wheatstoneov most i izmjeniˇcni most

ˇ PRAKTIKUM 2
NAPREDNI FIZICKI
SMJER: PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
WHEATSTONEOV MOST I
ˇ
IZMJENICNI
MOST
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
NFP 2
1
ZADACI
1. Sloˇzite sklop za mjerenje kapaciteta pomoću sluˇsalica. Odredite nepoznate
kapacitete i provedite raˇcun pogreˇsaka. Procijenite pogreˇsku mjerenja l1 .
2. Sloˇzite most za mjerenje samoindukcije zavojnica pomoću osciloskopa. Odaberite jednu nepoznatu zavojnicu. Promatrajte napone V1 i V3 u vremenskom prikazu. Promatrajte kako se mijenjaju odnosi amplituda i faza s
pomicanjem kliznog kontakta i potenciometra. Uravnoteˇzite most. Kad
viˇse ne uoˇcavate razliku medu naponima, promatrajte njihovu razliku i
povećajte osjetljivost. Oˇcitajte poloˇzaj kad je most uravnoteˇzen i procijenite pogreˇsku l1 .
3. Ponovo razgodite most. Promatrajte napone V1 i V3 u X–Y prikazu i uoˇcite
kako se mijenja oblik slike s pomicanjem kliznog kontakta i potenciometra.
Uravnoteˇzite most i ponovno procijenite pogreˇsku l1 .
4. Prikljuˇcite sluˇsalice umjesto osciloskopa. Uravnoteˇzite most za istu zavojnicu. Procijenite pogreˇsku l1 . Koji naˇcin odredivanja samoindukcije je
precizniji?
5. Odredite s pomoću sluˇsalica samoindukcije preostalih nepoznatih zavojnica.
Odredite pogreˇske mjerenja iz procijenjene pogreˇske l1 .
Uvod
Za precizno mjerenje nepoznatih otpora moˇze se rabiti Wheatstoneov most –
elektriˇcni sklop prikazan na sl.1. On se sastoji od tri poznata otpornika R1 , R2 i
R3 , nepoznatog otpora R4 ˇciju vrijednost ˇzelimo izmjeriti, te galvanometra (voltmetra) G koji sluˇzi za kontrolu uravnoteˇzenosti mosta. Postupak mjerenja se sastoji od odabira vrijednost triju otpornika R1 , R2 i R3 , tako da razlika potencijala
izmedu toˇcaka A i B koju mjeri galvanometar bude jednaka nuli, i tada kaˇzemo
da je most uravnoteˇzen. Kao ˇsto ćemo kasnije vidjeti, iz uvjeta uravnoteˇzenosti
slijedi jednostavan izraz kojim se moˇze odrediti vrijednost nepoznatog otpora R4 .
V0
+
B
R3
R4
IB
T1
T2
G
IA
R1
R2
A
Slika 1. Wheatstoneov most.
Napomenimo da se pod pojmom Wheatstoneov most smatra sklop koji se
sastoji iskljuˇcivo od otpornika, i u kojem su svi naponi vremenski neovisni (tzv. istosmjerni ili DC naponi). U općenitijem sluˇcaju umjesto otpornika Ri se mogu
koristiti kombinacije otpornika, kondenzatora i zavojnica, te izvori izmjeniˇcnih
napona. Takav se sklop u literaturi naziva izmjeniˇcni most.
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
NFP 2
2
Uvjet ravnoteˇ
ze - Wheatstoneov most
Izvedimo sada uvjet koji moraju zadovoljavati otpornici kako bi most bio u
ravnoteˇzi.
Prikljuˇcivanjem baterije napona V0 , u donjoj grani Wheatstoneovog mosta
(T1 –A–T2 ) poteći će struja IA , a u gornjoj grani (T1 –B–T2) IB . Pri tom pad
napona u obje grane mora biti jednak:
IA (R1 + R2 ) = IB (R3 + R4 ),
(1)
jer su obje grane spojene na istu razliku potencijala V0 .
Nadalje, uzmimo da je most u ravnoteˇzi. To znaˇci da je razlika potencijala
izmedu toˇcke A i B jednaka nuli. Ali, isto tako moˇzemo reći da su razlike
potencijala izmedu toˇcaka A i T1 te izmedu toˇcaka B i T1 jednake:
IA R1 = IB R3 .
(2)
Kombiniranjem prethodnih dviju jednadˇzbi dobivamo uvjet za ravnoteˇzu Wheatstoneovog mosta:
R3
R1
=
.
(3)
R2
R4
Dakle, iz poznatih vrijednosti triju otpora (npr. R1 , R2 i R3 ) moˇze se izraˇcunati i
vrijednost ˇcetvrtog otpora (R4 ). Uoˇcimo, medutim, da preciznost kojom moˇzemo
odrediti ˇcetvrti (nepoznati) otpor ovisi o tome s kojom preciznoˇsću su poznate
vrijednost preostala tri otpornika.
U postavu ove vjeˇzbe (sl.2) otpor R1 +R2 je zapravo otporna ˇzica konstantnog
presjeka i uniformne vodljivosti, a toˇcka A je klizni kontakt kojim se onda moˇze
mijenjati omjer R1 /R2 (uz R1 +R2 = const.). Kako su otpori R1,2 proporcionalni
duljini l1,2 , uvjet ravnoteˇze mosta moˇze se pisati u obliku:
l1
R3
=
.
l2
R4
(4)
Primijetimo da ovakva konstrukcija pojednostavljuje mjerenja, jer nam sada
nisu potrebne precizne vrijednost otpora R1 i R2 , već samo ˇsto toˇcnije duljine
l1 i l2 . U daljnjim razmatranjima ćemo, sukladno tome, po potrebi (preˇsutno)
koristiti ˇcinjenicu da je R1 /R2 = l1 /l2 .
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
3
NFP 2
V0
+
B
R3
R4
G
T1
R1
l1
A
T2
R2
l2
Slika 2. Postav Wheatstoneovog mosta u vjeˇzbi: otpornici R1 i R2 su zamijenjeni
ˇzicom konstantnog presjeka i klizaˇcem A.
Uvjet ravnoteˇ
ze - izmjeniˇ
cne komponente
U shemi na sl.1 moˇzemo otpornike zamijeniti s općenitijim (pasivnim linearnim)
elementima, npr. kondenzatorom, zavojnicom ili ˇcak kombinacijama otpora, kondenzatora i zavojnice. Ako za izvor napona V0 upotrijebimo sinusoidalni napon
kruˇzne frekvencije ω, ω = 2πf , tada svaki element moˇzemo prikazati pomoću
kompleksne impedancije, Ri → Zi . Stoga nije teˇsko na isti naˇcin doći i do uvjeta
ravnoteˇze takvog mosta:
Z1
Z3
=
.
(5)
Z2
Z4
Uoˇcimo da su sada impedancije Zi kompleksni brojevi, te da gornja jednadˇzba
zapravo predstavlja dvije jednadˇzbe: jednu za realne komponente, a drugu za
imaginarne komponente izraza.
Naˇs postav prikazan na slici sl.3 bit će neˇsto manje općenit: kao elemente Z1 i
Z2 ćemo koristiti obiˇcne otpornike otpora R1 i R2 , tj. uniformnu ˇzicu konstantnog
presjeka s klizaˇcem A za koju vrijedi R1 /R2 = l1 /l2 . Ako joˇs pretpostavimo da
su impedancije Z3 i Z4 općenito dane s:
1
Zi = Ri + i ωLi −
, i = 3, 4
(6)
ωCi
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
4
NFP 2
V0 (t)
∼
B
Z3
Z4
G
T1
R1
l1
A
T2
R2
l2
Slika 3. Izmjeniˇcni most sa Z1,2 → R1,2 → l1,2 .
slijedi uvjet za ravnoteˇzu mosta:
1
R3 + i ωL3 −
R1
ωC3
.
=
1
R2
R4 + i ωL4 −
ωC4
Mnoˇzenjem cijelog izraza s nazivnicima, dobivamo:
1
1
= R2 R3 + iR2 ωL3 −
.
R1 R4 + iR1 ωL4 −
ωC4
ωC3
(7)
(8)
Izjednaˇcavanjem realnih dijelova, dobivamo uvjet identiˇcan onome za Wheatstoneov most:
R1
R3
=
,
(9)
R2
R4
a iz jednakosti imaginarnih komponenti slijedi:
1
ωL3 −
R1
ωC3
=
(10)
1
R2
ωL4 −
ωC4
ˇsto moˇzemo zajedno napisati kao:
1
ωL3 −
R1
R3
ωC3
=
=
.
(11)
1
R2
R4
ωL4 −
ωC4
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
5
NFP 2
Mjerenje kapaciteta kondenzatora
Odaberimo za elemente Z3 i Z4 kondenzatore C3 i C4 (sl.4). Njihove pripadne
impedancije dane su izrazima:
1
iωC3
1
=
iωC4
Z3 =
(12)
Z4
(13)
(R3 = R4 = 0, L3 = L4 = 0). Uvjet ravnoteˇze izmjeniˇcnog mosta (11) moˇzemo
stoga pisati kao
C4
R1
C4
l1
=
⇒
= ,
(14)
C3
R2
C3
l2
gdje smo iskoristili ˇcinjenicu da su u naˇsem postavu otpornici R1 i R2 zapravo
uniformna ˇzica sa klizaˇcem.
V0 (t)
∼
B
C3
C4
T1
R1
l1
A
T2
R2
l2
Slika 4. Mjerenje kapaciteta.
Iz izraza (14) vidimo da poznavanjem iznosa jednog kapaciteta moˇzemo
odrediti iznos drugog kapaciteta, dovodenjem mosta u ravnoteˇzu. Takoder, umjesto galvanometra, most moˇzemo uravnoteˇziti i tako da kao mjerni uredaj koristimo sluˇsalice tj. naˇs sluh. U tu svrhu valja odabrati frekvenciju signala za koju
je ljudski sluh najosjetljiviji (500 Hz − 5 kHz) i namjeˇstati potenciometar i klizni
kontakt sve dok viˇse ne ˇcujemo signal.
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
6
NFP 2
Mjerenje induktiviteta zavojnice
Sada ćemo za elemente Z3 i Z4 staviti zavojnice L3 i L4 (sl.5). U odnosu na kondenzatore, situacija je malo kompliciranije, jer svaka zavojnica osim induktiviteta
ima i (parazitski) otpor koji potjeˇce od ˇcinjenice da ˇzica od koje je zavojnica
naˇcinjena ima i obiˇcni omski otpor. Prema tome, u uvjet ravnoteˇze izmjeniˇcnog
mosta (11) sada stavljamo:
Z3 = R3 + iωL3
(15)
Z4 = R4 + iωL4
(16)
gdje su R3 i R4 (parazitski) omski otpori zavojnice (tj. otpori ˇzice od kojih su
zavojnice napravljene).
V0 (t)
∼
B
R3
R4
L3
L4
T1
T2
A
R1
R2
l1
l2
Slika 5. Izmjeniˇcni most sa zavojnicama.
Uvjet ravnoteˇze (11) time postaje:
L3
R1
R3
=
=
.
L4
R2
R4
(17)
Uoˇcimo da u ravnoteˇzi trebaju biti zadovoljene dvije jednakosti. Na jednu od
njih moˇzemo utjecati:
R1
L3
=
L4
R2
⇒
L3
l1
=
L4
l2
(18)
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
7
NFP 2
jer moˇzemo proizvoljno mijenjati omjer otpora R1 /R2 pomicanjem klizaˇca A.
Druga jednakost je:
L3
R3
=
.
(19)
L4
R4
Ona općenito neće biti zadovoljena, jer je teˇsko oˇcekivati da će omjer induktiviteta
dviju razliˇcitih zavojnica L3 /L4 biti toˇcno jednak omjeru njihovih (parazitskih)
omskih otpora R3 /R4 . Stoga se izmedu zavojnica u seriju stavlja joˇs jedan
potenciometar P, kojim se onda moˇze postići traˇzena jednakost omjera (sl.6).
V0 (t)
∼
Rx + Ry
R3
R4
P
L4
L3
T1
R1
l1
A
T2
R2
l2
Slika 6. Izmjeniˇcni most sa zavojnicama i otporom Rx + Ry za korekciju omskih
otpora zavojnica.
Bolje razumijevanje uvjeta (17) (ili posebno (18) i (19)) moˇzemo postići prikazom napona i struja u kompleksnoj ravnini. Vratimo zasada na mjesto zvuˇcnika
galvanometar G te pretpostavimo da on ima beskonaˇcan unutarnji otpor, tj. da
tom granom ne teˇce struja. Tada je naˇs sklop paralelan spoj dviju impedancija,
jedne realne (R = R1 + R2 ) i jedne kompleksne (Z = Z3 + Z4 ). U paralelnom
spoju dvije grane imaju zajedniˇcki napon na krajevima pa je uobiˇcajeno taj napon
prikazati na realnoj osi kao referentan.1 Ukupna struja iz izvora dijeli se tada na
struju kroz dvije grane, tj. IA i IB (vidjeti sl.1).
1
Kad prouˇcavamo serijski spoj, svim elementima protjeˇce ista struja pa je tada uobiˇcajeno
struju stavljati na realnu os kao referentnu.
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
8
NFP 2
Im
IA
ϕ
V
Re
IB
Slika 7. Kompleksni prikaz struja i napona u mjernome mostu.
U prvoj je grani struja u fazi s naponom V = V0 (t) (tj. realna), a u drugoj
kasni za naponom za fazni kut ϕ koji je odreden impedancijom druge grane
Z = Z3 + Z4 (sl.7). Vrijedi V = ZIB , a kut ϕ odreden je omjerom imaginarnog
i realnog dijela impedancije
tg ϕ =
ω(L3 + L4 )
.
R3 + R4
(20)
Ukupni pad napona jednak je u objema granama pa vrijedi (Vi su padovi napona
na pripadnim elementima Ri , odnosno Zi ):
V1 + V2 = V3 + V4 ,
(21)
ali pojedinaˇcni naponi nisu nuˇzno kolinearni (iste faze). Dok su naponi V1 i V2
realni, naponi V3 i V4 odredeni su strujom IB i impedancijama Z3 i Z4 . Poloˇzaj
svih napona u kompleksnoj ravnini prikazan je na sl.8.
Naponi V3 i V4 imaju komponente u fazi sa strujom IB i komponente koje
brzaju u fazi za π/2 ispred struje. Kut ϕ3 odreden je omjerom imaginarnog i
realnog dijela impedancije Z3 :
tg ϕ3 =
a kut ϕ4 , analogno,
ωL3
,
R3
(22)
ωL4
.
(23)
R4
Vrh vektora V1 na sl.8 predstavlja potencijal toˇcke A u odnosu prema toˇcki T1
u shemi na sl.6, a potencijal toˇcke B predstavljen je vrhom vektora V3 . Prema
tg ϕ4 =
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
9
NFP 2
Im
V1
V2
ϕ
ϕ3
V3
ϕ4
V4
Re
IB
Slika 8. Kompleksni prikaz struja i napona u mjernome mostu: uloga otpornika
Rx + Ry .
tomu, most nije uravnoteˇzen tako dugo dok se vrh vektora koji predstavlja napon
V3 ne poklopi s vrhom V1 .
Da bismo postigli to poklapanje, moramo najprije napone V3 i V4 dovesti
na realnu os (tj. postići da imaju jednaku fazu). To ćemo uˇciniti namjeˇstanjem
potenciometra, tj. mijenjanjem otpora Rx i Ry , ˇcime u stvari namjeˇstamo otpore
R3 i R4 . Mijenjanje tih otpora predstavljeno je na sl.8 pomicanjem vrha vektora
koji predstavlja napon V3 (a time i poˇcetka vektora V4 ) po isprekidanoj crti.
Time, zapravo, mijenjamo komponente napona koje su u fazi sa strujom IB .
Naponi će biti na realnoj osi kad bude vrijedilo ϕ3 = ϕ4 = ϕ, tj.
L3
L4
L3 + L4
=
=
R3
R4
R3 + R4
(24)
ˇsto je ekvivalentno uvjetu (19). Kad su otpori R3 i R4 tako namjeˇsteni, svi su
naponi na realnoj osi, s tim da iznosi napona V1 i V3 joˇs ne moraju biti isti (sl.9).
U sljedećem koraku moramo pomicati klizni kontakt u toˇcki A na sl.6. Time
se mijenja napon V1 dok se ne izjednaˇci s V3 , a istodobno se izjednaˇcava V2
s V4 . Induktivne komponente napona V3 i V4 jednake su ωL3 IB = V3 sin ϕ i
ωL4 IB = V4 sin ϕ (sl.9). Prema tomu, kada je most uravnoteˇzen, imamo
V3 =
ωL3
IB = V1 = R1 IA
sin ϕ
(25)
V4 =
ωL4
IB = V2 = R2 IA .
sin ϕ
(26)
i
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
10
NFP 2
Im
V3
V1
V2
V4
ϕ
Re
IB
Slika 9. Naponi u neuravnoteˇzenome mostu u kojemu vrijedi L3 /R3 = L4 /R4 .
Iz tih izraza slijedi:
R1
L3
=
L4
R2
(27)
ˇsto je upravo uvjet (18).
Cijeli ovaj postupak moˇzemo promatrati pomoću osciloskopa tako da na
prvi kanal osciloskopa prikljuˇcimo napon V1 , a na drugi kanal napon V3 . (Galvanometar ne prikljuˇcujemo.) Istodobnim prikazom dva kanala na osciloskopu
moˇzemo promatrati njihove medusobne amplitude i faze. Kada potenciometrom
i kliznim kontaktom namjestimo da se dva napona naizgled podudaraju, moˇzemo
poboljˇsati preciznost tako da promatramo njihovu razliku. To ćemo uˇciniti tako
da invertiramo kanal Y2 i da promatramo u modu zbrajanja signala (ADD).
Povećanjem osjetljivosti osciloskopa istodobno na oba kanala moˇzemo povećati
preciznost mjerenja.
Drugi naˇcin uravnoteˇzavanja mosta pomoću osciloskopa jest promatranje
dvaju napona V1 i V3 u X–Y prikazu. Kad su naponi izvan faze vidjet ćemo
elipsu. Naponi u fazi prikazani su ravnom crtom. Medutim, ta ravna crta mora
biti pod kutom od 45◦ da bi most bio uravnoteˇzen.
Mjerni postav
Mjerni sklop sastoji se od audiofrekventnoga generatora, otporne ˇzice duljine
l = 1 m s kliznim kontaktom, potenciometra, osciloskopa, sluˇsalica te nekoliko
zavojnica i kondenzatora (sl.10). Kao izvor izmjeniˇcnog napona treba upotrebljavati izlaz iz audiofrekventnog generatora izlazne impedancije 1 kΩ (utiˇcnice A,
PROFESOR MATEMATIKE I FIZIKE
NFP 2
11
vidi sliku 11).
Slika 10. Shema mjernog uredaja za prouˇcavanje elektriˇcnog polja.
Slika 11. Audiofrekventni generator.
Uoˇcite da je jedan kraj izvora uzemljen, a budući da su i kanali osciloskopa
uzemljeni na kućiˇste, potrebno je paziti da sva uzemljenja budu u jednoj toˇ
cki
strujnog kruga. (U ovom sluˇcaju toˇcka T1 na sl.6).
Referentnoj zavojnici L4 poznata je samoindukcija L4 = 9 mH, a referentni
kapacitet iznosi C4 = 100 nF. Pri uravnoteˇzavanju mosta treba paziti da klizni
kontakt uvijek dobro prianja uz otpornu ˇzicu. Kad je most uravnoteˇzen oˇcitamo
poloˇzaj kliznoga kontakta l1 .

Download Report