Teorija pouzdanosti

1. VEROVATNOĆA POJAVA OSNOVNIH STANJA SISTEMA
sistem (συστεμα) - celina sastavljena od delova
Sistemi u mašinstvu predstavljaju skupelemenata i relacija između njih i njihovih karakteristika struktuiranih na
način koji obezbeđuje izvođenje predviđenih postupaka rada i vršenje postavljene funkcije kriterijuma u
vremenu i u datim uslovima okoline.
Sposobnost vršenja funkcije kriterijuma u vremenu nazivamo RADNA sposobnost sistema.
Sistem koji je jednom postavljen u proces rada izložen je uticajima različitih:
− po veličini
− pravcu i smeru
− karakteru
što uzrokuje najčešće odstupanje u nivou postavljene funkcije kriterijuma i umanjuje radnu sposobnost sistema.
Kretanje parametara funkcije kriterijuma pod dejstvom navedenih uticaja u okviru granica dozvoljenih
odstupanja određuje stanje sistema u smislu:
− ZADOVOLJAVA – označava stanje u RADU – zadovoljena funkcija kriterijuma
− NE ZADOVOLJAVA – stanje u OTKAZU – ne vrši postavljenu funkciju kriterijuma
pouzdanost - Verovatnoća da će stvarni ishod nekog procesa biti jednak željenom ishodu
FC – Funkcija cilja ili Funkcija kriterijuma
Može biti definisana na osnovu različitih zahteva
koji se postavljaju pred sistem:
•
•
•
•
•
•
•
maksimalni (optimalni) učinak
maksimalni (optimalni) kvalitet
maksimalne verovatnoće ostvarenja
zadatka
minimalnih troškova
maksimalne ekonomičnosti
minimalnog zagađenja okoline
maksimalne bezbednosti za radnike ...
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
i
U OTKAZU )
i
U OTKAZU )
U RADU -> OTKAZ -> U OTKAZU -> POPRAVKA -> U RADU
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
Otkaz nastaje kada proces (ili bilo koja veličina koja je bitna za taj proces) izađe van granica
dozvoljenih odstupanja (koje definiše FC).
Otkaz može nastati u bilo kojem trenutku rada sistema.
Kako vreme protiče, raste verovatnoća da će otkaz nastati.
1
Otkaz mora nastati, makar se to desilo kada t -> ∞
Verovatnoća da će otkaz nastupiti = F(t) = NEPOUZDANOST
Verovatnoća da otkaz neće nastupiti = R(t) = POUZDANOST
R(t) + F(t) = 1
Ovo važi uvek i za sve sisteme !!!
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
i
U OTKAZU )
Kada sistem otkaže potrebno je sprovesti intervenciju održavanja – otklanjanja otkaza.
Što se duže radi na intervenciji otklanjanja otkaza (što je više vremena na raspolaganju), veća je
verovatnoća da će otkaz biti otklonjen.
Verovatnoća da će otkaz biti otklonjen do vremenskog trenutka t =
Po(t) = POGODNOST ZA ODRŽAVANJE.
Verovatnoća da otkaz neće biti otklonjen do vremenskog trenutka t =
Pn(t) = NE-POGODNOST ZA ODRŽAVANJE
Po(t) + Pn(t) = 1
Ovo važi uvek i za sve sisteme !!!
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
0
0
0
0
≤
≤
≤
≤
R(t) ≤ 1
F(t) ≤ 1
Po(t) ≤ 1
Pn(t) ≤ 1
i
U OTKAZU )
⇓
⇑
⇑
⇓
2
2. Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu
POTPUNI otkaz delova sistema – radna sposobnost sistema pada na nulu
DELIMIČNI otkaz delova sistema – sistem vrši rad, ali ispod donje granice postavljene funkcije cilja
Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu
PODELA UTICAJA koji dovode do otkaza:
•
SISTEMSKI uticaji
dovode do otkaza sistema obično u početnoj fazi rada – period dečijih bolesti
•
SLUČAJNI uticaji
uslovljavaju otkaze koji su rezultat nestabilnosti konstrukcionih, tehnoloških i
parametara uslova okoline i
•
MONOTONO DEJSTVUJUĆI uticaji
vode intenziviranju dejstva određenih procesa u vremenu, kao što su procesi
habanja, nedovoljne regulisanosti elemenata, čestice prljavštine na kliznim
površinama, zamor materijala, izmene fizičko-hemijskih karakteristika materijala
3
Uzroci i oblici pojava
stanja u otkazu
Uzroci i oblici pojava
stanja u otkazu
4
3. INTENZITET OTKAZA
Intenzitet otkaza λ(t) predstavlja odnos funkcije gustine pojave stanja U OTKAZU i kumulativne gustine
pojava u stanja U RADU.
Kod neprekidnih promena stanja:
dF (t )
1
1
f (t )
dF (t )
dR(t )
λ (t ) =
= dt =
×
=−
×
R(t )
R(t )
R(t )
dt
R(t )
dt
Za prekidne promene stanja
N (Δt )
f (t ) n × Δt N (Δt )
=
=
λ (t ) =
nsr
R(t )
nsr ⋅ Δt
n
Funkcija intenziteta otkaza ima veoma
karakterističan oblik u toku vremena. Uočavaju se
tri karakteristična perioda:
I period predstavlja područje učestalih
stanja u otkazu koja se javljaju u početku rada
sistema (perod uhodavanja ili dečijih bolesti
sistema) izazvanih „ugrađenim greškama“ u
procesu projektovanja, izgradnje i postavljanja
sistema.
II period slučajnih stanja u otkazu – period
normalnog rada sistema
III period većih učestalosti stanja u otkazu
izazvanih procesom starenja, zamorom
materijala, pojavom korozije, procesom
intenzivnog habanja i sl.
Zbog svog karakterističnog oblika ovaj dijagram se ponekad naziva dijagram „kada“ .
-
-
INTENZITET OTKAZA (intenzitet pojave
stanja U OTKAZU sistema je verovatnosna
gustina pojave otkaza u trenurku t1 za deo
koji nije otkazao do tog trenutka ili
INTENZITET OTKAZA je verovatnoća da
će deo koji se nije nalazio ustanju U
OTKAZU do trenutka t1, otkazati u narednom
periodu.
INTENZITET OTKAZA se često naziva stopom
otkaza, a ponekad i brzinom pojave otkaza
(neispravnosti).
5
4. GOTOVOST SISTEMA
Dva sistema: koji je “poželjniji” ?
A(t) – availability (raspoloživost)
G(t) – Gotovost sistema
OG(t) – Operativna Gotovost
Gotovost sistema predstavlja verovatnoću da će sistem uspešno stupiti u dejstvo i ostvariti
projektovane izlazne veličine u neophodno minimalnom vremenu trajanja i datim uslovima okoline.
tur ÷ tuo
n
n
i =1
j =1
Tur = ∑ turi ÷ Tuo = ∑ tuo j
Problem 1: u početku je tuo = 0 !
Problem 2: teško je uporediti dva sistema
Problem 3: ne postoji “granica” odnosa dve vrednosti
n
tur
Tur i∑
=1 i
K=
= n
Tuo ∑ t
uo j
Tur – ukupno vreme U RADU sistema
Tuo – ukupno vreme U OTKAZU sistema
j =1
n
∑ tur
Tur
ukupno vreme u radu
i =1 i
A(t ) = G (t ) = OG (t ) =
= n
=
n
ukupno vreme
∑ tuo j + ∑ turi Tuo + Tur
j =1
i =1
Upoređivanjem se dobija:
6
1
T
1 + uo
Tur
Kako svakom intervalu u radu odgovara interval U OTKAZU, to je broj intervala U RADU jednak broju
intervala U OTKAZU, pa se ukupna vremena mogu izraziti kao:
što zamenom daje:
1
Tur = n ⋅ tur odnosno
OG =
Tuo = n ⋅ tuo
OG =
1+
tuo
tur
Komponenta operativne gotovosti ukazuje na potrebu ostvarenja uslova u radu sistema koji daju:
− MAKSIMALNO vreme U RADU i
− MINIMALNO vreme U OTKAZU
putem:
− projektovanja struktira maksimalnog stepena jednostavnosti
− kvalitetnog izvođenja postupaka obrade i montaže sistema
− pažljivog ispitivanja sistema u eksploataciji i podešavanja konstrukcije sistema
− primene preventivnog sistema održavanja
7
5. POUZDANOST SISTEMA SA REDNOM VEZOM ELEMENATA
Nakon što sistem uspešno počne da radi, od njega se očekuje da i nastavi da uspešno radi, odnosno da se ne
pojavi OTKAZ!
R(t) – Pouzdanost
Pouzdanost sistema predstavlja verovatnoću da će sistem uspešno vršiti funkciju kriterijuma u granicama
dozvoljenih odstupanja u projektovanom vremenu trajanja i datim uslovima okoline.
Redna veza je najčešća, ima veoma nepovoljne osobine sa stanovišta uticaja pouzdanosti sastavnih
elemenata na pouzdanost sistema.
Kada otkaže bilo koji element iz redne veze, otkazuje i ceo sistem, odnosno, sistem je U RADU kada je
svaki element redne veze U RADU.
R1
R2
D1 – događaj 1 –
element 1 U RADU
D2 – događaj 2 –
element 2 U RADU
Da bi sistem bio U RADU, moraju biti realizovana oba događaja –
presek dva događaja !
Verovatnoća realizacije ovog događaja je jednaka preseku dve
verovatnoće (elementi).
R1 i R2 pouzdanosti predstavljaju verovatnoće da do posmatranog
trenutka vremena neće doći do pojave otkaza
Događaj koji predstavlja stanje U RADU sistema određen je samo onim
delom prikazanih površina koje se preklapaju, pošto je samo tada
zadovoljen uslov da su oba elementa u radu, ispravnom stanju.
Ds = D1 I D2
Ps = P1 I P2
Rs = R1 ⋅ R2
P ( Ds ) = P ( D1 ) I P ( D2 )
Rs (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t )
n
Rs = R1 ⋅ R2 ⋅ ... ⋅ Rn = ∏ Ri
redna veza n elemenata
i =1
n
Rs = R1 ⋅ R1 ⋅ ... ⋅ R1 = ∏ R1 = R1n
1
ukoliko se radi o identičnim elementima pouzdanosti
su im iste
R1 = n Rs
8
6. POUZDANOST SISTEMA SA AKTIVNOM I PASIVNOM
PARALELNOM VEZOM ELEMENATA
Sistem je u radu sve dok je barem jedan element paralelne veze u radu. Tek kada otkažu oba (svi)
elementi paralelne veze, otkazuje i sistem, ovaj sistem obezbeđuje visok nivo pouzdanosti sistema.
R1
R2
D1 – događaj 1 –
D2 – događaj 2 –
element 1 U RADU
element 2 U RADU
Da bi sistem bio U RADU, mora biti realizovan barem
jedan događaj – unija dva događaja !
Verovatnoća realizacije ovog događaja je jednaka “zbiru”
(pravila Bool-ove algebre) dve verovatnoće
(elementi).
Ds = D1 U D2
P ( Ds ) = P ( D1 ) U P ( D2 )
Ps = P1 U P2
Ps = P1 + P2 − P1 I P2
Rs (t ) = R1 (t ) + R2 (t ) − R1 (t ) ⋅ R2 (t )
Rs = R1 + R2 − R1 ⋅ R2
Rs = 1 − Fs
Sistem je u otkazu kada su oba elementa u otkazu → nepouzdanost !!!
Fs = F1 ⋅ F2
Rs = 1 − F1 ⋅ F2
Rs = 1 − (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 )
n
Rs = 1 − (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) ⋅ ... ⋅ (1 − Rn ) = 1 − ∏ (1 − Ri )
i =1
Ukoliko se radi o identičnim elementima, pouzdanosti tih elemenata su iste
n
Rs = 1 − ∏ (1 − R1 ) = 1 − (1 − R1 ) n
1
R1 = 1 − n 1 − Rs
9
Pasivna paralelna veza
Aktivni element je u radu. Kada otkaže aktivni element, uključuje se pasivni element. Tek kada
otkaže pasivni element (svi pasivni elementi) koji se nalazi u pasivnoj paralelnoj vezi, otkazuje i ceo
sistem.
R1
R2
R1
R2
Pretpostavka – eksponencijalni zakon raspodele vremena U RADU
Period stabilne eksploatacije !
Pretpostavka – eksponencijalni zakon raspodele vremena U RADU
Period stabilne eksploatacije !
− λ ⋅t
R=e
(λ ⋅ t ) k − λ ⋅t
Rs = ∑
⋅e
k!
k =0
n
2
k
⎡
λ ⋅t)
λ ⋅ t ) ⎤ − λ ⋅t
(
(
+ ... +
Rs = ⎢1 + λ ⋅ t +
⎥⋅e
2!
!
k
⎢⎣
⎥⎦
k – broj elemenata u pasivnoj vezi !!!
k=0
− λ ⋅t
s
k=1
R = [1] ⋅ e
Rs = [1 + λ ⋅ t ] ⋅ e− λ ⋅t = R1 + ( λ ⋅ t ) ⋅ R1
10
7. POUZDANOST SISTEMA SA DELIMIČNO PARALELNOM I KOMPLEKSNOM
VEZOM
ispravnost sistema se uslovljava ispravnošću bar „k“ od „m“ elemenata.
R1
⎛m⎞
m− x
Rs = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ Rix ⋅ (1 − Ri )
x=k ⎝ x ⎠
R2
x=m
x=m
Rs = ∑
x=k
m!
m− x
⋅ Rix ⋅ (1 − Ri )
x !⋅ ( m − x ) !
R3
x ! = x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120
RK
0! = 1
RM
Strukture sa kmpleksnom vezom elemenata predstavljaju sisteme u čijoj gradnji postoje i redne i paralelne
veze
R1
R5
R2
R6
R8
R3
R7
R4
Ra
Rb
R8
Ra = 1 − (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) ⋅ (1 − R3 ) ⋅ (1 − R4 )
Rb = 1 − (1 − R5 ) ⋅ (1 − R6 ) ⋅ (1 − R7 )
Rs = Ra ⋅ Rb ⋅ R8
Rs = [1 − (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) ⋅ (1 − R3 ) ⋅ (1 − R4 ) ] ⋅
[1 − (1 − R5 ) ⋅ (1 − R6 ) ⋅ (1 − R7 )] ⋅ R8
11
Puno elemenata – povezanih na različite načine.
R2
R3
RA = R1 ⋅ R2 ⋅ R3
RB = R1 ⋅ R4 ⋅ R5
RC = R5 ⋅ R6 ⋅ R7
A
B
R1
C
R4
R6
R5
R7
DS = DA U DB U DC
P ( DS ) = P ( DA ) U P ( DB ) U P ( DC )
P ( DA ) U P ( DB ) = P ( DA ) + P ( DB ) − P ( DA ) I P ( DB )
PA = P1 I P2 I P3
PB = P1 I P4 I P5
PA I PB = P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5
P1 U P1 = P1
P1 I P1 = P1
P1 U P1 = P1
P1 I P1 = P1
P ( DA ) I P ( DB ) = ( P1 I P2 I P3 ) I ( P1 I P4 I P5 )
PA I PB = P1 I P2 I P3 I P4 I P5
RA ⋅ RB = R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R4 ⋅ R5
P ( DS ) = P ( DA ) U P ( DB ) U P ( DC )
PS = PA + PB + PC − PA I PB − PA I PC − PB I PC + PA I PB I PC
R2
R3
A
B
R1
PS = PA + PB + PC − PA I PB − PA I PC − PB I PC +
+ PA I PB I PC
PS = P1 I P2 I P3 + P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 −
C
R4
R6
R7
R5
− P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 − P1 I P2 I P3 I P5 I P6 I P7 −
− P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P7 +
+ P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P7
PS = P1 I P2 I P3 + P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 − P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 − P1 I P2 I P3 I P5 I P6 I P7 −
− P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P7 + P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P7
PS = P1 I P2 I P3 + P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 − P1 I P2 I P3 I P4 I P5 − P1 I P2 I P3 I P5 I P6 I P7 −
− P1 I P4 I P5 I P6 I P7 + P1 I P2 I P3 I P4 I P5 I P6 I P7
12
PS = P1 I P2 I P3 + P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 − P1 I P2 I P3 I P4 I P5 − P1 I P2 I P3 I P5 I P6 I P7 −
− P1 I P4 I P5 I P6 I P7 + P1 I P2 I P3 I P4 I P5 I P6 I P7
PS = RS = R1 ⋅ R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R4 ⋅ R5 + R5 ⋅ R6 ⋅ R7 − R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R4 ⋅ R5 − R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R5 ⋅ R6 ⋅ R7 −
− R1 ⋅ R4 ⋅ R5 ⋅ R6 ⋅ R7 + R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R4 ⋅ R5 ⋅ R6 ⋅ R7
RS = R1 R2 R3 + R1 R4 R5 + R5 R6 R7 − R1 R2 R3 R4 R5 − R1 R2 R3 R5 R6 R7 − R1 R4 R5 R6 R7 + R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
RS = R123 + R145 + R567 − R12345 − R123567 − R14567 + R1234567
13
8. POUZDANOST SISTEMA SA SPECIFIČNIM VEZAMA ELEMENATA
Specifične veze, koje imaju karakteristike rednih i paralelnih veza, a nisu čisto redne ni paralelne veze
– kvaziredne i kvaziparalelne veze.
R1
R1
R2
Kf
kvaziredna veza
Kf
kvaziparalelna veza
Primer: radna i pomoćna (parkirna) kočnica kod
automobila.
R1
Kf - fiktivni element koji “simulira” degradaciju
radnih karakteristika.
Kf= put kočenja radnom kočnicom / put kočenja
parkirnom kočnicom
Kf
kvaziparalelna veza
Primer kvaziredne veze: Kočioni sistem
automobila, ako bi bile odvojene kočione grane
za leve i desne točkove. Otkaz jedne grane ne
znači potpuni gubitak sposobnosti kočenja, ali
značajno umanjuje bezbednost vozila.
R1
Rs = RK 2 ⎡⎣1 − (1 − RKR ⋅ RPMR ⋅ RK 1 ) ⋅ (1 − RKP ⋅ RPMP ⋅ R fp ) ⎤⎦
K fp =
SR
put kočenja pri dejstvu radne kočnice
=
S P put kočenja pri dejstvu pomoćne kočnice
uvek mora da važi odnos:
R2
Kf
kvaziredna veza
0 ≤ K fp ≤ 1
14
9. OSNOVNI STATISTIČKI POKAZATELJI SLUČAJNE PROMENLJIVE
Događaji – slučajne veličine → statistika i teorija verovatnoće
Osnovne veličine koje je potrebno poznavati za svaku pojavu koju treba izučiti:
•
•
•
•
•
•
srednja vrednost,
medijana,
mod,
mera rasipanja oko srednje vrednosti,
granice poverenja i
rang.
•
za neprekidne (kontinualne) promene (uslov
– poznato f(t))
∞
površina
ispod krive
m=
∫ t ⋅ f (t )dt
−∞
•
za prekidne (diskretne) promene
i=n
i=n
m = ∑ ti ⋅ p (ti )
i =1
Neprekidna (kontinualne) promena
m=
∑ ti
i =1
n
i=n
=
∑t ⋅ f
i =1
i
i
n
Prekidna (diskretna) promena
Medijana
- deli populaciju na dva jednaka dela (50 % populacije ima manju vrednost od medijane, a
drugih 50 % populacije ima veću vrednost od medijane !
-
deli populaciju na dva jednaka dela (50 % populacije ima manju vrednost od
medijane, a drugih 50 % populacije ima veću vrednost od medijane !
∞
t50
t50
−∞
m = ∫ t ⋅ f (t )dt = 0,5 =
∫ t ⋅ f (t )dt
15
Mod
- najveća verovatnoća pojavljivanja – najviša frekvencija
df (t )
= 0 ⇒ t = mod
dt
Mera rasipanja oko srednje vrednosti
σ =
2
∞
∫ (t − m)
−∞
i =n
2
⋅ f (t )dt
σ 2 = ∑ ( t − m ) ⋅ p (ti )
2
i =1
σ2 =
1 i=n
2
( t − m ) ⋅ fi
∑
n − 1 i =1
16
10. GRANICE POVERENJA SLUČAJNE PROMENLJIVE
Granice poverenja
Razlika između srednje vrednosti uzorka i srednje vrednosti cele populacije.
Što je veći uzorak, dobijene statističke veličine uzorka su približnije stvarnoj vrednosti odgovarajuće
veličine cele populacije.
Ocena odstupanja izračunate srednje vrednosti od prave srednje vrednosti odgovarajuće raspodele,
vrši se na osnovu utvrđivanja granica, odnosno, intervala poverenja.
Interval poverenja predstavlja dijapazon u kome se, sa određenom verovatnoćom, tvrdi da se nalazi
prava srednja vrednost populacije.
Granice poverenja predstavljaju vrednosti Cα/2, koje odgovaraju verovatnoći realizacije od 1-α %.
m − Cα / 2 ≤ m ≤ m + Cα / 2
Vrednost granica poverenja mogu da se odrede na osnovu veličine uzorka i standardne devijacije.
Npr, ako se želi odrediti granice poverenja za α = 5 % (1 – α = 95 %), to se postiže sledećim
izrazom:
m−
1,96 ⋅ σ
1,96 ⋅ σ
≤ m ≤ m+
n
n
17
f [%]
11. HISTOGRAM I POLIGON
Omogućuju bliže upoznavanje stvarnog zakona raspodele posmatrane slučajno promenljive
veličine, vrši se izračunavanje relativnih (f) i kumulativnih (F) frekvencija i njihovo grafičko
prikazivanje u obliku histograma odnosno poligona.
Za ovakvu obradu svi rezultati merenja treba d se grupišu u određene klase, tj. intervale
promene posmatrane veličine, pa su relativne frekvencije određene izrazom:
n
n
f = i ili f = i ⋅100 ( % )
n
n
gde je ni broj rezultata u svakoj pojedinačnoj klasi
n ukupni broj rezultata
Grafički prikaz ovako izračunatih relativnih frekvencija naziva se histogram.
0
Δt
+t
Na osnovu relativnih frekvenci lako se dolayi i do njihovih kumulativnih vrednosti
j
F =∑
i =1
ni
n
j
n
n
ili F = ∑ i ⋅100 (%)
i =1
što se grafički prikazuje u vidu stepenastog dijagrama ili poligona
100 %
F [%]
F [%]
100 %
0
0
Δt
+t
Δt
+t
18
12. RANGIRANJE REZULTATA
Kod sistema u mašinstvu raspoložive informacije su obično relativno oskudne, odnosno
potiču iz relativno malog uzorka.
Iz tog razloga se mora ići na mali broj klasa, širokih intervala promene slučajne veličine.
Histogram tada dobija sasvim netipičan karakter te se na ovoj osnovi čak ni elementarna
prosuđivanja ne mogu obaviti.
Za ovakve slučajeve se primenjuje metod rangiranja (naročito kada je broj rezultata manji
od 50) koji se zasniva na dodeljivanju kumulativnih frekvenci ovako rangiranih rezultata.
Pretpostavimo da za određenu veličinu posedujemo 5 rezultata.
Ako sve rezultate sredimo po rastućem redu, rang prvog iznosio bi 20% drugog 40% itd.
To bi značilo da 20% ukupne populacije ima vrednosti manje ili jednake prvom rezultatu,
40% manje ili jednake drugom rezultatu, itd. Ovo međutim nemora biti tačno, stoga je
potrebno potražiti neki statistički pokazatelj koji će objektivnije da oceni stvarni rang svakog
pojedinačnog rezultata.
Najznačajniji metod rangiranja je određivanje tzv. medijalnog ranga.
Empirijski obrazac:
MR =
j − 0,3
n + 0, 4
j – redni broj rezultata merenja
n – ukupan broj rezultata
Ovako izračunate vrednosti rangova značajnosti, a posebno medijalnog ranga mogu da se
prikazuju grafički, tako se dobija znatno realnija slika pravog stanja stvari, naročito kod
relativno malih uzoraka.
19
13. WEIBULLOVA RASPODELA
se najviše koristi u svim analizama efektivnosti tehničkih sistema, a posebno u području
pouzdanosti.
Ovo neposredno proističe iz njenog parametarskog karaktera i širokih mogućnosti da se
izborom odgovarajućih vrednosti ovih parametara interpretiraju veoma različiti zakoni slučajno
promenljivih veličina.
Ona je razvijena za statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u tehnici, konkretno
rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost.
Weibullova raspodela se izražava u dva oblika: sa dva ili tri parametra.
Osnovne funkcije weibull-ove
raspodele imaju oblik:
f (t ) =
β
η
R(t ) = e
⎛t⎞
⋅⎜ ⎟
⎝η ⎠
⎛t⎞
−⎜ ⎟
⎝η ⎠
F (t ) = 1 − e
β −1
⋅e
⎛t⎞
−⎜ ⎟
⎝η ⎠
β
β
⎛t⎞
−⎜ ⎟
⎝η ⎠
β
/ ln /ln
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
ln ⎜ ln ⎜
⎟ ⎟ = β ⋅ ln(t ) − β ⋅ ln(η )
1
F
(
t
)
−
⎝
⎠⎠
⎝
y = a⋅x +b
β – parametar oblika
η – parametar razmere
Različite vrednosti parametra β veoma menjaju karakter raspodele. Za veće vrednosti
parametra β Vejbulova raspodela se više približava normalnom zakonu raspodele, a nekad se
razlike između vejbulovog i normalnog zakona raspodele praktično ne primećuju.
Ako podaci uneti u verovatnosni papir odgovaraju nekoj krivoj liniji može se pretpostaviti
da se radi o troparametarskoj vejbulovoj raspodeli, odnosno o raspodeli koja se karakteriše
postojanjem patametra položaja γ, on označava minimalnu vrednost slučajno promenljive koja
može da se ostvari (vek trajanja – minimalni vek trajanja)
20
14. STATISTIČKI TESTOVI
Ocena polazne hipoteze o važnosti određenog zakona raspodele vrši se na verovatnosnom
papiru procenjivanjem da li sve unete tačke (kumulativne učestanosti ili medijalni rangovi)
odgovaraju pravoj liniji, mogu da se tolerišu i određena odstupanja bez obzira iz kojih izvora
potiču. ovo se posebno odnosi na tačke koje odgovaraju najmanjim relativnim učestalostima.
Da bi se u oceni ovih odstupanja dobila potebna sigurnost mogu da se koriste statistički
testovi.
Među najčešće korišćene spadaju test Kolmogorov-Smirnova, ili ’’d’’ test.
Test Kolmogorov-Smirnova se zasniva na pretpostavci da dobijena raspodela zaista
odgovara teorijskoj, i to za celu populaciju.Stepen saglasnosti se ocenjuje na bazi odstupanja
pojedinih tačaka od predpostavljene raspodele (prave linije) upoređujući ova odstupanja sa
kritičnim vrednostima ’’d’’, koje se daju tablično.
Stepen značajnosti
Veličina
uzorka
0,2
3
5
10
20
40
0,17
preko 50
Ako npr. imamo uzorak sa 40 elemenata i stepen značajnosti 0,2 onda je
„d“=0,17.Nanošenjem „d“ u procentima sa obe strane pretpostavljene raspodele dobiće se dve
granične krive.
Ako bilo koja tačka izlazi iz područja omeđenog ovim krivim linijama, postoji manje od
80% šanse da pretpostavljena raspodela odgovara stvarnim osobinama populacije, odnosno ako
nijedna tačka neizlazi iz ovog područja to neznači da je ovako pretpostavljena raspodela tačna
već samo da može biti zadovoljavajuća.
21
15. TROPARAMETARSKA (WEIBULLOVA) RASPODELA
se najviše koristi u svim analizama efektivnosti tehničkih sistema, a posebno u području
pouzdanosti.
Ovo neposredno proističe iz njenog parametarskog karaktera i širokih mogućnosti da se
izborom odgovarajućih vrednosti ovih parametara interpretiraju veoma različiti zakoni slučajno
promenljivih veličina.
Ona je razvijena za statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u tehnici, konkretno
rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost.
weibullova raspodela se izražava u dva oblika: sa dva ili tri parametra.
Ako podaci uneti u verovatnosni papir odgovaraju nekoj krivoj liniji može se pretpostaviti
da se radi o troparametarskoj vejbulovoj raspodeli, odnosno o raspodeli koja se karakteriše
postojanjem patametra položaja γ, on označava minimalnu vrednost slučajno promenljive koja
može da se ostvari (vek trajanja – minimalni vek trajanja).
β – parametar oblika
η – parametar razmere
γ – patametar položaja
Hipotezu o važnosti troparametarske Vejbulove raspodele treba prvo proveriti suštinski,
fizičkom analizom posmatrane slučajno promenljive. Ako se zaključi da ima logike da
posmatrana slučajno promenljiva ima neku minimalnu vrednost, treba pristupiti proveri da li se
ova polazna pretpostavka može dokazati i na verovatnosnom papiru.
t3 − t2 ) ⋅ ( t2 − t1 )
(
γ = t2 −
( t3 − t2 ) − ( t2 − t1 )
R(t ) = e
⎛ t −γ ⎞
−⎜
⎟
⎝ η −γ ⎠
β
22
16. SLOŽENA RASPODELA
Ako se unošenjem podataka na verovatnosni papir zaključi da je prikladno povući dve ili
više pravih linija ima osnove za pretpostavku da su obrađivani podaci nehomogeni tj. danemaju
isti karakter.
Ovo je čest slučaj pri obradama rezultata koji se odnose na ispitivanje pouzdanosti u
eksploataciji, kada prikupljene informacije nemoraju biti i dovoljno precizno izdiferencirane u
odnosu na karakter nastalih neispravnosti.
R (t ) =
R(t ) =
nI
n
n
⋅ RI (t ) + II ⋅ RII (t ) + III ⋅ RIII (t )
n
n
n
nI
⋅e
n
⎛ t ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ηI ⎠
βI
+
nII
⋅e
n
⎛ t ⎞
−⎜
⎟
⎝ η II ⎠
β II
+
nIII
⋅e
n
⎛ t ⎞
−⎜
⎟
⎝ η I II ⎠
β III
Kako su podaci grupisani na različitim pravama može se zaključiti da se radi o više vrsta stanja
U OTKAZU te se podaci grupisani oko različitih prava ponovo unose u tablice (ali posebno –
kao posebni uzorci).
Potom se oni ponovo nanose na verovatnosni papir, te se od složene raspodele kakva je
bila dobijaju dve ili više raspodela.
Ovako razdvojene raspodele daju mogućnost za objektivnije odlučivanje.
Podeli dobijenih podataka na dva ili više skupova treba pristupiti samo ako postoji
određena fizička logika da uzorak zaista nije homogen, odnosno da uključuje podatke koji po
svom karakteru nisu jednaki.
Bez osnovane logike da je ovo zaista tako , primena ovog metoda može da dovede do
neobjektivnih zaključaka.
23
17. PODRUČJE POVERENJA RASPODELA
Podrazumeva proveru odgovarajućih granica poverenja, određivanje područja poverenja za
raspodelu u celini, kao i određivanju granica poverenja faktora oblika β.
Područje poverenja za raspodelu u celini ima smisla određivati samo ako se radi o relativno
malom uzorku, po pravilu sa manje od 50 uzoraka.
Tada se zakon raspodele definiše preko medijalnih rangova, sa verovatnoćom realizacije od
50%.
Ako se na verovatnosni papir unesu i podaci o rangovima značaja za 5% i 95% područje
između ovako dobijenih krivih linija odgovara području poverenja posmatrane raspodele sa
90% verovatnoće realizacije.
Područje poverenja raspodele se određuje preko faktora poverenja za određene vrednosti
kumulativne učestanosti.
Ovi faktori poverenja Fq neposredno određuju moguće intervale poverenja slučajno
promenljive, za određenu verovatnoću.
Granice poverenja se određuju:
tmin =
tq
Fq
tmax = tq ⋅ Fq
Ako se radi o velikim uzorcima sa preko 100 ili 200 elemenata područja poverenja su veoma
uska, te je dovoljno ići na proveru intervala poverenja parametra oblika raspodele.
Jedan od preporučenih postupaka za određivanje intervala poverenja parametara oblika sastoji
se u određivanju faktora poverenja Fβ koji neposredno određuje granice poverenja prema
izrazu:
β min =
β
Fβ
β max = β ⋅ Fβ
24
21. POSTUPAK PODJEDNAKE RASPODELE POUZDANOSTI SISTEMA
Alokacija → preraspodela (unapred zadatu pouzdanost je potrebno preraspodeliti na sastavne elemente sistema
(sklopove), uvažavajući način povezivanja elemenata u celinu - sistem!
Određivanje potrebnog nivoa pouzdanosti elemenata
• Postupak podjednake raspodele
• Postupak raspodele na osnovu podataka vremenskih slika stanja sličnih elemenata (ARINC postupak)
• Postupak raspodele na osnovu značajnosti (AGREE postupak)
• EFTES postupak
Bitna je pretpostavka da su otkazi na pojedinim elementima nezavisni od otkaza na drugim elementima, tj. da
zavise samo od njegovih sopstvenih osobina.
Najjednostavniji metod alokacije pouzdanosti je metod podjednake raspodele, ali najnerealniji.
Pretpostavlja se redna (ređe paralelna) veza elemenata i eksponencijalni zakon raspodele (period stabilne
eksploatacije)
Zahtevana pouzdanost se “deli“ podjednako na sastavne delove sistema, n redno vezanih jednakih elemenata sa
jednakim pouzdanostima.
n
Rs = ∏ R = R n
1
R = n Rs
Ukoliko je pouzdanost svakog elementa:
Ri = e − λi ⋅t
onda je
Rs = e− λs ⋅t
odnosno
λs = −
ln( Rs )
t
Pošto je preduslov da sve pouzdanosti budu jednake
Rs = R1 ⋅ R2 ⋅ ... ⋅ Rn
sledi:
e− λs ⋅t = e− λ1 ⋅t ⋅ e− λ2 ⋅t ⋅ ... ⋅ e− λn ⋅t
n
λs = λ1 + λ2 + ... + λn = ∑ λi
i =1
λs = n ⋅ λ
λ
λ= s
n
25
22. POSTUPAK ARINC ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA
Alokacija → preraspodela (unapred zadatu pouzdanost je potrebno preraspodeliti na sastavne elemente sistema
(sklopove), uvažavajući način povezivanja elemenata u celinu - sistem!
Određivanje potrebnog nivoa pouzdanosti elemenata
• Postupak podjednake raspodele
• Postupak raspodele na osnovu podataka vremenskih slika stanja sličnih elemenata (ARINC postupak)
• Postupak raspodele na osnovu značajnosti (AGREE postupak)
• EFTES postupak
Bitna je pretpostavka da su otkazi na pojedinim elementima nezavisni od otkaza na drugim elementima, tj. da
zavise samo od njegovih sopstvenih osobina.
ARINC postupak nastoji da se određivanje potrebnih karakteristika pouzdanosti pojedinih elemenata
strukture uskladi sa realnim mogućnostima njihovog ostvarivanja.
Ovaj postupak zahteva posedovanje bar grubih orjentacionih vrednosti intenziteta otkaza za sve
elemente sistema.
Na samom početku treba da se usvoje vrednosti intenziteta otkaza za svaki element λi.
ln( Rs )
λs = −
t
Na osnovu toga a polazeći od izraza λs, raspodela potebne pouzdanosti na pojedine elemente vrši se
srazmerno statističkoj težini odgovarajućih usvojenih vrednosti intenziteta otkaza preko faktora:
λi
ωi =
n
∑λ
i =1
i
pri čemu mora biti zadovoljen uslov:
n
∑ω
i =1
i
=1
Tada je maksimalno dopustiva vrednost intenziteta otkaza i-tog elementa sistema:
λi = ωi ⋅ λs
pa je i potrebna pouzdanost i-tog elementa:
Ri = e − λi ⋅t = e−ωi ⋅λs ⋅t
26
23. POSTUPAK AGREE ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA
Postupak raspodele na osnovu značajnosti - AGREE postupak
Razvijen je za potrebe američke armije.
Osnovna prednost mu se ogleda u tome što uvažava relativni značaj pojedinih sklopova (elemenata) za ceo
sistem, kao i kompleksnost svakog podsistema i njegovo vreme rada.
Značaj pojedinog podsistema se definiše faktorom značajnosti Ei koji se definiše kao verovatnoća da će sistem
otkazati ako otkaže element koji se posmatra.
E = 1 → otkaz sklopa znači i siguran otkaz celog sistema
E = 0 → otkaz sklopa nema uticaj na otkaz celog sistema
Deo sistema od kojeg se ne zahteva da bude u radu uvek kada je i sistem u radu (uređaji za startovanje, kočenje
i slično) imaju koeficijent značajnosti manji od 1.
Određivanje dodeljene vrednosti intenziteta otkaza i-tog elementa sistema:
λi = −
ni – broj elemenata koji ulaze u sastav posmatranog
sklopa
N – ukupan broj elemenata u sastavu sistema
Ei – faktor značajnosti posmatranog sklopa
ts – vreme rada sistema
ti – vreme rada posmatranog sklopa
ni ⋅ ⎡⎣ − ln Rs ( ts ) ⎤⎦
N ⋅ Ei ⋅ ti
Određivanje potrebne pouzdanosti i-tog elementa sistema:
ni
Ri ( ti ) = 1 −
1 − ⎡⎣ Rs ( ts ) ⎤⎦ N
Ei
27
24. POSTUPAK EFTES ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA
− Procena relativnih odnosa intenziteta otkaza sastavnih delova u odnosu na “najslabiji“ deo
sistema
− Ocena stepena uslovljenosti Ei (faktor značajnosti) delova sistema i sistema kao celine
Polazi se od koeficijenta alokacije u vidu:
ωi =
λi
n
∑λ
i =1
gde je:
λi intenzitet otkaza delova sistema koji u sebi sadrži
njihov stepen uslovljenosti
i
na osnovu toga se alokacija pouzdanosti sistema na delove sistema vrši na osnovu:
λi* = ωi ⋅ λs
Izabere se “najslabiji“ deo sistema (najveći intenzitet otkaza) i utvrđuje se λr (referentni intenzitet otkaza)
Intenziteti ostalih delova sistema neuzimajući u obzir njihov stepen uslovljenosti stavlja se u odnos prema
intenzitetu otkaza najslabijeg dela.
ki =
λi*
λr
Uzimajući u obzir stepen uslovljenosti Ei
1
1
λi = ⋅ λi* = ⋅ ki ⋅ λr
Ei
Ei
zamenom se dobija
što omogućava alokaciju intenziteta otkaza na delove sistema:
ki
⋅ λr
λi
Ei
ωi = n
= n
k
λi ∑ i ⋅ λr
∑
i =1
i =1 Ei
ki
E
λi = ωi ⋅ λs = n i ⋅ λs
ki
∑
i =1 Ei
pouzdanost dela sistema je tada:
Ri = e − λi ⋅t
Jedna od značajnih prednosti EFTES postupka je i mogućnost primene na sisteme kod kojih se pouzdanost
teško može da izrazi preko intenziteta otkaza (rakete i drugi sistemi jednokratne upotrebe)
polazeći od:
Ri = e − λi ⋅t
možemo izraziti
ln( Ri )
ln( Rs )
λi = −
i λs = −
t
t
zamenom ovih izraza (pod pretpostavkom da je vreme rada sistema jednako vremenu rada svakog elementa:
ki
ln [ Ri (t ) ]
ln [ Rs (t ) ]
E
λi = ωi ⋅ λs
−
=− n i ⋅
ki
t
t
∑
i =1 Ei
rešavanjem po Ri dobija se
ki
E
Rs ( t )⋅ n i
k
∑ i
i =1 Ei
i
R (t ) = e
28

Download Report