Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης Τµήµα Τεχνολόγων Γεωπόνων (Πρόγραµµα Α.Α. & ∆.Α.Ε.) ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3ο Φύλλο έργου Κεφάλαιο 3: Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων Κεφάλαιο 4: Τυχαίες Μεταβλητές - Θεωρητικές κατανοµές πιθανοτήτων Εφαρµοσµένη Στατιστική - Εργαστηριακές Ασκήσεις Ν. Ταµπάκης, Ξ. Χαψά, Εκδόσεις ΖΥΓΟΣ, Θεσσαλονίκη 2013 Για το εργαστήριο να διαβαστεί από το βιβλίο το τµήµα 3.14 (Παραδείγµατα-εκτός από το 6ο παράδειγµα, σελ. 126-134), 4.5 (Συναρτήσεις του Excel που έχουν σχέση µε τις θεωρητικές κατανοµές πιθανοτήτων, σελ. 179-185) και το 4.6 (Παραδείγµατα, σελ. 185-197) Για τη θεωρία θα πρέπει να διαβαστούν: Το 3ο κεφάλαιο (σελ. 105-138) µε εξαίρεση τα τµήµατα 3.12 και 3.13. (Να δοθεί βαρύτητα µόνο στα βασικά σηµεία του κεφαλαίου αυτού) Το 4ο κεφάλαιο (σελ. 139-200) µε εξαίρεση τα τµήµατα 4.2, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4, 4.4.3 και 4.4.4. (Τα τµήµατα 4.4.5, 4.4.6 και 4.4.7 να διαβαστούν συνοπτικά) Παράδειγµα 10 (είναι η άσκηση 3.3 στη σελίδα 136) ∆ύο παίκτες, ο Α και ο Β, παίζουν έναν αγώνα τένις και συµφωνούν στο εξής: «Θα κερδίσει τον αγώνα εκείνος που πρώτος θα πάρει δύο συνεχείς παρτίδες ή εκείνος που θα πάρει συνολικά τρεις παρτίδες». α) Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του ″πειράµατος″. β) Να βρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει τον αγώνα ο Α. γ) Να εξεταστεί αν ο κανόνας του παιχνιδιού είναι δίκαιος. Παράδειγµα 20 (είναι η εφαρµογή 4.5 στη σελίδα 162) Ρίχνουµε ένα γνήσιο νόµισµα τρεις φορές. Να βρεθεί η πιθανότητα να εµφανιστούν δύο (ακριβώς) γράµµατα. (Η απάντηση να δοθεί για διδακτικούς λόγους µε δυο τρόπους: Με τη θεωρία των πιθανοτήτων και µε τη διωνυµική κατανοµή). Παράδειγµα 30 Αν για κάθε παιδί που γεννιέται η πιθανότητα να είναι κορίτσι είναι 0,5 να βρεθεί ποια είναι η πιθανότητα σε µία οικογένεια µε 10 παιδιά: α) Να είναι όλα κορίτσια β) Να είναι κορίτσια τουλάχιστον 5, και γ) Να είναι το πολύ 8 κορίτσια. (Παρόµοιο είναι το Παράδειγµα 1 στη σελίδα 185, όπου εκτός από την αναλυτική λύση δίνονται και πρόσθετες λεπτοµέρειες για τη χρήση του excel σε συναφή θέµατα) Τυπολόγιο ⎛n⎞ n! P(X = x) = ⎜ ⎟ p x (1 − p) n-x = p x (1 − p) n − x x x!(n x)! − ⎝ ⎠ Σηµείωση: Είναι γνωστό από τη συνδυαστική ανάλυση ότι το πλήθος των συνδυασµών των n ⎛n⎞ ⎛n⎞ n! στοιχείων ανά x συµβολίζεται ⎜ ⎟ και δίνεται από τη σχέση ⎜ ⎟ = , όπου ⎝x⎠ ⎝ x ⎠ x!(n − x)! n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n, όταν n≥2, ενώ 0!=1 και 1!=1. -1- Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης Τµήµα Τεχνολόγων Γεωπόνων (Πρόγραµµα Α.Α. & ∆.Α.Ε.) Παρατήρηση Το Excel διαθέτει ένα σύνολο από ενσωµατωµένες στατιστικές συναρτήσεις και ειδικότερα συναρτήσεις κατανοµών που επιτρέπουν τη λύση σχετικών προβληµάτων. Στη συνέχεια, θα αναφερθούµε συνοπτικά στη συνάρτηση που έχει σχέση µε τη ∆ιωνυµική κατανοµή, ενώ στο επόµενο φύλλο έργου θα αναφερθούµε και σε άλλες συναρτήσεις κατανοµών. Η συνάρτηση BINOMDIST Η συνάρτηση αυτή δίνει τις τιµές της ∆ιωνυµικής κατανοµής, για την οποία, ως γνωστό, η συνάρτηση πιθανότητας είναι: ⎛n⎞ P(X = x) = ⎜ ⎟ p x (1 − p)n − x . ⎝x⎠ Η σύνταξη της εντολής είναι: =BINOMDIST(x; n; p; cumulative) όπου x ο αριθµός των επιτυχιών, n ο αριθµός των ανεξάρτητων δοκιµών, p η πιθανότητα επιτυχίας και cumulative µια λογική µεταβλητή που παίρνει τις τιµές FALSE και TRUE. Αν η τιµή είναι FALSE, τότε η συνάρτηση δίνει την πιθανότητα να έχουµε ακριβώς x επιτυχίες, ενώ αν είναι TRUE δίνει την πιθανότητα να έχουµε το πολύ x επιτυχίες (αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας). Έτσι, έχουµε: P(X=x) → =BINOMDIST(x; n; p; FALSE) (1) P(X≤x) → =BINOMDIST(x; n; p; TRUE) (2) Με βάση τις (1) και (2) προκύπτει ότι: P(X<x)=P(X≤x)−P(X=x) → =BINOMDIST(x; n; p; TRUE)−BINOMDIST(x; n; p; FALSE) (3) Η εντολή (3) µπορεί να απλοποιηθεί αν λάβουµε υπόψη ότι P(X<x)=P(X≤x−1), δεδοµένου ότι αναφερόµαστε σε διακριτή κατανοµή. Έτσι, αντί για την (3), µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή: P(X<x)=P(X≤x−1) → =BINOMDIST(x−1; n; p; TRUE). (3α) Ακόµη έχουµε: P(X>x)=1−P(X≤x) → =1−BINOMDIST(x; n; p; TRUE) (4) P(X≥x)=1−P(X<x) → =1−(BINOMDIST(x; n; p; TRUE)−BINOMDIST(x; n; p; FALSE)) (5) Η εντολή (5) µπορεί να απλοποιηθεί αν λάβουµε υπόψη ότι P(X<x)=P(X≤x−1). Έτσι, αντί για την (5), µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή: P(X≥x)=1−P(X<x)=1−P(X≤x−1) → =1−BINOMDIST(x−1; n; p; TRUE). (5α) Παράδειγµα 20 (Λύση µε το Excel) Με βάση τα δεδοµένα έχουµε ότι: n=3, p=0,5 και x=2, οπότε για να υπολογίσουµε την P(X=2) θα χρησιµοποιήσουµε την (1), δηλαδή στη γραµµή εντολών του excel θα πληκτρολογήσουµε τα εξής: =BINOMDIST(2; 3; 0,5; FALSE) Ως αποτέλεσµα θα πάρουµε την τιµή 0,375. -2- Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης Τµήµα Τεχνολόγων Γεωπόνων (Πρόγραµµα Α.Α. & ∆.Α.Ε.) Εναλλακτικά, και αφού προσδιορίσουµε τη συνάρτηση BINOMDIST, µπορούµε να συµπληρώσουµε κατάλληλα το παράθυρο που θα εµφανιστεί, όπως φαίνεται στη συνέχεια: Παράδειγµα 30 (Λύση µε το Excel) Με βάση τα δεδοµένα έχουµε: n=10 και p=0,5, οπότε οι πιθανότητες που ζητούνται στο κάθε ερώτηµα, οι εντολές του excel και τα αντίστοιχα αποτελέσµατα έχουν ως εξής: α) Να είναι όλα κορίτσια Από την (1) έχουµε: P(X=10) → =BINOMDIST(10; 10; 0,5; FALSE) → 0,000977 β) Να είναι κορίτσια τουλάχιστον 5 Από την (5α) έχουµε: P(X≥5)=1−P(X<5)=1−P(X≤4) → =1−BINOMDIST(4; 10; 0,5; TRUE) → 0,623047 γ) Να είναι το πολύ 8 κορίτσια Από τη (2) έχουµε: P(X≤8) → =BINOMDIST(8; 10; 0,5; TRUE) → 0,989258 -3-