιστούµε σε µία από τις αρχικές εξισώσεις  4 2 x + 3  −  = 4 (1)  5 12 2x − = 4 5 12 2x = 4 + 5 6 16 x = 2+ ⇒ x = 5 5 Έτσι 4 5 16 x= 5 y=− ∆ηλαδή ο αλγόριθµος είναι: 1) Πολλαπλασιάζουµε την κάθε εξίσωση µε τον συντελεστή της πρώτης µεταβλητής της άλλης εξίσωσης (θυµόµαστε ότι πράξεις που γίνονται σε όλα τα µέλη της εξίσωσης δεν την αλλάζουν) 2) Αφαιρούµε η προσθέτουµε τις δύο εξισώσεις κατά µέλη έτσι ώστε να καταλήξουµε σε µία εξίσωση µε ένα άγνωστο. 3) Λύνουµε αυτήν την εξίσωση και έτσι βρίσκουµε την τιµή του ενός αγνώστου. 4) Αντικαθιστούµε την τιµή αυτή σε µία από τις αρχικές εξισώσεις και έτσι βρίσκουµε την τιµή του άλλου αγνώστου. (µπορούµε να επιβεβαιώσουµε αντικαθιστώντας και τις δύο τιµές στην άλλη εξίσωση Γ) Gauss - Ας λύσουµε το σύστηµα των παραπάνω εξισώσεων λίγο διαφορετικά 2 x + 3 y = 4 (1) 3x + 2 y = 8 ( 2) Αφαιρούµε από την εξίσωση (2) τα 3/2 X (1) 3 9 12 2 x + 3 y = 4 (1) ( × (1) ⇒ 3x + y = =6 2 2 2 5 0 − y = 2 ( 2) 2 4 5 Βρίσκουµε την ίδια απάντηση για το y y=− Αντικαθιστούµε την τιµή του y στην εξίσωση (1) και λύνουµε προς x. Προφανώς θα βρούµε την ίδια απάντηση όπως πριν. Ο αλγόριθµος διαµορφώνεται έτσι: 1) Εξίσωση (2) – 3/2 X εξίσωση (1) 2) Λύση τις διαµορφωµένης εξίσωσης και εύρεση του ενός αγνώστου 3) Αντικαθιστούµε την τιµή αυτή σε µία από τις αρχικές εξισώσεις και έτσι βρίσκουµε την τιµή του άλλου αγνώστου. Η µέθοδος αυτή που θα την εξελίξουµε στην ολοκληρωµένη µέθοδο του Gauss δεν δείχνει τα πλεονεκτήµατά της όταν έχουµε µόνο δύο εξισώσεις (δύο αγνώστους) ή ακόµη και µε τρεις. Θα δούµε όµως ότι όταν έχουµε παραπάνω από τρεις εξισώσεις η µέθοδος αυτή είναι πολύ καλύτερη. ∆) Ας δούµε τώρα µια επέκταση της µεθόδου αυτής σε ένα σύστηµα εξισώσεων µε τρεις αγνώστους – εδώ θεωρούµε ότι υπάρχει λύση – θα δούµε αργότερα τις συνθήκες που ισχύουν για να υπάρχει λύση.  2 x + 3 y + 4 z = 17     3x + 2 y + 5 z = 10   4x + 5 y + 2z = 6    Αφήνουµε την πρώτη εξίσωση αµετάβλητη και: 1) Η δεύτερη εξίσωση - 3/2 X την πρώτη δίνει:  2 x + 3 y + 4 z = 17     0 + 5 y + 2 z = 31   4x + 5 y + 2z = 6    2) Η τρίτη εξίσωση – 4/2 X την πρώτη δίνει  2 x + 3 y + 4 z = 17     0 + 5 y + 2 z = 31   0 − y − 6 z = −28    Τώρα εργαζόµαστε µε τον ίδιο τρόπο µε µόνο την δεύτερη και τρίτη εξίσωση. 3) Τρίτη εξίσωση – (-1) X την δεύτερη δίνει:  2 x + 3 y + 4 z = 17     0 + 5 y + 2 z = 31   0 + 0 + 29 z = 109    4) Από την Τρίτη εξίσωση βρίσκουµε ότι z = 109/29 4) Από την δεύτερη εξίσωση αντικαθιστώντας την τιµή του z που βρήκαµε λύνουµε προς y . 109 5 y + 2( ) = 31 29 145 y = 849 − 218 145 y = 631 y= 631 145 5) Αντικαθιστώντας τις τιµές του y και z που βρήκαµε στην πρώτη εξίσωση βρίσκουµε 631 109 ) + 4( ) = 17 145 29 2(4205) x + 3(29)(631) + 4(145)(109) = 17(4205) 2 x + 3( 8420 x − 54897 + 63220 = 71485 8420 x = −46632 x=− 46632 8420 Άσκηση 1 Χρησιµοποιώντας την µέθοδο απαλοιφής συντελεστών βρείτε τις τιµές των αγνώστων στο παρακάτω σύστηµα.  x1 + 2 x2 + 4 x3 = 11     x1 + 4 x2 − x3 = 9   2 x + 4 x − 5x = 9   1  2 3 Επιβεβαιώστε Η Μέθοδος Gauss Ας ξαναδούµε το παράδειγµα  x1 + 2 x2 + 3x3 = 26     2 x1 + 3x2 + x3 = 34   3x + 2 x + x = 42   1 2 3  Αντί να εργαζόµαστε µε τις εξισώσεις του συστήµατος συνήθως, για ευκολία, οι παραπάνω διαδικασίες εκτελούνται στις γραµµές του επαυξηµένου µητρώου του συστήµατος Ax = b. Το επαυξηµένο µητρώο προκύπτει θέτοντας δεξιά του µητρώου των συντελεστών των αγνώστων Α ως νέα στήλη το διάνυσµα των σταθερών όρων b.  a11 A = [ A, b ] =  a21  a31 a12 a13 a22 a32 a23 a33 b1  b2  b3  Όπου η κάθετος γραµµή χρησιµοποιείται για να διαχωρίζει το µητρώο Α από το διάνυσµα b. Έτσι το παράδειγµά µας παίρνει την µορφή:  1 2 3 26 A = [ A, b ] =  2 3 1 34  3 2 1 42 Επαναλαµβάνοντας τους ίδιους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών που κάναµε πριν στο παραπάνω επαυξηµένο µητρώο [Α,b] θα έχουµε διαδοχικά: 3 26   1 2 3 26   1 2 3 26   1 2 3 26   1 2  2 3 1 34  → 0 −1 −5 −18 → 0 −1 −5 −18 → 0 −1 −5 −18          3 2 1 42   3 2 1 42  0 4 8 36  0 0 −12 −36  Εύκολα µπορούµε να λύσουµε τώρα την Τρίτη εξίσωση και µε την µέθοδο τις πίσω αντικατάστασης βρίσκουµε και τις άλλες τιµές. Ας δούµε τώρα πως µπορούµε να αυτοµατοποιήσουµε την διαδικασία (να δηµιουργήσουµε τον αλγόριθµο) και έτσι να µπορέσουµε να την γενικέψουµε και τελικά να υλοποιήσουµε χρησιµοποιώντας τον προγραµµατισµό της (σε περιβάλλον της προτίµησής µας, πχ C ή MATLAB) Άσκηση 2 Υλοποιείστε µε την χρήση MATLAB ή C τον αλγόριθµο που λύνει το παραπάνω σύστηµα γραµµικών εξισώσεων.