Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2 ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ 2 ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Λ Γ Ορισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση Ε µε δυο αγνώστους. Β Λύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο ζεύγος αριθµών Ρ (χ0,ψ0) που οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν , δηλαδή αχ0+βψ0=γ. Α Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση Α΄ 6χ-ψ=3 ⇔ ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε αρκεί να βρούµε δυο σηµεία της. Λ χ 0 0,5 Υ ψ -3 0 Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 194 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Άρα οι λύσεις της εξίσωσης 6χ-ψ=3 είναι άπειρες, αφού είναι όλες οι συντεταγµένες των σηµείων της ευθείας ε , που την επαληθεύουν και είναι της µορφής (κ, 6κ-3). Α Συστήµατα 2 γραµµικών εξισώσεων µε 2 αγνώστους Λ Γ Ορισµός : Σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο Ε γραµµικές εξισώσεις για τις οποίες αναζητούµε τις κοινές λύσεις τους. Β Η γενική µορφή του συστήµατος είναι η παρακάτω : Ρ α 1 χ + β1 ψ = γ 1 Α α 2 χ + β2 ψ = γ 2 Επίλυση ενός συστήµατος ονοµάζουµε την διαδικασία που ακολουθούµε για να βρούµε την λύση του δηλαδή τα διατεταγµένα ζεύγη ( χ ,ψ) Α΄ που οι τιµές τους επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Παραδείγµατα : Λ Το σηµείο Κ(3 , -2) αποτελεί λύση του παρακάτω συστήµατος διότι επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. Υ χ+ψ=1 Κ 4χ -5ψ = 22 Ε Ι Πράγµατι : 3 –2 = 1 , 4·3 –5(-2) =22 Ο Υ • Η επίλυση ενός συστήµατος γίνεται µε δύο τρόπους : o Γραφικά o Αλγεβρικά ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 195 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Α Λ • ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Γραφική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων είναι ο προσδιορισµός των σηµείων τοµής δύο ευθειών. • Γ επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Η γραφική επίλυση όµως έχει ένα σοβαρό µειονέκτηµα , τον µη ακριβή προσδιορισµό των λύσεων του συστήµατος που οφείλεται σε σχεδιαστικά Ε σφάλµατα ή στην αδυναµία να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια πάνω στους άξονες Β κλασµατικούς ή άρρητους αριθµούς Επειδή Ρ Α • κάθε εξίσωση της µορφής αχ + βψ = γ παριστάνει µια ευθεία για ένα σύστηµα δύο τέτοιων γραµµικών εξισώσεων υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις : Οι δύο ευθείες να τέµνονται σε ένα σηµείο οπότε το σύστηµα έχει Α΄ µοναδική λύση ( χ , ψ ) τις συντεταγµένες του σηµείου αυτού. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων έχει µοναδική λύση τις Λ συντεταγµένες του σηµείου τοµής του δηλαδή την ( 0 , 1 ). Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 196 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και οι δύο ευθείες δεν έχουν κοινό σηµείο οπότε το σύστηµα δεν έχει λύση δηλαδή είναι αδύνατο. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αδύνατο αφού οι Α ευθείες είναι παράλληλες. Λ Γ Ε Β Ρ Α Α΄ Οι δύο ευθείες ταυτίζονται οπότε το σύστηµα είναι αόριστο δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Λ Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αόριστο αφού οι Υ ευθείες ταυτίζονται. Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 197 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Εφαρµογές ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1 : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΖΗΤΟΥΝ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ Α ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΦΙΚΑ Λ Γ 1. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα  x +ψ = 1   x +ψ = 2 Ε Β ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ρ Κάνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα Α αξόνων. ( Την κατασκευή των γραφικών παραστάσεων την επιτυγχάνουµε µε τον τρόπο που περιγράψαµε στο Κεφ. 4 δηλαδή φτιάχνουµε πίνακα τιµών κ.τ.λ.). Α΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Όπως παρατηρούµε από το σχήµα , οι γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες παράλληλες . Αυτό σηµαίνει ότι δεν έχουν κοινό σηµείο. Εποµένως το σύστηµα δεν έχει λύση , είναι αδύνατο. ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 198 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης 2. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα 2 x + ψ = 8   2 x − 4ψ = −2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α Λ Κάνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Γ Ε Β Ρ Α Όπως διαπιστώνουµε οι δύο ευθείες έχουν ένα κοινό σηµείο µε συντεταγµένες Α΄ το ζεύγος (3 , 2). Εποµένως η λύση του συστήµατος είναι x = 3 , y = 2. Λ 3. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα  x +ψ = 4  x =ψ Υ Κ Ε ΑΠΑΝΤΗΣΗ Κάνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Ι Ο Πίνακας τιµών 1ης Πίνακας τιµών 2ης Υ εξίσωσης εξίσωσης x 0 3 x 0 2 y 4 1 y 0 2 ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 199 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Α Λ Γ Ε Β Εποµένως η λύση είναι το ζεύγος (2 , 2). Ρ Α 4. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα  −3 x + 4ψ = 12   x = −1 και να γίνει επαλήθευση ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α΄ Για την πρώτη εξίσωση δηµιουργούµε ένα πίνακα τιµών που µας βοηθάει στην δηµιουργία της γραφικής παράστασης. Λ Πίνακας τιµών 1ης Υ εξίσωσης Κ Ε x y -4 0 0 3 1 15 4 Ι Ο Υ Για την δεύτερη εξίσωση δεν χρειάζεται πίνακας τιµών αφού η x = –1 είναι µια ευθεία παράλληλη του άξονα y΄y που τέµνει τον άξονα x΄x στο σηµείο (-1 , 0). ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 200 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Α Λ Γ Ε Β Εποµένως η λύση είναι το ζεύγος (-1 , 9 4 ). Ρ Επαλήθευση : -3x + 4y = 12 ή -3(-1) + 4 9 = 12 ή 12 = 12 επίσης έχουµε Α x = -1 ή -1 = -1 οπότε επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις από τις λύσεις που 4 βρήκαµε. Α΄ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 2 : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΖΗΤΟΥΝ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ Λ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΦΙΚΑ Υ Κ 1. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα ψ = x 2  ψ = 2 x Ε Ι ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο Κάνουµε τις γραφικές παραστάσεις της παραβολής ( πρώτη εξίσωση ) και της Υ ευθείας στο ίδιο σύστηµα αξόνων ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 201 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Α Λ Γ Ε Β Εποµένως οι συντεταγµένες των κοινών σηµείων των γραφικών παραστάσεων είναι η λύση του προβλήµατος. ∆ηλαδή τα ζεύγη (0 , 0 ) , (2 , 4 ) . Ρ Α Α΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 202 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση: Α Λ 3µ 2 χ + ( µ 2 + 2)ψ = µ (5 + 3ψ ) + 3µχ 2. Να λύσετε γραφικά το σύστηµα: χ +ψ = 1 Γ για τις διάφορες τιµές του µ. Σ χ − 2ψ = 2 Ε Β 3. Να λύσετε γραφικά τα συστήµατα: Ρ 2 1 1 χ− ψ =− 5 2 2 Α Α΄ Σ 4 5 ψ = χ +1 4 χ − 5ψ + 3 = 0 Σ 4 ψ = χ −1 5 Λ Υ 4. Να βρείτε το σύστηµα που παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα: Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 203 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Η αλγεβρική επίλυση των συστηµάτων γίνεται µε τρεις τρόπους : Με αντικατάσταση Λ Με αντίθετους συντελεστές Γ Με ορίζουσες Ε Β Αντικατάσταση : Με τη µέθοδο αυτή για να επιλύσουµε ένα σύστηµα λύνουµε Ρ την εξίσωση του συστήµατος ως προς τον ένα άγνωστο. Την τιµή που Α βρίσκουµε την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση έτσι προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Α΄ Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο της αντικατάστασης το παρακάτω σύστηµα: Λ Υ χ + 2ψ = 3 Κ 4χ -5ψ = -1 Ε Λύση Ι Λύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς χ : χ + 2ψ = 3 ή χ = 3 –2ψ (1) Ο Αντικαθιστούµε την τιµή του χ που βρήκαµε στην δεύτερη εξίσωση οπότε Υ 4( 3 – 2ψ ) – 5ψ = -1 ή 12 –8ψ –5ψ = -1 ή -8ψ –5ψ = -1 – 12 ή -13ψ = -13 ή ψ = 1 Αντικαθιστώ την τιµή ψ = 1 στην σχέση (1) άρα χ = 3 –2ψ ή χ = 3-2·1 = 1 Εποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =1 , ψ =1 . ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 204 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Εφαρµογές 1. Να λυθεί το σύστηµα Α Λ −2 x − 5 y = 2   x + 3 y = −2  ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βήµα 1ο : Επιλύουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς x αφού έχει συντελεστή το 1 Γ Έχουµε : x + 3y = -2 ή x = -3y – 2 (1) Ε Βήµα 2ο : Αντικαθιστούµε τη σχέση ( 1 ) στην πρώτη , δηλαδή όπου x θα Β αντικαταστήσουµε –3y – 2 . Άρα είναι : Ρ -2x – 5y = 2 ή -2 (-3y – 2) – 5y = 2 Α Βήµα 3ο : Η εξίσωση ( 2 ) που προέκυψε έχει έναν άγνωστο , τον y. Τη λύνουµε (2) και υπολογίζουµε τον άγνωστο y . Έχουµε : -2 (-3y – 2) – 5y = 2 ή 6y + 4 – 5y = 2 ή y = 2 – 4 ή y = -2 Α΄ Βήµα 4ο : Αντικαθιστούµε σε µία από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος όπου y = -2 και υπολογίζουµε το x . Έχουµε : Λ x + 3y = -2 ή x + 3 (-2) = -2 ή x – 6 = -2 ή x = 4 Υ Εποµένως , το σύστηµα έχει µία µοναδική λύση την (4 , -2). Κ 2. Να λυθεί το σύστηµα Ε Ι 3 x − 4 y = 11   6 x + 2 y = −3  ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο Βήµα 1ο : Παρατηρούµε ότι κανένας άγνωστος δεν έχει συντελεστή Υ Επιλέγουµε να επιλύσουµε ως προς τον άγνωστο µε το µικρότερο συντελεστή , ±1 . δηλαδή τη δεύτερη εξίσωση ως προς y. Έχουµε : 6x + 2y = -3 ή 2y = -3 – 6x ή y= ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ −6 x − 3 2 (1) ΣΕΛΙ∆Α 205 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Βήµα 2ο – 3ο : Αντικαθιστούµε την ( 1 ) στην πρώτη εξίσωση. Έχουµε διαδοχικά : 3x − 4 −6 x − 3 = 11 2 Α 3x – 4y = 11 ή Λ 15x = 11 – 6 ή 15x = 5 ή Γ x= Βήµα 4ο : Αντικαθιστούµε το 5 1 = 15 3 x= Ε Β Ρ 6x + 2y = -3 ή 1 6 ⋅ + 2 y = −3 3 ή 3x – 2 (-6x – 3) = 11 ή 3x + 12x + 6 = 11 ή 1 3 στη δεύτερη και έχουµε : ή 2 + 2y = -3 ή 2y = -5 ή Τελικά το σύστηµα έχει µία λύση , την y=− 5 2 1 5  ,− . 3 2 Α 3. Να λυθεί το σύστηµα Α΄ 2x − 3 y = 7   −4 x + 6 y = −4  ΑΠΑΝΤΗΣΗ Λ Υ Επιλύουµε την πρώτη ως προς x. Έχουµε : 2x – 3y = 7 ή 2x = 3y + 7 ή x= Κ 3y + 7 2 (1) Αντικαθιστούµε την ( 1 ) στη δεύτερη εξίσωση και έχουµε διαδοχικά : Ε -4x + 6y = -4 ή Ι Ο −4 3y + 7 + 6 y = −4 2 ή -2 (3y + 7) + 6y = -4 ή -6y – 14 + 6y = -4 ή -6y + 6y = 14 – 4 ή 0 · y = 10 Η τελευταία εξίσωση που προέκυψε είναι προφανώς αδύνατη. Άρα και το Υ σύστηµα θα είναι αδύνατο. ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 206 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης 4. Να λυθεί το σύστηµα Α Λ Γ Ε Β Ρ Α −5 x + 2 y = 3   10 x − 4 y = −6  ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επιλύουµε την εξίσωση ως προς y , και έχουµε : -5x + 2y = 3 ή 2y = 5x + 3 ή y= 5x + 3 2 (1) Αντικαθιστούµε την ( 1 ) στη δεύτερη και έχουµε διαδοχικά : 10x – 4y = -6 ή 10 x − 4 5x + 3 = −6 2 ή 10x – 2 (5x + 3) = -6 ή 10x – 10x – 6 = -6 ή 0·x=0 Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται για κάθε τιµή του x , είναι δηλαδή αόριστη. Για κάθε όµως τιµή του x µπορεί να προκύπτει µε αντικατάσταση στην ( 1 ) και µία τιµή του y. Άρα το σύστηµα θα έχει άπειρες λύσεις (x , y) (αόριστο). Α΄ Με αντίθετους συντελεστές : Με τη µέθοδο αυτή προσπαθούµε να εµφανίΛ σουµε στον ίδιο άγνωστο των δύο εξισώσεων του συστήµατος αντίθετους Υ συντελεστές. Για αυτό το λόγο πολλαπλασιάζουµε τις δύο εξισώσεις µ Κ κατάλληλους αριθµούς. Στην συνέχεια προσθέτουµε τις δύο εξισώσεις οπότε προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Ε Ι Ο Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών το παρακάτω σύστηµα: Υ χ + 2ψ = 3 4χ -5ψ = -1 ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 207 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Λύση Θέλουµε να απαλείψουµε τον χ. Οπότε προσπαθώ να δηµιουργήσω αντίθετους συντελεστές για το χ. Εποµένως πολλαπλασιάζω και τα δύο µέλη της πρώτης Α εξίσωσης µε το –4. Λ χ + 2ψ = 3 (-4) Γ -4χ + -8ψ = -12 ή Ε 4χ -5ψ = -1 4χ -5ψ = -1 Β Προσθέτω τις δύο εξισώσεις κατά µέλη : -4χ + -8ψ + 4χ -5ψ = -12 – 1 ή Ρ -13ψ = -13 ή ψ = 1. Α Αντικαθιστούµε την τιµή ψ = 1 σε µια από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος. Οπότε 4χ -5ψ = -1 ή 4χ –5·1 = -1 ή 4χ = 5 – 1 ή 4χ = 4 ή χ = 1. Α΄ Λ Εποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =1 , ψ =1 . Εφαρµογές Υ 1. Να λύσετε µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών τα Κ Ε Ι συστήµατα : i) 2 x + 5 y = 1   −3 x + 7 y = 13 , ii)  −3 x + 2ψ = 25  5 x + ψ = 45 Ο ΑΠΑΝΤΗΣΗ Υ i) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς 3 και 2 αντίστοιχα : 3 2x + 5 y = 1 2 −3 x + 7 y = 13 ή 6 x + 15 y = 3  −6 x + 24 y = 26 ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 208 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις και έχουµε 29y = 29 , δηλαδή y = 1. Η 1η εξίσωση του αρχικού συστήµατος για y = 1 δίνει 2x + 5 = 1 ή 2x = -4 ή Α Λ Γ Ε x = -2 . Άρα η λύση του συστήµατος είναι (x , y) = (-2 , 1). ii) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς 5 και 3 αντίστοιχα : Β 5 −3 x + 2ψ = 25 3 5 x + ψ = 45 ή Ρ −15 x + 10ψ = 125  15 x + 3ψ = 135 Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις , οπότε έχουµε : Α -15x + 10ψ + 15x + 3ψ = 125 + 135 ή 10ψ + 3ψ = 260 ή 13ψ = 260 ή ψ = 20. Α΄ Αντικαθιστούµε στην 5x + ψ = 45 όπου ψ = 20 , οπότε είναι 5x + 20 = 45 ή 5x = 45 – 20 ή x = 5. Λ Υ Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (5 , 20). 2. Να λυθεί το σύστηµα 4 ( x − 2 ) 2 − 3 y = ( 2 x − 1) −5 x − ( y + 2 ) Κ 2    2 2 = ( y − 1) − 2 y + 3  2 Ε Ι ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο Εφαρµόζοντας την ταυτότητα (α ± β )2 = α 2 ± 2αβ + β 2 , έχουµε διαδοχικά : Υ 4 ( x − 2 ) − 3 y = ( 2 x − 1) 2 −5 x − ( y + 2 ) 2   2 = ( y − 1) − 2 y 2 + 3 2 4 ( x 2 − 4 x + 4 ) − 3 y = ( 4 x 2 − 4 x + 1) ή    2 2 2 −5 x − ( y + 4 y + 4 ) = ( y − 2 y + 1) − 2 y + 3 ή ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 209 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης   −5 x − y 2 − 4 y − 4 = y 2 − 2 y + 1 − 2 y 2 + 3 4 x 2 − 16 x + 16 − 3 y = 4 x 2 − 4 x + 1 ή Α   −5 x − y 2 − 4 y − y 2 + 2 y + 2 y 2 = 4 + 1 + 3 Λ Ακολουθούµε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. Γ −12 x − 3 y = −15 ⋅(+2)  −5 x − 2 y = 8  ⋅(−3) 4 x 2 − 16 x − 3 y − 4 x 2 + 4 x = −16 + 1 Ε ή ή −12 x − 3 y = −15  (1) −5 x − 2 y = 8  −24 x − 6 y = −30 15 x + 6 y = −24 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : Β -2x – 6y + 15x + 6y = -30 – 24 ή -9x = -54 ή x = 6 Ρ Αντικαθιστώντας στο ( 1 ) το x = 6 έχουµε : Α -5x – 2y = 8 ή -5 · 6 – 2y = 8 ή 2y = -38 ή y = -19 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η (6 , -19). Α΄ Λ Υ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΖΗΤΟΥΝ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΤΑΙ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ. 3. Να λυθεί το σύστηµα Κ 1 1  + = 5 x y   1 1 − = 1  x y Ε Ι ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουµε ότι οι εξισώσεις του συστήµατος ορίζονται , όταν x ≠ 0 και y ≠ 0. Το Ο Υ σύστηµα που µας δίνεται δεν είναι γραµµικό. Για να το µετατρέψουµε σε γραµµικό , θέτουµε 1 =a x και 1 =β y , οπότε γίνεται : α+β=5 α–β=1 Παρατηρούµε ότι οι συντελεστές του β στις δύο εξισώσεις είναι αντίθετοι . ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 210 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Έτσι, µε πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε 2α = 6 ή α = 3. Αντικαθιστώντας την τιµή του α στην πρώτη εξίσωση προκύπτει 3 + β = 5 ή β = 5 – 3 = 2. Συνεπώς θα έχουµε : 1 =3 x Α Λ 1 =2 y ή ( µε χιαστί ) Γ Ε και x= 1 3 και y= 1 2 Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος ( x, y ) =  1 , 1  . 3 2 Β Ρ Α Α΄ 4. Να λυθεί το σύστηµα x 2 + y 2 = 13  x 2 − y 2 = 5  ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το σύστηµα δεν είναι γραµµικό. Για να το µετατρέψουµε σε γραµµικό , Λ θέτουµε x2 = α και y2 = β µε α ≥ 0 και β ≥ 0 , οπότε γράφεται : α + β = 13 Υ α–β=5 Κ Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά µέλη παίρνουµε : Ε 2α = 13 + 5 ή 2α = 18 ή α = 9 Ι οπότε από την α + β = 13 προκύπτει β = 13 – 9 = 4. Έχουµε λοιπόν : Ο Υ x2 = 9 και y2 = 4 απ’ όπου προκύπτει : (x = 3 ή x = -3) και (y = 2 ή y = -2) Συνεπώς οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (x , y) = (3 , 2) , (x , y) = (3 , -2) , (x , y) = (-3 , 2) και (x , y) = (-3 , -2). ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 211 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης   −7 x + 3 y = −2  5 x −2 y =4 5. Να λυθεί το σύστηµα Α ΑΠΑΝΤΗΣΗ Λ Θέτουµε Γ Ε Β Ρ x =κ ≥0 y =λ ≥0 , και χρησιµοποιούµε την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών : 5κ − 2λ = 4 ⋅(+3) −7κ + 3λ = −2 ⋅(+2) ή 15κ − 6λ = 12 −14κ + 6λ = −4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : 15κ – 6λ – 14κ +6λ = 12 – 4 ή κ = 8 Α Αντικαθιστούµε το κ = 8 στην 5κ – 2λ = 4 και έχουµε : 5 · 8 – 2λ = 4 ή -2λ = -36 ή λ = 18 Α΄ Λ Υ Εποµένως θα είναι : x =κ ή x =8 y =λ ή y = 18 ή ή ( x) 2 = 82 ( y) 2 ή = 182 x = 64 ή y = 324 Το σύστηµα τελικά έχει µία λύση , την (64 , 324). Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 212 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΖΗΤΟΥΝ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ∆ΕΝ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΤΑΙ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ 6. Να λυθούν τα συστήµατα : Α α) x + y = 3  xy = 2  , β) x 2 − 3 y = 16  x− y=2  Λ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ α) Στο σύστηµα παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση είναι γραµµική , ενώ η Ε δεύτερη δεν είναι. Θα το λύσουµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης . Β Λύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς y προκύπτει y = 3 – x και Ρ αντικαθιστώντας στη δεύτερη έχουµε διαδοχικά : Α xy = 2 ή x(3 – x) = 2 ή 3x – x2 = 2 ή x2 – 3x + 2 = 0 (1) Η διακρίνουσα της (1) είναι ∆ = (-3)2 – 4 · 2 = 9 – 8 = 1 , οπότε x1 = Α΄ 3 +1 =2 2 ή x2 = 3 −1 =1 2 Από την y = 3 – x για x = 2 βρίσκουµε y = 3 – 2 = 1 και για x = 1 βρίσκουµε Λ y = 3 – 1 = 2. Εποµένως οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (x , y) = (2 , 1) και (x , y) = (1 , 2). Υ β) Παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση του συστήµατος δεν είναι γραµµική. Κ Εργαζόµαστε λοιπόν και εδώ µε τη µέθοδο της αντικατάστασης . Λύνουµε τη Ε δεύτερη εξίσωση ως προς y και παίρνουµε y = x – 2 . Αντικαθιστώντας το y Ι στην πρώτη έχουµε διαδοχικά : Ο Υ x2 – 3y =16 ή x2 – 3(x – 2) = 16 ή x2 – 3x + 6 – 16 = 0 ή x2 – 3x – 10 = 0 Η διακρίνουσα της τελευταίας εξίσωσης του είναι ∆ = (-3)2 – 4 (-10) = 49. οπότε: x1 = 3+ 7 =5 2 ή x2 = 3−7 = −2 2 Για x = 5 είναι y = x – 2 = 3 και για x = -2 είναι y = x – 2 = -2 – 2 = -4. Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (x , y) = (5 , 3) και (x , y) = (-2 ,-4). ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 213 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Με ορίζουσες : Για να επιλύσουµε το σύστηµα µε αυτό τον τρόπο ακολουθούµε την εξής διαδικασία. α 1 χ + β1 ψ = γ 1 α 2 χ + β2 ψ = γ 2 Α Λ D= α1 α2 β1 = α1 β 2 − α 2 β1 β2 , Dχ = γ1 γ2 β1 = γ 1 β 2 − γ 2 β1 β2 , Dψ = α1 γ 1 = α1γ 2 − α 2γ 1 α2 γ 2 Γ Ε Αν D ≠ 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την Β χ= Dψ Dx ,ψ = D D Αν D = 0 και Dχ = 0 , Dψ = 0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο Ρ (εκτός αν α1=α2=β1=β2=0 και γ1≠0 ή γ2≠0 οπότε το σύστηµα είναι Α αδύνατο) Αν D = 0 και Dχ ≠ 0 ή Dψ ≠ 0 τότε το σύστηµα είναι αδύνατο Α΄ Εφαρµογή: Να επιλύσετε µε την µέθοδο των οριζουσών το παρακάτω σύστηµα: Λ χ + 2ψ = 3 Υ 4χ -5ψ = -1 Κ Λύση Ε Υπολογίζουµε τα D , Dχ , Dψ Ι D= Ο 1 2 = 1 ⋅ (−5) − 4 ⋅ 2 = −5 − 8 = −13 4 −5 Dχ = Υ Dψ = 3 2 −1 −5 1 3 4 −1 , = 3 ⋅ (−5) − (−1) ⋅ 2 = −15 + 2 = −13 , = 1 ⋅ (−1) − 3 ⋅ 4 = −1 − 12 = −13 Αφού D ≠ 0 τότε έχει µοναδική λύση την χ= ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Dψ −13 Dx −13 = =1 , ψ = = =1 D −13 D −13 ΣΕΛΙ∆Α 214 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Εφαρµογή: ∆ίνεται το παρακάτω σύστηµα (λ − 1) x + y = 2 ,λ ∈ℝ   x + (λ − 1) y = 2 Α I) να επιλυθεί για τις διάφορες τιµές του λ Λ II) στη περίπτωση που το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση Γ (x0,y0) και επιπλέον ισχύει x0 4+ y0 2=2, να βρεθεί ο λ. Ε Β Ρ Α Λύση Ι) D= λ −1 1 = (λ −1)2 −1 = (λ −1−1)(λ −1+1) = λ(λ − 2) 1 λ −1 Dx = Α΄ Dy = Λ 2 1 2 λ −1 λ −1 2 1 2 = 2(λ −1) − 2 = 2λ − 4 = 2(λ − 2) = 2(λ −1) − 2 = 2λ − 4 = 2(λ − 2) • Για D ≠ 0 για λ ≠ 0 και λ ≠ 2 µοναδικη λυση Κ D 2(λ − 2) 2 Dx 2(λ − 2) 2 = = , y0 = y = = D λ(λ − 2) λ D λ(λ − 2) λ 2 2 Αρα (x0 , y0 ) = ( , ) Ε • Για λ = 0, D = 0, Dx = −4 ≠ 0, αρα συστηµα αδυνατο Υ Ι Ο Υ x0 = λ λ • Για λ = 2, D = 0, Dx = 0 = Dy , αρα συστηµα αοριστο x + y = 2 x = 2 − y ⇒για λ = 2 το (Σ) γινεται  ⇒ ⇒θετουµε y = κ ∈ℝ x + y = 2 x + y = 2   αρα οι απειρες λυσεις θα ειναι της µορφης (x, y) = (2 −κ,κ ) ΙΙ) 2 2 16 4 x04 + y02 = 2 ⇔ ( )4 + ( )2 = 2 ⇔ 4 + 2 = 2 ⇔16 + 4λ2 = 2λ4 λ λ λ 2 ⇔ 8 + 2λ = λ ⇔ λ − 2λ − 8 = 0. Θετουµε ω = λ2 ≥ 0 ⇔ λ 2 4 4 ω2 − 2ω − 8 = 0 ⇔ω = −2 απορ. η ω = 4 ⇔ λ2 = 4 ⇔ λ = ±2 ⇔ λ = −2 (λ = 2 απορ. γιατι D ≠ 0) ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 215 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να σηµειώσετε το Σ αν είναι σωστή ή το Λ αν είναι λάθος σε κάθε µια από Α Λ τις παρακάτω περιπτώσεις : α. Το σύστηµα αχ-ψ=β χ+αψ=γ Γ Ε έχει µια µόνο λύση για κάθε α,β,γ∈R β. Το σύστηµα Β αχ+βψ=γ λαχ+λβψ=λγ Ρ είναι αόριστο για κάθε α,β.γ∈R Α γ. Αν για το σύστηµα αχ+βψ=γ α΄χ+β΄ψ=γ΄ Α΄ Υ Σ Λ ισχύει : Dx2+Dψ2+D2=0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο Σ Λ ii. έχει δύο λύσεις τότε είναι αόριστο Σ Λ και Dx≠0 τότε είναι αδύνατο Σ Λ iv. γ=γ΄=0 τότε δεν µπορεί να είναι αδύνατο δ. Το σύστηµα Σ Λ αχ+0ψ=β α΄χ+0ψ=β΄ µε αα΄≠0 Κ Ε λ≠0 i. iii. D=0 Λ Σ Λ έχει λύσεις µόνο αν Dψ=0 Ι ε. Αν D=Dx=Dψ=0 και α≠0 τότε το σύστηµα έχει λύσεις Ο της µορφής ( Υ στ. Αν ένα σύστηµα έχει µια µόνο λύση τότε D≠0 γ − βκ ,κ ) α µε κ∈R Σ Λ Σ Λ Σ Λ ζ. Αν ένα σύστηµα είναι αδύνατο τότε D=0 και Dx≠0 ή Dψ≠0 Σ Λ η. Το σύστηµα είναι αόριστο ⇔ D=Dx=Dψ=0 Σ Λ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 216 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης 1. Να λύσετε την εξίσωση: 3χ -χ 13 4χ Α 9χ 5 -2 χ = Λ Γ Ε 2. Για τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί η εξίσωση: λ λ-χ -1 χ-λ Β Ρ =0 Α 3. Για τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί το σύστηµα: Α΄ 2 χ + λψ = 4 λχ + 2ψ = λ 2 Λ 4. Για ποιες τιµές του µ το σύστηµα Υ µ 2 χ + µψ = 1 Κ χ + µψ = µ Ε Ι Ο i) έχει µοναδική λύση ii) είναι αδύνατο; Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 217 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 5. Να βρεθούν επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης τα α) έχει µια λύση Α Ε λ ώστε το σύστηµα 2x − 5ψ = 9  4x + κψ = λ β) είναι αδύνατο. 6. Να βρεθούν τα α και β ώστε το σύστηµα Λ Γ κ, (α + β ) x + ( 2α − 3)ψ = αβ  (α − β ) x + ( β − 5 )ψ = 2αβ να είναι αόριστο. 7. Να βρεθούν τα κ και λ ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις κx – (λ – 1)ψ + 1 = 0 και 4x + 3ψ + 2 = 0 α) να είναι παράλληλες β) να ταυτίζονται. Β Ρ 8. Για ποιες τιµές του λ οι ευθείες ε1: (λ2-1)χ-λy=λ και ε2: (λ-1)χ+y=2λ-2 είναι: παράλληλες; ταυτίζονται; τέµνονται; Α 9. Α΄ α) Να λυθεί το σύστηµα − 3a + 5 β = 7  5α − 4 β = −3 (Σ) :  β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: Λ Υ − 3 x − 3 + 5 y + 4 = 7 (Σ 1 ) :   5 x − 3 − 4 y + 4 = −3 Ε 5  −3 + x − 7 y + 3 = 7  (Σ 2 ) :   5 − 4 = −3  x − 7 y + 3 Ι (Σ3 ) : { −3 x + 5 y − 7 + 5 x − 4 y + 3 = 0 Κ Ο Υ 10. ∆ίνεται η εξίσωση: ( 2 a + 3β − 11) x + 3a − 2 β + 3 = 0 όπου α , β ∈ ℜ . Να βρείτε τις τιµές των α,β έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει περισσότερες από 1001 λύσεις. ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 218 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 11. επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Να λυθεί το σύστηµα y  x −1 − 2x = − 1  2  3 − 2(1 + y ) + 3 = −3( x − 2 ) + 2 y µε τη µέθοδο των οριζουσών Α Λ 12. για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ . Γ β) Αν (x0 , Ε Α y0 ) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος (Σ) , βρείτε το λ αν ισχύει ότι: x0 + 2 y0 = 1 Β Ρ  2x + λy = 4 ( ) : , λ∈ℝ Σ  α) Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: 2 λ x 2 y λ + =  2 x − 3 y = 11 − µ ( ) : Σ  13. ∆ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x, y x + 5y = 7 + µ και µ ∈ ℝ . α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D , Dx και D y του συστήµατος (Σ). Α΄ β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του µ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. Λ Υ Κ γ) Για µ = 2 , να βρείτε το σηµείο που τέµνονται οι ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις του 14. λx − 12 y = 15λ ( Σ ) :  ∆ίνεται το γραµµικό σύστηµα 2 µε αγνώστους x, y  x + λy = 3 − λ και λ ∈ ℝ . Ε α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D , Dx και D y του συστήµατος (Σ). Ι β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του λ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την Ο Υ οποία και να βρείτε και να γράψετε µε την πιο απλοποιηµένη της µορφή. γ) Να βρείτε για ποια τιµή του λ , η ευθεία που αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση του συστήµατος (Σ) είναι παράλληλη προς την ευθεία ε:y = 167 x − 1 . ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 219 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 15. επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ∆ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα αγνώστους x, y (Σ ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε που έχει µοναδική λύση, ενώ ακόµα ισχύουν ότι:  2 Dx + 3D y = − D  − 4 Dx + 7 D y = −11D Α Λ Να βρεθεί η µοναδική λύση του (Σ ) . Γ 16. Ε ∆ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα αγνώστους x, y (Σ ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε ώστε: Β D − 2 + D x + 10 + 2D y − 8 = 0 . Ρ Να λυθεί το σύστηµα. Α Επαναληπτικές ασκήσεις στα γραµµικά συστήµατα Α΄ 1. Λ Υ Για τους αριθµούς Ι τους αριθµούς της στήλης Α µε τα γράµµατα της στήλης Β αιτιολογώντας την αντιστοίχιση. Στήλη Α Κ Ε x, y ∈ ℜ αντιστοιχίστε 1. 2. Ο Οι 3. x, y έχουν διαφορά 0 και πηλίκο 10 Οι x, y είναι πλευρές τετραγώνου µε εµβαδόν Οι Υ Στήλη Β 40 x, y έχουν y είναι άθροισµα το µισό του 20 και α. x = y   y = 10 x β.  y = 20 − x  2 y + 6 = x γ. x − y = 0   xy = 10 δ. x − y = 0  2  y − 40 = 0 ο x ελαττωµένο κατά 3. ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 220 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 2. Για τους αριθµούς επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης x, y ∈ ℜ * ισχύουν: x α) Η διαίρεση του µε τον y δίνει πηλίκο το διπλάσιο του x αυξηµένο κατά 1 και υπόλοιπο τα δύο τρίτα του y ελαττωµένο κατά Α 5 και β) η διαφορά του πενταπλασίου του x από το ένα πέµπτο του y είναι Λ 40 . Ένας µαθητής έγραψε τις παραπάνω προτάσεις α) και β) µε τη µορφή Γ συστήµατος: Ε 2   x = y (2 x + 1) + ( 3 y − 5)  5 x − 1 y = 40 5  Β Ρ Είναι σωστό ή λάθος το σύστηµα; Αν είναι λάθος διορθώστε το ώστε να Α γίνει σωστό. Α΄ 3. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(−2, 4) και B (1, − 3) . Λ Υ 4. ∆ίνεται η εξίσωση 7x − 3y = 4 . Να γράψετε µια δεύτερη εξίσωση ώστε το σύστηµα που θα προκύψει: Κ α) να έχει λύση πάνω στη διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας. Ε β) να έχει λύση το ζεύγος Ι (1, 1) . γ) να έχει λύση ένα ζεύγος αντίθετων αριθµών. Ο Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση που γράψατε σε κάθε περίπτωση, Υ ικανοποιεί τη ζητούµενη συνθήκη. 5. Να λυθεί η ανίσωση: 2x −1 3 2 − 5x + 1 3 ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ≤ 1 1− x − −3 2 0 x ΣΕΛΙ∆Α 221 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 6. επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης ε 1 : y − λx = 2 Έστω οι ευθείες εξίσωση: x−µ x − λ +1 −x µ και ε 2 : y + 4 = 2x . Αν ε 1 // ε 2 να λυθεί η = x2 Α Λ Γ 7. µε τη µέθοδο των οριζουσών Ε Β 8. Ρ Να βρείτε για ποια τιµή του λ ∈ℜ έχει άπειρες λύσεις το σύστηµα: λx − 3 y = 4  4   x − y = 3 Α 9. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ ∈ℜ είναι αδύνατο το σύστηµα: x − y = 2  2 x − 2 y = λ Α΄ Λ Να λυθεί το σύστηµα y  x −1 − 2x = − 1  2  3 − 2(1 + y ) + 3 = −3( x − 2 ) + 2 y 10. α) Να λυθεί το σύστηµα: λx − y = 3   x + λy = − 2 Υ β) Για την λύση (x0 , Κ Ε ανίσωση: y0 ) που βρήκατε στο ερώτηµα α) να λύσετε την 2 x0 + 3 y 0 ≥ −9 Ι Ο 11. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ λ x + y = λ + 1  x + λ y = 2 ΣΕΛΙ∆Α 222 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 12. επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Αν σε ένα σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους x, y ισχύουν:  2 D x + 3D y = − D  − 4 D x + 7 D y = −11D Α και το σύστηµα έχει µοναδική λύση, να βρεθούν τα Λ x, y . (∆ηλαδή να λυθεί το σύστηµα). Γ Ε 13. Β Aν σε ένα γραµµικό D 2 + D x2 + D y2 = 2 D − 6 D x + 4 D y − 14 Ρ Α 14. α) Να λυθεί το σύστηµα σύστηµα 2Χ2 ισχύει: τότε αυτό να λυθεί. (Σ) : −3a + 5β = 7  5α − 4 β = −3 β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: Α΄ 5  −3 x − 7 + y + 3 = 7  (Σ 2 ) :   5 − 4 = −3  x − 7 y + 3 − 3 x − 3 + 5 y + 4 = 7 (Σ 1 ) :   5 x − 3 − 4 y + 4 = −3 Λ Υ (Σ 3 ) : {− 3x + 5 y − 7 + 5 x − 4 y + 3 = 0 Κ Ε 15. Να λυθούν τα συστήµατα Ι x + y + z = 2 y + z +t = 5 ( Σ1 ) :   z + t + x = −3 t + x + y = 8 και  xy = 2  (Σ 2 ) :  yt = 1 tx = 8  Ο Υ 16. Να λυθούν τα συστήµατα 5( x + y ) + 2 xy = 92 (Σ 3 ) :  3( x + y ) − xy = 9 ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ  x + y = 10 ( Σ1 ) :   xy = 21  x 2 + y 2 = 58 (Σ 2 ) :   xy = 21 ΣΕΛΙ∆Α 223 Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 17. επιµ.: Κάτσιος ∆ηµήτρης Μια ευθεία ε1 περνά από τα σηµεία Α(-1,0) και Β(0,2) µια δε άλλη ευθεία ε2 περνά από το σηµείο Γ(0,-1) και σχηµατίζει µε τον άξονα χ΄χ γωνία 450. Να βρεθεί το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε1 και ε2 και µετά οι συντεταγµένες του κοινού σηµείου των . Α Λ 18. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αχ+βψ=γ , µε β≠0 αν γνωρίζουµε ότι περνά από τα σηµεία Α(1,1) και (-1,5) Γ 19. Ένας µαθητής γράφει διαγώνισµα το οποίο αποτελείται από 18 θέµατα Ε πολλαπλής επιλογής . Για να αποφευχθεί η απάντηση στην τύχη δόθηκε ο Β εξής περιορισµός : Για κάθε θέµα σωστό παίρνει 10 βαθµούς ενώ για κάθε Ρ λανθασµένο θα χάνει 5 βαθµούς . Αν η τελική βαθµολογία είναι 135 Α βαθµοί , να βρεθεί το πλήθος των σωστών και το πλήθος των λανθασµένων θεµάτων 20. Α΄ ∆υο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο , το πρώτο από το σηµείο (-2,1) προς το (10,10) και το δεύτερο από το (-5,5) προς το (10,-2) . Να βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους. Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙ∆Α 224